Die Zahlenfolge ist arithmetisch und geometrisch. Arithmetische und geometrische Folgen

Wenn für jede natürliche Zahl N einer reellen Zahl entsprechen ein , dann sagen sie, dass es gegeben ist Zahlenfolge :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein , . . . .

Die Zahlenfolge ist also eine Funktion des natürlichen Arguments.

Nummer A 1 angerufen erstes Mitglied der Sequenz , Nummer A 2 — zweites Glied der Folge , Nummer A 3 — dritte usw. Nummer ein angerufen n-tes Mitglied der Sequenz und eine natürliche Zahl N — seine Nummer .

Von zwei benachbarten Mitgliedern ein Und ein +1 Sequenzmitglied ein +1 angerufen anschließend (in Richtung ein ), A ein — vorherige (in Richtung ein +1 ).

Um eine Sequenz zu definieren, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Mitglied der Sequenz mit einer beliebigen Nummer finden können.

Oftmals wird die Reihenfolge mit angegeben n-te Termformeln , also eine Formel, mit der Sie ein Mitglied einer Folge anhand seiner Nummer bestimmen können.

Zum Beispiel,

Eine Folge positiver ungerader Zahlen kann durch die Formel angegeben werden

ein= 2N- 1,

und die Reihenfolge des Wechselns 1 Und -1 - Formel

B N = (-1)N +1 . ◄

Die Reihenfolge kann bestimmt werden wiederkehrende Formel, Das heißt, eine Formel, die jedes Mitglied der Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen, bis hin zu den vorherigen (einem oder mehreren) Mitgliedern.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 1 , A ein +1 = ein + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Wenn eine 1= 1, eine 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Terme der Zahlenfolge wie folgt ermittelt:

eine 1 = 1,

eine 2 = 1,

eine 3 = eine 1 + eine 2 = 1 + 1 = 2,

eine 4 = eine 2 + eine 3 = 1 + 2 = 3,

eine 5 = eine 3 + eine 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sequenzen können sein Finale Und endlos .

Die Sequenz wird aufgerufen ultimativ , wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Sequenz wird aufgerufen endlos , wenn es unendlich viele Mitglieder hat.

Zum Beispiel,

Folge zweistelliger natürlicher Zahlen:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Finale.

Folge der Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endlos. ◄

Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer als das vorherige ist.

Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner ist als das vorherige.

Zum Beispiel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — zunehmende Reihenfolge;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — absteigende Reihenfolge. ◄

Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt monotone Abfolge .

Insbesondere monotone Folgen sind steigende Folgen und fallende Folgen.

Arithmetische Folge

Arithmetische Folge ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, dem vorherigen gleich ist, zu dem die gleiche Zahl hinzugefügt wird.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein, . . .

ist eine arithmetische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

ein +1 = ein + D,

Wo D - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist die Differenz zwischen dem nachfolgenden und dem vorherigen Term einer bestimmten arithmetischen Folge immer konstant:

eine 2 - A 1 = eine 3 - A 2 = . . . = ein +1 - ein = D.

Nummer D angerufen Unterschied der arithmetischen Progression.

Um eine arithmetische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 3, D = 4 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

eine 1 =3,

eine 2 = eine 1 + D = 3 + 4 = 7,

eine 3 = eine 2 + D= 7 + 4 = 11,

eine 4 = eine 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Term A 1 und der Unterschied D ihr N

ein = eine 1 + (N- 1)D.

Zum Beispiel,

Finden Sie das dreißigste Glied der arithmetischen Folge

1, 4, 7, 10, . . .

eine 1 =1, D = 3,

ein 30 = eine 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ein n-1 = eine 1 + (N- 2)D,

ein= eine 1 + (N- 1)D,

ein +1 = A 1 + nd,

dann offensichtlich

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieder.

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer arithmetischen Folge, wenn einer von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der anderen beiden ist.

Zum Beispiel,

ein = 2N- 7 ist eine arithmetische Folge.

Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

ein = 2N- 7,

ein n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

ein n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Somit,

◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer arithmetischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden A 1 , aber auch alle vorherigen ein k

ein = ein k + (N- k)D.

Zum Beispiel,

Für A 5 kann aufgeschrieben werden

eine 5 = eine 1 + 4D,

eine 5 = eine 2 + 3D,

eine 5 = eine 3 + 2D,

eine 5 = eine 4 + D. ◄

ein = a n-k + kd,

ein = ein n+k - kd,

dann offensichtlich

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich der Hälfte der Summe der gleichabständigen Mitglieder dieser arithmetischen Folge.

Darüber hinaus gilt für jede arithmetische Folge die folgende Gleichheit:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = eine 10 = eine 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) eine 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, als

eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,

eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ein,

Erste N Terme einer arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Extremterme und der Anzahl der Terme:

Daraus folgt insbesondere, dass Sie die Terme summieren müssen

ein k, ein k +1 , . . . , ein,

dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Wenn eine arithmetische Folge angegeben ist, dann die Mengen A 1 , ein, D, N UndS N verbunden durch zwei Formeln:

Sind also die Werte von drei dieser Größen gegeben, dann werden aus diesen Formeln die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen ermittelt, zusammengefasst zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:

• Wenn D > 0 , dann nimmt es zu;
• Wenn D < 0 , dann nimmt es ab;
• Wenn D = 0 , dann ist die Folge stationär.

Geometrischer Verlauf

Geometrischer Verlauf ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, dem vorherigen gleich ist, multipliziert mit derselben Zahl.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

ist eine geometrische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

b n +1 = b n · Q,

Wo Q ≠ 0 - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist das Verhältnis des nachfolgenden Termes einer gegebenen geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Nummer Q angerufen Nenner der geometrischen Progression.

Um eine geometrische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn B 1 = 1, Q = -3 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 und Nenner Q ihr N Der te Term kann mit der Formel ermittelt werden:

b n = B 1 · qn -1 .

Zum Beispiel,

Finden Sie den siebten Term der geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

dann offensichtlich

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

Jedes Mitglied der geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) des vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieds.

Da auch das Umgekehrte gilt, gilt folgende Aussage:

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Folge, wenn das Quadrat einer von ihnen gleich dem Produkt der anderen beiden ist, das heißt, eine der Zahlen ist das geometrische Mittel der anderen beiden.

Zum Beispiel,

Beweisen wir, dass die durch die Formel gegebene Folge vorliegt b n= -3 · 2 N ist eine geometrische Folge. Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

b n= -3 · 2 N,

b n -1 = -3 · 2 N -1 ,

b n +1 = -3 · 2 N +1 .

Somit,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

was die gewünschte Aussage beweist. ◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer geometrischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden B 1 , sondern auch jedes frühere Mitglied b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden

b n = b k · qn - k.

Zum Beispiel,

Für B 5 kann aufgeschrieben werden

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

dann offensichtlich

b n 2 = b n - k· b n + k

Das Quadrat jedes Termes einer geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem Produkt der gleichabständigen Terme dieser Folge.

Darüber hinaus gilt für jede geometrische Folge die Gleichheit:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , als

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Erste N Mitglieder einer geometrischen Folge mit Nenner Q ≠ 0 berechnet nach der Formel:

Und wann Q = 1 - nach der Formel

S n= nb 1

Beachten Sie Folgendes: Wenn Sie die Terme summieren müssen

b k, b k +1 , . . . , b n,

dann wird die Formel verwendet:

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Wenn ein geometrischer Verlauf gegeben ist, dann die Mengen B 1 , b n, Q, N Und S n verbunden durch zwei Formeln:

Wenn also die Werte von drei beliebigen dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt und zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zusammengefasst.

Für eine geometrische Folge mit dem ersten Term B 1 und Nenner Q Folgendes geschieht Eigenschaften der Monotonie :

• Die Progression nimmt zu, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und Q> 1;

B 1 < 0 Und 0 < Q< 1;

• Der Verlauf nimmt ab, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Und Q> 1.

Wenn Q< 0 , dann ist die geometrische Folge alternierend: Ihre Terme mit ungeraden Zahlen haben das gleiche Vorzeichen wie ihr erster Term, und Terme mit geraden Zahlen haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.

Produkt der ersten N Terme einer geometrischen Folge können mit der Formel berechnet werden:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Zum Beispiel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf wird als unendliche geometrische Folge bezeichnet, deren Nennermodul kleiner ist 1 , also

|Q| < 1 .

Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge möglicherweise keine abnehmende Folge ist. Es passt zum Anlass

1 < Q< 0 .

Bei einem solchen Nenner ist die Reihenfolge alternierend. Zum Beispiel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Nennen Sie die Zahl, der sich die Summe der ersten unendlich nähert N Mitglieder einer Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl N . Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt

Zum Beispiel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Zusammenhang zwischen arithmetischen und geometrischen Verläufen

Arithmetische und geometrische Verläufe sind eng miteinander verbunden. Schauen wir uns nur zwei Beispiele an.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Das

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Zum Beispiel,

1, 3, 5, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz 2 Und

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner Q , Das

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz log aQ .

Zum Beispiel,

2, 12, 72, . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 6 Und

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz lg 6 . ◄

Vida j= F(X), X UM N, Wo N– eine Menge natürlicher Zahlen (oder eine Funktion eines natürlichen Arguments), bezeichnet j=F(N) oder j 1 ,j 2 ,…, y n,…. Werte j 1 ,j 2 ,j 3 ,… werden jeweils als erstes, zweites, drittes, ... Mitglied der Sequenz bezeichnet.

Zum Beispiel für die Funktion j= N 2 lässt sich schreiben:

j 1 = 1 2 = 1;

j 2 = 2 2 = 4;

j 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Methoden zur Angabe von Sequenzen. Sequenzen können auf verschiedene Arten spezifiziert werden, von denen drei besonders wichtig sind: analytisch, deskriptiv und wiederkehrend.

1. Eine Folge ist analytisch gegeben, wenn ihre Formel gegeben ist N Mitglied:

y n=F(N).

Beispiel. y n= 2N - 1 – Folge ungerader Zahlen: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Beschreibend Die Art und Weise, eine numerische Folge anzugeben, besteht darin, zu erklären, aus welchen Elementen die Folge aufgebaut ist.

Beispiel 1. „Alle Terme der Folge sind gleich 1.“ Es handelt sich also um eine stationäre Folge 1, 1, 1, …, 1, ….

Beispiel 2: „Die Folge besteht aus allen Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge.“ Somit ist die gegebene Reihenfolge 2, 3, 5, 7, 11, …. Mit dieser Methode zur Angabe der Sequenz in diesem Beispiel ist es schwierig zu beantworten, was beispielsweise das 1000. Element der Sequenz ist.

3. Die wiederkehrende Methode zum Angeben einer Sequenz besteht darin, eine Regel anzugeben, mit der Sie berechnen können N-tes Mitglied einer Sequenz, wenn ihre vorherigen Mitglieder bekannt sind. Der Name rekurrente Methode kommt vom lateinischen Wort wiederkehrend- Komm zurück. Meistens wird in solchen Fällen eine Formel angegeben, die es einem ermöglicht, auszudrücken N Gehen Sie vom vorherigen Mitglied der Sequenz durch und geben Sie 1–2 Anfangsmitglieder der Sequenz an.

Beispiel 1. j 1 = 3; y n = y n–1 + 4 wenn N = 2, 3, 4,….

Hier j 1 = 3; j 2 = 3 + 4 = 7;j 3 = 7 + 4 = 11; ….

Sie sehen, dass die in diesem Beispiel erhaltene Sequenz auch analytisch angegeben werden kann: y n= 4N - 1.

Beispiel 2. j 1 = 1; j 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 wenn N = 3, 4,….

Hier: j 1 = 1; j 2 = 1; j 3 = 1 + 1 = 2; j 4 = 1 + 2 = 3; j 5 = 2 + 3 = 5; j 6 = 3 + 5 = 8;

Die Folge in diesem Beispiel wird besonders in der Mathematik untersucht, da sie eine Reihe interessanter Eigenschaften und Anwendungen aufweist. Sie wird Fibonacci-Folge genannt, benannt nach dem italienischen Mathematiker aus dem 13. Jahrhundert. Es ist sehr einfach, die Fibonacci-Folge wiederkehrend zu definieren, aber analytisch sehr schwierig. N Die Fibonacci-Zahl wird durch ihre Seriennummer durch die folgende Formel ausgedrückt.

Auf den ersten Blick ist die Formel für N Die Fibonacci-Zahl scheint unplausibel, da die Formel, die die Folge natürlicher Zahlen angibt, nur Quadratwurzeln enthält. Sie können die Gültigkeit dieser Formel jedoch für die ersten paar „manuell“ überprüfen N.

Eigenschaften von Zahlenfolgen.

Eine Zahlenfolge ist ein Sonderfall einer Zahlenfunktion, daher werden auch für Folgen eine Reihe von Eigenschaften von Funktionen berücksichtigt.

Definition . Folge ( y n} heißt steigend, wenn jeder seiner Terme (außer dem ersten) größer als der vorherige ist:

j 1 J 2 J 3 J N J N +1

Definition.Sequenz ( y n} heißt abnehmend, wenn jeder seiner Terme (außer dem ersten) kleiner als der vorherige ist:

j 1 > j 2 > j 3 > … > y n> y n +1 > … .

Steigende und fallende Folgen werden unter dem gemeinsamen Begriff monotone Folgen zusammengefasst.

Beispiel 1. j 1 = 1; y n= N 2 – aufsteigende Reihenfolge.

Somit ist der folgende Satz wahr (eine charakteristische Eigenschaft einer arithmetischen Folge). Eine Zahlenfolge ist genau dann arithmetisch, wenn jedes ihrer Mitglieder mit Ausnahme des ersten (und des letzten im Fall einer endlichen Folge) gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieder ist.

Beispiel. Zu welchem ​​Wert X Zahlen 3 X + 2, 5X– 4 und 11 X+ 12 eine endliche arithmetische Folge bilden?

Gemäß der charakteristischen Eigenschaft müssen die gegebenen Ausdrücke die Beziehung erfüllen

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Das Lösen dieser Gleichung ergibt X= –5,5. Bei diesem Wert X gegebene Ausdrücke 3 X + 2, 5X– 4 und 11 X+ 12 nehmen jeweils die Werte –14,5 an, –31,5, –48,5. Dies ist eine arithmetische Folge, ihre Differenz beträgt –17.

Geometrischer Verlauf.

Eine Zahlenfolge, deren Terme alle ungleich Null sind und deren Terme, beginnend mit dem zweiten, aus dem vorherigen Term durch Multiplikation mit derselben Zahl erhalten werden Q, heißt geometrische Folge und Zahl Q- der Nenner einer geometrischen Folge.

Somit ist eine geometrische Folge eine Zahlenfolge ( b n), rekursiv durch die Beziehungen definiert

B 1 = B, b n = b n –1 Q (N = 2, 3, 4…).

(B Und Q - gegebene Zahlen, B ≠ 0, Q ≠ 0).

Beispiel 1. 2, 6, 18, 54, ... – zunehmende geometrische Progression B = 2, Q = 3.

Beispiel 2. 2, –2, 2, –2, … – geometrischer Verlauf B= 2,Q= –1.

Beispiel 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrischer Verlauf B= 8, Q= 1.

Eine geometrische Folge ist eine zunehmende Folge, wenn B 1 > 0, Q> 1 und abnehmend, wenn B 1 > 0, 0 q

Eine der offensichtlichen Eigenschaften einer geometrischen Folge besteht darin, dass, wenn die Folge eine geometrische Folge ist, dies auch die Folge der Quadrate ist, d. h.

B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, b n 2,... ist eine geometrische Folge, deren erster Term gleich ist B 1 2 , und der Nenner ist Q 2 .

Formel N- Der te Term der geometrischen Folge hat die Form

b n= B 1 qn– 1 .

Sie können eine Formel für die Summe der Terme einer endlichen geometrischen Folge erhalten.

Gegeben sei eine endliche geometrische Folge

B 1 ,B 2 ,B 3 , …, b n

lassen S n – die Summe seiner Mitglieder, d.h.

S n= B 1 + B 2 + B 3 + … +b n.

Das wird akzeptiert Q Nr. 1. Zur Bestimmung S n Es wird eine künstliche Technik verwendet: Es werden einige geometrische Transformationen des Ausdrucks durchgeführt S n q.

S n q = (B 1 + B 2 + B 3 + … + b n –1 + b n)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– B 1 .

Auf diese Weise, S n q= S n +b n q – b 1 und daher

Dies ist die Formel mit umma n Begriffe der geometrischen Progression für den Fall, dass Q≠ 1.

Bei Q= 1 Die Formel muss in diesem Fall nicht separat abgeleitet werden S n= A 1 N.

Die Progression wird geometrisch genannt, weil jeder Term darin, mit Ausnahme des ersten, gleich dem geometrischen Mittel der vorherigen und nachfolgenden Terme ist. In der Tat, seitdem

bn=bn- 1 Q;

bn = bn+ 1 /Q,

somit, b n 2=Mrd.– 1 Mrd.+ 1 und der folgende Satz ist wahr (eine charakteristische Eigenschaft einer geometrischen Progression):

Eine Zahlenfolge ist genau dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes ihrer Terme, mit Ausnahme des ersten (und des letzten im Fall einer endlichen Folge), gleich dem Produkt des vorherigen und des nachfolgenden Termes ist.

Konsistenzgrenze.

Es gebe eine Folge ( c n} = {1/N}. Diese Folge wird harmonisch genannt, da jeder ihrer Terme, beginnend mit dem zweiten, das harmonische Mittel zwischen dem vorherigen und dem nachfolgenden Term ist. Geometrisches Mittel der Zahlen A Und B es gibt eine Nummer

Andernfalls heißt die Folge divergent.

Anhand dieser Definition kann man beispielsweise die Existenz einer Grenze nachweisen A=0 für die harmonische Folge ( c n} = {1/N). Sei ε eine beliebig kleine positive Zahl. Der Unterschied wird berücksichtigt

Gibt es so etwas? N das ist für jeden etwas n ≥ N Ungleichung 1 gilt /N ? Wenn wir es als nehmen N jede natürliche Zahl größer als 1/ε , dann für alle n ≥ N Ungleichung 1 gilt /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Der Nachweis des Vorhandenseins eines Grenzwerts für eine bestimmte Sequenz kann manchmal sehr schwierig sein. Die am häufigsten vorkommenden Sequenzen sind gut untersucht und in Nachschlagewerken aufgeführt. Es gibt wichtige Theoreme, die es Ihnen ermöglichen, auf der Grundlage bereits untersuchter Folgen zu schließen, dass eine bestimmte Folge einen Grenzwert hat (und diesen sogar zu berechnen).

Satz 1. Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann ist sie beschränkt.

Satz 2. Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, dann hat sie einen Grenzwert.

Satz 3. Wenn die Folge ( ein} hat eine Grenze A, dann sind die Folgen ( dürfen}, {ein+ c) und (| ein|} Grenzen haben cA, A +C, |A| entsprechend (hier C- willkürliche Nummer).

Satz 4. Wenn die Folgen ( ein} Und ( b n) haben Grenzen gleich A Und B Pfanne + qbn) hat eine Grenze pA+ qB.

Satz 5. Wenn die Folgen ( ein) Und ( b n)haben Grenzen gleich A Und B dementsprechend ist dann die Folge ( a n b n) hat eine Grenze AB.

Satz 6. Wenn die Folgen ( ein} Und ( b n) haben Grenzen gleich A Und B dementsprechend und darüber hinaus b n ≠ 0 und B≠ 0, dann ist die Folge ( a n / b n) hat eine Grenze A/B.

Anna Chugainova

Manche Menschen behandeln das Wort „Progression“ mit Vorsicht, da es sich um einen sehr komplexen Begriff aus den Zweigen der höheren Mathematik handelt. Mittlerweile ist die einfachste arithmetische Folge die Arbeit des Taxameters (wo es sie noch gibt). Und das Wesentliche (und in der Mathematik gibt es nichts Wichtigeres als „das Wesentliche zu erfassen“) einer arithmetischen Folge zu verstehen, ist nach der Analyse einiger elementarer Konzepte nicht so schwierig.

Mathematische Zahlenfolge

Als Zahlenfolge bezeichnet man üblicherweise eine Reihe von Zahlen, von denen jede eine eigene Zahl hat.

a 1 ist das erste Mitglied der Sequenz;

und 2 ist der zweite Term der Folge;

a 7 ist das siebte Mitglied der Sequenz;

und n ist das n-te Mitglied der Sequenz;

Allerdings interessiert uns nicht irgendeine beliebige Menge an Zahlen und Zahlen. Wir werden unsere Aufmerksamkeit auf eine Zahlenfolge richten, in der der Wert des n-ten Termes mit seiner Ordnungszahl durch eine Beziehung zusammenhängt, die sich mathematisch klar formulieren lässt. Mit anderen Worten: Der Zahlenwert der n-ten Zahl ist eine Funktion von n.

a ist der Wert eines Mitglieds einer Zahlenfolge;

n ist seine Seriennummer;

f(n) ist eine Funktion, bei der die Ordnungszahl in der Zahlenfolge n das Argument ist.

Definition

Eine arithmetische Folge wird üblicherweise als Zahlenfolge bezeichnet, in der jeder nachfolgende Term um dieselbe Zahl größer (kleiner) als der vorherige ist. Die Formel für den n-ten Term einer arithmetischen Folge lautet wie folgt:

a n – der Wert des aktuellen Mitglieds der arithmetischen Folge;

eine n+1 - Formel der nächsten Zahl;

d - Differenz (bestimmte Zahl).

Es lässt sich leicht feststellen, dass bei positiver Differenz (d>0) jedes nachfolgende Mitglied der betrachteten Reihe größer als das vorherige ist und eine solche arithmetische Folge zunimmt.

In der Grafik unten ist leicht zu erkennen, warum die Zahlenfolge „steigend“ genannt wird.

In Fällen, in denen die Differenz negativ ist (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Angegebener Mitgliedswert

Manchmal ist es notwendig, den Wert eines beliebigen Termes a n einer arithmetischen Folge zu bestimmen. Dies kann durch sequentielles Berechnen der Werte aller Mitglieder der arithmetischen Folge erfolgen, beginnend vom ersten bis zum gewünschten. Allerdings ist dieser Weg nicht immer akzeptabel, wenn es beispielsweise darum geht, den Wert des fünftausendsten oder achtmillionsten Termes zu ermitteln. Herkömmliche Berechnungen werden viel Zeit in Anspruch nehmen. Eine bestimmte arithmetische Folge kann jedoch anhand bestimmter Formeln untersucht werden. Es gibt auch eine Formel für den n-ten Term: Der Wert eines beliebigen Termes einer arithmetischen Folge kann als Summe des ersten Termes der Folge mit der Differenz der Folge, multipliziert mit der Zahl des gewünschten Termes, reduziert um, bestimmt werden eins.

Die Formel ist universell für zunehmende und abnehmende Progression.

Ein Beispiel für die Berechnung des Wertes eines bestimmten Begriffs

Lösen wir das folgende Problem, den Wert des n-ten Termes einer arithmetischen Folge zu ermitteln.

Bedingung: Es liegt eine arithmetische Folge mit Parametern vor:

Der erste Term der Folge ist 3;

Der Unterschied in der Zahlenreihe beträgt 1,2.

Aufgabe: Sie müssen den Wert von 214 Begriffen ermitteln

Lösung: Um den Wert eines bestimmten Termes zu bestimmen, verwenden wir die Formel:

a(n) = a1 + d(n-1)

Wenn wir die Daten aus der Problemstellung in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Antwort: Der 214. Term der Folge ist gleich 258,6.

Die Vorteile dieser Berechnungsmethode liegen auf der Hand – die gesamte Lösung benötigt nicht mehr als 2 Zeilen.

Summe einer bestimmten Anzahl von Termen

Sehr oft ist es in einer bestimmten arithmetischen Reihe erforderlich, die Summe der Werte einiger ihrer Segmente zu bestimmen. Dazu ist es auch nicht erforderlich, die Werte jedes Termes zu berechnen und anschließend zu addieren. Diese Methode ist anwendbar, wenn die Anzahl der Terme, deren Summe gefunden werden muss, gering ist. In anderen Fällen ist es bequemer, die folgende Formel zu verwenden.

Die Summe der Terme einer arithmetischen Folge von 1 bis n ist gleich der Summe des ersten und des n-ten Termes, multipliziert mit der Zahl des Termes n und dividiert durch zwei. Wenn in der Formel der Wert des n-ten Termes durch den Ausdruck aus dem vorherigen Absatz des Artikels ersetzt wird, erhalten wir:

Berechnungsbeispiel

Lassen Sie uns beispielsweise ein Problem mit den folgenden Bedingungen lösen:

Der erste Term der Folge ist Null;

Der Unterschied beträgt 0,5.

Das Problem besteht darin, die Summe der Terme der Reihe von 56 bis 101 zu bestimmen.

Lösung. Verwenden wir die Formel zur Bestimmung des Ausmaßes der Progression:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Zunächst ermitteln wir die Summe der Werte von 101 Termen der Progression, indem wir die gegebenen Bedingungen unseres Problems in die Formel einsetzen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Um die Summe der Terme der Progression vom 56. zum 101. herauszufinden, ist es natürlich notwendig, S 55 von S 101 zu subtrahieren.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Somit ist die Summe der arithmetischen Folge für dieses Beispiel:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Beispiel für die praktische Anwendung der arithmetischen Folge

Am Ende des Artikels kehren wir zum Beispiel einer arithmetischen Folge aus dem ersten Absatz zurück – einem Taxameter (Taxameter). Betrachten wir dieses Beispiel.

Der Einstieg in ein Taxi (einschließlich 3 km Fahrt) kostet 50 Rubel. Jeder weitere Kilometer wird mit 22 Rubel/km vergütet. Die Reisestrecke beträgt 30 km. Berechnen Sie die Kosten der Reise.

1. Lassen Sie uns die ersten 3 km wegwerfen, deren Preis in den Landekosten enthalten ist.

30 - 3 = 27 km.

2. Die weitere Berechnung ist nichts anderes als das Parsen einer arithmetischen Zahlenreihe.

Mitgliedsnummer – die Anzahl der zurückgelegten Kilometer (abzüglich der ersten drei).

Der Wert des Mitglieds ist die Summe.

Der erste Term in dieser Aufgabe ist a 1 = 50 Rubel.

Progressionsunterschied d = 22 r.

Die Zahl, die uns interessiert, ist der Wert des (27+1)ten Termes der arithmetischen Folge – der Zählerstand am Ende des 27. Kilometers beträgt 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Die Berechnung von Kalenderdaten für einen beliebig langen Zeitraum basiert auf Formeln, die bestimmte Zahlenfolgen beschreiben. In der Astronomie ist die Länge der Umlaufbahn geometrisch abhängig von der Entfernung des Himmelskörpers zum Stern. Darüber hinaus werden verschiedene Zahlenreihen erfolgreich in der Statistik und anderen angewandten Bereichen der Mathematik eingesetzt.

Eine andere Art von Zahlenfolge ist geometrisch

Die geometrische Progression ist im Vergleich zur arithmetischen Progression durch größere Änderungsraten gekennzeichnet. Es ist kein Zufall, dass man in Politik, Soziologie und Medizin, um die hohe Geschwindigkeit der Ausbreitung eines bestimmten Phänomens, beispielsweise einer Krankheit während einer Epidemie, zu zeigen, sagt, dass sich der Prozess in geometrischer Progression entwickelt.

Der N-te Term der geometrischen Zahlenreihe unterscheidet sich vom vorherigen dadurch, dass er mit einer konstanten Zahl multipliziert wird – der Nenner ist zum Beispiel der erste Term 1, der Nenner ist entsprechend gleich 2, dann:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – der Wert des aktuellen Termes der geometrischen Progression;

b n+1 – Formel des nächsten Termes der geometrischen Folge;

q ist der Nenner der geometrischen Folge (eine konstante Zahl).

Wenn der Graph einer arithmetischen Folge eine gerade Linie ist, dann ergibt eine geometrische Folge ein etwas anderes Bild:

Wie bei der Arithmetik gibt es auch bei der geometrischen Progression eine Formel für den Wert eines beliebigen Termes. Jeder n-te Term einer geometrischen Folge ist gleich dem Produkt aus dem ersten Term und dem Nenner der Folge hoch n reduziert um eins:

Beispiel. Wir haben eine geometrische Folge mit dem ersten Term gleich 3 und dem Nenner der Folge gleich 1,5. Suchen wir den 5. Term der Progression

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Die Summe einer bestimmten Anzahl von Termen wird ebenfalls nach einer speziellen Formel berechnet. Die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Progression ist gleich der Differenz zwischen dem Produkt des n-ten Termes der Progression und seinem Nenner und dem ersten Term der Progression, dividiert durch den um eins reduzierten Nenner:

Wenn b n mit der oben diskutierten Formel ersetzt wird, nimmt der Wert der Summe der ersten n Terme der betrachteten Zahlenreihe die Form an:

Beispiel. Die geometrische Folge beginnt mit dem ersten Term gleich 1. Der Nenner wird auf 3 gesetzt. Lassen Sie uns die Summe der ersten acht Terme ermitteln.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

NUMERISCHE SEQUENZEN

ARITHMETISCHE UND GEOMETRISCHE PROGRESSIONEN

Wenn für jede natürliche Zahl N Nummer abgeglichen XN, dann sagen sie, dass es gegeben ist Zahlenfolge X 1, X 2, …, XN, ….

Zahlenfolgenotation {X N } .

Gleichzeitig sind die Zahlen X 1, X 2, …, XN, ... werden genannt Mitglieder der Sequenz .

Grundlegende Methoden zur Angabe von Zahlenfolgen

1. Eine der bequemsten Möglichkeiten besteht darin, eine Reihenfolge festzulegen die Formel seines gemeinsamen Begriffs : XN = F(N), N Î N.

Zum Beispiel, XN = N 2 + 2N+ 3 Þ X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. Direkte Überweisung endliche Anzahl erster Mitglieder.

Beispiel: https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Wiederholungsbeziehung , d. h. eine Formel, die den n-Term durch den oder die vorhergehenden Terme ausdrückt.

Zum Beispiel, in der Nähe von Fibonacci eine Zahlenfolge genannt

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, die wiederkehrend ermittelt wird:

X 1 = 1, X 2 = 1, XN+1 = xn + xn–1 (N = 2, 3, 4, …).

Arithmetische Operationen auf Folgen

1. Die Summe (Differenz) Sequenzen ( AN) Und ( Mrd cn } = { ein ± Mrd}.

2. Die Arbeit Sequenzen ( AN) Und ( Mrd) heißt die Folge ( cn } = { ein× Mrd}.

3. Privat Sequenzen ( AN) Und ( Mrd }, Mrd¹ 0, genannt die Folge ( cn } = { ein×/ Mrd}.

Eigenschaften von Zahlenfolgen

1. Reihenfolge ( XN) wird genannt Oben beschränkt M N Ungleichheit ist wahr XN £ M.

2. Reihenfolge ( XN) wird genannt nach unten begrenzt, wenn eine solche reelle Zahl existiert M, was für alle natürlichen Werte gilt N Ungleichheit ist wahr XN ³ M.

3. Reihenfolge ( XN) wird genannt zunehmend N Ungleichheit ist wahr XN < XN+1.

4. Reihenfolge ( XN) wird genannt abnehmend, wenn für alle natürlichen Werte N Ungleichheit ist wahr XN > XN+1.

5. Reihenfolge ( XN) wird genannt nicht zunehmend, wenn für alle natürlichen Werte N Ungleichheit ist wahr XN ³ XN+1.

6. Reihenfolge ( XN) wird genannt nicht abnehmend, wenn für alle natürlichen Werte N Ungleichheit ist wahr XN £ XN+1.

Man nennt Folgen steigend, fallend, nicht steigend, nicht fallend eintönig Sequenzen, mit steigender und fallender - streng eintönig.

Grundlegende Techniken zur Untersuchung einer Sequenz auf Monotonie

1. Verwendung der Definition.

a) Für die untersuchte Sequenz ( XN) Der Unterschied ist gemacht

XN – XN+1, und dann finden wir heraus, ob dieser Unterschied für jeden ein konstantes Vorzeichen behält N Î N, und wenn ja, welches genau. Abhängig davon wird auf die Monotonie (Nichtmonotonie) der Folge geschlossen.

b) Für Folgen mit konstantem Vorzeichen ( XN) kann man eine Relation bilden XN+1/XN und vergleiche es mit einem.

Wenn diese Einstellung vor allen liegt N größer als eins ist, dann wird für eine streng positive Folge der Schluss gezogen, dass sie zunimmt, und für eine streng negative Folge dementsprechend abnimmt.

Wenn diese Einstellung vor allen liegt N nicht kleiner als eins ist, wird für eine streng positive Folge die Schlussfolgerung gezogen, dass sie nicht abnimmt, und für eine streng negative Folge dementsprechend nicht ansteigend.

Wenn dies bei einigen Zahlen der Fall ist N größer als eins und für andere Zahlen N kleiner als eins, deutet dies auf die nichtmonotone Natur der Sequenz hin.

2. Gehen Sie zur eigentlichen Argumentfunktion.

Es sei notwendig, eine Zahlenfolge auf Monotonie zu untersuchen

AN = F(N), N Î N.

Lassen Sie uns die echte Argumentfunktion einführen X:

F(X) = A(X), X³ 1,

und untersuchen Sie es auf Monotonie.

Wenn die Funktion im betrachteten Intervall differenzierbar ist, ermitteln wir ihre Ableitung und untersuchen das Vorzeichen.

Wenn die Ableitung positiv ist, wächst die Funktion.

Wenn die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion ab.

Zurück zu den natürlichen Werten des Arguments erweitern wir diese Ergebnisse auf die ursprüngliche Sequenz.

Nummer A angerufen Grenze der Folge XN, falls es für jede beliebig kleine positive Zahl e eine solche natürliche Zahl gibt N, was für alle Zahlen gilt N > N Ungleichheit erfüllt | xn – A | < e.

Berechnung des Betrags N erste Terme der Folge

1. Darstellung des allgemeinen Termes der Folge in Form der Differenz zweier oder mehrerer Ausdrücke, so dass bei der Substitution die meisten Zwischenterme reduziert und die Summe deutlich vereinfacht wird.

2. Um bestehende Formeln zum Ermitteln der Summen der ersten Terme von Folgen zu überprüfen und zu beweisen, kann die Methode der mathematischen Induktion verwendet werden.

3. Einige Probleme mit Folgen lassen sich auf Probleme mit arithmetischen oder geometrischen Folgen reduzieren.

Arithmetische und geometrische Folgen

Grundlegende Methoden zur Lösung von Fortschrittsproblemen

1. Eine der gebräuchlichsten Lösungsmethoden Aufgaben zu arithmetischen Folgen besteht darin, dass alle an der Problembedingung beteiligten Progressionsglieder durch die Differenz der Progression ausgedrückt werden D A D Und A 1.

2. Weit verbreitet und gilt als Standardlösungsmethode geometrische Progressionsprobleme , wenn alle Mitglieder der geometrischen Folge, die in der Problemstellung vorkommen, durch den Nenner der Folge ausgedrückt werden Q und jedes seiner Mitglieder, meistens das erste B 1. Basierend auf den Bedingungen des Problems wird ein System mit Unbekannten zusammengestellt und gelöst Q Und B 1.

Beispiele für Problemlösungen

Problem 1 .

Reihenfolge angegeben XN = 4N(N 2 + 1) – (6N 2 + 1). Finden Sie den Betrag Sn Erste N Mitglieder dieser Sequenz.

Lösung. Lassen Sie uns den Ausdruck für das allgemeine Mitglied der Sequenz umwandeln:

XN = 4N(N 2 + 1) – (6N 2 + 1) = 4N 3 + 4N – 6N 2 – 1 = N 4 – N 4 + 4N 3 – 6N 2 + 4N – 1 =

= N 4 – (N 4 – 4N 3 + 6N 2 – 4N+ 1) = N 4 – (N – 1)4.

Sn = X 1 + X 2 + X 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (N 4 – (N – 1)4) = N 4.

Problem 2 .

Reihenfolge angegeben AN = 3N+ 2..gif" width="429" height="45">.

Von hier, A(3N + 5) +B(3N + 2) = 1,

(3A + 3B)N + (5A + 2B) = 1.

N.

N 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5 A + 2B = 1.

A = 1/3, IN = –1/3.

Also https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " width="39" height="41 src="> AN. Gehört die Zahl 1980 zu dieser Reihe? Wenn ja, bestimmen Sie die Anzahl.

Lösung. Schreiben wir die ersten auf N Mitglieder dieser Sequenz:

A 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

Multiplizieren wir diese Gleichungen:

A 1A 2A 3A 4A 5…ein-2ein-1ein = A 1A 2A 3A 4A 5…ein-2ein-1.

Von hier, ein = N(N + 1).

Dann, 1980 = N(N+ 1) Û N 2 + N– 1980 = 0 Û N = –45 < 0, N= 44 О N.

Antwort: Ja, N = 44.

Problem 4 .

Finden Sie den Betrag S = A 1 + A 2 + A 3 + … + AN Zahlen A 1, A 2, A 3, …,AN, was für jeden natürlich N Gleichheit erfüllen Sn = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + … + NAN = .

Lösung. S 1 = A 1 = 2/3.

Für N > 1, Nan = Sn – Sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Von hier, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

A(N + 1)(N + 2) + Mrd(N + 2) + Cn(N + 1) = 1

(A + B + C)N 2 + (3A + 2B + C)N + 2A = 1,

Lassen Sie uns die Koeffizienten bei den entsprechenden Potenzen gleichsetzen N.

N 2 | A + B + C= 0,

N 1 | 3A + 2B+ C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Wenn wir das resultierende System lösen, erhalten wir A = 1/2, IN= –1, C = 1/2.

Also, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

Wo , , N > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = A 1 + A 2 + A 3 + … + AN = A 1 +=

=A 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Problem 5 .

Finden Sie den größten Term der Folge .

Lösung. Lasst uns Mrd = –N 2 + 8N – 7 = 9 – (N – 4)2, .

Bevor wir mit der Entscheidung beginnen Rechenprogressionsprobleme Betrachten wir nun, was eine Zahlenfolge ist, da eine arithmetische Folge ein Sonderfall einer Zahlenfolge ist.

Eine Zahlenfolge ist eine Zahlenmenge, bei der jedes Element eine eigene Seriennummer hat. Die Elemente dieser Menge werden Mitglieder der Folge genannt. Die Seriennummer eines Sequenzelements wird durch einen Index angegeben:

Das erste Element der Sequenz;

Das fünfte Element der Sequenz;

- das „n-te“ Element der Sequenz, d.h. Element „in der Warteschlange stehen“ bei Nummer n.

Es besteht ein Zusammenhang zwischen dem Wert eines Sequenzelements und seiner Sequenznummer. Daher können wir eine Folge als eine Funktion betrachten, deren Argument die Ordnungszahl des Elements der Folge ist. Mit anderen Worten, das können wir sagen Die Folge ist eine Funktion des natürlichen Arguments:

Die Reihenfolge kann auf drei Arten eingestellt werden:

1 . Die Reihenfolge kann über eine Tabelle vorgegeben werden. In diesem Fall legen wir einfach den Wert jedes Mitglieds der Sequenz fest.

Zum Beispiel hat jemand beschlossen, sich mit dem persönlichen Zeitmanagement zu befassen und zunächst zu zählen, wie viel Zeit er in der Woche auf VKontakte verbringt. Durch Eintragen der Zeit in die Tabelle erhält er eine Sequenz bestehend aus sieben Elementen:

Die erste Zeile der Tabelle gibt die Nummer des Wochentags an, die zweite die Uhrzeit in Minuten. Wir sehen, dass am Montag jemand 125 Minuten auf VKontakte verbracht hat, am Donnerstag also 248 Minuten und am Freitag nur 15.

2 . Die Reihenfolge kann mit der n-ten Termformel angegeben werden.

In diesem Fall wird die Abhängigkeit des Wertes eines Sequenzelements von seiner Nummer direkt in Form einer Formel ausgedrückt.

Wenn zum Beispiel, dann

Um den Wert eines Sequenzelements mit einer bestimmten Nummer zu ermitteln, ersetzen wir die Elementnummer in der Formel des n-ten Termes.

Das Gleiche machen wir, wenn wir den Wert einer Funktion ermitteln müssen, wenn der Wert des Arguments bekannt ist. Wir setzen den Wert des Arguments in die Funktionsgleichung ein:

Wenn zum Beispiel , Das

Ich möchte noch einmal darauf hinweisen, dass das Argument in einer Folge im Gegensatz zu einer beliebigen numerischen Funktion nur eine natürliche Zahl sein kann.

3 . Die Reihenfolge kann mithilfe einer Formel angegeben werden, die die Abhängigkeit des Werts der Sequenzelementnummer n vom Wert der vorherigen Elemente ausdrückt. In diesem Fall reicht es nicht aus, nur die Nummer des Sequenzelements zu kennen, um seinen Wert zu ermitteln. Wir müssen das erste Mitglied oder die ersten paar Mitglieder der Sequenz angeben.

Betrachten Sie zum Beispiel die Reihenfolge ,

Wir können die Werte von Sequenzmitgliedern finden der Reihe nach, ab dem dritten:

Das heißt, um den Wert des n-ten Termes der Folge zu ermitteln, kehren wir jedes Mal zu den beiden vorherigen zurück. Diese Methode zur Angabe einer Sequenz wird aufgerufen wiederkehrend, vom lateinischen Wort wiederkehrend- Komm zurück.

Jetzt können wir eine arithmetische Folge definieren. Eine arithmetische Folge ist ein einfacher Sonderfall einer Zahlenfolge.

Arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, deren jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, dem vorherigen gleich ist, addiert zur gleichen Zahl.

Die Nummer wird angerufen Unterschied der arithmetischen Progression. Die Differenz einer arithmetischen Folge kann positiv, negativ oder gleich Null sein.

Wenn title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zunehmend.

Zum Beispiel 2; 5; 8; elf;...

Wenn , dann ist jedes Glied einer arithmetischen Folge kleiner als das vorherige, und die Folge ist abnehmend.

Zum Beispiel 2; -1; -4; -7;...

Wenn , dann sind alle Terme der Progression gleich der gleichen Zahl und die Progression ist stationär.

Zum Beispiel 2;2;2;2;...

Die Haupteigenschaft einer arithmetischen Folge:

Schauen wir uns das Bild an.

Wir sehen das

, und gleichzeitig

Wenn wir diese beiden Gleichungen addieren, erhalten wir:

.

Teilen wir beide Seiten der Gleichheit durch 2:

Somit ist jedes Mitglied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, gleich dem arithmetischen Mittel der beiden benachbarten:

Darüber hinaus seit

, und gleichzeitig

, Das

, und deshalb

Jeder Term einer arithmetischen Folge, beginnend mit title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formel des th-Terms.

Wir sehen, dass die Terme der arithmetischen Folge die folgenden Beziehungen erfüllen:

und endlich,

Wir bekamen Formel des n-ten Termes.

WICHTIG! Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge kann durch und ausgedrückt werden. Wenn Sie den ersten Term und den Unterschied einer arithmetischen Folge kennen, können Sie jeden ihrer Terme finden.

Die Summe von n Termen einer arithmetischen Folge.

In einer willkürlichen arithmetischen Folge sind die Summen der Terme mit gleichem Abstand von den Extremwerten einander gleich:

Betrachten Sie eine arithmetische Folge mit n Termen. Die Summe der n Terme dieser Folge sei gleich.

Ordnen wir die Terme der Progression zunächst in aufsteigender Zahlenreihenfolge und dann in absteigender Reihenfolge an:

Fügen wir paarweise hinzu:

Die Summe in jeder Klammer ist , die Anzahl der Paare ist n.

Wir bekommen:

Also, Die Summe von n Termen einer arithmetischen Folge kann mit den Formeln ermittelt werden:

Lassen Sie uns überlegen Lösen arithmetischer Progressionsprobleme.

1 . Die Folge ergibt sich aus der Formel des n-ten Termes: . Beweisen Sie, dass diese Folge eine arithmetische Folge ist.

Beweisen wir, dass die Differenz zwischen zwei benachbarten Termen der Folge gleich der gleichen Zahl ist.

Wir haben herausgefunden, dass der Unterschied zwischen zwei benachbarten Mitgliedern der Sequenz nicht von ihrer Anzahl abhängt und eine Konstante ist. Daher ist diese Folge per Definition eine arithmetische Folge.

2 . Gegeben sei eine arithmetische Folge -31; -27;...

a) Finden Sie 31 Terme der Progression.

b) Bestimmen Sie, ob die Zahl 41 in dieser Folge enthalten ist.

A) Wir sehen das ;

Schreiben wir die Formel für den n-ten Term unserer Progression auf.

Allgemein

In unserem Fall , Deshalb