Треугольник ABE полученный из вершины E, средняя линия которого параллельна AB (средняя линия получается когда мы провели через середины отрезков АЕ и BE). Если AB параллельно средней линии, CD параллельно AB следовательно Средняя линия будет параллельна CD.
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2см, а стороны - 3см и 5см. Найти диагональ этой пирамиды.
простая равнобедренная трапеция
AB=3√2 CD=5√2 EF=AB, DE=FC=√2 BF=h=2
DBF: DB2=DF2+BF2=36
Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость α (альфа). В принадлежит α (альфа). Докажите, что прямая, проходящая через АВ и ВС параллельна α (альфа).
По условию сказано что сторона АС лежит на плоскости α (альфа), а это значит что точка A∈α, С∈α. Также тут говорится что B∈α а это значит что весь треугольник ABC построен на плоскости α. Следовательно любые прямые проведенные через две стороны будут принадлежать этой плоскости или будут ей параллельны.
Дан треугольник МКР. Плоскость параллельная прямой МК пересекает МР в точке М1, РК в точке К1. Найти М1К1, если МР относится к М1Р как 12 к 5 (МР:М1Р = 12:5), а МК = 18 см
Начнем с того что начертим рисунок.
Прямая M1K1 параллельна MK, это сделует из теоремы о плоскости и прямой, которая гласит: если прямая параллельная плоскости, то прямая построенная на этой плоскости будет параллельна первой прямой. Отсюда мы получим два подобных треугольника MKP и M1K1P
MK/M1K1=18/x ; где x - сторона M1K1
18/x=12/5 (согласно подобию по двум сторонам)
Р лежит в плоскости трапеции АВС D . А D параллельна ВС. Доказать, что прямая, проходящая через середины РВ и РС параллельна Средней линии трапеции.
Для начала вспомним что такое средняя линия, это линия которая соединяет половоны отрезков AB и DC. На рисунке я показал среднюю линию пунктиром.
Теперь мы поставили точку и провели линии к B и C. Получился треугольник, в котором половины сторон РВ и РС будут образовывать линию параллельную ВС, а как мы знаем средняя линия параллельна ВС, а значит и нашей прямой.
точка P на рисунке лежит внутри трапеции, но если мы ее нарисуем за ее пределами, от этого не изменится решение!
Середины сторон CD и BD треугольника BCD лежат в плоскости (альфа) а сторона ВС не лежит в этой плоскости. Докажите что прямая ВС и альфа параллельны.
Прямая на рисунке C1B1 является средней линией треугольника BCD которая параллельна стороне CB. Если прямая СB паралельна прямой лежащей на плоскости альфа, то она будет параллельна самой плоскости.
Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите высоту пирамиды
ABC - равносторонний треугольник. BD является высотой равностороннего треугольника.
Высота O1O, опущенная из вершины на основание ABC, падает в центр вписанного в основание круга.
Если подумать то O1O = OD, так как угол OO1D равен 90 градусов, а угол O1DO равен 45 градусам.
Найдем радиус вписанной окружности по формуле [√(3) * AB ]/6
[√(3)*12]/6=2√3
Основание пирамиды - ромб с диагоналями 6 м и 8 м, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды
. 
На рисунке представлена пирамида ABCDS где S является вершиной и высота падает в центр O пересечения диагоналей основания ABCD. SK является апофемой.
Для того чтобы найти площадь боковой поверхности необходимо сложить площади ΔABS, ΔADS, ΔDCS, ΔBCS.
ΔABS=ΔDCS=ΔADS=ΔBCS, это следует из того что пирамида правильная, высота падает в центр пересечения диагоналей AC и BD, а стороны основания равны!
Сначала найдем сторону основания ABCD, для этого вспомним что в ромбе половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник. Отсюда AB=BC=DC=AD=√(42+32)=5 см.
Так как треугольники ΔABS=ΔDCS=ΔADS=ΔBCS равны, то достаточно найти площадь одного из них и умножить все на 4.
S(ΔDCS)=SK*DC=5*SK
Точка K является центром описанной окружности вокруг треугольника COD. OK=радиусу этой окружности, и находится по формуле:
S(ΔCOD)=3*4/2=6
OK=R=CO*OD*DC/4*S(ΔCOD)=4*3*5/4*6=60/24=2.5
SK2=12+2.52=1+6.25=7.25
S(ΔDCS)=SK*DC=5*√7,25
Sбок=5*4*√7,25=20*√7,25
Дано прямая четырехугольная пирамида. Диагональ основание 10см. боковое ребро 13 см. Найдите высоту пирамиды.
Получается что у нас есть равнобедренный треугольник. Площадь его равна: √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p полупериметр равный 13+13+10=18 см.
Теперь объясню зачем нам площадь такого треугольника понадобилась, дело в том что высоту можно будет найти исходя из формулы SΔ=a*h, где a - основание.
√(p(p-a)(p-b)(p-c))=a*h
√(18(18-10)(18-13)(18-13))=10*H
Основание пирамиды треугольник с катетами 6 и 8см. угол между боковой поверхностью и основанием составляет 60 градусов. Найдите высоту пирамиды.
В основании этой пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Найдем гипотенузу - √(6*6+8*8)=10 см.
Боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания на угол 60 градусов, апофемы боковых граней равны, а это значит что основание высоты совпадает с центром вписанной окружности.
Найдем радиус вписанной окружности а прямоугольный треугольник по формуле, можете записать пригодится: r= (a+b-c)/2, где a и b - катеты, c - гипотенуза.
r=(6+8-10)/2=2 (один из катетов образованных прямоуг. треугольником с высотой h)
Напротив угла 30 лежит сторона в 2 раза меньшая гипотенузе. Следовательно высота будет равна:
h=√(4*4-2*2)=√12
В шаре радиуса 41 см на расстоянии 9 см от центра проведено сечение. Найдите площадь этого сечения)помогите не получается у меня с геометрией
Итак сечением данным будет являться окружность, площадь которой равна Sсеч=πr2
Найди радиус такой окружности можно по теореме Пифагора, на рисунке показано как образуется прямоугольный треугольник. Итак r2=R2-92=1600
Sсеч=πr2=1600π
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2520 см(в кубе),а площадь основания 168 см(в квадрате),и длина на 2 см больше ширины. Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда.
Даже рисунок не понадобится, потому что решается устно.
Итак что такое объем параллелепипеда? Vпар=Sосн*H, где H одно из наших ребер и их всего 4. Покажу на рисунке позже.
H=2520/168=15 см.
Итак мы нашли одно ребро. осталось остальные два, которые получаются их основания.
Sосн=a*b; где a, b - стороны основания параллелепипеда.
Известно что a=b+2
Значит верным будет:
Решение квадратных уравнений, быстро и просто.
Ответ: b1 = 12; b2 = -14 (не может быть так как отрицательное)
Отсюда b=12; a=12+2=14
Теперь рисунок.
Для наглядности, я специально обозначил ребра равные a красным цветом. Ребра b зеленым, а высота H осталась черным.
Получается что всего в параллелепипеде по 4 каждого ребра. То есть логично записать что сумма будет равна:
P=4*(a+b+H)=4*(12+14+15)=41*4=164
Площадь основания пирамиды равна 108 дм2, а ее высота - 24 дм. Сечения пирамиды, параллельные плоскости основания, имеют площади 48 и 75. Найдите расстояние между плоскостями сечений.
Итак мы имеет пирамиду ABCS (нарисовал треугольную, потому что в этом задании нет разницы)
Начертим также два сечения DFE и D1F1E1 параллельные плоскости ABC.
Теперь мы видим что у нас получились подобные пирамиды. Давай разберем по порядку:
1) Пирамида DFES будет подобна пирамиде ABCS. Согласно правилу подобия площадей S(ΔABC)/S(ΔDFE)=k2
Найдя коэффициент подобия, мы сможем найти высоту пирамиды DFES.
108/48=2,25 → k=√(2,25)=1.5
Теперь вспомним, что высоты, стороны у подобных фигур в отношении получают k=h1/h2
Итак наша высота равна 24/h(DFES)=1.5 → h(DFES)=24/1.5=16
2) Точно также пирамида D1F1E1S подобна ABCS. Найдем ее высоту, таким же способом.
k=√(108/75)=1.2
24/h(D1F1E1S)=1.2 → h(D1F1E1S)=24/1.2=20
3) Нам нужно расстояние от плоскости DFE до D1F1E1. Оно будет равно 20-16=4 дм.
Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с углом при вершине α и радиусом описанной окружности R . Две неравные боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом β . Найдите боковую поверхность пира миды.
На рисунке показана пирамида ABCS, из вершины S пр ведена апофема SK на AC равнобедренного треугольника при основании. Все это нам потребуется для решения данной задачи.
Итак радиус описаной окружности может быть найден как:
R=a/2sinα → CB=a=R*2sinα
Теперь зная сторону CB найдем остальные стороны AC и AB, которые равны между собой.
∠ABC=∠ACB=(180-α)/2
AC=AB=R*2sin[(π-α)/2]
Давай запишем какие площади составляют боковую поверхность:
Рисунок здесь простой. В принципе в стереометрии построить схему задачи приблизительно выдерживая пропорции в произвольном положении несложно. Здесь я приведу простую схему. Построим на плоскости треугольник АВС. АВ (основание) на горизонтальной оси(можно ось Х). Строим в натуральную величину. По сторонам АС=ВС=8 и углу у основания равнобедренного треугольника 22*30. Продолжим сторону АС и проведём на неё перпендикуляр из точки В. Он пересечёт продолжение АС в точке Д. Из точки В проведём перпендикуляр к горизонтальной оси длиной 4 см, обозначим его верхнюю точку К. Соединим К и Д. Для наглядности проведём прямую через К параллельно АД. Затем прямую через точку А параллельно ДК. Они пересекуться в точке М. Теперь в стереометрии имеем-АДКМ(часть плоскости альфа), АД ребро двугранного угла между этой плоскостью и плоскостью АВС. Нужно найти линейный угол КДВ этого двугранного угла. Вернёмся к плоскости СЕ=ВС*sin 22*30=8*0,3827=3,06. ВЕ=ВС*cos 22*30= 8*0,9239=7,39. Треугольник равнобедренный значит АВ=2ВЕ=14,78. Отсюда площадь треугольника АВС Sавс=1/2* СЕ*АВ=1/2 *3,06*14,78=22,61. Также Sавс=1/2* АС*ВД. Приравнивая получим 22,61=1/2*АС*ВД. Отсюда ВД=2*22,61/8=5,65. Перпендикуляр ВД к ребру АД это проекция перпендикуляра КВ к плоскости альфа на плоскость АВС. Далее КВ/ВД= sin КДВ =4/5.65=0,7079. Отсюда угол~45 градусов.Похожие задачи:
1. Найдите отношение высот BN и AM равнобедренного треугольника ABC, в котором угол при основании BC равен альфа.
2. Высота ВД прямоугольного треугольника АВС равна 24 см и отсекает от гипотенузы отрезок ДС, равный 18 см.
Найдите АВ и косинус А
3. Диагональ АС прямоугольника АВСД равна 3 см и составляет стороной АД угол 37o. Найдите площадь прямоугольника АВСД.
Точка, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, удалена от второй плоскости на 6 см, а от линии их пересечения - на 12 см. Вычислите угол между плоскостями.
Даны точки М(3;0;-1), К(1;3;0), Р(4;-1;2). Найдите на оси Ох такую точку А , чтобы векторы МК и РА были перпендикулярны.
Две вершины равностороннего треугольника расположены в плоскости альфа . Угол между плоскостью альфа и плоскостью данного треугольника равен фи. Сторона треугольника равна m. Вычислите:
1) расстояние от третьей вершины треугольника до плоскости альфа;
2) площадь проекции треугольника на плоскость альфа.
Плоскость проходит через сторону АС? АВС. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE ?? ? Доказательство: 1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно? В. 2. DE – средняя линия (по определению) ? DE ??АС (по свойству). A. С. ? DE ?? ? (по признаку параллельности прямой и плоскости).
Картинка 31 из презентации «Теоремы о параллельности плоскостей и прямых» к урокам геометрии на тему «Параллельность в пространстве»Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока геометрии, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Теоремы о параллельности плоскостей и прямых.pptx» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 478 КБ.
Скачать презентациюПараллельность в пространстве
«Теоремы о параллельности плоскостей и прямых» - Плоскости не пересекаются. Следствия из аксиом. Любые три точки лежат в одной плоскости. Теорема. Проведем плоскость. Аксиомы. Две прямые. Взаимное расположение прямых в пространстве. Плоскость проходит через сторону АС. Пропущенные слова. Прямая, не лежащая в данной плоскости. Отрезки параллельных прямых.
«Параллельность прямых в пространстве» - Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра додекаэдра. Назовите прямые, проходящие через вершины треугольной призмы. Прямые AA1 и CC1, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны. Плоские углы. Грань ABCDEF – правильный шестиугольник. Прямые, проходящие через вершины многогранника.
«Определение параллельности прямых» - Одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость. Взаимное расположение прямых. Скрещивающиеся прямые. Признак параллельности. Лемма. Угол между прямыми. Теорема. Две прямые. Метод. Стороны. Плоскость. Свойство. Полуплоскости. Две параллельные плоскости. Параллельные прямые в пространстве. Параллелепипед.
«Параллельность прямой и плоскости» - Признак параллельности прямой и плоскости. Найти угол между прямыми: MB и AD, AM и CD, AM и BC. Дано: ? II ?, ? ? ? = a, ? ? ? = b. Доказать: ? II ?. Скрещивающиеся прямые. 1. Определение. 2. Признак. 3. Свойства. E и F – середины AD и CD P и K середины AB и BC Доказать: EF ll (ABC) PK (ADC). 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
«Параллельные прямые в пространстве» - Лучи в пространстве называются параллельными, если … Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие точек пересечения. Вспомним планиметрию. …Они лежат на параллельных прямых. Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве?
«Параллельность плоскостей в пространстве» - Плоскости. Признак параллельности двух плоскостей. Грани икосаэдра. Докажите параллельность плоскостей. Плоскость. Параллельные плоскости. Могут ли пересекаться плоскости. Прямая одной плоскости. Параллельность плоскостей. Углы. Утверждение. Плоскости, проходящие через непараллельные прямые. Плоские углы.
Всего в теме 14 презентаций
