Η αριθμητική ακολουθία είναι αριθμητική και γεωμετρική. Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους

Αν για κάθε φυσικό αριθμό n ταιριάζει με έναν πραγματικό αριθμό a n , τότε λένε ότι δίνεται σειρά αριθμών :

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n , . . . .

Άρα, η αριθμητική ακολουθία είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος.

Αριθμός ένα 1 που ονομάζεται πρώτο μέλος της ακολουθίας , αριθμός ένα 2 — δεύτερος όρος της ακολουθίας , αριθμός ένα 3 — τρίτος και ούτω καθεξής. Αριθμός a n που ονομάζεται ντο μέλος της ακολουθίας και ένας φυσικός αριθμός n — τον αριθμό του .

Από δύο παρακείμενα μέλη a n Και a n +1 μέλος της ακολουθίας a n +1 που ονομάζεται μεταγενέστερος (προς a n ), ΕΝΑ a n — προηγούμενος (προς a n +1 ).

Για να ορίσετε μια ακολουθία, πρέπει να καθορίσετε μια μέθοδο που σας επιτρέπει να βρείτε ένα μέλος της ακολουθίας με οποιονδήποτε αριθμό.

Συχνά η ακολουθία καθορίζεται χρησιμοποιώντας τύποι nου όρου , δηλαδή ένας τύπος που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε ένα μέλος μιας ακολουθίας από τον αριθμό της.

Για παράδειγμα,

μια ακολουθία θετικών περιττών αριθμών μπορεί να δοθεί από τον τύπο

a n= 2n- 1,

και η ακολουθία των εναλλασσόμενων 1 Και -1 - φόρμουλα

σι n = (-1)n +1 . ◄

Η σειρά μπορεί να προσδιοριστεί επαναλαμβανόμενη φόρμουλα, δηλαδή ένας τύπος που εκφράζει οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας, ξεκινώντας από μερικά, μέσα από τα προηγούμενα (ένα ή περισσότερα) μέλη.

Για παράδειγμα,

Αν ένα 1 = 1 , ΕΝΑ a n +1 = a n + 5

ένα 1 = 1,

ένα 2 = ένα 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ένα 3 = ένα 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ένα 4 = ένα 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ένα 5 = ένα 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Αν Α'1= 1, Α2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , τότε οι πρώτοι επτά όροι της αριθμητικής ακολουθίας καθορίζονται ως εξής:

Α'1 = 1,

Α2 = 1,

α 3 = Α'1 + Α2 = 1 + 1 = 2,

α 4 = Α2 + α 3 = 1 + 2 = 3,

α 5 = α 3 + α 4 = 2 + 3 = 5,

ένα 6 = ένα 4 + ένα 5 = 3 + 5 = 8,

ένα 7 = ένα 5 + ένα 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Οι ακολουθίες μπορεί να είναι τελικός Και ατελείωτες .

Η ακολουθία ονομάζεται τελικός , εάν έχει πεπερασμένο αριθμό μελών. Η ακολουθία ονομάζεται ατελείωτες , αν έχει άπειρα μέλη.

Για παράδειγμα,

ακολουθία διψήφιων φυσικών αριθμών:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

τελικός.

Ακολουθία πρώτων αριθμών:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ατελείωτες. ◄

Η ακολουθία ονομάζεται αυξανόμενη , αν καθένα από τα μέλη του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο.

Η ακολουθία ονομάζεται μειώνεται , αν καθένα από τα μέλη του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μικρότερο από το προηγούμενο.

Για παράδειγμα,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — αυξανόμενη ακολουθία.

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — φθίνουσα ακολουθία. ◄

Μια ακολουθία της οποίας τα στοιχεία δεν μειώνονται όσο αυξάνεται ο αριθμός ή, αντίθετα, δεν αυξάνονται, ονομάζεται μονότονη ακολουθία .

Οι μονοτονικές αλληλουχίες, ειδικότερα, είναι αλληλουχίες αύξησης και φθίνουσας αλληλουχίας.

Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο, στο οποίο προστίθεται ο ίδιος αριθμός.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n, . . .

είναι μια αριθμητική πρόοδος εάν για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n πληρούται η προϋπόθεση:

a n +1 = a n + ρε,

Οπου ρε - έναν ορισμένο αριθμό.

Έτσι, η διαφορά μεταξύ των επόμενων και των προηγούμενων όρων μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου είναι πάντα σταθερή:

Α2 - ένα 1 = α 3 - ένα 2 = . . . = a n +1 - a n = ρε.

Αριθμός ρε που ονομάζεται διαφορά αριθμητικής προόδου.

Για να ορίσετε μια αριθμητική πρόοδο, αρκεί να υποδείξετε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της.

Για παράδειγμα,

Αν ένα 1 = 3, ρε = 4 , τότε βρίσκουμε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας ως εξής:

Α'1 =3,

Α2 = Α'1 + ρε = 3 + 4 = 7,

α 3 = Α2 + ρε= 7 + 4 = 11,

α 4 = α 3 + ρε= 11 + 4 = 15,

ένα 5 = ένα 4 + ρε= 15 + 4 = 19. ◄

Για μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο ένα 1 και η διαφορά ρε αυτήν n

a n = Α'1 + (n- 1)ρε.

Για παράδειγμα,

βρείτε τον τριακοστό όρο της αριθμητικής προόδου

1, 4, 7, 10, . . .

Α'1 =1, ρε = 3,

ένα 30 = Α'1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ένα n-1 = Α'1 + (n- 2)ρε,

a n= Α'1 + (n- 1)ρε,

a n +1 = ένα 1 + nd,

τότε προφανώς

Κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

οι αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικοί όροι κάποιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ένας από αυτούς είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

a n = 2n- 7 , είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Εχουμε:

a n = 2n- 7,

ένα n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

ένα ν+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ως εκ τούτου,

◄

Σημειώστε ότι n Ο όρος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω ένα 1 , αλλά και κάθε προηγούμενο ένα κ

a n = ένα κ + (n- κ)ρε.

Για παράδειγμα,

Για ένα 5 μπορεί να καταγραφεί

α 5 = Α'1 + 4ρε,

α 5 = Α2 + 3ρε,

α 5 = α 3 + 2ρε,

α 5 = α 4 + ρε. ◄

a n = ένα ν-κ + κδ,

a n = ένα ν+κ - κδ,

τότε προφανώς

οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τη δεύτερη, είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των ίσων απεχόντων μελών αυτής της αριθμητικής προόδου.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο

1) ένα 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ένα 9 + ένα 11 )/2;

2) 28 = ένα 10 = α 3 + 7ρε= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ένα 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ένα 7 + ένα 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, επειδή

α 2 + α 12= 4 + 34 = 38,

ένα 5 + ένα 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

πρώτα n Οι όροι μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσοι με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των ακραίων όρων και του αριθμού των όρων:

Από εδώ, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι αν χρειαστεί να συνοψίσετε τους όρους

ένα κ, ένα κ +1 , . . . , a n,

τότε ο προηγούμενος τύπος διατηρεί τη δομή του:

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

μικρό 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = μικρό 10 - μικρό 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Αν δίνεται αριθμητική πρόοδος, τότε οι ποσότητες ένα 1 , a n, ρε, nΚαιμικρό n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δίνονται οι τιμές τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο μεγεθών καθορίζονται από αυτούς τους τύπους, συνδυαζόμενες σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια μονότονη ακολουθία. Εν:

• Αν ρε > 0 , τότε αυξάνεται.
• Αν ρε < 0 , τότε μειώνεται.
• Αν ρε = 0 , τότε η ακολουθία θα είναι ακίνητη.

Γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό.

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . , b n, . . .

είναι μια γεωμετρική πρόοδος εάν για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n πληρούται η προϋπόθεση:

b n +1 = b n · q,

Οπου q ≠ 0 - έναν ορισμένο αριθμό.

Έτσι, ο λόγος του επόμενου όρου μιας δεδομένης γεωμετρικής προόδου προς τον προηγούμενο είναι ένας σταθερός αριθμός:

σι 2 / σι 1 = σι 3 / σι 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Αριθμός q που ονομάζεται παρονομαστής της γεωμετρικής προόδου.

Για να ορίσουμε μια γεωμετρική πρόοδο, αρκεί να υποδείξουμε τον πρώτο όρο και τον παρονομαστή της.

Για παράδειγμα,

Αν σι 1 = 1, q = -3 , τότε βρίσκουμε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας ως εξής:

β 1 = 1,

β 2 = β 1 · q = 1 · (-3) = -3,

β 3 = β 2 · q= -3 · (-3) = 9,

β 4 = β 3 · q= 9 · (-3) = -27,

σι 5 = σι 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

σι 1 και παρονομαστής q αυτήν n Ο όρος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

b n = σι 1 · qn -1 .

Για παράδειγμα,

βρείτε τον έβδομο όρο της γεωμετρικής προόδου 1, 2, 4, . . .

σι 1 = 1, q = 2,

σι 7 = σι 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = β 1 · qn -2 ,

b n = β 1 · qn -1 ,

b n +1 = σι 1 · qn,

τότε προφανώς

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

κάθε μέλος της γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το γεωμετρικό μέσο (αναλογικό) των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Εφόσον ισχύει και το αντίστροφο, ισχύει η ακόλουθη δήλωση:

οι αριθμοί a, b και c είναι διαδοχικοί όροι κάποιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν το τετράγωνο ενός από αυτούς είναι ίσο με το γινόμενο των άλλων δύο, δηλαδή ένας από τους αριθμούς είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

Ας αποδείξουμε ότι η ακολουθία που δίνεται από τον τύπο b n= -3 · 2 n , είναι μια γεωμετρική πρόοδος. Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Εχουμε:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Ως εκ τούτου,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

που αποδεικνύει την επιθυμητή δήλωση. ◄

Σημειώστε ότι n Ο όρος μιας γεωμετρικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω σι 1 , αλλά και οποιοδήποτε προηγούμενο μέλος β κ , για το οποίο αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο

b n = β κ · qn - κ.

Για παράδειγμα,

Για σι 5 μπορεί να καταγραφεί

β 5 = β 1 · q 4 ,

β 5 = β 2 · q 3,

β 5 = β 3 · q 2,

β 5 = β 4 · q. ◄

b n = β κ · qn - κ,

b n = b n - κ · q k,

τότε προφανώς

b n 2 = b n - κ· b n + κ

το τετράγωνο οποιουδήποτε όρου μιας γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσο με το γινόμενο των όρων αυτής της προόδου που ισαπέχουν από αυτόν.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο ισχύει η ισότητα:

b m· b n= β κ· β λ,

Μ+ n= κ+ μεγάλο.

Για παράδειγμα,

σε γεωμετρική πρόοδο

1) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = σι 5 · σι 7 ;

2) 1024 = σι 11 = σι 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = σι 4 · σι 8 ;

4) σι 2 · σι 7 = σι 4 · σι 5 , επειδή

σι 2 · σι 7 = 2 · 64 = 128,

σι 4 · σι 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= σι 1 + σι 2 + σι 3 + . . . + b n

πρώτα n μέλη μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή q ≠ 0 υπολογίζεται με τον τύπο:

Και πότε q = 1 - σύμφωνα με τον τύπο

S n= σημ 1

Σημειώστε ότι εάν χρειάζεται να συνοψίσετε τους όρους

β κ, β κ +1 , . . . , b n,

τότε χρησιμοποιείται ο τύπος:

Για παράδειγμα,

σε γεωμετρική πρόοδο 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

μικρό 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = μικρό 10 - μικρό 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Αν δίνεται γεωμετρική πρόοδος, τότε οι ποσότητες σι 1 , b n, q, nΚαι S n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δοθούν οι τιμές οποιωνδήποτε τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο ποσοτήτων καθορίζονται από αυτούς τους τύπους, συνδυαζόμενες σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Για μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο σι 1 και παρονομαστής q λαμβάνουν χώρα τα ακόλουθα ιδιότητες μονοτονίας :

• Η εξέλιξη αυξάνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 Και q> 1;

σι 1 < 0 Και 0 < q< 1;

• Η εξέλιξη μειώνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 Και 0 < q< 1;

σι 1 < 0 Και q> 1.

Αν q< 0 , τότε η γεωμετρική πρόοδος εναλλάσσεται: οι όροι του με περιττούς αριθμούς έχουν το ίδιο πρόσημο με τον πρώτο όρο και οι όροι με ζυγούς αριθμούς έχουν το αντίθετο πρόσημο. Είναι σαφές ότι μια εναλλασσόμενη γεωμετρική πρόοδος δεν είναι μονότονη.

Προϊόν του πρώτου n Τα μέλη μιας γεωμετρικής προόδου μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Πν= β 1 · β 2 · β 3 · . . . · b n = (β 1 · b n) n / 2 .

Για παράδειγμα,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος ονομάζεται άπειρη γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο συντελεστής παρονομαστή είναι μικρότερος 1 , αυτό είναι

|q| < 1 .

Σημειώστε ότι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος μπορεί να μην είναι μια φθίνουσα ακολουθία. Ταιριάζει στην περίσταση

1 < q< 0 .

Με έναν τέτοιο παρονομαστή, η ακολουθία εναλλάσσεται. Για παράδειγμα,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου ονομάστε τον αριθμό στον οποίο πλησιάζει το άθροισμα των πρώτων χωρίς όριο n μέλη μιας προόδου με απεριόριστη αύξηση του αριθμού n . Αυτός ο αριθμός είναι πάντα πεπερασμένος και εκφράζεται με τον τύπο

Για παράδειγμα,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Σχέση αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων

Οι αριθμητικές και οι γεωμετρικές προόδους συνδέονται στενά. Ας δούμε μόνο δύο παραδείγματα.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . ρε , Οτι

β α 1 , β α 2 , β α 3 , . . . β δ .

Για παράδειγμα,

1, 3, 5, . . . - αριθμητική πρόοδος με διαφορά 2 Και

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 7 2 . ◄

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . - γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή q , Οτι

καταγραφή α β 1, καταγραφή α β 2, καταγραφή α β 3, . . . - αριθμητική πρόοδος με διαφορά κούτσουρο αq .

Για παράδειγμα,

2, 12, 72, . . . - γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 6 Και

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - αριθμητική πρόοδος με διαφορά lg 6 . ◄

Βίντα y= φά(Χ), ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Ν, Οπου Ν– ένα σύνολο φυσικών αριθμών (ή συνάρτηση φυσικού ορίσματος), που συμβολίζεται y=φά(n) ή y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Αξίες y 1 ,y 2 ,y 3 ,… λέγονται αντίστοιχα τα πρώτα, δεύτερα, τρίτα, ... μέλη της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση y= n 2 μπορεί να γραφτεί:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Μέθοδοι καθορισμού αλληλουχιών.Οι ακολουθίες μπορούν να προσδιοριστούν με διάφορους τρόπους, μεταξύ των οποίων τρεις είναι ιδιαίτερα σημαντικοί: αναλυτικός, περιγραφικός και επαναλαμβανόμενος.

1. Μια ακολουθία δίνεται αναλυτικά αν δίνεται ο τύπος της nτο μέλος:

y n=φά(n).

Παράδειγμα. y n= 2n - 1 – ακολουθία περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, 9,…

2. Περιγραφικό Ο τρόπος για να καθορίσετε μια αριθμητική ακολουθία είναι να εξηγήσετε από ποια στοιχεία είναι κατασκευασμένη η ακολουθία.

Παράδειγμα 1. "Όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ίσοι με 1." Αυτό σημαίνει ότι μιλάμε για μια ακίνητη ακολουθία 1, 1, 1, …, 1, ….

Παράδειγμα 2: "Η ακολουθία αποτελείται από όλους τους πρώτους αριθμούς σε αύξουσα σειρά." Έτσι, η δεδομένη ακολουθία είναι 2, 3, 5, 7, 11, …. Με αυτήν τη μέθοδο προσδιορισμού της ακολουθίας σε αυτό το παράδειγμα, είναι δύσκολο να απαντηθεί με τι ισούται, ας πούμε, το 1000ο στοιχείο της ακολουθίας.

3. Η επαναλαμβανόμενη μέθοδος για τον καθορισμό μιας ακολουθίας είναι να καθορίσετε έναν κανόνα που σας επιτρέπει να υπολογίζετε n-ο μέλος μιας ακολουθίας αν είναι γνωστά τα προηγούμενα μέλη της. Το όνομα επαναλαμβανόμενη μέθοδος προέρχεται από τη λατινική λέξη επαναλαμβανόμενος- ελα πισω. Τις περισσότερες φορές, σε τέτοιες περιπτώσεις, υποδεικνύεται ένας τύπος που επιτρέπει σε κάποιον να εκφραστεί nτο μέλος της ακολουθίας μέσω των προηγούμενων και καθορίστε 1-2 αρχικά μέλη της ακολουθίας.

Παράδειγμα 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 αν n = 2, 3, 4,….

Εδώ y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Μπορείτε να δείτε ότι η ακολουθία που λαμβάνεται σε αυτό το παράδειγμα μπορεί επίσης να καθοριστεί αναλυτικά: y n= 4n - 1.

Παράδειγμα 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 αν n = 3, 4,….

Εδώ: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Η ακολουθία σε αυτό το παράδειγμα μελετάται ιδιαίτερα στα μαθηματικά επειδή έχει μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες και εφαρμογές. Ονομάζεται ακολουθία Fibonacci, που πήρε το όνομά του από τον Ιταλό μαθηματικό του 13ου αιώνα. Είναι πολύ εύκολο να ορίσουμε την ακολουθία Fibonacci περιοδικά, αλλά πολύ δύσκολο αναλυτικά. nΟ αριθμός Fibonacci εκφράζεται μέσω του σειριακού του αριθμού με τον ακόλουθο τύπο.

Με την πρώτη ματιά, η φόρμουλα για nΟ αριθμός Fibonacci φαίνεται απίθανος, καθώς ο τύπος που καθορίζει την ακολουθία των φυσικών αριθμών περιέχει μόνο τετραγωνικές ρίζες, αλλά μπορείτε να ελέγξετε "με μη αυτόματο τρόπο" την εγκυρότητα αυτού του τύπου για τα πρώτα λίγα n.

Ιδιότητες ακολουθιών αριθμών.

Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής συνάρτησης, επομένως μια σειρά από ιδιότητες συναρτήσεων λαμβάνονται υπόψη και για τις ακολουθίες.

Ορισμός . Ακολουθία ( y n} ονομάζεται αύξουσα αν κάθε όρος του (εκτός από τον πρώτο) είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Ορισμός. Ακολουθία ( y n} ονομάζεται φθίνουσα αν κάθε όρος του (εκτός από τον πρώτο) είναι μικρότερος από τον προηγούμενο:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Οι αύξουσες και φθίνουσες ακολουθίες συνδυάζονται με τον κοινό όρο - μονοτονικές ακολουθίες.

Παράδειγμα 1. y 1 = 1; y n= n 2 – αυξανόμενη ακολουθία.

Έτσι, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (χαρακτηριστική ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου). Μια αριθμητική ακολουθία είναι αριθμητική εάν και μόνο αν κάθε μέλος της, εκτός από το πρώτο (και το τελευταίο στην περίπτωση μιας πεπερασμένης ακολουθίας), είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Παράδειγμα. Σε ποια τιμή Χαριθμοί 3 Χ + 2, 5Χ– 4 και 11 Χ+ 12 σχηματίζουν μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδο;

Σύμφωνα με τη χαρακτηριστική ιδιότητα, οι δεδομένες εκφράσεις πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση

5Χ – 4 = ((3Χ + 2) + (11Χ + 12))/2.

Η επίλυση αυτής της εξίσωσης δίνει Χ= –5,5. Σε αυτή την τιμή Χδοσμένες εκφράσεις 3 Χ + 2, 5Χ– 4 και 11 Χ+ 12 παίρνουν, αντίστοιχα, τις τιμές -14,5, –31,5, –48,5. Αυτή είναι μια αριθμητική πρόοδος, η διαφορά της είναι –17.

Γεωμετρική πρόοδος.

Μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας όλοι οι όροι είναι μη μηδενικοί και της οποίας καθένας από τους όρους, ξεκινώντας από τον δεύτερο, προκύπτει από τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιάζοντας με τον ίδιο αριθμό q, ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος, και ο αριθμός q- ο παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Έτσι, μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία ( b n), που ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις

σι 1 = σι, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(σιΚαι q -δεδομένους αριθμούς, σι ≠ 0, q ≠ 0).

Παράδειγμα 1. 2, 6, 18, 54, ... – αύξηση της γεωμετρικής προόδου σι = 2, q = 3.

Παράδειγμα 2. 2, –2, 2, –2, … – γεωμετρική πρόοδος σι= 2,q= –1.

Παράδειγμα 3. 8, 8, 8, 8, … – γεωμετρική πρόοδος σι= 8, q= 1.

Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αυξανόμενη ακολουθία αν σι 1 > 0, q> 1, και μειώνοντας εάν σι 1 > 0, 0 q

Μία από τις προφανείς ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου είναι ότι αν η ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος, τότε είναι και η ακολουθία των τετραγώνων, δηλ.

σι 1 2 , σι 2 2 , σι 3 2 , …, b n 2,... είναι μια γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο πρώτος όρος είναι ίσος με σι 1 2 , και ο παρονομαστής είναι q 2 .

Τύπος n-ο όρος της γεωμετρικής προόδου έχει τη μορφή

b n= σι 1 qn– 1 .

Μπορείτε να αποκτήσετε έναν τύπο για το άθροισμα των όρων μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου.

Ας δοθεί μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

σι 1 ,σι 2 ,σι 3 , …, b n

αφήνω S n -το άθροισμα των μελών του, δηλ.

S n= σι 1 + σι 2 + σι 3 + … +b n.

Είναι αποδεκτό ότι qΝο. 1. Για να προσδιορίσετε S nχρησιμοποιείται μια τεχνητή τεχνική: πραγματοποιούνται ορισμένοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί της έκφρασης S n q.

S n q = (σι 1 + σι 2 + σι 3 + … + b n –1 + b n)q = σι 2 + σι 3 + σι 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– σι 1 .

Ετσι, S n q= S n +b n q – β 1 και επομένως

Αυτή είναι η φόρμουλα με umma n όροι γεωμετρικής προόδουγια την περίπτωση που q≠ 1.

Στο q= 1 ο τύπος δεν χρειάζεται να προέρχεται χωριστά S n= ένα 1 n.

Η πρόοδος ονομάζεται γεωμετρική επειδή κάθε όρος σε αυτήν, εκτός από τον πρώτο, είναι ίσος με τον γεωμετρικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων όρων. Πράγματι, από τότε

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

ως εκ τούτου, b n 2=bn– 1 bn+ 1 και ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (μια χαρακτηριστική ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου):

μια αριθμητική ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν το τετράγωνο κάθε όρων της, εκτός από τον πρώτο (και τον τελευταίο στην περίπτωση μιας πεπερασμένης ακολουθίας), είναι ίσο με το γινόμενο του προηγούμενου και των επόμενων όρων.

Όριο συνέπειας.

Ας υπάρχει μια σειρά ( c n} = {1/n}. Αυτή η ακολουθία ονομάζεται αρμονική, αφού κάθε όρος της, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ο αρμονικός μέσος μεταξύ των προηγούμενων και των επόμενων όρων. Γεωμετρικός μέσος όρος αριθμών έναΚαι σιυπάρχει ένας αριθμός

Διαφορετικά η ακολουθία ονομάζεται αποκλίνουσα.

Με βάση αυτόν τον ορισμό, μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να αποδείξει την ύπαρξη ενός ορίου Α=0για την αρμονική ακολουθία ( c n} = {1/n). Έστω ε ένας αυθαίρετα μικρός θετικός αριθμός. Η διαφορά θεωρείται

Υπάρχει κάτι τέτοιο; Ναυτό είναι για όλους n ≥ Νισχύει η ανισότητα 1 /Ν ? Αν το πάρουμε ως Νκάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1/ε , τότε για όλους n ≥ Nισχύει η ανισότητα 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Η απόδειξη της παρουσίας ενός ορίου για μια συγκεκριμένη ακολουθία μπορεί μερικές φορές να είναι πολύ δύσκολη. Οι πιο συχνά εμφανιζόμενες αλληλουχίες είναι καλά μελετημένες και παρατίθενται σε βιβλία αναφοράς. Υπάρχουν σημαντικά θεωρήματα που σας επιτρέπουν να συμπεράνετε ότι μια δεδομένη ακολουθία έχει ένα όριο (ακόμα και να το υπολογίσετε), με βάση τις ήδη μελετημένες ακολουθίες.

Θεώρημα 1. Αν μια ακολουθία έχει όριο, τότε είναι οριοθετημένη.

Θεώρημα 2. Αν μια ακολουθία είναι μονότονη και οριοθετημένη, τότε έχει όριο.

Θεώρημα 3. Αν η ακολουθία ( a n} έχει ένα όριο ΕΝΑ, μετά οι ακολουθίες ( μπορώ}, {a n+ γ) και (| a n|} έχουν όρια γΑ, ΕΝΑ +ντο, |ΕΝΑ| αναλόγως (εδώ ντο– αυθαίρετος αριθμός).

Θεώρημα 4. Αν οι ακολουθίες ( a n} Και ( b n) έχουν όρια ίσα με ΕΝΑΚαι σι τηγάνι + qbn) έχει ένα όριο pA+ qB.

Θεώρημα 5. Αν οι ακολουθίες ( a n) Και ( b n) έχουν όρια ίσα με ΕΝΑΚαι σιαντίστοιχα, τότε η σειρά ( a n b n) έχει ένα όριο ΑΒ.

Θεώρημα 6. Αν οι ακολουθίες ( a n} Και ( b n) έχουν όρια ίσα με ΕΝΑΚαι σικατά συνέπεια, και, επιπλέον, b n ≠ 0 και Β≠ 0 και μετά η ακολουθία ( a n / b n) έχει ένα όριο A/B.

Άννα Τσουγκάινοβα

Μερικοί άνθρωποι αντιμετωπίζουν τη λέξη «πρόοδος» με προσοχή, ως έναν πολύ περίπλοκο όρο από τους κλάδους των ανώτερων μαθηματικών. Εν τω μεταξύ, η απλούστερη αριθμητική πρόοδος είναι η εργασία του ταξίμετρου (όπου υπάρχουν ακόμα). Και η κατανόηση της ουσίας (και στα μαθηματικά δεν υπάρχει τίποτα πιο σημαντικό από το "να αποκτήσετε την ουσία") μιας αριθμητικής ακολουθίας δεν είναι τόσο δύσκολη, έχοντας αναλύσει μερικές στοιχειώδεις έννοιες.

Μαθηματική ακολουθία αριθμών

Μια αριθμητική ακολουθία ονομάζεται συνήθως μια σειρά αριθμών, καθένας από τους οποίους έχει τον δικό του αριθμό.

a 1 είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας.

και 2 είναι ο δεύτερος όρος της ακολουθίας.

και το 7 είναι το έβδομο μέλος της ακολουθίας.

και το n είναι το ντο μέλος της ακολουθίας.

Ωστόσο, κανένα αυθαίρετο σύνολο αριθμών και αριθμών δεν μας ενδιαφέρει. Θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η τιμή του nου όρου σχετίζεται με τον τακτικό του αριθμό μέσω μιας σχέσης που μπορεί να διατυπωθεί ξεκάθαρα μαθηματικά. Με άλλα λόγια: η αριθμητική τιμή του ν ου αριθμού είναι κάποια συνάρτηση του n.

α είναι η τιμή ενός μέλους μιας αριθμητικής ακολουθίας.

n είναι ο αύξων αριθμός του.

Η f(n) είναι μια συνάρτηση, όπου ο τακτικός αριθμός στην αριθμητική ακολουθία n είναι το όρισμα.

Ορισμός

Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται συνήθως μια αριθμητική ακολουθία στην οποία κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος (μικρότερος) από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό. Ο τύπος για τον ν ο όρος μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι ο εξής:

a n - η τιμή του τρέχοντος μέλους της αριθμητικής προόδου.

ένα n+1 - τύπος του επόμενου αριθμού.

δ - διαφορά (ορισμένος αριθμός).

Είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι εάν η διαφορά είναι θετική (d>0), τότε κάθε επόμενο μέλος της υπό εξέταση σειράς θα είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο και μια τέτοια αριθμητική πρόοδος θα αυξάνεται.

Στο παρακάτω γράφημα είναι εύκολο να καταλάβουμε γιατί η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται "αύξηση".

Σε περιπτώσεις που η διαφορά είναι αρνητική (δ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Καθορισμένη τιμή μέλους

Μερικές φορές είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή οποιουδήποτε αυθαίρετου όρου a n μιας αριθμητικής προόδου. Αυτό μπορεί να γίνει με τον διαδοχικό υπολογισμό των τιμών όλων των μελών της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το πρώτο στο επιθυμητό. Ωστόσο, αυτό το μονοπάτι δεν είναι πάντα αποδεκτό εάν, για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του πενταχιλιοστού ή του οκτώ εκατομμυρίου όρου. Οι παραδοσιακοί υπολογισμοί θα χρειαστούν πολύ χρόνο. Ωστόσο, μια συγκεκριμένη αριθμητική πρόοδος μπορεί να μελετηθεί χρησιμοποιώντας ορισμένους τύπους. Υπάρχει επίσης ένας τύπος για τον nο όρο: η τιμή οποιουδήποτε όρου μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να προσδιοριστεί ως το άθροισμα του πρώτου όρου της προόδου με τη διαφορά της προόδου, πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό του επιθυμητού όρου, μειωμένη κατά ένας.

Η φόρμουλα είναι καθολική για την αύξηση και τη μείωση της εξέλιξης.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της τιμής ενός δεδομένου όρου

Ας λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα εύρεσης της τιμής του nου όρου μιας αριθμητικής προόδου.

Προϋπόθεση: υπάρχει μια αριθμητική πρόοδος με παραμέτρους:

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι 3.

Η διαφορά στη σειρά αριθμών είναι 1,2.

Εργασία: πρέπει να βρείτε την τιμή 214 όρων

Λύση: για να προσδιορίσουμε την τιμή ενός δεδομένου όρου, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

a(n) = a1 + d(n-1)

Αντικαθιστώντας τα δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος στην έκφραση, έχουμε:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Απάντηση: Ο 214ος όρος της ακολουθίας ισούται με 258,6.

Τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου υπολογισμού είναι προφανή - ολόκληρη η λύση δεν διαρκεί περισσότερες από 2 γραμμές.

Άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού όρων

Πολύ συχνά, σε μια δεδομένη αριθμητική σειρά, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το άθροισμα των τιμών ορισμένων από τα τμήματα της. Για να γίνει αυτό, δεν χρειάζεται επίσης να υπολογίσετε τις τιμές κάθε όρου και στη συνέχεια να τις προσθέσετε. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται εάν ο αριθμός των όρων των οποίων το άθροισμα πρέπει να βρεθεί είναι μικρός. Σε άλλες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο.

Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου από το 1 στο n είναι ίσο με το άθροισμα του πρώτου και του nου όρου, πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό του όρου n και διαιρούμενο με δύο. Αν στον τύπο η τιμή του nου όρου αντικατασταθεί από την έκφραση της προηγούμενης παραγράφου του άρθρου, παίρνουμε:

Παράδειγμα υπολογισμού

Για παράδειγμα, ας λύσουμε ένα πρόβλημα με τις ακόλουθες συνθήκες:

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι μηδέν.

Η διαφορά είναι 0,5.

Το πρόβλημα απαιτεί τον προσδιορισμό του αθροίσματος των όρων της σειράς από 56 έως 101.

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον προσδιορισμό του ποσού της προόδου:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Αρχικά, προσδιορίζουμε το άθροισμα των τιμών των 101 όρων της προόδου αντικαθιστώντας τις δεδομένες συνθήκες του προβλήματός μας στον τύπο:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Προφανώς, για να βρούμε το άθροισμα των όρων της προόδου από το 56ο στο 101ο, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε το S 55 από το S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Έτσι, το άθροισμα της αριθμητικής προόδου για αυτό το παράδειγμα είναι:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Παράδειγμα πρακτικής εφαρμογής της αριθμητικής προόδου

Στο τέλος του άρθρου, ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα μιας αριθμητικής ακολουθίας που δίνεται στην πρώτη παράγραφο - ένα ταξίμετρο (μετρητής αυτοκινήτου ταξί). Ας εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η επιβίβαση σε ταξί (που περιλαμβάνει 3 χιλιόμετρα διαδρομής) κοστίζει 50 ρούβλια. Κάθε επόμενο χιλιόμετρο πληρώνεται με τιμή 22 ρούβλια/χλμ. Η απόσταση ταξιδιού είναι 30 χλμ. Υπολογίστε το κόστος του ταξιδιού.

1. Ας απορρίψουμε τα πρώτα 3 χιλιόμετρα, η τιμή των οποίων περιλαμβάνεται στο κόστος προσγείωσης.

30 - 3 = 27 χλμ.

2. Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι τίποτα άλλο από την ανάλυση μιας αριθμητικής σειράς αριθμών.

Αριθμός μέλους - ο αριθμός των χιλιομέτρων που διανύθηκαν (μείον τα τρία πρώτα).

Η αξία του μέλους είναι το άθροισμα.

Ο πρώτος όρος σε αυτό το πρόβλημα θα είναι ίσος με 1 = 50 ρούβλια.

Διαφορά προόδου d = 22 r.

ο αριθμός που μας ενδιαφέρει είναι η τιμή του (27+1)ου όρου της αριθμητικής προόδου - η ένδειξη του μέτρου στο τέλος του 27ου χιλιομέτρου είναι 27.999... = 28 χλμ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Οι υπολογισμοί δεδομένων ημερολογίου για μια αυθαίρετα μεγάλη περίοδο βασίζονται σε τύπους που περιγράφουν ορισμένες αριθμητικές ακολουθίες. Στην αστρονομία, το μήκος της τροχιάς εξαρτάται γεωμετρικά από την απόσταση του ουράνιου σώματος από το αστέρι. Επιπλέον, διάφορες σειρές αριθμών χρησιμοποιούνται με επιτυχία στη στατιστική και σε άλλους εφαρμοσμένους τομείς των μαθηματικών.

Ένας άλλος τύπος ακολουθίας αριθμών είναι η γεωμετρική

Η γεωμετρική πρόοδος χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερους ρυθμούς μεταβολής σε σύγκριση με την αριθμητική πρόοδο. Δεν είναι τυχαίο ότι στην πολιτική, την κοινωνιολογία και την ιατρική, για να δείξουν την υψηλή ταχύτητα εξάπλωσης ενός συγκεκριμένου φαινομένου, για παράδειγμα, μιας ασθένειας κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας, λένε ότι η διαδικασία εξελίσσεται σε γεωμετρική πρόοδο.

Ο Νος όρος της σειράς γεωμετρικών αριθμών διαφέρει από τον προηγούμενο στο ότι πολλαπλασιάζεται με κάποιο σταθερό αριθμό - ο παρονομαστής, για παράδειγμα, ο πρώτος όρος είναι 1, ο παρονομαστής είναι αντίστοιχα ίσος με 2, τότε:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - η τιμή του τρέχοντος όρου της γεωμετρικής προόδου.

b n+1 - τύπος του επόμενου όρου της γεωμετρικής προόδου.

q είναι ο παρονομαστής της γεωμετρικής προόδου (σταθερός αριθμός).

Εάν το γράφημα μιας αριθμητικής προόδου είναι μια ευθεία γραμμή, τότε μια γεωμετρική πρόοδος δίνει μια ελαφρώς διαφορετική εικόνα:

Όπως και στην περίπτωση της αριθμητικής, η γεωμετρική πρόοδος έχει έναν τύπο για την τιμή ενός αυθαίρετου όρου. Κάθε νιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου ισούται με το γινόμενο του πρώτου όρου και τον παρονομαστή της προόδου στη δύναμη του n μειωμένη κατά ένα:

Παράδειγμα. Έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο ίσο με 3 και τον παρονομαστή της προόδου ίσο με 1,5. Ας βρούμε τον 5ο όρο της προόδου

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Το άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού όρων υπολογίζεται επίσης χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο. Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του γινόμενου του nου όρου της προόδου και του παρονομαστή του και του πρώτου όρου της προόδου, διαιρούμενο με τον παρονομαστή μειωμένο κατά ένα:

Εάν το b n αντικατασταθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που συζητήθηκε παραπάνω, η τιμή του αθροίσματος των πρώτων n όρων της υπό εξέταση σειράς αριθμών θα λάβει τη μορφή:

Παράδειγμα. Η γεωμετρική πρόοδος ξεκινά με τον πρώτο όρο ίσο με 1. Ο παρονομαστής ορίζεται σε 3. Ας βρούμε το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ

Αν για κάθε φυσικό αριθμό nο αριθμός ταιριάζει Χn, τότε λένε ότι δίνεται σειρά αριθμών Χ 1, Χ 2, …, Χn, ….

Σημείωση ακολουθίας αριθμών {Χ n } .

Ταυτόχρονα οι αριθμοί Χ 1, Χ 2, …, Χn, ... λέγονται μέλη της ακολουθίας .

Βασικές μέθοδοι καθορισμού ακολουθιών αριθμών

1. Ένας από τους πιο βολικούς τρόπους είναι να ορίσετε μια ακολουθία ο τύπος του κοινού του όρου : Χn = φά(n), n Î Ν.

Για παράδειγμα, Χn = n 2 + 2n+ 3 Þ Χ 1 = 6, Χ 2 = 11, Χ 3 = 18, Χ 4 = 27, …

2. Άμεση μεταφορά πεπερασμένος αριθμός των πρώτων μελών.

Για παράδειγμα, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Σχέση υποτροπής , δηλ. ένας τύπος που εκφράζει τον n-όρο μέσω του προηγούμενου ενός ή περισσότερων όρων.

Για παράδειγμα, κοντά στον Φιμπονάτσιονομάζεται μια ακολουθία αριθμών

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, το οποίο προσδιορίζεται περιοδικά:

Χ 1 = 1, Χ 2 = 1, Χn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

Αριθμητικές πράξεις σε ακολουθίες

1. Το άθροισμα (διαφορά) ακολουθίες ( ΕΝΑn) Και ( bn cn } = { ένα ± bn}.

2. Η δουλειάακολουθίες ( ΕΝΑn) Και ( bn) ονομάζεται ακολουθία ( cn } = { ένα× bn}.

3. Ιδιωτικόςακολουθίες ( ΕΝΑn) Και ( bn }, bn¹ 0, που ονομάζεται ακολουθία ( cn } = { ένα×/ bn}.

Ιδιότητες ακολουθιών αριθμών

1. Ακολουθία ( Χn) λέγεται οριοθετείται παραπάνω Μ nη ανισότητα είναι αλήθεια Χn £ Μ.

2. Ακολουθία ( Χn) λέγεται οριοθετείται από κάτω, εάν υπάρχει τέτοιος πραγματικός αριθμός Μ, που για όλες τις φυσικές αξίες nη ανισότητα είναι αλήθεια Χn ³ Μ.

3. Ακολουθία ( Χn) λέγεται αυξανόμενη nη ανισότητα είναι αλήθεια Χn < Χn+1.

4. Ακολουθία ( Χn) λέγεται μειώνεται, εάν για όλες τις φυσικές αξίες nη ανισότητα είναι αλήθεια Χn > Χn+1.

5. Ακολουθία ( Χn) λέγεται μη αυξανόμενη, εάν για όλες τις φυσικές αξίες nη ανισότητα είναι αλήθεια Χn ³ Χn+1.

6. Ακολουθία ( Χn) λέγεται μη φθίνουσα, εάν για όλες τις φυσικές αξίες nη ανισότητα είναι αλήθεια Χn £ Χn+1.

Οι ακολουθίες αυξανόμενες, φθίνουσες, μη αυξανόμενες, μη φθίνουσες ονομάζονται μονότονοςακολουθίες, με αύξηση και μείωση - αυστηρά μονότονη.

Βασικές τεχνικές που χρησιμοποιούνται κατά την εξέταση μιας ακολουθίας για μονοτονία

1. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό.

α) Για την υπό μελέτη ακολουθία ( Χn) η διαφορά γίνεται

Χn – Χn+1, και μετά ανακαλύπτουμε αν αυτή η διαφορά διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο για οποιοδήποτε n Î Ν, και αν ναι, ποιο ακριβώς. Ανάλογα με αυτό βγαίνει συμπέρασμα για τη μονοτονία (μη μονοτονία) της ακολουθίας.

β) Για ακολουθίες σταθερού πρόσημου ( Χn) μπορεί κανείς να σχηματίσει μια σχέση Χn+1/Χnκαι συγκρίνετε το με ένα.

Αν αυτή η στάση είναι μπροστά σε όλους nείναι μεγαλύτερη από μία, τότε για μια αυστηρά θετική ακολουθία εξάγεται το συμπέρασμα ότι αυξάνεται, και για μια αυστηρά αρνητική ακολουθία, κατά συνέπεια, μειώνεται.

Αν αυτή η στάση είναι μπροστά σε όλους nδεν είναι μικρότερη από μία, τότε για μια αυστηρά θετική ακολουθία εξάγεται το συμπέρασμα ότι δεν είναι φθίνουσα και για μια αυστηρά αρνητική ακολουθία, κατά συνέπεια, δεν είναι αύξουσα.

Αν αυτή είναι η σχέση σε ορισμένους αριθμούς nμεγαλύτερο από ένα και για άλλους αριθμούς nλιγότερο από ένα, αυτό δείχνει τη μη μονοτονική φύση της ακολουθίας.

2. Μεταβείτε στη συνάρτηση πραγματικού ορίσματος.

Ας είναι απαραίτητο να εξετάσουμε μια αριθμητική ακολουθία για μονοτονία

ΕΝΑn = φά(n), n Î Ν.

Ας εισαγάγουμε τη συνάρτηση πραγματικού ορίσματος Χ:

φά(Χ) = ΕΝΑ(Χ), Χ³ 1,

και εξετάστε το για μονοτονία.

Αν η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη στο διάστημα που εξετάζουμε, τότε βρίσκουμε την παράγωγό της και εξετάζουμε το πρόσημο.

Εάν η παράγωγος είναι θετική, τότε η συνάρτηση αυξάνεται.

Εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση μειώνεται.

Επιστρέφοντας στις φυσικές τιμές του επιχειρήματος, επεκτείνουμε αυτά τα αποτελέσματα στην αρχική ακολουθία.

Αριθμός ΕΝΑπου ονομάζεται όριο της ακολουθίας Χn, αν για οποιονδήποτε αυθαίρετα μικρό θετικό αριθμό e υπάρχει ένας τέτοιος φυσικός αριθμός Ν, που είναι για όλους τους αριθμούς n > Νικανοποιημένη ανισότητα | xn – ένα | < e.

Υπολογισμός του ποσού n πρώτους όρους της ακολουθίας

1. Παρουσίαση του γενικού όρου της ακολουθίας με τη μορφή της διαφοράς δύο ή περισσότερων εκφράσεων με τέτοιο τρόπο ώστε, κατά την αντικατάσταση, οι περισσότεροι από τους ενδιάμεσους όρους να μειώνονται και το άθροισμα να απλοποιείται σημαντικά.

2. Για να ελέγξετε και να αποδείξετε υπάρχοντες τύπους για την εύρεση των αθροισμάτων των πρώτων όρων ακολουθιών, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής.

3. Ορισμένα προβλήματα με ακολουθίες μπορούν να μειωθούν σε προβλήματα που περιλαμβάνουν αριθμητικές ή γεωμετρικές προόδους.

Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους

Βασικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων προόδου

1. Μία από τις πιο κοινές μεθόδους λύσης προβλήματα στις αριθμητικές προόδους είναι ότι όλοι οι όροι της προόδου που εμπλέκονται στη δήλωση προβλήματος εκφράζονται μέσω της διαφοράς της προόδου ρε ένα ρεΚαι ΕΝΑ 1.

2. Διαδεδομένη και θεωρείται τυπική μέθοδος λύσης προβλήματα γεωμετρικής προόδου , όταν όλα τα μέλη της γεωμετρικής προόδου που εμφανίζονται στη δήλωση προβλήματος εκφράζονται μέσω του παρονομαστή της προόδου qκαι οποιοδήποτε από τα μέλη του, τις περισσότερες φορές το πρώτο σι 1. Με βάση τις συνθήκες του προβλήματος, συντάσσεται και λύνεται ένα σύστημα με άγνωστα qΚαι σι 1.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Πρόβλημα 1 .

Δόθηκε η ακολουθία Χn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1). Βρείτε το ποσό Snπρώτα nμέλη αυτής της ακολουθίας.

Λύση. Ας μετατρέψουμε την έκφραση για το γενικό μέλος της ακολουθίας:

Χn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

Sn = Χ 1 + Χ 2 + Χ 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Πρόβλημα 2 .

Δόθηκε η ακολουθία ΕΝΑn = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

Από εδώ, ΕΝΑ(3n + 5) +σι(3n + 2) = 1,

(3ΕΝΑ + 3σι)n + (5ΕΝΑ + 2σι) = 1.

n.

n 1 | 3ΕΝΑ + 3σι = 0,

n0 | 5 ΕΝΑ + 2σι = 1.

ΕΝΑ = 1/3, ΣΕ = –1/3.

Έτσι, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " width="39" height="41 src="> ΕΝΑn. Είναι ο αριθμός 1980 μέλος αυτής της ακολουθίας; Εάν ναι, τότε καθορίστε τον αριθμό του.

Λύση. Ας γράψουμε τα πρώτα nμέλη αυτής της ακολουθίας:

ΕΝΑ 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

Ας πολλαπλασιάσουμε αυτές τις ισότητες:

ΕΝΑ 1ΕΝΑ 2ΕΝΑ 3ΕΝΑ 4ΕΝΑ 5…ένα-2ένα-1ένα = ΕΝΑ 1ΕΝΑ 2ΕΝΑ 3ΕΝΑ 4ΕΝΑ 5…ένα-2ένα-1.

Από εδώ, ένα = n(n + 1).

Τότε, 1980 = n(n+ 1) Û n 2 + n– 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 О Ν.

Απάντηση:Ναί, n = 44.

Πρόβλημα 4 .

Βρείτε το ποσό μικρό = ΕΝΑ 1 + ΕΝΑ 2 + ΕΝΑ 3 + … + ΕΝΑnαριθμοί ΕΝΑ 1, ΕΝΑ 2, ΕΝΑ 3, …,ΕΝΑn, που για κάθε φυσικό nικανοποιούν την ισότητα Sn = ΕΝΑ 1 + 2ΕΝΑ 2 + 3ΕΝΑ 3 + … + nΕΝΑn = .

Λύση. μικρό 1 = ένα 1 = 2/3.

Για n > 1, ναν = Sn – Sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Από εδώ, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

ΕΝΑ(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1) = 1

(ΕΝΑ + σι + ντο)n 2 + (3ΕΝΑ + 2σι + ντο)n + 2ΕΝΑ = 1,

Ας εξισώσουμε τους συντελεστές στις αντίστοιχες δυνάμεις n.

n 2 | ΕΝΑ + σι + ντο= 0,

n 1 | 3ΕΝΑ + 2σι+ ντο = 0,

n0 | 2 ΕΝΑ = 1.

Επιλύοντας το προκύπτον σύστημα, παίρνουμε ΕΝΑ = 1/2, ΣΕ= –1, C = 1/2.

Έτσι, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

Οπου , , n > 1,

μικρό¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

μικρό¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

μικρό = ΕΝΑ 1 + ΕΝΑ 2 + ΕΝΑ 3 + … + ΕΝΑn = ΕΝΑ 1 +=

=ΕΝΑ 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Πρόβλημα 5 .

Βρείτε τον μεγαλύτερο όρο της ακολουθίας .

Λύση. Ας βάλουμε bn = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Πριν αρχίσουμε να αποφασίζουμε προβλήματα αριθμητικής προόδου, ας εξετάσουμε τι είναι μια αριθμητική ακολουθία, αφού μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Αριθμητική ακολουθία είναι ένα σύνολο αριθμών, κάθε στοιχείο του οποίου έχει τον δικό του σειριακό αριθμό. Τα στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη της ακολουθίας. Ο σειριακός αριθμός ενός στοιχείου ακολουθίας υποδεικνύεται από ένα ευρετήριο:

Το πρώτο στοιχείο της ακολουθίας.

Το πέμπτο στοιχείο της ακολουθίας.

- το «η» στοιχείο της ακολουθίας, δηλ. στοιχείο "στέκεται στην ουρά" στον αριθμό n.

Υπάρχει μια σχέση μεταξύ της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας και του αριθμού ακολουθίας του. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε μια ακολουθία ως συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι ο τακτικός αριθμός του στοιχείου της ακολουθίας. Με άλλα λόγια, μπορούμε να το πούμε αυτό η ακολουθία είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος:

Η σειρά μπορεί να οριστεί με τρεις τρόπους:

1 . Η σειρά μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα.Σε αυτήν την περίπτωση, ορίζουμε απλώς την τιμή κάθε μέλους της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, Κάποιος αποφάσισε να αναλάβει προσωπική διαχείριση χρόνου και, για αρχή, να μετρήσει πόσο χρόνο ξοδεύει στο VKontakte κατά τη διάρκεια της εβδομάδας. Καταγράφοντας την ώρα στον πίνακα, θα λάβει μια ακολουθία που αποτελείται από επτά στοιχεία:

Η πρώτη γραμμή του πίνακα δείχνει τον αριθμό της ημέρας της εβδομάδας, η δεύτερη - την ώρα σε λεπτά. Βλέπουμε ότι, δηλαδή, τη Δευτέρα Κάποιος πέρασε 125 λεπτά στο VKontakte, δηλαδή την Πέμπτη - 248 λεπτά, και, δηλαδή, την Παρασκευή μόνο 15.

2 . Η αλληλουχία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο nth όρου.

Σε αυτή την περίπτωση, η εξάρτηση της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας από τον αριθμό του εκφράζεται απευθείας με τη μορφή ενός τύπου.

Για παράδειγμα, αν , τότε

Για να βρούμε την τιμή ενός στοιχείου ακολουθίας με έναν δεδομένο αριθμό, αντικαθιστούμε τον αριθμό του στοιχείου στον τύπο του nου όρου.

Κάνουμε το ίδιο πράγμα εάν πρέπει να βρούμε την τιμή μιας συνάρτησης εάν η τιμή του ορίσματος είναι γνωστή. Αντικαθιστούμε την τιμή του ορίσματος στην εξίσωση συνάρτησης:

Αν, για παράδειγμα, , Οτι

Επιτρέψτε μου να σημειώσω για άλλη μια φορά ότι σε μια ακολουθία, σε αντίθεση με μια αυθαίρετη αριθμητική συνάρτηση, το όρισμα μπορεί να είναι μόνο ένας φυσικός αριθμός.

3 . Η ακολουθία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν τύπο που εκφράζει την εξάρτηση της τιμής του αριθμού μέλους ακολουθίας n από τις τιμές των προηγούμενων μελών. Σε αυτή την περίπτωση, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τον αριθμό του μέλους της ακολουθίας για να βρούμε την τιμή του. Πρέπει να καθορίσουμε το πρώτο μέλος ή τα πρώτα μέλη της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη σειρά ,

Μπορούμε να βρούμε τις τιμές των μελών της ακολουθίας σε ακολουθία, ξεκινώντας από το τρίτο:

Δηλαδή, κάθε φορά, για να βρούμε την τιμή του ντος όρου της ακολουθίας, επιστρέφουμε στους δύο προηγούμενους. Αυτή η μέθοδος καθορισμού μιας ακολουθίας ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, από τη λατινική λέξη επανάληψη- ελα πισω.

Τώρα μπορούμε να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο. Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια απλή ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Αριθμητική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με την προηγούμενη που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό.

Ο αριθμός καλείται διαφορά αριθμητικής προόδου. Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή ίση με μηδέν.

Αν title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} αυξανόμενη.

Για παράδειγμα, 2; 5; 8; έντεκα;...

Αν , τότε κάθε όρος της αριθμητικής προόδου είναι μικρότερος από τον προηγούμενο, και η πρόοδος είναι μειώνεται.

Για παράδειγμα, 2; -1; -4; -7;...

Αν , τότε όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με τον ίδιο αριθμό, και η πρόοδος είναι ακίνητος.

Για παράδειγμα, 2;2;2;2;...

Η κύρια ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου:

Ας δούμε την εικόνα.

Το βλέπουμε αυτό

, και ταυτόχρονα

Προσθέτοντας αυτές τις δύο ισότητες, παίρνουμε:

.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το 2:

Άρα, κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο γειτονικών:

Επιπλέον, από τότε

, και ταυτόχρονα

, Οτι

, και ως εκ τούτου

Κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας με title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Τύπος του ου όρου.

Βλέπουμε ότι οι όροι της αριθμητικής προόδου ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις:

και τελικά

Πήραμε τύπος του ν ου όρου.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να εκφραστεί μέσω και. Γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου, μπορείτε να βρείτε οποιονδήποτε από τους όρους του.

Το άθροισμα των n όρων μιας αριθμητικής προόδου.

Σε μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο, τα αθροίσματα των όρων που ισαπέχουν από τους ακραίους είναι ίσα μεταξύ τους:

Θεωρήστε μια αριθμητική πρόοδο με n όρους. Έστω το άθροισμα των n όρων αυτής της προόδου ίσο με .

Ας τακτοποιήσουμε τους όρους της προόδου πρώτα σε αύξουσα σειρά αριθμών και μετά σε φθίνουσα σειρά:

Ας προσθέσουμε ανά δύο:

Το άθροισμα σε κάθε παρένθεση είναι , ο αριθμός των ζευγών είναι n.

Παίρνουμε:

Ετσι, Το άθροισμα των n όρων μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ας σκεφτούμε επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου.

1 . Η ακολουθία δίνεται από τον τύπο του nου όρου: . Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας αποδείξουμε ότι η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών όρων της ακολουθίας είναι ίση με τον ίδιο αριθμό.

Βρήκαμε ότι η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών μελών της ακολουθίας δεν εξαρτάται από τον αριθμό τους και είναι σταθερά. Επομένως, εξ ορισμού, αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

2 . Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος -31; -27;...

α) Να βρείτε 31 όρους της προόδου.

β) Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 41 περιλαμβάνεται σε αυτή την εξέλιξη.

ΕΝΑ)Βλέπουμε ότι ?

Ας γράψουμε τον τύπο για τον nο όρο για την πρόοδό μας.

Γενικά

Στην περίπτωσή μας , Να γιατί