10 تقنيات لحل المعادلة التربيعية. ورقة بحثية "10 طرق لحل المعادلات التربيعية"

شريحة 1

الشريحة 2

الشريحة 3

الشريحة 4

الشريحة 5

الشريحة 6

الشريحة 7

الشريحة 8

الشريحة 9

الشريحة 10

الشريحة 11

الشريحة 12

الشريحة 13

الشريحة 14

الشريحة 15

الشريحة 16

الشريحة 17

في دورة الرياضيات المدرسية، يتم دراسة صيغ جذور المعادلات التربيعية، والتي يمكنك من خلالها حل أي معادلات تربيعية. ومع ذلك، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية تتيح لك حل العديد من المعادلات بسرعة وكفاءة كبيرة. هناك عشر طرق لحل المعادلات التربيعية. في عملي، قمت بتحليل كل واحد منهم بالتفصيل.

1. الطريقة : تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

دعونا نحل المعادلة

× 2 + 10س - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

س 2 + 10س - 24 = س 2 + 12س - 2س - 24 = س(س + 12) - 2(س + 12) = (س + 12)(س - 2).

ولذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12)(س - 2) = 0

بما أن حاصل الضرب يساوي صفرًا، فإن أحد عوامله على الأقل يساوي صفرًا. وبالتالي يصبح الطرف الأيسر من المعادلة صفرًا س = 2، وأيضا متى س = - 12. وهذا يعني أن العدد 2 و - 12 هي جذور المعادلة × 2 + 10س - 24 = 0.

2. الطريقة : طريقة اختيار مربع كامل

دعونا نحل المعادلة × 2 + 6س - 7 = 0.

حدد مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر.

للقيام بذلك نكتب التعبير x 2 + 6x بالشكل التالي:

× 2 + 6س = × 2 + 2 × 3.

في التعبير الناتج، الحد الأول هو مربع الرقم x، والثاني هو المنتج المزدوج لـ x في 3. لذلك، للحصول على مربع كامل، تحتاج إلى إضافة 3 2، حيث

× 2+ 2 × 3 + 3 2 = (س + 3) 2.

دعونا الآن نحول الجانب الأيسر من المعادلة

× 2 + 6س - 7 = 0,

نضيف إليه ونطرح 3 2. لدينا:

× 2 + 6س - 7 =× 2+ 2 × 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (س + 3) 2 - 9 - 7 = (س + 3) 2 - 16.

وبالتالي يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(س + 3) 2 - 16 = 0، (س + 3) 2 = 16.

لذلك، س + 3 - 4 = 0، × 1 = 1، أو س + 3 = -4، × 2 = -7.

3. الطريقة :حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة.

دعونا نضرب طرفي المعادلة

اه 2+بس + ج = 0، أ ≠ 0

في 4a وبالتسلسل لدينا:

4أ 2 × 2 + 4أبس + 4ac = 0،

((2ax) 2 + 2axب + ب 2 ) - ب 2 + 4 تيار متردد = 0,

(2أكس + ب) 2 = ب 2 - 4أ،

2أكس + ب = ± √ ب 2 - 4أك،

2أكس = - ب ± √ ب 2 - 4أك،

أمثلة.

أ)دعونا نحل المعادلة: 4س 2 + 7س + 3 = 0.

أ = 4،ب= 7، ق = 3،د = ب 2 - 4 تيار متردد = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

د > 0, جذرين مختلفين؛

وهكذا، في حالة وجود تمييز إيجابي، أي. في

ب 2 - 4 تيار متردد >0 ، المعادلة اه 2+بس + ج = 0له جذوران مختلفتان.

ب)دعونا نحل المعادلة: 4س 2 - 4س + 1 = 0،

أ = 4،ب= - 4، ق = 1،د = ب 2 - 4 تيار متردد = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

د = 0, جذر واحد

فإذا كان المميز صفراً، أي. ب 2 - 4 تيار متردد = 0 ، ثم المعادلة

اه 2+بس + ج = 0له جذر واحد

الخامس)دعونا نحل المعادلة: 2س 2 + 3س + 4 = 0،

أ = 2،ب= 3، ج = 4،د = ب 2 - 4 تيار متردد = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , د < 0.

هذه المعادلة ليس لها جذور.

لذلك، إذا كان المميز سلبيا، أي. ب 2 - 4 تيار متردد < 0 ,

المعادلة اه 2+بس + ج = 0ليس له جذور.

الصيغة (1) لجذور المعادلة التربيعية اه 2+بس + ج = 0يسمح لك بالعثور على الجذور أي المعادلة التربيعية (إن وجدت)، بما في ذلك المخفضة والناقصة. يتم التعبير عن الصيغة (1) لفظيا على النحو التالي: جذور المعادلة التربيعية تساوي الكسر الذي بسطه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، زائد ناقص الجذر التربيعي لمربع هذا المعامل دون أربعة أضعاف حاصل ضرب المعامل الأول بالحد الحر، و المقام هو ضعف المعامل الأول.

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا.

كما هو معروف، فإن المعادلة التربيعية المخفضة لها الشكل

× 2+بكسل + ج = 0. (1)

جذورها تلبي نظرية فييتا، والتي، ومتى أ = 1يشبه

س 1 + س 2 = - ص

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية (من المعاملات p و q يمكننا التنبؤ بعلامات الجذور).

أ) إذا كان نصف العضو سمعطاة المعادلة (1) موجبة ( س > 0 ) فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة التساوي وهذا يعتمد على المعامل الثاني ص. لو ر< 0 ، فإن كلا الجذرين سلبيان إذا ر< 0 ، فإن كلا الجذرين موجبان.

على سبيل المثال،

س 2 – 3 س + 2 = 0; س 1 = 2 و س 2 = 1, لأن س = 2 > 0 و ص = - 3 < 0;

س 2 + 8 س + 7 = 0; س 1 = - 7 و س 2 = - 1, لأن س = 7 > 0 و ص= 8 > 0.

ب) إذا كان عضوا حرا سنظرا للمعادلة (1) سلبية ( س < 0 )، فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة مختلفة، وسيكون الجذر الأكبر موجبًا إذا ص < 0 أو سلبيا إذا ص > 0 .

على سبيل المثال،

س 2 + 4 س – 5 = 0; س 1 = - 5 و س 2 = 1, لأن س= - 5 < 0 و ص = 4 > 0;

س 2 – 8 س – 9 = 0; س 1 = 9 و س 2 = - 1, لأن س = - 9 < 0 و ص = - 8 < 0.

5. الطريقة: حل المعادلات بطريقة الرمي.

النظر في المعادلة التربيعية

اه 2+بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلة

أ 2 × 2 + أبس + أس = 0.

يترك آه = ذ، أين س = ص / أ; ثم نأتي إلى المعادلة

ذ 2+بواسطة+ التيار المتردد = 0،

يعادل هذا. جذورها في 1و فييمكن العثور على 2 باستخدام نظرية فييتا.

أخيرا وصلنا

س 1 = ص 1 /أو س 1 = ص 2 /أ.

مع هذه الطريقة المعامل أمضروباً باللفظ الحر، كأنه "ألقي" إليه، ولهذا سمي طريقة النقل. يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا، والأهم من ذلك، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

مثال.

دعونا نحل المعادلة 2س 2 - 11س + 15 = 0.

حل.دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

ص 2 - 11ص + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا

ص 2 = 6س 2 = 6/2 س 2 = 3.

الجواب: 2.5؛ 3.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

أ. دعونا نعطي معادلة تربيعية

اه 2+بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

1) إذا، أ+ب+ ج = 0 (أي أن مجموع المعاملات هو صفر)، ثم س 1 = 1،

س 2 = ق / أ.

دليل.بقسمة طرفي المعادلة على ≠ 0، نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة

س 2 + ب/ أ س + ج/ أ = 0.

س 1 + س 2 = - ب/ أ,

س 1 س 2 = 1 ج/ أ.

بالشرط أ -ب+ ج = 0،أين ب= أ + ج.هكذا،

× 1 × 2 = - 1 (- ج/أ)،

أولئك. × 1 = -1و × 2 =ج/ أ، وهو ما كنا بحاجة إلى إثباته.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة 345س2 – 137س – 208 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (345 – 137 – 208 = 0)،الذي - التي

× 1 = 1، × 2 =ج/ أ = -208/345.

الجواب: 1؛ -208/345.

2) حل المعادلة 132س2 – 247س + 115 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (132 – 247 + 115 = 0)،الذي - التي

× 1 = 1، × 2 =ج/ أ = 115/132.

الجواب: 1؛ 115/132.

ب. إذا كان المعامل الثاني ب = 2 كهو عدد زوجي، ثم صيغة الجذر

مثال.

دعونا نحل المعادلة 3x2 - 14س + 16 = 0.

حل. لدينا: أ = 3،ب= - 14، ق = 16،ك = - 7 ;

د = ك 2 – تيار متردد = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, د > 0, جذرين مختلفين؛

مدرسة كوبيفسكايا الريفية الثانوية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرئيس: باتريكيفا جالينا أناتوليفنا،

مدرس رياضيات

قرية كوبيفو، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية للخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

خاتمة

الأدب

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. يمكن حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.

باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من المستوى العالي لتطور علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.

لا تحتوي عملية حسابية ديوفانتوس على عرض منهجي للجبر، ولكنها تحتوي على سلسلة منهجية من المسائل، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق بناء معادلات بدرجات مختلفة.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يبرر ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، لأنها إذا كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، سيكون واحد منهم أكثر من نصف مجموعهم، أي. 10 + سوالآخر أقل، أي. 10. الفرق بينهما 2x.

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة يساوي 12 ، آخر 8 . حل س = -2لأن ديوفانتوس غير موجود، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

في2 - 20 يو + 96 = 0. (2)

ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. عالم هندي آخر، براهماجوبتا (القرن السابع)، أوجز قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

أوه2 + بس = ج، أ > 0. (1)

في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناء أ، كما يمكن أن تكون سلبية. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

في الهند القديمة، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تضيء الشمس النجوم ببريقها، كذلك يتفوق العالم على مجد غيره في المجالس العامة، في اقتراح المسائل الجبرية وحلها". غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

المشكلة 13.

"قطيع من القرود المرحة، واثني عشر على طول الكروم...

السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..

هناك هم في الساحة الجزء الثامن كم قرد كان هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمشكلة 13 هي:

(س/8) 2 + 12 = س

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

X2 - 64س = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى المربع، نضيف إلى كلا الطرفين 32 2 ، ثم الحصول على:

X2 - 64س + 322 = -768 + 1024,

(س - 32)2 = 256,

س - 32 = ± 16،

X1 = 16، س2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

وقد ورد في رسالة الخوارزمي الجبرية تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي: أوه2 + ج =بX.

2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: أوه2 = س.

3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: أوه2 + ج =بX.

5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: أوه2 + bx= س.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي:bx+ ج = اه2 .

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقابلة. قراراته، بالطبع، لا تتزامن تماما مع قراراتنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول

الخوارزمي، مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في مسائل عملية محددة لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يحدد الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ثم البراهين الهندسية.

المشكلة 14."المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر" (بافتراض جذر المعادلة x2 + 21 = 10س).

يبدو حل المؤلف كالتالي: اقسم عدد الجذور على النصف، ستحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروباالثالث عشر- السابع عشرب

تم توضيح صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم، الذي يعكس تأثير الرياضيات، سواء من بلاد الإسلام أو من اليونان القديمة، بشموليته ووضوح عرضه. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.

فاصل صفحة--

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

X2 + bx= ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب, معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب+ د، مضروبا أ- أ2 ، يساوي دينار بحريني، الذي - التي أيساوي فيوعلى قدم المساواة د».

لكي نفهم فييتا، علينا أن نتذكر ذلك أ، مثل أي حرف علة، يعني المجهول (لدينا X)، الحروف المتحركة في،د- معاملات المجهول. في لغة الجبر الحديث، تعني صيغة فييتا المذكورة أعلاه: إذا كان هناك

(أ+ب)س - س2 = أب,

X2 - (أ+ب)س + أب= 0,

X1 = أ، س2 = ب.

من خلال التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات باستخدام صيغ عامة مكتوبة باستخدام الرموز، أثبت فييت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك، فإن رمزية فيتنام لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.

في دورة الرياضيات المدرسية، يتم دراسة صيغ جذور المعادلات التربيعية، والتي يمكنك من خلالها حل أي معادلات تربيعية. ومع ذلك، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية تتيح لك حل العديد من المعادلات بسرعة وكفاءة كبيرة. هناك عشر طرق لحل المعادلات التربيعية. في عملي، قمت بتحليل كل واحد منهم بالتفصيل.

1. الطريقة : تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

دعونا نحل المعادلة

X2 + 10س - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

X2 + 10س - 24 = س2 + 12س - 2س - 24 = س(س + 12) - 2(س + 12) = (س + 12)(س - 2).

ولذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12)(س - 2) = 0

بما أن حاصل الضرب يساوي صفرًا، فإن أحد عوامله على الأقل يساوي صفرًا. وبالتالي يصبح الطرف الأيسر من المعادلة صفرًا س = 2، وأيضا متى س = - 12. وهذا يعني أن العدد 2 و - 12 هي جذور المعادلة X2 + 10س - 24 = 0.

2. الطريقة : طريقة اختيار مربع كامل

دعونا نحل المعادلة X2 + 6س - 7 = 0.

حدد مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر.

للقيام بذلك نكتب التعبير x2 + 6x بالشكل التالي:

X2 + 6س = س2 + 2 × 3.

في التعبير الناتج، الحد الأول هو مربع الرقم x، والثاني هو المنتج المزدوج لـ x في 3. لذلك، للحصول على مربع كامل، تحتاج إلى إضافة 32، حيث

×2+ 2 × 3 + 32 = (س + 3)2 .

دعونا الآن نحول الجانب الأيسر من المعادلة

X2 + 6س - 7 = 0,

نضيف إليه ونطرح 32. لدينا:

X2 + 6س - 7 =×2+ 2 × 3 + 32 - 3 2 - 7 = (س + 3)2 - 9 - 7 = (س + 3)2 - 16.

وبالتالي يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(س + 3)2 - 16 =0، (س + 3)2 = 16.

لذلك، س + 3 - 4 = 0، س1 = 1، أو س + 3 = -4، س2 = -7.

3. الطريقة :حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة.

دعونا نضرب طرفي المعادلة

أوه2 + بس + ج = 0، أ ≠ 0

في 4a وبالتسلسل لدينا:

4 ا2 X2 + 4 أبس + 4ac = 0،

((2 آه)2 + 2 آهب+ ب2 ) - ب2 + 4 تيار متردد= 0,

(2أكس + ب)2 = ب2 - 4ac،

2أكس + ب = ± √ ب2 - 4ac،

2أكس = - ب ± √ ب2 - 4ac،

أمثلة.

أ)دعونا نحل المعادلة: 4x2 + 7س + 3 = 0.

أ = 4،ب= 7، ق = 3،د= ب2 - 4 تيار متردد= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

د> 0, جذرين مختلفين؛

وهكذا، في حالة وجود تمييز إيجابي، أي. في

ب2 - 4 تيار متردد>0 ، المعادلة أوه2 + بس + ج = 0له جذوران مختلفتان.

ب)دعونا نحل المعادلة: 4x2 - 4س + 1 = 0،

أ = 4،ب= - 4، ق = 1،د= ب2 - 4 تيار متردد= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

د= 0, جذر واحد

فإذا كان المميز صفراً، أي. ب2 - 4 تيار متردد= 0 ، ثم المعادلة

أوه2 + بس + ج = 0له جذر واحد

الخامس)دعونا نحل المعادلة: 2x2 + 3س + 4 = 0،

أ = 2،ب= 3، ج = 4،د= ب2 - 4 تيار متردد= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, د< 0.

استمرار
--فاصل صفحة--

هذه المعادلة ليس لها جذور.

لذلك، إذا كان المميز سلبيا، أي. ب2 - 4 تيار متردد< 0 ,

المعادلة أوه2 + بس + ج = 0ليس له جذور.

الصيغة (1) لجذور المعادلة التربيعية أوه2 + بس + ج = 0يسمح لك بالعثور على الجذور أي المعادلة التربيعية (إن وجدت)، بما في ذلك المخفضة والناقصة. يتم التعبير عن الصيغة (1) لفظيا على النحو التالي: جذور المعادلة التربيعية تساوي الكسر الذي بسطه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، زائد ناقص الجذر التربيعي لمربع هذا المعامل دون أربعة أضعاف حاصل ضرب المعامل الأول بالحد الحر، و المقام هو ضعف المعامل الأول.

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا.

كما هو معروف، فإن المعادلة التربيعية المخفضة لها الشكل

X2 + بكسل+ ج= 0. (1)

جذورها تلبي نظرية فييتا، والتي، ومتى أ = 1يشبه

/>س1 س2 = س,

س1 + س2 = - ص

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية (من المعاملات p و q يمكننا التنبؤ بعلامات الجذور).

أ) إذا كان نصف العضو سمعطاة المعادلة (1) موجبة ( س> 0 ) فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة التساوي وهذا يعتمد على المعامل الثاني ص. لو ر< 0 ، فإن كلا الجذرين سلبيان إذا ر< 0 ، فإن كلا الجذرين موجبان.

على سبيل المثال،

س2 – 3 س+ 2 = 0; س1 = 2 و س2 = 1, لأن س= 2 > 0 و ص= - 3 < 0;

س2 + 8 س+ 7 = 0; س1 = - 7 و س2 = - 1, لأن س= 7 > 0 و ص= 8 > 0.

ب) إذا كان عضوا حرا سنظرا للمعادلة (1) سلبية ( س< 0 )، فإن المعادلة لها جذرين لهما إشارة مختلفة، وسيكون الجذر الأكبر موجبًا إذا ص< 0 أو سلبيا إذا ص> 0 .

على سبيل المثال،

س2 + 4 س– 5 = 0; س1 = - 5 و س2 = 1, لأن س= - 5 < 0 و ص= 4 > 0;

س2 – 8 س– 9 = 0; س1 = 9 و س2 = - 1, لأن س= - 9 < 0 و ص= - 8 < 0.

5. الطريقة: حل المعادلات بطريقة الرمي.

النظر في المعادلة التربيعية

أوه2 + بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلة

أ2 X2 + أبس + أس = 0.

يترك آه = ذ، أين س = ص / أ; ثم نأتي إلى المعادلة

في2 + بواسطة+ التيار المتردد = 0،

يعادل هذا. جذورها في1 و فييمكن العثور على 2 باستخدام نظرية فييتا.

أخيرا وصلنا

X1 = ص1 /أو X1 = ص2 /أ.

مع هذه الطريقة المعامل أمضروباً باللفظ الحر، كأنه "ألقي" إليه، ولهذا سمي طريقة النقل. يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا، والأهم من ذلك، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

مثال.

دعونا نحل المعادلة 2x2 – 11س + 15 = 0.

حل.دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

في2 – 11 يو + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا

/>/>/>/>/>في1 = 5 س1 = 5/2 س1 = 2,5

في2 = 6 س2 = 6/2 س2 = 3.

الجواب: 2.5؛ 3.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

أ. دعونا نعطي معادلة تربيعية

أوه2 + بس + ج = 0،أين أ ≠ 0.

1) إذا، أ+ب+ ج = 0 (أي مجموع المعاملات صفر)، ثم س1 = 1,

X2 = ق / أ.

دليل.بقسمة طرفي المعادلة على ≠ 0، نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة

س2 + ب/ أ س+ ج/ أ= 0.

/>وفقًا لنظرية فييتا

س1 + س2 = - ب/ أ,

س1 س2 = 1 ج/ أ.

بالشرط أ -ب+ ج = 0،أين ب= أ + ج.هكذا،

/>س1 + س2 = - أ+ ب/أ= -1 – ج/أ،

س1 س2 = - 1 (- ج/أ)،

أولئك. X1 = -1 و X2 = ج/ أ، وهو ما كنا بحاجة إلى إثباته.

أمثلة.

دعونا نحل المعادلة 345x2 – 137س – 208 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (345 – 137 – 208 = 0)،الذي - التي

X1 = 1، س2 = ج/ أ= -208/345.

الجواب: 1؛ -208/345.

2) حل المعادلة 132x2 – 247س + 115 = 0.

حل.لأن أ +ب+ ج = 0 (132 – 247 + 115 = 0)،الذي - التي

X1 = 1، س2 = ج/ أ= 115/132.

الجواب: 1؛ 115/132.

ب. إذا كان المعامل الثاني ب= 2 كهو عدد زوجي، ثم صيغة الجذر

استمرار
--فاصل صفحة--

مثال.

دعونا نحل المعادلة 3x2 - 14س + 16 = 0.

حل. لدينا: أ = 3،ب= - 14، ق = 16،ك= - 7 ;

د= ك2 – تيار متردد= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, د> 0, جذرين مختلفين؛

الجواب: 2؛ 8/3

في. معادلة مخفضة

X2 + بيكسل +س= 0

يتزامن مع معادلة عامة فيها أ = 1, ب= صو ج =س. لذلك، بالنسبة للمعادلة التربيعية المخفضة، فإن صيغة الجذر هي

يأخذ الشكل:

الصيغة (3) ملائمة بشكل خاص للاستخدام عندما ر- رقم زوجي.

مثال.دعونا نحل المعادلة X2 – 14س – 15 = 0.

حل.لدينا: X1,2 =7±

الجواب: ×1 = 15؛ X2 = -1.

7. الطريقة: الحل الرسومي للمعادلة التربيعية.

إذا كان في مكافئ.

X2 + بكسل+ س= 0

حرك الحدين الثاني والثالث إلى الجانب الأيمن، نحصل عليه

X2 = - بكسل- س.

دعونا نبني الرسوم البيانية للاعتماد y = x2 و y = - px- q.

الرسم البياني للاعتماد الأول هو القطع المكافئ الذي يمر عبر الأصل. الرسم البياني الثاني للتبعية -

مستقيم (الشكل 1). الحالات التالية ممكنة:

يمكن أن يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين، وتكون حدود نقاط التقاطع هي جذور المعادلة التربيعية؛

يمكن للخط المستقيم والقطع المكافئ أن يتلامسا (نقطة مشتركة واحدة فقط)، أي. المعادلة لها حل واحد؛

لا يوجد في الخط المستقيم والقطع المكافئ نقاط مشتركة، أي. المعادلة التربيعية ليس لها جذور.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة بيانيا X2 - 3س - 4 = 0(الصورة 2).

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X2 = 3س + 4.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س2 ومباشرة ص = 3س + 4. مباشر

ص = 3س + 4يمكن بناؤها من نقطتين م (0 ؛ 4)و

ن(3; 13) . يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطتين

أو فيمع الإحداثيات X1 = - 1 و X2 = 4 . إجابة : العاشر1 = - 1;

X2 = 4.

2) دعونا نحل المعادلة بيانيا (الشكل 3) X2 - 2س + 1 = 0.

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X2 = 2س - 1.

دعونا نبني القطع المكافئ ص = س2 ومباشرة ص = 2س - 1.

مباشر ص = 2س - 1بناء من نقطتين م (0؛ - 1)

و ن(1/2; 0) . يتقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ عند نقطة ما أمع

الإحداثي السيني س = 1. إجابة: س = 1.

3) دعونا نحل المعادلة بيانيا X2 - 2س + 5 = 0(الشكل 4).

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج X2 = 5س - 5. دعونا نبني القطع المكافئ ص = س2 ومباشرة ص = 2س - 5. مباشر ص = 2س - 5دعونا نبني من نقطتين M(0; - 5) وN(2.5; 0). الخط المستقيم والقطع المكافئ ليس لهما نقاط تقاطع، أي. هذه المعادلة ليس لها جذور.

إجابة.المعادلة X2 - 2س + 5 = 0ليس له جذور.

8. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة.

الطريقة الرسومية لحل المعادلات التربيعية باستخدام القطع المكافئ غير مريحة. إذا قمت ببناء قطع مكافئ نقطة بنقطة، فسيستغرق الأمر الكثير من الوقت، وتكون درجة دقة النتائج التي تم الحصول عليها منخفضة.

أقترح الطريقة التالية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية أوه2 + بس + ج = 0باستخدام البوصلة والمسطرة (الشكل 5).

لنفترض أن الدائرة المطلوبة تتقاطع مع المحور

الإحداثي السيني في النقاط ب(س1 ; 0) و د(x2 ; 0), أين X1 و X2 - جذور المعادلة أوه2 + بس + ج = 0، ويمر عبر النقاط

أ(0; 1)و ج(0;ج/ أ) على المحور الإحداثي. إذن، وفقًا لنظرية القاطع، لدينا أو.ب. التطوير التنظيمي= الزراعة العضوية. أوك.، أين أوك.= أو.ب. التطوير التنظيمي/ الزراعة العضوية.= س1 X2 / 1 = ج/ أ.

يقع مركز الدائرة عند نقطة تقاطع العمودين سادسو إس.ك.، تم ترميمه في منتصف الأوتار مكيف الهواءو دينار بحريني، لهذا

1) بناء النقاط (مركز الدائرة) و أ(0; 1) ;

2) ارسم دائرة نصف قطرها S. A.;

3) حدود نقاط تقاطع هذه الدائرة مع المحور أوههي جذور المعادلة التربيعية الأصلية.

في هذه الحالة، ثلاث حالات ممكنة.

1) نصف قطر الدائرة أكبر من إحداثيات المركز (مثل> إس.ك.، أور> أ+ ج/2 أ) ، تتقاطع الدائرة مع محور الثور عند نقطتين (شكل 6، أ) ب(س1 ; 0) و د(x2 ; 0) ، أين X1 و X2 - جذور المعادلة التربيعية أوه2 + بس + ج = 0.

2) نصف قطر الدائرة يساوي إحداثيات المركز (مثل= إس بي.، أور= أ+ ج/2 أ) ، تلامس الدائرة محور الثور (الشكل 6، ب) عند هذه النقطة ب(س1 ; 0) ، حيث x1 هو جذر المعادلة التربيعية.

استمرار
--فاصل صفحة--

3) نصف قطر الدائرة أقل من إحداثي المركز، ولا يوجد للدائرة نقاط مشتركة مع محور الإحداثي الإحداثي (الشكل 6، ج)، وفي هذه الحالة ليس للمعادلة حل.

مثال.

دعونا نحل المعادلة X2 - 2س - 3 = 0(الشكل 7).

حل.لنحدد إحداثيات النقطة المركزية للدائرة باستخدام الصيغ:

لنرسم دائرة نصف قطرها SA، حيث A (0؛ 1).

إجابة:X1 = - 1؛ X2 = 3.

9. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني.

هذه طريقة قديمة ومنسية بشكل غير مستحق لحل المعادلات التربيعية، موضوعة في ص 83 (انظر Bradis V.M. الجداول الرياضية المكونة من أربعة أرقام. - M.، Prosveshchenie، 1990).

الجدول الثاني والعشرون. Nomogram لحل المعادلة ض2 + pz+ س= 0 . يسمح هذا الرسم البياني، دون حل معادلة تربيعية، بتحديد جذور المعادلة باستخدام معاملاتها.

تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ (الشكل 11):

الاعتقاد نظام التشغيل = ص،الضعف الجنسي= س، عمر الفاروق = أ(الكل بالسنتيمتر)، من تشابه المثلثات سانو سي دي إفنحصل على النسبة

والتي، بعد الاستبدال والتبسيط، تنتج المعادلة

ض2 + pz+ س= 0,

والرسالة ضيعني علامة أي نقطة على مقياس منحني.

أمثلة.

1) للمعادلة ض2 - 9 ض+ 8 = 0 الرسم البياني يعطي الجذور

ض1 = 8,0 و ض2 = 1,0 (الشكل 12).

2) باستخدام الرسم البياني، نحل المعادلة

2 ض2 - 9 ض+ 2 = 0.

بقسمة معاملات هذه المعادلة على 2 نحصل على المعادلة

ض2 - 4,5 ض+ 1 = 0.

Nomogram يعطي الجذور ض1 = 4 و ض2 = 0,5.

3) للمعادلة

ض2 - 25 ض+ 66 = 0

المعاملات p و q خارج المقياس، فلنجري عملية الاستبدال ض= 5 ر، نحصل على المعادلة

ر2 - 5 ر+ 2,64 = 0,

الذي نحله باستخدام الرسم البياني ونحصل عليه ر1 = 0,6 و ر2 = 4,4, أين ض1 = 5 ر1 = 3,0 و ض2 = 5 ر2 = 22,0.

10. الطريقة: الطريقة الهندسية لحل المعادلات التربيعية.

في العصور القديمة، عندما كانت الهندسة أكثر تطورا من الجبر، لم يتم حل المعادلات التربيعية جبريا، ولكن هندسيا. وسأضرب مثلا مشهورا من "جبر" الخوارزمي.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلة X2 + 10س = 39.

في الأصل، تمت صياغة هذه المشكلة على النحو التالي: "مربع وعشرة جذور يساوي 39" (الشكل 15).

حل.لنفترض مربعًا ضلعه x، تم إنشاء مستطيلات على جوانبه بحيث يكون الضلع الآخر لكل منها 2.5، وبالتالي تكون مساحة كل منها 2.5x. يتم بعد ذلك إضافة الشكل الناتج إلى مربع جديد ABCD، وبناء أربعة مربعات متساوية في الزوايا، طول ضلع كل منها 2.5، والمساحة 6.25.

مربع سمربع ا ب ت ثيمكن تمثيلها كمجموع المساحات: المربع الأصلي X2 ، أربعة مستطيلات (4 2.5س = 10س)وأربعة مربعات مرفقة (6,25 4 = 25) ، أي. س= X2 + 10x + 25.استبدال

X2 + 10xرقم 39 لقد حصلنا على ذلك س= 39 + 25 = 64 مما يعني أن جانب المربع ا ب ت ث، أي. القطعة المستقيمة أب = 8. للجهة المطلوبة Xنحصل على المربع الأصلي

2) ولكن، على سبيل المثال، كيف حل اليونانيون القدماء المعادلة في2 + 6 يو - 16 = 0.

حليظهر في الشكل. 16، حيث

في2 + 6y = 16، أو y2 + 6ص + 9 = 16 + 9.

حل.التعبيرات في2 + 6 يو + 9و 16 + 9 تمثل هندسيا نفس المربع، والمعادلة الأصلية في2 + 6u - 16 + 9 - 9 = 0- نفس المعادلة. ومن أين لنا ذلك ص + 3 = ± 5،أو في1 = 2، ص2 = - 8 (الشكل 16).

3) حل المعادلة الهندسية في2 - 6 يو - 16 = 0.

تحويل المعادلة، نحصل على

في2 - 6ص = 16.

في التين. 17 العثور على "صور" من التعبير في2 - 6 ش،أولئك. من مساحة المربع الذي طول ضلعه y، اطرح مساحة المربع الذي طول ضلعه يساوي 3 . وهذا يعني أنه إذا كان للتعبير في2 - 6 يويضيف 9 ، ثم نحصل على مساحة المربع مع الجانب ص - 3. استبدال التعبير في2 - 6 يوورقم يساوي 16

نحن نحصل: (ص - 3)2 = 16 + 9, أولئك. ص - 3 = ± √25أو ص - 3 = ± 5، حيث في1 = 8 و في2 = - 2.

خاتمة

تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية.

ومع ذلك، فإن أهمية المعادلات التربيعية لا تكمن فقط في أناقة وإيجاز حل المسائل، رغم أن هذا مهم للغاية. ومن المهم بنفس القدر أنه نتيجة لاستخدام المعادلات التربيعية في حل المشكلات، غالبًا ما يتم اكتشاف تفاصيل جديدة، ويمكن إجراء تعميمات مثيرة للاهتمام وتقديم توضيحات، والتي يقترحها تحليل الصيغ والعلاقات الناتجة.

أود أيضًا أن أشير إلى أن الموضوع المطروح في هذا العمل لم تتم دراسته كثيرًا على الإطلاق، فهو ببساطة لم تتم دراسته، لذا فهو محفوف بالكثير من الأشياء المخفية وغير المعروفة، مما يوفر فرصة ممتازة لمزيد من العمل عليه.

لقد تطرقت هنا إلى مسألة حل المعادلات التربيعية، وماذا،

إذا كان هناك طرق أخرى لحلها؟! مرة أخرى، ابحث عن أنماط جميلة، وبعض الحقائق، والتوضيحات، وقم بالتعميمات، واكتشف المزيد والمزيد من الأشياء الجديدة. لكن هذه أسئلة للعمل المستقبلي.

لتلخيص ذلك، يمكننا أن نستنتج: المعادلات التربيعية تلعب دورا كبيرا في تطوير الرياضيات. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج. هذه المعرفة يمكن أن تكون مفيدة لنا طوال حياتنا.

وبما أن هذه الطرق لحل المعادلات التربيعية سهلة الاستخدام، فمن المؤكد أنها ستكون ذات فائدة للطلاب المهتمين بالرياضيات. عملي يجعل من الممكن النظر بشكل مختلف إلى المهام التي تطرحها علينا الرياضيات.

الأدب:

1. عليموف ش.أ.، إيلين ف.أ. وغيرها .الجبر 6-8 . كتاب تجريبي للصف 6-8 في المدرسة الثانوية. - م. تربية، 1981.

2. براديس ف.م. جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام للمرحلة الثانوية. 57. - م. التربية، 1990. ص83.

3. كروزيبوف أ.ك.، روبانوف أ.ت. كتاب مسائل في الجبر والدوال الأولية. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية الثانوية المتخصصة. - م. الثانوية العامة 1969.

4. أوكونيف أ.ك. الدوال التربيعية والمعادلات والمتباينات. دليل المعلم. - م. تربية، 1972.

5. بريسمان أ.أ. حل معادلة تربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة. - م، كفانت، رقم 4/72. ص 34.

6. سولومنيك ضد، ميلوف بي. مجموعة من الأسئلة والمشاكل في الرياضيات. إد. - الرابع، إضافي - م. الثانوية العامة 1973.

7. خودوبين أ. مجموعة من المسائل في الجبر والوظائف الأولية. دليل المعلم. إد. الثاني. - م. تربية، 1970.

حاشية. ملاحظة

1. الطريقة: تحليل الجانب الأيسر من المعادلة

2. الطريقة: طريقة استخراج المربع الكامل.

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا.

5. الطريقة: حل المعادلات بطريقة الرمي.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية

7. الطريقة: الحل الرسومي للمعادلة التربيعية

8. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة.

9. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني.

خاتمة

توتشيلكينا يوليا

ورقة بحثية حول موضوع "10 طرق لحل المعادلات التربيعية"

تحميل:

معاينة:

المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية

"المدرسة الثانوية رقم 59"

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

(عمل مجردة)

أكمله: طالب الصف 8A

MBOU "المدرسة الثانوية رقم 59 في بارناول

توتشيلكينا يوليا

مشرف:

زاخاروفا ليودميلا فلاديميروفنا،

مدرس الرياضيات MBOU "المدرسة الثانوية رقم 59"

بارناول

مقدمة ……………………………………………………………...2

I. تاريخ تطور المعادلات التربيعية ……………………………...3

1. المعادلات التربيعية في بابل القديمة…………………………4

2. كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية ........................... 5

3. المعادلات التربيعية في الهند …………………………………………6

4. المعادلات التربيعية في الخوارزمي…………………………………….7

5. المعادلات التربيعية في أوروبا في القرنين الثالث عشر والسابع عشر ...........................9

6. حول نظرية فييتا ........................................ 10

……………………….........11

1. تحليل الطرف الأيسر من المعادلة ............................ 12
2. طريقة عزل مربع كامل .......................................... 13
3. حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغ ............................ 14
4. حل المعادلات باستخدام نظرية فيتا .......................... 16

5. حل المعادلات بطريقة النقل”………………………….18

1. خواص معاملات المعادلة التربيعية .......................... 19

7. الحل الرسومي للمعادلات التربيعية ……………………………..21

8. حل المعادلات التربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة .......... 24

9. حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني ............... 26

10. الطريقة الهندسية لحل المعادلات التربيعية.................28

ثالثا. خاتمة …………………………………………………..........................30

الأدب ……………………………………………………………………….32

غالبًا ما يكون من المفيد للشخص الذي يدرس الجبر أن يحل نفس المشكلة بثلاث طرق مختلفة بدلاً من حل ثلاث أو أربع مسائل مختلفة. ومن خلال حل مشكلة واحدة باستخدام طرق مختلفة، يمكنك من خلال المقارنات معرفة أي منها أقصر وأكثر كفاءة. هذه هي الطريقة التي يتم بها تطوير الخبرة."

دبليو سوير

1 المقدمة

تحتل نظرية المعادلات مكانة رائدة في مقرر الجبر المدرسي. يتم تخصيص المزيد من الوقت لدراستهم أكثر من أي موضوع آخر في دورة الرياضيات المدرسية. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن معظم المشاكل في الحياة تتلخص في حل أنواع مختلفة من المعادلات.

في كتاب الجبر للصف الثامن، نتعرف على عدة أنواع من المعادلات التربيعية ونتدرب على حلها باستخدام الصيغ. كان لدي سؤال: هل هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية؟ ما مدى تعقيد هذه الأساليب وهل يمكن استخدامها عمليا؟ ولذلك اخترت هذا العام الدراسي موضوع بحث يتعلق بالمعادلات التربيعية، وكان في سياق عملي يسمى “10 طرق لحل المعادلات التربيعية”.أهمية هذا الموضوعهو أننا كثيرًا ما نواجه في دروس الجبر والهندسة والفيزياء حل المعادلات التربيعية. لذلك، يجب أن يكون كل طالب قادرا على حل المعادلات التربيعية بشكل صحيح وعقلاني، ويمكن أن يكون مفيدا بالنسبة لي عند حل المهام الأكثر تعقيدا، بما في ذلك في الصف التاسع عند اجتياز الامتحانات.

الهدف من العمل: تعلم كيفية حل المعادلات التربيعية، ودراسة الطرق المختلفة لحلها.

وبناء على هذا الهدف، قمت بتحديد ما يليمهام:

دراسة تاريخ تطور المعادلات التربيعية؛

النظر في الطرق القياسية وغير القياسية لحل المعادلات التربيعية؛

التعرف على الطرق الأكثر ملائمة لحل المعادلات التربيعية.

تعلم كيفية حل المعادلات التربيعية بطرق مختلفة.

موضوع الدراسة: المعادلات التربيعية.

موضوع الدراسة: من الدليل حل المعادلات التربيعية.

طرق البحث:

النظرية: دراسة الأدبيات حول موضوع البحث؛

معلومات الإنترنت.

التحليل: المعلومات التي تم الحصول عليها من دراسة الأدبيات.

النتائج التي تم الحصول عليها عند حل المعادلات التربيعية بطرق مختلفة.

مقارنة طرق عقلانية استخدامها في حل المعادلات التربيعية.

تاريخ تطور المعادلات التربيعية.

1. المعادلات التربيعية في بابل القديمة.

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات الأرض، مع أعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية، وكذلك مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. يمكن حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.

باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:

س 2 + س = ¾; × 2 - × = 14.5

وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من المستوى العالي لتطور علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

2. المعادلات التربيعية في اليونان أو كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.

لا تحتوي عملية حسابية ديوفانتوس على عرض منهجي للجبر، ولكنها تحتوي على سلسلة منهجية من المسائل، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق بناء معادلات بدرجات مختلفة.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 11. "أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يبرر ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، لأنها إذا كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، سيكون واحد منهم أكثر من نصف مجموعهم، أي. 10 + س والآخر أقل، أي. 10 . الفرق بينهما 2x.

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2 - 4 = 0 (1)

وبالتالي س = 2 . أحد الأرقام المطلوبة يساوي 12، أخرى 8. الحل س = -2 لأن ديوفانتوس غير موجود، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

ص 2 - 20ص + 96 = 0. (2)

ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

3. المعادلات التربيعية في الهند.

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. عالم هندي آخر، براهماجوبتا (القرن السابع)، أوجز قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:الفأس 2 + ب س = ج، أ > 0. (1)

في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناءأ ، كما يمكن أن تكون سلبية. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا. في الهند القديمة، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تضيء الشمس النجوم ببريقها، كذلك يتفوق العالم على مجد غيره في المجالس العامة، في اقتراح المسائل الجبرية وحلها". غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

مهمة.

"قطيع من القرود المرحة، واثني عشر على طول الكروم...

السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..

هناك هم في الساحة الجزء الثامن كم قرد كان هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 1).

المعادلة المقابلة للمشكلة هي:

(س/٨) ٢ + ١٢ = س

يكتب بهاسكارا تحت ستار:× 2 - 64س = -768

وإكمال الجانب الأيسر من هذا

المعادلة إلى مربع، يضيف إلى كلا الطرفين 32 2، ثم نحصل على: x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024، الشكل 1

(س - 32) 2 = 256،

س - 32 = ± 16،

× 1 = 16، × 2 = 48.

4. المعادلات التربيعية للخوارزمي.

وقد ورد في رسالة الخوارزمي الجبرية تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي: أوه 2 + ج = ب س.

2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: أوه 2 = ق.

3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: أوه 2 + ج = ب س.

5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: أوه 2 + ب س = ج.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي: ب س + ج = آه 2 .

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقابلة. الحل الذي قدمه، بالطبع، لا يتطابق تماما مع الحل الحديث. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول، فإن الخوارزمي، مثل جميع علماء الرياضيات حتى القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في عملية محددة لا يهم في المهام. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يحدد الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ثم البراهين الهندسية.

مهمة. "المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر"

(بافتراض جذر المعادلة x 2 + 21 = 10س).

يبدو حل المؤلف كالتالي: اقسم عدد الجذور على النصف، ستحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

5. المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر.

تم تحديد صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد"، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم، الذي يعكس تأثير الرياضيات، سواء من بلاد الإسلام أو من اليونان القديمة، بشموليته ووضوح عرضه. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:س 2 + ب س = ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملاتب، ج تمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

6. حول نظرية فييتا.

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا B + D ضرب A - A 2 يساوي BD، ثم A يساوي B ويساوي D."

لكي نفهم فييتا، علينا أن نتذكر ذلكأ ، مثل أي حرف علة، يعني المجهول (لديناس)، حروف العلة ب، د - معاملات المجهول. في لغة الجبر الحديث، تعني صيغة فييتا المذكورة أعلاه: إذا كان هناك

(أ + ب) س - س 2 = أب، أي.

× 2 - (أ + ب) × + أب = 0، إذن

س 1 = أ، س 2 = ب.

من خلال التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات باستخدام صيغ عامة مكتوبة باستخدام الرموز، أثبت فييت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك، فإن رمزية فيتنام لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

ثانيا. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية.يتم حل العديد من المشاكل العملية بمساعدتهم. على سبيل المثال، تتيح لك المعادلة التربيعية حساب مسافة فرملة السيارة، وقوة الصاروخ لإطلاق مركبة فضائية إلى المدار، ومسارات الأجسام المادية المختلفة - من الجسيمات الأولية إلى النجوم.

تتم دراسة صيغ جذور المعادلات التربيعية في المدرسة، والتي يمكنك من خلالها حل أي معادلات تربيعية. ومع ذلك، هناك طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية تتيح لك حل المعادلات التربيعية بسرعة وكفاءة كبيرة. لقد وجدت في الأدبيات الرياضية عشر طرق لحل المعادلات التربيعية وقمت في عملي بتحليل كل منها

التعريف 1. المعادلة التربيعية هي معادلة ذات الشكل الفأس 2 + bx + c = 0، حيث المعاملات a، b، c هي أرقام حقيقية، a ≠ 0.

التعريف 2. المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة تربيعية تتواجد فيها الحدود الثلاثة، أي. المعاملات في و с تختلف عن الصفر.

المعادلة التربيعية غير الكاملة هي معادلة يكون فيها أحد المعاملات على الأقل في أو c يساوي الصفر.

التعريف 3. جذر المعادلة التربيعية هو آه 2 + in + c = 0 هي أي قيمة للمتغير x الذي يكون له محور ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية 2 + in + c يذهب إلى الصفر.

التعريف 4. حل المعادلة التربيعية يعني إيجادها كلها

الجذور أو إثبات عدم وجود جذور.

1. تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

لنحل المعادلة x 2 + 10x - 24 = 0.

دعونا نحلل الجانب الأيسر:

س 2 + 10 س - 24 = س 2 + 12س - 2س - 24 = س(س + 12) - 2(س + 12) = (س + 12)(س - 2).

ولذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

(س + 12)(س - 2) = 0

يكون حاصل ضرب العوامل صفرًا إذا كان أحد عواملها على الأقل صفرًا.

س + 12 = 0 أو س - 2 = 0

س=-12 س=2

الجواب: -12؛ 2.

1. طريقة اختيار مربع كامل

دعونا نحل المعادلة x 2 + 6x - 7 = 0.

حدد مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر:

س 2 + 6س - 7 = س 2 + 2 س 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (س + 3) 2 - 9 - 7 = (س + 3) 2 - 16.

ومن ثم يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(س + 3) 2 - 16 =0،

(س + 3) 2 = 16.

س + 3=4 أو س + 3 = -4

× 1 = 1 × 2 = -7

الجواب: 1؛ -7.

1. حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغ.

دعونا نضرب طرفي المعادلةالفأس 2 + ب س + ج = 0، أ ≠ 0 × 4 أ، إذن

4أ 2 × 2 + 4أب س + 4 أ = 0،

((2فأس) 2 + 2فأس ب + ب 2 ) - ب 2 + 4أ = 0،

(2أكس + ب) 2 = ب 2 - 4أ،

2أكس + ب = ± √ ب 2 - 4أك،

2أكس = - ب ± √ ب 2 - 4أك،

1. وهكذا، في حالة وجود تمييز إيجابي، أي. فيب 2 - 4ac >0، المعادلة ax 2 + bx + c = 0 له جذوران مختلفتان.

2. إذا كان المميز صفراً، أي.ب 2 - 4أ = 0 ، فإن المعادلة لها جذر واحد.

3. إذا كان المميز سلبيا، أي.ب 2 - 4أ، المعادلة ax 2 + bx + c = 0 ليس له جذور.

الصيغة (1) لجذور المعادلة التربيعيةالفأس 2 + ب س + ج = 0 يسمح لك بالعثور على الجذورأي المعادلة التربيعية (إن وجدت)، بما في ذلك المخفضة والناقصة. يتم التعبير عن الصيغة (1) لفظيا على النحو التالي:جذور المعادلة التربيعية تساوي الكسر الذي بسطه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، زائد ناقص الجذر التربيعي لمربع هذا المعامل دون أربعة أضعاف حاصل ضرب المعامل الأول بالحد الحر، و المقام هو ضعف المعامل الأول.

أمثلة.

أ) دعونا نحل المعادلة:

4س 2 + 7س + 3 = 0.

أ = 4، ب = 7، ج = 3.

د = ب 2 - 4أ = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,د > 0,

الجواب: 1؛ .

ب) دعونا نحل المعادلة:

4س 2 - 4س + 1 = 0،

أ = 4، ب = - 4، ج = 1،

د = ب 2 - 4أ = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0، د = 0، المعادلة لها جذر واحد؛

إجابة:

الخامس) دعونا نحل المعادلة: 2س 2 + 3س + 4 = 0،

أ = 2، ب = 3، ج = 4، د = ب 2 - 4أ = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13، د

هذه المعادلة ليس لها جذور.

الجواب: لا جذور.

1. حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا.

يستحق أن يُغنى في الشعر

نظرية فييتا حول خصائص الجذور.

نظرا لمعادلة تربيعيةتسمى معادلة النموذج(1) حيث المعامل الرئيسي يساوي واحدًا.

يمكن إيجاد جذور المعادلة التربيعية أعلاه باستخدام الصيغة التالية:

يمكنك تذكر هذه الصيغة عن طريق حفظ القصيدة التالية.

P مع الإشارة المأخوذة في الاتجاه المعاكس

سنقسمها على 2

ومن الجذر أوقع بعنايةدعونا ننفصل

وتحت الجذر فهو مفيد جدًا

نصف مربعة

ناقص - وهنا حل معادلة صغيرة.

لعمل معادلة تربيعيةيؤدي إلى الشكل المخفض، تحتاج إلى تقسيم جميع شروطه إلىأ، ، ثم

يستحق أن يُغنى في الشعر
نظرية فييتا حول خصائص الجذور.
أخبرني ما هو الأفضل، الاتساق مثل هذا:
قمت بضرب الجذور والكسر جاهز:
البسط هو ج، والمقام هو أ،
ومجموع الجذور يساوي الكسر أيضًا.
حتى لو كان هذا الكسر ناقص، يا لها من مشكلة -
البسط هو ب، والمقام هو أ.

إذا قمنا بتعيين ، ثم نحصل على معادلة النموذج. والصيغ () سوف تأخذ النموذج

هكذا: مجموع جذور المعادلة التربيعية المخفضة يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر.

من المعاملات p و q يمكن التنبؤ بعلامات الجذور.

أ) إذا كان الحد الملخص q للمعادلة (1) أعلاه موجباً (q > 0)، فإن المعادلة لها جذرين لنفس الإشارة، وهذا يعتمد على المعامل الثاني:

لو ر ، فإن كلا الجذرين موجبان؛

إذا كان ع> 0 ، فإن كلا الجذرين سلبيان.

على سبيل المثال،

س 2 - 3س + 2 = 0؛ x 1 = 2 و x 2 = 1، بما أن q = 2 > 0 و p = - 3

س 2 + 8س + 7 = 0؛ x 1 = - 7 و x 2 = - 1، بما أن q = 7 > 0 و p = 8 > 0.

ب) إذا كان الحد الحر q للمعادلة المعطاة (1) سالبًا (q 0 .

على سبيل المثال،

س 2 – 8س – 9 = 0; x 1 = 9 و x 2 = - 1، بما أن q = - 9 و ع = - 8

س 2 + 4س – 5 = 0; x 1 = - 5 و x 2 = 1، بما أن q= - 5 و ع = 4 > 0.

1. حل المعادلات بطريقة الرمي.

النظر في المعادلة التربيعية

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلةأ 2 × 2 + أبكس + أس = 0.

دع الفأس = ص، حيث س = ص / أ ; ثم نأتي إلى المعادلةص 2 + بواسطة + أس = 0،

يعادل هذا.

جذورها هي 1 و 2 نجد باستخدام نظرية فيتا وأخيرا:

س 1 = ص 1 /أ و س 1 = ص 2 /أ.

مع هذه الطريقة المعاملأ مضروباً باللفظ الحر، كأنه "ألقي" إليه، ولهذا سميطريقة النقل. يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا، والأهم من ذلك، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

مثال.

لنحل المعادلة 2س2 – 11س + 15 = 0.

حل. دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة

ص 2 - 11ص + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا

ص 1 = 5، × 1 = 5/2، × 1 = 2.5

ص 2 = 6؛ س 2 = 6/2؛ × 2 = 3.

الجواب: 2.5؛ 3.

1. خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

1. دع المعادلة التربيعية تعطىالفأس 2 + ب س + ج = 0، حيث أ ≠ 0.

1. إذا كانت أ + ب + ج = 0 (أي مجموع المعاملات صفر)،

ثم x 1 = 1، x 2 = s/a.

1. إذا كان أ - ب + ج = 0، فإن س 2 = -1، × 2 = -s/a

أمثلة.

1. أ. دعونا نحل المعادلة 345س2 – 137س – 208 = 0.

حل. لأن أ + ب + ج = 0 (345 – 137 – 208 = 0)،الذي - التي

× 1 = 1، × 2 = ج/أ = -208/345.

الجواب: 1؛ -208/345.

ب. حل المعادلة 132س2 – 247س + 115 = 0.

حل. لأن أ + ب + ج = 0 (132 – 247 + 115 = 0)،الذي - التي

× 1 = 1، × 2 = ج/أ = 115/132.

الجواب: 1؛ 115/132.

2) دعونا نحل المعادلة 2x 2 + 3x +1= 0. بما أن 2 - 3+1=0، إذن x 1 = - 1، × 2 = -ج/أ= -1/2

الإجابة: × 1 = -1، × 2 = -1/2.

تعتبر هذه الطريقة مناسبة للتطبيق على المعادلات التربيعية ذات المعاملات الكبيرة.

2. إذا كان المعامل الثاني للمعادلةب = 2 كيلو هو عدد زوجي، ثم صيغة الجذريمكن كتابتها في النموذج

مثال.

دعونا نحل المعادلة 3x2 - 14x + 16 = 0.

حل . لدينا: أ = 3، ب = - 14 (ك = -7)، ج = 16،

د 1 = ك 2 – أ = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, د 1 > 0, المعادلة لها جذرين مختلفين؛

الجواب: 2؛ 8/3

معادلة مخفضةس 2 + بكسل + ف= 0 يتزامن مع معادلة عامة فيهاأ = 1، ب = ع، ج = ف . لذلك، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة، تأخذ صيغة الجذر الشكل

الصيغة () ملائمة للاستخدام عندما p هو رقم زوجي.

مثال. دعونا نحل المعادلةس 2 – 14س – 15 = 0.

حل. لدينا = 1، ب = -14، (ك = -7)، ج = -15.

× 1.2 = 7± =7 ± ,

× 1.2 = 15؛ × 2 = -1.

الجواب: × 1 = 15؛ × 2 = -1.

7. الحل الرسومي للمعادلة التربيعية.

و باستخدام المعرفة حول الدوال التربيعية والخطية والرسوم البيانية الخاصة بها، يمكنك حل معادلة تربيعية بما يسمىالطريقة الرسومية الوظيفية.علاوة على ذلك، يمكن حل بعض المعادلات التربيعية بطرق مختلفة؛ دعونا نفكر في هذه الطرق باستخدام مثال معادلة تربيعية واحدة.

مثال. حل المعادلة=0

1 الطريق . دعونا نرسم الوظيفةباستخدام الخوارزمية.

1) لدينا:

هذا يعني أن رأس القطع المكافئ هو النقطة (1;-4)، ومحور القطع المكافئ هو الخط المستقيم x=1

2) خذ نقطتين على المحور x متناظرتين بالنسبة لمحور القطع المكافئ، على سبيل المثال النقاط في الشكل 2

X= -1 وx=3، ثم f(-1)=f(3)=0.

3) من خلال النقاط (-1;0)، (1;-4)، (3;0) نرسم القطع المكافئ (الشكل 2).

جذور المعادلاتهي حروف نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني؛ وهذا يعني أن جذور المعادلة

الطريقة 2

دعونا نحول المعادلة إلى النموذج.

و (الشكل 3).

يتقاطعان عند النقطتين A(-1;1) و B(3;9). جذور المعادلة هي حدود النقطتين A و B، مما يعني.

تين. 3

3 طريقة

دعونا تحويل المعادلات إلى النموذج.

دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف في نظام إحداثي واحدو (الشكل 4) يتقاطعان عند النقطتين A(-1;-2) وB (3;6). وبالتالي فإن جذور المعادلة هي حدود النقطتين A وB.

الشكل 4

4 طريقة

فلنحول المعادلة إلى شكل إذنأولئك.

دعونا نبني القطع المكافئ في نظام إحداثي واحدومباشرة . يتقاطعان عند النقطتين A(-1;4) و B(3;4). وبالتالي فإن جذور المعادلات هي حروف النقطتين A وB(الشكل 5).

الشكل 5

5 طريقة

بقسمة طرفي المعادلة على حد x على حد نحصل على:

;

.

الشكل 6

دعونا نبني القطع الزائد في نظام إحداثي واحدومباشرة (الشكل 6). يتقاطعان عند النقطتين A(-1;-3) و B(3;1). جذور المعادلات هي حدود النقطتين A و B، وبالتالي،.

تنطبق الطرق الأربع الأولى على أي معادلات من النموذج

آه 2 + bx + c = 0، والخامس - فقط لتلك التي c لا تساوي الصفر.

الطرق الرسومية لحل المعادلات التربيعية جميلة، لكنها لا توفر ضمانًا بنسبة 100% لحل أي معادلة تربيعية.

8. حل المعادلات التربيعية باستخدام البوصلات و

الحكام.

أقترح الطريقة التالية لإيجاد جذور المعادلة التربيعيةالفأس 2 + ب س + ج = 0 باستخدام البوصلة والمسطرة (الشكل 7).

لنفترض أن الدائرة المطلوبة تتقاطع مع المحور

الإحداثي السيني في النقاط B(x 1; 0) وD (x 2; 0)، حيث x 1 وx 2 - جذور المعادلةالفأس 2 + ب س + ج = 0 ، ويمر عبر النقاط

أ(0؛ 1) وج(0؛ ج/أ) على المحور الإحداثي. إذن، وفقًا لنظرية القاطع، لدينا OB OD = OA OC، من حيث OC = OB OD / OA = x 1 x 2 / 1 = c/a.

يقع مركز الدائرة عند نقطة تقاطع العمودينسادس و كورونا ، تم ترميمه في منتصف الأوتار AC وBD، لذلك

لذا:

1) بناء النقاط (مركز الدائرة) وأ(0; 1) ;

2) ارسم دائرة نصف قطرها SA؛

3) حدود نقاط تقاطع هذه الدائرة مع المحورأوه هي جذور المعادلة التربيعية الأصلية.

في هذه الحالة، ثلاث حالات ممكنة.

1) نصف قطر الدائرة أكبر من إحداثيات المركز(AS > SK، أو R > a + c/2a)، تتقاطع الدائرة مع محور الثور عند نقطتين (الشكل 8 أ) B(x 1; 0) وD(x 2; 0)، حيث x 1 وx 2 - جذور المعادلة التربيعيةالفأس 2 + ب س + ج = 0.

2) نصف قطر الدائرة يساوي إحداثيات المركز(AS = SB، أو R = a + c/2a)، تلامس الدائرة محور الثور (الشكل 8 ب) عند هذه النقطةب(× 1؛ 0)، حيث × 1 - جذر المعادلة التربيعية.

3) نصف قطر الدائرة أقل من إحداثي المركز

لا تحتوي الدائرة على نقاط مشتركة مع محور الإحداثي السيني (الشكل 8ج)، وفي هذه الحالة ليس للمعادلة حل.

الشكل 8

أ ب ج)

مثال.

دعونا نحل المعادلة x 2 - 2x - 3 = 0 (الشكل 9).

حل. لنحدد إحداثيات النقطة المركزية للدائرة باستخدام الصيغ:

لنرسم دائرة نصف قطرها SA، حيث A (0؛ 1).

الجواب: × 1 = - 1؛ × 2 = 3.

9. حل المعادلات التربيعية باستخدام

الرسوم البيانية.

هذه طريقة قديمة ومنسية حاليًا لحل المعادلات التربيعية، موضوعة في ص 83 من المجموعة: Bradis V.M. جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام. - م. تربية، 1990.

الجدول الثاني والعشرون. Nomogram لحل المعادلةض 2 + بز + ف = 0. يسمح هذا الرسم البياني، دون حل المعادلة التربيعية، بمعاملها

هناك لتحديد جذور المعادلة.

تم إنشاء المقياس المنحني للرسم البياني

حسب الصيغ (الشكل 10):

الاعتقادنظام التشغيل = ع، إد = ف، عمر الفاروق = أ(الكل في سم)، من

تشابه المثلثاتسانوسي دي إفنحن نحصل

حَجم

والتي، بعد الاستبدال والتبسيط، تنتج المعادلة

ض2 + بز + ف = 0،

والرسالةضيعني علامة أي نقطة على مقياس منحني.

أمثلة.

1) للمعادلةض2 - 9ز + 8 = 0الرسم البياني يعطي الجذورض1 = 8,0 وض2 = 1,0 (الشكل 11).

إجابة:8,0 ; 1,0.

2) دعونا حلها بمساعدةnomogramsالمعادلة

2z2 - 9ز + 2 = 0.

دعونا نقسم معاملات هذه المعادلة على 2،

نحصل على المعادلةض2 - 4.5 ض + 1 = 0.

Nomogram يعطي الجذورض1 = 4 وض2 = 0,5.

الجواب: 4؛ 0.5.

3) للمعادلةض2 - 25ز + 66 = 0المعاملات p و q خارج المقياس، فلنجري عملية الاستبدالض = 5 طن، نحصل على المعادلةر2 - 5ط + 2.64 = 0،

الذي نحله باستخدام الرسم البياني ونحصل عليهر1 = 0,6 ور2 = 4,4, أينض1 = 5 طن1 = 3,0 وض2 = 5 طن2 = 22,0.

الجواب: 3؛ 22.

10. الطريقة الهندسية لحل المعادلات التربيعية.

في العصور القديمة، عندما كانت الهندسة أكثر تطورا من الجبر، لم يتم حل المعادلات التربيعية جبريا، ولكن هندسيا. وسأضرب مثلا مشهورا من "جبر" الخوارزمي.

أمثلة.

1) دعونا نحل المعادلةX2 + 10س = 39.

في الأصل، تمت صياغة هذه المشكلة على النحو التالي: "مربع وعشرة جذور يساوي 39" (الشكل 12).

حل.لنفترض مربعًا ضلعه x، تم إنشاء مستطيلات على جوانبه بحيث يكون الضلع الآخر لكل منها 2.5، وبالتالي تكون مساحة كل منها 2.5x. يتم بعد ذلك إضافة الشكل الناتج إلى مربع جديد ABCD، وبناء أربعة مربعات متساوية في الزوايا، طول ضلع كل منها 2.5، والمساحة 6.25.

مربعسمربعا ب ت ثيمكن تمثيلها كمجموع المساحات: المربع الأصليX2 ، أربعة مستطيلات(4 2.5س = 10س)وأربعة مربعات مرفقة(6,25 4 = 25) ، أي.س=X2 + 10x + 25.استبدال

X2 + 10xرقم39 لقد حصلنا على ذلكس = 39 + 25 = 64مما يعني أن جانب المربعا ب ت ث، أي. القطعة المستقيمةأب = 8. للجهة المطلوبةXنحصل على المربع الأصلي

2) ولكن، على سبيل المثال، كيف حل اليونانيون القدماء المعادلةفي2 + 6 يو - 16 = 0.

حلالواردة في الشكل 13. حيث

في2 + 6y = 16، أو y2 + 6ص + 9 = 16 + 9.

حل.التعبيراتفي2 + 6 يو + 9و16 + 9 تمثل هندسيا

نفس المربع والمعادلة الأصليةفي2 + 6u - 16 + 9 - 9 = 0- نفس المعادلة. ومن أين لنا ذلكص + 3 = ± 5،أوفي1 = 2، ص2 = - 8 (أرز. .

الشكل 13

3) حل المعادلة الهندسيةفي2 - 6 يو - 16 = 0.

تحويل المعادلة، نحصل على

في2 - 6ص = 16.

في الشكل 14 نجد "صور" للتعبيرفي2 - 6 ش،أولئك. من مساحة المربع الذي طول ضلعه y، اطرح مساحة المربع الذي طول ضلعه يساوي3 . وهذا يعني أنه إذا كان للتعبيرفي2 - 6 يويضيف9 ، ثم نحصل على مساحة المربع مع الجانبص - 3. استبدال التعبيرفي2 - 6 يوورقم يساوي 16

نحن نحصل:(ص - 3)2 = 16 + 9, أولئك.ص - 3 = ± √25أو ص - 3 = ± 5، حيثفي1 = 8 وفي2 = - 2.

الشكل 14

خاتمة

في سياق عملي البحثي، أعتقد أنني حققت هدفي وغاياتي، وكنت قادرا على تعميم وتنظيم المواد التي تمت دراستها حول الموضوع أعلاه.

هناك طرق عديدة لحل المعادلات التربيعية. لقد وجدت 10 طرق لحل المعادلات التربيعية. تجدر الإشارة إلى أنه ليس كل منهم مناسب للحل، ولكن كل واحد منهم فريد من نوعه بطريقته الخاصة. تساعد بعض الحلول على توفير الوقت، وهو أمر مهم عند حل المهام في الاختبارات والامتحانات. عند العمل على هذا الموضوع، قمت بتعيين مهمة معرفة الطرق القياسية وغير القياسية.

لذا،الطرق القياسية(يستخدم في كثير من الأحيان عند حل المعادلات التربيعية):

• حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغ
• نظرية فييتا
• الحل الرسومي للمعادلات
• تحليل الجانب الأيسر
• اختيار مربع كامل

الطرق غير القياسية:

• الحل عن طريق نقل المعاملات
• خصائص معاملات المعادلة التربيعية
• حل المعادلات التربيعية باستخدام البوصلة والمسطرة.
• الحل باستخدام nomogram
• الطريقة الهندسية

عند حل المعادلات التربيعية لنفسي توصلت إلى الاستنتاجات التالية: لكي تتمكن من حل أي معادلة تربيعية بشكل جيد، عليك أن تعرف:

صيغة لإيجاد المميز؛

صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية؛

خوارزميات لحل المعادلات من هذا النوع.

يكون قادرا على:

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة.

حل المعادلات التربيعية الكاملة؛

حل المعادلات التربيعية المعطاة؛

العثور على الأخطاء في المعادلات التي تم حلها وتصحيحها؛

قم بالفحص.

أعتقد أن عملي سيكون محل اهتمام طلاب الصف الثامن، وكذلك أولئك الذين يرغبون في تعلم كيفية حل المعادلات التربيعية العقلانية والاستعداد جيدًا للامتحانات النهائية. خلال دروس الرياضيات، أخبرت زملائي طرق حل المعادلات التربيعية رقم 5 و 6، وقد أحبهم الرجال. سيكون أيضًا موضع اهتمام معلمي الرياضيات، لأنني في عملي لم أدرس فقط طرق حل المعادلات التربيعية، ولكن أيضًا تاريخ تطورها.

لالأدب

1. موردكوفيتش، أ.ج.الجبر.الصف الثامن. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية / أ.ج. موردكوفيتش.-م. : منيموسين 2011.-260 ص.
2. موردكوفيتش، أ.ج. الجبر.الصف الثامن. كتاب المشكلات للمؤسسات التعليمية / أ.ج. موردكوفيتش.-م. : منيموسين 2011.-270 ص.
3. جلاسر ، جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة / جي. جليزر-م: التنوير، 1982- 340 ص.
4. جوسيف، ف. الرياضيات. المواد المرجعية/ V.A. جوسيف، أ.ج. موردكوفيتش - م: التعليم، 1988، 372 ص.
5. براديس، في.م. الجداول الرياضية المكونة من أربعة أرقام للمرحلة الثانوية / ف.م.، براديس-م: التعليم، 1990-
6. نظرية فييتا – وضع الوصول:.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta / نظرية فييتا(موارد الوصول عن بعد (الإنترنت)). 12/10/2013.
7. المعادلات التربيعية – وضع الوصول:http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (موارد الوصول عن بعد (الإنترنت)). 10.01.2014.