Понятия за граници на последователности и функции. Когато е необходимо да се намери границата на редица, се записва така: lim xn=a. В такава поредица от последователности xn клони към a и n клони към безкрайност. Една последователност обикновено се представя като серия, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последователностите са разделени на нарастващи и намаляващи. Например:
xn=n^2 - нарастваща последователност
yn=1/n - последователност
Така, например, границата на последователността xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0
x→∞
Тази граница е равна на нула, тъй като n→∞ и редицата 1/n^2 клони към нула.
Обикновено променливата величина x клони към крайна граница a и x непрекъснато се доближава до a, а величината a е постоянна. Това се записва по следния начин: limx =a, докато n може също да клони към нула или безкрайност. Има безкрайни функции, за които границата клони към безкрайност. В други случаи, когато например функцията забавя влак, е възможно ограничението да клони към нула.
Ограниченията имат редица свойства. Обикновено всяка функция има само едно ограничение. Това е основното свойство на лимита. Други са изброени по-долу:
* Лимитът на сумата е равен на сумата от лимитите:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Лимитът на продукта е равен на произведението на лимитите:
lim(xy)=lim x*lim y
* Лимитът на частното е равен на частното на лимитите:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянният коефициент се взема извън граничния знак:
lim(Cx)=C lim x
Дадена е функция 1 /x, в която x →∞, нейната граница е нула. Ако x→0, границата на такава функция е ∞.
За тригонометричните функции има някои от тези правила. Тъй като функцията sin x винаги клони към единица, когато се доближава до нула, за нея важи идентичността:
lim sin x/x=1
В редица функции има функции, при изчисляването на границите на които възниква несигурност - ситуация, при която границата не може да бъде изчислена. Единственият изход от тази ситуация е L'Hopital. Има два вида несигурност:
* несигурност на формата 0/0
* несигурност на формата ∞/∞
Например, дадена е граница от следната форма: lim f(x)/l(x) и f(x0)=l(x0)=0. В този случай възниква несигурност от формата 0/0. За да се реши такъв проблем, двете функции се диференцират, след което се намира границата на резултата. За несигурности от тип 0/0 границата е:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Същото правило е вярно и за несигурности от типа ∞/∞. Но в този случай е вярно следното равенство: f(x)=l(x)=∞
Използвайки правилото на L'Hopital, можете да намерите стойностите на всички граници, в които се появяват несигурности. Предпоставка за
обем - няма грешки при намиране на производни. Така, например, производната на функцията (x^2)" е равна на 2x. От тук можем да заключим, че:
f"(x)=nx^(n-1)
Нека да разгледаме някои илюстративни примери.
Нека x е числова променлива, X е областта на нейната промяна. Ако всяко число x, принадлежащо на X, е свързано с определено число y, тогава те казват, че функция е дефинирана в множеството X, и пишат y = f(x).
Наборът X в този случай е равнина, състояща се от две координатни оси – 0X и 0Y. Например, нека изобразим функцията y = x 2. Осите 0X и 0Y образуват X - областта на неговото изменение. Фигурата ясно показва как се държи функцията. В този случай те казват, че функцията y = x 2 е дефинирана в множеството X.
Наборът Y от всички частични стойности на функция се нарича набор от стойности f(x). С други думи, наборът от стойности е интервалът по оста 0Y, където е дефинирана функцията. Изобразената парабола ясно показва, че f(x) > 0, т.к x2 > 0. Следователно диапазонът от стойности ще бъде . Разглеждаме много стойности с 0Y.
Множеството от всички x се нарича домейн на f(x). Ние разглеждаме много дефиниции от 0X и в нашия случай диапазонът от приемливи стойности е [-; +].
Точка a (a принадлежи на или X) се нарича гранична точка на множеството X, ако във всяка околност на точка a има точки от множеството X, различни от a.
Дойде време да разберем каква е границата на една функция?
Извиква се чистото b, към което функцията клони, когато х клони към числото a граница на функцията. Това е написано по следния начин:
Например f(x) = x 2. Трябва да разберем към какво клони функцията (не е равна) при x 2. Първо записваме границата:
Да погледнем графиката.
Нека начертаем права, успоредна на оста 0Y през точка 2 на оста 0X. Тя ще пресече нашата графика в точка (2;4). Нека пуснем перпендикуляр от тази точка към оста 0Y и стигнем до точка 4. Това е, към което се стреми нашата функция при x 2. Ако сега заместим стойността 2 във функцията f(x), отговорът ще бъде същият .
Сега, преди да преминем към изчисляване на граници, нека въведем основни дефиниции.
Въведена от френския математик Огюстен Луи Коши през 19 век.
Да кажем, че функцията f(x) е дефинирана на определен интервал, който съдържа точката x = A, но изобщо не е необходимо стойността на f(A) да бъде дефинирана.
Тогава, според определението на Коши, граница на функцията f(x) ще бъде определено число B с x клонящо към A, ако за всяко C > 0 има число D > 0, за което
Тези. ако функцията f(x) при x A е ограничена от граница B, това е записано във формата
Ограничение на последователносттаопределено число A се нарича, ако за всяко произволно малко положително число B> 0 има число N, за което всички стойности в случая n> N отговарят на неравенството
Тази граница изглежда като.
Редица, която има граница, ще бъде наречена конвергентна; ако не, ще я наречем дивергентна.
Както вече забелязахте, границите се обозначават с иконата lim, под която се изписва някакво условие за променливата, а след това се записва самата функция. Такъв набор ще се чете като „граница на функция, предмет на...“. Например:
- границата на функцията, когато x клони към 1.
Изразът „приближаване до 1“ означава, че x последователно приема стойности, които се приближават до 1 безкрайно близо.
Сега става ясно, че за да се изчисли тази граница е достатъчно да се замени стойността 1 за x:
В допълнение към определена числена стойност, x може също да клони към безкрайност. Например:
Изразът x означава, че x непрекъснато нараства и се приближава до безкрайност без ограничения. Следователно, замествайки безкрайност вместо x, става очевидно, че функцията 1-x ще се стреми към , но с обратен знак:
по този начин изчисляване на границисе свежда до намиране на нейната конкретна стойност или определена област, в която попада ограничената от границата функция.
Въз основа на горното следва, че при изчисляване на лимити е важно да се използват няколко правила:
разбиране същност на границатаи основни правила гранични изчисления, ще придобиете ключова представа за това как да ги разрешите. Ако някой лимит ви създава затруднения, пишете в коментарите и ние определено ще ви помогнем.
Забележка: Юриспруденцията е наука за законите, която помага при конфликти и други житейски трудности.
При изчисляване на лимитите трябва да се вземе предвид следните основни правила:
1. Границата на сумата (разликата) на функциите е равна на сумата (разликата) на границите на условията:
2. Границата на продукт от функции е равна на произведението на границите на факторите:
3. Границата на съотношението на две функции е равна на съотношението на границите на тези функции:
.
4. Константният фактор може да бъде взет отвъд граничния знак:
.
5. Границата на константа е равна на самата константа:
6. За непрекъснати функции граничните и функционалните символи могат да се разменят:
.
Намирането на границата на функция трябва да започне със заместване на стойността в израза за функцията. Освен това, ако се получи числовата стойност 0 или ¥, тогава желаната граница е намерена.
Пример 2.1.Изчислете границата.
Решение.
.
Изрази от вида , , , , , се наричат несигурности.
Ако получите несигурност на формата, тогава, за да намерите границата, трябва да трансформирате функцията, така че да разкриете тази несигурност.
Неопределеността на формата обикновено се получава, когато е дадена границата на отношението на два полинома. В този случай, за да се изчисли границата, се препоръчва полиномите да бъдат факторизирани и намалени с общ фактор. Този множител е нула при граничната стойност X .
Пример 2.2.Изчислете границата.
Решение.
Замествайки , получаваме несигурност:
.
Нека разделим числителя и знаменателя на множители:
;
Нека намалим с общ множител и получим
.
Несигурност на формата се получава, когато границата на съотношението на два полинома е дадена при . В този случай, за да го изчислите, се препоръчва да разделите двата полинома на X в старшата степен.
Пример 2.3.Изчислете границата.
Решение.Когато заместваме ∞, получаваме несигурност на формата , така че разделяме всички членове на израза на х 3.
.
Тук се има предвид, че.
Когато се изчисляват границите на функция, съдържаща корени, се препоръчва функцията да се умножава и дели на нейния конюгат.
Пример 2.4.Изчислете лимита
Решение.
Когато се изчисляват граници, за да се разкрие неопределеността на формата или (1) ∞, първата и втората забележителни граници често се използват:
Много проблеми, свързани с непрекъснатото нарастване на някакво количество, водят до втората забележителна граница.
Нека разгледаме примера на Я. И. Перелман, давайки тълкуване на числото дв проблема със сложната лихва. В спестовните банки парите от лихви се добавят към основния капитал всяка година. Ако присъединяването се извършва по-често, тогава капиталът расте по-бързо, тъй като по-голяма сума участва във формирането на лихвата. Нека вземем един чисто теоретичен, много опростен пример.
Нека 100 дение се депозират в банката. единици на база 100% годишно. Ако лихвите се добавят към основния капитал едва след една година, то до този период 100 ден. единици ще се превърне в 200 парични единици.
Сега да видим в какво ще се превърнат 100 дениза. единици, ако парите от лихви се добавят към основния капитал на всеки шест месеца. След шест месеца 100 ден. единици ще нарасне със 100 × 1,5 = 150, а след още шест месеца - със 150 × 1,5 = 225 (ден. единици). Ако присъединяването се извършва на всяка 1/3 от годината, то след година 100 ден. единици ще се превърне в 100 × (1 +1/3) 3 "237 (ден. единици).
Ще увеличим сроковете за добавяне на лихвени пари до 0,1 година, до 0,01 година, до 0,001 година и т.н. Тогава от 100 ден. единици след една година ще бъде:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. единици),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. единици),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. единици).
При неограничено намаляване на условията за добавяне на лихва, натрупаният капитал не расте безкрайно, а се доближава до определен лимит, равен на приблизително 271. Капиталът, депозиран при 100% годишно, не може да се увеличи с повече от 2,71 пъти, дори ако натрупаната лихва се добавят към столицата всяка секунда, защото
Пример 2.5.Изчислете границата на функция
Решение.
Пример 2.6.Изчислете границата на функция 
.
Решение.Замествайки получаваме несигурността:
.
Използвайки тригонометричната формула, трансформираме числителя в продукт:
В резултат на това получаваме
Тук се взема предвид втората забележителна граница.
Пример 2.7.Изчислете границата на функция
Решение.
.
За да разкриете несигурността на формата или, можете да използвате правилото на L'Hopital, което се основава на следната теорема.
Теорема.Границата на съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи функции е равна на границата на съотношението на техните производни
Имайте предвид, че това правило може да се прилага няколко пъти подред.
Пример 2.8.Намерете
Решение.При заместване имаме несигурност на формата. Прилагайки правилото на L'Hopital, получаваме
Непрекъснатост на функцията
Важно свойство на функцията е непрекъснатостта.
Определение.Разглежда се функцията непрекъснато, ако малка промяна в стойността на аргумента води до малка промяна в стойността на функцията.
Математически това се записва по следния начин: кога 
Под и се има предвид увеличението на променливите, тоест разликата между следващите и предишните стойности: , (Фигура 2.3)
 Фигура 2.3 – Увеличаване на променливите |
От определението за непрекъсната в точката функция следва, че 
. Това равенство означава, че са изпълнени три условия: 
Решение.За функция точката е подозрителна за прекъсване, нека проверим това и да намерим едностранни граници
следователно 
, означава - точка на прекъсване
Производна на функция
Ограничение на функцията- номер аще бъде границата на някаква променлива величина, ако в процеса на нейното изменение тази променлива величина неограничено се доближава до а.
Или с други думи, числото Ае границата на функцията y = f(x)в точката х 0, ако за всяка поредица от точки от областта на дефиниране на функцията , не е равно х 0, и който се събира до точката x 0 (lim x n = x0), последователността от съответните функционални стойности се сближава с числото А.
Графиката на функция, чиято граница, при даден аргумент, клонящ към безкрайност, е равна на Л:
Значение Ае граница (гранична стойност) на функцията f(x)в точката х 0в случай на произволна последователност от точки 
, който се сближава с х 0, но който не съдържа х 0като един от неговите елементи (т.е. в пробитата околност х 0), последователност от функционални стойности 
се сближава с А.
Предел на функция по Коши.
Значение Аще бъде граница на функцията f(x)в точката х 0ако за всяко неотрицателно число, взето предварително ε съответното неотрицателно число ще бъде намерено δ = δ(ε) така че за всеки аргумент х, отговарящи на условието 0 < | x - x0 | < δ , неравенството ще бъде изпълнено | f(x)A |< ε .
Ще бъде много просто, ако разберете същността на лимита и основните правила за намирането му. Каква е границата на функцията е (x)при хстремеж към аравни А, се записва така:
Освен това стойността, към която клони променливата х, може да бъде не само число, но и безкрайност (∞), понякога +∞ или -∞, или може изобщо да няма ограничение.
За да разберете как намерете границите на функция, най-добре е да разгледате примери за решения.
Необходимо е да се намерят границите на функцията е (x) = 1/хв:
х→ 2, х→ 0, х→ ∞.
Нека намерим решение на първата граница. За да направите това, можете просто да замените хчислото, към което клони, т.е. 2, получаваме:
Нека намерим втората граница на функцията. Тук вместо това заместете чистата 0 хневъзможно е, защото Не можете да разделите на 0. Но можем да вземем стойности близки до нула, например 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и така нататък и стойността на функцията е (x)ще се увеличи: 100; 1000; 10000; 100 000 и така нататък. По този начин може да се разбере, че когато х→ 0 стойността на функцията, която е под знака за граница, ще нараства неограничено, т.е. стремеж към безкрайността. Което означава:
Относно третото ограничение. Същата ситуация, както в предишния случай, е невъзможно да се замени ∞ в най-чист вид. Трябва да разгледаме случая на неограничено увеличение х. Заменяме 1000 един по един; 10000; 100 000 и така нататък, имаме тази стойност на функцията е (x) = 1/хще намалее: 0,001; 0,0001; 0,00001; и така нататък, клонейки към нула. Ето защо:
Необходимо е да се изчисли границата на функцията 
Започвайки да решаваме втория пример, виждаме несигурност. От тук намираме най-високата степен на числителя и знаменателя - това е х 3, изваждаме го извън скоби в числителя и знаменателя и след това го намаляваме с:
отговор 
Първата стъпка в намирането на тази граница, вместо това заменете стойността 1 х, което води до несигурност. За да го решим, нека разложим числителя на множители и направим това, използвайки метода за намиране на корените на квадратно уравнение х 2 + 2х - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;х 2= 1.
Така че числителят ще бъде:
отговор 
Това е дефиницията на нейната специфична стойност или определена област, в която попада функцията, която е ограничена от границата.
За да разрешите ограничения, следвайте правилата:
Разбрал същността и осн правила за решаване на границата, ще получите основно разбиране как да ги разрешите.
