خصائص المنصف العمودي للقطعة. نقطة تقاطع المنصفات ونقطة تقاطع المنصفات العمودية للمثلث

هناك ما يسمى بأربع نقاط مميزة في المثلث: نقطة تقاطع المتوسطات. نقطة تقاطع المنصفات ونقطة تقاطع الارتفاعات ونقطة تقاطع المنصفات المتعامدة. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم.

نقطة تقاطع متوسطات المثلث

النظرية 1

عند تقاطع متوسطات المثلث: متوسطات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة وتقسم على نقطة التقاطع بنسبة $2:1$ بدءاً من قمة الرأس.

دليل.

خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$، حيث $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ هي متوسطاته. بما أن المتوسطات تقسم الجوانب إلى نصفين. لنفكر في الخط الأوسط $A_1B_1$ (الشكل 1).

الشكل 1. متوسطات المثلث

وفقًا للنظرية 1، $AB||A_1B_1$ و$AB=2A_1B_1$، وبالتالي، $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1،\\angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. وهذا يعني أن المثلثين $ABM$ و $A_1B_1M$ متشابهان حسب المعيار الأول لتشابه المثلثات. ثم

وكذا ثبت ذلك

لقد تم إثبات النظرية.

نقطة تقاطع منصفات المثلث

النظرية 2

عند تقاطع منصفات المثلث: منصفات المثلث تتقاطع في نقطة واحدة .

دليل.

خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$، حيث $AM,\BP,\CK$ هي منصفاته. لتكن النقطة $O$ هي نقطة تقاطع المنصفين $AM\ و\BP$. دعونا نرسم خطوطًا متعامدة من هذه النقطة على أضلاع المثلث (الشكل 2).

الشكل 2. منصفات المثلث

النظرية 3

كل نقطة من منصف الزاوية غير الناشئة تكون متساوية البعد عن ضلعيها.

حسب النظرية 3، لدينا: $OX=OZ,\OX=OY$. لذلك، $OY=OZ$. وهذا يعني أن النقطة $O$ متساوية البعد عن جانبي الزاوية $ACB$، وبالتالي تقع على منصفها $CK$.

لقد تم إثبات النظرية.

نقطة تقاطع المنصفات العمودية للمثلث

النظرية 4

تتقاطع المنصفات المتعامدة على جوانب المثلث عند نقطة واحدة.

دليل.

لنفترض أن المثلث $ABC$، $n,\m,\p$ منصفاته المتعامدة. لتكن النقطة $O$ هي نقطة تقاطع العمودين المتعامدين $n\ و\m$ (الشكل 3).

الشكل 3. المنصفات العمودية للمثلث

ولإثبات ذلك، نحتاج إلى النظرية التالية.

النظرية 5

كل نقطة من المنصف العمودي على القطعة تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.

حسب النظرية 3، لدينا: $OB=OC,\OB=OA$. لذلك، $OA=OC$. وهذا يعني أن النقطة $O$ متساوية البعد عن طرفي القطعة $AC$، وبالتالي تقع على منصفها المتعامد $p$.

لقد تم إثبات النظرية.

نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث

النظرية 6

تتقاطع ارتفاعات المثلث أو امتداداته عند نقطة واحدة.

دليل.

خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$، حيث $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ هو ارتفاعه. لنرسم خطًا مستقيمًا عبر كل رأس من رؤوس المثلث موازيًا للضلع المقابل للرأس. حصلنا على مثلث جديد $A_2B_2C_2$ (الشكل 4).

الشكل 4. مرتفعات المثلث

نظرًا لأن $AC_2BC$ و$B_2ABC$ متوازيان أضلاع لهما جانب مشترك، فإن $AC_2=AB_2$، أي أن النقطة $A$ هي نقطة المنتصف للضلع $C_2B_2$. وبالمثل، نجد أن النقطة $B$ هي نقطة منتصف الجانب $C_2A_2$، والنقطة $C$ هي نقطة منتصف الجانب $A_2B_2$. من البناء لدينا $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. لذلك، $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ هي المنصفات العمودية للمثلث $A_2B_2C_2$. ومن ثم، وفقًا للنظرية 4، لدينا أن الارتفاعات $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ تتقاطع عند نقطة واحدة.

لإعطاء فكرة عن فئة جديدة من المشاكل - بناء الأشكال الهندسية باستخدام البوصلة والمسطرة بدون تقسيمات الحجم.

التعريف بمفهوم GMT.

تعريف العمود المنصف وتعليم كيفية بنائه وإثبات نظرية المنصف العمودي ومعكوسه.

باستخدام نظام الرسم بالكمبيوتر "Compass-3D"، قم بتنفيذ الإنشاءات الهندسية، والتي يوصى بتنفيذها في دورة الهندسة باستخدام البوصلة والمسطرة.

النشرات (الملحق رقم 1)

غالبًا ما يتم حل المشكلات المتعلقة بالبناء باستخدام البوصلات والمسطرة بدون أقسام وفقًا لمخطط معين:

أنا. تحليل: ارسم الشكل المطلوب بشكل تخطيطي وقم بإنشاء اتصالات بين بيانات المهمة والعناصر المطلوبة.

ثانيا. بناء: حسب المخطط المخطط يتم البناء بالبوصلة والمسطرة.

ثالثا. دليل: إثبات أن الشكل المبني يحقق شروط المشكلة.

رابعا. يذاكر: إجراء دراسة لمعرفة ما إذا كان للمشكلة حل لأي بيانات معينة، وإذا كان الأمر كذلك، فما عدد الحلول الموجودة (لا يتم تنفيذها في جميع المشاكل).

فيما يلي بعض الأمثلة على مهام البناء الأولية التي سنأخذها في الاعتبار:

1. ضع جانبًا قطعة مساوية للقطعة المحددة (تمت دراستها مسبقًا).

2. بناء المنصف العمودي على القطعة:

بناء منتصف قطعة معينة؛
إنشاء خط يمر عبر نقطة معينة وعمودي على خط معين (قد تقع النقطة أو لا تقع على خط معين).

3. بناء منصف الزاوية.

4. تكوين زاوية مساوية للزاوية المعطاة.

المنصف العمودي لقطعة مستقيمة.

تعريف: المنصف العمودي على القطعة هو الخط الذي يمر بمنتصف القطعة ويتعامد عليها.

المهمة: "إنشاء المنصف العمودي على القطعة." عرض تقديمي

يا - الأوسط AB

وصف البناء ( الشريحة رقم 4):

شعاع أ؛ أ- بداية الشعاع

محيط (أ، ص = م)

الدائرة أ = ب؛ أ ب = م

الدائرة 1 (أ؛ ص 1 > م/2)

الدائرة 2 (ب؛ ص 1)

الدائرة 1 الدائرة 2 =

مينيسوتا. MN AB = 0، (MN = L)

حيث MN AB، O – منتصف AB

ثالثا. دليل(الشريحة رقم 5، 6)

1. فكر في AMN وBNM:

AM = MB=BN=AN=r 2، وبالتالي AM = BN، AN = BM MN – الجانب المشترك

(الشكل 3)

ولذلك، AMN = BNM (من 3 جوانب)،

لذلك

1= 2 (حسب تعريف المساواة)

3= 4 (حسب تعريف المساواة)

2. MAN وNBM متساوي الساقين (حسب التعريف) ->

1 = 4 و 3 = 2 (بخاصية متساوي الساقين)

3. من النقطتين 1 و 2 -> 1 = 3 وبالتالي فإن MO هو منصف متساوي الساقين AMB

4. وبهذا أثبتنا أن MN هو المنصف العمودي للقطعة AB

رابعا. يذاكر

هذه المشكلة لها حل فريد، لأن أي قطعة لها نقطة منتصف واحدة فقط، ومن خلال نقطة معينة يمكن رسم خط مستقيم واحد عمودي على النقطة المعطاة.

التعريف: مجموعة النقاط الهندسية (GMT) هي مجموعة من النقاط التي لها خاصية معينة. (الملحق رقم 2)

توقيت جرينتش الذي تعرفه:

المنصف العمودي للقطعة هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة.
منصف الزاوية - مجموعة من النقاط متساوية البعد عن جوانب الزاوية

لذلك دعونا نثبت النظرية:

النظرية: "كل نقطة من المنصف العمودي على القطعة تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة."

(الشكل 4)

المعطى: AB؛ MO – منصف عمودي

إثبات: AM = VM

دليل:

1. MO – المنصف العمودي (حسب الحالة) -> O – نقطة منتصف القطعة AB، MOAB

2. النظر في AMO وVMO - مستطيلة

مو - الساق العامة

AO = VO (O – منتصف AB) -> AMO = VMO (على قدمين) -> AM = VM (بحسب تعريف المثلثات المتساوية، كأضلاع متناظرة)

Q.E.D

الواجب المنزلي: "إثبات النظرية العكسية لهذه"

النظرية: "كل نقطة متساوية البعد عن طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي على هذه القطعة."

(الشكل 5)

المعطى: AB؛ MA = الجهد المتوسط

يثبت: النقطة M تقع على المنصف العمودي

دليل:

الذي - التي. MO هو المنصف العمودي الذي يحتوي على جميع النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة.

خاصية المنصفات المتعامدة على أضلاع المثلث

ويتقاطعان عند نقطة واحدة وهذه النقطة هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث والتي سندرسها في الصف الثامن.

ورشة عمل

المعدات المادية والتقنية:

التوزيع: 29,574 كيلو بايت

نظام التشغيل: ويندوز 9x/2000/XP

موقع الويب: http://www.ascon.ru

الآن دعنا ننقل البناء إلى البيئة الرسومية للكمبيوتر (الشريحة رقم 7)

يجب تطبيق المعرفة والمهارات المكتسبة مسبقًا على مهمة محددة. سترى أن البناء لن يستغرق وقتًا أطول من البناء في دفتر الملاحظات. من بين أمور أخرى، من المثير للاهتمام أن نرى كيف تنفذ بيئة الكمبيوتر الأوامر البشرية لبناء الأشكال المستوية. إليك الملحق رقم 3، الذي يصف خطوات البناء الخاصة بك بالتفصيل. حمل البرنامج وافتح رسم جديد ( الشريحة رقم 8, 9).

ارسم الكائنات الهندسية المحددة في بيان المشكلة: الشعاع أبدءا من نقطة أوالقطعة متساوية م- الطول التعسفي ( الشريحة رقم 10).

أدخل تسمية الشعاع، المقطع، بداية الشعاع في الرسم باستخدام علامة التبويب "أدوات" نص.

أنشئ دائرة نصف قطرها يساوي القطعة ممتمركزة في قمة الرأس عند نقطة معينة أ (الشريحة رقم 11).

ممع مركز في قمة الرأس نظرا للنقطة A ( الشريحة رقم 12، 13).

أنشئ دائرة نصف قطرها يساوي قطعة أكبر من 1/2 مللقيام بذلك، حدد العنصر " في قائمة سياق الرنمينبي بين نقطتين" (الشريحة رقم 14، 15، 16).

من خلال نقاط تقاطع الدوائر م و نرسم خط مستقيم ( الشريحة رقم 17،18).

كتب مستخدمة:

أوجرينوفيتش إن دي "المعلوماتية. الدورة الأساسية "الصف السابع. - م: بينوم – 2008 – 175 ص.
Ugrinovich ND "ورشة عمل حول علوم الكمبيوتر وتكنولوجيا المعلومات." درس تعليمي. - م: بينوم، 2004-2006. -
Ugrinovich ND "تدريس دورة "المعلوماتية وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات" في الصفوف الابتدائية والثانوية 8-11 م: مختبر BINOM للمعرفة ، 2008. - 180 ص.
Ugrinovich N.D. ورشة عمل للكمبيوتر على قرص مضغوط. - م: بينوم، 2004-2006.
بوغوسلافسكي أ.أ.، تريتياك تي.إم. فارافونوف أ.أ. "ورشة عمل البوصلة - ثلاثية الأبعاد v 5.11-8.0 للمبتدئين" - م: SOLON - PRESS، 2006 - 272 ص.
أتاناسيان إل إس، بوتوزوف في إف، كادومتسيف إس بي، وآخرون "الهندسة 7-9. الكتاب المدرسي للمدارس الثانوية” – م: التعليم 2006 – 384 ص.
أتاناسيان إل إس، بوتوزوف في إف، كادومتسيف إس بي وآخرون "دراسة الهندسة للصفوف 7-9. التوصيات المنهجية للكتاب المدرسي” – م: التربية 1997 – 255 ص.
أفاناسييفا تي إل، تابيلينا إل.إيه "خطط الدروس مبنية على الكتاب المدرسي للصف الثامن من تأليف Atanasyan L.S." - فولغوجراد "المعلم" 2010، 166 ص.

الملحق رقم 1

خطة لحل المسائل المتعلقة بالبناء باستخدام البوصلة والمسطرة.

تحليل.
بناء.
دليل.
يذاكر.

توضيح

عند إجراء التحليل، يتم رسم الشكل المطلوب بشكل تخطيطي ويتم إنشاء اتصال بين بيانات المهمة والعناصر المطلوبة.
وفقًا للخطة المخططة، يتم البناء باستخدام البوصلات والمسطرة.
لقد أثبتوا أن الشكل المبني يفي بشروط المشكلة.
يقومون بإجراء دراسة: هل للمشكلة حل لأي بيانات معينة، وإذا كان الأمر كذلك، كم عدد الحلول؟

أمثلة على مشاكل البناء الأولية

ضع جانبًا جزءًا مساويًا للجزء المحدد.
إنشاء المنصف العمودي على القطعة.
بناء نقطة المنتصف للقطعة.
أنشئ خطًا يمر عبر نقطة معينة وعموديًا على خط معين (قد تقع النقطة على خط معين وقد لا تقع).
بناء منصف الزاوية.
أنشئ زاوية مساوية للزاوية المعطاة.

الملحق رقم 2

المحل الهندسي للنقاط (GLP) هو مجموعة من النقاط التي لها خاصية معينة.

أمثلة بتوقيت جرينتش:

المنصف العمودي للقطعة هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة.
الدائرة عبارة عن مجموعة من النقاط متساوية البعد عن نقطة معينة - مركز الدائرة.
منصف الزاوية هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن ضلعي الزاوية.

كل نقطة من المنصف العمودي لقطعة ما تكون متساوية البعد عن طرفي تلك القطعة.

في الدرس السابق، تناولنا خصائص منصف الزاوية، سواء كان محصورًا في مثلث أو حرًا. يشتمل المثلث على ثلاث زوايا ولكل واحدة منها يتم الحفاظ على خصائص المنصف المعتبرة.

نظرية:

تتقاطع منصفات المثلث AA 1، BB 1، СС 1 عند نقطة واحدة O (الشكل 1).

أرز. 1. توضيح للنظرية

دليل:

دعونا نفكر أولاً في منصفين BB 1 وCC 1. يتقاطعان، نقطة التقاطع O موجودة. ولإثبات ذلك، لنفترض العكس: دع المنصفات المعطاة لا تتقاطع، وفي هذه الحالة تكون متوازية. إذن الخط المستقيم BC هو قاطع ومجموع زواياه هو وهذا يتناقض مع حقيقة أن مجموع زوايا المثلث بأكمله هو .

إذن، النقطة O من تقاطع منصفين موجودة. دعونا نفكر في خصائصه:

تقع النقطة O على منصف الزاوية، مما يعني أنها متساوية البعد عن ضلعيها BA وBC. إذا كان OK متعامدًا على BC، وOL متعامدًا مع BA، فإن أطوال هذه المتعامدين تكون متساوية - . كما أن النقطة O تقع على منصف الزاوية وهي متساوية البعد عن ضلعيها CB وCA، والعموديان OM وOK متساويان.

لقد حصلنا على المعادلات التالية:

أي أن المتعامدين الثلاثة الذين يسقطون من النقطة O على أضلاع المثلث متساوون مع بعضهم البعض.

نحن مهتمون بالمساواة بين العمودين OL وOM. تنص هذه المساواة على أن النقطة O متساوية البعد من جانبي الزاوية، ويترتب على ذلك أنها تقع على منصفها AA 1.

وبهذا نكون قد أثبتنا أن منصفات المثلث الثلاثة تتقاطع عند نقطة واحدة.

بالإضافة إلى ذلك، يتكون المثلث من ثلاثة أجزاء، مما يعني أننا يجب أن نأخذ في الاعتبار خصائص القطعة الفردية.

يتم إعطاء الجزء AB. أي قطعة لها نقطة منتصف، ويمكن رسم عمودي من خلالها - فلنرمز إليها بالرمز p. وبالتالي، p هو المنصف العمودي.

أرز. 2. رسم توضيحي للنظرية

أي نقطة تقع على المنصف العمودي تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.

أثبت ذلك (الشكل 2).

دليل:

النظر في المثلثات و . إنهما مستطيلان ومتساويان، لأن لهما ساقًا مشتركة OM، والساقان AO وOB متساويان بالشرط، وبالتالي لدينا مثلثان قائمان، متساويان في ساقين. ويترتب على ذلك أن أوتار المثلثات متساوية أيضًا، أي ما كان مطلوب إثباته.

النظرية العكسية صحيحة.

كل نقطة متساوية البعد من طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي على هذه القطعة.

بالنظر إلى القطعة AB، فإن منصفها المتعامد p، ونقطة M على مسافة متساوية من طرفي القطعة. أثبت أن النقطة M تقع على المنصف العمودي على القطعة (الشكل 3).

أرز. 3. توضيح للنظرية

دليل:

النظر في مثلث. وهو متساوي الساقين، حسب الشرط. خذ بعين الاعتبار متوسط المثلث: النقطة O هي منتصف القاعدة AB، وOM هي الوسيط. وفقًا لخاصية المثلث المتساوي الساقين، فإن الوسيط المرسوم على قاعدته هو ارتفاع ومنصف. إنه يتبع هذا . لكن الخط p متعامد أيضًا مع AB. نحن نعلم أنه عند النقطة O من الممكن رسم عمود واحد على القطعة AB، مما يعني أن الخطين OM وp يتطابقان، ويترتب على ذلك أن النقطة M تنتمي إلى الخط المستقيم p، وهو ما نحتاج إلى إثباته.

يمكن تعميم النظريات المباشرة والعكسية.

تقع النقطة على المنصف العمودي لقطعة ما إذا وفقط إذا كانت على مسافة متساوية من طرفي هذه القطعة.

لذا، دعونا نكرر أن هناك ثلاث قطع في المثلث، وتنطبق خاصية المنصف العمودي على كل منها.

نظرية:

تتقاطع المنصفات العمودية للمثلث عند نقطة واحدة.

يتم إعطاء مثلث. المتعامدون على أضلاعه: P 1 على الضلع BC، P 2 على الضلع AC، P 3 على الضلع AB.

أثبت أن المتعامدين P 1 و P 2 و P 3 يتقاطعون عند النقطة O (الشكل 4).

أرز. 4. توضيح للنظرية

دليل:

لننظر إلى منصفين متعامدين P 2 و P 3، يتقاطعان، ونقطة التقاطع O موجودة. دعونا نثبت هذه الحقيقة بالتناقض - دع العمودين P 2 و P 3 متوازيان. ثم تنعكس الزاوية، وهو ما يتناقض مع حقيقة أن مجموع زوايا المثلث الثلاث هو . إذن، هناك نقطة O عند تقاطع اثنين من المنصفات المتعامدة الثلاثة. خواص النقطة O: تقع على المنصف العمودي على الضلع AB، مما يعني أنها متساوية البعد عن طرفي القطعة AB: . كما أنها تقع على المنصف العمودي على الجانب AC، مما يعني . لقد حصلنا على المساواة التالية.

منصف عمودي (متوسط عموديأو com.mediatrix) - خط مستقيم عمودي على قطعة معينة ويمر بمنتصفها.

ملكيات

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2)، p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2)، p_c=\tfrac(2cS)( أ^2-ب^2+ج^2)،

حيث يشير الحرف المنخفض إلى الجانب الذي يتم رسم العمود عليه،

س

هي مساحة المثلث، ويفترض أيضًا أن أضلاعه مرتبطة بالمتباينات

أ\جيكسلانت ب\جيكسلانت ج.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

بمعنى آخر، أصغر منصف عمودي للمثلث ينتمي إلى القطعة الوسطى.

اكتب مراجعة عن مقالة "المنصف العمودي"

ملحوظات

مقتطف من وصف المنصف العمودي

توقف كوتوزوف عن المضغ، وحدق في Wolzogen بمفاجأة، كما لو أنه لم يفهم ما قيل له. قال Wolzogen، الذي لاحظ إثارة des alten Herrn، [الرجل العجوز (الألماني)] مبتسمًا:
- لم أعتبر نفسي يحق لي أن أخفي عن سيادتكم ما رأيته... القوات في حالة فوضى كاملة...
- هل رأيت؟ هل رأيت؟.. - صرخ كوتوزوف عابسًا، ونهض بسرعة وتقدم نحو فولزوجين. "كيف حالك... كيف تجرؤ!.." صرخ وهو يشير بإيماءات تهديد بالمصافحة والاختناق. - كيف تجرؤ يا سيدي العزيز أن تقول لي هذا؟ أنت لا تعرف شيئا. أخبر مني الجنرال باركلي أن معلوماته غير صحيحة وأن المسار الحقيقي للمعركة معروف لي أنا القائد الأعلى أكثر منه.
أراد Wolzogen الاعتراض، لكن Kutuzov قاطعه.
- يتم صد العدو من الجهة اليسرى وهزيمته من الجهة اليمنى. إذا لم تكن ترى جيداً، سيدي العزيز، فلا تسمح لنفسك أن تقول ما لا تعرف. قال كوتوزوف بصرامة: "من فضلك اذهب إلى الجنرال باركلي وأبلغه في اليوم التالي بنيتي المطلقة لمهاجمة العدو". كان الجميع صامتين، وكل ما يمكن سماعه هو التنفس الثقيل للجنرال العجوز الذي لاهث. لقد تم صدهم في كل مكان، وأنا أشكر الله وجيشنا الشجاع على ذلك". قال كوتوزوف وهو يعبر علامة الصليب: "لقد هُزِم العدو، وسنطرده غدًا من الأرض الروسية المقدسة". وفجأة بكى من الدموع التي جاءت. هز ولزوجين كتفيه وزم شفتيه، وابتعد بصمت إلى الجانب، متسائلًا عن "Eingenommenheit des alten Herrn". [في هذا الطغيان من الرجل العجوز. (ألمانية) ]
"نعم، ها هو، بطلي"، قال كوتوزوف للجنرال الوسيم ذو الشعر الأسود الذي كان يدخل التل في ذلك الوقت. كان Raevsky هو الذي قضى اليوم كله في النقطة الرئيسية في حقل بورودينو.
وذكر ريفسكي أن القوات كانت ثابتة في أماكنها وأن الفرنسيين لم يجرؤوا على الهجوم بعد الآن. وبعد الاستماع إليه قال كوتوزوف بالفرنسية:
– هل لا تفكر في ما يجب علينا فعله للتقاعد؟ [أنت لا تعتقد إذن، مثل الآخرين، أننا يجب أن نتراجع؟] براهين نظريات خواص الدائرة المحيطة بالمثلث

منصف عمودي على قطعة مستقيمة

التعريف 1. منصف عمودي على قطعةيسمى الخط المستقيم المتعامد مع هذه القطعة ويمر بمنتصفها (الشكل 1).

النظرية 1. تقع كل نقطة من المنصف العمودي على القطعة على نفس المسافة من النهايات هذا الجزء.

دليل . لنفكر في نقطة عشوائية D تقع على المنصف العمودي للقطعة AB (الشكل 2)، ونثبت أن المثلثين ADC وBDC متساويان.

في الواقع، هذه المثلثات هي مثلثات قائمة حيث الأرجل AC وBC متساوية، والساق DC شائعة. إن مساواة المثلثين ADC وBDC تعني مساواة المقطعين AD وDB. تم إثبات النظرية 1.

النظرية 2 (عكس النظرية 1). إذا كانت هناك نقطة على مسافة واحدة من طرفي قطعة، فإنها تقع على المنصف العمودي على هذه القطعة.

دليل . دعونا نثبت النظرية 2 بالتناقض. ولهذا الغرض، افترض أن نقطة ما E تقع على نفس المسافة من طرفي القطعة، ولكنها لا تقع على المنصف العمودي على هذه القطعة. دعونا نجلب هذا الافتراض إلى التناقض. دعونا نفكر أولاً في الحالة التي تقع فيها النقطتان E و A على طرفي نقيض من المنصف العمودي (الشكل 3). في هذه الحالة، يتقاطع الجزء EA مع المنصف العمودي عند نقطة ما، وهو ما سنشير إليه بالحرف D.

دعونا نثبت أن المقطع AE أطول من المقطع EB. حقًا،

وبالتالي، في الحالة التي تقع فيها النقطتان E وA على طرفي نقيض من المنصف العمودي، يكون لدينا تناقض.

الآن فكر في الحالة التي تقع فيها النقطتان E و A على نفس الجانب من المنصف العمودي (الشكل 4). دعونا نثبت أن المقطع EB أطول من المقطع AE. حقًا،

التناقض الناتج يكمل إثبات النظرية 2

دائرة محاطة بمثلث

التعريف 2. دائرة محاطة بمثلث، تسمى الدائرة التي تمر عبر القمم الثلاثة للمثلث (الشكل 5). في هذه الحالة يسمى المثلث مثلث مدرج في دائرةأو مثلث مكتوب.

خصائص الدائرة المحدودة للمثلث. نظرية الجيب

شكل	رسم	ملكية
منصفات عمودية إلى جوانب المثلث		تتقاطع عند نقطة واحدة .

مركز دائرة محاطة بمثلث حاد الزوايا		وصف المركز حول حادة الزاوية داخل مثلث.
مركز دائرة محاطة بمثلث قائم الزاوية		وصف المركز حوالي مستطيلي منتصف الوتر .
مركز دائرة محاطة بمثلث منفرج الزاوية		وصف المركز حول منفرجة الزاوية تقع دائرة المثلث الخارج مثلث.
		,
مربع مثلث		س= 2ر 2 خطيئة أخطيئة بخطيئة ج ,
محيط		لأي مثلث المساواة صحيحة: