في المناهج الدراسية ، يجب أن تتعامل دروس الهندسة مع أنواع مختلفة من الأشكال الرباعية: المعين ، متوازي الأضلاع ، المستطيلات ، شبه المنحرف ، المربعات. الأشكال الأولى التي يجب دراستها هي المستطيل والمربع.

إذن ما هو المستطيل؟ سيبدو تعريف الصف الثاني للمدرسة الشاملة على النحو التالي: هذا رباعي الأضلاع ، حيث تكون جميع الزوايا الأربع صحيحة. من السهل تخيل شكل المستطيل: إنه شكل بأربع زوايا قائمة وجوانب متوازية مع بعضها البعض في أزواج.

في تواصل مع

كيف نفهم ، ونحل المسألة الهندسية التالية ، ما هو نوع الشكل الرباعي الذي نتعامل معه؟ هناك ثلاث سمات رئيسية، والتي من خلالها يمكنك أن تحدد بدقة أننا نتحدث عن مستطيل. دعنا نسميهم:

• الشكل رباعي الأضلاع بثلاث زوايا تساوي 90 درجة ؛
• الرباعي المقدم هو متوازي أضلاع له أقطار متساوية ؛
• متوازي أضلاع له زاوية قائمة واحدة على الأقل.

من المثير للاهتمام معرفة: ما هو المحدب ومميزاته وعلاماته.

نظرًا لأن المستطيل متوازي أضلاع (أي رباعي الأضلاع متوازي الأضلاع المتقابلة) ، فسيتم تحقيق جميع خصائصه وميزاته من أجله.

صيغ لحساب أطوال الأضلاع

في مستطيلالأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية. عادةً ما يُطلق على الجانب الأطول الطول (يُشار إليه بالرمز a) ، ويسمى الجانب الأقصر بالعرض (يُشار إليه بالرمز b). في المستطيل في الصورة ، الأطوال هي الضلع AB و CD ، والعرضان AC و B.D. كما أنهما متعامدين مع الأسس (أي أنهما ارتفاعات).

للعثور على الجوانب ، يمكنك استخدام الصيغ أدناه. تم اعتماد الاصطلاحات فيها: أ - طول المستطيل ، ب - عرضه ، د - القطر (الجزء الذي يربط رؤوس زاويتين متقابلتين) ، S - منطقة الشكل ، P - المحيط ، α - الزاوية بين القطر والطول ، β هي زاوية حادة يتكون من كلا القطرين. طرق إيجاد أطوال الأضلاع:

• باستخدام الضلع المائل والمعروف: أ \ u003d √ (د ² - ب ²) ، ب \ u003d √ (د ² - أ ²).
• بمساحة الشكل وأحد جوانبه: أ = S / ب ، ب = ق / أ.
• باستخدام المحيط والجانب المعروف: أ = (ف - 2 ب) / 2 ، ب = (ف - 2 أ) / 2.
• من خلال القطر والزاوية بينه وبين الطول: a = d sinα ، b = d cosα.
• من خلال القطر والزاوية β: a = d sin 0.5 β ، b = d cos 0.5.

المحيط والمساحة

محيط الشكل الرباعي يسمىمجموع أطوال كل جوانبها. لحساب المحيط ، يمكن استخدام الصيغ التالية:

• من خلال كلا الجانبين: P = 2 (أ + ب).
• من خلال المنطقة وأحد الجانبين: P \ u003d (2S + 2a ²) / a ، P \ u003d (2S + 2b ²) / b.

المساحة هي مساحة يحدها محيط. ثلاث طرق رئيسية لحساب المساحة:

• من خلال أطوال كلا الجانبين: S = a * b.
• باستخدام المحيط وأي جانب معروف: S \ u003d (Pa - 2 a ²) / 2 ؛ S = (Pb - 2b²) / 2.
• قطريًا والزاوية β: S = 0.5 d² sinβ.

في مهام دورة الرياضيات المدرسية ، غالبًا ما يكون مطلوبًا أن يكون لديك إتقان جيد خصائص أقطار المستطيل. نسرد أهمها:

1. الأقطار متساوية مع بعضها البعض وتنقسم إلى جزأين متساويين عند نقطة تقاطعهما.
2. يُعرَّف القطر بأنه جذر مجموع تربيع كلا الجانبين (يتبع من نظرية فيثاغورس).
3. يقسم القطر المستطيل إلى مثلثين بزاوية قائمة.
4. تتطابق نقطة التقاطع مع مركز الدائرة المحددة ، وتتطابق الأقطار نفسها مع قطرها.

تُستخدم الصيغ التالية لحساب طول القطر:

• باستخدام طول وعرض الشكل: د = √ (أ ² + ب ²).
• باستخدام نصف قطر دائرة حول شكل رباعي: د = 2 ر.

تعريف وخصائص المربع

المربع هو حالة خاصة من المعين أو متوازي الأضلاع أو المستطيل. الفرق بين هذه الأشكال هو أن جميع زواياها مستقيمة ، والأضلاع الأربعة متساوية. المربع هو شكل رباعي منتظم.

يسمى الرباعي مربع في الحالات التالية:

1. إذا كان مستطيلاً طوله (أ) وعرضه (ب) متساويان.
2. إذا كان معينًا له أقطار متساوية الطول وأربع زوايا قائمة.

تتضمن خصائص المربع جميع الخصائص التي تمت مناقشتها مسبقًا والمتعلقة بالمستطيل ، بالإضافة إلى ما يلي:

1. الأقطار متعامدة مع بعضها البعض (خاصية المعين).
2. نقطة التقاطع تتزامن مع مركز الدائرة المنقوشة.
3. يقسم كلا القطرين الشكل الرباعي إلى أربعة مثلثات متطابقة قائمة الزاوية ومثلثات متساوية الساقين.

فيما يلي بعض الصيغ المستخدمة بشكل متكرر لـ حساب محيط ومساحة وعناصر مربع:

• قطري د = أ √2.
• المحيط P = 4 أ.
• المنطقة S = a².
• نصف قطر الدائرة المحصورة هو نصف القطر: R = 0.5 a √2.
• يُعرَّف نصف قطر الدائرة المنقوشة بنصف طول ضلعها: r = a / 2.

عينة من الأسئلة والمهام

دعنا نحلل بعض الأسئلة التي قد تواجهها عند دراسة الرياضيات في المدرسة ، ونحل بعض المشكلات البسيطة.

مهمة 1. كيف ستتغير مساحة المستطيل إذا تضاعف طول أضلاعه ثلاث مرات؟

المحلول : دعنا نشير إلى مساحة الشكل الأصلي على أنها S0 ، ومساحة الشكل الرباعي بثلاثة أضعاف طول الأضلاع - S1. وفقًا للصيغة التي تم بحثها سابقًا ، نحصل على: S0 = ab. الآن دعنا نزيد الطول والعرض بمقدار 3 مرات ونكتب: S1 = 3 a 3 b = 9 ab. بمقارنة S0 و S1 ، يصبح من الواضح أن المنطقة الثانية أكبر 9 مرات من الأولى.

السؤال 1. هل الشكل الرباعي ذو الزوايا القائمة مربع؟

المحلول : يستنتج من التعريف أن الشكل ذي الزوايا القائمة يكون مربعًا فقط إذا كانت أطوال جميع جوانبه متساوية. خلاف ذلك ، فإن الشكل هو مستطيل.

المهمة 2. تشكل أقطار المستطيل زاوية قياسها 60 درجة. عرض المستطيل هو 8. احسب ما هو القطر.

المحلول:تذكر أن الأقطار تنقسم بنقطة التقاطع. وبالتالي ، فإننا نتعامل مع مثلث متساوي الساقين بزاوية عند الرأس تساوي 60 درجة. بما أن المثلث متساوي الساقين ، فإن زوايا القاعدة ستكون متساوية أيضًا. من خلال العمليات الحسابية البسيطة ، نتوصل إلى أن كل واحد منهم يساوي 60 درجة. ويترتب على ذلك أن المثلث متساوي الأضلاع. العرض الذي نعرفه هو قاعدة المثلث ، لذا فإن نصف القطر يساوي 8 أيضًا ، وطول القطر كله ضعف ذلك ويساوي 16.

السؤال 2. هل المستطيل له جميع الأضلاع متساوية أم لا؟

المحلول : يكفي أن نتذكر أن كل الأضلاع يجب أن تكون متساوية للمربع ، وهي حالة خاصة للمستطيل. في جميع الحالات الأخرى ، الشرط الكافي هو وجود 3 زوايا قائمة على الأقل. المساواة بين الأطراف ليست سمة إلزامية.

المهمة 3. مساحة المربع معروفة وتساوي 289. أوجد أنصاف أقطار الدوائر المنقوشة والمحددة.

المحلول : وفقًا لصيغ المربع ، سنجري العمليات الحسابية التالية:

• دعونا نحدد ما هي العناصر الرئيسية للمربع مساوية: أ = √ S = √289 = 17 ؛ د = أ 2 = 1 7√2.
• لنحسب ما يساوي نصف قطر الدائرة الموصوفة حول الشكل الرباعي: R = 0.5 d = 8.5√2.
• لنجد نصف قطر الدائرة المنقوشة: r = a / 2 = 17/2 = 8.5.

تعريف.متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية.

ملكية.في متوازي الأضلاع ، الأضلاع المتقابلة متساوية والزوايا المتقابلة متساوية.

ملكية.يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بواسطة نقطة التقاطع.

1 علامة متوازي الأضلاع.إذا كان ضلعان في الشكل الرباعي متساويين ومتوازيين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

2 علامة متوازي الأضلاع.إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

3 علامة متوازي الأضلاع.إذا تقاطعت الأقطار في الشكل الرباعي وكانت نقطة التقاطع منقسمة ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

تعريف.شبه المنحرف هو شكل رباعي يكون فيه جانبان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين. تسمى الجوانب المتوازية أسباب.

يسمى شبه المنحرف متساوي الساقينإذا كانت جوانبها متساوية. في شبه منحرف متساوي الساقين ، تكون الزوايا عند القاعدة متساوية.

مستطيلي.

خط الوسط شبه المنحرف. الخط الأوسط موازٍ للقاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

مستطيل

تعريف.

ملكية.قطري المستطيل متساويان.

علامة المستطيل.إذا تساوت أقطار متوازي الأضلاع ، فإن متوازي الأضلاع هو مستطيل.

تعريف.

ملكية.أقطار المعين متعامدة بشكل متبادل وتنصف زواياها.

تعريف.

المربع هو نوع معين من المستطيلات وأيضًا نوع معين من المعين. لذلك ، لها كل خصائصها.

الخصائص:
1. جميع أركان المربع صحيحة

يربّع جميع القواعد

الكلمات الدالة:
رباعي ، محدب ، مجموع الزوايا ، مساحة الشكل الرباعي

رباعييسمى الشكل ، والذي يتكون من أربع نقاط وأربعة أجزاء تربطهم على التوالي. في هذه الحالة ، لا ينبغي أن تقع ثلاث من هذه النقاط على خط مستقيم واحد ، ويجب ألا تتقاطع الأجزاء التي تربطها.

• يتم استدعاء رؤوس الرباعي المجاورة إذا كانت نهايات أحد جوانبها.
• القمم التي ليست جيران , اتصل عكس .
• تسمى المقاطع الخطية التي تربط الرؤوس المتقابلة للشكل الرباعي قطري .
• تسمى جوانب الشكل الرباعي التي تنشأ من نفس الرأس المجاورة حفلات.
• تسمى الجوانب التي ليس لها نهاية مشتركة عكس حفلات.
• الرباعي يسمى محدب ، إذا كان يقع في نصف مستوى واحد بالنسبة للخط المستقيم الذي يحتوي على أي من جوانبه.

أنواع الأشكال الرباعية

1. متوازي الاضلاع شكل رباعي متوازي الأضلاع المتقابلة
   • مستطيل متوازي الأضلاع مع جميع الزوايا القائمة
   • معين - متوازي أضلاع متساوية من جميع الجوانب
   • ميدان - مستطيل بجميع جوانبه متساوية
2. أرجوحة - شكل رباعي يكون فيه جانبان متوازيان والجانبان الآخران غير متوازيين
3. العضلة الدالية شكل رباعي يتساوى زوجا أضلاعه المتجاورة

المربعات

رباعييسمى الشكل ، والذي يتكون من أربع نقاط وأربعة أجزاء تربطهم على التوالي. في هذه الحالة ، لا توجد ثلاث من هذه النقاط على نفس الخط المستقيم ، ولا تتقاطع الأجزاء التي تربطها.

عكس. عكس.

أنواع الأشكال الرباعية

متوازي الاضلاع

متوازي الاضلاعيسمى شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية.

خصائص متوازي الأضلاع

• الجوانب المتقابلة متساوية
• الزوايا المتقابلة متساوية.
• مجموع مربعات الأقطار يساوي مجموع مربعات جميع الجوانب:

ميزات متوازي الأضلاع

أرجوحةيسمى الشكل الرباعي ، حيث يكون ضلعان متعاكسان متوازيان ، والآخران غير متوازيين.

تسمى الجوانب المتوازية من شبه منحرف به أسبابوالجوانب غير المتوازية الجوانب.يسمى الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف من الجانبين خط الوسط.

يسمى شبه المنحرف متساوي الساقين(أو متساوي الساقين) إذا كانت جوانبها متساوية.

يسمى شبه منحرف بزاوية قائمة واحدة مستطيلي.

خصائص شبه منحرف

علامات شبه منحرف

مستطيل

مستطيليسمى متوازي الأضلاع إذا كانت جميع الزوايا قائمة.

خصائص المستطيل

ميزات المستطيل

متوازي الأضلاع هو مستطيل إذا:

1. أحد أركانه صحيح.
2. أقطارها متساوية.

معينيسمى متوازي الأضلاع إذا كانت جميع الأضلاع متساوية.

خصائص المعين

• جميع خصائص متوازي الأضلاع.
• الأقطار متعامدة.

علامات المعين

ميدانيسمى المستطيل الذي فيه جميع الجوانب متساوية.

خصائص مربعة

• جميع أركان المربع صحيحة ؛
• أقطار المربع متساوية ، متعامدة بشكل متبادل ، ونقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين ، وزوايا المربع مقسمة إلى نصفين.

لافتات مربعة

الصيغ الأساسية

S = د 1 د 2 الخطيئة

متوازي الاضلاع
أو ب-الأطراف المجاورة - الزاوية بينهما ح ا -من الارتفاع إلى الجانب أ.

S = أب الخطيئة

S = د 1 د 2 الخطيئة

أرجوحة
أو ب- أسباب ح-المسافة بينهما ل-خط الوسط .

مستطيل

S = د 1 د 2 الخطيئة

S = a 2 sin

S = د 1 د 2

ميدان
د- قطري.

www.univer.omsk.su

خصائص الأشكال الرباعية. أنواع الأشكال الرباعية. خصائص الأشكال الرباعية التعسفية. خصائص متوازي الأضلاع. خصائص المعين. خصائص المستطيل. خصائص مربعة. خصائص شبه منحرف. حوالي 7-9 صف (13-15 سنة)

خصائص الأشكال الرباعية. أنواع الأشكال الرباعية. خصائص الأشكال الرباعية التعسفية.
خصائص متوازي الأضلاع. خصائص المعين. خصائص المستطيل. خصائص مربعة. خصائص شبه منحرف.

أنواع الأشكال الرباعية:

• متوازي الاضلاعشكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية

• معينهو متوازي أضلاع متساوية في جميع جوانبه.

• مستطيلهو متوازي أضلاع بجميع الزوايا القائمة.

• ميدانهو مستطيل متساوي الأضلاع.

خصائص الأشكال الرباعية التعسفية:

خصائص متوازي الأضلاع:

خصائص المعين:

خصائص المستطيل:

خصائص المربع:

خصائص ترابيز:

الاستشارات والتقنية
دعم الموقع: فريق زافاركا

يربّع جميع القواعد

هندسة غير إقليدية ، هندسة مشابهة للهندسة إقليدسمن حيث أنها تحدد حركة الأشكال ، ولكنها تختلف عن الهندسة الإقليدية في أن أحد افتراضاتها الخمسة (الثاني أو الخامس) يتم استبداله بنفيها. كان إنكار أحد المسلمات الإقليدية (1825) حدثًا مهمًا في تاريخ الفكر ، لأنه كان بمثابة الخطوة الأولى نحو نظرية النسبية.

تنص الفرضية الثانية لإقليدس على ذلك يمكن تمديد أي جزء خطي إلى أجل غير مسمى. من الواضح أن إقليدس يعتقد أن هذا الافتراض يحتوي أيضًا على بيان أن الخط المستقيم له طول لانهائي. لكن في الهندسة "الإهليلجية" ، يكون أي خط مستقيم محدود ومغلق مثل الدائرة.

تنص الفرضية الخامسة على أنه إذا تقاطع خط مع خطين معينين بحيث تكون الزاويتان الداخليتان على جانب واحد منه أقل من زاويتين قائمتين في المجموع ، فإن هذين الخطين ، إذا تم تمديدهما إلى أجل غير مسمى ، سيتقاطعان على الجانب حيث مجموع هذه الزوايا أقل من مجموع خطين مستقيمين. ولكن في الهندسة "الزائدية" ، قد يوجد خط CB (انظر الشكل) ، عمودي عند النقطة C على خط معين r ويتقاطع مع خط آخر s بزاوية حادة عند النقطة B ، ولكن ، مع ذلك ، الخطوط اللانهائية r و لن تتقاطع أبدًا.

من هذه الافتراضات المنقحة ، يتبين أن مجموع زوايا المثلث ، يساوي 180 درجة في الهندسة الإقليدية ، أكبر من 180 درجة في الهندسة الإهليلجية وأقل من 180 درجة في الهندسة الزائدية.

رباعي

رباعيهو مضلع يحتوي على أربعة رؤوس وأربعة جوانب.

رباعي، شكل هندسي - مضلع بأربع زوايا ، وكذلك أي كائن ، جهاز من هذا الشكل.

يتم استدعاء جانبين غير متجاورين من الشكل الرباعي عكس.يسمى أيضًا رأسان غير متجاورين عكس.

المربعات محدبة (مثل ABCD) و
غير محدب (أ 1 ب 1 ج 1 د 1).

أنواع الأشكال الرباعية

• متوازي الاضلاع- شكل رباعي تكون فيه جميع الأضلاع المتقابلة متوازية ؛
• مستطيل- رباعي الأضلاع مع جميع الزوايا القائمة ؛
• معين- شكل رباعي تتساوى فيه جميع الأطراف ؛
• ميدان- شكل رباعي تكون فيه جميع الزوايا قائمة وجميع الجوانب متساوية ؛
• أرجوحة- شكل رباعي مع ضلعين متقابلين متوازيين ؛
• العضلة الداليةشكل رباعي يتساوى زوجا أضلاعه المتجاورة.

متوازي الاضلاع

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية.

متوازي الأضلاع (من متوازي الأضلاع اليونانية - متوازي وخط غرام) أي تكمن على خطوط متوازية. الحالات الخاصة لمتوازي الأضلاع هي المستطيل والمربع والمعين.

• الجوانب المتقابلة متساوية
• الزوايا المتقابلة متساوية.
• تنقسم أقطار نقطة التقاطع إلى نصفين ؛
• مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد هو 180 درجة ؛
• مجموع مربعات الأقطار يساوي مجموع مربعات جميع الأضلاع.

الرباعي هو متوازي أضلاع إذا:

1. ضلعاها المتقابلان متساويان ومتوازيان.
2. الأضلاع المتقابلة متساوية في أزواج.
3. الزوايا المتقابلة متساوية في أزواج.
4. تنقسم أقطار نقطة التقاطع إلى نصفين.

مستطيل

المستطيل متوازي أضلاع بكل زوايا قائمة.

• الجوانب المتقابلة متساوية
• الزوايا المتقابلة متساوية.
• تنقسم أقطار نقطة التقاطع إلى نصفين ؛
• مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد هو 180 درجة ؛
• الأقطار متساوية.

متوازي الأضلاع هو مستطيل إذا:

1. أحد أركانه صحيح.
2. أقطارها متساوية.

المعين هو متوازي أضلاع تتساوى فيه جميع الجوانب.

• الجوانب المتقابلة متساوية
• الزوايا المتقابلة متساوية.
• تنقسم أقطار نقطة التقاطع إلى نصفين ؛
• مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد هو 180 درجة ؛
• مجموع مربعات الأقطار يساوي مجموع مربعات جميع الجوانب ؛
• الأقطار متعامدة.
• الأقطار هي منصف زواياها.

متوازي الأضلاع هو معين إذا:

1. ضلعاها المتجاوران متساويان.
2. أقطارها متعامدة.
3. أحد الأقطار هو منصف زاويته.

المربع هو مستطيل تتساوى فيه جميع الأضلاع.

• جميع أركان المربع صحيحة ؛
• أقطار المربع متساوية ، متعامدة بشكل متبادل ، ونقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين ، وزوايا المربع مقسمة إلى نصفين.

1. المستطيل هو مربع إذا كان له بعض خصائص المعين.

شبه المنحرف هو شكل رباعي يكون فيه ضلعان متعاكسان متوازيان والآخران غير متوازيين.

تسمى الجوانب المتوازية لشبه منحرف بقواعدها ، وتسمى الجوانب غير المتوازية جوانبها. يسمى الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف من الجانبين خط الوسط.

يسمى شبه المنحرف متساوي الساقين (أو متساوي الساقين) إذا كانت جوانبه متساوية.

يسمى شبه المنحرف بزاوية قائمة واحدة شبه منحرف قائم الزاوية.

• خطها الأوسط موازٍ للقواعد ويساوي نصف مجموعها ؛
• إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين ، فإن أقطارها متساوية والزوايا عند القاعدة متساوية ؛
• إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين ، فيمكن وصف دائرة حوله ؛
• إذا كان مجموع الأسس مساويًا لمجموع الأضلاع ، فيمكن عندئذٍ كتابة دائرة فيه.

1. الرباعي هو شبه منحرف إذا كانت أضلاعه المتوازية غير متساوية

العضلة الداليةشكل رباعي له زوجان من الأضلاع لهما نفس الطول. على عكس متوازي الأضلاع ، زوجان من الأضلاع المتجاورة غير متساويين ، لكن هناك زوجان من الأضلاع المتجاورة. الدالية على شكل طائرة ورقية.

• الزوايا بين الجوانب ذات الطول غير المتساوي متساوية.
• تتقاطع أقطار العضلة الدالية (أو امتداداتها) بزوايا قائمة.
• يمكن نقش دائرة في أي دالية محدبة ، بالإضافة إلى ذلك ، إذا لم تكن العضلة الدالية معينًا ، فهناك دائرة أخرى مماس لتمديدات جميع الجوانب الأربعة. بالنسبة إلى العضلة الدالية غير المحدبة ، يمكن للمرء أن يبني مماسًا دائريًا لجانبين أكبر وامتدادات لجانبين أصغر ، وظلًا دائريًا لجانبين أصغر وامتدادات لجانبين أكبر.

• إذا كانت الزاوية بين الجوانب غير المتساوية للدالية عبارة عن خط مستقيم ، فيمكن عندئذٍ كتابة دائرة فيها (الدالية الموصوفة).
• إذا كان زوج من الأضلاع المتقابلة من العضلة الدالية متساويًا ، فإن مثل هذا الدالية يكون معينًا.
• إذا كان زوج من الأضلاع المتقابلة وكلا قطري الدالية متساويين ، فإن العضلة الدالية تكون مربعة. الدالية المنقوشة ذات الأقطار المتساوية هي أيضًا مربع.

يعود ظهور الهندسة إلى العصور القديمة وكان بسبب الاحتياجات العملية للنشاط البشري (الحاجة إلى قياس الأرض ، وقياس أحجام الأجسام المختلفة ، وما إلى ذلك).

أبسط المعلومات والمفاهيم الهندسية كانت معروفة في مصر القديمة. خلال هذه الفترة ، تمت صياغة البيانات الهندسية في شكل قواعد أعطيت دون دليل.

من القرن السابع قبل الميلاد ه. إلى القرن الأول الميلادي ه. تطورت الهندسة كعلم بسرعة في اليونان القديمة. خلال هذه الفترة ، لم يحدث فقط تراكم المعلومات الهندسية المختلفة ، ولكن أيضًا تم وضع منهجية لإثبات البيانات الهندسية ، وبُذلت المحاولات الأولى لصياغة الأحكام الأولية الأساسية (البديهيات) للهندسة ، والتي من خلالها العديد من الأشكال الهندسية المختلفة. البيانات مشتقة من التفكير المنطقي البحت. ينعكس مستوى تطور الهندسة في اليونان القديمة في أعمال "بدايات" إقليدس.

في هذا الكتاب ، ولأول مرة ، جرت محاولة لإعطاء بناء منهجي للقياس على أساس المفاهيم والبديهيات الهندسية الأساسية غير المحددة (المسلمات).

تحتل الفرضية الخامسة لإقليدس مكانة خاصة في تاريخ الرياضيات (بديهية الخطوط المتوازية). لفترة طويلة ، حاول علماء الرياضيات دون جدوى استنباط الفرضية الخامسة من بقية افتراضات إقليدس ، وفقط في منتصف القرن التاسع عشر ، بفضل دراسات ن. لا يمكن اشتقاق الفرضية الخامسة من الباقي ، ونظام البديهيات الذي اقترحه إقليدس ليس الوحيد الممكن.

كان لـ "العناصر" لإقليدس تأثير كبير على تطور الرياضيات. لأكثر من ألفي عام ، لم يكن هذا الكتاب مجرد كتاب مدرسي في الهندسة ، بل كان أيضًا بمثابة نقطة انطلاق للعديد من الدراسات الرياضية ، ونتيجة لذلك نشأت فروع جديدة مستقلة للرياضيات.

عادة ما يتم تنفيذ البناء المنتظم للهندسة وفقًا للخطة التالية:

أنا.يتم سرد المفاهيم الهندسية الرئيسية ، والتي يتم تقديمها بدون تعريفات.

ثانيًا.تم تقديم صياغة لمسلمات الهندسة.

ثالثا.على أساس البديهيات والمفاهيم الهندسية الأساسية ، تتم صياغة المفاهيم والنظريات الهندسية الأخرى.

1. أصل اسم الهندسة غير الإقليدية؟
2. ما هي الأشكال التي تسمى الأشكال الرباعية؟
3. خصائص متوازي الأضلاع؟
4. أنواع الأشكال الرباعية؟

قائمة المصادر المستخدمة

1. اي جي. تسيبكين. كتيب الرياضيات
2. "امتحان الدولة الموحد 2006. الرياضيات. المواد التعليمية والتدريبية لإعداد الطلاب / Rosobrnadzor، ISOP - M.: Intellect-Center، 2006 "
3. Mazur K. I. "حل المشكلات التنافسية الرئيسية في الرياضيات للمجموعة من تحرير M.I.Scanavi"

العمل على الدرس

يمكنك طرح سؤال حول التعليم الحديث أو التعبير عن فكرة أو حل مشكلة ملحة في منتدى التعليمحيث يلتقي دوليًا مجلس تعليمي للفكر والعمل الجديد. بعد أن خلقت مقالات،لن تقوم فقط بتحسين حالتك كمعلم كفء ، ولكن ستقدم أيضًا مساهمة كبيرة في تطوير مدرسة المستقبل. نقابة قادة التعليميفتح الباب أمام كبار المتخصصين ويدعوكم للتعاون في اتجاه إنشاء أفضل المدارس في العالم.

جمع:

• المادة 282 - التحريض على الكراهية أو العداء وإهانة كرامة الإنسان
• حاسبة ضريبة ممتلكات الشركات كيفية حساب ضريبة ممتلكات الشركات تم تغيير نموذج حساب المدفوعات المقدمة. بدءًا من إعداد التقارير للنصف الأول من عام 2017 ، حساب ضريبة ممتلكات الشركات [...]
• قوانين البيئة لأكثر من 100 عام من الدراسة الشاملة للسكان والمجتمعات ، تراكمت كمية هائلة من الحقائق. من بينها - عدد كبير يعكس ظواهر وعمليات عشوائية أو غير منتظمة. لكن لا […]
• خيارات توفير المعاشات التقاعدية في نظام التأمين الإلزامي للمعاشات التقاعدية حتى نهاية عام 2015 ، يمكن للمواطنين المولودين في 1967 وأصغر أن يختاروا: الاستمرار في تكوين مدخرات معاشات تقاعدية أو [...]
• قرار من وزارة الزراعة 549 مسجل لدى وزارة العدل في الاتحاد الروسي في 5 مارس 2009 رقم 13476 وزارة الزراعة بالاتحاد الروسي مؤرخ في 16 ديسمبر 2008 رقم 532 بشأن الموافقة على تصنيف خطر الحريق الطبيعي. الغابات و [...]
• زيادة المعاشات التقاعدية للأطفال ذوي الإعاقة من 1 يناير 2018 توفير المعاشات التقاعدية للمواطنين هو التزام على الدولة. جاء ذلك في قانون قوانين الدولة - في الدستور. من بين المعوقين الذين يحتاجون [...]
• قاعدة النظام الداخلي لأمر "RUSSIAN RAILWAYS" الصادر عن JSC RZD JSC بتاريخ 26 يوليو 2012 رقم 87 بشأن الموافقة على قواعد تنظيم العمل الداخلي للخدمات الإقليمية (القسم) لتطوير اتصالات الركاب و [...]
• ينطلق قانون 3 مراحل للكونت الوضعية كحركة فلسفية من فكرة أن الجزء الأكبر من المعرفة حول العالم والإنسان والمجتمع يتم الحصول عليه في العلوم الخاصة ، وأن العلم "الإيجابي" يجب أن يتخلى عن المحاولات [...]

اليوم سننظر في الشكل الهندسي - رباعي الأضلاع. من اسم هذا الشكل يتضح بالفعل أن هذا الشكل له أربع زوايا. لكن بقية خصائص وخصائص هذا الشكل ، سننظر فيها أدناه.

ما هو الشكل الرباعي

الشكل الرباعي هو مضلع يتكون من أربع نقاط (رؤوس) وأربعة أجزاء (جوانب) تربط هذه النقاط في أزواج. مساحة الشكل الرباعي تساوي نصف حاصل ضرب أقطارها والزاوية بينهما.

الشكل الرباعي هو مضلع له أربعة رؤوس ، ثلاثة منها لا تقع على نفس الخط.

أنواع الأشكال الرباعية

• يسمى الشكل الرباعي الذي يكون ضلعه المتقابلان متوازيين متوازي الأضلاع.
• الشكل الرباعي الذي يكون فيه ضلعان متعاكسان متوازيين والآخران لا يسمى شبه منحرف.
• الشكل الرباعي بجميع زواياه القائمة هو مستطيل.
• الشكل الرباعي المتساوي الأضلاع هو المعين.
• يُطلق على الشكل الرباعي الذي تتساوى فيه جميع الأضلاع وتكون جميع الزوايا قائمة على مربع.

يمكن أن يكون الرباعي:

النفس المتقاطعة

غير محدب

محدب

رباعي التقاطع الذاتيهو شكل رباعي حيث يوجد نقطة تقاطع في أي من جوانبها (باللون الأزرق في الشكل).

رباعي الأضلاع غير محدبشكل رباعي حيث تكون إحدى زواياه الداخلية أكثر من 180 درجة (مشار إليه باللون البرتقالي في الشكل).

مجموع الزواياأي رباعي لا يتقاطع مع نفسه دائمًا يساوي 360 درجة.

أنواع خاصة من الأشكال الرباعية

يمكن أن يكون للمربعات خصائص إضافية ، وتشكل أنواعًا خاصة من الأشكال الهندسية:

• متوازي الاضلاع
• مستطيل
• ميدان
• أرجوحة
• العضلة الدالية
• متوازي الأضلاع

رباعي ودائرة

شكل رباعي محاط بدائرة (دائرة منقوشة في شكل رباعي).

الملكية الرئيسية للرباعي المحصور:

يمكن حصر الشكل الرباعي حول دائرة إذا وفقط إذا كانت مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متساوية.

شكل رباعي محفور في دائرة (دائرة منقوشة حول شكل رباعي الأضلاع)

الملكية الرئيسية لرباعي محفور:

يمكن كتابة الشكل الرباعي في دائرة إذا كان مجموع الزوايا المقابلة 180 درجة فقط.

خصائص طول الضلع الرباعي

معامل فرق أي ضلع من أضلاع الشكل الرباعيلا يتجاوز مجموع الجانبين الآخرين.

| أ - ب | ≤ ج + د

| أ - ج | ≤ ب + د

| أ - د | ≤ ب + ج

| ب - ج | ≤ أ + د

| ب - د | ≤ أ + ب

| ج - د | ≤ أ + ب

مهم. المتباينة صحيحة لأي مجموعة من أضلاع الشكل الرباعي. تم توفير الرقم فقط لسهولة الفهم.

في أي رباعي مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة لا يقل عن طول الضلع الرابع.

مهم. عند حل المشكلات داخل المناهج الدراسية ، يمكنك استخدام عدم المساواة الصارمة (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

تعريف.متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية.

ملكية.في متوازي الأضلاع ، الأضلاع المتقابلة متساوية والزوايا المتقابلة متساوية.

ملكية.يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بواسطة نقطة التقاطع.

1 علامة متوازي الأضلاع.إذا كان ضلعان في الشكل الرباعي متساويين ومتوازيين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

2 علامة متوازي الأضلاع.إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

3 علامة متوازي الأضلاع.إذا تقاطعت الأقطار في الشكل الرباعي وكانت نقطة التقاطع منقسمة ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

تعريف.شبه المنحرف هو شكل رباعي يكون فيه جانبان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين. تسمى الجوانب المتوازية أسباب.

يسمى شبه المنحرف متساوي الساقينإذا كانت جوانبها متساوية. في شبه منحرف متساوي الساقين ، تكون الزوايا عند القاعدة متساوية.

يسمى شبه منحرف بزاوية قائمة واحدة مستطيلي.

يسمى الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف من الجانبين خط الوسط شبه المنحرف. الخط الأوسط موازٍ للقاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

تعريف.المستطيل متوازي أضلاع بكل زوايا قائمة.

ملكية.قطري المستطيل متساويان.

علامة المستطيل.إذا تساوت الأقطار في متوازي الأضلاع ، فإن هذا متوازي الأضلاع هو مستطيل.

تعريف.المعين هو متوازي أضلاع تتساوى فيه جميع الجوانب.

ملكية.أقطار المعين متعامدة بشكل متبادل وتنصف زواياها.

تعريف.المربع هو مستطيل تتساوى فيه جميع الأضلاع.

المربع هو نوع معين من المستطيلات وأيضًا نوع معين من المعين. لذلك ، لها كل خصائصها.

الخصائص:
1. جميع أركان المربع صحيحة

2. أقطار المربع متساوية ، متعامدة بشكل متبادل ، ونقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين ، وزوايا المربع مقسمة إلى نصفين.

بأربع زوايا وأربعة جوانب. يتكون الشكل الرباعي من خط متعدد مغلق ، يتكون من أربعة روابط ، وذلك الجزء من المستوى الموجود داخل متعدد الخطوط.

يتكون تصميم الشكل الرباعي من الأحرف الموجودة في رؤوسه ، وتسميتها بالترتيب. على سبيل المثال ، يقولون أو يكتبون: رباعي الأضلاع ا ب ت ث :

في شكل رباعي ا ب ت ثنقاط أ, ب, جو د- هذا هو القمم الرباعية، شرائح AB, قبل الميلاد, قرص مضغوطو DA - الجوانب.

يتم استدعاء القمم التي تنتمي إلى نفس الجانب المجاورة، يتم استدعاء الرؤوس غير المتجاورة عكس:

في شكل رباعي ا ب ت ثالقمم أو ب, بو ج, جو د, دو أمتجاورة ، والرؤوس أو ج, بو د- عكس. تسمى الزوايا الواقعة على الرؤوس المجاورة أيضًا بالمجاورة ، وعند الرءوس المتقابلة - المعاكسة.

يمكن أيضًا تقسيم أضلاع الشكل الرباعي إلى أزواج إلى أضلاع متجاورة ومتقابلة: تسمى الأضلاع التي لها رأس مشترك المجاورة(أو ذات صلة) ، الجوانب التي لا تحتوي على رؤوس مشتركة - عكس:

حفلات ABو قبل الميلاد, قبل الميلادو قرص مضغوط, قرص مضغوطو DA, DAو ABمتجاورة ، والجوانب ABو العاصمة, ميلاديو قبل الميلاد- عكس.

إذا كانت الرؤوس المعاكسة متصلة بواسطة مقطع ، فسيتم استدعاء هذا المقطع قطري الشكل الرباعي. بالنظر إلى أنه لا يوجد سوى زوجين من الرؤوس المتقابلة في الشكل الرباعي ، فلا يمكن أن يكون هناك سوى قطرين:

شرائح تيار مترددو BD- الأقطار.

ضع في اعتبارك الأنواع الرئيسية للأشكال الرباعية المحدبة:

• أرجوحة- شكل رباعي يكون فيه أحد الأضلاع المتقابلة متوازيًا والآخر غير متوازي.
  • شبه منحرف متساوي الساقين- شبه منحرف جوانبها متساوية.
  • شبه منحرف مستطيلشبه منحرف بإحدى الزوايا القائمة.
• متوازي الاضلاعشكل رباعي يكون فيه كلا الزوجين من الضلعين المتقابلين متوازيين.
  • مستطيلمتوازي أضلاع تتساوى فيه جميع الزوايا.
  • معينمتوازي أضلاع متساوية في جميع الجوانب.
  • ميدانمتوازي أضلاع متساوي الأضلاع والزوايا. يمكن أن يكون كل من المستطيل والمعين مربعًا.

خصائص ركن الأشكال الرباعية المحدبة

جميع الأشكال الرباعية المحدبة لها الخاصيتان التاليتان:

1. أي زاوية داخلية أقل من 180 درجة.
2. مجموع الزوايا الداخلية 360 درجة.