Στο σχολικό πρόγραμμα, τα μαθήματα γεωμετρίας έχουν να κάνουν με διάφορους τύπους τετράπλευρων: ρόμβους, παραλληλόγραμμα, ορθογώνια, τραπεζοειδή, τετράγωνα. Τα πρώτα σχήματα που πρέπει να μελετηθούν είναι ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο.

Τι είναι λοιπόν ένα ορθογώνιο; Ο ορισμός για τη 2η τάξη ενός γενικού σχολείου θα μοιάζει με αυτό: πρόκειται για ένα τετράπλευρο, στο οποίο και οι τέσσερις γωνίες είναι σωστές. Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς πώς μοιάζει ένα ορθογώνιο: είναι ένα σχήμα με 4 ορθές γωνίες και πλευρές παράλληλες μεταξύ τους σε ζευγάρια.

Σε επαφή με

Πώς να καταλάβουμε, λύνοντας το επόμενο γεωμετρικό πρόβλημα, με τι τετράπλευρο έχουμε να κάνουμε; Υπάρχουν τρία κύρια χαρακτηριστικά, με το οποίο μπορείτε να προσδιορίσετε με ακρίβεια ότι μιλάμε για ορθογώνιο. Ας τους ονομάσουμε:

• το σχήμα είναι τετράπλευρο με τρεις γωνίες ίσες με 90°.
• το παρουσιαζόμενο τετράπλευρο είναι ένα παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιες.
• ένα παραλληλόγραμμο που έχει τουλάχιστον μία ορθή γωνία.

Είναι ενδιαφέρον να γνωρίζουμε: τι είναι κυρτό, τα χαρακτηριστικά και τα σημάδια του.

Δεδομένου ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι παραλληλόγραμμο (δηλαδή, ένα τετράπλευρο με παράλληλες αντίθετες πλευρές κατά ζεύγη), τότε όλες οι ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά του θα εκπληρωθούν γι 'αυτό.

Τύποι για τον υπολογισμό του μήκους των πλευρών

σε ένα ορθογώνιοοι απέναντι πλευρές είναι ίσες και αμοιβαία παράλληλες. Η μακρύτερη πλευρά ονομάζεται συνήθως μήκος (δηλώνεται με α), η μικρότερη πλευρά ονομάζεται πλάτος (συμβολίζεται με b). Στο ορθογώνιο της εικόνας, τα μήκη είναι οι πλευρές AB και CD και τα πλάτη είναι AC και B.D. Είναι επίσης κάθετα στις βάσεις (δηλαδή είναι ύψη).

Για να βρείτε τις πλευρές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους παρακάτω τύπους. Υιοθετούνται συμβάσεις σε αυτά: α - το μήκος του ορθογωνίου, β - το πλάτος του, δ - η διαγώνιος (το τμήμα που συνδέει τις κορυφές δύο γωνιών που βρίσκονται απέναντι η μία από την άλλη), S - το εμβαδόν του σχήματος, P - η περίμετρος, α - η γωνία μεταξύ της διαγωνίου και του μήκους, β είναι μια οξεία γωνία που σχηματίζεται και από τις δύο διαγώνιους. Τρόποι για να βρείτε τα μήκη των πλευρών:

• Χρησιμοποιώντας τη διαγώνιο και τη γνωστή πλευρά: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• Από την περιοχή του σχήματος και τη μία από τις πλευρές του: a = S / b, b = S / a.
• Χρησιμοποιώντας την περίμετρο και τη γνωστή πλευρά: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Μέσω της διαγώνιου και της γωνίας μεταξύ αυτής και του μήκους: a = d sinα, b = d cosα.
• Μέσω της διαγώνιου και της γωνίας β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Περίμετρος και εμβαδόν

Η περίμετρος ενός τετράπλευρου ονομάζεταιτο άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του. Για τον υπολογισμό της περιμέτρου, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι τύποι:

• Και από τις δύο πλευρές: P = 2 (a + b).
• Μέσα από την περιοχή και μία από τις πλευρές: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

Περιοχή είναι ένας χώρος που οριοθετείται από μια περίμετρο. Τρεις κύριοι τρόποι υπολογισμού της περιοχής:

• Μέσα από τα μήκη και των δύο πλευρών: S = a*b.
• Χρησιμοποιώντας την περίμετρο και οποιαδήποτε γνωστή πλευρά: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• Διαγώνια και γωνία β: S = 0,5 d² sinβ.

Στα καθήκοντα ενός σχολικού μαθήματος μαθηματικών, συχνά απαιτείται να έχει καλή γνώση ιδιότητες των διαγωνίων ενός ορθογωνίου. Παραθέτουμε τα κυριότερα:

1. Οι διαγώνιοι είναι ίσες μεταξύ τους και χωρίζονται σε δύο ίσα τμήματα στο σημείο τομής τους.
2. Η διαγώνιος ορίζεται ως η ρίζα του αθροίσματος και των δύο πλευρών στο τετράγωνο (ακολουθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα).
3. Η διαγώνιος χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο τρίγωνα με ορθή γωνία.
4. Το σημείο τομής συμπίπτει με το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και οι ίδιες οι διαγώνιοι συμπίπτουν με τη διάμετρό του.

Οι ακόλουθοι τύποι χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του μήκους της διαγωνίου:

• Χρησιμοποιώντας το μήκος και το πλάτος του σχήματος: d = √ (a ² + b ²).
• Χρησιμοποιώντας την ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τετράπλευρο: d = 2 R.

Ορισμός και ιδιότητες τετραγώνου

Ένα τετράγωνο είναι μια ειδική περίπτωση ρόμβου, παραλληλογράμμου ή ορθογωνίου. Η διαφορά του από αυτά τα σχήματα είναι ότι όλες οι γωνίες του είναι ορθές και και οι τέσσερις πλευρές είναι ίσες. Ένα τετράγωνο είναι ένα κανονικό τετράπλευρο.

Ένα τετράπλευρο ονομάζεται τετράγωνο στις ακόλουθες περιπτώσεις:

1. Αν είναι παραλληλόγραμμο του οποίου το μήκος a και το πλάτος b είναι ίσα.
2. Αν είναι ρόμβος με ίσες διαγώνιες μήκους και τέσσερις ορθές γωνίες.

Οι ιδιότητες ενός τετραγώνου περιλαμβάνουν όλες τις ιδιότητες που αναφέρθηκαν προηγουμένως που σχετίζονται με ένα ορθογώνιο, καθώς και τα ακόλουθα:

1. Οι διαγώνιοι είναι κάθετες μεταξύ τους (ιδιότητα ρόμβου).
2. Το σημείο τομής συμπίπτει με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.
3. Και οι δύο διαγώνιοι χωρίζουν το τετράπλευρο σε τέσσερα όμοια ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα.

Ακολουθούν μερικοί τύποι που χρησιμοποιούνται συχνά για Υπολογισμός της περιμέτρου, του εμβαδού και των στοιχείων ενός τετραγώνου:

• Διαγώνιος d = a √2.
• Περίμετρος P = 4 α.
• Περιοχή S = a².
• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι η μισή της διαγωνίου: R = 0,5 a √2.
• Η ακτίνα ενός εγγεγραμμένου κύκλου ορίζεται ως το μισό του μήκους της πλευράς: r = a / 2.

Δείγματα ερωτήσεων και εργασιών

Ας αναλύσουμε μερικές από τις ερωτήσεις που μπορεί να συναντήσετε όταν μελετάτε τα μαθηματικά στο σχολείο και ας λύσουμε μερικά απλά προβλήματα.

Εργασία 1. Πώς θα αλλάξει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου αν το μήκος των πλευρών του τριπλασιαστεί;

Λύση : Ας υποδηλώσουμε την περιοχή του αρχικού σχήματος ως S0 και την περιοχή του τετράπλευρου με τριπλάσιο μήκος των πλευρών - S1. Σύμφωνα με τον τύπο που εξετάστηκε προηγουμένως, λαμβάνουμε: S0 = ab. Τώρα ας αυξήσουμε το μήκος και το πλάτος κατά 3 φορές και ας γράψουμε: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Συγκρίνοντας τα S0 και S1, γίνεται προφανές ότι η δεύτερη περιοχή είναι 9 φορές μεγαλύτερη από την πρώτη.

Ερώτηση 1. Ένα τετράπλευρο με ορθές γωνίες είναι τετράγωνο;

Λύση : Από τον ορισμό προκύπτει ότι ένα σχήμα με ορθές γωνίες είναι τετράγωνο μόνο αν τα μήκη όλων των πλευρών του είναι ίσα. Διαφορετικά, το σχήμα είναι ένα ορθογώνιο.

Εργασία 2. Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου σχηματίζουν γωνία 60 μοιρών. Το πλάτος του ορθογωνίου είναι 8. Υπολογίστε πόση είναι η διαγώνιος.

Λύση:Θυμηθείτε ότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται από το σημείο τομής. Έτσι, έχουμε να κάνουμε με ένα ισοσκελές τρίγωνο με γωνία στην κορυφή ίση με 60°. Δεδομένου ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οι γωνίες στη βάση θα είναι επίσης ίδιες. Με απλούς υπολογισμούς, παίρνουμε ότι καθένα από αυτά είναι ίσο με 60 °. Από αυτό προκύπτει ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Το πλάτος που γνωρίζουμε είναι η βάση του τριγώνου, επομένως η μισή διαγώνιος είναι επίσης 8, και το μήκος ολόκληρης της διαγωνίου είναι διπλάσιο από αυτό και ίσο με 16.

Ερώτηση 2. Ένα ορθογώνιο έχει όλες τις πλευρές ίσες ή όχι;

Λύση : Αρκεί να θυμηθούμε ότι όλες οι πλευρές πρέπει να είναι ίσες για ένα τετράγωνο, το οποίο είναι μια ειδική περίπτωση ενός ορθογωνίου. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, επαρκής προϋπόθεση είναι η παρουσία τουλάχιστον 3 ορθών γωνιών. Η ισότητα των μερών δεν είναι υποχρεωτικό χαρακτηριστικό.

Εργασία 3. Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι γνωστό και ίσο με 289. Βρείτε τις ακτίνες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων.

Λύση : Σύμφωνα με τους τύπους για το τετράγωνο, θα κάνουμε τους ακόλουθους υπολογισμούς:

• Ας προσδιορίσουμε με τι ισούνται τα κύρια στοιχεία του τετραγώνου: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Ας υπολογίσουμε ποια είναι η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τετράπλευρο: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Ας βρούμε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Ορισμός.Παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Ιδιοκτησία.Σε ένα παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.

Ιδιοκτησία.Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται από το σημείο τομής.

1 πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν δύο πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες και παράλληλες, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

2 πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν οι απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες σε ζεύγη, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

3 πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιοι τέμνονται και το σημείο τομής διχοτομείται, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Ορισμός.Ένα τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο στο οποίο δύο πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο πλευρές δεν είναι παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές ονομάζονται λόγους.

Το τραπεζοειδές λέγεται ισοσκελές (ισοσκελές)αν οι πλευρές του είναι ίσες. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι γωνίες στις βάσεις είναι ίσες.

ορθογώνιος.

μέση γραμμή του τραπεζίου. Η μεσαία γραμμή είναι παράλληλη με τις βάσεις και ίση με το μισό άθροισμά τους.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Ορισμός.

Ιδιοκτησία.Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ίσες.

Ορθογώνιο σημάδι.Αν οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο.

Ορισμός.

Ιδιοκτησία.Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι μεταξύ τους κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του.

Ορισμός.

Ένα τετράγωνο είναι ένα συγκεκριμένο είδος ορθογωνίου, καθώς και ένα συγκεκριμένο είδος ρόμβου. Επομένως, έχει όλες τις ιδιότητές τους.

Ιδιότητες:
1. Όλες οι γωνίες του τετραγώνου είναι σωστές

Τετραγωνικά όλους τους κανόνες

Λέξεις-κλειδιά:
τετράπλευρο, κυρτό, άθροισμα γωνιών, εμβαδόν τετράπλευρου

τετράπλευροονομάζεται ένα σχήμα, το οποίο αποτελείται από τέσσερα σημεία και τέσσερα τμήματα που τα συνδέουν σε σειρά. Σε αυτήν την περίπτωση, κανένα από αυτά τα σημεία δεν πρέπει να βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή και τα τμήματα που τα συνδέουν δεν πρέπει να τέμνονται.

• Οι κορυφές του τετράπλευρου λέγονται γειτονικός αν είναι τα άκρα μιας από τις πλευρές του.
• Κορυφές που δεν είναι γειτονικές , που ονομάζεται απεναντι απο .
• Τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τις απέναντι κορυφές ενός τετράπλευρου ονομάζονται διαγώνιους .
• Οι πλευρές ενός τετράπλευρου που προέρχονται από την ίδια κορυφή ονομάζονται γειτονικός κόμματα.
• Οι πλευρές που δεν έχουν κοινό τέλος ονομάζονται απεναντι απο κόμματα.
• Το τετράπλευρο λέγεται κυρτός , εάν βρίσκεται σε ένα ημιεπίπεδο σε σχέση με την ευθεία που περιέχει οποιαδήποτε από τις πλευρές του.

Τύποι τετράπλευρων

1. Παραλληλόγραμμο Τετράπλευρο με αντίθετες πλευρές παράλληλες
   • Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις ορθές γωνίες
   • Ρόμβος - ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες
   • τετράγωνο - ένα ορθογώνιο με όλες τις πλευρές ίσες
2. Τραπέζιο - ένα τετράπλευρο στο οποίο δύο πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο πλευρές δεν είναι παράλληλες
3. Δελτοειδής Ένα τετράπλευρο του οποίου τα δύο ζεύγη γειτονικών πλευρών είναι ίσα

Τετράγωνα

τετράπλευροονομάζεται ένα σχήμα, το οποίο αποτελείται από τέσσερα σημεία και τέσσερα τμήματα που τα συνδέουν σε σειρά. Σε αυτήν την περίπτωση, κανένα από αυτά τα σημεία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τα τμήματα που τα συνδέουν δεν τέμνονται.

απεναντι απο. απεναντι απο.

Τύποι τετράπλευρων

Παραλληλόγραμμο

Παραλληλόγραμμοονομάζεται τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Ιδιότητες παραλληλογράμμου

• οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
• οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
• το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών:

Χαρακτηριστικά παραλληλογράμμου

ΤραπέζιοΛέγεται ένα τετράπλευρο, στο οποίο δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο δεν είναι παράλληλες.

Οι παράλληλες πλευρές ενός τραπεζοειδούς ονομάζονται του λόγουςκαι οι μη παράλληλες πλευρές πλευρές.Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών ονομάζεται ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑ.

Το τραπεζοειδές λέγεται ισοσκελής(ή ισοσκελής) αν οι πλευρές του είναι ίσες.

Ένα τραπέζιο με μία ορθή γωνία ονομάζεται ορθογώνιος.

Ιδιότητες τραπεζοειδούς

Σημάδια τραπεζοειδούς

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμοΠαραλληλόγραμμο ονομάζεται αν όλες οι γωνίες είναι ορθές.

Ιδιότητες ορθογωνίου

Χαρακτηριστικά ορθογωνίου

Ένα παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο αν:

1. Μια από τις γωνιές του είναι σωστή.
2. Οι διαγώνιοι του είναι ίσες.

ΡόμβοςΠαραλληλόγραμμο ονομάζεται αν όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Ιδιότητες Ρόμβου

• όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου.
• οι διαγώνιοι είναι κάθετες.

Σημάδια ενός ρόμβου

τετράγωνοΟνομάζεται ένα ορθογώνιο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Τετράγωνα ακίνητα

• Όλες οι γωνίες της πλατείας είναι σωστές.
• οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες, αμοιβαία κάθετες, το σημείο τομής διαιρείται στο μισό και οι γωνίες του τετραγώνου χωρίζονται στο μισό.

Τετράγωνες πινακίδες

Βασικές φόρμουλες

S=d 1 ρε 2 αμαρτία

Παραλληλόγραμμο
ένακαι σι-παρακείμενα κόμματα? - η γωνία μεταξύ τους? η α -ύψος σε πλευρά ένα.

S = αβ αμαρτία

S=d 1 ρε 2 αμαρτία

Τραπέζιο
ένακαι σι- λόγοι h-την απόσταση μεταξύ τους· μεγάλο-ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑ .

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

S=d 1 ρε 2 αμαρτία

S = a 2 αμαρτία

S=d 1 ρε 2

τετράγωνο
ρε- διαγώνιος.

www.univer.omsk.su

Ιδιότητες τετράπλευρων. Τύποι τετράπλευρων. Ιδιότητες αυθαίρετων τετράπλευρων. Ιδιότητες παραλληλογράμμου. Ιδιότητες ρόμβου. Ιδιότητες ορθογωνίου. Τετράγωνα ακίνητα. τραπεζοειδείς ιδιότητες. Περίπου 7-9 τάξη (13-15 ετών)

Ιδιότητες τετράπλευρων. Τύποι τετράπλευρων. Ιδιότητες αυθαίρετων τετράπλευρων.
Ιδιότητες παραλληλογράμμου. Ιδιότητες ρόμβου. Ιδιότητες ορθογωνίου. Τετράγωνα ακίνητα. τραπεζοειδείς ιδιότητες.

Τύποι τετράπλευρων:

• Παραλληλόγραμμοείναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες

• Ρόμβοςείναι ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες.

• Ορθογώνιο παραλληλόγραμμοείναι ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις ορθές γωνίες.

• τετράγωνοείναι ένα ορθογώνιο με όλες τις πλευρές ίσες.

Ιδιότητες αυθαίρετων τετράπλευρων:

Ιδιότητες παραλληλογράμμου:

Ιδιότητες ρόμβου:

Ιδιότητες ορθογωνίου:

Τετράγωνες ιδιότητες:

Ιδιότητες τραπεζιού:

Συμβουλευτική και τεχνική
υποστήριξη τοποθεσίας: Zavarka Team

Τετραγωνικά όλους τους κανόνες

Μη Ευκλείδεια γεωμετρία, γεωμετρία παρόμοια με τη γεωμετρία Ευκλείδηςστο ότι ορίζει την κίνηση των σχημάτων, αλλά διαφέρει από την Ευκλείδεια γεωμετρία στο ότι ένα από τα πέντε αξιώματά του (δεύτερο ή πέμπτο) αντικαθίσταται από την άρνησή του. Η άρνηση ενός από τα ευκλείδεια αξιώματα (1825) ήταν ένα σημαντικό γεγονός στην ιστορία της σκέψης, γιατί χρησίμευσε ως το πρώτο βήμα προς Θεωρία της σχετικότητας.

Το δεύτερο αξίωμα του Ευκλείδη δηλώνει ότι οποιοδήποτε τμήμα γραμμής μπορεί να επεκταθεί επ' αόριστον. Ο Ευκλείδης προφανώς πίστευε ότι αυτό το αξίωμα περιείχε επίσης τη δήλωση ότι η ευθεία έχει άπειρο μήκος. Ωστόσο στην «ελλειπτική» γεωμετρία κάθε ευθεία είναι πεπερασμένη και, όπως ένας κύκλος, είναι κλειστή.

Το πέμπτο αξίωμα δηλώνει ότι εάν μια ευθεία τέμνει δύο δεδομένες ευθείες έτσι ώστε οι δύο εσωτερικές γωνίες στη μία πλευρά της να είναι μικρότερες από δύο ορθές άθροισμα, τότε αυτές οι δύο ευθείες, εάν επεκταθούν απεριόριστα, θα τέμνονται στην πλευρά όπου το άθροισμα αυτές οι γωνίες είναι μικρότερες από το άθροισμα δύο ευθειών. Αλλά στην «υπερβολική» γεωμετρία, μπορεί να υπάρχει μια ευθεία CB (βλ. Εικ.), Κάθετη στο σημείο C σε μια δεδομένη ευθεία r και να τέμνει μια άλλη ευθεία s σε οξεία γωνία στο σημείο Β, αλλά, ωστόσο, οι άπειρες ευθείες r και s δεν θα διασταυρωθούν ποτέ.

Από αυτά τα αναθεωρημένα αξιώματα προέκυψε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, ίσο με 180° στην Ευκλείδεια γεωμετρία, είναι μεγαλύτερο από 180° στην ελλειπτική γεωμετρία και μικρότερο από 180° στην υπερβολική γεωμετρία.

Τετράπλευρο

Τετράπλευροείναι ένα πολύγωνο που περιέχει τέσσερις κορυφές και τέσσερις πλευρές.

Τετράπλευρο, ένα γεωμετρικό σχήμα - ένα πολύγωνο με τέσσερις γωνίες, καθώς και οποιοδήποτε αντικείμενο, μια συσκευή αυτής της μορφής.

Δύο μη γειτονικές πλευρές ενός τετράπλευρου ονομάζονται απεναντι απο.Καλούνται επίσης δύο κορυφές που δεν είναι γειτονικές απεναντι απο.

Τα τετράγωνα είναι κυρτά (όπως το ABCD) και
μη κυρτό (A 1 B 1 C 1 D 1).

Τύποι τετράπλευρων

• Παραλληλόγραμμο- ένα τετράπλευρο στο οποίο όλες οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.
• Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο- ένα τετράπλευρο με όλες τις ορθές γωνίες.
• Ρόμβος- ένα τετράπλευρο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες.
• τετράγωνο- ένα τετράπλευρο στο οποίο όλες οι γωνίες είναι ορθές και όλες οι πλευρές ίσες.
• Τραπέζιο- ένα τετράπλευρο με δύο αντίθετες πλευρές παράλληλες.
• ΔελτοειδήςΈνα τετράπλευρο του οποίου τα δύο ζεύγη γειτονικών πλευρών είναι ίσα.

Παραλληλόγραμμο

Παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Παραλληλόγραμμο (από το ελληνικό παράλληλος - παράλληλος και γραμμάριο - ευθεία) δηλ. βρίσκεται σε παράλληλες ευθείες. Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου είναι ένα ορθογώνιο, ένα τετράγωνο και ένας ρόμβος.

• οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
• οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
• οι διαγώνιες του σημείου τομής χωρίζονται στο μισό.
• το άθροισμα των γωνιών που γειτνιάζουν με τη μία πλευρά είναι 180°.
• το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών.

Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν:

1. Οι δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες.
2. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες σε ζευγάρια.
3. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες σε ζεύγη.
4. Οι διαγώνιοι του σημείου τομής χωρίζονται στο μισό.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Ένα ορθογώνιο είναι ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις ορθές γωνίες.

• οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
• οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
• οι διαγώνιες του σημείου τομής χωρίζονται στο μισό.
• το άθροισμα των γωνιών που γειτνιάζουν με τη μία πλευρά είναι 180°.
• οι διαγώνιοι είναι ίσες.

Ένα παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο αν:

1. Μια από τις γωνιές του είναι σωστή.
2. Οι διαγώνιοι του είναι ίσες.

Ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες.

• οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
• οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
• οι διαγώνιες του σημείου τομής χωρίζονται στο μισό.
• το άθροισμα των γωνιών που γειτνιάζουν με τη μία πλευρά είναι 180°.
• το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών.
• οι διαγώνιοι είναι κάθετες.
• οι διαγώνιοι είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του.

Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν:

1. Οι δύο διπλανές πλευρές του είναι ίσες.
2. Οι διαγώνιες του είναι κάθετες.
3. Μία από τις διαγώνιους είναι η διχοτόμος της γωνίας του.

Ένα τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες.

• Όλες οι γωνίες της πλατείας είναι σωστές.
• οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες, αμοιβαία κάθετες, το σημείο τομής διαιρείται στο μισό και οι γωνίες του τετραγώνου χωρίζονται στο μισό.

1. Ένα ορθογώνιο είναι τετράγωνο αν έχει κάποιο χαρακτηριστικό ρόμβου.

Ένα τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο στο οποίο δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο δεν είναι παράλληλες.

Οι παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίου ονομάζονται βάσεις του και οι μη παράλληλες πλευρές του. Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών ονομάζεται μέση γραμμή.

Ένα τραπέζιο ονομάζεται ισοσκελές (ή ισοσκελές) αν οι πλευρές του είναι ίσες.

Ένα τραπέζιο με μία ορθή γωνία ονομάζεται ορθογώνιο τραπέζιο.

• Η μεσαία γραμμή του είναι παράλληλη με τις βάσεις και ίση με το μισό άθροισμά τους.
• αν το τραπεζοειδές είναι ισοσκελές, τότε οι διαγώνιες του είναι ίσες και οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
• αν το τραπεζοειδές είναι ισοσκελές, τότε μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω του.
• αν το άθροισμα των βάσεων είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρών, τότε μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος σε αυτόν.

1. Ένα τετράπλευρο είναι τραπεζοειδές αν οι παράλληλες πλευρές του δεν είναι ίσες

ΔελτοειδήςΈνα τετράπλευρο με δύο ζεύγη πλευρών του ίδιου μήκους. Σε αντίθεση με ένα παραλληλόγραμμο, δύο ζεύγη γειτονικών πλευρών δεν είναι ίσα, αλλά δύο ζεύγη γειτονικών πλευρών. Ο δελτοειδής έχει σχήμα χαρταετού.

• Οι γωνίες μεταξύ πλευρών άνισου μήκους είναι ίσες.
• Οι διαγώνιοι του δελτοειδούς (ή οι προεκτάσεις τους) τέμνονται σε ορθή γωνία.
• Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε κυρτό δελτοειδή, εκτός από αυτό, εάν ο δελτοειδής δεν είναι ρόμβος, τότε υπάρχει ένας άλλος κύκλος που εφάπτεται στις προεκτάσεις και των τεσσάρων πλευρών. Για έναν μη κυρτό δελτοειδή, μπορεί κανείς να κατασκευάσει έναν κύκλο εφαπτόμενο σε δύο μεγαλύτερες πλευρές και προεκτάσεις δύο μικρότερων πλευρών και έναν κύκλο εφαπτομενικό σε δύο μικρότερες πλευρές και προεκτάσεις δύο μεγαλύτερων πλευρών.

• Εάν η γωνία μεταξύ των άνισων πλευρών του δελτοειδούς είναι ευθεία γραμμή, τότε μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος σε αυτήν (ο περιγραφόμενος δελτοειδής).
• Εάν ένα ζεύγος απέναντι πλευρών ενός δελτοειδή είναι ίσο, τότε ένας τέτοιος δελτοειδής είναι ένας ρόμβος.
• Αν ένα ζεύγος απέναντι πλευρών και οι δύο διαγώνιοι ενός δελτοειδούς είναι ίσες, τότε το δελτοειδή είναι τετράγωνο. Ένα εγγεγραμμένο δελτοειδή με ίσες διαγώνιες είναι επίσης τετράγωνο.

Η εμφάνιση της γεωμετρίας χρονολογείται από την αρχαιότητα και οφειλόταν στις πρακτικές ανάγκες της ανθρώπινης δραστηριότητας (την ανάγκη μέτρησης της γης, μέτρησης των όγκων διαφόρων σωμάτων κ.λπ.).

Οι απλούστερες γεωμετρικές πληροφορίες και έννοιες ήταν γνωστές στην αρχαία Αίγυπτο. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, οι γεωμετρικές δηλώσεις διατυπώθηκαν με τη μορφή κανόνων που δίδονταν χωρίς απόδειξη.

Από τον 7ο αιώνα π.Χ μι. έως τον 1ο αιώνα μ.Χ μι. η γεωμετρία ως επιστήμη αναπτύχθηκε ραγδαία στην αρχαία Ελλάδα. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, έγινε όχι μόνο η συσσώρευση διαφόρων γεωμετρικών πληροφοριών, αλλά και η μεθοδολογία για την απόδειξη γεωμετρικών δηλώσεων και έγιναν οι πρώτες προσπάθειες να διατυπωθούν οι βασικές πρωταρχικές διατάξεις (αξιώματα) της γεωμετρίας, από τις οποίες πολλά διαφορετικά γεωμετρικά Οι δηλώσεις προέρχονται από καθαρά λογικούς συλλογισμούς. Το επίπεδο ανάπτυξης της γεωμετρίας στην αρχαία Ελλάδα αποτυπώνεται στο έργο των «Αρχών» του Ευκλείδη.

Στο βιβλίο αυτό, για πρώτη φορά, επιχειρήθηκε να δοθεί μια συστηματική κατασκευή της επιπεδομετρίας με βάση βασικές απροσδιόριστες γεωμετρικές έννοιες και αξιώματα (postulates).

Ξεχωριστή θέση στην ιστορία των μαθηματικών κατέχει το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη (το αξίωμα των παράλληλων ευθειών). Για πολύ καιρό, οι μαθηματικοί προσπάθησαν ανεπιτυχώς να αντλήσουν το πέμπτο αξίωμα από τα υπόλοιπα αξιώματα του Ευκλείδη και μόνο στα μέσα του 19ου αιώνα, χάρη στις μελέτες των N. I. Lobachevsky, B. Riemann και J. Boyai, κατέστη σαφές ότι το πέμπτο αξίωμα δεν μπορεί να προέλθει από τα υπόλοιπα, και το σύστημα των αξιωμάτων που προτείνει ο Ευκλείδης δεν είναι το μόνο δυνατό.

Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη είχαν τεράστιο αντίκτυπο στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια, αυτό το βιβλίο δεν ήταν μόνο ένα εγχειρίδιο για τη γεωμετρία, αλλά χρησίμευσε επίσης ως αφετηρία για πολλές μαθηματικές μελέτες, ως αποτέλεσμα των οποίων προέκυψαν νέοι ανεξάρτητοι κλάδοι των μαθηματικών.

Η συστηματική κατασκευή της γεωμετρίας πραγματοποιείται συνήθως σύμφωνα με το ακόλουθο σχέδιο:

ΕΓΩ.Παρατίθενται οι κύριες γεωμετρικές έννοιες, οι οποίες εισάγονται χωρίς ορισμούς.

II.Δίνεται μια διατύπωση των αξιωμάτων της γεωμετρίας.

III.Με βάση αξιώματα και βασικές γεωμετρικές έννοιες διατυπώνονται άλλες γεωμετρικές έννοιες και θεωρήματα.

1. Προέλευση του ονόματος Μη Ευκλείδεια γεωμετρία;
2. Ποια σχήματα ονομάζονται τετράπλευρα;
3. Ιδιότητες παραλληλογράμμου;
4. Τύποι τετράπλευρων;

Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν

1. Ο Α.Γ. Tsypkin. Εγχειρίδιο Μαθηματικών
2. «Ενιαία κρατική εξέταση 2006. Μαθηματικά. Εκπαιδευτικό και εκπαιδευτικό υλικό για την προετοιμασία των μαθητών / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Επίλυση των κύριων αγωνιστικών προβλημάτων στα μαθηματικά της συλλογής που επιμελήθηκε ο M. I. Scanavi"

Εργασία στο μάθημα

Μπορείτε να θέσετε μια ερώτηση σχετικά με τη σύγχρονη εκπαίδευση, να εκφράσετε μια ιδέα ή να λύσετε ένα επείγον πρόβλημα στο Εκπαιδευτικό Φόρουμόπου συνεδριάζει διεθνώς ένα εκπαιδευτικό συμβούλιο φρέσκιας σκέψης και δράσης. Έχοντας δημιουργήσει blog,Δεν θα βελτιώσετε μόνο την κατάστασή σας ως ικανός δάσκαλος, αλλά και θα συμβάλετε σημαντικά στην ανάπτυξη του σχολείου του μέλλοντος. Εκπαίδευση Ηγετών Guildανοίγει την πόρτα σε κορυφαίους ειδικούς και σας προσκαλεί να συνεργαστείτε προς την κατεύθυνση της δημιουργίας των καλύτερων σχολείων στον κόσμο.

Δημοφιλής:

• Άρθρο 282. Υποκίνηση μίσους ή εχθρότητας, καθώς και ταπείνωση της ανθρώπινης αξιοπρέπειας
• Υπολογιστής εταιρικού φόρου ακίνητης περιουσίας Τρόπος υπολογισμού του φόρου εταιρικής περιουσίας Η φόρμα υπολογισμού για τις προκαταβολές έχει αλλάξει. Ξεκινώντας με την αναφορά για το πρώτο εξάμηνο του 2017, ο υπολογισμός του φόρου εταιρικής ιδιοκτησίας […]
• Νόμοι της οικολογίας Για περισσότερα από 100 χρόνια ολοκληρωμένης μελέτης πληθυσμών και κοινοτήτων, έχει συσσωρευτεί τεράστιος όγκος δεδομένων. Μεταξύ αυτών - ένας μεγάλος αριθμός, που αντικατοπτρίζει τυχαία ή ακανόνιστα φαινόμενα και διαδικασίες. Αλλά όχι […]
• Επιλογές για παροχή συντάξεων στο υποχρεωτικό σύστημα συνταξιοδοτικής ασφάλισης Μέχρι το τέλος του 2015, οι πολίτες που γεννήθηκαν το 1967 και νεότεροι μπορούσαν να επιλέξουν: να συνεχίσουν να σχηματίζουν συνταξιοδοτικές αποταμιεύσεις ή […]
• Διάταγμα του Υπουργείου Γεωργίας 549 Εγγεγραμμένο στο Υπουργείο Δικαιοσύνης της Ρωσικής Ομοσπονδίας στις 5 Μαρτίου 2009 N 13476 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ με ημερομηνία 16 Δεκεμβρίου 2008 N 532 ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΕΓΚΡΙΣΗΣ ΤΗΣ Κ.Α. ΔΑΣΗ ΚΑΙ […]
• Αύξηση των συντάξεων των παιδιών με αναπηρία από την 1η Ιανουαρίου 2018 Η συνταξιοδοτική παροχή των πολιτών είναι υποχρέωση του κράτους. Αυτό αναφέρεται στον κώδικα νόμων της χώρας - στο Σύνταγμα. Μεταξύ των αναπήρων που χρειάζονται […]
• Κανόνας εσωτερικής παραγγελίας της JSC RZD JSC «ΡΩΣΙΚΩΝ ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΩΝ» ΔΙΑΤΑΓΗ της 26ης Ιουλίου 2012 N 87 ΠΕΡΙ ΕΓΚΡΙΣΗΣ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ (ΤΜΗΜΑ) ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ […]
• Ο νόμος των 3 σταδίων του comte Ο Θετικισμός ως φιλοσοφικό κίνημα προέρχεται από την αντίληψη ότι το μεγαλύτερο μέρος της γνώσης για τον κόσμο, τον άνθρωπο και την κοινωνία αποκτάται σε ειδικές επιστήμες, ότι η «θετική» επιστήμη πρέπει να εγκαταλείψει τις προσπάθειες […]

Σήμερα θα εξετάσουμε ένα γεωμετρικό σχήμα - ένα τετράπλευρο. Από το όνομα αυτής της φιγούρας γίνεται ήδη σαφές ότι αυτή η φιγούρα έχει τέσσερις γωνίες. Αλλά τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά και ιδιότητες αυτού του σχήματος, θα εξετάσουμε παρακάτω.

Τι είναι τετράπλευρο

Ένα τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο που αποτελείται από τέσσερα σημεία (κορυφές) και τέσσερα τμήματα (πλευρές) που συνδέουν αυτά τα σημεία σε ζεύγη. Το εμβαδόν ενός τετράπλευρου είναι το μισό του γινόμενου των διαγωνίων του και της μεταξύ τους γωνίας.

Ένα τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο με τέσσερις κορυφές, τρεις από τις οποίες δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Τύποι τετράπλευρων

• Ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες ονομάζεται παραλληλόγραμμο.
• Ένα τετράπλευρο στο οποίο δύο αντίθετες πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο όχι ονομάζεται τραπεζοειδές.
• Ένα τετράπλευρο με όλες τις ορθές γωνίες είναι ορθογώνιο.
• Ένα τετράπλευρο με όλες τις πλευρές ίσες είναι ρόμβος.
• Ένα τετράπλευρο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και όλες οι γωνίες ορθές ονομάζεται τετράγωνο.

Το τετράπλευρο μπορεί να είναι:

αυτοδιασταυρούμενος

μη κυρτό

κυρτός

Αυτοτεμνόμενο τετράπλευροείναι ένα τετράπλευρο στο οποίο οποιαδήποτε πλευρά του έχει σημείο τομής (με μπλε στο σχήμα).

Μη κυρτό τετράπλευροείναι ένα τετράπλευρο στο οποίο μία από τις εσωτερικές γωνίες είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες (υποδεικνύεται με πορτοκαλί χρώμα στο σχήμα).

Άθροισμα γωνιώνκάθε τετράπλευρο που δεν αυτοτεμνεται πάντα ισούται με 360 μοίρες.

Ειδικοί τύποι τετράπλευρων

Τα τετράγωνα μπορούν να έχουν πρόσθετες ιδιότητες, σχηματίζοντας ειδικούς τύπους γεωμετρικών σχημάτων:

• Παραλληλόγραμμο
• Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
• τετράγωνο
• Τραπέζιο
• Δελτοειδής
• Αντιπαραλληλόγραμμο

Τετράπλευρο και κύκλος

Ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο γύρω από έναν κύκλο (ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα τετράπλευρο).

Η κύρια ιδιότητα του περιγεγραμμένου τετράπλευρου:

Ένα τετράπλευρο μπορεί να περιγραφεί γύρω από έναν κύκλο εάν και μόνο αν τα αθροίσματα των μηκών των απέναντι πλευρών είναι ίσα.

Τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο (κύκλος εγγεγραμμένος γύρω από τετράπλευρο)

Κύρια ιδιότητα εγγεγραμμένου τετράπλευρου:

Ένα τετράπλευρο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο εάν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180 μοίρες.

Ιδιότητες μήκους τετράπλευρης πλευράς

Συντελεστής διαφοράς οποιωνδήποτε δύο πλευρών ενός τετράπλευρουδεν υπερβαίνει το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών του.

|α - β| ≤ c + d

|α - γ| ≤ β + δ

|α - δ| ≤ b + c

|β - γ| ≤ a + d

|β - δ| ≤ a + b

|γ - δ| ≤ a + b

Σπουδαίος. Η ανισότητα ισχύει για οποιονδήποτε συνδυασμό πλευρών ενός τετράπλευρου. Το σχήμα παρέχεται αποκλειστικά για ευκολία κατανόησης.

Σε οποιοδήποτε τετράπλευρο το άθροισμα των μηκών των τριών πλευρών του δεν είναι μικρότερο από το μήκος της τέταρτης πλευράς.

Σπουδαίος. Κατά την επίλυση προβλημάτων εντός του σχολικού προγράμματος σπουδών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια αυστηρή ανισότητα (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Ορισμός.Παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Ιδιοκτησία.Σε ένα παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.

Ιδιοκτησία.Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται από το σημείο τομής.

1 πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν δύο πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες και παράλληλες, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

2 πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν οι απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες σε ζεύγη, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

3 πρόσημο παραλληλογράμμου.Αν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιοι τέμνονται και το σημείο τομής διχοτομείται, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Ορισμός.Ένα τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο στο οποίο δύο πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο πλευρές δεν είναι παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές ονομάζονται λόγους.

Το τραπεζοειδές λέγεται ισοσκελές (ισοσκελές)αν οι πλευρές του είναι ίσες. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι γωνίες στις βάσεις είναι ίσες.

Ένα τραπέζιο με μία ορθή γωνία ονομάζεται ορθογώνιος.

Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών ονομάζεται μέση γραμμή του τραπεζίου. Η μεσαία γραμμή είναι παράλληλη με τις βάσεις και ίση με το μισό άθροισμά τους.

Ορισμός.Ένα ορθογώνιο είναι ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις ορθές γωνίες.

Ιδιοκτησία.Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ίσες.

Ορθογώνιο σημάδι.Αν οι διαγώνιοι σε ένα παραλληλόγραμμο είναι ίσες, τότε αυτό το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο.

Ορισμός.Ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Ιδιοκτησία.Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι μεταξύ τους κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του.

Ορισμός.Ένα τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Ένα τετράγωνο είναι ένα συγκεκριμένο είδος ορθογωνίου, καθώς και ένα συγκεκριμένο είδος ρόμβου. Επομένως, έχει όλες τις ιδιότητές τους.

Ιδιότητες:
1. Όλες οι γωνίες του τετραγώνου είναι σωστές

2. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες, μεταξύ τους κάθετες, το σημείο τομής διαιρείται στο μισό και οι γωνίες του τετραγώνου χωρίζονται στη μέση.

Με τέσσερις γωνίες και τέσσερις πλευρές. Ένα τετράπλευρο σχηματίζεται από μια κλειστή πολύγραμμη, που αποτελείται από τέσσερις συνδέσμους, και από εκείνο το τμήμα του επιπέδου που βρίσκεται μέσα στην πολύγραμμη.

Ο προσδιορισμός ενός τετράπλευρου αποτελείται από τα γράμματα στις κορυφές του, ονομάζοντας τα με τη σειρά. Για παράδειγμα, λένε ή γράφουν: τετράπλευρο Α Β Γ Δ :

Σε τετράπλευρο Α Β Γ Δσημεία ΕΝΑ, σι, ντοκαι ρε- αυτό είναι τετράπλευρες κορυφές, τμήματα ΑΒ, προ ΧΡΙΣΤΟΥ, CDκαι DA - πλευρές.

Οι κορυφές που ανήκουν στην ίδια πλευρά ονομάζονται γειτονικός, λέγονται κορυφές που δεν είναι γειτονικές απεναντι απο:

Σε τετράπλευρο Α Β Γ Δκορυφές ΕΝΑκαι σι, σικαι ντο, ντοκαι ρε, ρεκαι ΕΝΑείναι γειτονικά, και οι κορυφές ΕΝΑκαι ντο, σικαι ρε- απεναντι απο. Οι γωνίες που βρίσκονται σε γειτονικές κορυφές ονομάζονται επίσης γειτονικές και σε αντίθετες κορυφές - αντίθετες.

Οι πλευρές ενός τετράπλευρου μπορούν επίσης να χωριστούν σε ζεύγη σε γειτονικές και απέναντι πλευρές: οι πλευρές που έχουν κοινή κορυφή ονομάζονται γειτονικός(ή σχετίζεται με), πλευρές που δεν έχουν κοινές κορυφές - απεναντι απο:

Κόμματα ΑΒκαι προ ΧΡΙΣΤΟΥ, προ ΧΡΙΣΤΟΥκαι CD, CDκαι DA, DAκαι ΑΒείναι διπλανά, και τα πλαϊνά ΑΒκαι DC, ΕΝΑ Δκαι προ ΧΡΙΣΤΟΥ- απεναντι απο.

Εάν οι αντίθετες κορυφές συνδέονται με ένα τμήμα, τότε ένα τέτοιο τμήμα θα κληθεί η διαγώνιος του τετράπλευρου. Λαμβάνοντας υπόψη ότι υπάρχουν μόνο δύο ζεύγη απέναντι κορυφών στο τετράπλευρο, τότε μπορούν να υπάρχουν μόνο δύο διαγώνιοι:

Τμήματα ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκαι BD- διαγώνιες.

Εξετάστε τους κύριους τύπους κυρτών τετράπλευρων:

• Τραπέζιο- ένα τετράπλευρο στο οποίο ένα ζεύγος απέναντι πλευρών είναι παράλληλες μεταξύ τους και το άλλο ζεύγος δεν είναι παράλληλο.
  • Ισοσκελές τραπεζοειδές- τραπεζοειδές του οποίου οι πλευρές είναι ίσες.
  • Ορθογώνιο τραπεζοειδέςΈνα τραπεζοειδές με μία από τις ορθές γωνίες.
• ΠαραλληλόγραμμοΈνα τετράπλευρο στο οποίο και τα δύο ζεύγη απέναντι πλευρών είναι παράλληλα μεταξύ τους.
  • Ορθογώνιο παραλληλόγραμμοΠαραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι γωνίες είναι ίσες.
  • ΡόμβοςΠαραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες.
  • τετράγωνοΠαραλληλόγραμμο με ίσες πλευρές και γωνίες. Τόσο ένα ορθογώνιο όσο και ένας ρόμβος μπορεί να είναι τετράγωνο.

Γωνιακές ιδιότητες κυρτών τετράπλευρων

Όλα τα κυρτά τετράπλευρα έχουν τις ακόλουθες δύο ιδιότητες:

1. Οποιαδήποτε εσωτερική γωνία μικρότερη από 180°.
2. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 360°.