Im Schulunterricht muss sich der Geometrieunterricht mit verschiedenen Arten von Vierecken auseinandersetzen: Rauten, Parallelogramme, Rechtecke, Trapeze, Quadrate. Die allerersten zu untersuchenden Formen sind ein Rechteck und ein Quadrat.

Was ist also ein Rechteck? Die Definition für die 2. Klasse einer Gesamtschule sieht so aus: Das ist ein Viereck, bei dem alle vier Ecken richtig sind. Man kann sich leicht vorstellen, wie ein Rechteck aussieht: Es ist eine Figur mit 4 rechten Winkeln und paarweise zueinander parallelen Seiten.

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Wie kann man verstehen und das nächste geometrische Problem lösen, mit welcher Art von Viereck haben wir es zu tun? Es gibt drei Hauptmerkmale, anhand dessen Sie genau feststellen können, dass es sich um ein Rechteck handelt. Nennen wir sie:

• die Figur ist ein Viereck mit drei Winkeln gleich 90°;
• das dargestellte Viereck ist ein Parallelogramm mit gleichen Diagonalen;
• ein Parallelogramm, das mindestens einen rechten Winkel hat.

Es ist interessant zu wissen: Was ist konvex, seine Merkmale und Zeichen.

Da ein Rechteck ein Parallelogramm ist (d. h. ein Viereck mit paarweise parallelen gegenüberliegenden Seiten), werden alle seine Eigenschaften und Merkmale für es erfüllt.

Formeln zur Berechnung der Seitenlänge

in einem Rechteck gegenüberliegende Seiten sind gleich und zueinander parallel. Die längere Seite wird normalerweise als Länge (mit a bezeichnet), die kürzere Seite als Breite (mit b bezeichnet) bezeichnet. In dem Rechteck im Bild sind die Längen die Seiten AB und CD und die Breiten AC und B.D. Sie sind auch senkrecht zu den Basen (d. h. sie sind Höhen).

Um die Seiten zu finden, können Sie die folgenden Formeln verwenden. In ihnen werden Konventionen angenommen: a - die Länge des Rechtecks, b - seine Breite, d - die Diagonale (das Segment, das die Eckpunkte zweier gegenüberliegender Winkel verbindet), S - die Fläche der Figur, P - der Umfang, α - der Winkel zwischen der Diagonale und der Länge, β ist ein spitzer Winkel, der von beiden Diagonalen gebildet wird. Möglichkeiten, die Längen der Seiten zu finden:

• Unter Verwendung der Diagonale und der bekannten Seite: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• Durch die Fläche der Figur und eine ihrer Seiten: a = S / b, b = S / a.
• Unter Verwendung des Umfangs und der bekannten Seite: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Durch die Diagonale und den Winkel zwischen ihr und der Länge: a = d sinα, b = d cosα.
• Durch die Diagonale und den Winkel β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Umfang und Fläche

Der Umfang eines Vierecks heißt die Summe der Längen aller seiner Seiten. Um den Umfang zu berechnen, können die folgenden Formeln verwendet werden:

• Durch beide Seiten: P = 2 (a + b).
• Durch die Fläche und eine der Seiten: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

Ein Bereich ist ein Raum, der durch einen Umfang begrenzt ist. Drei Hauptmethoden zur Berechnung der Fläche:

• Durch die Längen beider Seiten: S = a*b.
• Unter Verwendung des Umfangs und einer beliebigen bekannten Seite: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• Diagonale und Winkel β: S = 0,5 d² sinβ.

Bei den Aufgaben eines Schulmathematikkurses ist oft eine gute Beherrschung der Mathematik erforderlich Eigenschaften der Diagonalen eines Rechtecks. Wir listen die wichtigsten auf:

1. Die Diagonalen sind einander gleich und werden an ihrem Schnittpunkt in zwei gleiche Segmente geteilt.
2. Die Diagonale ist definiert als die Wurzel der Summe beider Seiten zum Quadrat (folgt aus dem Satz des Pythagoras).
3. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
4. Der Schnittpunkt fällt mit dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises zusammen, und die Diagonalen selbst fallen mit seinem Durchmesser zusammen.

Zur Berechnung der Diagonalen werden folgende Formeln verwendet:

• Unter Verwendung der Länge und Breite der Figur: d = √ (a ² + b ²).
• Unter Verwendung des Radius eines Kreises, der um ein Viereck umschrieben wird: d = 2 R.

Definition und Eigenschaften eines Quadrats

Ein Quadrat ist ein Sonderfall einer Raute, eines Parallelogramms oder eines Rechtecks. Der Unterschied zu diesen Figuren besteht darin, dass alle Winkel richtig sind und alle vier Seiten gleich sind. Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck.

Ein Viereck heißt in folgenden Fällen Quadrat:

1. Wenn es sich um ein Rechteck handelt, dessen Länge a und Breite b gleich sind.
2. Wenn es sich um eine Raute mit gleich langen Diagonalen und vier rechten Winkeln handelt.

Die Eigenschaften eines Quadrats umfassen alle zuvor besprochenen Eigenschaften eines Rechtecks ​​sowie die folgenden:

1. Diagonalen stehen senkrecht aufeinander (Eigenschaft einer Raute).
2. Der Schnittpunkt fällt mit dem Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises zusammen.
3. Beide Diagonalen teilen das Viereck in vier identische rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke.

Hier sind einige häufig verwendete Formeln für Berechnung des Umfangs, der Fläche und der Elemente eines Quadrats:

• Diagonale d = a √2.
• Umfang P = 4 a.
• Fläche S = a².
• Der Radius des Umkreises ist die halbe Diagonale: R = 0,5 a √2.
• Der Radius eines Inkreises ist definiert als die halbe Seitenlänge: r = a / 2.

Beispielfragen und Aufgaben

Lassen Sie uns einige der Fragen analysieren, denen Sie beim Mathematikstudium in der Schule begegnen können, und einige einfache Probleme lösen.

Aufgabe 1. Wie ändert sich die Fläche eines Rechtecks, wenn die Seitenlänge verdreifacht wird?

Lösung : Bezeichnen wir die Fläche der ursprünglichen Figur als S0 und die Fläche des Vierecks mit der dreifachen Seitenlänge - S1. Nach der zuvor betrachteten Formel erhalten wir: S0 = ab. Jetzt erhöhen wir die Länge und Breite um das Dreifache und schreiben: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Beim Vergleich von S0 und S1 wird deutlich, dass der zweite Bereich 9-mal größer ist als der erste.

Frage 1. Ist ein Viereck mit rechten Winkeln ein Quadrat?

Lösung : Aus der Definition folgt, dass eine Figur mit rechten Winkeln nur dann ein Quadrat ist, wenn alle Seiten gleich lang sind. Andernfalls ist die Figur ein Rechteck.

Aufgabe 2. Die Diagonalen eines Rechtecks ​​bilden einen Winkel von 60 Grad. Die Breite des Rechtecks ​​ist 8. Berechne die Diagonale.

Lösung: Denken Sie daran, dass die Diagonalen durch den Schnittpunkt halbiert werden. Wir haben es also mit einem gleichschenkligen Dreieck mit einem Eckwinkel von 60° zu tun. Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind auch die Winkel an der Basis gleich. Durch einfache Berechnungen erhalten wir, dass jeder von ihnen gleich 60 ° ist. Daraus folgt, dass das Dreieck gleichseitig ist. Die Breite, die wir kennen, ist die Basis des Dreiecks, also ist die Hälfte der Diagonale auch 8, und die Länge der gesamten Diagonale ist doppelt so groß und gleich 16.

Frage 2. Sind bei einem Rechteck alle Seiten gleich oder nicht?

Lösung : Es genügt, daran zu erinnern, dass bei einem Quadrat, das ein Sonderfall eines Rechtecks ​​ist, alle Seiten gleich sein müssen. In allen anderen Fällen ist eine ausreichende Bedingung das Vorhandensein von mindestens 3 rechten Winkeln. Die Gleichheit der Parteien ist kein zwingendes Merkmal.

Aufgabe 3. Die Fläche des Quadrats ist bekannt und gleich 289. Finden Sie die Radien der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise.

Lösung : Gemäß den Formeln für das Quadrat führen wir die folgenden Berechnungen durch:

• Lassen Sie uns bestimmen, was die Hauptelemente des Quadrats sind: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Lassen Sie uns berechnen, wie groß der Radius des um das Viereck beschriebenen Kreises ist: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Finden wir den Radius des Inkreises: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Definition. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Eigentum. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich und gegenüberliegende Winkel gleich.

Eigentum. Die Diagonalen eines Parallelogramms werden durch den Schnittpunkt halbiert.

1 Zeichen eines Parallelogramms. Wenn zwei Seiten eines Vierecks gleich und parallel sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

2 Zeichen eines Parallelogramms. Wenn die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise gleich sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

3 Zeichen eines Parallelogramms. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen schneiden und der Schnittpunkt halbiert wird, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

Definition. Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind. Parallele Seiten werden aufgerufen Gründe.

Das Trapez heißt gleichschenklig (gleichschenklig) wenn seine Seiten gleich sind. Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel an den Grundseiten gleich.

rechteckig.

Mittellinie des Trapezes. Die Mittellinie ist parallel zu den Basen und gleich ihrer Halbsumme.

Rechteck

Definition.

Eigentum. Die Diagonalen eines Rechtecks ​​sind gleich.

Rechteckiges Zeichen. Wenn die Diagonalen eines Parallelogramms gleich sind, dann ist das Parallelogramm ein Rechteck.

Definition.

Eigentum. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren ihre Winkel.

Definition.

Ein Quadrat ist eine besondere Art von Rechteck und auch eine besondere Art von Raute. Daher hat es alle ihre Eigenschaften.

Eigenschaften:
1. Alle Ecken des Quadrats sind richtig

Vervierfacht alle Regeln

Stichworte:
Viereck, konvex, Winkelsumme, Fläche eines Vierecks

Viereck wird eine Figur genannt, die aus vier Punkten und vier Segmenten besteht, die diese in Reihe verbinden. In diesem Fall sollten keine drei dieser Punkte auf einer geraden Linie liegen und die sie verbindenden Segmente sollten sich nicht schneiden.

• Die Ecken des Vierecks heißen benachbart wenn sie die Enden einer seiner Seiten sind.
• Knoten, die keine Nachbarn sind , genannt Gegenteil .
• Liniensegmente, die gegenüberliegende Eckpunkte eines Vierecks verbinden, werden genannt Diagonalen .
• Die Seiten eines Vierecks, die von derselben Ecke ausgehen, heißen benachbart Parteien.
• Seiten, die kein gemeinsames Ende haben, werden aufgerufen Gegenteil Parteien.
• Das Viereck heißt konvex , wenn es in einer Halbebene relativ zu der geraden Linie liegt, die eine seiner Seiten enthält.

Arten von Vierecken

1. Parallelogramm Ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind
   • Rechteck ein Parallelogramm mit allen rechten Winkeln
   • Rhombus - ein Parallelogramm mit allen Seiten gleich
   • Quadrat - ein Rechteck mit allen Seiten gleich
2. Trapez - ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind
3. Deltamuskel Ein Viereck, dessen zwei benachbarte Seitenpaare gleich sind

Vierecke

Viereck wird eine Figur genannt, die aus vier Punkten und vier Segmenten besteht, die diese in Reihe verbinden. In diesem Fall liegen keine drei dieser Punkte auf derselben Geraden, und die sie verbindenden Segmente schneiden sich nicht.

Gegenteil. Gegenteil.

Arten von Vierecken

Parallelogramm

Parallelogramm heißt ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Parallelogrammeigenschaften

• gegenüberliegende Seiten sind gleich;
• gegenüberliegende Winkel sind gleich;
• Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate aller Seiten:

Merkmale des Parallelogramms

Trapez Man nennt ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind und die anderen beiden nicht parallel sind.

Die parallelen Seiten eines Trapezes heißen seine Gründe und die nicht parallelen Seiten Seiten. Das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet, wird aufgerufen Mittellinie.

Das Trapez heißt gleichschenklig(oder gleichschenklig), wenn seine Seiten gleich sind.

Ein Trapez mit einem rechten Winkel heißt rechteckig.

Trapezeigenschaften

Zeichen eines Trapezes

Rechteck

Rechteck Ein Parallelogramm heißt, wenn alle Winkel rechte Winkel sind.

Rechteckeigenschaften

Rechteckfunktionen

Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn:

1. Eine seiner Ecken ist richtig.
2. Seine Diagonalen sind gleich.

Rhombus Ein Parallelogramm heißt, wenn alle Seiten gleich sind.

Rhombus-Eigenschaften

• alle Eigenschaften eines Parallelogramms;
• die Diagonalen sind senkrecht;

Zeichen einer Raute

Quadrat Man nennt ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.

Quadratische Eigenschaften

• alle Ecken des Quadrats sind richtig;
• die Diagonalen des Quadrats sind gleich, senkrecht zueinander, der Schnittpunkt wird halbiert und die Ecken des Quadrats werden halbiert.

Quadratische Schilder

Grundlegende Formeln

S=d 1 d 2 Sünde

Parallelogramm
a und b- benachbarte Parteien; - der Winkel zwischen ihnen; ha- Höhe zur Seite a.

S = ab Sünde

S=d 1 d 2 Sünde

Trapez
a und b- Gelände; h- der Abstand zwischen ihnen; l- Mittellinie .

Rechteck

S=d 1 d 2 Sünde

S = eine 2 Sünde

S=d 1 d 2

Quadrat
d- diagonal.

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Arten von Vierecken:

• Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind

• Rhombus ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind.

• Rechteck ist ein Parallelogramm mit allen rechten Winkeln.

• Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.

Eigenschaften beliebiger Vierecke:

Parallelogrammeigenschaften:

Rauteneigenschaften:

Rechteckeigenschaften:

Quadratische Eigenschaften:

Trapezeigenschaften:

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Nichteuklidische Geometrie, Geometrie ähnlich der Geometrie Euklid, dass es die Bewegung von Figuren definiert, sich aber von der euklidischen Geometrie dadurch unterscheidet, dass eines seiner fünf Postulate (zweites oder fünftes) durch seine Negation ersetzt wird. Die Ablehnung eines der euklidischen Postulate (1825) war ein bedeutendes Ereignis in der Geschichte des Denkens, denn es diente als erster Schritt in Richtung Relativitätstheorie.

Euklids zweites Postulat besagt dies Jedes Liniensegment kann unbegrenzt verlängert werden. Euklid glaubte offenbar, dass dieses Postulat auch die Aussage enthielt, dass die gerade Linie unendlich lang sei. Jedoch In der "elliptischen" Geometrie ist jede gerade Linie endlich und wie ein Kreis geschlossen.

Das fünfte Postulat besagt, dass, wenn eine Linie zwei gegebene Linien schneidet, so dass die beiden Innenwinkel auf einer Seite davon in der Summe kleiner als zwei rechte Winkel sind, diese beiden Linien, wenn sie auf unbestimmte Zeit verlängert werden, sich auf der Seite schneiden, auf der die Summe von dieser Winkel ist kleiner als die Summe zweier Geraden. Aber in der "hyperbolischen" Geometrie kann es eine Linie CB (siehe Abb.) geben, die im Punkt C senkrecht zu einer gegebenen Linie r steht und eine andere Linie s in einem spitzen Winkel im Punkt B schneidet, aber dennoch die unendlichen Linien r und s werden sich nie schneiden.

Aus diesen überarbeiteten Postulaten folgte, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks, die in der euklidischen Geometrie 180° entspricht, in der elliptischen Geometrie größer als 180° und in der hyperbolischen Geometrie kleiner als 180° ist.

Viereck

Viereck ist ein Polygon mit vier Ecken und vier Seiten.

Viereck, eine geometrische Figur - ein Polygon mit vier Ecken, sowie jedes Objekt, ein Gerät dieser Form.

Zwei nicht benachbarte Seiten eines Vierecks heißen Gegenteil. Zwei nicht benachbarte Ecken werden auch genannt Gegenteil.

Vierecke sind konvex (wie ABCD) und
nicht konvex (A 1 B 1 C 1 D 1).

Arten von Vierecken

• Parallelogramm- ein Viereck, bei dem alle gegenüberliegenden Seiten parallel sind;
• Rechteck- ein Viereck mit allen rechten Winkeln;
• Rhombus- ein Viereck, in dem alle Seiten gleich sind;
• Quadrat- ein Viereck, in dem alle Winkel gleich und alle Seiten gleich sind;
• Trapez- ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden Seiten parallel;
• Deltamuskel Ein Viereck, dessen zwei benachbarte Seitenpaare gleich sind.

Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Parallelogramm (von griechisch parallelos - parallel und gramme - Linie) d.h. auf parallelen Linien liegen. Sonderfälle eines Parallelogramms sind ein Rechteck, ein Quadrat und eine Raute.

• gegenüberliegende Seiten sind gleich;
• gegenüberliegende Winkel sind gleich;
• die Diagonalen des Schnittpunkts werden halbiert;
• die Summe der an eine Seite angrenzenden Winkel beträgt 180°;
• Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate aller Seiten.

Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn:

1. Seine beiden gegenüberliegenden Seiten sind gleich und parallel.
2. Gegenüberliegende Seiten sind paarweise gleich.
3. Gegenüberliegende Winkel sind paarweise gleich.
4. Die Diagonalen des Schnittpunktes werden halbiert.

Rechteck

Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit allen rechten Winkeln.

• gegenüberliegende Seiten sind gleich;
• gegenüberliegende Winkel sind gleich;
• die Diagonalen des Schnittpunkts werden halbiert;
• die Summe der an eine Seite angrenzenden Winkel beträgt 180°;
• Die Diagonalen sind gleich.

Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn:

1. Eine seiner Ecken ist richtig.
2. Seine Diagonalen sind gleich.

Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind.

• gegenüberliegende Seiten sind gleich;
• gegenüberliegende Winkel sind gleich;
• die Diagonalen des Schnittpunkts werden halbiert;
• die Summe der an eine Seite angrenzenden Winkel beträgt 180°;
• die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate aller Seiten;
• die Diagonalen sind senkrecht;
• die Diagonalen sind die Winkelhalbierenden seiner Winkel.

Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn:

1. Seine beiden benachbarten Seiten sind gleich.
2. Seine Diagonalen sind senkrecht.
3. Eine der Diagonalen ist die Winkelhalbierende ihres Winkels.

Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.

• alle Ecken des Quadrats sind richtig;
• die Diagonalen des Quadrats sind gleich, senkrecht zueinander, der Schnittpunkt wird halbiert und die Ecken des Quadrats werden halbiert.

1. Ein Rechteck ist ein Quadrat, wenn es einige Merkmale einer Raute hat.

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind.

Die parallelen Seiten eines Trapezes werden seine Basen genannt, und die nicht parallelen Seiten werden seine Seiten genannt. Das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet, wird als Mittellinie bezeichnet.

Ein Trapez heißt gleichschenklig (oder gleichschenklig), wenn seine Seiten gleich sind.

Ein Trapez mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Trapez.

• seine Mittellinie ist parallel zu den Basen und gleich ihrer Halbsumme;
• wenn das Trapez gleichschenklig ist, dann sind seine Diagonalen gleich und die Winkel an der Basis sind gleich;
• wenn das Trapez gleichschenklig ist, dann kann ein Kreis um es herum beschrieben werden;
• Wenn die Summe der Basen gleich der Summe der Seiten ist, kann ein Kreis darin eingeschrieben werden.

1. Ein Viereck ist ein Trapez, wenn seine parallelen Seiten nicht gleich sind

Deltamuskel Ein Viereck mit zwei gleich langen Seitenpaaren. Im Gegensatz zu einem Parallelogramm sind nicht zwei Paare benachbarter Seiten gleich, sondern zwei Paare benachbarter Seiten. Der Deltamuskel hat die Form eines Drachens.

• Die Winkel zwischen Seiten ungleicher Länge sind gleich.
• Die Diagonalen des Deltamuskels (oder ihre Verlängerungen) schneiden sich im rechten Winkel.
• In jeden konvexen Deltamuskel kann ein Kreis eingeschrieben werden, außerdem gibt es, wenn der Deltamuskel keine Raute ist, einen anderen Kreis, der die Verlängerungen aller vier Seiten tangiert. Für einen nicht konvexen Deltamuskel kann man einen Kreis konstruieren, der zwei größere Seiten und Verlängerungen von zwei kleineren Seiten tangiert, und einen Kreis, der zwei kleinere Seiten und Verlängerungen von zwei größeren Seiten tangiert.

• Wenn der Winkel zwischen den ungleichen Seiten des Deltamuskels eine gerade Linie ist, kann ein Kreis darin eingeschrieben werden (der beschriebene Deltamuskel).
• Wenn zwei gegenüberliegende Seiten eines Deltamuskels gleich sind, dann ist ein solcher Deltamuskel eine Raute.
• Wenn ein Paar gegenüberliegender Seiten und beide Diagonalen eines Deltamuskels gleich sind, dann ist der Deltamuskel ein Quadrat. Ein einbeschriebener Deltamuskel mit gleichen Diagonalen ist auch ein Quadrat.

Die Entstehung der Geometrie geht auf die Antike zurück und war auf die praktischen Bedürfnisse der menschlichen Tätigkeit zurückzuführen (die Notwendigkeit, Land zu messen, das Volumen verschiedener Körper zu messen usw.).

Die einfachsten geometrischen Informationen und Konzepte waren im alten Ägypten bekannt. In dieser Zeit wurden geometrische Aussagen in Form von unbewiesen gegebenen Regeln formuliert.

Aus dem 7. Jahrhundert v e. bis ins 1. Jahrhundert n. Chr e. Die Geometrie als Wissenschaft entwickelte sich im antiken Griechenland schnell. In dieser Zeit fand nicht nur die Anhäufung verschiedener geometrischer Informationen statt, sondern es wurde auch die Methodik zum Beweis geometrischer Aussagen ausgearbeitet und die ersten Versuche unternommen, die grundlegenden Primärbestimmungen (Axiome) der Geometrie zu formulieren, aus denen viele verschiedene geometrische Aussagen werden durch rein logisches Denken abgeleitet. Der Entwicklungsstand der Geometrie im antiken Griechenland spiegelt sich in der Arbeit von Euklids "Anfängen" wider.

In diesem Buch wurde zum ersten Mal der Versuch unternommen, eine systematische Konstruktion der Planimetrie auf der Grundlage von undefinierten geometrischen Grundbegriffen und Axiomen (Postulaten) zu geben.

Einen besonderen Platz in der Geschichte der Mathematik nimmt das fünfte Postulat von Euklid (das Axiom der parallelen Linien) ein. Mathematiker versuchten lange Zeit erfolglos, das fünfte Postulat aus den übrigen Postulaten von Euklid abzuleiten, und erst Mitte des 19. Jahrhunderts wurde dies dank der Studien von N. I. Lobachevsky, B. Riemann und J. Boyai klar das fünfte Postulat lässt sich nicht aus den übrigen ableiten, und das von Euklid vorgeschlagene Axiomensystem ist nicht das einzig mögliche.

Euklids „Elemente“ hatten einen großen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik. Seit mehr als zweitausend Jahren ist dieses Buch nicht nur ein Lehrbuch der Geometrie, sondern diente auch als Ausgangspunkt für viele mathematische Studien, wodurch neue eigenständige Zweige der Mathematik entstanden.

Der systematische Aufbau der Geometrie erfolgt in der Regel nach folgendem Schema:

ICH. Es werden die wichtigsten geometrischen Konzepte aufgelistet, die ohne Definitionen eingeführt werden.

II. Eine Formulierung der Axiome der Geometrie wird gegeben.

III. Auf der Grundlage von Axiomen und geometrischen Grundbegriffen werden weitere geometrische Begriffe und Theoreme formuliert.

1. Herkunft des Namens Nichteuklidische Geometrie?
2. Welche Formen nennt man Vierecke?
3. Eigenschaften eines Parallelogramms?
4. Arten von Vierecken?

Liste der verwendeten Quellen

1. AG Zypkin. Handbuch der Mathematik
2. „Einheitliches Staatsexamen 2006. Mathematik. Bildungs- und Schulungsmaterialien zur Vorbereitung von Studenten / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Lösung der wichtigsten Wettbewerbsprobleme in der Mathematik der von M. I. Scanavi herausgegebenen Sammlung"

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Heute betrachten wir eine geometrische Figur - ein Viereck. Aus dem Namen dieser Figur wird bereits deutlich, dass diese Figur vier Ecken hat. Aber die restlichen Merkmale und Eigenschaften dieser Figur werden wir unten betrachten.

Was ist ein viereck

Ein Viereck ist ein Polygon, das aus vier Punkten (Eckpunkten) und vier Segmenten (Seiten) besteht, die diese Punkte paarweise verbinden. Die Fläche eines Vierecks ist das halbe Produkt aus seinen Diagonalen und dem Winkel zwischen ihnen.

Ein Viereck ist ein Vieleck mit vier Eckpunkten, von denen drei nicht auf einer Linie liegen.

Arten von Vierecken

• Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind, heißt Parallelogramm.
• Ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind und die anderen beiden nicht, nennt man Trapez.
• Ein Viereck mit allen rechten Winkeln ist ein Rechteck.
• Ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich sind, ist eine Raute.
• Ein Viereck, in dem alle Seiten gleich sind und alle Winkel recht sind, nennt man Quadrat.

Das Viereck kann sein:

sich selbst schneidend

nicht konvex

konvex

Sich selbst schneidendes Viereck ist ein Viereck, bei dem jede seiner Seiten einen Schnittpunkt hat (in der Abbildung blau).

Nicht konvexes Viereck ist ein Viereck, bei dem einer der Innenwinkel größer als 180 Grad ist (in der Abbildung orange dargestellt).

Winkelsumme Jedes Viereck, das sich nicht selbst schneidet, hat immer 360 Grad.

Besondere Arten von Vierecken

Vierecke können zusätzliche Eigenschaften haben und spezielle Arten von geometrischen Formen bilden:

• Parallelogramm
• Rechteck
• Quadrat
• Trapez
• Deltamuskel
• Gegenparallelogramm

Viereck und Kreis

Ein Viereck, das um einen Kreis eingeschrieben ist (ein Kreis, der in ein Viereck eingeschrieben ist).

Die Haupteigenschaft des umschriebenen Vierecks:

Ein Viereck kann genau dann um einen Kreis herumbeschrieben werden, wenn die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten gleich sind.

In einen Kreis eingeschriebenes Viereck (Kreis um ein Viereck eingeschrieben)

Haupteigenschaft eines einbeschriebenen Vierecks:

Ein Viereck kann einem Kreis genau dann einbeschrieben werden, wenn die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180 Grad beträgt.

Eigenschaften der Seitenlänge von Vierecken

Differenzbetrag zweier beliebiger Seiten eines Vierecks die Summe seiner beiden anderen Seiten nicht überschreitet.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Wichtig. Die Ungleichung gilt für jede Kombination von Seiten eines Vierecks. Die Abbildung dient lediglich dem leichteren Verständnis.

In jedem Viereck die Summe der Längen seiner drei Seiten ist nicht kleiner als die Länge der vierten Seite.

Wichtig. Beim Lösen von Problemen innerhalb des Schullehrplans können Sie eine strikte Ungleichung (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Definition. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Eigentum. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich und gegenüberliegende Winkel gleich.

Eigentum. Die Diagonalen eines Parallelogramms werden durch den Schnittpunkt halbiert.

1 Zeichen eines Parallelogramms. Wenn zwei Seiten eines Vierecks gleich und parallel sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

2 Zeichen eines Parallelogramms. Wenn die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise gleich sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

3 Zeichen eines Parallelogramms. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen schneiden und der Schnittpunkt halbiert wird, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

Definition. Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind. Parallele Seiten werden aufgerufen Gründe.

Das Trapez heißt gleichschenklig (gleichschenklig) wenn seine Seiten gleich sind. Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel an den Grundseiten gleich.

Ein Trapez mit einem rechten Winkel heißt rechteckig.

Das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet, wird aufgerufen Mittellinie des Trapezes. Die Mittellinie ist parallel zu den Basen und gleich ihrer Halbsumme.

Definition. Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit allen rechten Winkeln.

Eigentum. Die Diagonalen eines Rechtecks ​​sind gleich.

Rechteckiges Zeichen. Wenn die Diagonalen in einem Parallelogramm gleich sind, dann ist dieses Parallelogramm ein Rechteck.

Definition. Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind.

Eigentum. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren ihre Winkel.

Definition. Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.

Ein Quadrat ist eine besondere Art von Rechteck und auch eine besondere Art von Raute. Daher hat es alle ihre Eigenschaften.

Eigenschaften:
1. Alle Ecken des Quadrats sind richtig

2. Die Diagonalen des Quadrats sind gleich, senkrecht zueinander, der Schnittpunkt wird halbiert und die Ecken des Quadrats werden halbiert.

Mit vier Ecken und vier Seiten. Ein Viereck wird durch eine geschlossene Polylinie gebildet, die aus vier Verbindungen besteht, und dem Teil der Ebene, der sich innerhalb der Polylinie befindet.

Die Bezeichnung eines Vierecks besteht aus den Buchstaben an seinen Eckpunkten, die der Reihe nach benannt werden. Sie sagen oder schreiben zum Beispiel: Viereck A B C D :

In einem Viereck A B C D Punkte EIN, B, C und D- Das viereckige Eckpunkte, Segmente AB, BC, CD und DA - Seiten.

Knoten, die zu derselben Seite gehören, werden aufgerufen benachbart, Knoten, die nicht benachbart sind, werden aufgerufen Gegenteil:

In einem Viereck A B C D Spitzen EIN und B, B und C, C und D, D und EIN benachbart sind, und die Ecken EIN und C, B und D- Gegenteil. Winkel, die an benachbarten Eckpunkten liegen, werden auch als benachbart und an gegenüberliegenden Eckpunkten als entgegengesetzt bezeichnet.

Die Seiten eines Vierecks können auch paarweise in benachbarte und gegenüberliegende Seiten unterteilt werden: Seiten, die einen gemeinsamen Eckpunkt haben, werden als Seiten bezeichnet benachbart(oder verbunden), Seiten, die keine gemeinsamen Ecken haben - Gegenteil:

Parteien AB und BC, BC und CD, CD und DA, DA und AB benachbart sind, und die Seiten AB und Gleichstrom, ANZEIGE und BC- Gegenteil.

Wenn gegenüberliegende Eckpunkte durch ein Segment verbunden sind, wird ein solches Segment aufgerufen die Diagonale des Vierecks. Wenn man bedenkt, dass es im Viereck nur zwei Paare von gegenüberliegenden Eckpunkten gibt, kann es nur zwei Diagonalen geben:

Segmente AC und BD- Diagonalen.

Betrachten Sie die Haupttypen konvexer Vierecke:

• Trapez- ein Viereck, bei dem ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel zueinander und das andere Paar nicht parallel ist.
  • Gleichschenkliges Trapez- ein Trapez, dessen Seiten gleich sind.
  • Rechteckiges Trapez Ein Trapez mit einem der rechten Winkel.
• Parallelogramm Ein Viereck, bei dem beide gegenüberliegenden Seitenpaare parallel zueinander sind.
  • Rechteck Ein Parallelogramm, in dem alle Winkel gleich sind.
  • Rhombus Ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind.
  • Quadrat Ein Parallelogramm mit gleichen Seiten und Winkeln. Sowohl ein Rechteck als auch eine Raute können ein Quadrat sein.

Eckeneigenschaften von konvexen Vierecken

Alle konvexen Vierecke haben die folgenden zwei Eigenschaften:

1. Jeder Innenwinkel kleiner als 180°.
2. Die Summe der Innenwinkel beträgt 360°.