Ball (Kugel)
Kugelförmige Oberfläche. Ball (Kugel). Ballabschnitte: Kreise.
Satz des Archimedes. Teile der Kugel: Kugelsegment,
Kugelschicht, Kugelgürtel, Kugelsektor.
Kugelförmige Oberfläche - Das Ort der Punkte(diese. vieleAnzahl aller Punkte)im Raum, gleich weit von einem Punkt entfernt Ö , der Mittelpunkt der Kugeloberfläche genannt wird (Abb.90). Radius AOi Durchmesser AB werden auf die gleiche Weise wie in einem Kreis bestimmt.
Ball (Kugel) - Das ein Körper, der von einer Kugeloberfläche begrenzt wird. Kann Holen Sie sich den Ball, indem Sie den Halbkreis drehen ( oder Kreis ) um den Durchmesser. Alle ebenen Abschnitte des Balls sind Kreise ( Abb.90 ). Der größte Kreis liegt in einem Abschnitt durch die Kugelmitte und wird aufgerufen großer Kreis. Sein Radius ist gleich dem Radius der Kugel. Zwei beliebige große Kreise schneiden sich entlang des Durchmessers der Kugel ( AB, Abb.91 ).Dieser Durchmesser ist auch der Durchmesser sich schneidender Großkreise. Durch zwei Punkte einer Kugeloberfläche, die an den Enden gleichen Durchmessers liegen(A und B, Abb.91 ) können Sie unzählige große Kreise zeichnen. Beispielsweise können durch die Erdpole unendlich viele Meridiane gezogen werden.
Das Volumen der Kugel ist eineinhalb Mal kleiner als das Volumen des sie umgebenden Zylinders. (Abb.92 ), A Die Oberfläche der Kugel ist eineinhalb Mal kleiner als die Gesamtoberfläche desselben Zylinders ( Satz des Archimedes):
Hier S Ball Und V Ball - die Oberfläche bzw. das Volumen des Balls;
S Zyl Und V Zyl - die Gesamtoberfläche und das Gesamtvolumen des umschriebenen Zylinders.
Teile des Balls. Teil einer Kugel (Kugel) ), durch ein Flugzeug davon abgeschnitten ( ABC, Abb.93), angerufen Ball(sphärisch ) Segment. Kreis ABC angerufen Basis Kugelsegment. Liniensegment MN Senkrecht vom Mittelpunkt aus gezogen N Kreis ABC bis es eine Kugeloberfläche schneidet, heißt Höhe Kugelsegment. Punkt M angerufen Spitze Kugelsegment.
Teil einer Kugel, eingeschlossen zwischen zwei parallelen Ebenen ABC und DEF schneiden eine Kugeloberfläche (Abb. 93), angerufen Kugelschicht; wird die gekrümmte Oberfläche einer Kugelschicht genannt Ballgürtel(Zone). Kreise ABC und DEF – Gründe Ballgürtel. Distanz N.K. zwischen den Basen des Kugelgürtels - es Höhe. Der Teil der Kugel, der von der gekrümmten Oberfläche eines Kugelsegments begrenzt wird ( AMCB, Abb.93) und konische Oberfläche OABC , dessen Basis die Basis des Segments ist ( ABC ), und der Scheitelpunkt ist der Mittelpunkt der KugelÖ , angerufen Kugelsektor.
Eine Kugel und eine Kugel sind zunächst einmal geometrische Figuren, und wenn eine Kugel ein geometrischer Körper ist, dann ist eine Kugel die Oberfläche einer Kugel. Diese Zahlen waren vor vielen tausend Jahren v. Chr. von Interesse.
Als später entdeckt wurde, dass die Erde eine Kugel und der Himmel eine Himmelskugel ist, entwickelte sich eine neue faszinierende Richtung in der Geometrie – die Geometrie auf einer Kugel oder sphärische Geometrie. Um über die Größe und das Volumen eines Balls zu sprechen, müssen Sie ihn zunächst definieren.
Ball
Eine Kugel mit dem Radius R und einem Mittelpunkt im Punkt O ist in der Geometrie ein Körper, der aus allen Punkten im Raum entsteht, die eine gemeinsame Eigenschaft haben. Diese Punkte befinden sich in einem Abstand, der den Radius des Balls nicht überschreitet, das heißt, sie füllen den gesamten Raum in allen Richtungen von seinem Mittelpunkt aus, der kleiner als der Radius des Balls ist. Wenn wir nur die Punkte betrachten, die den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Balls haben, betrachten wir seine Oberfläche oder die Hülle des Balls.
Wie komme ich an den Ball? Wir können einen Kreis aus Papier ausschneiden und ihn um seinen eigenen Durchmesser drehen. Das heißt, der Durchmesser des Kreises ist die Drehachse. Die geformte Figur wird eine Kugel sein. Daher wird die Kugel auch Rotationskörper genannt. Weil es durch Drehen einer flachen Figur geformt werden kann – einem Kreis.
Nehmen wir ein Flugzeug und schneiden wir damit unseren Ball ab. So wie wir eine Orange mit einem Messer schneiden. Das Stück, das wir von der Kugel abschneiden, nennt man Kugelsegment.
Im antiken Griechenland wussten sie nicht nur, wie man mit einer Kugel und einer Kugel als geometrischen Figuren umgeht, um sie beispielsweise im Bauwesen zu verwenden, sondern wussten auch, wie man die Oberfläche einer Kugel und das Volumen einer Kugel berechnet.
Eine Kugel ist ein anderer Name für die Oberfläche einer Kugel. Eine Kugel ist kein Körper – sie ist die Oberfläche eines Rotationskörpers. Da jedoch sowohl die Erde als auch viele Körper, beispielsweise ein Wassertropfen, eine Kugelform haben, ist die Untersuchung geometrischer Zusammenhänge innerhalb der Kugel weit verbreitet.
Wenn wir beispielsweise zwei Punkte einer Kugel durch eine Gerade miteinander verbinden, dann nennt man diese Gerade Sehne, und wenn diese Sehne durch den Mittelpunkt der Kugel geht, der mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammenfällt, dann die Sehne wird als Durchmesser der Kugel bezeichnet.
Wenn wir eine gerade Linie zeichnen, die die Kugel nur in einem Punkt berührt, dann wird diese Linie Tangente genannt. Darüber hinaus ist diese Tangente an die Kugel an diesem Punkt senkrecht zum Radius der Kugel, die zum Kontaktpunkt gezogen wird.
Wenn wir die Sehne von der Kugel aus in die eine oder andere Richtung zu einer geraden Linie verlängern, dann wird diese Sehne Sekante genannt. Oder wir können es anders sagen: Die Sekante zur Sphäre enthält ihren Akkord.
Ballvolumen
Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:
wobei R der Radius der Kugel ist.
Wenn Sie das Volumen eines Kugelsegments ermitteln müssen, verwenden Sie die Formel:
V seg =πh 2 (R-h/3), h ist die Höhe des Kugelsegments.
Oberfläche einer Kugel oder Kugel
Um die Fläche einer Kugel oder die Oberfläche einer Kugel zu berechnen (das ist dasselbe):
wobei R der Radius der Kugel ist.
Archimedes liebte die Kugel und die Kugel sehr und bat sogar darum, auf seinem Grab eine Zeichnung zu hinterlassen, auf der eine Kugel in einen Zylinder eingraviert war. Archimedes glaubte, dass das Volumen einer Kugel und ihre Oberfläche zwei Dritteln des Volumens und der Oberfläche des Zylinders entsprechen, in den die Kugel eingeschrieben ist.“
In Kapitel 2 fahren wir mit der „Strukturgeometrie“ fort und sprechen über die Struktur und Eigenschaften der wichtigsten Raumfiguren – Kugel und Kugel, Zylinder und Kegel, Prismen und Pyramiden. Die meisten von Menschenhand geschaffenen Objekte – Gebäude, Autos, Möbel, Geschirr usw. usw. besteht aus Teilen, die wie diese Figuren geformt sind.
§ 4. SPHÄRE UND BALL
Kugel und Kugel sind nach Geraden und Flächen die einfachsten, aber sehr wichtigen räumlichen Figuren, die reich an vielfältigen Eigenschaften sind. Über die geometrischen Eigenschaften einer Kugel und ihrer Oberfläche – einer Kugel – sind ganze Bücher geschrieben worden. Einige dieser Eigenschaften waren den antiken griechischen Geometern bekannt, andere wurden erst in den letzten Jahren entdeckt. Diese Eigenschaften (zusammen mit den Gesetzen der Naturwissenschaft) erklären, warum beispielsweise Himmelskörper und Fischeier eine Kugelform haben, warum Bathyscaphes und Fußbälle die Form einer Kugel haben, warum Kugellager in der Technik so verbreitet sind, usw. Wir können nur die einfachsten Eigenschaften des Balls beweisen. Beweise für andere, wenn auch sehr wichtige Eigenschaften erfordern oft den Einsatz völlig nichtelementarer Methoden, obwohl die Formulierung solcher Eigenschaften sehr einfach sein kann: Beispielsweise hat die Kugel von allen Körpern mit einer bestimmten Oberfläche das größte Volumen.
4.1. Definitionen von Kugel und Ball.
Eine Kugel und eine Kugel werden im Raum genauso definiert wie ein Kreis und ein Kreis auf einer Ebene. Eine Kugel ist eine Figur, die aus allen Punkten im Raum besteht, die von einem bestimmten Punkt entfernt sind.
verschiedene Punkte auf den gleichen (positiven) Abstand.
Dieser Punkt wird Mittelpunkt der Kugel genannt und der Abstand ist ihr Radius (Abb. 4.1).
Eine Kugel mit Mittelpunkt O und Radius R ist also eine Figur, die aus allen Punkten X des Raums besteht, für die
Eine Kugel ist eine Figur, die aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einem Abstand befinden, der nicht größer als ein bestimmter (positiver) Abstand von einem bestimmten Punkt ist. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des Balls genannt und dieser Abstand ist sein Radius.
Eine Kugel mit Mittelpunkt O und Radius R ist also eine Figur, die aus allen Punkten X des Raums besteht, für die
Die Punkte X einer Kugel mit Mittelpunkt O und Radius R, für die sie eine Kugel bilden. Man sagt, dass diese Kugel eine bestimmte Kugel umschließt oder dass sie deren Oberfläche ist.
Ungefähr die gleichen Punkte X der Kugel, von denen man sagt, dass sie innerhalb der Kugel liegen.
Der Radius einer Kugel (und eines Balls) wird nicht nur als Entfernung bezeichnet, sondern auch als jedes Segment, das den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kugel verbindet.
GEOMETRIE
Abschnitt II. STEREOMETRIE
§22. BALL. KUGEL.
1. Definition von Kugel und Kugel. Elemente von Kugel und Kugel.
Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, der durch die Drehung eines Kreises um eine Achse entsteht, die seinen Durchmesser enthält (Abb. 500).
Der Mittelpunkt des Kreises, der sich dreht, wird Mittelpunkt der Kugel genannt, der Radius des Kreises ist der Radius der Kugel und der Durchmesser des Kreises ist der Durchmesser der Kugel. In Abbildung 500 ist Punkt O der Mittelpunkt der Kugel, OA und OB sind die Radien der Kugel und AB ist der Durchmesser der Kugel.
Die Oberfläche einer Kugel wird Kugel genannt.
Mittelpunkt, Radius und Durchmesser einer Kugel sind auch Mittelpunkt, Radius und Durchmesser einer Kugel.
Alle Punkte auf der Kugel haben den gleichen Abstand, gleich dem Radius, vom Mittelpunkt der Kugel. Andere Punkte der Kugel, die nicht zur Kugel gehören, werden als innere Punkte bezeichnet; solche Punkte liegen innerhalb der Kugel. Die inneren Punkte der Kugel befinden sich vom Mittelpunkt der Kugel in einem Abstand, der kleiner als der Radius ist.
Damit kommen wir zu einer anderen Definition von Kugel und Ball.
Eine Kugel ist eine Fläche, die aus allen Punkten im Raum besteht, die den gleichen Abstand vom gleichen Punkt haben. Dieser Punkt wird Mittelpunkt der Kugel genannt, und der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zu einem ihrer Punkte ist der Radius der Kugel.
Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einem Abstand befinden, der nicht größer als ein bestimmter Punkt von einem bestimmten Punkt ist. Dieser Punkt wird als Mittelpunkt des Balls bezeichnet, und dieser Abstand wird als Radius des Balls bezeichnet.
Beispiel. Der Radius der Kugel beträgt 3,5 cm. Punkt A liegt innerhalb oder außerhalb der Kugel, wenn er vom Mittelpunkt der Kugel entfernt ist: 1) cm, 2) cm.
Eine Kugel ist ein Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einem nicht größeren als einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden. Dieser Punkt wird als Mittelpunkt des Balls bezeichnet, und dieser Abstand wird als Radius des Balls bezeichnet. Der Rand einer Kugel wird Kugeloberfläche oder Kugel genannt. Die Punkte der Kugel sind alle Punkte der Kugel, die vom Mittelpunkt um den Abstand entfernt sind, der dem Radius entspricht. Jedes Segment, das den Mittelpunkt einer Kugel mit einem Punkt auf der Kugeloberfläche verbindet, wird auch Radius genannt. Das Segment, das durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft und zwei Punkte auf der Kugeloberfläche verbindet, wird Durchmesser genannt. Die Enden mit beliebigem Durchmesser werden als diametral gegenüberliegende Punkte der Kugel bezeichnet.
Eine Kugel ist ein Rotationskörper, genau wie ein Kegel und ein Zylinder. Eine Kugel entsteht durch Drehung eines Halbkreises um seinen Durchmesser als Achse.
Die Oberfläche des Balls lässt sich mit den Formeln ermitteln:
Dabei ist r der Radius der Kugel und d der Durchmesser der Kugel.
Das Volumen der Kugel ergibt sich aus der Formel:
V = 4 / 3 πr 3,
wobei r der Radius der Kugel ist.
Satz. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene gezogen wird.
Basierend auf diesem Satz ergibt sich, wenn eine Kugel mit dem Mittelpunkt O und dem Radius R von der Ebene α geschnitten wird, als Querschnitt ein Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt K. Der Radius des Schnitts der Kugel durch die Ebene kann ermittelt werden nach der Formel
Aus der Formel geht hervor, dass Ebenen mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt die Kugel in gleichen Kreisen schneiden. Der Radius des Abschnitts ist umso größer, je näher die Schnittebene an der Kugelmitte liegt, also je kleiner der Abstand OK ist. Der größte Radius ist ein Schnitt durch eine Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft. Der Radius dieses Kreises ist gleich dem Radius der Kugel.
Die Ebene, die durch die Mitte des Balls verläuft, wird Mittelebene genannt. Der Schnitt einer Kugel durch die diametrale Ebene wird Großkreis genannt, der Schnitt einer Kugel heißt Großkreis und der Schnitt einer Kugel heißt Großkreis.
Satz. Jede diametrale Ebene einer Kugel ist ihre Symmetrieebene. Der Mittelpunkt der Kugel ist ihr Symmetriezentrum.
Die Ebene, die durch Punkt A der Kugeloberfläche verläuft und senkrecht zum zum Punkt A gezogenen Radius steht, wird Tangentenebene genannt. Punkt A wird Tangentenpunkt genannt.
Satz. Die Tangentenebene hat mit der Kugel nur einen gemeinsamen Punkt – den Berührungspunkt.
Die Gerade, die durch den Punkt A der Kugeloberfläche senkrecht zum zu diesem Punkt gezogenen Radius verläuft, wird Tangente genannt.
Satz. Durch jeden Punkt der Kugeloberfläche verlaufen unendlich viele Tangenten, und alle liegen in der Tangentialebene der Kugel.
Ein Kugelsegment ist der Teil einer Kugel, der durch eine Ebene von ihr abgeschnitten wird. Der Kreis ABC ist die Basis des Kugelsegments. Das senkrechte Segment MN, das vom Mittelpunkt N des Kreises ABC bis zum Schnittpunkt mit der Kugeloberfläche gezogen wird, ist die Höhe des Kugelsegments. Punkt M ist der Scheitelpunkt des Kugelsegments.
Die Oberfläche eines Kugelsegments kann mit der Formel berechnet werden:
Das Volumen eines Kugelsegments lässt sich mit der Formel ermitteln:
V = πh 2 (R – 1/3h),
Dabei ist R der Radius des Großkreises und h die Höhe des Kugelsegments.
Aus einem Kugelsegment und einem Kegel entsteht wie folgt ein Kugelsektor. Ist ein Kugelsegment kleiner als eine Halbkugel, dann wird das Kugelsegment durch einen Kegel ergänzt, dessen Spitze in der Mitte der Kugel liegt und dessen Basis die Basis des Segments ist. Wenn das Segment größer als eine Halbkugel ist, wird der angegebene Kegel daraus entfernt.
Ein Kugelsektor ist ein Teil einer Kugel, der durch eine gekrümmte Oberfläche eines Kugelsegments (in unserer Abbildung ist dies AMCB) und eine konische Oberfläche (in unserer Abbildung ist dies OABC) begrenzt wird, deren Basis die Basis des ist Segment (ABC) und der Scheitelpunkt ist der Mittelpunkt der Kugel O.
Das Volumen des Kugelsektors ergibt sich aus der Formel:
V = 2/3 πR 2 H.
Eine Kugelschicht ist ein Teil einer Kugel, der zwischen zwei parallelen Ebenen (Ebenen ABC und DEF in der Abbildung) eingeschlossen ist, die die Kugeloberfläche schneiden. Die gekrümmte Oberfläche der Kugelschicht wird Kugelgürtel (Zone) genannt. Die Kreise ABC und DEF sind die Basis des Kugelgürtels. Der Abstand NK zwischen den Basen des Kugelgürtels ist seine Höhe.
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