10 Techniken zum Lösen einer quadratischen Gleichung. Forschungsarbeit „10 Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen“

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Im Schulmathematikkurs werden Formeln für die Wurzeln quadratischer Gleichungen untersucht, mit deren Hilfe Sie beliebige quadratische Gleichungen lösen können. Es gibt jedoch auch andere Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen, mit denen Sie viele Gleichungen sehr schnell und effizient lösen können. Es gibt zehn Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. In meiner Arbeit habe ich jeden von ihnen im Detail analysiert.

1. METHODE : Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

x 2 + 10x - 24 = 0.

Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Daher kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

(x + 12)(x - 2) = 0

Da das Produkt Null ist, ist mindestens einer seiner Faktoren Null. Daher wird die linke Seite der Gleichung bei null x = 2, und auch wann x = - 12. Dies bedeutet, dass die Zahl 2 Und - 12 sind die Wurzeln der Gleichung x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METHODE : Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 + 6x - 7 = 0.

Wählen Sie auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat aus.

Dazu schreiben wir den Ausdruck x 2 + 6x in folgender Form:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Im resultierenden Ausdruck ist der erste Term das Quadrat der Zahl x und der zweite das Doppelprodukt von x mit 3. Um ein vollständiges Quadrat zu erhalten, müssen Sie daher 3 2 addieren, da

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Lassen Sie uns nun die linke Seite der Gleichung transformieren

x 2 + 6x - 7 = 0,

addieren und subtrahieren 3 2. Wir haben:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Somit kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Somit, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 oder x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METHODE :Quadratische Gleichungen mit der Formel lösen.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung multiplizieren

ah 2 +Bx + c = 0, a ≠ 0

auf 4a und nacheinander haben wir:

4a 2 x 2 + 4aBx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2axB + B 2 ) - B 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Beispiele.

A) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,B= 7, c = 3,D = B 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Im Falle einer positiven Diskriminante, d.h. bei

B 2 - 4 ac >0 , Die gleichung ah 2 +Bx + c = 0 hat zwei verschiedene Wurzeln.

B) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,B= - 4, s = 1,D = B 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, eine Wurzel;

Wenn also die Diskriminante Null ist, d. h. B 2 - 4 ac = 0 , dann die Gleichung

ah 2 +Bx + c = 0 hat eine einzelne Wurzel

V) Lösen wir die Gleichung: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,B= 3, c = 4,D = B 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

Wenn also die Diskriminante negativ ist, d. h. B 2 - 4 ac < 0 ,

Die gleichung ah 2 +Bx + c = 0 hat keine Wurzeln.

Formel (1) der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ah 2 +Bx + c = 0 ermöglicht es Ihnen, Wurzeln zu finden beliebig quadratische Gleichung (falls vorhanden), einschließlich reduzierter und unvollständiger. Formel (1) wird verbal wie folgt ausgedrückt: die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sind gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen plus minus der Quadratwurzel des Quadrats dieses Koeffizienten ist, ohne das Produkt des ersten Koeffizienten mit dem freien Term zu vervierfachen, und Der Nenner ist das Doppelte des ersten Koeffizienten.

4. METHODE: Gleichungen mit dem Satz von Vieta lösen.

Bekanntlich hat die reduzierte quadratische Gleichung die Form

x 2 +px + C = 0. (1)

Seine Wurzeln erfüllen den Satz von Vieta, der, wann a =1 sieht aus wie

X 1 + X 2 = - P

Daraus können wir folgende Schlussfolgerungen ziehen (aus den Koeffizienten p und q können wir die Vorzeichen der Wurzeln vorhersagen).

a) Wenn das Halbmitglied Q gegebene Gleichung (1) ist positiv ( Q > 0 ), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit gleichem Vorzeichen und dies hängt vom zweiten Koeffizienten ab P. Wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln negativ, wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln positiv.

Zum Beispiel,

X 2 – 3 X + 2 = 0; X 1 = 2 Und X 2 = 1, als Q = 2 > 0 Und P = - 3 < 0;

X 2 + 8 X + 7 = 0; X 1 = - 7 Und X 2 = - 1, als Q = 7 > 0 Und P= 8 > 0.

b) Wenn Sie ein kostenloses Mitglied sind Q gegebene Gleichung (1) ist negativ ( Q < 0 ), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit unterschiedlichem Vorzeichen und die größere Wurzel ist positiv, wenn P < 0 , oder negativ wenn P > 0 .

Zum Beispiel,

X 2 + 4 X – 5 = 0; X 1 = - 5 Und X 2 = 1, als Q= - 5 < 0 Und P = 4 > 0;

X 2 – 8 X – 9 = 0; X 1 = 9 Und X 2 = - 1, als Q = - 9 < 0 Und P = - 8 < 0.

5. METHODE: Gleichungen mit der „Wurf“-Methode lösen.

Betrachten Sie die quadratische Gleichung

ah 2 +Bx + c = 0, Wo a ≠ 0.

Wenn wir beide Seiten mit a multiplizieren, erhalten wir die Gleichung

a 2 x 2 + aBx + ac = 0.

Lassen ah = y, Wo x = y/a; dann kommen wir zur Gleichung

y 2 +von+ ac = 0,

ist äquivalent dazu. Seine Wurzeln um 1 Und bei 2 kann mit dem Satz von Vieta gefunden werden.

Endlich bekommen wir

x 1 = y 1 /a Und x 1 = y 2 /a.

Mit dieser Methode der Koeffizient A multipliziert mit dem freien Term, als ob man ihm „zugeworfen“ würde, weshalb es so heißt Übertragungsmethode. Diese Methode wird verwendet, wenn Sie die Wurzeln der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta leicht finden können und, was am wichtigsten ist, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.

Beispiel.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen 2x 2 – 11x + 15 = 0.

Lösung. Lassen Sie uns den Koeffizienten 2 auf den freien Term „werfen“ und als Ergebnis erhalten wir die Gleichung

y 2 – 11y + 30 = 0.

Nach dem Satz von Vieta

y 2 = 6X 2 = 6/2 X 2 = 3.

Antwort: 2,5; 3.

6. METHODE: Eigenschaften von Koeffizienten einer quadratischen Gleichung.

A. Gegeben sei eine quadratische Gleichung

ah 2 +Bx + c = 0, Wo a ≠ 0.

1) Wenn, a+B+ c = 0 (d. h. die Summe der Koeffizienten ist Null), dann ist x 1 = 1,

x 2 = s/a.

Nachweisen. Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch a ≠ 0 dividieren, erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung

X 2 + B/ A X + C/ A = 0.

X 1 + X 2 = - B/ A,

X 1 X 2 = 1 C/ A.

Nach Bedingung A -B+ c = 0, Wo B= a + c. Auf diese Weise,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

diese. x 1 = -1 Und x 2 =C/ A, was wir beweisen mussten.

Beispiele.

1) Lassen Sie uns die Gleichung lösen 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Lösung. Als ein +B+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 =C/ A = -208/345.

Antwort 1; -208/345.

2) Lösen Sie die Gleichung 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Lösung. Als ein +B+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 =C/ A = 115/132.

Antwort 1; 115/132.

B. Wenn der zweite Koeffizient B = 2 k eine gerade Zahl ist, dann ist die Wurzelformel

Beispiel.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen 3x2 - 14x + 16 = 0.

Lösung. Wir haben: a = 3,B= - 14, s = 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Kop'evsk ländliches Gymnasium

10 Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen

Leitung: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

Mathematiklehrer

Dorf Kopevo, 2007

1. Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen

1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon

1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste

1.3 Quadratische Gleichungen in Indien

1.4 Quadratische Gleichungen von al-Khorezmi

1.5 Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVII Jahrhunderte

1.6 Über den Satz von Vieta

2. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

Abschluss

Literatur

1. Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen

1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur ersten, sondern auch zweiten Grades zu lösen, ergab sich schon in der Antike aus der Notwendigkeit, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Grundstücksflächen und auch mit Ausgrabungsarbeiten militärischer Art zu lösen wie auch bei der Entwicklung der Astronomie und Mathematik selbst. Quadratische Gleichungen konnten um 2000 v. Chr. gelöst werden. e. Babylonier.

Mit moderner algebraischer Notation können wir sagen, dass es in ihren Keilschrifttexten neben unvollständigen auch vollständige quadratische Gleichungen gibt:

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

Die in den babylonischen Texten dargelegte Regel zur Lösung dieser Gleichungen stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, es ist jedoch nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel gelangten. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte liefern lediglich Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten, ohne Hinweise darauf, wie sie gefunden wurden.

Trotz des hohen Entwicklungsstands der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen.

1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste.

Die Arithmetik des Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, sondern eine systematische Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch die Konstruktion von Gleichungen unterschiedlichen Grades gelöst werden.

Beim Verfassen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen.

Hier liegt zum Beispiel eine seiner Aufgaben.

Aufgabe 11.„Finden Sie zwei Zahlen und wissen Sie, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist.“

Diophantus argumentiert wie folgt: Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass die erforderlichen Zahlen nicht gleich sind, denn wenn sie gleich wären, wäre ihr Produkt nicht gleich 96, sondern 100. Somit wäre eine von ihnen größer als die Hälfte ihrer Summe, d.h. . 10 + x, der andere ist weniger, d.h. 10er. Der Unterschied zwischen ihnen 2x.

Daher die Gleichung:

(10 + x)(10 - x) = 96

100er 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Von hier x = 2. Eine der erforderlichen Zahlen ist gleich 12 , andere 8 . Lösung x = -2 denn Diophantus existiert nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte.

Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir eine der benötigten Zahlen als Unbekannte wählen, dann kommen wir zu einer Lösung der Gleichung

y(20 - y) = 96,

bei2 - 20µ + 96 = 0. (2)

Es ist klar, dass Diophantus die Lösung vereinfacht, indem er die halbe Differenz der erforderlichen Zahlen als Unbekannte wählt; es gelingt ihm, das Problem auf die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung (1) zu reduzieren.

1.3 Quadratische Gleichungen in Indien

Probleme zu quadratischen Gleichungen finden sich bereits in der astronomischen Abhandlung „Aryabhattiam“, die 499 vom indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta verfasst wurde. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (7. Jahrhundert), skizzierte eine allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden:

Oh2 + Bx = c, a > 0. (1)

In Gleichung (1) sind die Koeffizienten, außer A, kann auch negativ sein. Brahmaguptas Herrschaft ist im Wesentlichen dieselbe wie unsere.

Im alten Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher heißt es über solche Wettbewerbe: „Wie die Sonne mit ihrem Glanz die Sterne übertrifft, so wird ein gelehrter Mann in öffentlichen Versammlungen den Ruhm eines anderen in den Schatten stellen und algebraische Probleme vorschlagen und lösen.“ Probleme wurden oft in poetischer Form dargestellt.

Dies ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskars.

Aufgabe 13.

„Ein Schwarm verspielter Affen und zwölf entlang der Weinreben ...

Die Behörden hatten nach dem Essen Spaß. Sie fingen an zu springen, zu hängen...

Da sind sie auf dem Platz, Teil acht. Wie viele Affen gab es?

Ich hatte Spaß auf der Lichtung. Sag mir, in diesem Paket?

Bhaskaras Lösung zeigt, dass er wusste, dass die Wurzeln quadratischer Gleichungen zweiwertig sind (Abb. 3).

Die Gleichung zu Aufgabe 13 lautet:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara schreibt unter dem Deckmantel:

X2 - 64x = -768

und um die linke Seite dieser Gleichung zu quadrieren, addiert man beide Seiten 32 2 , dann erhalten:

X2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X1 = 16, x2 = 48.

1.4 Quadratische Gleichungen in al-Khorezmi

In der algebraischen Abhandlung von al-Khorezmi wird eine Klassifizierung linearer und quadratischer Gleichungen gegeben. Der Autor zählt 6 Arten von Gleichungen und drückt sie wie folgt aus:

1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d. h. Oh2 + s =BX.

2) „Quadrate sind gleich Zahlen“, d.h. Oh2 = s.

3) „Die Wurzeln sind gleich der Zahl“, d.h. ah = s.

4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d. h. Oh2 + s =BX.

5) „Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahlen“, d.h. Oh2 + bx= s.

6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d. h.bx+ c = ah2 .

Für al-Khorezmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Addenden und keine Subtrahierbaren. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor stellt Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Techniken von al-jabr und al-muqabala vor. Seine Entscheidungen stimmen natürlich nicht vollständig mit unseren überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sollte beispielsweise beachtet werden, dass bei der Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung erster Art

al-Khorezmi berücksichtigt, wie alle Mathematiker vor dem 17. Jahrhundert, die Nulllösung nicht, wahrscheinlich weil sie bei bestimmten praktischen Problemen keine Rolle spielt. Bei der Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen legt al-Khorezmi die Regeln zu deren Lösung anhand bestimmter numerischer Beispiele und anschließender geometrischer Beweise fest.

Aufgabe 14.„Das Quadrat und die Zahl 21 entsprechen 10 Wurzeln. Finde die Wurzel“ (unter der Annahme der Wurzel der Gleichung x2 + 21 = 10x).

Die Lösung des Autors sieht ungefähr so ​​aus: Teile die Anzahl der Wurzeln in zwei Hälften, du erhältst 5, multipliziere 5 mit sich selbst, subtrahiere 21 vom Produkt, was übrig bleibt ist 4. Ziehe die Wurzel aus 4, du erhältst 2. Subtrahiere 2 von 5 , erhalten Sie 3, dies ist die gewünschte Wurzel. Oder addiere 2 zu 5, was 7 ergibt, das ist auch eine Wurzel.

Die Abhandlung von al-Khorezmi ist das erste uns überlieferte Buch, das die Klassifikation quadratischer Gleichungen systematisch darlegt und Formeln zu ihrer Lösung angibt.

1.5 Quadratische Gleichungen in EuropaXIII- XVIIbb

Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im Buch Abakus dargelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Dieses umfangreiche Werk, das den Einfluss der Mathematik sowohl aus den Ländern des Islam als auch aus dem antiken Griechenland widerspiegelt, zeichnet sich durch seine Vollständigkeit und Klarheit der Darstellung aus. Der Autor entwickelte eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Lösung von Problemen und war der erste in Europa, der sich der Einführung negativer Zahlen näherte. Sein Buch trug zur Verbreitung algebraischer Kenntnisse nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Probleme aus dem Buch Abakus wurden in fast allen europäischen Lehrbüchern des 16. bis 17. Jahrhunderts verwendet. und teilweise XVIII.

SEITENUMBRUCH--

Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen reduziert auf eine einzige kanonische Form:

X2 + bx= c,

für alle möglichen Kombinationen von Koeffizientenzeichen B, Mit wurde in Europa erst 1544 von M. Stiefel formuliert.

Die Ableitung der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form ist von Viète erhältlich, Viète erkannte jedoch nur positive Wurzeln. Zu den ersten im 16. Jahrhundert gehörten die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano und Bombelli. Neben positiven werden auch negative Wurzeln berücksichtigt. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeit von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern erhält die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form.

1.6 Über den Satz von Vieta

Der nach Vieta benannte Satz, der die Beziehung zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln ausdrückt, wurde von ihm erstmals 1591 wie folgt formuliert: „Wenn B+ D, multipliziert mit A- A2 , gleich BD, Das A gleicht IN und gleich D».

Um Vieta zu verstehen, sollten wir uns daran erinnern A, wie jeder Vokalbuchstabe, bedeutete das Unbekannte (unser X), Vokale IN,D- Koeffizienten für das Unbekannte. In der Sprache der modernen Algebra bedeutet die obige Vieta-Formulierung: wenn vorhanden

(ein +B)x - x2 = ab,

X2 - (a +B)x + aB= 0,

X1 = a, x2 = B.

Viète drückte die Beziehung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten von Gleichungen mit allgemeinen Formeln aus, die unter Verwendung von Symbolen geschrieben wurden, und stellte eine Einheitlichkeit in den Methoden zur Lösung von Gleichungen her. Allerdings ist die Symbolik Vietnams noch weit von ihrer modernen Form entfernt. Er kannte keine negativen Zahlen und berücksichtigte daher beim Lösen von Gleichungen nur Fälle, in denen alle Wurzeln positiv waren.

2. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind die Grundlage, auf der das majestätische Gebäude der Algebra ruht. Quadratische Gleichungen werden häufig zur Lösung trigonometrischer, exponentieller, logarithmischer, irrationaler und transzendentaler Gleichungen und Ungleichungen verwendet. Wir alle wissen von der Schule (8. Klasse) bis zum Abschluss, wie man quadratische Gleichungen löst.

Im Schulmathematikkurs werden Formeln für die Wurzeln quadratischer Gleichungen untersucht, mit deren Hilfe Sie beliebige quadratische Gleichungen lösen können. Es gibt jedoch auch andere Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen, mit denen Sie viele Gleichungen sehr schnell und effizient lösen können. Es gibt zehn Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. In meiner Arbeit habe ich jeden von ihnen im Detail analysiert.

1. METHODE : Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen

X2 + 10x - 24 = 0.

Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren:

X2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Daher kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

(x + 12)(x - 2) = 0

Da das Produkt Null ist, ist mindestens einer seiner Faktoren Null. Daher wird die linke Seite der Gleichung bei null x = 2, und auch wann x = - 12. Dies bedeutet, dass die Zahl 2 Und - 12 sind die Wurzeln der Gleichung X2 + 10x - 24 = 0.

2. METHODE : Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen X2 + 6x - 7 = 0.

Wählen Sie auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat aus.

Dazu schreiben wir den Ausdruck x2 + 6x in folgender Form:

X2 + 6x = x2 + 2 x 3.

Im resultierenden Ausdruck ist der erste Term das Quadrat der Zahl x und der zweite das Doppelprodukt von x mal 3. Um ein vollständiges Quadrat zu erhalten, müssen Sie daher 32 addieren, da

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2 .

Lassen Sie uns nun die linke Seite der Gleichung transformieren

X2 + 6x - 7 = 0,

addieren und subtrahieren 32. Wir haben:

X2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

Somit kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden:

(x + 3)2 - 16 =0, (x + 3)2 = 16.

Somit, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, oder x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METHODE :Quadratische Gleichungen mit der Formel lösen.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung multiplizieren

Oh2 + Bx + c = 0, a ≠ 0

auf 4a und nacheinander haben wir:

4a2 X2 + 4aBx + 4ac = 0,

((2ah)2 + 2ahB+ B2 ) - B2 + 4 ac= 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Beispiele.

A) Lösen wir die Gleichung: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,B= 7, c = 3,D= B2 - 4 ac= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Im Falle einer positiven Diskriminante, d.h. bei

B2 - 4 ac>0 , Die gleichung Oh2 + Bx + c = 0 hat zwei verschiedene Wurzeln.

B) Lösen wir die Gleichung: 4x2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,B= - 4, s = 1,D= B2 - 4 ac= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D= 0, eine Wurzel;

Wenn also die Diskriminante Null ist, d. h. B2 - 4 ac= 0 , dann die Gleichung

Oh2 + Bx + c = 0 hat eine einzige Wurzel

V) Lösen wir die Gleichung: 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,B= 3, c = 4,D= B2 - 4 ac= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Fortsetzung
--SEITENUMBRUCH--

Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

Wenn also die Diskriminante negativ ist, d. h. B2 - 4 ac< 0 ,

Die gleichung Oh2 + Bx + c = 0 hat keine Wurzeln.

Formel (1) der Wurzeln einer quadratischen Gleichung Oh2 + Bx + c = 0 ermöglicht es Ihnen, Wurzeln zu finden beliebig quadratische Gleichung (falls vorhanden), einschließlich reduzierter und unvollständiger. Formel (1) wird verbal wie folgt ausgedrückt: die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sind gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen plus minus der Quadratwurzel des Quadrats dieses Koeffizienten ist, ohne das Produkt des ersten Koeffizienten mit dem freien Term zu vervierfachen, und Der Nenner ist das Doppelte des ersten Koeffizienten.

4. METHODE: Gleichungen mit dem Satz von Vieta lösen.

Bekanntlich hat die reduzierte quadratische Gleichung die Form

X2 + px+ C= 0. (1)

Seine Wurzeln erfüllen den Satz von Vieta, der, wann a =1 sieht aus wie

/>X1 X2 = Q,

X1 + X2 = - P

Daraus können wir folgende Schlussfolgerungen ziehen (aus den Koeffizienten p und q können wir die Vorzeichen der Wurzeln vorhersagen).

a) Wenn das Halbmitglied Q gegebene Gleichung (1) ist positiv ( Q> 0 ), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit gleichem Vorzeichen und dies hängt vom zweiten Koeffizienten ab P. Wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln negativ, wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln positiv.

Zum Beispiel,

X2 – 3 X+ 2 = 0; X1 = 2 Und X2 = 1, als Q= 2 > 0 Und P= - 3 < 0;

X2 + 8 X+ 7 = 0; X1 = - 7 Und X2 = - 1, als Q= 7 > 0 Und P= 8 > 0.

b) Wenn Sie ein kostenloses Mitglied sind Q gegebene Gleichung (1) ist negativ ( Q< 0 ), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit unterschiedlichem Vorzeichen und die größere Wurzel ist positiv, wenn P< 0 , oder negativ wenn P> 0 .

Zum Beispiel,

X2 + 4 X– 5 = 0; X1 = - 5 Und X2 = 1, als Q= - 5 < 0 Und P= 4 > 0;

X2 – 8 X– 9 = 0; X1 = 9 Und X2 = - 1, als Q= - 9 < 0 Und P= - 8 < 0.

5. METHODE: Gleichungen mit der „Wurf“-Methode lösen.

Betrachten Sie die quadratische Gleichung

Oh2 + Bx + c = 0, Wo a ≠ 0.

Wenn wir beide Seiten mit a multiplizieren, erhalten wir die Gleichung

A2 X2 + aBx + ac = 0.

Lassen ah = y, Wo x = y/a; dann kommen wir zur Gleichung

bei2 + von+ ac = 0,

ist äquivalent dazu. Seine Wurzeln bei1 Und bei 2 kann mit dem Satz von Vieta gefunden werden.

Endlich bekommen wir

X1 = y1 /A Und X1 = y2 /A.

Mit dieser Methode der Koeffizient A multipliziert mit dem freien Term, als ob man ihm „zugeworfen“ würde, weshalb es so heißt Übertragungsmethode. Diese Methode wird verwendet, wenn Sie die Wurzeln der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta leicht finden können und, was am wichtigsten ist, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.

Beispiel.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen 2x2 – 11x + 15 = 0.

Lösung. Lassen Sie uns den Koeffizienten 2 auf den freien Term „werfen“ und als Ergebnis erhalten wir die Gleichung

bei2 – 11µ + 30 = 0.

Nach dem Satz von Vieta

/>/>/>/>/>bei1 = 5 x1 = 5/2 X1 = 2,5

bei2 = 6 X2 = 6/2 X2 = 3.

Antwort: 2,5; 3.

6. METHODE: Eigenschaften von Koeffizienten einer quadratischen Gleichung.

A. Gegeben sei eine quadratische Gleichung

Oh2 + Bx + c = 0, Wo a ≠ 0.

1) Wenn, a+B+ c = 0 (d. h. die Summe der Koeffizienten ist Null), dann x1 = 1,

X2 = s/a.

Nachweisen. Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch a ≠ 0 dividieren, erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung

X2 + B/ A X+ C/ A= 0.

/>Nach dem Satz von Vieta

X1 + X2 = - B/ A,

X1 X2 = 1 C/ A.

Nach Bedingung A -B+ c = 0, Wo B= a + c. Auf diese Weise,

/>X1 +x2 = - A+ b/a= -1 – c/a,

X1 X2 = - 1 (- c/a),

diese. X1 = -1 Und X2 = C/ A, was wir beweisen mussten.

Beispiele.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen 345x2 – 137x – 208 = 0.

Lösung. Als ein +B+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Das

X1 = 1, x2 = C/ A= -208/345.

Antwort 1; -208/345.

2) Lösen Sie die Gleichung 132x2 – 247x + 115 = 0.

Lösung. Als ein +B+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Das

X1 = 1, x2 = C/ A= 115/132.

Antwort 1; 115/132.

B. Wenn der zweite Koeffizient B= 2 k eine gerade Zahl ist, dann ist die Wurzelformel

Fortsetzung
--SEITENUMBRUCH--

Beispiel.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen 3x2 - 14x + 16 = 0.

Lösung. Wir haben: a = 3,B= - 14, s = 16,k= - 7 ;

D= k2 – ac= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D> 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Antwort: 2; 8/3

IN. Reduzierte Gleichung

X2 + px +Q= 0

stimmt mit einer allgemeinen Gleichung überein, in der a = 1, B= S Und c =Q. Daher lautet die Wurzelformel für die reduzierte quadratische Gleichung

hat die Form:

Formel (3) ist besonders praktisch, wenn R- gerade Zahl.

Beispiel. Lassen Sie uns die Gleichung lösen X2 – 14x – 15 = 0.

Lösung. Wir haben: X1,2 =7±

Antwort: x1 = 15; X2 = -1.

7. METHODE: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung.

Wenn in Gl.

X2 + px+ Q= 0

Verschieben wir den zweiten und dritten Term auf die rechte Seite, erhalten wir

X2 = - px- Q.

Lassen Sie uns Diagramme der Abhängigkeiten y = x2 und y = - px- q erstellen.

Der Graph der ersten Abhängigkeit ist eine Parabel, die durch den Ursprung verläuft. Zweiter Abhängigkeitsgraph -

gerade (Abb. 1). Folgende Fälle sind möglich:

Eine Gerade und eine Parabel können sich in zwei Punkten schneiden, die Abszissen der Schnittpunkte sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung;

Eine Gerade und eine Parabel können sich berühren (nur ein gemeinsamer Punkt), d.h. die Gleichung hat eine Lösung;

Eine Gerade und eine Parabel haben keine gemeinsamen Punkte, d.h. Eine quadratische Gleichung hat keine Wurzeln.

Beispiele.

1) Lassen Sie uns die Gleichung grafisch lösen X2 - 3x - 4 = 0(Abb. 2).

Lösung. Schreiben wir die Gleichung in das Formular X2 = 3x + 4.

Lasst uns eine Parabel bauen y = x2 und direkt y = 3x + 4. Direkte

y = 3x + 4 kann aus zwei Punkten aufgebaut werden M (0; 4) Und

N(3; 13) . Eine Gerade und eine Parabel schneiden sich in zwei Punkten

A Und IN mit Abszissen X1 = - 1 Und X2 = 4 . Antwort : X1 = - 1;

X2 = 4.

2) Lösen wir die Gleichung grafisch (Abb. 3) X2 - 2x + 1 = 0.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung in das Formular X2 = 2x - 1.

Lasst uns eine Parabel bauen y = x2 und direkt y = 2x - 1.

Direkte y = 2x - 1 aus zwei Punkten aufbauen M (0; - 1)

Und N(1/2; 0) . Eine Gerade und eine Parabel schneiden sich in einem Punkt A Mit

Abszisse x = 1. Antwort: x = 1.

3) Lassen Sie uns die Gleichung grafisch lösen X2 - 2x + 5 = 0(Abb. 4).

Lösung. Schreiben wir die Gleichung in das Formular X2 = 5x - 5. Lasst uns eine Parabel bauen y = x2 und direkt y = 2x - 5. Direkte y = 2x - 5 Bauen wir aus zwei Punkten M(0; - 5) und N(2,5; 0) auf. Eine Gerade und eine Parabel haben keine Schnittpunkte, d.h. Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

Antwort. Die gleichung X2 - 2x + 5 = 0 hat keine Wurzeln.

8. METHODE: Quadratische Gleichungen mit Zirkel und Lineal lösen.

Die grafische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen mithilfe einer Parabel ist unpraktisch. Wenn man eine Parabel Punkt für Punkt aufbaut, nimmt das viel Zeit in Anspruch und die Genauigkeit der erhaltenen Ergebnisse ist gering.

Ich schlage die folgende Methode vor, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden Oh2 + Bx + c = 0 mit Zirkel und Lineal (Abb. 5).

Nehmen wir an, dass der gewünschte Kreis die Achse schneidet

Abszisse in Punkten B(x1 ; 0) Und D(X2 ; 0), Wo X1 Und X2 - Wurzeln der Gleichung Oh2 + Bx + c = 0 und geht durch die Punkte

A(0; 1) Und C(0;C/ A) auf der Ordinatenachse. Dann gilt nach dem Sekantensatz O.B. Außendurchmesser= O.A. O.C., Wo O.C.= O.B. Außendurchmesser/ O.A.= x1 X2 / 1 = C/ A.

Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Schnittpunkt der Senkrechten SF Und S.K., in der Mitte der Akkorde wiederhergestellt A.C. Und BD, Deshalb

1) Punkte konstruieren (Mittelpunkt des Kreises) und A(0; 1) ;

2) Zeichne einen Kreis mit Radius S.A.;

3) Abszissen der Schnittpunkte dieses Kreises mit der Achse Oh sind die Wurzeln der ursprünglichen quadratischen Gleichung.

In diesem Fall sind drei Fälle möglich.

1) Der Radius des Kreises ist größer als die Ordinate des Mittelpunkts (ALS> S.K., oderR> A+ C/2 A) , der Kreis schneidet die Ox-Achse an zwei Punkten (Abb. 6, a) B(x1 ; 0) Und D(X2 ; 0) , Wo X1 Und X2 - Wurzeln einer quadratischen Gleichung Oh2 + Bx + c = 0.

2) Der Radius des Kreises ist gleich der Ordinate des Mittelpunkts (ALS= S.B., oderR= A+ C/2 A) , der Kreis berührt die Ox-Achse (Abb. 6, b) an diesem Punkt B(x1 ; 0) , wobei x1 die Wurzel der quadratischen Gleichung ist.

Fortsetzung
--SEITENUMBRUCH--

3) Der Radius des Kreises ist kleiner als die Ordinate des Mittelpunkts; der Kreis hat keine gemeinsamen Punkte mit der Abszissenachse (Abb. 6, c), in diesem Fall hat die Gleichung keine Lösung.

Beispiel.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen X2 - 2x - 3 = 0(Abb. 7).

Lösung. Bestimmen wir die Koordinaten des Kreismittelpunkts mit den Formeln:

Zeichnen wir einen Kreis mit dem Radius SA, wobei A (0; 1).

Antwort:X1 = - 1; X2 = 3.

9. METHODE: Quadratische Gleichungen mit einem Nomogramm lösen.

Dies ist eine alte und unverdient vergessene Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen, die auf Seite 83 aufgeführt ist (siehe Bradis V.M. Vierstellige mathematische Tabellen. - M., Prosveshchenie, 1990).

Tabelle XXII. Nomogramm zur Lösung der Gleichung z2 + pz+ Q= 0 . Dieses Nomogramm ermöglicht es, ohne eine quadratische Gleichung zu lösen, die Wurzeln der Gleichung anhand ihrer Koeffizienten zu bestimmen.

Die krummlinige Skala des Nomogramms wird nach den Formeln erstellt (Abb. 11):

Glauben OS = p,ED= Q, OE = a(alles in cm), aus der Ähnlichkeit von Dreiecken SAN Und CDF wir bekommen den Anteil

was nach Substitutionen und Vereinfachungen die Gleichung ergibt

z2 + pz+ Q= 0,

und der Brief z bezeichnet die Markierung eines beliebigen Punktes auf einer gekrümmten Skala.

Beispiele.

1) Für die Gleichung z2 - 9 z+ 8 = 0 Nomogramm gibt Wurzeln

z1 = 8,0 Und z2 = 1,0 (Abb. 12).

2) Mithilfe eines Nomogramms lösen wir die Gleichung

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

Teilen wir die Koeffizienten dieser Gleichung durch 2, erhalten wir die Gleichung

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

Nomogramm gibt Wurzeln z1 = 4 Und z2 = 0,5.

3) Für die Gleichung

z2 - 25 z+ 66 = 0

Wenn die Koeffizienten p und q außerhalb der Skala liegen, führen wir die Substitution durch z= 5 T, wir erhalten die Gleichung

T2 - 5 T+ 2,64 = 0,

was wir mit einem Nomogramm lösen und erhalten T1 = 0,6 Und T2 = 4,4, Wo z1 = 5 T1 = 3,0 Und z2 = 5 T2 = 22,0.

10. METHODE: Geometrische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen.

In der Antike, als die Geometrie weiter entwickelt war als die Algebra, wurden quadratische Gleichungen nicht algebraisch, sondern geometrisch gelöst. Ich werde ein berühmtes Beispiel aus der „Algebra“ von al-Khorezmi geben.

Beispiele.

1) Lassen Sie uns die Gleichung lösen X2 + 10x = 39.

Im Original wird dieses Problem wie folgt formuliert: „Ein Quadrat und zehn Wurzeln sind gleich 39“ (Abb. 15).

Lösung. Betrachten Sie ein Quadrat mit der Seite x. An seinen Seiten werden Rechtecke so konstruiert, dass die andere Seite von jedem von ihnen 2,5 beträgt, daher beträgt die Fläche von jedem 2,5x. Die resultierende Figur wird dann zu einem neuen Quadrat ABCD ergänzt, wodurch in den Ecken vier gleiche Quadrate entstehen, deren Seitenlänge jeweils 2,5 und deren Fläche 6,25 beträgt.

Quadrat S Quadrat A B C D kann als Summe der Flächen dargestellt werden: das ursprüngliche Quadrat X2 , vier Rechtecke (4 2,5x = 10x) und vier angehängte Quadrate (6,25 4 = 25) , d.h. S= X2 + 10x + 25. Ersetzen

X2 + 10x Nummer 39 , das verstehen wir S= 39 + 25 = 64 , was bedeutet, dass die Seite des Quadrats A B C D, d.h. Liniensegment AB = 8. Für die gewünschte Seite X wir erhalten das ursprüngliche Quadrat

2) Aber zum Beispiel, wie die alten Griechen die Gleichung gelöst haben bei2 + 6у - 16 = 0.

Lösung in Abb. dargestellt. 16, wo

bei2 + 6y = 16, oder y2 + 6 Jahre + 9 = 16 + 9.

Lösung. Ausdrücke bei2 + 6у + 9 Und 16 + 9 stellen geometrisch dasselbe Quadrat und die ursprüngliche Gleichung dar bei2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- die gleiche Gleichung. Woher wir das haben y + 3 = ± 5, oder bei1 = 2, y2 = - 8 (Abb. 16).

3) Lösen Sie die geometrische Gleichung bei2 - 6у - 16 = 0.

Wenn wir die Gleichung umwandeln, erhalten wir

bei2 - 6 Jahre = 16.

In Abb. 17 finden Sie „Bilder“ des Ausdrucks bei2 - 6u, diese. Subtrahieren Sie von der Fläche eines Quadrats mit der Seite y die Fläche eines Quadrats mit der Seite gleich 3 . Dies bedeutet, dass wenn zum Ausdruck bei2 - 6u hinzufügen 9 , dann erhalten wir die Fläche eines Quadrats mit Seite Jahr - 3. Den Ausdruck ersetzen bei2 - 6u seine gleiche Zahl ist 16,

wir bekommen: (Jahr - 3)2 = 16 + 9, diese. y - 3 = ± √25, oder y - 3 = ± 5, wobei bei1 = 8 Und bei2 = - 2.

Abschluss

Quadratische Gleichungen werden häufig zur Lösung trigonometrischer, exponentieller, logarithmischer, irrationaler und transzendentaler Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Die Bedeutung quadratischer Gleichungen liegt jedoch nicht nur in der Eleganz und Kürze der Problemlösung, obwohl dies sehr wichtig ist. Ebenso wichtig ist, dass durch die Verwendung quadratischer Gleichungen bei der Lösung von Problemen häufig neue Details entdeckt, interessante Verallgemeinerungen vorgenommen und Klarstellungen vorgenommen werden können, die durch die Analyse der resultierenden Formeln und Zusammenhänge nahegelegt werden.

Ich möchte auch anmerken, dass das in dieser Arbeit vorgestellte Thema noch überhaupt nicht viel untersucht wurde, es wird einfach nicht untersucht und ist daher mit vielen verborgenen und unbekannten Dingen behaftet, was eine hervorragende Gelegenheit für weitere Arbeiten bietet darauf.

Hier beschäftigte ich mich mit der Frage der Lösung quadratischer Gleichungen und was,

Gibt es andere Möglichkeiten, sie zu lösen?! Finden Sie wieder schöne Muster, einige Fakten, Klarstellungen, machen Sie Verallgemeinerungen, entdecken Sie immer mehr neue Dinge. Aber das sind Fragen für die zukünftige Arbeit.

Zusammenfassend können wir schlussfolgern: Quadratische Gleichungen spielen eine große Rolle in der Entwicklung der Mathematik. Wir alle wissen von der Schule (8. Klasse) bis zum Abschluss, wie man quadratische Gleichungen löst. Dieses Wissen kann uns ein Leben lang von Nutzen sein.

Da diese Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen einfach anzuwenden sind, dürften sie für mathematisch interessierte Studierende auf jeden Fall interessant sein. Meine Arbeit ermöglicht einen anderen Blick auf die Aufgaben, die uns die Mathematik stellt.

Literatur:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. und andere. Algebra, 6-8. Probelehrbuch für die 6. bis 8. Klasse des Gymnasiums. - M., Bildung, 1981.

2. Bradis V.M. Vierstellige Mathetabellen für die Oberstufe. 57. - M., Bildung, 1990. S. 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. Problembuch über Algebra und Elementarfunktionen. Lehrbuch für weiterführende Fachbildungseinrichtungen. - M., Gymnasium, 1969.

4. Okunev A.K. Quadratische Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen. Handbuch für Lehrer. - M., Bildung, 1972.

5. Presman A.A. Lösen einer quadratischen Gleichung mit Zirkel und Lineal. - M., Kvant, Nr. 4/72. S. 34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Sammlung von Fragen und Problemen der Mathematik. Ed. - 4., zusätzlich - M., Höhere Schule, 1973.

7. Khudobin A.I. Sammlung von Problemen zur Algebra und Elementarfunktionen. Handbuch für Lehrer. Ed. 2. - M., Bildung, 1970.

Anmerkung

1. METHODE: Faktorisieren der linken Seite der Gleichung

2. METHODE: Vollquadratische Extraktionsmethode.

4. METHODE: Gleichungen mit dem Satz von Vieta lösen.

5. METHODE: Gleichungen mit der „Wurf“-Methode lösen.

6. METHODE: Eigenschaften von Koeffizienten einer quadratischen Gleichung

7. METHODE: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung

8. METHODE: Quadratische Gleichungen mit Zirkel und Lineal lösen.

9. METHODE: Lösen quadratischer Gleichungen mithilfe eines Nomogramms.

Abschluss

Tochilkina Julia

Forschungsarbeit zum Thema „10 Wege zur Lösung quadratischer Gleichungen“

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Vorschau:

Städtische Haushaltsbildungseinrichtung

„Sekundarschule Nr. 59“

10 Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen

(abstrakte Arbeit)

Abgeschlossen von: Schüler der 8A-Klasse

MBOU „Sekundarschule Nr. 59 von Barnaul

Tochilkina Julia

Aufsicht:

Sacharowa Ljudmila Wladimirowna,

Mathematiklehrer, MBOU „Secondary School No. 59“

Barnaul

Einführung ……………………………………………………………...2

I. Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen ……………………………...3

1. Quadratische Gleichungen im alten Babylon……………………………...4

2. Wie Diophantus quadratische Gleichungen verfasste und löste …………………5

3. Quadratische Gleichungen in Indien………………………………………………………6

4. Quadratische Gleichungen in al-Khorezmi…………………………………….7

5. Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVII Jahrhunderte………………......9

6. Über den Satz von Vieta……………………………………………………..…….10

……………………….........11

1. Faktorisieren der linken Seite der Gleichung………………..........12
2. Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.……………………….……............13
3. Quadratische Gleichungen mit Formeln lösen…………………..………14
4. Gleichungen mit dem Satz von Vieta lösen…………….........16

5. Gleichungen mit der Transfermethode lösen“……………………………….18

1. Eigenschaften von Koeffizienten einer quadratischen Gleichung…………………….....19

7. Grafische Lösung quadratischer Gleichungen……………………..……….. 21

8. Quadratische Gleichungen mit Zirkel und Lineal lösen ……….. 24

9. Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm………………. 26

10. Geometrische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen……………….28

III. Abschluss …………………………………………………..........................30

Literatur…………………………………………………………………………….….32

Für jemanden, der Algebra studiert, ist es oft nützlicher, dasselbe Problem auf drei verschiedene Arten zu lösen, als drei oder vier verschiedene Probleme zu lösen. Indem Sie ein Problem mit verschiedenen Methoden lösen, können Sie durch Vergleiche herausfinden, welches kürzer und effizienter ist. So entsteht Erfahrung.“

W. Sawyer

1. Einleitung

Die Gleichungstheorie nimmt im schulischen Algebraunterricht einen Spitzenplatz ein. Ihrem Studium wird mehr Zeit gewidmet als jedem anderen Thema im schulischen Mathematikunterricht. Dies liegt daran, dass die meisten Probleme im Leben darauf hinauslaufen, verschiedene Arten von Gleichungen zu lösen.

Im Algebra-Lehrbuch der 8. Klasse lernen wir verschiedene Arten quadratischer Gleichungen kennen und üben das Lösen dieser mithilfe von Formeln. Ich hatte eine Frage: „Gibt es andere Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen?“ Wie komplex sind diese Methoden und können sie in der Praxis eingesetzt werden? Deshalb habe ich dieses akademische Jahr ein Forschungsthema im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen ausgewählt, und im Laufe meiner Arbeit hieß es „10 Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen“.Relevanz dieses Themasist, dass wir im Algebra-, Geometrie- und Physikunterricht sehr oft mit der Lösung quadratischer Gleichungen konfrontiert werden. Daher sollte jeder Schüler in der Lage sein, quadratische Gleichungen richtig und rational zu lösen; dies kann mir auch bei der Lösung komplexerer Probleme nützlich sein, auch in der 9. Klasse beim Bestehen von Prüfungen.

Ziel der Arbeit: lernen, quadratische Gleichungen zu lösen, verschiedene Methoden zu ihrer Lösung studieren.

Basierend auf diesem Ziel habe ich Folgendes festgelegt Aufgaben:

Studieren Sie die Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen;

Berücksichtigen Sie Standard- und Nicht-Standardmethoden zur Lösung quadratischer Gleichungen.

Identifizieren Sie die bequemsten Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Lernen Sie, quadratische Gleichungen auf verschiedene Arten zu lösen.

Studienobjekt: quadratische Gleichungen.

Gegenstand der Studie: aus dem Handbuch Lösen quadratischer Gleichungen.

Forschungsmethoden:

Theoretisch: Literaturstudium zum Forschungsthema;

Internetinformationen.

Analyse: Informationen aus dem Studium der Literatur;

Ergebnisse, die beim Lösen quadratischer Gleichungen auf verschiedene Arten erzielt werden.

Vergleich von Methoden hinsichtlich der Rationalität ihrer Verwendung bei der Lösung quadratischer Gleichungen.

Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen.

1. Quadratische Gleichungen im alten Babylon.

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur ersten, sondern auch zweiten Grades zu lösen, wurde schon in der Antike durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Landflächen, bei Ausgrabungsarbeiten militärischer Art sowie zu lösen mit der Entwicklung der Astronomie und Mathematik selbst. Quadratische Gleichungen konnten um 2000 v. Chr. gelöst werden. e. Babylonier.

Mit moderner algebraischer Notation können wir sagen, dass es in ihren Keilschrifttexten neben unvollständigen auch vollständige quadratische Gleichungen gibt:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Die in den babylonischen Texten dargelegte Regel zur Lösung dieser Gleichungen stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, es ist jedoch nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel gelangten. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte liefern lediglich Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten, ohne Hinweise darauf, wie sie gefunden wurden.

Trotz des hohen Entwicklungsstands der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen.

2. Quadratische Gleichungen in Griechenland oder wie Diophantus quadratische Gleichungen komponierte und löste.

Die Arithmetik des Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, sondern eine systematische Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch die Konstruktion von Gleichungen unterschiedlichen Grades gelöst werden.

Beim Verfassen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen.

Hier liegt zum Beispiel eine seiner Aufgaben.

Aufgabe 11. „Finden Sie zwei Zahlen und wissen Sie, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist.“

Diophantus argumentiert wie folgt: Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass die erforderlichen Zahlen nicht gleich sind, denn wenn sie gleich wären, wäre ihr Produkt nicht gleich 96, sondern 100. Somit wäre eine von ihnen größer als die Hälfte ihrer Summe, d.h. . 10 + x , der andere ist weniger, d.h. 10er . Der Unterschied zwischen ihnen 2x.

Daher die Gleichung:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Daher ist x = 2 . Eine der erforderlichen Zahlen ist gleich 12, andere 8. Lösung x = -2 denn Diophantus existiert nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte.

Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir eine der benötigten Zahlen als Unbekannte wählen, dann kommen wir zu einer Lösung der Gleichung

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Es ist klar, dass Diophantus die Lösung vereinfacht, indem er die halbe Differenz der erforderlichen Zahlen als Unbekannte wählt; es gelingt ihm, das Problem auf die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung (1) zu reduzieren.

3. Quadratische Gleichungen in Indien.

Probleme zu quadratischen Gleichungen finden sich in der astronomischen Abhandlung „Aryabhattiam“, die 499 vom indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta verfasst wurde. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (7. Jahrhundert), skizzierte eine allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden: ax 2 + bx = c, a > 0. (1)

In Gleichung (1) sind die Koeffizienten, außer A , kann auch negativ sein. Brahmaguptas Herrschaft ist im Wesentlichen dieselbe wie unsere. Im alten Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher heißt es über solche Wettbewerbe: „Wie die Sonne mit ihrem Glanz die Sterne übertrifft, so wird ein gelehrter Mann in öffentlichen Versammlungen den Ruhm eines anderen in den Schatten stellen und algebraische Probleme vorschlagen und lösen.“ Probleme wurden oft in poetischer Form dargestellt.

Dies ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskars.

Aufgabe.

„Ein Schwarm verspielter Affen und zwölf entlang der Weinreben ...

Die Behörden hatten nach dem Essen Spaß. Sie fingen an zu springen, zu hängen...

Da sind sie auf dem Platz, Teil acht. Wie viele Affen gab es?

Ich hatte Spaß auf der Lichtung. Sag mir, in diesem Paket?

Bhaskaras Lösung zeigt, dass er wusste, dass die Wurzeln quadratischer Gleichungen zweiwertig sind (Abb. 1).

Die dem Problem entsprechende Gleichung lautet:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara schreibt unter dem Deckmantel: x 2 - 64x = -768

und um die linke Seite davon zu vervollständigen

Gleichung zum Quadrat, addiert auf beiden Seiten 32 2, dann erhält man: x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024, Abb. 1

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

4. Quadratische Gleichungen von al-Khorezmi.

In der algebraischen Abhandlung von al-Khorezmi wird eine Klassifizierung linearer und quadratischer Gleichungen gegeben. Der Autor zählt 6 Arten von Gleichungen und drückt sie wie folgt aus:

1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d. h. Oh 2 + c = bx.

2) „Quadrate sind gleich Zahlen“, d.h. Oh 2 = s.

3) „Die Wurzeln sind gleich der Zahl“, d.h. ah = s.

4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d. h. Oh 2 + c = bx.

5) „Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahlen“, d.h. Oh 2 + bx = c.

6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d. h. bx + c = ah 2 .

Für al-Khorezmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Addenden und keine Subtrahierbaren. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor stellt Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Techniken von al-jabr und al-muqabala vor. Seine Lösung stimmt natürlich nicht vollständig mit der modernen Lösung überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sollte beispielsweise beachtet werden, dass al-Khorezmi, wie alle Mathematiker bis zum 17. Jahrhundert, bei der Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung erster Art die Nulllösung nicht berücksichtigt. wahrscheinlich, weil es in bestimmten praktischen Aufgaben keine Rolle spielt. Bei der Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen legt al-Khorezmi die Regeln zu deren Lösung anhand bestimmter numerischer Beispiele und anschließender geometrischer Beweise fest.

Aufgabe. „Das Quadrat und die Zahl 21 entsprechen 10 Wurzeln. Finde die Wurzel“

(unter der Annahme der Wurzel der Gleichung x 2 + 21 = 10x).

Die Lösung des Autors sieht ungefähr so ​​aus: Teile die Anzahl der Wurzeln in zwei Hälften, du erhältst 5, multipliziere 5 mit sich selbst, subtrahiere 21 vom Produkt, was übrig bleibt ist 4. Ziehe die Wurzel aus 4, du erhältst 2. Subtrahiere 2 von 5 , erhalten Sie 3, dies ist die gewünschte Wurzel. Oder addiere 2 zu 5, was 7 ergibt, das ist auch eine Wurzel.

Die Abhandlung von al-Khorezmi ist das erste uns überlieferte Buch, das die Klassifikation quadratischer Gleichungen systematisch darlegt und Formeln zu ihrer Lösung angibt.

5. Quadratische Gleichungen in Europa des 13. bis 17. Jahrhunderts.

Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach al-Khorezmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“ dargelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Dieses umfangreiche Werk, das den Einfluss der Mathematik sowohl aus den Ländern des Islam als auch aus dem antiken Griechenland widerspiegelt, zeichnet sich durch seine Vollständigkeit und Klarheit der Darstellung aus. Der Autor entwickelte eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Lösung von Problemen und war der erste in Europa, der sich der Einführung negativer Zahlen näherte. Sein Buch trug zur Verbreitung algebraischer Kenntnisse nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Probleme aus dem Buch Abakus wurden in fast allen europäischen Lehrbüchern des 16. bis 17. Jahrhunderts verwendet. und teilweise XVIII.

Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen reduziert auf eine einzige kanonische Form: x 2 + bx = c,

für alle möglichen Kombinationen von Koeffizientenzeichen b, c wurde in Europa erst 1544 von M. Stiefel formuliert.

Die Ableitung der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form ist von Viète erhältlich, Viète erkannte jedoch nur positive Wurzeln. Zu den ersten im 16. Jahrhundert gehörten die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano und Bombelli. Neben positiven werden auch negative Wurzeln berücksichtigt. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeit von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern erhält die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form.

6. Über den Satz von Vieta.

Der nach Vieta benannte Satz, der die Beziehung zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln ausdrückt, wurde von ihm erstmals 1591 wie folgt formuliert: „Wenn B + D mal A – A 2 ist gleich BD, dann ist A gleich B und gleich D.“

Um Vieta zu verstehen, sollten wir uns daran erinnern A , wie jeder Vokalbuchstabe, bedeutete das Unbekannte (unser x), Vokale B, D - Koeffizienten für das Unbekannte. In der Sprache der modernen Algebra bedeutet die obige Vieta-Formulierung: wenn vorhanden

(a + b)x - x 2 = ab, d.h.

x 2 - (a + b)x + ab = 0, dann

x 1 = a, x 2 = b.

Viète drückte die Beziehung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten von Gleichungen mit allgemeinen Formeln aus, die unter Verwendung von Symbolen geschrieben wurden, und stellte eine Einheitlichkeit in den Methoden zur Lösung von Gleichungen her. Allerdings ist die Symbolik Vietnams noch weit von ihrer modernen Form entfernt. Er kannte keine negativen Zahlen und berücksichtigte daher beim Lösen von Gleichungen nur Fälle, in denen alle Wurzeln positiv waren.

II. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind die Grundlage, auf der das majestätische Gebäude der Algebra ruht. Quadratische Gleichungen werden häufig zur Lösung trigonometrischer, exponentieller, logarithmischer, irrationaler und transzendentaler Gleichungen und Ungleichungen verwendet.Viele praktische Probleme werden mit ihrer Hilfe gelöst. Mit einer quadratischen Gleichung können Sie beispielsweise den Bremsweg eines Autos, die Leistung einer Rakete, um ein Raumschiff in die Umlaufbahn zu bringen, und die Flugbahnen verschiedener physischer Objekte – von Elementarteilchen bis hin zu Sternen – berechnen.

In der Schule werden Formeln für die Wurzeln quadratischer Gleichungen studiert, mit deren Hilfe man beliebige quadratische Gleichungen lösen kann. Es gibt jedoch auch andere Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen, mit denen Sie quadratische Gleichungen sehr schnell und effizient lösen können. In der mathematischen Literatur habe ich zehn Möglichkeiten gefunden, quadratische Gleichungen zu lösen, und in meiner Arbeit habe ich jede davon analysiert

Definition 1. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a, b, c reelle Zahlen sind, a ≠ 0.

Definition 2. Eine vollständige quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung, in der alle drei Terme vorhanden sind, d. h. Koeffizienten in und с sind von Null verschieden.

Eine unvollständige quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der mindestens einer der Koeffizienten in or, c gleich Null ist.

Definition 3. Die Wurzel der quadratischen Gleichung ist ah 2 + in + c = 0 ist jeder Wert der Variablen x, für den das quadratische Trinom ax gilt 2 + in + c geht auf Null.

Definition 4. Eine quadratische Gleichung zu lösen bedeutet, alles zu finden

Wurzeln oder stellen Sie fest, dass keine Wurzeln vorhanden sind.

1. Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.

Lösen wir die Gleichung x 2 + 10x - 24 = 0.

Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Daher kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

(x + 12)(x - 2) = 0

Ein Produkt von Faktoren ist Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist.

x + 12= 0 oder x – 2=0

x=-12 x=2

Antwort: -12; 2.

1. Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.

Lösen wir die Gleichung x 2 + 6x - 7 = 0.

Wählen Sie auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat aus:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Dann kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden:

(x + 3) 2 - 16 =0,

(x + 3) 2 = 16.

x + 3=4 oder x + 3 = -4

X 1 = 1 x 2 = -7

Antwort 1; -7.

1. Quadratische Gleichungen mit Formeln lösen.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung multiplizieren ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 mal 4a, dann

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

1. Im Falle einer positiven Diskriminante, d.h. bei b 2 - 4ac >0, Gleichung ax 2 + bx + c = 0 hat zwei verschiedene Wurzeln.

2. Wenn die Diskriminante Null ist, d.h. b 2 - 4ac = 0 , dann hat die Gleichung eine Wurzel.

3. Wenn die Diskriminante negativ ist, d.h. b 2 - 4ac, Gleichung ax 2 + bx + c = 0 hat keine Wurzeln.

Formel (1) der Wurzeln einer quadratischen Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 ermöglicht es Ihnen, Wurzeln zu finden beliebig quadratische Gleichung (falls vorhanden), einschließlich reduzierter und unvollständiger. Formel (1) wird verbal wie folgt ausgedrückt:die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sind gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen plus minus der Quadratwurzel des Quadrats dieses Koeffizienten ist, ohne das Produkt des ersten Koeffizienten mit dem freien Term zu vervierfachen, und Der Nenner ist das Doppelte des ersten Koeffizienten.

Beispiele.

A) Lösen wir die Gleichung:

4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3.

D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,D > 0,

Antwort 1; .

B) Lösen wir die Gleichung:

4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1,

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0, D = 0, die Gleichung hat eine Wurzel;

Antwort:

V) Lösen wir die Gleichung: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D

Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

Antwort: keine Wurzeln.

1. Gleichungen mit dem Satz von Vieta lösen.

Zu Recht würdig, in Gedichten gesungen zu werden

Satz von Vieta über die Eigenschaften von Wurzeln.

Gegeben sei eine quadratische Gleichungwird als Gleichung der Form bezeichnet(1) wobei der führende Koeffizient gleich eins ist.

Die Wurzeln der obigen quadratischen Gleichung können mit der folgenden Formel ermittelt werden:

Sie können sich diese Formel merken, indem Sie das folgende Gedicht auswendig lernen.

P mit umgekehrtem Vorzeichen

Wir werden es durch 2 teilen,

Und von der Wurzel an unterschreibe ich sorgfältig lasst uns trennen

Und unter der Wurzel ist es sehr nützlich

Halbquadrat

Minus - und hier ist die Lösung einer kleinen Gleichung.

Eine quadratische Gleichung aufstellenUm zur reduzierten Form zu gelangen, müssen Sie alle ihre Begriffe aufteilen A, , Dann

Zu Recht würdig, in Gedichten gesungen zu werden
Satz von Vieta über die Eigenschaften von Wurzeln.
Was ist besser, sagen Sie mir, Konsistenz wie diese:
Du multiplizierst die Wurzeln und schon ist der Bruch fertig:
Der Zähler ist c, der Nenner ist a,
Und die Summe der Wurzeln ist auch gleich dem Bruch.
Auch wenn dieser Bruch minus ist, was für ein Problem -
Der Zähler ist b, der Nenner ist a.

Wenn wir benennen , dann erhalten wir eine Gleichung der Form. Und die Formeln () werden die Form annehmen

Auf diese Weise: Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Aus den Koeffizienten p und q kann man die Vorzeichen der Wurzeln vorhersagen.

A) Wenn der zusammenfassende Term q der obigen Gleichung (1) positiv ist (q > 0), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit demselben Vorzeichen, und dies hängt vom zweiten Koeffizienten ab:

Wenn R , dann sind beide Wurzeln positiv;

Wenn p > 0 , dann sind beide Wurzeln negativ.

Zum Beispiel,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 und x 2 = 1, da q = 2 > 0 und p = - 3

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 und x 2 = - 1, da q = 7 > 0 und p = 8 > 0.

B) Wenn der freie Term q der gegebenen Gleichung (1) negativ ist (q 0 .

Zum Beispiel,

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 und x 2 = - 1, da q = - 9 und p = - 8

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 und x 2 = 1, da q= - 5 und p = 4 > 0.

1. Gleichungen mit der „Wurf“-Methode lösen.

Betrachten Sie die quadratische Gleichung

Wenn wir beide Seiten mit a multiplizieren, erhalten wir die Gleichung a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Sei ax = y, woraus x = y/a ; dann kommen wir zur Gleichung y 2 + by + ac = 0,

ist äquivalent dazu.

Seine Wurzeln sind 1 und 2 Wir finden mit dem Satz von Vieta und schließlich:

x 1 = y 1 /a und x 1 = y 2 /a.

Mit dieser Methode der Koeffizient A multipliziert mit dem freien Term, als ob man ihm „zugeworfen“ würde, weshalb es so heißtÜbertragungsmethode. Diese Methode wird verwendet, wenn Sie die Wurzeln der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta leicht finden können und, was am wichtigsten ist, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.

Beispiel.

Lösen wir die Gleichung 2x 2 – 11x + 15 = 0.

Lösung. Lassen Sie uns den Koeffizienten 2 auf den freien Term „werfen“ und als Ergebnis erhalten wir die Gleichung

y 2 – 11y + 30 = 0.

Nach dem Satz von Vieta

Y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5

Y2 = 6; x 2 = 6/2; x 2 = 3.

Antwort: 2,5; 3.

1. Eigenschaften von Koeffizienten einer quadratischen Gleichung.

1. Gegeben sei eine quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, wobei a ≠ 0.

1. Wenn a+ b + c = 0 (d. h. die Summe der Koeffizienten ist Null),

dann ist x 1 = 1, x 2 = s/a.

1. Wenn a – b + c=0, dann x 2 = -1, x 2 = -s/a

Beispiele.

1. A. Lassen Sie uns die Gleichung lösen 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Antwort 1; -208/345.

B. Lösen Sie die Gleichung 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Antwort 1; 115/132.

2) Lösen wir die Gleichung 2x 2 + 3x +1= 0. Da 2 - 3+1=0, dann x 1 = - 1, x 2 = -c/a= -1/2

Antwort: x 1 = -1, x 2 = -1/2.

Diese Methode lässt sich bequem auf quadratische Gleichungen mit großen Koeffizienten anwenden.

2. Wenn der zweite Koeffizient der Gleichung b = 2k eine gerade Zahl ist, dann ist die Wurzelformelkann in das Formular geschrieben werden

Beispiel.

Lösen wir die Gleichung 3x 2 - 14x + 16 = 0.

Lösung . Wir haben: a = 3, b = - 14 (k = -7), c = 16,

D 1 = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 1 > 0, die Gleichung hat zwei verschiedene Wurzeln;

Antwort: 2; 8/3

Reduzierte Gleichung x 2 + px + q= 0 stimmt mit einer allgemeinen Gleichung überein, in der a = 1, b = p und c = q . Daher nimmt für die gegebene quadratische Gleichung die Wurzelformel die Form an

Formel () ist praktisch zu verwenden, wenn p ist eine gerade Zahl.

Beispiel. Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 – 14x – 15 = 0.

Lösung. Wir haben a = 1, b = -14, (k = -7), c = -15.

x 1,2 =7± =7 ± ,

x 1,2 = 15; x 2 = -1.

Antwort: x 1 = 15; x 2 = -1.

7.Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung.

UND Mit Kenntnissen über quadratische und lineare Funktionen und deren Graphen können Sie eine quadratische Gleichung mit der sogenannten lösenFunktional-grafische Methode.Darüber hinaus können einige quadratische Gleichungen auf verschiedene Arten gelöst werden. Betrachten wir diese Methoden am Beispiel einer quadratischen Gleichung.

Beispiel. Löse die Gleichung=0

1 Weg . Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellenunter Verwendung des Algorithmus.

1) Wir haben:

Das bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel der Punkt (1;-4) und die Achse der Parabel die Gerade x=1 ist

2) Nehmen Sie zwei Punkte auf der x-Achse, die symmetrisch zur Parabelachse sind, zum Beispiel die Punkte in Abb. 2

X= -1 und x=3, dann f(-1)=f(3)=0.

3) Durch die Punkte (-1;0), (1;-4), (3;0) zeichnen wir eine Parabel (Abb. 2).

Wurzeln von Gleichungensind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse; Dies bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung

2-Wege

Lassen Sie uns die Gleichung in die Form umwandeln.

Und (Figur 3).

Sie schneiden sich in zwei Punkten A(-1;1) und B(3;9). Die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen der Punkte A und B, also.

Abb. 3

3-Wege

Lassen Sie uns die Gleichungen in die Form umwandeln.

Lassen Sie uns Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem erstellenUnd (Abb.4) Sie schneiden sich in zwei Punkten A(-1;-2) und B (3;6). Die Wurzeln der Gleichung sind daher die Abszissen der Punkte A und B.

Abb.4

4-Wege

Lassen Sie uns also die Gleichung in eine Form umwandelndiese.

Konstruieren wir eine Parabel in einem Koordinatensystemund direkt . Sie schneiden sich in den Punkten A(-1;4) und B(3;4). Die Wurzeln der Gleichungen sind daher die Abszissen der Punkte A und B(Abb. 5).

Abb.5

5 Wege

Wenn wir beide Seiten der Gleichung Term für Term durch x dividieren, erhalten wir:

;

.

Abb.6

Konstruieren wir eine Hyperbel in einem Koordinatensystemund direkt (Abb. 6). Sie schneiden sich in zwei Punkten A(-1;-3) und B(3;1). Die Wurzeln der Gleichungen sind die Abszissen der Punkte A und B, daher gilt.

Die ersten vier Methoden gelten für alle Gleichungen dieser Form

ach 2 + bх + c = 0 und der fünfte - nur für diejenigen, für die c nicht gleich Null ist.

Grafische Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen sind schön, bieten jedoch keine hundertprozentige Garantie für die Lösung quadratischer Gleichungen.

8. Lösen quadratischer Gleichungen mit Zirkeln und

Lineale.

Ich schlage die folgende Methode vor, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden Axt 2 + bx + c = 0 mit Zirkel und Lineal (Abb. 7).

Nehmen wir an, dass der gewünschte Kreis die Achse schneidet

Abszisse in Punkten B(x 1; 0) und D (x 2; 0), wobei x 1 und x 2 - Wurzeln der Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 und geht durch die Punkte

A(0; 1) und C(0; c/a) auf der Ordinatenachse. Dann gilt nach dem Sekantensatz OB OD = OA OC, woraus OC = OB OD / OA = x 1 x 2 / 1 = c/a.

Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Schnittpunkt der Senkrechten SF und SK , in der Mitte der Akkorde wiederhergestellt AC und BD, also

Also:

1) Punkte konstruieren (Mittelpunkt des Kreises) und A(0; 1) ;

2) Zeichne einen Kreis mit Radius SA;

3) Abszissen der Schnittpunkte dieses Kreises mit der Achse Oh sind die Wurzeln der ursprünglichen quadratischen Gleichung.

In diesem Fall sind drei Fälle möglich.

1) Der Radius des Kreises ist größer als die Ordinate des Mittelpunkts(AS > SK, oder R > a + c/2a), der Kreis schneidet die Ox-Achse an zwei Punkten (Abb. 8a) B(x 1; 0) und D(x 2; 0), wobei x 1 und x 2 - Wurzeln einer quadratischen Gleichung Axt 2 + bx + c = 0.

2) Der Radius des Kreises ist gleich der Ordinate des Mittelpunkts(AS = SB oder R = a + c/2a), der Kreis berührt an diesem Punkt die Ox-Achse (Abb. 8b). B(x 1; 0), wobei x 1 - die Wurzel einer quadratischen Gleichung.

3) Der Radius des Kreises ist kleiner als die Ordinate des Mittelpunkts

der Kreis hat keine gemeinsamen Punkte mit der Abszissenachse (Abb. 8c), in diesem Fall hat die Gleichung keine Lösung.

Abb.8

a B C)

Beispiel.

Lösen wir die Gleichung x 2 - 2x - 3 = 0 (Abb. 9).

Lösung. Bestimmen wir die Koordinaten des Kreismittelpunkts mit den Formeln:

Zeichnen wir einen Kreis mit dem Radius SA, wobei A (0; 1).

Antwort: x 1 = - 1; x 2 = 3.

9. Quadratische Gleichungen lösen mit

Nomogramme.

Dies ist eine alte und derzeit vergessene Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen, platziert auf Seite 83 der Sammlung: Bradis V.M. Vierstellige Mathematiktabellen. - M., Bildung, 1990.

Tabelle XXII. Nomogramm zur Lösung der Gleichung z 2 + pz + q = 0. Dieses Nomogramm erlaubt, ohne die quadratische Gleichung durch ihren Koeffizienten zu lösen

dort, um die Wurzeln der Gleichung zu bestimmen.

Die krummlinige Skala des Nomogramms wird erstellt

nach den Formeln (Abb. 10):

GlaubenOS = p, ED = q, OE = a(alles in cm), ab

Ähnlichkeiten von DreieckenSANUndCDFwir bekommen

Anteil

was nach Substitutionen und Vereinfachungen die Gleichung ergibt

z2 + pz + q = 0,

und der Briefzbezeichnet die Markierung eines beliebigen Punktes auf einer gekrümmten Skala.

Beispiele.

1) Für die Gleichungz2 - 9z + 8 = 0Nomogramm gibt Wurzelnz1 = 8,0 Undz2 = 1,0 (Abb. 11).

Antwort:8,0 ; 1,0.

2) Lass es uns mit Hilfe lösenNomogrammeDie gleichung

2z2 - 9z + 2 = 0.

Teilen wir die Koeffizienten dieser Gleichung durch 2,

wir erhalten die Gleichungz2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogramm gibt Wurzelnz1 = 4 Undz2 = 0,5.

Antwort: 4; 0,5.

3) Für die Gleichungz2 - 25z + 66 = 0Wenn die Koeffizienten p und q außerhalb der Skala liegen, führen wir die Substitution durchz = 5t, wir erhalten die GleichungT2 - 5t + 2,64 = 0,

was wir mit einem Nomogramm lösen und erhaltenT1 = 0,6 UndT2 = 4,4, Woz1 = 5t1 = 3,0 Undz2 = 5t2 = 22,0.

Antwort: 3; 22.

10. Geometrische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen.

In der Antike, als die Geometrie weiter entwickelt war als die Algebra, wurden quadratische Gleichungen nicht algebraisch, sondern geometrisch gelöst. Ich werde ein berühmtes Beispiel aus der „Algebra“ von al-Khorezmi geben.

Beispiele.

1) Lassen Sie uns die Gleichung lösenX2 + 10x = 39.

Im Original wird dieses Problem wie folgt formuliert: „Ein Quadrat und zehn Wurzeln sind gleich 39“ (Abb. 12).

Lösung.Betrachten Sie ein Quadrat mit der Seite x. An seinen Seiten werden Rechtecke so konstruiert, dass die andere Seite von jedem von ihnen 2,5 beträgt, daher beträgt die Fläche von jedem 2,5x. Die resultierende Figur wird dann zu einem neuen Quadrat ABCD ergänzt, wodurch in den Ecken vier gleiche Quadrate entstehen, deren Seitenlänge jeweils 2,5 und deren Fläche 6,25 beträgt.

QuadratSQuadratA B C Dkann als Summe der Flächen dargestellt werden: das ursprüngliche QuadratX2 , vier Rechtecke(4 2,5x = 10x)und vier angehängte Quadrate(6,25 4 = 25) , d.h.S=X2 + 10x + 25.Ersetzen

X2 + 10xNummer39 , das verstehen wirS = 39 + 25 = 64, was bedeutet, dass die Seite des QuadratsA B C D, d.h. LiniensegmentAB = 8. Für die gewünschte SeiteXwir erhalten das ursprüngliche Quadrat

2) Aber zum Beispiel, wie die alten Griechen die Gleichung gelöst habenbei2 + 6у - 16 = 0.

Lösungdargestellt in Abb. 13. wo

bei2 + 6y = 16, oder y2 + 6 Jahre + 9 = 16 + 9.

Lösung.Ausdrückebei2 + 6у + 9Und16 + 9 geometrisch darstellen

das gleiche Quadrat und die ursprüngliche Gleichungbei2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- die gleiche Gleichung. Woher wir das habeny + 3 = ± 5,oderbei1 = 2, y2 = - 8 (Reis. .

Abb.13

3) Lösen Sie die geometrische Gleichungbei2 - 6у - 16 = 0.

Wenn wir die Gleichung umwandeln, erhalten wir

bei2 - 6 Jahre = 16.

In Abb. 14 finden wir „Bilder“ des Ausdrucksbei2 - 6u,diese. Subtrahieren Sie von der Fläche eines Quadrats mit der Seite y die Fläche eines Quadrats mit der Seite gleich3 . Dies bedeutet, dass wenn zum Ausdruckbei2 - 6uhinzufügen9 , dann erhalten wir die Fläche eines Quadrats mit SeiteJahr - 3. Den Ausdruck ersetzenbei2 - 6useine gleiche Zahl ist 16,

wir bekommen:(Jahr - 3)2 = 16 + 9, diese.y - 3 = ± √25, oder y - 3 = ± 5, wobeibei1 = 8 Undbei2 = - 2.

Abb.14

Abschluss

Ich glaube, dass ich im Laufe meiner Forschungsarbeit mein Ziel und meine Ziele erreicht habe und dass ich in der Lage war, das untersuchte Material zum oben genannten Thema zu verallgemeinern und zu systematisieren.

Es gibt viele Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Ich habe 10 Möglichkeiten gefunden, quadratische Gleichungen zu lösen. Es ist zu beachten, dass nicht alle davon bequem zu lösen sind, aber jede davon ist auf ihre Art einzigartig. Einige Lösungen helfen, Zeit zu sparen, was beim Lösen von Aufgaben in Tests und Prüfungen wichtig ist. Bei der Bearbeitung des Themas habe ich mir die Aufgabe gestellt, herauszufinden, welche Methoden Standard und welche nicht standardisiert sind.

Also,Standardmethoden(wird häufiger beim Lösen quadratischer Gleichungen verwendet):

• Quadratische Gleichungen mit Formeln lösen
• Satz von Vieta
• Grafische Lösung von Gleichungen
• Faktorisierung der linken Seite
• Ein vollständiges Quadrat auswählen

Nicht standardmäßige Methoden:

• Lösung durch Koeffizientenübertragung
• Eigenschaften von Koeffizienten einer quadratischen Gleichung
• Quadratische Gleichungen mit Zirkel und Lineal lösen.
• Lösung mittels Nomogramm
• Geometrische Methode

Als ich selbst quadratische Gleichungen löste, kam ich zu folgenden Schlussfolgerungen: Um jede quadratische Gleichung gut zu lösen, müssen Sie Folgendes wissen:

Formel zum Finden der Diskriminante;

Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung;

Algorithmen zur Lösung derartiger Gleichungen.

in der Lage sein:

unvollständige quadratische Gleichungen lösen;

vollständige quadratische Gleichungen lösen;

Lösen Sie die gegebenen quadratischen Gleichungen;

Fehler in gelösten Gleichungen finden und korrigieren;

mach mal eine Kontrolle.

Ich denke, dass meine Arbeit für Schüler der 8. Klasse von Interesse sein wird, aber auch für diejenigen, die lernen möchten, wie man rationale quadratische Gleichungen löst und sich gut auf Abschlussprüfungen vorbereiten möchte. Während des Mathematikunterrichts erzählte ich meinen Klassenkameraden die Methoden zur Lösung der quadratischen Gleichungen Nr. 5 und 6, die Jungs mochten sie. Es wird auch für Mathematiklehrer von Interesse sein, da ich in meiner Arbeit nicht nur Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen untersucht habe, sondern auch deren Entwicklungsgeschichte.

LLiteratur

1. Mordkovich, A. G. Algebra. 8. Klasse. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / A.G. Mordkovich.-M. : Mnemosyne 2011.-260 S.
2. Mordkovich, A.G. Algebra. 8. Klasse. Problembuch für Bildungseinrichtungen / A.G. Mordkovich.-M. : Mnemosyne 2011.-270 S.
3. Glaser, G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule / G.I. Glazer.-M.: Aufklärung, 1982 – 340 S.
4. Gusev, V.A. Mathematik. Referenzmaterialien/ V.A. Gusev, A.G. Mordkovich - M.: Bildung, 1988, 372 S.
5. Bradis, V.M. Vierstellige mathematische Tabellen für die weiterführende Schule / V.M., Bradis-M.: Education, 1990-
6. Satz von Vieta – Zugriffsmodus:.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta / Satz von Vieta(Fernzugriffsressourcen (Internet)). 10.12.2013.
7. Quadratische Gleichungen – Zugriffsmodus:http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (Fernzugriffsressourcen (Internet)). 10.01.2014.