1. Обиколка.Окръжността е затворена плоска крива линия, всички точки на която са на еднакво разстояние от една точка (О), наречена център на окръжността (фиг. 27).
Кръгът се чертае с пергел. За да направите това, острият крак на компаса се поставя в центъра, а другият (с молив) се завърта около първия, докато краят на молива начертае пълен кръг. Разстоянието от центъра до която и да е точка на окръжността се нарича нейно радиус.От определението следва, че всички радиуси на една окръжност са равни един на друг.
Нарича се отсечка с права линия (AB), свързваща произволни две точки от окръжност и минаваща през нейния център диаметър. Всички диаметри на един кръг са равни един на друг; диаметърът е равен на два радиуса.
Как да намерите обиколката на кръг? В почти някои случаи обиколката може да се намери чрез директно измерване. Това може да се направи например при измерване на обиколката на относително малки предмети (кофа, стъкло и др.). За да направите това, можете да използвате рулетка, плитка или шнур.
В математиката се използва техниката за индиректно определяне на обиколката. Състои се от изчисляване с помощта на готова формула, която сега ще изведем.
Ако вземем няколко големи и малки кръгли предмета (монета, чаша, кофа, варел и др.) и измерим обиколката и диаметъра на всеки от тях, ще получим две числа за всеки предмет (едното измерва обиколката, а другото е дължина на диаметъра). Естествено, за малките обекти тези числа ще бъдат малки, а за големите - големи.
Ако обаче във всеки от тези случаи вземем отношението на двете получени числа (обиколка и диаметър), то при внимателно измерване ще намерим почти същото число. Нека означим обиколката на кръга с буквата СЪС, дължина на диаметъра буква г, тогава съотношението им ще изглежда така C: D. Реалните измервания винаги са придружени от неизбежни неточности. Но след като завършихме посочения експеримент и направихме необходимите изчисления, получаваме съотношението C: Dприблизително следните числа: 3,13; 3.14; 3.15. Тези числа се различават много малко едно от друго.
В математиката чрез теоретични разсъждения е установено, че желаното отношение C: Dникога не се променя и е равна на безкрайна непериодична дроб, чиято приблизителна стойност, с точност до десет хилядни, е равна на 3,1416 . Това означава, че всеки кръг е еднакъв брой пъти по-дълъг от своя диаметър. Това число обикновено се обозначава с гръцката буква π (пи). Тогава съотношението на обиколката към диаметъра ще бъде написано, както следва: C: D = π . Ще ограничим този брой само до стотни, т.е π = 3,14.
Нека напишем формула за определяне на обиколката.
защото C: D= π , Това
В = πD
т.е. обиколката е равна на произведението на числото π на диаметър.
Задача 1.Намерете обиколката ( СЪС) на кръгла стая, ако нейният диаметър е г= 5,5 м.
Като вземем предвид горното, трябва да увеличим диаметъра с 3,14 пъти, за да решим този проблем:
5,5 3,14 = 17,27 (m).
Задача 2.Намерете радиуса на колело, чиято обиколка е 125,6 cm.
Тази задача е обратната на предишната. Да намерим диаметъра на колелото:
125,6 : 3,14 = 40 (cm).
Нека сега намерим радиуса на колелото:
40: 2 = 20 (cm).
2. Площ на кръг.За да се определи площта на кръг, човек може да начертае кръг с даден радиус върху хартия, да го покрие с прозрачна карирана хартия и след това да преброи клетките вътре в кръга (фиг. 28).
Но този метод е неудобен по много причини. Първо, близо до контура на кръга се получават редица непълни клетки, чийто размер е трудно да се прецени. Второ, не можете да покриете голям обект (кръгла цветна леха, басейн, фонтан и т.н.) с лист хартия. Трето, след като преброихме клетките, все още не получихме никакво правило, което да ни позволи да решим друг подобен проблем. Поради това ще действаме по различен начин. Нека сравним кръга с някоя позната ни фигура и го направим по следния начин: изрежете кръг от хартия, разрежете го първо наполовина по диаметъра му, след това разрежете всяка половина отново наполовина, всяка четвъртина отново наполовина и т.н., докато разрязваме кръга например на 32 части във формата на зъби (фиг. 29).
След това ги сгъваме, както е показано на Фигура 30, т.е. първо подреждаме 16 зъба във формата на трион, след това поставяме 15 зъба в получените отвори и накрая разрязваме последния останал зъб наполовина по радиуса и прикрепете едната част отляво, другата - отдясно. Тогава ще получите фигура, наподобяваща правоъгълник.
Дължината на тази фигура (основата) е приблизително равна на дължината на полукръга, а височината е приблизително равна на радиуса. Тогава площта на такава фигура може да се намери чрез умножаване на числата, изразяващи дължината на полукръга и дължината на радиуса. Ако означим площта на кръг с буквата С, обиколката на буква СЪС, радиус буква r, тогава можем да напишем формулата за определяне на площта на кръг:
което гласи така: Площта на кръга е равна на дължината на полукръга, умножена по радиуса.
Задача.Намерете площта на кръг, чийто радиус е 4 см. Първо намерете дължината на кръга, след това дължината на полукръга и след това го умножете по радиуса.
1) Обиколка СЪС = π г= 3,14 8 = 25,12 (cm).
2) Дължина на половин кръг В / 2 = 25,12 : 2 = 12,56 (cm).
3) Площ на кръга S = В / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (кв. см).
§ 118. Повърхнина и обем на цилиндър.
Задача 1.Намерете общата повърхност на цилиндър с диаметър на основата 20,6 cm и височина 30,5 cm.
С форма на цилиндър (фиг. 31) са: кофа, чаша (нефасетирана), тенджера и много други предмети.
Пълната повърхнина на цилиндър (като пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед) се състои от странична повърхнина и площите на две основи (фиг. 32).
За да си представите ясно за какво говорим, трябва внимателно да направите модел на цилиндър от хартия. Ако от този модел извадим две основи, т.е. два кръга, и разрежем страничната повърхност по дължина и я разгънем, тогава ще бъде напълно ясно как да изчислим общата повърхност на цилиндъра. Страничната повърхност ще се разгъне в правоъгълник, чиято основа е равна на дължината на кръга. Следователно решението на проблема ще изглежда така:
1) Обиколка: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).
2) Странична повърхност: 64,684 30,5 = 1972,862 (cm2).
3) Площ на една основа: 32.342 10.3 = 333.1226 (кв.см).
4) Пълна повърхност на цилиндъра:
1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (кв. см) ≈ 2639 (кв. см).
Задача 2.Намерете обема на желязна бъчва с форма на цилиндър с размери: диаметър на основата 60 cm и височина 110 cm.
За да изчислите обема на цилиндър, трябва да запомните как изчислихме обема на правоъгълен паралелепипед (полезно е да прочетете § 61).
Нашата единица за измерване на обем ще бъде кубичен сантиметър. Първо трябва да разберете колко кубични сантиметра могат да бъдат поставени върху основната площ и след това да умножите намереното число по височината.
За да разберете колко кубични сантиметра могат да бъдат положени върху основната площ, трябва да изчислите основната площ на цилиндъра. Тъй като основата е кръг, трябва да намерите площта на кръга. След това, за да определите обема, го умножете по височината. Решението на задачата има формата:
1) Обиколка: 60 3,14 = 188,4 (cm).
2) Площ на кръга: 94,2 30 = 2826 (кв. см).
3) Обем на цилиндъра: 2826,110 = 310,860 (cc. cm).
отговор. Обем на цевта 310,86 куб.м. дм.
Ако означим обема на един цилиндър с буквата V, основна площ С, височина на цилиндъра з, тогава можете да напишете формула за определяне на обема на цилиндър:
V = S H
което гласи така: Обемът на цилиндъра е равен на площта на основата, умножена по височината.
§ 119. Таблици за изчисляване на обиколката на кръг по диаметър.
При решаването на различни производствени проблеми често е необходимо да се изчисли обиколката. Нека си представим работник, който произвежда кръгли детайли по посочените му диаметри. Всеки път, когато знае диаметъра, той трябва да изчисли обиколката. За да спести време и да се застрахова от грешки, той се обръща към готови таблици, в които са посочени диаметрите и съответните дължини на обиколките.
Ще представим малка част от такива таблици и ще ви кажем как да ги използвате.
Нека се знае, че диаметърът на кръга е 5 м. Поглеждаме в таблицата във вертикалната колона под буквата гномер 5. Това е дължината на диаметъра. До това число (вдясно, в колоната, наречена „Обиколка“) ще видим числото 15,708 (m). По абсолютно същия начин откриваме, че if г= 10 см, тогава обиколката е 31,416 см.
Използвайки същите таблици, можете да извършвате и обратни изчисления. Ако обиколката на кръг е известна, тогава съответният диаметър може да бъде намерен в таблицата. Нека обиколката е приблизително 34,56 cm. Нека намерим в таблицата най-близкото до това число. Това ще бъде 34,558 (разлика 0,002). Диаметърът, съответстващ на тази обиколка, е приблизително 11 cm.
Споменатите тук таблици са налични в различни справочници. По-специално те могат да бъдат намерени в книгата „Четирицифрени математически таблици“ на В. М. Брадис. и в книгата с аритметични задачи на С. А. Пономарев и Н. И. Сирнева.
Независимо в коя сфера на икономиката работи човек, волно или неволно той използва математически знания, натрупани в продължение на много векове. Всеки ден се сблъскваме с устройства и механизми, съдържащи кръгове. Колелото има кръгла форма, пицата, много зеленчуци и плодове образуват кръг при нарязване, както и чинии, чаши и много други. Въпреки това, не всеки знае как правилно да изчисли обиколката.
За да изчислите обиколката на кръг, първо трябва да запомните какво е кръг. Това е множеството от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от тази. А кръгът е геометрично място на точки в равнина, разположени вътре в кръг. От горното следва, че периметърът на кръг и обиколката са едно и също.
Методи за намиране на обиколка на окръжност
В допълнение към математическия метод за намиране на периметъра на кръг има и практически.
- Вземете въже или шнур и го увийте веднъж.
- След това измерете въжето, полученото число ще бъде обиколката.
- Завъртете кръглия предмет веднъж и пребройте дължината на пътя. Ако елементът е много малък, можете да го увиете с канап няколко пъти, след това развийте конеца, измерете и разделете на броя на завъртанията.
- Намерете необходимата стойност по формулата:
L = 2πr = πD ,
където L е необходимата дължина;
π – константа, приблизително равна на 3,14 r – радиус на окръжността, разстоянието от нейния център до всяка точка;
D е диаметърът, той е равен на два радиуса.
Прилагане на формулата за намиране на обиколката на кръг
- Пример 1: Бягаща пътека се движи около кръг с радиус 47,8 метра. Намерете дължината на тази бягаща пътека, като вземете π = 3,14.
L = 2πr =2*3,14*47,8 ≈ 300(m)
Отговор: 300 метра
- Пример 2. Колело на велосипед, завъртяло се 10 пъти, е изминало 18,85 метра. Намерете радиуса на колелото.
18,85: 10 =1,885 (m) е периметърът на колелото.
1,885: π = 1,885: 3,1416 ≈ 0,6(m) – необходим диаметър
Отговор: диаметър на колелото 0,6 метра
Удивителното число пи
Въпреки привидната простота на формулата, по някаква причина за мнозина е трудно да я запомнят. Очевидно това се дължи на факта, че формулата съдържа ирационално число π, което не присъства във формулите за площта на други фигури, например квадрат, триъгълник или ромб. Просто трябва да запомните, че това е константа, тоест константа, означаваща съотношението на обиколката към диаметъра. Преди около 4 хиляди години хората забелязали, че съотношението на периметъра на кръга към неговия радиус (или диаметър) е еднакво за всички кръгове.
Древните гърци апроксимират числото π с дробта 22/7. Дълго време π се изчисляваше като средна стойност между дължините на вписани и описани многоъгълници в окръжност. През трети век от н. е. китайски математик извърши изчисление за 3072-gon и получи приблизителна стойност от π = 3,1416. Трябва да се помни, че π винаги е константа за всяка окръжност. Обозначаването му с гръцката буква π се появява през 18 век. Това е първата буква от гръцките думи περιφέρεια – кръг и περίμετρος – периметър. През осемнадесети век е доказано, че това количество е ирационално, тоест не може да бъде представено във формата m/n, където m е цяло число, а n е естествено число.
Кръгът се състои от много точки, които са на равни разстояния от центъра. Това е плоска геометрична фигура и намирането на нейната дължина не е трудно. Човек всеки ден се сблъсква с кръг и кръг, независимо в каква сфера работи. Много зеленчуци и плодове, устройствата и механизмите, съдовете и мебелите са с кръгла форма. Окръжност е набор от точки, които се намират в границите на окръжността. Следователно дължината на фигурата е равна на периметъра на кръга.
Характеристики на фигурата
В допълнение към факта, че описанието на концепцията за кръг е доста просто, неговите характеристики също са лесни за разбиране. С тяхна помощ можете да изчислите дължината му. Вътрешната част на кръга се състои от много точки, сред които две - А и В - могат да се видят под прав ъгъл. Този сегмент се нарича диаметър, той се състои от два радиуса.
В окръжността има точки X такива, което не се променя и не е равно на единица, отношението AX/BX. В кръг това условие трябва да бъде изпълнено; в противен случай тази фигура няма формата на кръг. За всяка точка, съставляваща фигурата, важи правилото: сумата от квадратите на разстоянията от тези точки до другите две винаги надвишава половината от дължината на отсечката между тях.
Основни условия на кръга
За да можете да намерите дължината на фигура, трябва да знаете основните термини, свързани с нея. Основните параметри на фигурата са диаметър, радиус и хорда. Радиусът е сегментът, свързващ центъра на окръжността с всяка точка от нейната крива. Големината на хорда е равна на разстоянието между две точки от кривата на фигурата. Диаметър - разстояние между точките, минаваща през центъра на фигурата.
Основни формули за изчисления
Параметрите се използват във формулите за изчисляване на размерите на кръг:
Диаметър във формулите за изчисление
В икономиката и математиката често има нужда да се намери обиколката на кръг. Но в ежедневието може да срещнете тази нужда, например, когато изграждате ограда около кръгъл басейн. Как да изчислим обиколката на кръг по диаметър? В този случай използвайте формулата C = π*D, където C е желаната стойност, D е диаметърът.
Така например ширината на басейна е 30 метра, а стълбовете за оградата се предвижда да бъдат поставени на разстояние десет метра от него. В този случай формулата за изчисляване на диаметъра е: 30+10*2 = 50 метра. Необходимата стойност (в този пример дължината на оградата): 3,14*50 = 157 метра. Ако стълбовете на оградата стоят на разстояние три метра един от друг, тогава ще са необходими общо 52 от тях.
Изчисления на радиуса
Как да изчислим обиколката на кръг от известен радиус? За да направите това, използвайте формулата C = 2*π*r, където C е дължината, r е радиусът. Радиусът в кръг е половината от диаметъра и това правило може да бъде полезно в ежедневието. Например, в случай на приготвяне на пай в плъзгаща се форма.
За да предотвратите замърсяването на кулинарния продукт, е необходимо да използвате декоративна опаковка. Как да изрежете хартиен кръг с подходящ размер?
Тези, които са малко запознати с математиката, разбират, че в този случай трябва да умножите числото π по два пъти радиуса на използваната форма. Например диаметърът на фигурата е 20 сантиметра, съответно радиусът й е 10 сантиметра. Използвайки тези параметри, се намира необходимият размер на кръга: 2*10*3, 14 = 62,8 сантиметра.
Удобни методи за изчисление
Ако не е възможно да намерите обиколката по формулата, тогава трябва да използвате наличните методи за изчисляване на тази стойност:
- Ако кръгъл предмет е малък, дължината му може да се намери с помощта на въже, увито около него веднъж.
- Размерът на голям предмет се измерва по следния начин: върху равна повърхност се поставя въже и веднъж се навива кръг по него.
- Съвременните студенти и ученици използват калкулатори за изчисления. Онлайн можете да откриете неизвестни количества, като използвате известни параметри.
Кръгли предмети в историята на човешкия живот
Първият продукт с кръгла форма, изобретен от човека, е колелото. Първите конструкции бяха малки кръгли трупи, монтирани на ос. След това се появиха колела, направени от дървени спици и джанти. Постепенно към продукта бяха добавени метални части, за да се намали износването. Именно за да разберат дължината на металните ленти за тапицерията на колелата, учените от миналите векове търсеха формула за изчисляване на тази стойност.
Грънчарското колело има формата на колело, повечето части в сложни механизми, конструкции на водни мелници и въртящи се колела. В строителството често се срещат кръгли предмети - рамки на кръгли прозорци в романски архитектурен стил, илюминатори на кораби. Архитекти, инженери, учени, механици и дизайнери всеки ден в своята професионална дейност се сблъскват с необходимостта да изчислят размерите на кръг.
Circle calculator е услуга, специално създадена за изчисляване на геометричните размери на фигури онлайн. Благодарение на тази услуга можете лесно да определите всеки параметър на фигура въз основа на кръг. Например: Знаете обема на една топка, но трябва да получите нейната площ. Нищо не може да бъде по-лесно! Изберете подходящата опция, въведете числова стойност и щракнете върху бутона Изчисли. Услугата не само показва резултатите от изчисленията, но и предоставя формулите, по които са направени. Използвайки нашата услуга, можете лесно да изчислите радиуса, диаметъра, обиколката (периметъра на кръга), площта на кръга и топката и обема на топката.
Изчислете радиуса
Задачата за изчисляване на стойността на радиуса е една от най-често срещаните. Причината за това е доста проста, защото знаейки този параметър, можете лесно да определите стойността на всеки друг параметър на кръг или топка. Нашият сайт е изграден точно по тази схема. Независимо какъв първоначален параметър сте избрали, първо се изчислява стойността на радиуса и всички следващи изчисления се базират на нея. За по-голяма точност на изчисленията сайтът използва Pi, закръглено до 10-ия знак след десетичната запетая.
Изчислете диаметъра
Изчисляването на диаметър е най-простият тип изчисление, което нашият калкулатор може да извърши. Изобщо не е трудно да получите стойността на диаметъра ръчно, за това изобщо не е необходимо да прибягвате до интернет. Диаметърът е равен на стойността на радиуса, умножена по 2. Диаметърът е най-важният параметър на кръга, който се използва изключително често в ежедневието. Абсолютно всеки трябва да може да го изчисли и използва правилно. Използвайки възможностите на нашия сайт, вие ще изчислите диаметъра с голяма точност за части от секундата.
Разберете обиколката
Дори не можете да си представите колко кръгли предмети има около нас и каква важна роля играят в живота ни. Способността за изчисляване на обиколката е необходима за всеки, от обикновен шофьор до водещ инженер по дизайн. Формулата за изчисляване на обиколката е много проста: D=2Pr. Изчислението може лесно да се направи или на лист хартия, или с помощта на този онлайн асистент. Предимството на последния е, че илюстрира всички изчисления със снимки. И на всичкото отгоре, вторият метод е много по-бърз.
Изчислете площта на кръг
Площта на кръга - както всички параметри, изброени в тази статия - е в основата на съвременната цивилизация. Способността да се изчислява и знае площта на кръг е полезна за всички сегменти от населението без изключение. Трудно е да си представим област на науката и технологиите, в която не би било необходимо да се знае площта на кръг. Формулата за изчисление отново не е трудна: S=PR 2. Тази формула и нашият онлайн калкулатор ще ви помогнат да намерите площта на всеки кръг без допълнителни усилия. Нашият сайт гарантира висока точност на изчисленията и светкавичното им изпълнение.
Изчислете площта на сфера
Формулата за изчисляване на площта на топката не е по-сложна от формулите, описани в предишните параграфи. S=4Pr 2 . Този прост набор от букви и цифри дава на хората способността да изчисляват сравнително точно площта на топка в продължение на много години. Къде може да се приложи това? Да навсякъде! Например знаете, че площта на земното кълбо е 510 100 000 квадратни километра. Безполезно е да изброявам къде може да се приложи познаването на тази формула. Обхватът на формулата за изчисляване на площта на сфера е твърде широк.
Изчислете обема на топката
За да изчислите обема на топката, използвайте формулата V = 4/3 (Pr 3). Той беше използван за създаването на нашата онлайн услуга. Уебсайтът дава възможност да се изчисли обемът на топка за няколко секунди, ако знаете някой от следните параметри: радиус, диаметър, обиколка, площ на кръг или площ на топка. Можете също да го използвате за обратни изчисления, например, за да знаете обема на топка и да получите стойността на нейния радиус или диаметър. Благодарим ви, че разгледахте бързо възможностите на нашия кръгов калкулатор. Надяваме се, че сте харесали нашия сайт и вече сте го маркирали.
Обиколката на кръга се обозначава с буквата Ви се изчислява по формулата:
C = 2πR,
Къде Р - радиус на окръжността.
Извеждане на формулата, изразяваща обиколката
Път C и C’ са дължините на окръжности с радиуси R и R’. Нека да впишем правилен n-ъгълник във всеки от тях и да означим периметрите им с P n и P" n, а страните им с a n и a" n. Използвайки формулата за изчисляване на страната на правилен n-ъгълник a n = 2R sin (180°/n), получаваме:
P n = n a n = n 2R sin (180°/n),
P" n = n · a" n = n · 2R" sin (180°/n).
следователно
P n / P" n = 2R / 2R". (1)
Това равенство е валидно за всяка стойност на n. Сега ще увеличим числото n без ограничение. Тъй като P n → C, P" n → C", n → ∞, тогава границата на съотношението P n / P" n е равна на C / C". От друга страна, по силата на равенство (1), тази граница е равна на 2R/2R". Така C/C" = 2R/2R". От това равенство следва, че C/2R = C"/2R" , т.е. Съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър е едно и също число за всички кръгове.Това число обикновено се обозначава с гръцката буква π („пи“).
От равенството C / 2R = π получаваме формулата за изчисляване на обиколката на окръжност с радиус R:
C = 2πR.
Дължина на кръговата дъга
Тъй като дължината на цялата окръжност е 2πR, тогава дължината l на дъга от 1° е равна на 2πR / 360 = πR / 180.
Ето защо дължина l на дъга от окръжност със степенна мярка αизразено с формулата
l = (πR / 180) α.
