Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei geraden Linien besteht, die an Punkten verbunden sind, die nicht auf derselben geraden Linie liegen. Die Verbindungspunkte der Linien sind die Eckpunkte des Dreiecks, die mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden (z. B. A, B, C). Die verbindenden Geraden eines Dreiecks werden Segmente genannt, die meist auch mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden. Folgende Arten von Dreiecken werden unterschieden:
- Rechteckig.
- Stumpf.
- Akut kantig.
- Vielseitig.
- Gleichseitig.
- Gleichschenklige.
Allgemeine Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks
Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf Länge und Höhe
S= a*h/2,
Dabei ist a die Länge der Seite des Dreiecks, deren Fläche ermittelt werden muss, h ist die Länge der zur Basis gezeichneten Höhe.
Herons Formel
S=√ð*(ð-à)*(ð-b)*(p-c),
Dabei ist √ die Quadratwurzel, p der Halbumfang des Dreiecks und a,b,c die Länge jeder Seite des Dreiecks. Der Halbumfang eines Dreiecks kann mit der Formel p=(a+b+c)/2 berechnet werden.
Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf dem Winkel und der Länge des Segments
S = (a*b*sin(α))/2,
Dabei ist b,c die Länge der Seiten des Dreiecks und sin(α) der Sinus des Winkels zwischen den beiden Seiten.
Formel für die Fläche eines Dreiecks bei gegebenem Radius des eingeschriebenen Kreises und drei Seiten
S=p*r,
Dabei ist p der Halbumfang des Dreiecks, dessen Fläche ermittelt werden muss, und r der Radius des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises.
Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des umschriebenen Kreises
S= (a*b*c)/4*R,
Dabei ist a,b,c die Länge jeder Seite des Dreiecks und R der Radius des Kreises, der das Dreieck umschreibt.
Formel für die Fläche eines Dreiecks unter Verwendung der kartesischen Punktkoordinaten
Kartesische Koordinaten von Punkten sind Koordinaten im xOy-System, wobei x die Abszisse und y die Ordinate ist. Das kartesische Koordinatensystem xOy auf einer Ebene sind die zueinander senkrechten numerischen Achsen Ox und Oy mit einem gemeinsamen Ursprung im Punkt O. Wenn die Koordinaten von Punkten auf dieser Ebene in der Form A(x1, y1), B(x2, y2) angegeben sind ) und C(x3, y3 ), dann können Sie die Fläche des Dreiecks mit der folgenden Formel berechnen, die aus dem Vektorprodukt zweier Vektoren erhalten wird.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
wo || steht für Modul.
So finden Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad. Ein Dreieck kann nur einen solchen Winkel haben.
Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks auf zwei Seiten
S= a*b/2,
wobei a,b die Länge der Beine ist. Beine sind die Seiten, die an einem rechten Winkel angrenzen.
Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks basierend auf Hypotenuse und spitzem Winkel
S = a*b*sin(α)/ 2,
Dabei sind a, b die Schenkel des Dreiecks und sin(α) der Sinus des Winkels, in dem sich die Geraden a, b schneiden.
Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks basierend auf der Seite und dem entgegengesetzten Winkel
S = a*b/2*tg(β),
wobei a, b die Schenkel des Dreiecks sind, tan(β) der Tangens des Winkels ist, in dem die Schenkel a, b verbunden sind.
So berechnen Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten. Diese Seiten werden Seiten genannt und die andere Seite ist die Basis. Um die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen, können Sie eine der folgenden Formeln verwenden.
Grundformel zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks
S=h*c/2,
Dabei ist c die Basis des Dreiecks und h die Höhe des auf die Basis abgesenkten Dreiecks.
Formel eines gleichschenkligen Dreiecks basierend auf Seite und Basis
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Dabei ist c die Basis des Dreiecks und a die Größe einer der Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.
So ermitteln Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks
Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich sind. Um die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks zu berechnen, können Sie die folgende Formel verwenden:
S = (√3*a*a)/4,
Dabei ist a die Länge der Seite des gleichseitigen Dreiecks.
Mit den obigen Formeln können Sie die erforderliche Fläche des Dreiecks berechnen. Es ist wichtig zu bedenken, dass Sie zur Berechnung der Fläche von Dreiecken die Art des Dreiecks und die verfügbaren Daten berücksichtigen müssen, die für die Berechnung verwendet werden können.
Manchmal gibt es im Leben Situationen, in denen man auf der Suche nach längst vergessenem Schulwissen in seinem Gedächtnis stöbern muss. Sie müssen beispielsweise die Fläche eines dreieckigen Grundstücks bestimmen oder es ist Zeit für eine weitere Renovierung einer Wohnung oder eines Privathauses und Sie müssen berechnen, wie viel Material für eine Fläche benötigt wird eine dreieckige Form. Früher konnte man ein solches Problem in ein paar Minuten lösen, aber jetzt versuchen Sie verzweifelt, sich daran zu erinnern, wie man die Fläche eines Dreiecks bestimmt?
Machen Sie sich darüber keine Sorgen! Schließlich ist es ganz normal, wenn das Gehirn eines Menschen beschließt, lange ungenutztes Wissen irgendwo in eine entlegene Ecke zu übertragen, aus der es manchmal nicht so einfach zu extrahieren ist. Damit Sie sich zur Lösung eines solchen Problems nicht mit der Suche nach vergessenem Schulwissen abmühen müssen, finden Sie in diesem Artikel verschiedene Methoden, mit denen Sie die benötigte Fläche eines Dreiecks einfach finden können.
Es ist bekannt, dass ein Dreieck eine Art Polygon ist, das auf die minimal mögliche Anzahl von Seiten beschränkt ist. Im Prinzip kann jedes Polygon in mehrere Dreiecke unterteilt werden, indem man seine Eckpunkte mit Segmenten verbindet, die seine Seiten nicht schneiden. Wenn Sie das Dreieck kennen, können Sie daher die Fläche fast jeder Figur berechnen.
Unter allen möglichen Dreiecken, die im Leben vorkommen, lassen sich folgende besondere Typen unterscheiden: und rechteckig.
Die Fläche eines Dreiecks lässt sich am einfachsten berechnen, wenn einer seiner Winkel rechtwinklig ist, also im Fall eines rechtwinkligen Dreiecks. Es ist leicht zu erkennen, dass es sich um ein halbes Rechteck handelt. Daher ist seine Fläche gleich dem halben Produkt der Seiten, die miteinander einen rechten Winkel bilden.
Wenn wir die Höhe eines Dreiecks kennen, das von einem seiner Eckpunkte zur gegenüberliegenden Seite abgesenkt wird, und die Länge dieser Seite, die Basis genannt wird, dann wird die Fläche als halbes Produkt aus Höhe und Basis berechnet. Dies wird mit der folgenden Formel geschrieben:
S = 1/2*b*h, wobei
S ist die erforderliche Fläche des Dreiecks;
b, h – jeweils die Höhe und Basis des Dreiecks.
Es ist so einfach, die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen, da die Höhe die gegenüberliegende Seite halbiert und leicht gemessen werden kann. Wenn die Fläche bestimmt ist, ist es zweckmäßig, die Länge einer der Seiten, die einen rechten Winkel bilden, als Höhe zu nehmen.
Das alles ist natürlich gut, aber wie kann man feststellen, ob einer der Winkel eines Dreiecks richtig ist oder nicht? Wenn die Größe unserer Figur klein ist, können wir einen Konstruktionswinkel, ein Zeichendreieck, eine Postkarte oder einen anderen Gegenstand mit rechteckiger Form verwenden.
Was aber, wenn wir ein dreieckiges Grundstück haben? Gehen Sie in diesem Fall wie folgt vor: Zählen Sie vom Scheitelpunkt des vermeintlichen rechten Winkels auf der einen Seite ein Distanz-Vielfaches von 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) und messen Sie auf der anderen Seite ein Distanz-Vielfaches von 4 im selben Proportion (40 cm, 160 cm, 4 m). Jetzt müssen Sie den Abstand zwischen den Endpunkten dieser beiden Segmente messen. Wenn das Ergebnis ein Vielfaches von 5 ist (50 cm, 250 cm, 5 m), dann können wir sagen, dass der Winkel stimmt.
Wenn die Länge jeder der drei Seiten unserer Figur bekannt ist, kann die Fläche des Dreiecks mit der Formel von Heron bestimmt werden. Damit es eine einfachere Form hat, wird ein neuer Wert verwendet, der als Halbumfang bezeichnet wird. Dies ist die Summe aller Seiten unseres Dreiecks, geteilt in zwei Hälften. Nachdem der Halbumfang berechnet wurde, können Sie mit der Flächenermittlung nach folgender Formel beginnen:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), wobei
sqrt – Quadratwurzel;
p – Halbumfangswert (p = (a+b+c)/2);
a, b, c – Kanten (Seiten) des Dreiecks.
Was aber, wenn das Dreieck eine unregelmäßige Form hat? Hier gibt es zwei mögliche Wege. Die erste besteht darin, eine solche Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke zu unterteilen, deren Flächensumme separat berechnet und dann addiert wird. Oder wenn der Winkel zwischen zwei Seiten und die Größe dieser Seiten bekannt sind, wenden Sie die Formel an:
S = 0,5 * ab * sinC, wobei
a,b – Seiten des Dreiecks;
c ist die Größe des Winkels zwischen diesen Seiten.
Letzterer Fall kommt in der Praxis selten vor, dennoch ist im Leben alles möglich, sodass die obige Formel nicht überflüssig ist. Viel Glück bei deinen Berechnungen!
Konzept der Fläche
Der Begriff der Fläche einer beliebigen geometrischen Figur, insbesondere eines Dreiecks, wird mit einer Figur wie einem Quadrat in Verbindung gebracht. Für die Flächeneinheit einer beliebigen geometrischen Figur nehmen wir die Fläche eines Quadrats, dessen Seite gleich eins ist. Der Vollständigkeit halber erinnern wir uns an zwei grundlegende Eigenschaften für das Konzept der Flächen geometrischer Figuren.
Eigenschaft 1: Wenn geometrische Figuren gleich sind, dann sind auch ihre Flächen gleich.
Eigenschaft 2: Jede Figur kann in mehrere Figuren unterteilt werden. Darüber hinaus ist die Fläche der Originalfigur gleich der Summe der Flächen aller ihrer Bestandteile.
Schauen wir uns ein Beispiel an.
Beispiel 1
Offensichtlich ist eine der Seiten des Dreiecks eine Diagonale eines Rechtecks, dessen eine Seite eine Länge von 5 $ hat (da es 5 $-Zellen gibt) und die andere Seite 6 $ hat (da es 6 $-Zellen gibt). Daher entspricht die Fläche dieses Dreiecks der Hälfte eines solchen Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks beträgt
Dann ist die Fläche des Dreiecks gleich
Antwort: 15 $.
Als nächstes betrachten wir mehrere Methoden zum Ermitteln der Flächen von Dreiecken, nämlich die Verwendung der Höhe und der Basis, die Verwendung der Heron-Formel und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks.
So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks anhand seiner Höhe und Basis
Satz 1
Die Fläche eines Dreiecks kann als halbes Produkt aus der Länge einer Seite und der Höhe zu dieser Seite ermittelt werden.
Mathematisch sieht es so aus
$S=\frac(1)(2)αh$
Dabei ist $a$ die Länge der Seite und $h$ die dorthin gezogene Höhe.
Nachweisen.
Betrachten Sie ein Dreieck $ABC$, in dem $AC=α$. Auf dieser Seite wird die Höhe $BH$ eingezeichnet, die gleich $h$ ist. Bauen wir es wie in Abbildung 2 zum Quadrat $AXYC$ auf.
Die Fläche des Rechtecks $AXBH$ ist $h\cdot AH$, und die Fläche des Rechtecks $HBYC$ ist $h\cdot HC$. Dann
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Daher ist die erforderliche Fläche des Dreiecks gemäß Eigenschaft 2 gleich
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Der Satz ist bewiesen.
Beispiel 2
Finden Sie die Fläche des Dreiecks in der Abbildung unten, wenn die Zelle eine Fläche von eins hat
Die Basis dieses Dreiecks ist gleich 9 $ (da 9 $ aus 9 $ Quadraten besteht). Die Höhe beträgt ebenfalls 9$. Dann erhalten wir nach Satz 1
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Antwort: 40,5 $.
Herons Formel
Satz 2
Wenn wir drei Seiten eines Dreiecks $α$, $β$ und $γ$ erhalten, dann kann seine Fläche wie folgt ermittelt werden
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
hier bedeutet $ρ$ den Halbumfang dieses Dreiecks.
Nachweisen.
Betrachten Sie die folgende Abbildung:
Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir aus dem Dreieck $ABH$
Aus dem Dreieck $CBH$ ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras:
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Aus diesen beiden Beziehungen erhalten wir die Gleichheit
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Da $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, dann $α+β+γ=2ρ$, was bedeutet
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Nach Satz 1 erhalten wir
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Anweisungen
1. Für zwei Beine S = a * b/2, a, b – Beine,
Die zweite Option zur Flächenberechnung verwendet Sinuswerte bekannter Winkel anstelle von Kotangenten. In dieser Version Quadrat ist gleich dem Quadrat der Länge der bekannten Seite, multipliziert mit den Sinuswerten jedes Winkels und dividiert durch den Doppelsinus dieser Winkel: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *sin(α + β)). Zum Beispiel für dasselbe Dreieck mit einer bekannten Seitenlänge von 15 cm und einem angrenzenden Dreieck Ecken Bei 40° und 60° sieht die Flächenberechnung folgendermaßen aus: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 Quadratzentimeter.
Bei der Berechnung der Fläche eines Dreiecks handelt es sich um Winkel. Die Fläche entspricht dem Quadrat der Länge der bekannten Seite, multipliziert mit den Tangenten jedes Winkels und dividiert durch die doppelte Summe der Tangenten dieser Winkel: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Zum Beispiel für das in den vorherigen Schritten verwendete Dreieck mit einer Seitenlänge von 15 cm und angrenzenden Kanten Ecken Bei 40° und 60° sieht die Flächenberechnung folgendermaßen aus: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 Quadratzentimeter.
Ein Dreieck ist das einfachste Polygon mit drei Eckpunkten und drei Seiten. Ein Dreieck, dessen Winkel rechtwinklig ist, nennt man rechtwinkliges Dreieck. Für rechtwinklige Dreiecke gelten alle Formeln für allgemeine Dreiecke. Sie können jedoch unter Berücksichtigung der Eigenschaften eines rechten Winkels modifiziert werden.
Anweisungen
Grundlegend für die Ortssuche Dreieck durch die Basis wie folgt: S = 1/2 * b * h, wobei b die Seite ist Dreieck, und h – Dreieck. Höhe Dreieck ist eine Senkrechte, die vom Scheitelpunkt aus gezogen wird Dreieck in die Zeile, die das Gegenteil enthält. Für rechteckig Dreieck Höhe k b fällt mit Bein a zusammen. Auf diese Weise erhalten Sie die Formel zur Berechnung der Fläche Dreieck mit Winkel: S = 1/2 * a * b.
Halten. Sei ein Rechteck a = 3, b = 4. Dann ist S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Berechnen Sie Quadrat das gleiche Dreieck, aber nun sei nur eine Seite bekannt, b = 4. Und der Winkel α, tan α = 3/4 ist ebenfalls bekannt. Drücken Sie dann aus dem Ausdruck für die trigonometrische Funktion Tangente α das Bein a aus: tg α = a/b => a = b * tan α. Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein, um die Fläche eines Rechtecks zu berechnen Dreieck und wir erhalten: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
Betrachten Sie als Sonderfall die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Rechtecks Dreieck. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem zwei Seiten einander gleich sind. Im Falle eines rechteckigen Dreieck es stellt sich heraus, a = b. Schreiben Sie den Satz des Pythagoras für diesen Fall auf: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Als nächstes setzen Sie diesen Wert wie folgt in die Formel zur Flächenberechnung ein: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .
Wenn die Radien des Inkreises r und des Umkreises R bekannt sind, dann Quadrat rechteckig Dreieck wird nach der Formel S = r^2 + 2 * r * R berechnet. Der Radius des eingeschriebenen Kreises im Dreieck sei r = 1, der Radius des umschriebenen Kreises Dreieck Kreis R = 5/2. Dann ist S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.
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Hilfreicher Rat
Der Radius eines Kreises, der ein rechtwinkliges Dreieck umschreibt, ist gleich der halben Hypotenuse: R = c / 2. Der Radius eines Kreises, der in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, ergibt sich aus der Formel r = (a + b – c) / 2.
Dies ist eine der einfachsten geometrischen Figuren, bei der drei Segmente, die paarweise drei Punkte verbinden, einen Teil der Ebene begrenzen. Die Kenntnis einiger Parameter eines Dreiecks (Seitenlängen, Winkel, Radien eines eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises, Höhe usw.) in verschiedenen Kombinationen ermöglicht die Berechnung der Fläche dieses begrenzten Abschnitts der Ebene.
Anweisungen
Wenn die Längen zweier Seiten eines Dreiecks (A und B) und die Größe ihres Winkels (γ) bekannt sind, dann ist die Fläche (S) des Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus den Längen der Seiten und der Sinus des bekannten Winkels: S=A∗B∗sin(γ)/2.
Wenn die Längen aller drei Seiten (A, B und C) in einem beliebigen Dreieck bekannt sind, ist es zur Berechnung seiner Fläche (S) bequemer, eine zusätzliche Variable einzuführen – den Halbumfang (p). Diese Variable wird in der Hälfte der Summe der Längen aller Seiten berechnet: p=(A+B+C)/2. Die Verwendung dieser Variablen kann als Quadratwurzel des Produkts aus dem Halbumfang dieser Variablen und der Länge der Seiten definiert werden: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).
Wenn zusätzlich zu den Längen aller Seiten (A, B und C) auch die Länge des Radius (R) eines Kreises bekannt ist, der in der Nähe eines beliebigen Dreiecks umschrieben wird, kann auf einen Halbumfang – die Fläche – verzichtet werden (S) ist gleich dem Verhältnis des Produkts der Längen aller Seiten zum vierfachen Radius des Kreises: S=A ∗B∗C/(4∗R).
Wenn die Werte aller Winkel eines Dreiecks (α, β und γ) und die Länge einer seiner Seiten (A) bekannt sind, dann ist die Fläche (S) gleich dem Verhältnis des Produkts des Quadrats der Länge der bekannten Seite durch die Sinuswerte zweier benachbarter Winkel zum Doppelsinus des gegenüberliegenden einen Winkels: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).
Wenn die Werte aller Winkel eines beliebigen Dreiecks (α, β und γ) und der Radius (R) des umschriebenen Kreises bekannt sind, dann ist die Fläche (S) gleich dem Doppelten des Quadrats des Radius und des Sinus aller Winkel: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).
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Das Volumen eines Dreiecks zu ermitteln ist wirklich keine triviale Aufgabe. Tatsache ist, dass ein Dreieck eine zweidimensionale Figur ist, d.h. es liegt vollständig in einer Ebene, hat also einfach kein Volumen. Natürlich kann man nichts finden, was es nicht gibt. Aber lasst uns nicht aufgeben! Wir können die folgende Annahme akzeptieren: Das Volumen einer zweidimensionalen Figur ist ihre Fläche. Wir werden nach der Fläche des Dreiecks suchen.
Du wirst brauchen
- Blatt Papier, Bleistift, Lineal, Taschenrechner
Anweisungen
Zeichnen Sie mit Lineal und Bleistift auf ein Blatt Papier. Durch sorgfältige Untersuchung des Dreiecks können Sie sicherstellen, dass es sich tatsächlich nicht um ein Dreieck handelt, da es auf einer Ebene gezeichnet ist. Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks: Eine Seite sei „a“, die andere Seite „b“ und die dritte Seite „c“. Beschriften Sie die Eckpunkte des Dreiecks mit den Buchstaben „A“, „B“ und „C“.
Messen Sie eine beliebige Seite des Dreiecks mit einem Lineal und notieren Sie das Ergebnis. Danach stellen Sie die Senkrechte zur gemessenen Seite vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt aus wieder her. Eine solche Senkrechte ist die Höhe des Dreiecks. Im in der Abbildung gezeigten Fall wird die Senkrechte „h“ vom Scheitelpunkt „A“ zur Seite „c“ wiederhergestellt. Messen Sie die resultierende Höhe mit einem Lineal und notieren Sie das Messergebnis.
Es kann für Sie schwierig sein, die exakte Senkrechte wiederherzustellen. In diesem Fall sollten Sie eine andere Formel verwenden. Messen Sie alle Seiten des Dreiecks mit einem Lineal. Berechnen Sie anschließend den Halbumfang des Dreiecks „p“, indem Sie die resultierenden Längen der Seiten addieren und ihre Summe in zwei Hälften teilen. Wenn Sie über den Wert des Halbumfangs verfügen, können Sie die Formel von Heron verwenden. Dazu müssen Sie die Quadratwurzel aus Folgendem ziehen: p(p-a)(p-b)(p-c).
Sie haben die erforderliche Fläche des Dreiecks erhalten. Das Problem, das Volumen eines Dreiecks zu ermitteln, ist nicht gelöst, das Volumen jedoch, wie oben erwähnt, nicht. In der dreidimensionalen Welt kann man ein Volumen finden, das im Wesentlichen ein Dreieck ist. Wenn wir uns vorstellen, dass unser ursprüngliches Dreieck zu einer dreidimensionalen Pyramide geworden ist, dann ist das Volumen einer solchen Pyramide das Produkt der Länge ihrer Basis und der Fläche des Dreiecks, die wir erhalten haben.
beachten Sie
Je sorgfältiger Sie messen, desto genauer werden Ihre Berechnungen.
Quellen:
- Rechner „Alles zu allem“ – ein Portal für Richtwerte
- Volumen des Dreiecks
Ein Dreieck ist die einfachste geometrische Figur, die aus drei Seiten und drei Eckpunkten besteht. Aufgrund seiner Einfachheit wird das Dreieck seit der Antike für verschiedene Messungen verwendet und heute kann die Figur bei der Lösung praktischer und alltäglicher Probleme nützlich sein.
Merkmale eines Dreiecks
Die Zahl wird seit der Antike für Berechnungen verwendet, beispielsweise operieren Landvermesser und Astronomen mit den Eigenschaften von Dreiecken, um Flächen und Entfernungen zu berechnen. Es ist einfach, die Fläche eines beliebigen N-Ecks durch die Fläche dieser Figur auszudrücken, und diese Eigenschaft wurde von alten Wissenschaftlern verwendet, um Formeln für die Flächen von Polygonen abzuleiten. Die ständige Arbeit mit Dreiecken, insbesondere dem rechtwinkligen Dreieck, wurde zur Grundlage für einen ganzen Zweig der Mathematik – die Trigonometrie.
Dreiecksgeometrie
Die Eigenschaften der geometrischen Figur werden seit der Antike untersucht: Die frühesten Informationen über das Dreieck wurden vor 4.000 Jahren in ägyptischen Papyri gefunden. Dann wurde die Figur im antiken Griechenland untersucht und die größten Beiträge zur Geometrie des Dreiecks wurden von Euklid, Pythagoras und Heron geleistet. Das Studium des Dreiecks hörte nie auf, und im 18. Jahrhundert führte Leonhard Euler das Konzept des Orthozentrums einer Figur und des Euler-Kreises ein. An der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert, als es schien, dass absolut alles über das Dreieck bekannt war, formulierte Frank Morley den Satz über Winkeldreisektoren und Waclaw Sierpinski schlug das fraktale Dreieck vor.
Es gibt verschiedene Arten flacher Dreiecke, die uns aus Schulgeometriekursen bekannt sind:
- spitz – alle Ecken der Figur sind spitz;
- stumpf – die Figur hat einen stumpfen Winkel (mehr als 90 Grad);
- rechteckig – die Figur enthält einen rechten Winkel von 90 Grad;
- gleichschenklig – ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten;
- gleichseitig – ein Dreieck mit allen gleichen Seiten.
- Im wirklichen Leben gibt es alle Arten von Dreiecken, und in einigen Fällen müssen wir möglicherweise die Fläche einer geometrischen Figur berechnen.
Fläche eines Dreiecks
Die Fläche ist eine Schätzung, wie viel von der Ebene eine Figur einschließt. Die Fläche eines Dreiecks kann auf sechs Arten ermittelt werden: mithilfe der Seiten, der Höhe, der Winkel und des Radius des eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises sowie mithilfe der Heron-Formel oder der Berechnung des Doppelintegrals entlang der die Ebene begrenzenden Linien. Die einfachste Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks lautet:
Dabei ist a die Seite des Dreiecks und h seine Höhe.
In der Praxis ist es für uns jedoch nicht immer bequem, die Höhe einer geometrischen Figur zu ermitteln. Mit dem Algorithmus unseres Rechners können Sie die Fläche berechnen, indem Sie Folgendes wissen:
- drei Seiten;
- zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen;
- eine Seite und zwei Ecken.
Um die Fläche durch drei Seiten zu bestimmen, verwenden wir die Formel von Heron:
S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),
wobei p der Halbumfang des Dreiecks ist.
Die Fläche auf zwei Seiten und einem Winkel wird nach der klassischen Formel berechnet:
S = a × b × sin(alfa),
Dabei ist Alpha der Winkel zwischen den Seiten a und b.
Um die Fläche anhand einer Seite und zweier Winkel zu bestimmen, verwenden wir die Beziehung:
a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)
Mit einer einfachen Proportion bestimmen wir die Länge der zweiten Seite und berechnen anschließend die Fläche mit der Formel S = a × b × sin(alfa). Dieser Algorithmus ist vollständig automatisiert und Sie müssen nur die angegebenen Variablen eingeben und erhalten das Ergebnis. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Beispiele aus dem Leben
Pflastersteine
Nehmen wir an, Sie möchten den Boden mit dreieckigen Fliesen pflastern und um die benötigte Materialmenge zu bestimmen, müssen Sie die Fläche einer Fliese und die Fläche des Bodens kennen. Angenommen, Sie müssen 6 Quadratmeter Fläche mit einer Fliese bearbeiten, deren Abmessungen a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm betragen. Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, verwendet der Rechner natürlich die Heron-Formel und gibt an das Ergebnis:
Somit beträgt die Fläche eines Fliesenelements 0,021 Quadratmeter und Sie benötigen 6/0,021 = 285 Dreiecke für die Bodenverbesserung. Die Zahlen 20, 21 und 29 bilden ein pythagoräisches Tripel – Zahlen, die erfüllen. Und richtig, unser Rechner hat auch alle Winkel des Dreiecks berechnet und der Gammawinkel beträgt genau 90 Grad.
Schulaufgabe
Bei einer Schulaufgabe müssen Sie die Fläche eines Dreiecks ermitteln, wobei Sie wissen, dass die Seite a = 5 cm ist und die Winkel Alpha und Beta 30 bzw. 50 Grad betragen. Um dieses Problem manuell zu lösen, würden wir zunächst den Wert der Seite b anhand des Verhältnisses des Seitenverhältnisses und der Sinuswerte der entgegengesetzten Winkel ermitteln und dann die Fläche mithilfe der einfachen Formel S = a × b × sin(alfa) bestimmen. Sparen Sie Zeit, geben Sie die Daten in das Rechnerformular ein und erhalten Sie sofort eine Antwort
Bei der Verwendung des Taschenrechners ist es wichtig, die Winkel und Seiten korrekt anzugeben, da sonst das Ergebnis falsch ist.
Abschluss
Das Dreieck ist eine einzigartige Figur, die sowohl im wirklichen Leben als auch in abstrakten Berechnungen vorkommt. Benutzen Sie unseren Online-Rechner, um die Fläche von Dreiecken jeglicher Art zu bestimmen.
