Algebra-Lektionen führen uns in verschiedene Arten von Ausdrücken ein. Wenn neues Material verfügbar wird, werden Ausdrücke komplexer. Wenn Sie sich mit Graden vertraut machen, werden sie dem Ausdruck nach und nach hinzugefügt, was ihn komplizierter macht. Dies geschieht auch bei Brüchen und anderen Ausdrücken.

Um das Lernen des Stoffes so angenehm wie möglich zu gestalten, werden bestimmte Namen verwendet, damit diese hervorgehoben werden können. Dieser Artikel gibt einen vollständigen Überblick über alle grundlegenden algebraischen Ausdrücke der Schule.

Monome und Polynome

Ausdrücke Monome und Polynome werden ab der 7. Klasse im Lehrplan der Schule studiert. Definitionen dieser Art wurden in Lehrbüchern gegeben.

Definition 1

Monome– das sind Zahlen, Variablen, ihre Potenzen mit einem natürlichen Exponenten, alle mit ihrer Hilfe hergestellten Produkte.

Definition 2

Polynome wird Summe der Monome genannt.

Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 5, die Variable x, den Grad z 7, dann Produkte der Form 5 x Und 7 x 2 7 z 7 gelten als Monome. Bei der Summe der Monome der Form 5+x oder z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, dann erhalten wir ein Polynom.

Um ein Monom von einem Polynom zu unterscheiden, achten Sie auf die Potenzen und ihre Definitionen. Das Konzept des Koeffizienten ist wichtig. Beim Reduzieren ähnlicher Terme werden diese durch den freien Term des Polynoms oder den führenden Koeffizienten dividiert.

Am häufigsten werden einige Aktionen an Monomen und Polynomen ausgeführt, wonach der Ausdruck auf die Form eines Monoms reduziert wird. Führt Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch und stützt sich dabei auf einen Algorithmus, der Operationen an Polynomen durchführt.

Wenn eine Variable vorhanden ist, ist es möglich, das Polynom in Polynome zu unterteilen, die als Produkt dargestellt werden. Diese Aktion wird als Faktorisierung eines Polynoms bezeichnet.

Rationale (algebraische) Brüche

Das Konzept der rationalen Brüche wird in der 8. Klasse des Gymnasiums erlernt. Manche Autoren nennen sie algebraische Brüche.

Definition 3

Rationaler algebraischer Bruch bezeichnet einen Bruch, bei dem anstelle von Zähler und Nenner Polynome oder Monome oder Zahlen auftreten.

Betrachten wir das Beispiel des Schreibens rationaler Brüche vom Typ 3 x + 2, 2 · a + 3 · b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 und 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4. Basierend auf der Definition können wir sagen, dass jeder Bruch als rationaler Bruch betrachtet wird.

Algebraische Brüche können addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert und potenziert werden. Dies wird im Abschnitt über Operationen mit algebraischen Brüchen ausführlicher besprochen. Wenn es notwendig ist, einen Bruch umzuwandeln, nutzen sie oft die Eigenschaft der Reduktion und Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner.

Rationale Ausdrücke

Im Schulkurs wird das Konzept der irrationalen Brüche untersucht, da die Arbeit mit rationalen Ausdrücken notwendig ist.

Definition 4

Rationale Ausdrücke gelten als Zahlen- und Buchstabenausdrücke, bei denen rationale Zahlen und Buchstaben mit Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung auf eine ganze Zahl verwendet werden.

Rationale Ausdrücke dürfen keine zur Funktion gehörenden Zeichen haben, was zu Irrationalität führt. Rationale Ausdrücke enthalten keine Wurzeln, Potenzen mit gebrochenen irrationalen Exponenten, Potenzen mit Variablen im Exponenten, logarithmische Ausdrücke, trigonometrische Funktionen usw.

Basierend auf der oben angegebenen Regel geben wir Beispiele für rationale Ausdrücke. Aus der obigen Definition haben wir, dass beide ein numerischer Ausdruck der Form 1 2 + 3 4 und 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2 sind: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0, 3 gelten als rational. Ausdrücke, die Buchstabenbezeichnungen enthalten, werden auch als rational klassifiziert a 2 + b 2 3 · a - 0, 5 · b, mit Variablen der Form a · x 2 + b · x + c und x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Alle rationalen Ausdrücke werden in ganze Zahlen und Brüche unterteilt.

Ganze rationale Ausdrücke

Ganze rationale Ausdrücke– Dies sind Ausdrücke, die keine Unterteilung in Ausdrücke mit Variablen negativen Grades enthalten.

Aus der Definition geht hervor, dass ein ganzer rationaler Ausdruck auch ein Ausdruck ist, der Buchstaben enthält, zum Beispiel a + 1, ein Ausdruck, der mehrere Variablen enthält, zum Beispiel x 2 · y 3 − z + 3 2 und a + b 3.

Ausdrücke der Form x: (y − 1) und 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 können keine rationalen ganzen Zahlen sein, da sie in einen Ausdruck mit Variablen unterteilt sind.

Bruchrationale Ausdrücke

Bruchrationaler Ausdruck ist ein Ausdruck, der eine Division durch einen Ausdruck mit Variablen negativen Grades enthält.

Aus der Definition folgt, dass gebrochene rationale Ausdrücke 1 sein können: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 und 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2.

Wenn wir Ausdrücke dieses Typs (2 x − x 2) : 4 und a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2 betrachten, dann werden sie nicht als gebrochene Rationalzahlen betrachtet, da sie keine Ausdrücke mit Variablen in haben der Nenner.

Ausdrücke mit Kräften

Ausdrücke, die Potenzen in irgendeinem Teil der Notation enthalten, werden aufgerufen Ausdrücke mit Kräften oder Machtausdrücke.

Für den Begriff geben wir ein Beispiel für einen solchen Ausdruck. Sie dürfen keine Variablen enthalten, zum Beispiel 2 3, 32 - 1 5 + 1, 5 3, 5 5 - 2 5 - 1, 5. Potenzausdrücke der Form 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 sind ebenfalls typisch. Um sie zu lösen, müssen einige Transformationen durchgeführt werden.

Irrationale Ausdrücke, Ausdrücke mit Wurzeln

Der im Ausdruck vorkommende Stamm gibt ihm einen anderen Namen. Sie werden irrational genannt.

Definition 8

Irrationale Ausdrücke sind Ausdrücke, die in ihrer Schrift Wurzelzeichen haben.

Aus der Definition geht klar hervor, dass es sich um Ausdrücke der Form 64, x - 1 4 3 + 3 3, 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2, a + 1 a 1 2 + 2, x y, 3 x + handelt 1 + 6 x 2 + 5 x und x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Jeder von ihnen hat mindestens ein Root-Symbol. Wurzeln und Potenzen hängen zusammen, sodass Sie Ausdrücke wie x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 sehen können.

Trigonometrische Ausdrücke

Trigonometrischer Ausdruck– Dies sind Ausdrücke, die sin, cos, tg und ctg und ihre Umkehrungen enthalten – arcsin, arccos, arctg und arcctg.

Beispiele für trigonometrische Funktionen liegen auf der Hand: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 und 2 sin x · t g 2 x + 3, 4 3 · t g π - arcsin - 3 5.

Um mit solchen Funktionen arbeiten zu können, ist es notwendig, die Eigenschaften und Grundformeln direkter und inverser Funktionen zu verwenden. Der Artikel Transformation trigonometrischer Funktionen wird dieses Problem detaillierter aufdecken.

Logarithmische Ausdrücke

Nachdem Sie sich mit Logarithmen vertraut gemacht haben, können Sie über komplexe logarithmische Ausdrücke sprechen.

Definition 10

Ausdrücke, die Logarithmen haben, werden aufgerufen logarithmisch.

Ein Beispiel für solche Funktionen wäre log 3 9 + ln e, log 2 (4 a b), log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Sie können Ausdrücke finden, bei denen es Potenzen und Logarithmen gibt. Dies ist verständlich, da aus der Definition des Logarithmus folgt, dass es sich um einen Exponenten handelt. Dann erhalten wir Ausdrücke der Form x l g x - 10, log 3 3 x 2 + 2 x - 3, log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2.

Um Ihr Studium des Materials zu vertiefen, sollten Sie sich das Material zur Konvertierung logarithmischer Ausdrücke ansehen.

Brüche

Es gibt Ausdrücke einer besonderen Art, die Brüche genannt werden. Da sie über einen Zähler und einen Nenner verfügen, können sie nicht nur numerische Werte, sondern auch Ausdrücke jeglicher Art enthalten. Schauen wir uns die Definition eines Bruchs an.

Definition 11

Fraktion ist ein Ausdruck mit Zähler und Nenner, in dem es sowohl numerische als auch alphabetische Bezeichnungen oder Ausdrücke gibt.

Beispiele für Brüche, die Zahlen im Zähler und Nenner haben, sehen so aus: 1 4, 2, 2 - 6 2 7, π 2, - e π, (− 15) (− 2) . Zähler und Nenner können sowohl numerische als auch alphabetische Ausdrücke der Form (a + 1) 3, (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 enthalten + 1 5, cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α, 2 + ln 5 ln x.

Obwohl Ausdrücke wie 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 keine Brüche sind, haben sie in ihrer Notation einen Bruch.

Allgemeiner Ausdruck

In den höheren Klassen werden Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad berücksichtigt, die alle kombinierten Aufgaben der Gruppe C für das Einheitliche Staatsexamen enthalten. Diese Ausdrücke sind besonders komplex und enthalten verschiedene Kombinationen von Wurzeln, Logarithmen, Potenzen und trigonometrischen Funktionen. Dies sind Aufgaben wie x 2 - 1 · sin x + π 3 oder sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .

Ihr Aussehen legt nahe, dass sie einem der oben genannten Typen zugeordnet werden können. Meistens werden sie keiner Kategorie zugeordnet, da sie über eine spezifische kombinierte Lösung verfügen. Sie gelten als allgemeine Ausdrücke und es werden keine zusätzlichen Spezifikationen oder Ausdrücke für die Beschreibung verwendet.

Beim Lösen eines solchen algebraischen Ausdrucks muss immer auf seine Schreibweise, das Vorhandensein von Brüchen, Potenzen oder zusätzlichen Ausdrücken geachtet werden. Dies ist notwendig, um genau zu bestimmen, wie das Problem gelöst werden kann. Wenn Sie sich über den Namen nicht sicher sind, wird empfohlen, ihn als Ausdruck eines allgemeinen Typs zu bezeichnen und ihn gemäß dem oben beschriebenen Algorithmus zu lösen.

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Numerische und algebraische Ausdrücke. Ausdrücke konvertieren.

Was ist ein Ausdruck in der Mathematik? Warum brauchen wir Ausdruckskonvertierungen?

Die Frage ist, wie man sagt, interessant... Tatsache ist, dass diese Konzepte die Grundlage aller Mathematik sind. Die gesamte Mathematik besteht aus Ausdrücken und ihren Transformationen. Nicht sehr klar? Lassen Sie mich erklären.

Nehmen wir an, Sie haben ein böses Beispiel vor sich. Sehr groß und sehr komplex. Nehmen wir an, Sie sind gut in Mathe und haben vor nichts Angst! Können Sie gleich eine Antwort geben?

Das wirst du tun müssen entscheiden dieses Beispiel. Konsequent, Schritt für Schritt, dieses Beispiel vereinfachen. Natürlich nach bestimmten Regeln. Diese. machen Ausdrucksumwandlung. Je erfolgreicher Sie diese Transformationen durchführen, desto stärker sind Sie in der Mathematik. Wenn Sie nicht wissen, wie man die richtigen Transformationen durchführt, werden Sie sie in Mathematik nicht schaffen. Nichts...

Um eine so unangenehme Zukunft (oder Gegenwart...) zu vermeiden, schadet es nicht, dieses Thema zu verstehen.)

Finden wir es zunächst einmal heraus Was ist ein Ausdruck in der Mathematik?. Was numerischer Ausdruck und was ist Algebraischer Ausdruck.

Was ist ein Ausdruck in der Mathematik?

Ausdruck in der Mathematik- Das ist ein sehr weit gefasstes Konzept. Fast alles, womit wir uns in der Mathematik befassen, besteht aus einer Reihe mathematischer Ausdrücke. Alle Beispiele, Formeln, Brüche, Gleichungen usw. – alles besteht aus mathematische Ausdrücke.

3+2 ist ein mathematischer Ausdruck. s 2 - d 2- das ist auch ein mathematischer Ausdruck. Sowohl ein gesunder Bruch als auch eine gerade Zahl sind allesamt mathematische Ausdrücke. Die Gleichung lautet beispielsweise:

5x + 2 = 12

besteht aus zwei mathematischen Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Ein Ausdruck steht links, der andere rechts.

Im Allgemeinen ist der Begriff „ mathematischer Ausdruck„wird am häufigsten verwendet, um Muhen zu vermeiden. Sie werden Sie zum Beispiel fragen, was ein gewöhnlicher Bruch ist? Und wie soll man antworten?!

Erste Antwort: „Das ist...“ mmmmmm... So etwas... in dem... Kann ich einen Bruchteil besser schreiben? Welchen willst du?"

Die zweite Antwort: „Ein gewöhnlicher Bruchteil ist (fröhlich und freudig!) mathematischer Ausdruck , das aus einem Zähler und einem Nenner besteht!“

Die zweite Option wird irgendwie beeindruckender sein, oder?)

Dies ist der Zweck des Satzes „ mathematischer Ausdruck „Sehr gut. Sowohl richtig als auch solide. Für die praktische Anwendung muss man jedoch ein gutes Verständnis davon haben spezifische Arten von Ausdrücken in der Mathematik .

Der konkrete Typ ist eine andere Sache. Das eine ganz andere Sache! Jede Art von mathematischem Ausdruck hat meins eine Reihe von Regeln und Techniken, die bei der Entscheidungsfindung angewendet werden müssen. Für die Arbeit mit Brüchen – ein Satz. Für die Arbeit mit trigonometrischen Ausdrücken – der zweite. Für die Arbeit mit Logarithmen - der dritte. Usw. Irgendwo stimmen diese Regeln überein, irgendwo unterscheiden sie sich stark. Aber haben Sie keine Angst vor diesen gruseligen Worten. Wir werden in den entsprechenden Abschnitten Logarithmen, Trigonometrie und andere mysteriöse Dinge beherrschen.

Hier werden wir zwei Haupttypen mathematischer Ausdrücke beherrschen (oder wiederholen, je nachdem, wer...). Numerische Ausdrücke und algebraische Ausdrücke.

Numerische Ausdrücke.

Was numerischer Ausdruck? Das ist ein sehr einfaches Konzept. Der Name selbst deutet darauf hin, dass es sich um einen Ausdruck mit Zahlen handelt. So ist es. Ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Klammern und Rechenzeichen besteht, wird als numerischer Ausdruck bezeichnet.

7-3 ist ein numerischer Ausdruck.

(8+3,2) 5,4 ist ebenfalls ein numerischer Ausdruck.

Und dieses Monster:

auch ein numerischer Ausdruck, ja...

Eine gewöhnliche Zahl, ein Bruch, ein beliebiges Rechenbeispiel ohne X und andere Buchstaben – all dies sind numerische Ausdrücke.

Hauptschild numerisch Ausdrücke - darin keine Buchstaben. Keiner. Nur Zahlen und mathematische Symbole (falls erforderlich). Es ist einfach, oder?

Und was kann man mit numerischen Ausdrücken machen? Numerische Ausdrücke können normalerweise gezählt werden. Dazu muss man unter Umständen die Klammern öffnen, Vorzeichen ändern, abkürzen, Begriffe vertauschen – also machen Ausdrucksumwandlungen. Aber mehr dazu weiter unten.

Hier werden wir uns mit einem so lustigen Fall befassen, wenn es um einen numerischen Ausdruck geht Sie müssen nichts tun. Nun, überhaupt nichts! Diese angenehme Bedienung - nichts tun)- wird ausgeführt, wenn der Ausdruck Es ist nicht sinnvoll.

Wann ergibt ein numerischer Ausdruck keinen Sinn?

Es ist klar, wenn wir eine Art Abrakadabra vor uns sehen, z

dann machen wir nichts. Weil nicht klar ist, was man dagegen tun soll. Irgendein Unsinn. Zählen Sie vielleicht die Anzahl der Pluspunkte ...

Aber es gibt äußerlich recht anständige Ausdrücke. Zum Beispiel dies:

(2+3): (16 - 2 8)

Dieser Ausdruck gilt jedoch auch Es ist nicht sinnvoll! Aus dem einfachen Grund, dass man in den zweiten Klammern – wenn man mitzählt – Null erhält. Aber man kann nicht durch Null dividieren! Dies ist eine verbotene Operation in der Mathematik. Daher besteht auch bei diesem Ausdruck keine Notwendigkeit, etwas zu tun. Für jede Aufgabe mit einem solchen Ausdruck ist die Antwort immer dieselbe: „Der Ausdruck hat keine Bedeutung!“

Um eine solche Antwort zu geben, musste ich natürlich berechnen, was in Klammern stehen würde. Und manchmal steht da eine Menge Zeug in Klammern ... Na ja, man kann nichts dagegen tun.

In der Mathematik gibt es nicht so viele verbotene Operationen. Es gibt nur einen in diesem Thema. Durch Null teilen. Zusätzliche Einschränkungen, die sich aus Wurzeln und Logarithmen ergeben, werden in den entsprechenden Themen behandelt.

Also, eine Vorstellung davon, was es ist numerischer Ausdruck- bekommen. Konzept Der numerische Ausdruck ergibt keinen Sinn- erkannte. Lass uns weitermachen.

Algebraische Ausdrücke.

Wenn Buchstaben in einem numerischen Ausdruck vorkommen, wird dieser Ausdruck zu... Der Ausdruck wird zu... Ja! Es wird Algebraischer Ausdruck. Zum Beispiel:

5a 2; 3x-2J; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Solche Ausdrücke werden auch genannt wörtliche Ausdrücke. Oder Ausdrücke mit Variablen. Es ist praktisch dasselbe. Ausdruck 5a +c, zum Beispiel – sowohl wörtlich als auch algebraisch und ein Ausdruck mit Variablen.

Konzept Algebraischer Ausdruck - breiter als numerisch. Es beinhaltet und alle numerischen Ausdrücke. Diese. Ein numerischer Ausdruck ist auch ein algebraischer Ausdruck, nur ohne Buchstaben. Jeder Hering ist ein Fisch, aber nicht jeder Fisch ist ein Hering...)

Warum alphabetisch- Es ist klar. Nun ja, da es Buchstaben gibt... Phrase Ausdruck mit Variablen Es ist auch nicht sehr rätselhaft. Wenn Sie verstehen, dass Zahlen unter den Buchstaben verborgen sind. Unter Buchstaben können alle möglichen Zahlen versteckt werden... Und 5 und -18 und was auch immer Sie wollen. Das heißt, ein Brief kann sein ersetzen für verschiedene Zahlen. Deshalb heißen die Buchstaben Variablen.

Im Ausdruck y+5, Zum Beispiel, bei- variabler Wert. Oder sie sagen einfach „ Variable", ohne das Wort „Größe“. Im Gegensatz zu fünf, was ein konstanter Wert ist. Oder einfach - Konstante.

Begriff Algebraischer Ausdruck bedeutet, dass Sie zum Arbeiten mit diesem Ausdruck Gesetze und Regeln verwenden müssen Algebra. Wenn Arithmetik funktioniert also mit bestimmten Zahlen Algebra- mit allen Zahlen auf einmal. Ein einfaches Beispiel zur Verdeutlichung.

In der Arithmetik können wir das schreiben

Aber wenn wir eine solche Gleichheit durch algebraische Ausdrücke schreiben:

a + b = b + a

wir entscheiden gleich Alle Fragen. Für alle Zahlen Schlaganfall. Für alles Unendliche. Denn unter den Buchstaben A Und B impliziert Alle Zahlen. Und nicht nur Zahlen, sondern auch andere mathematische Ausdrücke. So funktioniert Algebra.

Wann ergibt ein algebraischer Ausdruck keinen Sinn?

Alles über den numerischen Ausdruck ist klar. Da kann man nicht durch Null dividieren. Und lässt sich anhand von Buchstaben herausfinden, durch was wir dividieren?!

Nehmen wir als Beispiel diesen Ausdruck mit Variablen:

2: (A - 5)

Macht das Sinn? Wer weiß? A- irgendeine Nummer...

Irgendein, irgendein... Aber es gibt eine Bedeutung A, für den dieser Ausdruck genau Es ist nicht sinnvoll! Und was ist diese Zahl? Ja! Das ist 5! Wenn die Variable A Ersetzen Sie (man sagt „Ersatz“) durch die Zahl 5, in Klammern erhalten Sie Null. Was nicht geteilt werden kann. Es stellt sich also heraus, dass unser Ausdruck Es ist nicht sinnvoll, Wenn a = 5. Aber für andere Werte A macht das Sinn? Können Sie andere Zahlen ersetzen?

Sicherlich. In solchen Fällen sagen sie einfach diesen Ausdruck

2: (A - 5)

macht für alle Werte Sinn A, außer a = 5 .

Die ganze Menge an Zahlen, die Kann Das Ersetzen in einen gegebenen Ausdruck wird aufgerufen Bereich akzeptabler Werte dieser Ausdruck.

Wie Sie sehen, gibt es nichts Schwieriges. Wir betrachten den Ausdruck mit Variablen und finden heraus: Bei welchem ​​Wert der Variablen wird die verbotene Operation (Division durch Null) erhalten?

Schauen Sie sich dann unbedingt die Aufgabenfrage an. Was fragen sie?

Es ist nicht sinnvoll, unsere verbotene Bedeutung wird die Antwort sein.

Wenn Sie fragen, bei welchem ​​Wert einer Variablen der Ausdruck vorliegt hat die Bedeutung(spüren Sie den Unterschied!), wird die Antwort sein alle anderen Zahlen außer was verboten ist.

Warum brauchen wir die Bedeutung des Ausdrucks? Er ist da, er ist nicht... Was ist der Unterschied?! Der Punkt ist, dass dieses Konzept in der High School sehr wichtig wird. Extrem wichtig! Dies ist die Grundlage für so solide Konzepte wie den Bereich akzeptabler Werte oder den Bereich einer Funktion. Ohne dies werden Sie ernsthafte Gleichungen oder Ungleichungen überhaupt nicht lösen können. So.

Ausdrücke konvertieren. Identitätstransformationen.

Wir wurden mit numerischen und algebraischen Ausdrücken vertraut gemacht. Wir haben verstanden, was der Ausdruck „Der Ausdruck hat keine Bedeutung“ bedeutet. Jetzt müssen wir herausfinden, was es ist Ausdrucksumwandlung. Die Antwort ist einfach, bis zur Schande.) Dies ist jede Aktion mit einem Ausdruck. Und alle. Sie führen diese Transformationen seit der ersten Klasse durch.

Nehmen wir den coolen numerischen Ausdruck 3+5. Wie kann es umgewandelt werden? Ja, ganz einfach! Berechnung:

Diese Berechnung wird die Transformation des Ausdrucks sein. Sie können denselben Ausdruck anders schreiben:

Hier haben wir überhaupt nichts gezählt. Habe gerade den Ausdruck aufgeschrieben in einer anderen Form. Dies wird auch eine Transformation des Ausdrucks sein. Sie können es so schreiben:

Und auch dies ist eine Transformation eines Ausdrucks. Sie können so viele solcher Transformationen durchführen, wie Sie möchten.

Beliebig Aktion auf den Ausdruck beliebig Wenn man ihn in eine andere Form schreibt, nennt man das Umwandeln des Ausdrucks. Und das ist alles. Alles ist sehr einfach. Aber eines gibt es hier sehr wichtige Regel. So wichtig, dass es sicher aufgerufen werden kann Hauptregel alles Mathematik. Diese Regel brechen zwangsläufig führt zu Fehlern. Lassen wir uns darauf ein?)

Nehmen wir an, wir haben unseren Gesichtsausdruck willkürlich verändert, etwa so:

Transformation? Sicherlich. Wir haben den Ausdruck in einer anderen Form geschrieben, was ist hier falsch?

So ist es nicht.) Der Punkt ist, dass Transformationen "zufällig" interessieren sich überhaupt nicht für Mathematik.) Alle Mathematik basiert auf Transformationen, bei denen sich das Erscheinungsbild ändert. aber das Wesen des Ausdrucks ändert sich nicht. Drei plus fünf kann man in jeder beliebigen Form schreiben, es muss aber acht sein.

Transformationen, Ausdrücke, die das Wesentliche nicht verändern werden genannt identisch.

genau Identitätstransformationen und ermöglichen es uns, Schritt für Schritt ein komplexes Beispiel unter Beibehaltung in einen einfachen Ausdruck umzuwandeln die Essenz des Beispiels. Wenn wir in der Transformationskette einen Fehler machen, eine NICHT identische Transformation durchführen, werden wir entscheiden ein anderer Beispiel. Mit anderen Antworten, die nicht mit den richtigen in Zusammenhang stehen.)

Dies ist die Hauptregel für die Lösung aller Aufgaben: die Wahrung der Identität von Transformationen.

Zur Verdeutlichung habe ich ein Beispiel mit dem numerischen Ausdruck 3+5 gegeben. In algebraischen Ausdrücken werden Identitätstransformationen durch Formeln und Regeln gegeben. Nehmen wir an, in der Algebra gibt es eine Formel:

a(b+c) = ab + ac

Dies bedeutet, dass wir in jedem Beispiel den Ausdruck ersetzen können a(b+c) Fühlen Sie sich frei, einen Ausdruck zu schreiben ab + ac. Umgekehrt. Das identische Transformation. Die Mathematik gibt uns die Wahl zwischen diesen beiden Ausdrücken. Und welches man schreibt, hängt vom konkreten Beispiel ab.

Ein anderes Beispiel. Eine der wichtigsten und notwendigsten Transformationen ist die Grundeigenschaft eines Bruchs. Weitere Details finden Sie unter dem Link, aber hier möchte ich Sie nur an die Regel erinnern: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl oder einem Ausdruck, der ungleich Null ist, multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Hier ist ein Beispiel für Identitätstransformationen mit dieser Eigenschaft:

Wie Sie wahrscheinlich vermutet haben, kann diese Kette auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden...) Eine sehr wichtige Eigenschaft. Auf diese Weise können Sie alle möglichen Beispielmonster in weiße und flauschige Monster verwandeln.)

Es gibt viele Formeln, die identische Transformationen definieren. Aber die wichtigsten davon sind durchaus eine angemessene Zahl. Eine der grundlegenden Transformationen ist die Faktorisierung. Es wird in der gesamten Mathematik verwendet – von der Grundstufe bis zur fortgeschrittenen Mathematik. Beginnen wir mit ihm. In der nächsten Lektion.)

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Artikel zu Naturwissenschaften und Mathematik

Was ist ein numerischer und algebraischer Ausdruck?

Numerischer Ausdruck- Dies ist jede Aufzeichnung, die aus Zahlen und Zeichen arithmetischer Operationen besteht und nach bekannten Regeln geschrieben ist und daher eine bestimmte Bedeutung hat. Die folgenden Einträge sind beispielsweise numerische Ausdrücke: 4 + 5; -1,05 × 22,5 – 34. Andererseits ist die Notation × 16 – × 0,5 nicht numerisch, da sie zwar aus Zahlen und Vorzeichen arithmetischer Operationen besteht, aber nicht nach den Regeln zum Verfassen numerischer Ausdrücke geschrieben ist.

Wenn in einem numerischen Ausdruck Buchstaben anstelle von Zahlen stehen (alle oder nur einige), dann ist dieser Ausdruck bereits vorhanden algebraisch.

Die Bedeutung der Verwendung von Buchstaben ist ungefähr wie folgt. Die Buchstaben können durch unterschiedliche Zahlen ersetzt werden, was bedeutet, dass der Ausdruck unterschiedliche Bedeutungen haben kann. Algebra als Wissenschaft untersucht die Prinzipien der Vereinfachung von Ausdrücken, der Suche und Verwendung verschiedener Regeln, Gesetze und Formeln. Die Algebra untersucht die rationalsten Methoden zur Durchführung von Berechnungen, und genau dafür sind Verallgemeinerungen gedacht, d. h. die Verwendung von Variablen (Buchstaben) anstelle spezifischer Zahlen.

Zu den algebraischen Fakten gehören die Gesetze der Addition und Multiplikation, die Konzepte negativer Zahlen, gewöhnlicher und dezimaler Brüche und die Regeln für arithmetische Operationen damit sowie die Eigenschaften gewöhnlicher Brüche. Ziel der Algebra ist es, diese ganze Vielfalt an Fakten zu verstehen, sie zu lehren, sie zu nutzen und die Anwendbarkeit von Gesetzen in bestimmten numerischen und algebraischen Ausdrücken zu erkennen.

Wenn ein numerischer Ausdruck ausgewertet wird, ist das Ergebnis sein Wert. Der Wert eines algebraischen Ausdrucks kann nur berechnet werden, wenn die Buchstaben durch bestimmte Zahlenwerte ersetzt werden. Beispielsweise hat der Ausdruck a ÷ b mit a = 3 und b = 5 den Wert 3 ÷ 5 oder 0,6. Allerdings kann ein algebraischer Ausdruck so sein, dass er für einige Werte der Variablen (Buchstaben) möglicherweise überhaupt keine Bedeutung hat. Für dasselbe Beispiel (a ÷ b) ergibt der Ausdruck keinen Sinn, wenn b = 0, da eine Division durch Null nicht möglich ist.

Daher sprechen sie über akzeptable und inakzeptable Werte von Variablen für einen bestimmten algebraischen Ausdruck.

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Algebraische Ausdrücke

1. Definition des Konzepts
2. Ausdruckswert
3. Identitätsausdrücke
4. Probleme lösen
5. Was haben wir gelernt?

Definition des Konzepts

Welche Ausdrücke nennt man algebraisch? Dabei handelt es sich um eine mathematische Notation, die aus Zahlen, Buchstaben und Rechenzeichen besteht. Das Vorhandensein von Buchstaben ist der Hauptunterschied zwischen numerischen und algebraischen Ausdrücken. Beispiele:

Ein Buchstabe bezeichnet in algebraischen Ausdrücken eine Zahl. Deshalb heißt es Variable – im ersten Beispiel ist es der Buchstabe a, im zweiten b und im dritten c. Der algebraische Ausdruck selbst wird auch aufgerufen Ausdruck mit Variable.

Ausdruckswert

Bedeutung des algebraischen Ausdrucks ist die Zahl, die sich aus der Ausführung aller in diesem Ausdruck angegebenen arithmetischen Operationen ergibt. Aber um es zu bekommen, müssen die Buchstaben durch Zahlen ersetzt werden. Daher wird in den Beispielen immer angegeben, welche Zahl dem Buchstaben entspricht. Schauen wir uns an, wie man den Wert des Ausdrucks 8a-14*(5-a) findet, wenn a=3.

Ersetzen wir den Buchstaben a durch die Zahl 3. Wir erhalten den folgenden Eintrag: 8*3-14*(5-3).

Wie bei numerischen Ausdrücken erfolgt die Lösung eines algebraischen Ausdrucks nach den Regeln zur Durchführung arithmetischer Operationen. Lassen Sie uns alles der Reihe nach lösen.

Somit ist der Wert des Ausdrucks 8a-14*(5-a) bei a=3 gleich -4.

Der Wert einer Variablen heißt gültig, wenn der Ausdruck damit einen Sinn ergibt, das heißt, es ist möglich, seine Lösung zu finden.

Ein Beispiel für eine gültige Variable für den Ausdruck 5:2a ist die Zahl 1. Wenn wir sie in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir 5:2*1=2,5. Die ungültige Variable für diesen Ausdruck ist 0. Wenn wir Null in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir 5:2*0, also 5:0. Sie können nicht durch Null dividieren, was bedeutet, dass der Ausdruck keinen Sinn ergibt.

Identitätsausdrücke

Wenn zwei Ausdrücke für beliebige Werte ihrer konstituierenden Variablen gleich sind, werden sie aufgerufen identisch.
Beispiel für identische Ausdrücke :
4(a+c) und 4a+4c.
Welche Werte die Buchstaben a und c auch immer annehmen, die Ausdrücke sind immer gleich. Jeder Ausdruck kann durch einen anderen ersetzt werden, der mit ihm identisch ist. Dieser Vorgang wird Identitätstransformation genannt.

Beispiel für Identitätstransformation .
4*(5a+14c) – dieser Ausdruck kann durch Anwendung des mathematischen Gesetzes der Multiplikation durch einen identischen ersetzt werden. Um eine Zahl mit der Summe zweier Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie diese Zahl mit jedem Term multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

Somit ist der Ausdruck 4*(5a+14c) identisch mit 20a+64c.

Die Zahl, die in einem algebraischen Ausdruck vor einer Buchstabenvariable steht, wird als Koeffizient bezeichnet. Der Koeffizient und die Variable sind Multiplikatoren.

Probleme lösen

Algebraische Ausdrücke werden zur Lösung von Problemen und Gleichungen verwendet.
Betrachten wir das Problem. Petja hat sich eine Zahl ausgedacht. Damit sein Klassenkamerad Sasha es erraten konnte, sagte Petja zu ihm: Zuerst habe ich 7 zur Zahl addiert, dann 5 davon abgezogen und mit 2 multipliziert. Als Ergebnis erhielt ich die Zahl 28. Welche Zahl habe ich erraten?

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die versteckte Nummer mit dem Buchstaben a kennzeichnen und dann alle angegebenen Aktionen damit ausführen.

Lösen wir nun die resultierende Gleichung.

Petja wünschte sich die Zahl 12.

Was haben wir gelernt?

Ein algebraischer Ausdruck ist ein Datensatz bestehend aus Buchstaben, Zahlen und arithmetischen Symbolen. Jeder Ausdruck hat einen Wert, der durch die Ausführung aller arithmetischen Operationen im Ausdruck ermittelt wird. Der Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck wird als Variable bezeichnet, die Zahl davor als Koeffizient. Algebraische Ausdrücke werden zur Lösung von Problemen verwendet.

6.4.1. Algebraischer Ausdruck

ICH. Ausdrücke, in denen neben Buchstaben auch Zahlen, Rechenzeichen und Klammern verwendet werden können, werden algebraische Ausdrücke genannt.

Beispiele für algebraische Ausdrücke:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Da ein Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck durch andere Zahlen ersetzt werden kann, wird der Buchstabe als Variable bezeichnet, und der algebraische Ausdruck selbst wird als Ausdruck mit Variable bezeichnet.

II. Wenn in einem algebraischen Ausdruck die Buchstaben (Variablen) durch ihre Werte ersetzt und die angegebenen Aktionen ausgeführt werden, dann wird die resultierende Zahl als Wert des algebraischen Ausdrucks bezeichnet.

Beispiele. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

1) a + 2b -c mit a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y = -5; z = 6.

1) a + 2b -c mit a = -2; b = 10; c = -3,5. Statt Variablen ersetzen wir deren Werte. Wir bekommen:

2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y = -5; z = 6. Ersetzen Sie die angegebenen Werte. Wir erinnern uns, dass der Modul einer negativen Zahl gleich ihrer Gegenzahl ist und der Modul einer positiven Zahl gleich dieser Zahl selbst ist. Wir bekommen:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Die Werte des Buchstabens (der Variablen), für die der algebraische Ausdruck einen Sinn ergibt, werden als zulässige Werte des Buchstabens (der Variablen) bezeichnet.

Beispiele. Für welche Werte der Variablen macht der Ausdruck keinen Sinn?

Lösung. Wir wissen, dass man nicht durch Null dividieren kann, daher ergibt jeder dieser Ausdrücke keinen Sinn, wenn man den Wert des Buchstabens (der Variablen) berücksichtigt, der den Nenner des Bruchs auf Null macht!

In Beispiel 1) ist dieser Wert a = 0. Wenn Sie 0 anstelle von a einsetzen, müssen Sie zwar die Zahl 6 durch 0 dividieren, dies ist jedoch nicht möglich. Antwort: Ausdruck 1) macht keinen Sinn, wenn a = 0.

Im Beispiel 2) ist der Nenner x - 4 = 0 bei x = 4, daher ist dieser Wert x = 4 und kann nicht angenommen werden. Antwort: Ausdruck 2) macht keinen Sinn, wenn x = 4.

In Beispiel 3) ist der Nenner x + 2 = 0, wenn x = -2. Antwort: Ausdruck 3) macht keinen Sinn, wenn x = -2.

In Beispiel 4) ist der Nenner 5 -|x| = 0 für |x| = 5. Und da |5| = 5 und |-5| = 5, dann können Sie x = 5 und x = -5 nicht nehmen. Antwort: Ausdruck 4) macht bei x = -5 und bei x = 5 keinen Sinn.
IV. Zwei Ausdrücke heißen identisch gleich, wenn für alle zulässigen Werte der Variablen die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke gleich sind.

Beispiel: 5 (a – b) und 5a – 5b sind ebenfalls gleich, da die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b für alle Werte von a und b gilt. Die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b ist eine Identität.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gilt. Beispiele für Ihnen bereits bekannte Identitäten sind beispielsweise die Eigenschaften der Addition und Multiplikation sowie die Verteilungseigenschaft.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen identisch gleichen Ausdruck wird als Identitätstransformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet. Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Zahlenoperationen durchgeführt.

A) Konvertieren Sie den Ausdruck mithilfe der Verteilungseigenschaft der Multiplikation in identisch gleich:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Lösung. Erinnern wir uns an die Verteilungseigenschaft (Gesetz) der Multiplikation:

(a+b)c=ac+bc(Verteilungsgesetz der Multiplikation relativ zur Addition: Um die Summe zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Ergebnisse addieren).
(a-b) c=a c-b c(Verteilungsgesetz der Multiplikation relativ zur Subtraktion: Um die Differenz zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, kann man den Minuenden multiplizieren und separat mit dieser Zahl subtrahieren und die zweite Zahl vom ersten Ergebnis subtrahieren).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

B) Transformieren Sie den Ausdruck in identisch gleich, indem Sie die kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Addition verwenden:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Lösung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Addition an:

a+b=b+a(kommutativ: Durch Umordnen der Terme ändert sich die Summe nicht).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativ: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Terme zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Wandeln Sie den Ausdruck mithilfe der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Multiplikation in identisch gleich um:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2u · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Lösung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Multiplikation an:

a·b=b·a(kommutativ: Eine Neuordnung der Faktoren verändert das Produkt nicht).
(a b) c=a (b c)(Kombinativ: Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.)

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2u · (-1) = 7u.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Wenn ein algebraischer Ausdruck in Form eines reduzierbaren Bruchs angegeben wird, kann er mit der Regel zum Reduzieren eines Bruchs vereinfacht werden, d.h. Ersetzen Sie ihn durch einen identischen, einfacheren Ausdruck.

Beispiele. Vereinfachen Sie durch Bruchreduktion.

Lösung. Einen Bruch zu reduzieren bedeutet, seinen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (Ausdruck) zu dividieren, die nicht Null ist. Fraktion 10) wird um reduziert 3b; Bruch 11) reduzieren um A und Bruch 12) wird um reduziert 7n. Wir bekommen:

Zur Erstellung von Formeln werden algebraische Ausdrücke verwendet.

Eine Formel ist ein algebraischer Ausdruck, der als Gleichheit geschrieben wird und die Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen ausdrückt. Beispiel: Pfadformel, die Sie kennen s=v t(s – zurückgelegte Strecke, v – Geschwindigkeit, t – Zeit). Denken Sie daran, welche anderen Formeln Sie kennen.

www.mathematics-repetition.com

Regelbedeutung des algebraischen Ausdrucks

Numerische und algebraische Ausdrücke

In der Grundschule lernte man das Rechnen mit ganze und gebrochene Zahlen, löste Gleichungen, machte sich mit geometrischen Figuren und der Koordinatenebene vertraut. All dies bildete den Inhalt eines einzigen Schulfach „Mathematik“. Tatsächlich ist ein so wichtiges Wissenschaftsgebiet wie die Mathematik in eine Vielzahl unabhängiger Disziplinen unterteilt: Algebra, Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Analyse, mathematische Logik, mathematische Statistik, Spieltheorie usw. Jede Disziplin hat ihre eigenen Studienobjekte, ihre eigenen Methoden zum Verständnis der Realität.

Die Algebra, die wir gerade studieren werden, gibt einem Menschen nicht nur die Möglichkeit, verschiedene Aufgaben auszuführen Berechnungen, sondern bringt ihm auch bei, es so schnell und rational wie möglich zu tun. Wer algebraische Methoden beherrscht, hat gegenüber denen, die diese Methoden nicht beherrschen, einen Vorteil: Er rechnet schneller, meistert Lebenssituationen erfolgreicher, trifft Entscheidungen klarer und denkt besser. Unsere Aufgabe ist es, Ihnen bei der Beherrschung algebraischer Methoden zu helfen. Ihre Aufgabe ist es, sich dem Lernen nicht zu widersetzen, bereit zu sein, uns zu folgen und Schwierigkeiten zu überwinden.

Tatsächlich öffnet sich für Sie schon in der Grundschule ein Fenster in die magische Welt der Algebra, denn in der Algebra geht es vor allem um numerische und algebraische Ausdrücke.

Erinnern wir uns daran, dass ein numerischer Ausdruck ein beliebiger Datensatz ist, der aus Zahlen und Vorzeichen arithmetischer Operationen besteht (natürlich zusammengesetzt mit Bedeutung: zum Beispiel ist 3 + 57 ein numerischer Ausdruck, während 3 + : kein numerischer Ausdruck ist, aber eine bedeutungslose Reihe von Symbolen). Aus bestimmten Gründen (wir werden später darüber sprechen) werden anstelle bestimmter Zahlen häufig Buchstaben (hauptsächlich aus dem lateinischen Alphabet) verwendet; dann wird ein algebraischer Ausdruck erhalten. Diese Ausdrücke können sehr umständlich sein. Algebra lehrt Sie, sie mithilfe verschiedener Regeln, Gesetze, Eigenschaften, Algorithmen, Formeln und Theoreme zu vereinfachen.

Beispiel 1. Vereinfachen Sie einen numerischen Ausdruck:

Lösung. Jetzt werden wir uns gemeinsam etwas merken und Sie werden sehen, wie viele algebraische Fakten Sie bereits kennen. Zunächst müssen Sie einen Plan zur Durchführung der Berechnungen entwickeln. Dazu müssen Sie die in der Mathematik akzeptierten Konventionen über die Reihenfolge von Operationen verwenden. Die Vorgehensweise in diesem Beispiel wäre wie folgt:

1) Finden Sie den Wert A des Ausdrucks in den ersten Klammern:
A = 2,73 + 4,81 + 3,27 – 2,81;

2) Finden Sie den Wert B des Ausdrucks in den zweiten Klammern:

3) Teilen Sie A durch B – dann wissen wir, welche Zahl C im Zähler enthalten ist (d. h. über der horizontalen Linie);

4) Finden Sie den Wert D des Nenners (d. h. den unter der horizontalen Linie enthaltenen Ausdruck):
D = 25 - 37 - 0,4;

5) Teilen Sie C durch D – das ist das gewünschte Ergebnis. Es gibt also einen Berechnungsplan (und einen Plan zu haben ist die halbe Miete).
Erfolg!), beginnen wir mit der Umsetzung.

1) Finden wir A = 2,73 + 4,81 + 3,27 – 2,81. Natürlich können Sie in einer Reihe zählen oder, wie sie sagen, „Kopf an Kopf“: 2,73 + 4,81, und dann zu dieser Zahl addieren
3,27, dann subtrahieren Sie 2,81. Aber ein kultivierter Mensch wird nicht so rechnen. Er wird sich die kommutativen und assoziativen Additionsgesetze merken (er muss sie sich jedoch nicht merken, sie sind immer in seinem Kopf) und wird wie folgt rechnen:

(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

Lassen Sie uns nun noch einmal gemeinsam analysieren, welche mathematischen Fakten wir uns bei der Lösung des Beispiels merken (und nicht nur merken, sondern auch nutzen) mussten.

1. Die Reihenfolge der arithmetischen Operationen.

2. Kommutatives Additionsgesetz: a + b = b + a.

4. Kombinationsgesetz der Addition:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

5. Kombinationsgesetz der Multiplikation: abc = (ab)c = a(bc).

6. Gemeinsame Bruchkonzepte, Dezimal, eine negative Zahl.

7. Arithmetische Operationen mit Dezimalbrüchen.

8. Arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen.

10. Regeln für Handlungen mit Positivem und Negativem Zahlen. Sie wissen das alles, aber das sind alles algebraische Tatsachen. Sie haben also bereits in der Grundschule etwas mit Algebra zu tun gehabt. Die Hauptschwierigkeit besteht, wie aus Beispiel 1 hervorgeht, darin, dass es eine ganze Reihe solcher Fakten gibt und man sie nicht nur kennen, sondern auch, wie es heißt, „zur richtigen Zeit und in“ nutzen können muss der richtige Ort." Das werden wir lernen.

Da den Buchstaben, aus denen ein algebraischer Ausdruck besteht, unterschiedliche Zahlenwerte zugewiesen werden können (d. h. die Bedeutung der Buchstaben kann geändert werden), werden diese Buchstaben als Variablen bezeichnet.

b) Wenn wir der Reihenfolge der Aktionen folgen, finden wir in ähnlicher Weise durchweg:

Aber man kann nicht durch Null dividieren! Was bedeutet das in diesem Fall (und in anderen ähnlichen Fällen)? Dies bedeutet, dass wenn: der gegebene algebraische Ausdruck keinen Sinn ergibt.

Folgende Terminologie wird verwendet: Wenn ein algebraischer Ausdruck für bestimmte Buchstabenwerte (Variablen) einen Zahlenwert hat, dann werden die angegebenen Werte der Variablen als zulässig bezeichnet; Wenn für bestimmte Werte von Buchstaben (Variablen) der algebraische Ausdruck keinen Sinn ergibt, werden die angegebenen Werte der Variablen als ungültig bezeichnet.

In Beispiel 2 sind also die Werte a = 1 und b = 2, a = 3,7 und b = -1,7 akzeptabel, während die Werte
ungültig (genauer: die ersten beiden Wertepaare sind gültig und das dritte Wertepaar ist ungültig).

Im Allgemeinen sind in Beispiel 2 solche Werte der Variablen a, b inakzeptabel, für die entweder a + b = 0 oder a – b = 0 ist. Zum Beispiel a = 7, b = – 7 oder a = 28,3, b = 28,3 - ungültige Wertepaare; im ersten Fall ist a + b = 0 und im zweiten Fall a - b = 0. In beiden Fällen wird der Nenner des in diesem Beispiel angegebenen Ausdrucks zu Null und kann, wie wir es noch einmal wiederholen, nicht durch Null geteilt werden . Jetzt werden Sie wahrscheinlich selbst in der Lage sein, in Beispiel 2 sowohl gültige Wertepaare für die Variablen a, b als auch ungültige Wertepaare für diese Variablen zu finden. Probieren Sie es aus!

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A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

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Im Algebraunterricht in der Schule stoßen wir auf Ausdrücke unterschiedlicher Art. Wenn Sie neues Material lernen, wird die Aufnahme von Ausdrücken vielfältiger und komplexer. Zum Beispiel lernten wir Potenzen kennen – Potenzen tauchten in Ausdrücken auf, wir studierten Brüche – Bruchausdrücke tauchten auf usw.

Zur Vereinfachung der Beschreibung des Materials wurden Ausdrücke, die aus ähnlichen Elementen bestehen, mit spezifischen Namen versehen, um sie von der gesamten Vielfalt der Ausdrücke zu unterscheiden. In diesem Artikel machen wir uns mit ihnen vertraut, das heißt, wir geben einen Überblick über die grundlegenden Ausdrücke, die im Algebraunterricht in der Schule gelernt werden.

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Monome und Polynome

Beginnen wir mit den aufgerufenen Ausdrücken Monome und Polynome. Zum Zeitpunkt des Verfassens dieses Artikels beginnt das Gespräch über Monome und Polynome im Algebraunterricht der 7. Klasse. Die folgenden Definitionen sind dort angegeben.

Definition.

Monome Es werden Zahlen, Variablen, ihre Potenzen mit natürlichen Exponenten sowie alle daraus zusammengesetzten Produkte genannt.

Definition.

Polynome ist die Summe der Monome.

Beispielsweise sind die Zahl 5, die Variable x, die Potenz z 7, die Produkte 5 x und 7 x x 2 7 z 7 allesamt Monome. Wenn wir die Summe von Monomen nehmen, zum Beispiel 5+x oder z 7 +7+7·x·2·7·z 7, dann erhalten wir ein Polynom.

Bei der Arbeit mit Monomen und Polynomen geht es oft darum, Dinge mit ihnen zu tun. So werden auf der Menge der Monome die Multiplikation von Monomen und die Potenzierung eines Monoms in dem Sinne definiert, dass durch ihre Ausführung ein Monom entsteht.

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Potenzierung werden auf der Menge der Polynome definiert. Wie diese Aktionen bestimmt werden und nach welchen Regeln sie ausgeführt werden, besprechen wir im Artikel Aktionen mit Polynomen.

Wenn wir über Polynome mit einer einzelnen Variablen sprechen, dann hat die Division eines Polynoms durch ein Polynom bei der Arbeit mit ihnen eine erhebliche praktische Bedeutung, und oft müssen solche Polynome als Produkt dargestellt werden, was als Faktorisierung des Polynoms bezeichnet wird.

Rationale (algebraische) Brüche

In der 8. Klasse beginnt das Studium von Ausdrücken, die eine Division durch einen Ausdruck mit Variablen enthalten. Und die ersten derartigen Ausdrücke sind rationale Brüche, was einige Autoren nennen algebraische Brüche.

Definition.

Rationeller (algebraischer) Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome, insbesondere Monome und Zahlen, sind.

Hier sind einige Beispiele für rationale Brüche: und . Übrigens ist jeder gewöhnliche Bruch ein rationaler (algebraischer) Bruch.

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung werden für verschiedene algebraische Brüche eingeführt. Wie das geht, wird im Artikel Aktionen mit algebraischen Brüchen erklärt.

Es ist oft notwendig, algebraische Brüche umzuwandeln, am häufigsten sind Reduktion und Reduktion auf einen neuen Nenner.

Rationale Ausdrücke

Definition.

Ausdrücke mit Potenzen (Potenzausdrücke) sind Ausdrücke, die Grade in ihrer Notation enthalten.

Hier sind einige Beispiele für Ausdrücke mit Potenzen. Sie dürfen keine Variablen enthalten, zum Beispiel 2 3 , . Es kommen auch Potenzausdrücke mit Variablen vor: usw.

Es würde nicht schaden, sich mit der Vorgehensweise vertraut zu machen. Ausdrücke mit Potenzen umwandeln.

Irrationale Ausdrücke, Ausdrücke mit Wurzeln

Definition.

Ausdrücke, die Logarithmen enthalten, werden aufgerufen logarithmische Ausdrücke.

Beispiele für logarithmische Ausdrücke sind log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

Sehr oft enthalten Ausdrücke sowohl Potenzen als auch Logarithmen, was verständlich ist, da ein Logarithmus per Definition ein Exponent ist. Daher sehen Ausdrücke wie dieser natürlich aus: .

Um das Thema fortzusetzen, lesen Sie das Material Konvertieren logarithmischer Ausdrücke.

Brüche

In diesem Abschnitt betrachten wir Ausdrücke einer besonderen Art – Brüche.

Der Bruch erweitert den Begriff. Brüche haben auch einen Zähler und einen Nenner, die sich oberhalb bzw. unterhalb der horizontalen Bruchlinie (links und rechts der schrägen Bruchlinie) befinden. Nur können Zähler und Nenner im Gegensatz zu gewöhnlichen Brüchen nicht nur natürliche Zahlen, sondern auch beliebige andere Zahlen sowie beliebige Ausdrücke enthalten.

Definieren wir also einen Bruch.

Definition.

Fraktion ist ein Ausdruck, der aus einem Zähler und einem Nenner besteht, die durch einen Bruchstrich getrennt sind und einige numerische oder alphabetische Ausdrücke oder Zahlen darstellen.

Mit dieser Definition können Sie Beispiele für Brüche angeben.

Beginnen wir mit Beispielen für Brüche, deren Zähler und Nenner Zahlen sind: 1/4, , (−15)/(−2) . Zähler und Nenner eines Bruchs können sowohl numerische als auch alphabetische Ausdrücke enthalten. Hier sind Beispiele für solche Brüche: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), .

Aber die Ausdrücke 2/5−3/7 sind keine Brüche, obwohl sie in ihrer Schreibweise Brüche enthalten.

Allgemeine Ausdrücke

Im Gymnasium, insbesondere bei Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad und Aufgaben der Gruppe C im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik, werden Sie auf Ausdrücke komplexer Form stoßen, die in ihrer Notation gleichzeitig Wurzeln, Potenzen, Logarithmen, trigonometrische Funktionen usw. enthalten. Zum Beispiel, oder . Sie scheinen zu mehreren der oben aufgeführten Arten von Ausdrücken zu passen. Aber sie werden normalerweise nicht dazu gezählt. Sie werden berücksichtigt allgemeine Ausdrücke, und wenn sie beschreiben, sagen sie einfach einen Ausdruck, ohne zusätzliche Klarstellungen hinzuzufügen.

Zum Abschluss des Artikels möchte ich sagen, dass es besser ist, wenn ein bestimmter Ausdruck umständlich ist und Sie nicht ganz sicher sind, zu welchem ​​Typ er gehört, ihn einfach als Ausdruck zu bezeichnen, als ihn als einen Ausdruck zu bezeichnen, der er nicht ist .

Referenzliste.

• Mathematik: Lehrbuch für die 5. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 Seiten: Abb. ISBN 5-346-00699-0.
• Mathematik. 6. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen / [N. Ya. Vilenkin und andere]. - 22. Aufl., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S.: Abb. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: Lehrbuch für die 7. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 17. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
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• Algebra: 9. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra und der Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Klassen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorov. – 14. Auflage – M.: Bildung, 2004. – 384 Seiten: Abb.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Das Erlernen algebraischer Ausdrücke beginnt in der 7. Klasse. Sie haben eine Reihe von Eigenschaften und werden zur Lösung von Problemen eingesetzt. Lassen Sie uns dieses Thema genauer untersuchen und ein Beispiel für die Lösung des Problems betrachten.

Definition des Konzepts

Welche Ausdrücke nennt man algebraisch? Dabei handelt es sich um eine mathematische Notation, die aus Zahlen, Buchstaben und Rechenzeichen besteht. Das Vorhandensein von Buchstaben ist der Hauptunterschied zwischen numerischen und algebraischen Ausdrücken. Beispiele:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Ein Buchstabe bezeichnet in algebraischen Ausdrücken eine Zahl. Deshalb heißt es Variable – im ersten Beispiel ist es der Buchstabe a, im zweiten b und im dritten c. Der algebraische Ausdruck selbst wird auch aufgerufen Ausdruck mit Variable.

Ausdruckswert

Bedeutung des algebraischen Ausdrucks ist die Zahl, die sich aus der Ausführung aller in diesem Ausdruck angegebenen arithmetischen Operationen ergibt. Aber um es zu bekommen, müssen die Buchstaben durch Zahlen ersetzt werden. Daher wird in den Beispielen immer angegeben, welche Zahl dem Buchstaben entspricht. Schauen wir uns an, wie man den Wert des Ausdrucks 8a-14*(5-a) findet, wenn a=3.

Ersetzen wir den Buchstaben a durch die Zahl 3. Wir erhalten den folgenden Eintrag: 8*3-14*(5-3).

Wie bei numerischen Ausdrücken erfolgt die Lösung eines algebraischen Ausdrucks nach den Regeln zur Durchführung arithmetischer Operationen. Lassen Sie uns alles der Reihe nach lösen.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Somit ist der Wert des Ausdrucks 8a-14*(5-a) bei a=3 gleich -4.

Der Wert einer Variablen heißt gültig, wenn der Ausdruck damit einen Sinn ergibt, das heißt, es ist möglich, seine Lösung zu finden.

Ein Beispiel für eine gültige Variable für Ausdruck 5:2a ist die Zahl 1.

Wenn wir es in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir 5:2*1=2,5. Die ungültige Variable für diesen Ausdruck ist 0. Wenn wir Null in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir 5:2*0, also 5:0. Sie können nicht durch Null dividieren, was bedeutet, dass der Ausdruck keinen Sinn ergibt.

Identitätsausdrücke

Wenn zwei Ausdrücke für beliebige Werte ihrer konstituierenden Variablen gleich sind, werden sie aufgerufen identisch.
Beispiel für identische Ausdrücke :
4(a+c) und 4a+4c.
Welchen Wert die Buchstaben a und c auch haben, die Ausdrücke sind immer gleich. Jeder Ausdruck kann durch einen anderen ersetzt werden, der mit ihm identisch ist. Dieser Vorgang wird Identitätstransformation genannt.

Beispiel für Identitätstransformation .
4*(5a+14c) – dieser Ausdruck kann durch Anwendung des mathematischen Gesetzes der Multiplikation durch einen identischen ersetzt werden. Um eine Zahl mit der Summe zweier Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie diese Zahl mit jedem Term multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a+64s.

Somit ist der Ausdruck 4*(5a+14c) identisch mit 20a+64c.

Die Zahl, die in einem algebraischen Ausdruck vor einer Buchstabenvariablen erscheint, wird als Koeffizient bezeichnet. Der Koeffizient und die Variable sind Multiplikatoren.

Probleme lösen

Algebraische Ausdrücke werden zur Lösung von Problemen und Gleichungen verwendet.
Betrachten wir das Problem. Petja hat sich eine Zahl ausgedacht. Damit sein Klassenkamerad Sasha es erraten konnte, sagte Petja zu ihm: Zuerst habe ich 7 zur Zahl addiert, dann 5 davon abgezogen und mit 2 multipliziert. Als Ergebnis erhielt ich die Zahl 28. Welche Zahl habe ich erraten?

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die versteckte Nummer mit dem Buchstaben a kennzeichnen und dann alle angegebenen Aktionen damit ausführen.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Lösen wir nun die resultierende Gleichung.

Petja wünschte sich die Zahl 12.

Was haben wir gelernt?

Ein algebraischer Ausdruck ist ein Datensatz bestehend aus Buchstaben, Zahlen und arithmetischen Symbolen. Jeder Ausdruck hat einen Wert, der durch die Ausführung aller arithmetischen Operationen im Ausdruck ermittelt wird. Der Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck wird als Variable bezeichnet, die Zahl davor als Koeffizient. Algebraische Ausdrücke werden zur Lösung von Problemen verwendet.

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