التسلسل الرقمي حسابي وهندسي. المتوالية الحسابية والهندسية

إذا كان لكل عدد طبيعي ن تطابق عدد حقيقي ن ، ثم يقولون أنه أعطى تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , ن , . . . .

لذا، فإن التسلسل الرقمي هو دالة للوسيطة الطبيعية.

رقم أ 1 مُسَمًّى الحد الأول من المتتابعة ، رقم أ 2 — الحد الثاني من المتتابعة ، رقم أ 3 — ثالث وما إلى ذلك وهلم جرا. رقم ن مُسَمًّى العضو n في التسلسل ، وعدد طبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين ن و ن +1 عضو التسلسل ن +1 مُسَمًّى تالي (تجاه ن )، أ ن — سابق (تجاه ن +1 ).

لتحديد تسلسل، تحتاج إلى تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو في التسلسل بأي رقم.

في كثير من الأحيان يتم تحديد التسلسل باستخدام صيغ المصطلح n ، وهي صيغة تسمح لك بتحديد عضو في التسلسل من خلال رقمه.

على سبيل المثال،

يمكن إعطاء سلسلة من الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

ن= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل صيغة متكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في المتوالية، ابتداءً من البعض، مروراً بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 1 ، أ ن +1 = ن + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

لو أ 1= 1, 2 = 1, ن +2 = ن + ن +1 , ومن ثم يتم تحديد الحدود السبعة الأولى من التسلسل الرقمي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

2 = 1,

أ 3 = أ 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون تسلسلات أخير و بلا نهاية .

يسمى التسلسل ذروة إذا كان لديه عدد محدود من الأعضاء. يسمى التسلسل بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

أخير.

تسلسل الأعداد الأولية:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

يسمى التسلسل في ازدياد إذا كان كل عضو من أعضائه ابتداء من الثاني أكبر من الذي قبله.

يسمى التسلسل متناقص إذا كان كل عضو من أعضائه ابتداء من الثاني أقل من سابقه.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . - تسلسل متزايد؛

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . - تسلسل تنازلي. ◄

يسمى التسلسل الذي لا تنخفض عناصره مع زيادة العدد، أو على العكس من ذلك، لا تزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الرتيبة، على وجه الخصوص، هي تسلسلات متزايدة وتسلسلات متناقصة.

المتوالية العددية

المتوالية العددية هو تسلسل يكون فيه كل عضو، بدءًا من الثاني، مساويًا للعضو السابق، والذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , ن, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ن +1 = ن + د,

أين د - عدد معين .

وبالتالي، فإن الفرق بين الحدود اللاحقة والسابقة لتقدم حسابي معين يكون دائمًا ثابتًا:

2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = ن +1 - ن = د.

رقم د مُسَمًّى اختلاف التقدم الحسابي.

لتحديد التقدم الحسابي، يكفي الإشارة إلى الحد الأول والفرق.

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 3, د = 4 ، فنجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة كما يلي:

أ 1 =3,

2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للحصول على متوالية حسابية مع الفصل الأول أ 1 والفرق د ها ن

ن = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين للمتتابعة الحسابية

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ن-1 = أ 1 + (ن- 2)د،

ن= أ 1 + (ن- 1)د،

ن +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

كل عضو في المتوالية الحسابية، ابتداء من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام a وb وc هي حدود متتالية لبعض التقدم الحسابي إذا وفقط إذا كان أحدها يساوي الوسط الحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

ن = 2ن- 7 ، هو التقدم الحسابي.

دعونا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ن = 2ن- 7,

ن-1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

ن+1 = 2(ن+ 1) - 7 = 2ن- 5.

لذلك،

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على الحد العاشر للتقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة ك

ن = ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن كتابتها

5 = أ 1 + 4د,

5 = 2 + 3د,

5 = أ 3 + 2د,

5 = أ 4 + د. ◄

ن = ن ك + دينار كويتي,

ن = ن+ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أي عضو في المتوالية الحسابية، بدءًا من الثاني، يساوي نصف مجموع الأعضاء المتباعدة بشكل متساوٍ في هذه المتوالية الحسابية.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأي تقدم حسابي، فإن المساواة التالية تحمل:

أ م + أ ن = أ ك + أ ل,

م + ن = ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28؛

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

س ن= أ 1 + أ 2 + أ 3 + . . .+ ن,

أولاً ن شروط التقدم الحسابي تساوي منتج نصف مجموع الحدود المتطرفة وعدد الحدود:

من هنا، على وجه الخصوص، يترتب على ذلك أنه إذا كنت بحاجة إلى جمع الحدود

ك, ك +1 , . . . , ن,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة ببنيتها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي، ثم الكميات أ 1 , ن, د, نوس ن متصلة بواسطة صيغتين:

لذلك، إذا تم إعطاء قيم ثلاث من هذه الكميات، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• لو د > 0 ، فهو في ازدياد؛
• لو د < 0 ، فهو يتناقص؛
• لو د = 0 ، فإن التسلسل سيكون ثابتا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية هو تسلسل يكون فيه كل عضو بدءًا من الثاني يساوي العضو السابق مضروبًا في نفس العدد.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تقدم هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · س,

أين س ≠ 0 - عدد معين .

وبالتالي، فإن نسبة الحد اللاحق لمتوالية هندسية معينة إلى الحد السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = س.

رقم س مُسَمًّى مقام التقدم الهندسي.

لتحديد المتوالية الهندسية، يكفي الإشارة إلى حدها الأول ومقامها.

على سبيل المثال،

لو ب 1 = 1, س = -3 ، فنجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة كما يلي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · س = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · س= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · س= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · س= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والقاسم س ها ن يمكن العثور على الحد العاشر باستخدام الصيغة:

ب ن = ب 1 · Qn -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع للمتتالية الهندسية 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, س = 2,

ب 7 = ب 1 · س 6 = 1 2 6 = 64. ◄

ب ن-1 = ب 1 · Qn -2 ,

ب ن = ب 1 · Qn -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · Qn,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

فكل عضو في المتوالية الهندسية ابتداء من الثاني يساوي الوسط الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقة واللاحقة.

وبما أن العكس صحيح أيضاً، فإن العبارة التالية تقول:

الأرقام a وb وc هي حدود متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدها يساوي حاصل ضرب الرقمين الآخرين، أي أن أحد الأرقام هو الوسط الهندسي للرقمين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطاة بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعونا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

لذلك،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) · (-3 · 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت القول المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على الحد الرابع للتقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي عضو سابق ب ك ، وهو ما يكفي لاستخدام الصيغة

ب ن = ب ك · Qn - ك.

على سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن كتابتها

ب 5 = ب 1 · س 4 ,

ب 5 = ب 2 · س 3,

ب 5 = ب 3 · س 2,

ب 5 = ب 4 · س. ◄

ب ن = ب ك · Qn - ك,

ب ن = ب ن - ك · س ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

فمربع أي حد من المتتابعة الهندسية ابتداء من الثاني يساوي حاصل ضرب حدود هذا المتوالية على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأي تقدم هندسي، تكون المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الهندسي

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · س 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

س ن= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أولاً ن أعضاء التقدم الهندسي مع القاسم س ≠ 0 تحسب بواسطة الصيغة:

وعندما س = 1 - حسب الصيغة

س ن= ملحوظة: 1

لاحظ أنه إذا كنت بحاجة إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

على سبيل المثال،

في التقدم الهندسي 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تقدم هندسي، ثم الكميات ب 1 , ب ن, س, نو س ن متصلة بواسطة صيغتين:

لذلك، إذا تم إعطاء قيم أي ثلاث من هذه الكميات، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للحصول على متوالية هندسية مع الفصل الأول ب 1 والقاسم س يحدث ما يلي خصائص الرتابة :

• ويتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و س> 1;

ب 1 < 0 و 0 < س< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < س< 1;

ب 1 < 0 و س> 1.

لو س< 0 ، فإن المتوالية الهندسية تتناوب: حدودها ذات الأعداد الفردية لها نفس إشارة حدها الأول، والحدات ذات الأعداد الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

المنتج الأول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي باستخدام الصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي

تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي يسمى متوالية هندسية لا نهائية معامل مقامها أقل 1 ، إنه

|س| < 1 .

لاحظ أن المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي قد لا تكون متوالية متناقصة. يناسب هذه المناسبة

1 < س< 0 .

مع هذا المقام، فإن التسلسل يتناوب. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي قم بتسمية الرقم الذي يقترب منه مجموع الأعداد الأولى بلا حدود ن أعضاء التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين المتوالية الحسابية والهندسية

ترتبط التقدمات الحسابية والهندسية ارتباطًا وثيقًا. دعونا ننظر إلى مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، الذي - التي

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - التقدم الهندسي مع القاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - التقدم الهندسي مع القاسم س ، الذي - التي

سجل أ ب 1, سجل أ ب 2, سجل أ ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق سجل أس .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . - التقدم الهندسي مع القاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق إل جي 6 . ◄

فيدا ذ= F(س), سعن ن, أين ن- مجموعة من الأعداد الطبيعية (أو دالة للوسيطة الطبيعية)، يُشار إليها ذ=F(ن) أو ذ 1 ,ذ 2 ,…, ذ ن،…. قيم ذ 1 ,ذ 2 ,ذ 3 ,… يُطلق عليهم على التوالي الأعضاء الأول والثاني والثالث ... أعضاء التسلسل.

على سبيل المثال، بالنسبة للوظيفة ذ= ن 2 يمكن كتابتها:

ذ 1 = 1 2 = 1;

ذ 2 = 2 2 = 4;

ذ 3 = 3 2 = 9;…ص ن = ن 2 ;…

طرق تحديد التسلسلات.يمكن تحديد التسلسلات بطرق مختلفة، من بينها ثلاث طرق ذات أهمية خاصة: التحليلية والوصفية والمتكررة.

1. يتم إعطاء التسلسل تحليلياً إذا تم إعطاء صيغته نالعضو الرابع :

ذ ن=F(ن).

مثال. ذ ن= 2ن - 1 – تسلسل الأرقام الفردية: 1، 3، 5، 7، 9، ...

2. وصفي طريقة تحديد تسلسل رقمي هي توضيح العناصر التي تم بناء التسلسل منها.

مثال 1. "جميع حدود التسلسل تساوي 1." هذا يعني أننا نتحدث عن تسلسل ثابت 1، 1، 1، …، 1، ….

مثال 2: "يتكون التسلسل من جميع الأعداد الأولية بترتيب تصاعدي." وبالتالي فإن التسلسل المعطى هو 2، 3، 5، 7، 11، …. باستخدام هذه الطريقة لتحديد التسلسل في هذا المثال، من الصعب الإجابة على ما يساوي، على سبيل المثال، العنصر رقم 1000 من التسلسل.

3. الطريقة المتكررة لتحديد التسلسل هي تحديد قاعدة تسمح لك بالحساب ن-العضو الرابع في المتوالية إذا كان أعضاؤها السابقون معروفين. اسم الطريقة المتكررة يأتي من الكلمة اللاتينية متكرر- عد. في أغلب الأحيان، في مثل هذه الحالات، تتم الإشارة إلى صيغة تسمح لك بالتعبير نالعضو الرابع في التسلسل من خلال الأعضاء السابقة، وحدد 1-2 عضوًا أوليًا في التسلسل.

مثال 1. ذ 1 = 3; ص ن = ذ ن-1 + 4 إذا ن = 2, 3, 4,….

هنا ذ 1 = 3; ذ 2 = 3 + 4 = 7;ذ 3 = 7 + 4 = 11; ….

يمكنك أن ترى أن التسلسل الذي تم الحصول عليه في هذا المثال يمكن أيضًا تحديده تحليليًا: ذ ن= 4ن - 1.

مثال 2. ذ 1 = 1; ذ 2 = 1; ذ ن = ذ ن –2 + ذ ن-1 إذا ن = 3, 4,….

هنا: ذ 1 = 1; ذ 2 = 1; ذ 3 = 1 + 1 = 2; ذ 4 = 1 + 2 = 3; ذ 5 = 2 + 3 = 5; ذ 6 = 3 + 5 = 8;

تتم دراسة التسلسل في هذا المثال بشكل خاص في الرياضيات لأنه يحتوي على عدد من الخصائص والتطبيقات المثيرة للاهتمام. يطلق عليه اسم تسلسل فيبوناتشي، الذي سمي على اسم عالم الرياضيات الإيطالي في القرن الثالث عشر. من السهل جدًا تحديد تسلسل فيبوناتشي بشكل متكرر، ولكنه صعب جدًا من الناحية التحليلية. نيتم التعبير عن رقم فيبوناتشي الرابع من خلال رقمه التسلسلي بالصيغة التالية.

للوهلة الأولى، صيغة نيبدو رقم فيبوناتشي غير قابل للتصديق، حيث أن الصيغة التي تحدد تسلسل الأعداد الطبيعية تحتوي فقط على جذور تربيعية، ولكن يمكنك التحقق "يدويًا" من صحة هذه الصيغة للأرقام القليلة الأولى ن.

خصائص التسلسلات العددية.

التسلسل الرقمي هو حالة خاصة من الوظائف العددية، لذلك يتم أخذ عدد من خصائص الوظائف في الاعتبار أيضًا للتسلسلات.

تعريف . التبعية ( ذ ن} وتسمى زيادة إذا كان كل حد من حدودها (ما عدا الأول) أكبر من الذي قبله:

ذ 1 ذ 2 ذ 3 ذ ن ذ ن +1

التعريف.التسلسل ( ذ ن} ويسمى تناقصاً إذا كان كل حد من حدوده (ما عدا الأول) أقل من الحد الذي قبله:

ذ 1 > ذ 2 > ذ 3 > … > ذ ن> ذ ن +1 > … .

يتم الجمع بين التسلسلات المتزايدة والتناقصية تحت المصطلح الشائع - التسلسلات الرتيبة.

مثال 1. ذ 1 = 1; ذ ن= ن 2 – تزايد التسلسل .

وبالتالي، فإن النظرية التالية صحيحة (خاصية مميزة للتقدم الحسابي). يعتبر التسلسل الرقمي حسابيًا إذا وفقط إذا كان كل عضو من أعضائه، باستثناء الأول (والأخير في حالة التسلسل المحدود)، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

مثال. بأي قيمة سأرقام 3 س + 2, 5س- 4 و 11 س+ 12 تشكل تقدما حسابيا محدودا؟

وفقا للخاصية المميزة، يجب أن تحقق التعبيرات المعطاة العلاقة

5س – 4 = ((3س + 2) + (11س + 12))/2.

حل هذه المعادلة يعطي س= –5,5. بهذه القيمة سالتعبيرات المعطاة 3 س + 2, 5س- 4 و 11 س+ 12 خذ على التوالي القيم -14.5، –31,5, –48,5. هذه متوالية حسابية، والفرق بينها هو -17.

المتوالية الهندسية.

متتابعة عددية جميع حدودها غير صفر وكل حد منها ابتداء من الثاني يتم الحصول عليه من الحد السابق بالضرب في نفس العدد س، ويسمى التقدم الهندسي، والرقم س- مقام التقدم الهندسي.

وبالتالي، فإن التقدم الهندسي هو تسلسل رقمي ( ب ن) ، يتم تعريفها بشكل متكرر من خلال العلاقات

ب 1 = ب, ب ن = ب ن –1 س (ن = 2, 3, 4…).

(بو ف –أرقام معينة, ب ≠ 0, س ≠ 0).

مثال 1. 2، 6، 18، 54، ... - زيادة التقدم الهندسي ب = 2, س = 3.

مثال 2. 2، -2، 2، -2، ... – المتوالية الهندسية ب= 2,س= –1.

مثال 3. 8، 8، 8، 8، … – المتوالية الهندسية ب= 8, س= 1.

التقدم الهندسي هو تسلسل متزايد إذا ب 1 > 0, س> 1، والتناقص إذا ب 1 > 0, 0 ف

إحدى الخصائص الواضحة للمتتالية الهندسية هي أنه إذا كانت المتوالية متوالية هندسية، فإن المتوالية المربعة كذلك أيضًا، أي.

ب 1 2 , ب 2 2 , ب 3 2 , …, ب ن 2,... هي متوالية هندسية حدها الأول يساوي ب 1 2 ، والمقام هو س 2 .

معادلة ن-الحد العاشر من التقدم الهندسي له الشكل

ب ن= ب 1 qn– 1 .

يمكنك الحصول على صيغة لمجموع حدود التقدم الهندسي المحدود.

دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا

ب 1 ,ب 2 ,ب 3 , …, ب ن

يترك س ن –مجموع أعضائها، أي.

س ن= ب 1 + ب 2 + ب 3 + … +ب ن.

ومن المقبول ذلك سرقم 1. لتحديد س نيتم استخدام تقنية صناعية: حيث يتم إجراء بعض التحولات الهندسية للتعبير س ن ف.

س ن ف = (ب 1 + ب 2 + ب 3 + … + ب ن –1 + ب ن)س = ب 2 + ب 3 + ب 4 + …+ ب ن+ ب ن ف = س ن+ ب ن ف– ب 1 .

هكذا، س ن ف= س ن +ب ن ف - ب 1 وبالتالي

هذه هي الصيغة مع الأمة ن شروط التقدم الهندسيللحالة عندما س≠ 1.

في س= 1 لا يلزم اشتقاق الصيغة بشكل منفصل؛ فمن الواضح أنه في هذه الحالة س ن= أ 1 ن.

وسمي المتتابع هندسيا لأن كل حد فيه ما عدا الأول يساوي الوسط الهندسي للحدين السابق واللاحق. بالفعل منذ ذلك الحين

مليار = مليار- 1 س؛

مليار = مليار + 1 /س،

لذلك، ب ن 2=مليار– 1 مليار+ 1 والنظرية التالية صحيحة (خاصية مميزة للتقدم الهندسي):

التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي إذا وفقط إذا كان مربع كل حد من حدوده، باستثناء الأول (والأخير في حالة التسلسل المحدود)، يساوي حاصل ضرب الحدود السابقة واللاحقة.

حد الاتساق.

يجب أن يكون هناك تسلسل ( ج ن} = {1/ن}. وتسمى هذه المتتابعة التوافقية، لأن كل حد منها ابتداء من الثاني هو الوسط التوافقي بين الحدين السابق واللاحق. الوسط الهندسي للأرقام أو بهناك رقم

وإلا فإن التسلسل يسمى متباعدا.

وبناء على هذا التعريف يمكن، على سبيل المثال، إثبات وجود النهاية أ = 0للتسلسل التوافقي ( ج ن} = {1/ن). دع ε يكون رقمًا موجبًا صغيرًا بشكل تعسفي. يعتبر الفرق

هل يوجد شيء كهذا؟ نهذا للجميع ن ≥ نعدم المساواة 1 يحمل /ن ؟ إذا اعتبرناها كذلك نأي عدد طبيعي أكبر من 1/ε ، ثم للجميع ن ≥ نعدم المساواة 1 يحمل /ن ≥ 1/ ن ε , Q.E.D.

قد يكون إثبات وجود حد لتسلسل معين أمرًا صعبًا للغاية في بعض الأحيان. تمت دراسة التسلسلات الأكثر تكرارًا جيدًا وتم إدراجها في الكتب المرجعية. هناك نظريات مهمة تسمح لك باستنتاج أن تسلسلًا معينًا له حد (وحتى حسابه)، بناءً على تسلسلات تمت دراستها بالفعل.

النظرية 1. إذا كان للتسلسل نهاية، فهو محدود.

النظرية 2. إذا كانت المتتابعة رتيبة ومحدودة، فإن لها نهاية.

النظرية 3. إذا كان التسلسل ( ن} لديه حد أثم المتتاليات ( يستطيع}, {ن+ ج) و (| ن|} لها حدود كاليفورنيا, أ +ج, |أ| وفقا لذلك (هنا ج- عدد التعسفي).

نظرية 4. إذا كانت التسلسلات ( ن} و ( ب ن) لها حدود تساوي أو ب مِقلاة + qbn) له حد السلطة الفلسطينية+ كيو بي.

نظرية 5. إذا كانت التسلسلات ( ن) و ( ب ن) لها حدود تساوي أو بوفقا لذلك، ثم التسلسل ( أ ن ب ن) له حد أ.ب.

نظرية 6. إذا كانت التسلسلات ( ن} و ( ب ن) لها حدود تساوي أو بوفقا لذلك، وبالإضافة إلى ذلك، ب ن ≠ 0 و ب≠ 0 ثم التسلسل ( أ ن / ب ن) له حد أ/ب.

آنا تشوجينوفا

يتعامل بعض الناس مع كلمة "التقدم" بحذر، باعتبارها مصطلحًا معقدًا جدًا من فروع الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزال موجودا). وفهم الجوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "الحصول على الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.

تسلسل الأرقام الرياضية

عادة ما يسمى التسلسل الرقمي بسلسلة من الأرقام، كل منها له رقم خاص به.

1 هو العضو الأول في التسلسل؛

و2 هو الحد الثاني من المتتابعة؛

و7 هو العضو السابع في التسلسل؛

و n هو العضو n في التسلسل؛

ومع ذلك، ليست أي مجموعة عشوائية من الأرقام والأعداد تهمنا. وسوف نركز اهتمامنا على المتتابعة العددية التي ترتبط فيها قيمة الحد النوني بعدده الترتيبي بعلاقة يمكن صياغتها رياضيا بشكل واضح. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي إحدى وظائف n.

a هي قيمة عضو في التسلسل العددي؛

n هو رقمه التسلسلي؛

f(n) هي دالة، حيث الرقم الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادةً ما يُطلق على التقدم الحسابي اسم التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد لاحق أكبر (أقل) من الحد السابق بنفس الرقم. صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي في التقدم الحسابي؛

ن+1 - صيغة الرقم التالي؛

د - الفرق (عدد معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d>0)، فإن كل عضو لاحق في السلسلة قيد النظر سيكون أكبر من العضو السابق، وسوف يتزايد هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه، من السهل معرفة سبب تسمية التسلسل الرقمي بـ "تزايد".

وفي الحالات التي يكون فيها الفرق سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحددة

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة أي حد تعسفي n للتقدم الحسابي. ويمكن القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء المتوالية الحسابية بشكل تسلسلي، بدءاً من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك، فإن هذا المسار ليس مقبولًا دائمًا، على سبيل المثال، إذا كان من الضروري العثور على قيمة الحد خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سوف تستغرق الحسابات التقليدية الكثير من الوقت. ومع ذلك، يمكن دراسة تقدم حسابي محدد باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للحد النوني: يمكن تحديد قيمة أي حد من المتوالية الحسابية على أنها مجموع الحد الأول من المتتابعة مع فرق المتتابعة مضروبًا في عدد الحد المطلوب مختزلًا بمقدار واحد.

الصيغة عالمية لزيادة وخفض التقدم.

مثال لحساب قيمة مصطلح معين

دعونا نحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة الحد النوني للتقدم الحسابي.

الحالة: يوجد تقدم حسابي مع المعلمات:

الحد الأول من التسلسل هو 3؛

الفرق في سلسلة الأرقام هو 1.2.

المهمة: تحتاج إلى إيجاد قيمة 214 مصطلحًا

الحل: لتحديد قيمة حد معين، نستخدم الصيغة:

أ(ن) = أ1 + د(ن-1)

باستبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير، لدينا:

أ(214) = أ1 + د(ن-1)

أ(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الإجابة: الحد 214 من المتتابعة يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - الحل بأكمله لا يستغرق أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من المصطلحات

في كثير من الأحيان، في سلسلة حسابية معينة، من الضروري تحديد مجموع قيم بعض قطاعاتها. للقيام بذلك، ليست هناك حاجة أيضًا لحساب قيم كل مصطلح ثم جمعها. تنطبق هذه الطريقة إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. وفي حالات أخرى، يكون من الملائم أكثر استخدام الصيغة التالية.

مجموع حدود المتتابعة الحسابية من 1 إلى n يساوي مجموع الحدين الأول والنوني مضروبًا في عدد الحد n مقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة الحد n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة، نحصل على:

مثال للحساب

على سبيل المثال، دعونا نحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من المتتابعة هو صفر؛

الفرق هو 0.5.

تتطلب المشكلة تحديد مجموع حدود المتسلسلة من 56 إلى 101.

حل. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مقدار التقدم:

ق(ن) = (2∙أ1 + د∙(ن-1))∙ن/2

أولاً، نحدد مجموع قيم 101 حدًا للتقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

من الواضح أنه من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

وبالتالي فإن مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال، نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - عداد التاكسي (عداد سيارة الأجرة). دعونا نفكر في هذا المثال.

تبلغ تكلفة ركوب سيارة الأجرة (التي تشمل مسافة 3 كيلومترات) 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعونا نتخلص من أول 3 كيلومترات، والتي يتم تضمين سعرها في تكلفة الهبوط.

30 - 3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو - عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منها الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هو المبلغ.

الحد الأول في هذه المشكلة سيكون مساوياً لـ 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

الرقم الذي يهمنا هو قيمة الحد (27+1) من المتتابعة الحسابية - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر السابع والعشرين هي 27.999... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل تعسفي على صيغ تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام سلاسل الأرقام المختلفة بنجاح في الإحصاء والمجالات التطبيقية الأخرى في الرياضيات.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

يتميز التقدم الهندسي بمعدلات تغيير أكبر مقارنة بالتقدم الحسابي. وليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة، على سبيل المثال، مرض أثناء الوباء، يقولون إن العملية تتطور في تقدم هندسي.

يختلف الحد N من سلسلة الأرقام الهندسية عن الحد السابق من حيث أنه مضروب في بعض الأرقام الثابتة - المقام، على سبيل المثال، الحد الأول هو 1، والمقام يساوي 2، ثم:

ن=1: 1 ∙ 2 = 2

ن=2: 2 ∙ 2 = 4

ن=3: 4 ∙ 2 = 8

ن=4: 8 ∙ 2 = 16

ن=5: 16 ∙ 2 = 32،

ب ن - قيمة الحد الحالي للتقدم الهندسي؛

ب ن+1 - صيغة الحد التالي من التقدم الهندسي؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم، فإن التقدم الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما هو الحال في الحساب، فإن التقدم الهندسي له صيغة لقيمة حد عشوائي. أي حد نوني من التقدم الهندسي يساوي حاصل ضرب الحد الأول ومقام التقدم إلى قوة n مخصومًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي حيث الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. دعونا نجد الحد الخامس من التقدم

ب 5 = ب 1 ∙ ف (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من المصطلحات باستخدام صيغة خاصة. مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي يساوي الفرق بين منتج الحد n للتقدم ومقامه والحد الأول للتقدم، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:

إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه، فإن قيمة مجموع حدود n الأولى من سلسلة الأرقام قيد النظر سوف تأخذ الشكل:

مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالحد الأول الذي يساوي 1. والمقام مضبوط على 3. فلنوجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3280

التسلسلات الرقمية

التقدم الحسابي والهندسي

إذا كان لكل عدد طبيعي نالرقم مطابق Xن، ثم يقولون أنه أعطى تسلسل رقمي X 1, X 2, …, Xن, ….

تدوين تسلسل الأرقام {X ن } .

وفي الوقت نفسه الأرقام X 1, X 2, …, Xن، ... وتسمى أعضاء التسلسل .

الطرق الأساسية لتحديد التسلسلات الرقمية

1. إحدى الطرق الأكثر ملاءمة هي ضبط التسلسل صيغة مصطلحها المشترك : Xن = F(ن), ن Î ن.

على سبيل المثال، Xن = ن 2 + 2ن+ 3 ص X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. تحويل مباشر عدد محدود من الأعضاء الأوائل.

على سبيل المثال، https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. علاقة تكرارية ، أي صيغة تعبر عن الحد n من خلال الحد السابق أو أكثر.

على سبيل المثال، بالقرب من فيبوناتشيتسمى سلسلة من الأرقام

1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، … والتي يتم تحديدها بشكل متكرر:

X 1 = 1, X 2 = 1, Xن+1 = xn + xn–1 (ن = 2, 3, 4, …).

العمليات الحسابية على المتتابعات

1. المجموع (الفرق) تسلسل ( أن) و ( مليار cn } = { ان ± مليار}.

2. العملتسلسل ( أن) و ( مليار) يسمى التسلسل ( cn } = { ان× مليار}.

3. خاصتسلسل ( أن) و ( مليار }, مليار¹ 0، يسمى التسلسل ( cn } = { ان×/ مليار}.

خصائص التسلسلات العددية

1. التسلسل ( Xن) يسمى يحدها فوق م نعدم المساواة صحيح Xن £ م.

2. التسلسل ( Xن) يسمى يحدها أدناه، إذا كان هذا العدد الحقيقي موجودا موالتي لجميع القيم الطبيعية نعدم المساواة صحيح Xن ³ م.

3. التسلسل ( Xن) يسمى في ازدياد نعدم المساواة صحيح Xن < Xن+1.

4. التسلسل ( Xن) يسمى متناقص، إذا كان لجميع القيم الطبيعية نعدم المساواة صحيح Xن > Xن+1.

5. التسلسل ( Xن) يسمى غير متزايدة، إذا كان لجميع القيم الطبيعية نعدم المساواة صحيح Xن ³ Xن+1.

6. التسلسل ( Xن) يسمى غير متناقصة، إذا كان لجميع القيم الطبيعية نعدم المساواة صحيح Xن £ Xن+1.

تسمى المتتابعات المتزايدة، المتناقصة، غير المتزايدة، غير المتناقصة رتيبمتوالية مع الزيادة والنقصان - رتيبة تماما.

التقنيات الأساسية المستخدمة عند فحص تسلسل الرتابة

1. استخدام التعريف.

أ) بالنسبة للتسلسل قيد الدراسة ( Xن) يتم الفرق

Xن – Xن+1، ثم نكتشف ما إذا كان هذا الاختلاف يحتفظ بإشارة ثابتة لأي منها ن Î ن، وإذا كان الأمر كذلك، أي واحد بالضبط. اعتمادا على هذا، يتم التوصل إلى استنتاج حول رتابة (عدم الرتابة) للتسلسل.

ب) لتسلسل الإشارة الثابتة ( Xن) يمكن للمرء أن يشكل علاقة Xن+1/Xنومقارنتها بواحدة.

إذا كان هذا الموقف أمام الجميع نأكبر من واحد، فبالنسبة للتسلسل الإيجابي الصارم، يتم الاستنتاج بأنه يتزايد، وبالنسبة للتسلسل السلبي الصارم، فإنه يتناقص على التوالي.

إذا كان هذا الموقف أمام الجميع نلا يقل عن واحد، ثم بالنسبة للتسلسل الإيجابي الصارم، يتم الاستنتاج بأنه غير متناقص، وبالنسبة للتسلسل السلبي الصارم، فهو غير متزايد.

إذا كانت هذه هي العلاقة في بعض الأرقام نأكبر من واحد، ولأعداد أخرى نأقل من واحد، وهذا يدل على الطبيعة غير الرتيبة للتسلسل.

2. انتقل إلى وظيفة الوسيطة الحقيقية.

فليكن من الضروري فحص تسلسل رقمي للرتابة

أن = F(ن), ن Î ن.

دعونا نقدم وظيفة الحجة الحقيقية X:

F(X) = أ(X), X³ 1,

وفحصها للرتابة.

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق في الفترة المعنية، فإننا نوجد مشتقتها ونفحص الإشارة.

إذا كانت المشتقة موجبة، تزيد الدالة.

إذا كانت المشتقة سالبة، فإن الدالة تنخفض.

وبالعودة إلى القيم الطبيعية للوسيطة، فإننا نوسع هذه النتائج إلى التسلسل الأصلي.

رقم أمُسَمًّى حد التسلسل Xن، إذا كان هناك رقم طبيعي لأي رقم موجب صغير بشكل تعسفي e ن، وهو لجميع الأرقام ن > نعدم المساواة راض | xn – أ | < e.

حساب المبلغ ن الشروط الأولى للتسلسل

1. عرض الحد العام للمتتابعة في شكل فرق بين تعبيرين أو أكثر بحيث يتم عند الاستبدال تقليل معظم الحدود الوسيطة ويتم تبسيط المجموع بشكل كبير.

2. لفحص وإثبات الصيغ الموجودة لإيجاد مجموع الحدود الأولى للمتتابعات، يمكن استخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

3. يمكن اختزال بعض المسائل المتعلقة بالمتتابعات إلى مسائل تتضمن متوالية حسابية أو هندسية.

المتوالية الحسابية والهندسية

الطرق الأساسية لحل مشاكل التقدم

1. إحدى طرق الحل الأكثر شيوعًا مشاكل في التقدم الحسابي هو أن جميع شروط التقدم المتضمنة في حالة المشكلة يتم التعبير عنها من خلال اختلاف التقدم د أ دو أ 1.

2. واسعة الانتشار وتعتبر طريقة حل قياسية مشاكل التقدم الهندسي ، عندما يتم التعبير عن جميع أعضاء المتوالية الهندسية التي تظهر في بيان المشكلة من خلال مقام المتوالية سوأي واحد من أعضائها، في أغلب الأحيان الأول ب 1. بناءً على ظروف المشكلة، يتم تجميع وحل نظام مجهول سو ب 1.

أمثلة على حل المشكلات

المشكلة 1 .

التسلسل المعطى Xن = 4ن(ن 2 + 1) – (6ن 2+1). العثور على المبلغ سنأولاً نأعضاء هذا التسلسل.

حل. لنقم بتحويل التعبير الخاص بالعضو العام في التسلسل:

Xن = 4ن(ن 2 + 1) – (6ن 2 + 1) = 4ن 3 + 4ن – 6ن 2 – 1 = ن 4 – ن 4 + 4ن 3 – 6ن 2 + 4ن – 1 =

= ن 4 – (ن 4 – 4ن 3 + 6ن 2 – 4ن+ 1) = ن 4 – (ن – 1)4.

سن = س 1 + س 2 + س 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (ن 4 – (ن – 1)4) = ن 4.

المشكلة 2 .

التسلسل المعطى أن = 3ن+ 2..gif" width="429" height="45">.

من هنا، أ(3ن + 5) +ب(3ن + 2) = 1,

(3أ + 3ب)ن + (5أ + 2ب) = 1.

ن.

ن 1 | 3أ + 3ب = 0,

ن0 | 5 أ + 2ب = 1.

أ = 1/3, في = –1/3.

وبالتالي، https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " العرض = "39" الارتفاع = "41 src = "> أن. هل الرقم 1980 عضو في هذا التسلسل؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فحدد رقمها.

حل. دعنا نكتب الأوائل نأعضاء هذا التسلسل:

أ 1 = 2، https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

دعونا نضرب هذه المساواة:

أ 1أ 2أ 3أ 4أ 5…ان-2ان-1ان = أ 1أ 2أ 3أ 4أ 5…ان-2ان-1.

من هنا، ان = ن(ن + 1).

ثم 1980= ن(ن+ 1) Û ن 2 + ن– 1980 = 0 Û ن = –45 < 0, ن= 44 أو ن.

إجابة:نعم، ن = 44.

المشكلة 4 .

العثور على المبلغ س = أ 1 + أ 2 + أ 3 + … + أنأعداد أ 1, أ 2, أ 3, …,أن، والتي لأي طبيعي نإرضاء المساواة سن = أ 1 + 2أ 2 + 3أ 3 + … + نأن = .

حل. س 1 = أ 1 = 2/3.

ل ن > 1, نان = سن – سن–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

من هنا، =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">،

أ(ن + 1)(ن + 2) + مليار(ن + 2) + CN(ن + 1) = 1

(أ + ب + ج)ن 2 + (3أ + 2ب + ج)ن + 2أ = 1,

دعونا نساوي المعاملات في القوى المقابلة ن.

ن 2 | أ + ب + ج= 0,

ن 1 | 3أ + 2ب+ ج = 0,

ن0 | 2 أ = 1.

حل النظام الناتج، نحصل عليها أ = 1/2, في= -1، ج = 1/2.

لذا، https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">،

أين ، , ن > 1,

س¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

سˈː = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

س = أ 1 + أ 2 + أ 3 + … + أن = أ 1 +=

=أ 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

المشكلة 5 .

أوجد الحد الأكبر في المتتابعة .

حل. هيا نضع مليار = –ن 2 + 8ن – 7 = 9 – (ن – 4)2, .

قبل أن نبدأ في اتخاذ القرار مشاكل التقدم الحسابيلنفكر في ماهية التسلسل الرقمي، نظرًا لأن التقدم الحسابي هو حالة خاصة من التسلسل الرقمي.

التسلسل الرقمي عبارة عن مجموعة أرقام، لكل عنصر منها رقم تسلسلي خاص به. تسمى عناصر هذه المجموعة أعضاء التسلسل. تتم الإشارة إلى الرقم التسلسلي لعنصر التسلسل بواسطة فهرس:

العنصر الأول من التسلسل؛

العنصر الخامس من المتوالية؛

- العنصر "ن" من التسلسل، أي. عنصر "الوقوف في قائمة الانتظار" بالرقم n.

هناك علاقة بين قيمة عنصر التسلسل ورقمه التسلسلي. لذلك، يمكننا اعتبار التسلسل بمثابة دالة وسيطتها هي الرقم الترتيبي لعنصر التسلسل. وبعبارة أخرى، يمكننا أن نقول ذلك التسلسل هو وظيفة الحجة الطبيعية:

يمكن ضبط التسلسل بثلاث طرق:

1 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام الجدول.في هذه الحالة، نقوم ببساطة بتعيين قيمة كل عضو في التسلسل.

على سبيل المثال، قرر شخص ما أن يتولى إدارة الوقت الشخصي، وبادئ ذي بدء، احسب مقدار الوقت الذي يقضيه على فكونتاكتي خلال الأسبوع. ومن خلال تسجيل الوقت في الجدول، سيحصل على تسلسل يتكون من سبعة عناصر:

يشير السطر الأول من الجدول إلى عدد أيام الأسبوع، والثاني - الوقت بالدقائق. نرى أنه في يوم الاثنين قضى شخص ما 125 دقيقة على فكونتاكتي، أي يوم الخميس - 248 دقيقة، أي يوم الجمعة 15 دقيقة فقط.

2 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة الحد n.

في هذه الحالة، يتم التعبير عن اعتماد قيمة عنصر التسلسل على رقمه مباشرة في شكل صيغة.

على سبيل المثال، إذا، ثم

للعثور على قيمة عنصر تسلسل برقم معين، نعوض برقم العنصر في صيغة الحد n.

نحن نفعل الشيء نفسه إذا أردنا إيجاد قيمة دالة إذا كانت قيمة الوسيطة معروفة. نعوض بقيمة الوسيطة في معادلة الدالة:

إذا، على سبيل المثال، ، الذي - التي

اسمحوا لي أن أشير مرة أخرى إلى أنه في التسلسل، على عكس الدالة العددية العشوائية، يمكن أن تكون الوسيطة عددًا طبيعيًا فقط.

3 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة تعبر عن اعتماد قيمة رقم عضو التسلسل n على قيم الأعضاء السابقة. وفي هذه الحالة لا يكفي أن نعرف فقط رقم عضو التسلسل لنجد قيمته. نحن بحاجة إلى تحديد العضو الأول أو الأعضاء القليلة الأولى في التسلسل.

على سبيل المثال، النظر في التسلسل ,

يمكننا العثور على قيم أعضاء التسلسل في تسلسل، ابتداءً من الثالث:

وهذا يعني أنه في كل مرة، لإيجاد قيمة الحد النوني من المتتابعة، نعود إلى الحدين السابقين. تسمى هذه الطريقة لتحديد التسلسل متكرر، من الكلمة اللاتينية متكرر- عد.

الآن يمكننا تحديد التقدم الحسابي. التقدم الحسابي هو حالة خاصة بسيطة لتسلسل رقمي.

المتوالية العددية هي تسلسل عددي كل عضو فيه ابتداء من الثاني يساوي الذي قبله مضافا إلى نفس الرقم.

الرقم يسمى اختلاف التقدم الحسابي. يمكن أن يكون فرق التقدم الحسابي موجبًا أو سالبًا أو يساوي الصفر.

إذا كان العنوان = "d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} في ازدياد.

على سبيل المثال، 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛...

إذا كان كل حد من المتوالية الحسابية أقل من الذي قبله، ويكون المتوالية كذلك متناقص.

على سبيل المثال، 2؛ -1؛ -4؛ -7;...

إذا كانت جميع شروط التقدم تساوي نفس العدد، والتقدم هو ثابت.

على سبيل المثال، 2;2;2;2;...

الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي:

دعونا نلقي نظرة على الرسم.

نحن نرى ذلك

، وفي نفس الوقت

وبجمع هاتين المتساويتين نحصل على:

.

دعونا نقسم طرفي المساواة على 2:

إذن كل عضو في المتوالية الحسابية ابتداء من الثاني يساوي الوسط الحسابي للمتجاورتين:

علاوة على ذلك، منذ ذلك الحين

، وفي نفس الوقت

، الذي - التي

، وبالتالي

كل حد من المتتابعة الحسابية، يبدأ بالعنوان = "k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

صيغة المصطلح الخامس.

نرى أن شروط المتوالية الحسابية تحقق العلاقات التالية:

وأخيرا

حصلنا صيغة الحد n.

مهم!يمكن التعبير عن أي عضو في التقدم الحسابي من خلال و. بمعرفة الحد الأول وفرق المتتابعة الحسابية، يمكنك العثور على أي حد من حدوده.

مجموع حدود n للتقدم الحسابي.

في متوالية حسابية اعتباطية، يكون مجموع الحدود المتساوية البعد عن الحدود المتطرفة متساويًا مع بعضها البعض:

النظر في التقدم الحسابي مع شروط n. دع مجموع شروط هذا التقدم يساوي .

دعونا نرتب شروط التقدم أولاً بترتيب تصاعدي للأرقام، ثم بترتيب تنازلي:

دعونا نضيف في أزواج:

المجموع في كل قوس هو عدد الأزواج هو n.

نحن نحصل:

لذا، يمكن إيجاد مجموع الحدود n للتقدم الحسابي باستخدام الصيغ:

دعونا نفكر حل مسائل التقدم الحسابي.

1 . يتم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة الحد n: . أثبت أن هذه المتتابعة هي متوالية حسابية.

دعونا نثبت أن الفرق بين حدين متجاورين في المتتابعة يساوي نفس العدد.

لقد وجدنا أن الفرق بين عضوين متجاورين في التسلسل لا يعتمد على عددهما وهو ثابت. لذلك، بحكم التعريف، هذه التسلسل هو تقدم حسابي.

2 . نظرا للتقدم الحسابي -31؛ -27؛...

أ) ابحث عن 31 مصطلحًا للتقدم.

ب) تحديد ما إذا كان الرقم 41 متضمنًا في هذا التقدم.

أ)نحن نرى ذلك ؛

دعونا نكتب صيغة الحد النوني لتقدمنا.

على العموم

في حالتنا هذه ، لهذا