Τάξη: 9

Στόχος: Να εξαγάγετε έναν τύπο για την εύρεση του αθροίσματος των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου.

Να διερευνήσει το ερώτημα του αθροίσματος των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου, που λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή.
να σχηματίσουν θετικά κίνητρα για γνωστική δραστηριότητα.
Ανάπτυξη λογικής σκέψης.
αναπτύξουν την προσοχή, την παρατήρηση, την ικανότητα ανάλυσης ενός σχεδίου.
να αναπτύξουν την ικανότητα εφαρμογής της αποκτηθείσας γνώσης για την επίλυση προβλημάτων.
να αναπτύξουν την επικοινωνιακή κουλτούρα των μαθητών.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Ο μεγάλος Ρώσος επιστήμονας, το καμάρι της ρωσικής γης,

Ο Mikhailo Vasilyevich Lomonosov είπε: «Η ακαταπόνητη δουλειά ξεπερνά τα εμπόδια». Ελπίζω ότι σήμερα στην τάξη η δουλειά μας θα μας βοηθήσει να ξεπεράσουμε όλα τα εμπόδια.

1. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων. (Μπροστινή έρευνα.)

Παρουσίαση. (Διαφάνειες 2–4)

– Να διατυπώσετε τον ορισμό ενός πολυγώνου, να ονομάσετε τα κύρια στοιχεία του.
– Ορισμός κυρτού πολυγώνου.
– Δώστε παραδείγματα τετράπλευρων γνωστών σε εσάς που είναι κυρτά πολύγωνα.
– Μπορεί ένα τρίγωνο να θεωρηθεί κυρτό πολύγωνο;
– Τι είναι η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου;

2. Δήλωση του προβλήματος (έξοδος στο θέμα του μαθήματος).

Προφορική μετωπική εργασία.

Να βρείτε το άθροισμα των γωνιών αυτών των πολυγώνων (Διαφάνειες 5–6)

– τρίγωνο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο:
– τραπεζοειδές; αυθαίρετο επτάγωνο.

Σε περίπτωση δυσκολίας, ο δάσκαλος κάνει ερωτήσεις:

– Να διατυπώσετε τον ορισμό του τραπεζοειδούς.
– Ονομάστε τις βάσεις του τραπεζοειδούς.
– Τι μπορεί να ειπωθεί για ένα ζευγάρι γωνιών Α και Δ, τι ιδιότητες έχουν;
– Είναι δυνατόν να ονομάσουμε και μερικά εσωτερικά μονόπλευρα αλιεύματα στο σχέδιο;
– Μπόρεσες να βρεις το άθροισμα των γωνιών ενός επτάγωνου; Ποιά είναι η ερώτηση? (Υπάρχει τύπος για την εύρεση του αθροίσματος των γωνιών ενός αυθαίρετου πολυγώνου;)

Άρα, είναι σαφές ότι οι γνώσεις μας σήμερα δεν επαρκούν για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα.

Πώς μπορούμε να διατυπώσουμε το θέμα του μαθήματός μας; – Άθροισμα γωνιώνκυρτό πολύγωνο.

3. Λύση Προβλήματα. Για να απαντήσουμε στην ερώτηση, ας κάνουμε μια μικρή έρευνα.

Γνωρίζουμε ήδη το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε με οποιονδήποτε τρόπο;

– Τι πρέπει να γίνει για αυτό; (Χωρίστε το πολύγωνο σε τρίγωνα.)

– Πώς μπορεί ένα πολύγωνο να χωριστεί σε τρίγωνα; Σκεφτείτε το, συζητήστε και προσφέρετε τις καλύτερες επιλογές σας.

Η εργασία πραγματοποιείται σε ομάδες, κάθε ομάδα εργάζεται σε ξεχωριστό υπολογιστή στον οποίο είναι εγκατεστημένο το πρόγραμμα "Geo Gebra".

Στο τέλος της εργασίας, ο δάσκαλος εμφανίζει τα αποτελέσματα της εργασίας των ομάδων στην οθόνη. (Διαφάνεια 7)

– Ας αναλύσουμε τις προτεινόμενες επιλογές και ας προσπαθήσουμε να επιλέξουμε την πιο βέλτιστη για τη μελέτη μας.

Ας αποφασίσουμε για τα κριτήρια επιλογής: τι θέλουμε να πάρουμε ως αποτέλεσμα της κατάτμησης; (Το άθροισμα όλων των γωνιών των κατασκευασμένων τριγώνων πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου.)

– Ποιες επιλογές μπορούν να απορριφθούν αμέσως; Γιατί;

(Επιλογή 1, αφού το άθροισμα των γωνιών όλων των τριγώνων δεν είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου.)

– Ποια επιλογή είναι η καταλληλότερη; Γιατί; (Επιλογή 3.)

Πώς σας ήρθε αυτή η επιλογή; (Σχεδιάστε διαγώνιες από μια κορυφή του πολυγώνου

σχέδιο	n – αριθμός κορυφών του πολυγώνου	Αριθμός διαγωνίων που προέρχονται από μία κορυφή	Αριθμός τριγώνων που ελήφθησαν
	4
	5
	6
	7
	n

– Ας προσπαθήσουμε να δημιουργήσουμε μια σχέση μεταξύ του αριθμού των κορυφών ενός πολυγώνου, του αριθμού των διαγωνίων που μπορούν να ληφθούν από μια κορυφή και του αριθμού των τριγώνων που προέκυψαν.

Κάθε ομάδα λαμβάνει έναν πίνακα που πρέπει να συμπληρώσει κατά τη διάρκεια της ερευνητικής διαδικασίας.

Μετά από συζήτηση σε ομάδες, τα παιδιά διατυπώνουν τα συμπεράσματά τους:
από μια κορυφή ενός n-γωνίου μπορεί κανείς να σχεδιάσει n – 3 διαγώνιους (καθώς μια διαγώνιος δεν μπορεί να σχεδιαστεί στην ίδια την επιλεγμένη κορυφή και σε δύο γειτονικές). Σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε n – 2 τρίγωνα.

Επομένως, το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι 180 0 (n-2).

– Ας επιστρέψουμε στις προτεινόμενες επιλογές για τη διαίρεση ενός πολυγώνου σε τρίγωνα.

Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η έκδοση που προτείνεται στο Σχήμα 4 για να αποδειχθεί αυτό το θεώρημα;

– Πόσα τρίγωνα αποκτάτε με αυτό το διαμέρισμα; ( Ππράγματα)
– Πόσο διαφέρει το άθροισμα των γωνιών όλων των τριγώνων από το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου; (Στο 360 0)
– Πώς μπορείτε να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου σε αυτή την περίπτωση;

(180Π– 360 = 180p – 180x2 = 180(p -2))(Cμόλυβδος 8)

– Η επιλογή που προτείνεται στο Σχήμα 2 ικανοποιεί την κύρια απαίτηση που ορίσαμε για την κατάτμηση; (Ναί.)

– Γιατί δεν είναι σκόπιμο να το χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου; (Είναι πιο δύσκολο να μετρήσετε τον αριθμό των τριγώνων που λαμβάνετε.)

Λοιπόν, τώρα ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα που δεν μπορέσαμε να λύσουμε στην αρχή του μαθήματος.

(Τα παιδιά υπολογίζουν προφορικά το άθροισμα των γωνιών ενός επτάγωνου και δύο ακόμη παρόμοιες ασκήσεις.) (Διαφάνεια 9 και 10)

4. Εφαρμογή της αποκτηθείσας γνώσης .

Εξάγαμε έναν τύπο για την εύρεση του αθροίσματος των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου. Τώρα ας μιλήσουμε για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου, που λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή.

Έτσι, το πρόβλημα είναι: τι είναι μεγαλύτερο: το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, που λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή, ενός κυρτού εξαγώνου ή ενός τριγώνου; (Διαφάνεια 11)

Τα παιδιά εκφράζουν τις εικασίες τους. Ο δάσκαλος προτείνει τη διεξαγωγή έρευνας για την επίλυση αυτού του ζητήματος.

Κάθε ομάδα λαμβάνει μια εργασία για να λύσει ανεξάρτητα.

Ομάδα 1.

1) Να βρείτε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, που λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή, ενός κανονικού τριγώνου.
2) – Για ένα τρίγωνο, οι τιμές μοιρών των γωνιών είναι ίσες με 70 0, 80 0 και 30 0, αντίστοιχα.

Ομάδα 2.

1) Να βρείτε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, που λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή, του ορθογωνίου.
2) – Ένα τετράπλευρο του οποίου οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες με 70 0, 80 0 και 120 0 και 90 0, αντίστοιχα.

Ομάδα 3.

1) Να βρείτε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, που λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή, ενός κανονικού εξαγώνου.
2) – Για ένα εξάγωνο του οποίου οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες με 170 0, 80 0 και 130 0, 100 0, 70 0, 170 0, αντίστοιχα.

Μετά την ολοκλήρωση της εργασίας, τα παιδιά αναφέρουν τα αποτελέσματά τους, ο δάσκαλος τα εισάγει σε έναν πίνακα και τα δείχνει στην οθόνη. (Διαφάνεια 12)

Λοιπόν, τι συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί από τα αποτελέσματα που προέκυψαν; (Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, που λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή, για οποιοδήποτε πολύγωνο είναι 360 0.)

Τώρα ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε αυτό το γεγονός για οποιοδήποτε n-gon.

Εάν προκύψουν δυσκολίες, το σχέδιο απόδειξης συζητείται συλλογικά:

1. Να χαρακτηρίσετε τις εσωτερικές γωνίες του πολυγώνου με α, β, γ κ.λπ.
2. Να εκφράσετε τα μέτρα βαθμών των εξωτερικών γωνιών χρησιμοποιώντας τον εισαγόμενο συμβολισμό
3. Δημιουργήστε μια παράσταση για να βρείτε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου
4. Μεταμορφώστε την παράσταση που προκύπτει, χρησιμοποιήστε τον τύπο που λήφθηκε προηγουμένως για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου.

Η απόδειξη είναι γραμμένη στον πίνακα:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 p – (α+ β +γ + …) = 180 p – 180(p – 2) = 360

5. Εμπέδωση της μελετημένης ύλης. Επίλυση προβλήματος.

Πρόβλημα 1. Υπάρχει κυρτό πολύγωνο με τις ακόλουθες εσωτερικές γωνίες: 45 0, 68 0, 73 0 και 56 0; Εξήγησε την απάντησή σου.

Ας κάνουμε μια απόδειξη με αντίφαση. Εάν ένα κυρτό πολύγωνο έχει τέσσερις οξείες εσωτερικές γωνίες, τότε μεταξύ των εξωτερικών γωνιών του υπάρχουν τέσσερις αμβλείες, που σημαίνει ότι το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών του πολυγώνου είναι μεγαλύτερο από 4 * 90 0 = 360 0 . Έχουμε μια αντίφαση. Η δήλωση έχει αποδειχθεί.

Ένα κυρτό πολύγωνο έχει τρεις γωνίες 80 μοιρών και το υπόλοιπο 150 μοιρών. Πόσες γωνίες υπάρχουν σε ένα κυρτό πολύγωνο;

Επειδή: για ένα κυρτό n-gon, το άθροισμα των γωνιών είναι 180°(n – 2) , τότε 180(n – 2)=3*80 + x*150, όπου μας δίνονται 3 γωνίες των 80 μοιρών σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος και ο αριθμός των άλλων γωνιών είναι ακόμα άγνωστος σε εμάς, πράγμα που σημαίνει ότι συμβολίστε τον αριθμό τους με x.

Ωστόσο, από την καταχώρηση στην αριστερή πλευρά προσδιορίσαμε τον αριθμό των γωνιών του πολυγώνου ως n, αφού από αυτές γνωρίζουμε τις τιμές τριών γωνιών από τις συνθήκες του προβλήματος, είναι προφανές ότι x = n-3.

Άρα η εξίσωση θα μοιάζει με αυτό: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

Απάντηση: 5 κορυφές.

6. Συνοψίζοντας το μάθημα.

Ετσι, ας συνοψίσουμε. Διατυπώστε τις ερωτήσεις σας για τα παιδιά από την άλλη ομάδα με βάση τα υλικά από το σημερινό μάθημα.

Ποια ερώτηση πιστεύετε ότι είναι η καλύτερη;

Συζητήστε τον βαθμό συμμετοχής κάθε μέλους της ομάδας στη συλλογική εργασία, αναφέρετε τα πιο ενεργά.

Ποιανού η εργασία στην ομάδα ήταν η πιο αποτελεσματική;

7. Εργασία για το σπίτι:

1. Εργασία.

Σε ένα πολύγωνο, τρεις γωνίες είναι 113 μοίρες η καθεμία, και οι υπόλοιπες είναι ίσες και το μέτρο της μοίρας τους είναι ακέραιος. Να βρείτε τον αριθμό των κορυφών του πολυγώνου.

2. παράγραφος 114 σελ. 169–171, Pogorelov A.V. "Γεωμετρία 7-9."

Εσωτερική γωνία πολυγώνουείναι η γωνία που σχηματίζεται από δύο γειτονικές πλευρές ενός πολυγώνου. Για παράδειγμα, ∠ αλφάβητοείναι μια εσωτερική γωνία.

Εξωτερική γωνία πολυγώνουείναι η γωνία που σχηματίζει η μία πλευρά του πολυγώνου και η συνέχεια της άλλης πλευράς. Για παράδειγμα, ∠ L.B.C.είναι μια εξωτερική γωνία.

Ο αριθμός των γωνιών ενός πολυγώνου είναι πάντα ίσος με τον αριθμό των πλευρών του. Αυτό ισχύει τόσο για τις εσωτερικές όσο και για τις εξωτερικές γωνίες. Αν και δύο ίσες εξωτερικές γωνίες μπορούν να κατασκευαστούν για κάθε κορυφή ενός πολυγώνου, μόνο μία από αυτές λαμβάνεται πάντα υπόψη. Επομένως, για να βρείτε τον αριθμό των γωνιών οποιουδήποτε πολυγώνου, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των πλευρών του.

Άθροισμα εσωτερικών γωνιών

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι ίσο με το γινόμενο των 180° και του αριθμού των πλευρών μείον δύο.

μικρό = 2ρε(n - 2)

Οπου μικρόείναι το άθροισμα των γωνιών, 2 ρε- δύο ορθές γωνίες (δηλαδή 2 90 = 180°), και n- αριθμός πλευρών.

Αν τραβήξουμε από την κορυφή ΕΝΑπολύγωνο ABCDEFόλες τις πιθανές διαγώνιες, στη συνέχεια το χωρίζουμε σε τρίγωνα, ο αριθμός των οποίων θα είναι δύο μικρότεροι από τις πλευρές του πολυγώνου:

Επομένως, το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου θα είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών όλων των τριγώνων που προκύπτουν. Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180° (2 ρε), τότε το άθροισμα των γωνιών όλων των τριγώνων θα είναι ίσο με το γινόμενο 2 ρεμε τον αριθμό τους:

μικρό = 2ρε(n- 2) = 180 4 = 720°

Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι σταθερή τιμή και εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.

Άθροισμα εξωτερικών γωνιών

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι 360° (ή 4 ρε).

μικρό = 4ρε

Οπου μικρόείναι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, 4 ρε- τέσσερις ορθές γωνίες (δηλαδή, 4 90 = 360°).

Το άθροισμα των εξωτερικών και εσωτερικών γωνιών σε κάθε κορυφή του πολυγώνου είναι 180° (2 ρε), αφού είναι γειτονικές γωνίες. Για παράδειγμα, ∠ 1 και ∠ 2 :

Επομένως, εάν ένα πολύγωνο έχει nκόμματα (και nκορυφές), τότε το άθροισμα των εξωτερικών και εσωτερικών γωνιών για όλα nοι κορυφές θα είναι ίσες με 2 dn. Ώστε από αυτό το ποσό 2 dnγια να πάρετε μόνο το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, πρέπει να αφαιρέσετε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών από αυτό, δηλαδή 2 ρε(n - 2):

μικρό = 2dn - 2ρε(n - 2) = 2dn - 2dn + 4ρε = 4ρε

Εκμάθηση βίντεο 2: Πολύγωνα. Επίλυση προβλήματος

Διάλεξη: Πολύγωνο. Άθροισμα γωνιών κυρτού πολυγώνου

Πολύγωνα- αυτές είναι φιγούρες που μας περιβάλλουν παντού - αυτό είναι το σχήμα των κηρηθρών στις οποίες οι μέλισσες αποθηκεύουν το μέλι τους, τις αρχιτεκτονικές δομές και πολλά άλλα.

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, τα πολύγωνα είναι σχήματα που έχουν περισσότερες από δύο γωνίες. Αποτελούνται από μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή.

Επιπλέον, οι γωνίες των πολυγώνων μπορεί να είναι εξωτερικές και εσωτερικές. Για παράδειγμα, ένα αστέρι είναι ένα σχήμα που έχει 10 γωνίες, μερικές από αυτές κυρτές και άλλες κοίλες:

Παραδείγματα κυρτών πολυγώνων:

Λάβετε υπόψη ότι το σχήμα δείχνει κανονικά πολύγωνα - αυτά είναι αυτά που μελετώνται λεπτομερώς στο μάθημα των μαθηματικών του σχολείου.

Κάθε πολύγωνο έχει τον ίδιο αριθμό κορυφών με τον αριθμό των πλευρών. Σημειώστε επίσης ότι γειτονικές κορυφές είναι αυτές που έχουν μία κοινή πλευρά. Για παράδειγμα, ένα τρίγωνο έχει όλες τις κορυφές του γειτονικές.

Όσο περισσότερες γωνίες έχει ένα κανονικό πολύγωνο, τόσο μεγαλύτερο είναι το μέτρο του βαθμού του. Ωστόσο, το μέτρο της μοίρας της γωνίας ενός κυρτού πολυγώνου δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 180 μοίρες.

Για να προσδιορίσετε το γενικό μέτρο βαθμού ενός πολυγώνου, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο.

Πολύγωνα. Τύποι πολυγώνων. Εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες κυρτού πολυγώνου. Άθροισμα εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού n-gon (θεώρημα). Άθροισμα εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού n-gon (θεώρημα). Κανονικά πολύγωνα. Κύκλος περιγεγραμμένος σε κανονικό πολύγωνο (θεώρημα, συμπέρασμα 1,2)

Η εσωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή. Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που γειτνιάζει με το εσωτερικό σε αυτήν την κορυφή. εσωτερική γωνία εξωτερική γωνία

Θεώρημα. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι (n – 2) · 180 о, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου. Δίνεται: κυρτό n-gon. Απόδειξη: α = (n – 2) ·180 о Απόδειξη Μέσα στο n-γώνιο, πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο O και συνδέστε το με όλες τις κορυφές. Το πολύγωνο θα χωριστεί σε n τρίγωνα με κοινή κορυφή Ο. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 o, επομένως, το άθροισμα των γωνιών όλων των τριγώνων είναι 180 o n. Αυτό το άθροισμα, εκτός από το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών του πολυγώνου, περιλαμβάνει το άθροισμα των γωνιών των τριγώνων στην κορυφή Ο, ίσο με 360 μοίρες. Έτσι, το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου είναι ίσο με 180 o n – 360 o = (n – 2) · 180 o. Άρα, n = (n – 2) 180 o. Και τα λοιπά. Ο

Θεώρημα. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου, που λαμβάνεται μία σε κάθε κορυφή, δεν εξαρτάται από το n και είναι ίσο με 360, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του n-γώνου. Απόδειξη. Εφόσον η εξωτερική γωνία ενός πολυγώνου γειτνιάζει με την αντίστοιχη εσωτερική γωνία και το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι ίσο με 180, τότε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου είναι ίσο με: 180 о n – (n – 2) · 180 о = 180 о · n – 180 о · n о = 360 о . Εξωτερική και εσωτερική εσωτερική Άρα, το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου, που λαμβάνεται μία σε κάθε κορυφή, δεν εξαρτάται από το n και είναι ίσο με 360 o, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του n-γώνου. Και τα λοιπά.

Θεώρημα. Σε οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο και μόνο έναν. Απόδειξη. Έστω A1,A2,…,A n ένα κανονικό πολύγωνο, O το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. OA1A2 = OA2A3 = OAnA1, επομένως τα ύψη αυτών των τριγώνων που αντλούνται από την κορυφή Ο είναι επίσης ίσα με ОН1 = ОН2 =…= ОНn. Επομένως, ένας κύκλος με άρα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα OH1 διέρχεται από τα σημεία H1, H2, ..., Hn και αγγίζει τις πλευρές του πολυγώνου σε αυτά τα σημεία, δηλ. ο κύκλος εγγράφεται στο δεδομένο πολύγωνο. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

Ας αποδείξουμε ότι υπάρχει μόνο ένας εγγεγραμμένος κύκλος. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας άλλος κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ΟΑ. Τότε το κέντρο του απέχει από τις πλευρές του πολυγώνου, δηλαδή το σημείο Ο1 βρίσκεται σε καθεμία από τις διχοτόμους των γωνιών του πολυγώνου και επομένως συμπίπτει με το σημείο Ο της τομής αυτών των διχοτόμων. Η ακτίνα αυτού του κύκλου είναι ίση με την απόσταση από το σημείο Ο έως τις πλευρές του πολυγώνου, δηλ. ισούται με OH1 Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο. Συμπέρασμα 1 Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε κανονικό πολύγωνο αγγίζει τις πλευρές του πολυγώνου στα μέσα τους. Συμπέρασμα 2 Το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα κανονικό πολύγωνο συμπίπτει με το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου στο ίδιο πολύγωνο.

Σημείωση. Αυτό το υλικό περιέχει το θεώρημα και την απόδειξή του, καθώς και μια σειρά προβλημάτων που απεικονίζουν την εφαρμογή του θεωρήματος στο άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου χρησιμοποιώντας πρακτικά παραδείγματα.

Θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου

Απόδειξη.

Για να αποδείξουμε το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου, χρησιμοποιούμε το ήδη αποδεδειγμένο θεώρημα ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180 μοίρες.

Έστω A 1 A 2... A n δεδομένο κυρτό πολύγωνο, και n > 3. Ας τραβήξουμε όλες τις διαγώνιους του πολυγώνου από την κορυφή του A 1. Το χωρίζουν σε n – 2 τρίγωνα: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου είναι το άθροισμα των γωνιών όλων αυτών των τριγώνων. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180° και ο αριθμός των τριγώνων είναι (n – 2). Επομένως, το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου A 1 A 2... A n είναι ίσο με 180° (n – 2).

Εργο.

Λύση.

Το θεώρημα αναφέρει: Για ένα κυρτό n-gon, το άθροισμα των γωνιών είναι 180°(n-2) .

Λοιπόν, για την περίπτωσή μας:

180(n-2)=3*80+x*150, όπου

Μας δίνονται 3 γωνίες των 80 μοιρών σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος και ο αριθμός των γωνιών που απομένουν μας είναι ακόμα άγνωστος, οπότε συμβολίζουμε τον αριθμό τους ως x.

Άρα η εξίσωση θα μοιάζει με αυτό:

180(n-2)=240+150(n-3)

Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Απάντηση: 5 κορυφές

Εργο.

Πόσες κορυφές μπορεί να έχει ένα πολύγωνο αν κάθε γωνία είναι μικρότερη από 120 μοίρες;

Λύση.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου.

Το θεώρημα αναφέρει: Για ένα κυρτό n-gon, το άθροισμα όλων των γωνιών είναι 180°(n-2) .

Αυτό σημαίνει ότι για την περίπτωσή μας είναι απαραίτητο να εκτιμήσουμε πρώτα τις οριακές συνθήκες του προβλήματος. Δηλαδή, υποθέστε ότι κάθε μία από τις γωνίες είναι ίση με 120 μοίρες. Παίρνουμε:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (θα εξετάσουμε αυτήν την έκφραση ξεχωριστά παρακάτω)

Με βάση την εξίσωση που προκύπτει, συμπεραίνουμε: εάν οι γωνίες είναι μικρότερες από 120 μοίρες, ο αριθμός των γωνιών του πολυγώνου είναι μικρότερος από έξι.

Εξήγηση:

Με βάση την έκφραση 180n - 120n = 360, με την προϋπόθεση ότι το υπόβαθρο της δεξιάς πλευράς είναι μικρότερο από 120n, η διαφορά θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 60n. Έτσι, το πηλίκο της διαίρεσης θα είναι πάντα μικρότερο από έξι.

Απάντηση:ο αριθμός των κορυφών του πολυγώνου θα είναι μικρότερος από έξι.

Εργο

Λύση.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε το θεώρημα για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου.

Το θεώρημα αναφέρει: Για ένα κυρτό n-gon, το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών είναι 360° .

Ετσι,

3*(180-113)+(n-3)x=360

η δεξιά πλευρά της έκφρασης είναι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, στην αριστερή πλευρά το άθροισμα των τριών γωνιών είναι γνωστό από την συνθήκη και το μέτρο της μοίρας των υπολοίπων (ο αριθμός τους, αντίστοιχα, n-3, αφού είναι γνωστές τρεις γωνίες) ορίζεται ως x.

Το 159 διασπάται μόνο σε δύο παράγοντες 53 και 3, με τον 53 να είναι πρώτος αριθμός. Δηλαδή δεν υπάρχουν άλλα ζεύγη παραγόντων.

Έτσι, n-3 = 3, n=6, δηλαδή ο αριθμός των γωνιών του πολυγώνου είναι έξι.

Απάντηση: έξι γωνίες

Εργο

Να αποδείξετε ότι ένα κυρτό πολύγωνο μπορεί να έχει το πολύ τρεις οξείες γωνίες.

Λύση

Όπως γνωρίζετε, το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι 360 0. Ας πραγματοποιήσουμε μια απόδειξη με αντίφαση. Εάν ένα κυρτό πολύγωνο έχει τουλάχιστον τέσσερις οξείες εσωτερικές γωνίες, τότε μεταξύ των εξωτερικών γωνιών του υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις αμβλείες γωνίες, πράγμα που σημαίνει ότι το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών του πολυγώνου είναι μεγαλύτερο από 4 * 90 0 = 360 0 . Έχουμε μια αντίφαση. Η δήλωση έχει αποδειχθεί.