Αντιστοιχεί σε τέτοιο διανυσματικό χώρο. Σε αυτό το άρθρο, ο πρώτος ορισμός θα ληφθεί ως σημείο εκκίνησης.

N (\displaystyle n)-ο διαστατικός ευκλείδειος χώρος συνήθως συμβολίζεται E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); ο συμβολισμός χρησιμοποιείται επίσης συχνά όταν είναι σαφές από τα συμφραζόμενα ότι ο χώρος είναι εφοδιασμένος με μια φυσική ευκλείδεια δομή.

Επίσημος ορισμός

Για να ορίσουμε τον Ευκλείδειο χώρο, ο ευκολότερος τρόπος είναι να λάβουμε ως κύρια έννοια το βαθμωτό γινόμενο. Ένας Ευκλείδειος διανυσματικός χώρος ορίζεται ως ένας πεπερασμένος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών, στα ζεύγη των διανυσμάτων του οποίου καθορίζεται μια συνάρτηση με πραγματική αξία (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)έχει τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

Παράδειγμα Ευκλείδειου χώρου - χώρος συντεταγμένων R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)που αποτελείται από όλα τα πιθανά σύνολα πραγματικών αριθμών (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\lddots ,x_(n)),)κλιμακωτό προϊόν στο οποίο προσδιορίζεται από τον τύπο (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\style display (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Μήκη και γωνίες

Το βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται στον Ευκλείδειο χώρο είναι αρκετό για να εισαγάγει τις γεωμετρικές έννοιες του μήκους και της γωνίας. Διάνυσμα μήκος u (\displaystyle u)ορίζεται ως (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))και ορίζεται | u | . (\displaystyle |u|.)Η θετική οριστικότητα του βαθμωτού γινόμενου εγγυάται ότι το μήκος του μη μηδενικού διανύσματος είναι μη μηδενικό και από τη διγραμμικότητα προκύπτει ότι | a u | = | α | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)δηλαδή τα μήκη των αναλογικών διανυσμάτων είναι ανάλογα.

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων u (\displaystyle u)Και v (\displaystyle v)καθορίζεται από τον τύπο φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).)Από το θεώρημα συνημιτόνου προκύπτει ότι για έναν δισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ( Ευκλείδειο επίπεδο) αυτός ο ορισμός της γωνίας συμπίπτει με τον συνηθισμένο. Τα ορθογώνια διανύσματα, όπως στον τρισδιάστατο χώρο, μπορούν να οριστούν ως διανύσματα η γωνία μεταξύ των οποίων είναι ίση με π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Η ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz και η ανισότητα του τριγώνου

Υπάρχει ένα κενό στον ορισμό της γωνίας που δόθηκε παραπάνω: προκειμένου να arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\δεξιά))έχει οριστεί, είναι απαραίτητο η ανισότητα | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \αριστερά|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Αυτή η ανισότητα ισχύει σε έναν αυθαίρετο Ευκλείδειο χώρο και ονομάζεται ανισότητα Cauchy–Bunyakovsky–Schwartz. Από αυτή την ανισότητα, με τη σειρά της, ακολουθεί η τριγωνική ανισότητα: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)Η ανισότητα του τριγώνου, μαζί με τις ιδιότητες μήκους που αναφέρονται παραπάνω, σημαίνει ότι το μήκος ενός διανύσματος είναι κανόνας στον ευκλείδειο διανυσματικό χώρο και η συνάρτηση d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)ορίζει τη δομή ενός μετρικού χώρου στον Ευκλείδειο χώρο (αυτή η συνάρτηση ονομάζεται Ευκλείδεια μετρική). Ειδικότερα, η απόσταση μεταξύ των στοιχείων (σημείων) x (\displaystyle x)Και y (\displaystyle y)χώρο συντεταγμένων R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))δίνεται από τον τύπο d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Αλγεβρικές ιδιότητες

Ορθοκανονικές βάσεις

Συζευγμένοι χώροι και τελεστές

Οποιοδήποτε διάνυσμα x (\displaystyle x)Ο Ευκλείδειος χώρος ορίζει μια γραμμική συνάρτηση x ∗ (\displaystyle x^(*))σε αυτόν τον χώρο, που ορίζεται ως x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Αυτή η σύγκριση είναι ένας ισομορφισμός μεταξύ του Ευκλείδειου χώρου και του διπλού του χώρου και επιτρέπει την αναγνώρισή τους χωρίς συμβιβασμούς στους υπολογισμούς. Ειδικότερα, οι συζευγμένοι τελεστές μπορούν να θεωρηθούν ότι δρουν στον αρχικό χώρο και όχι στον διπλό του, και οι αυτοσυνδεόμενοι τελεστές μπορούν να οριστούν ως τελεστές που συμπίπτουν με τους συζυγείς τους. Σε μια ορθοκανονική βάση, η μήτρα του πρόσθετου τελεστή μεταφέρεται στη μήτρα του αρχικού τελεστή και η μήτρα του αυτοσυνημμένου τελεστή είναι συμμετρική.

Κινήσεις του Ευκλείδειου χώρου

Οι κινήσεις του Ευκλείδειου χώρου είναι μετασχηματισμοί που διατηρούν τη μέτρηση (ονομάζονται επίσης ισομετρίες). Παράδειγμα κίνησης - παράλληλη μετάφραση σε διάνυσμα v (\displaystyle v), που μεταφράζει το σημείο p (\displaystyle p)ακριβώς p + v (\displaystyle p+v). Είναι εύκολο να δούμε ότι οποιαδήποτε κίνηση είναι μια σύνθεση παράλληλης μετάφρασης και μετασχηματισμού που κρατά σταθερό ένα σημείο. Επιλέγοντας ένα σταθερό σημείο ως αρχή συντεταγμένων, οποιαδήποτε τέτοια κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ως

4.3.1 Ορισμός γραμμικού χώρου

Αφήνω ā , , - στοιχεία κάποιου συνόλου ā , , Γη λ , μ - πραγματικούς αριθμούς, λ , μ R..

Το σύνολο L ονομάζεταιγραμμικός ήδιανυσματικός χώρος, εάν ορίζονται δύο πράξεις:

1 0 . Πρόσθεση. Κάθε ζεύγος στοιχείων αυτού του συνόλου σχετίζεται με ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου, που ονομάζεται άθροισμά τους

ā + =

2°.Πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό. Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός λ και στοιχείο ā μεγάλοταιριάζει με ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου λ ā μεγάλοκαι ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. υπάρχει μηδενικό στοιχείο
, τέτοιο που ā +=ā ;

4. υπάρχει αντίθετο στοιχείο -
τέτοια που ā +(-ā )=.

Αν λ , μ - πραγματικοί αριθμοί, τότε:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Στοιχεία γραμμικού χώρου ā, , ... ονομάζονται διανύσματα.

Ασκηση.Δείξτε στον εαυτό σας ότι αυτά τα σύνολα σχηματίζουν γραμμικούς χώρους:

1) Ένα σύνολο γεωμετρικών διανυσμάτων σε ένα επίπεδο.

2) Πολλά γεωμετρικά διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο.

3) Ένα σύνολο πολυωνύμων κάποιου βαθμού.

4) Ένα σύνολο πινάκων ίδιας διάστασης.

4.3.2 Γραμμικά εξαρτώμενα και ανεξάρτητα διανύσματα. Διάσταση και βάση του χώρου

Γραμμικός συνδυασμός φορείς ā 1 , ā 2 , …, ā n μεγάλοονομάζεται διάνυσμα του ίδιου χώρου της μορφής:

Οπου λ είμαι πραγματικοί αριθμοί.

Διανύσματα ā 1 , .. , ā n λέγονταιγραμμικά ανεξάρτητο, αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι μηδενικό διάνυσμα αν και μόνο αν όλα τα λΕγώ είναι ίσα με μηδέν,αυτό είναι

λ i =0

Αν ο γραμμικός συνδυασμός είναι μηδενικό διάνυσμα και τουλάχιστον ένα από λ Εγώείναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε αυτά τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτημένα. Το τελευταίο σημαίνει ότι τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων διανυσμάτων. Πράγματι, ακόμα κι αν, για παράδειγμα,
. Επειτα,
, Οπου

.

Ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο διατεταγμένο σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται βάση χώρος μεγάλο. Ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης ονομάζεται διάσταση χώρος.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, τότε καλείται ο χώρος n-διαστατικός. Άλλα διανύσματα χώρου μπορούν να αναπαρασταθούν ως γραμμικός συνδυασμός nδιανύσματα βάσης. Ανά βάση n- μπορεί να ληφθεί διαστασιακός χώρος όποιος nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αυτού του χώρου.

Παράδειγμα 17.Βρείτε τη βάση και τη διάσταση αυτών των γραμμικών χώρων:

α) ένα σύνολο διανυσμάτων που βρίσκονται σε μια γραμμή (συγγραμμικά σε κάποια γραμμή)

β) ένα σύνολο διανυσμάτων που ανήκουν στο επίπεδο

γ) ένα σύνολο διανυσμάτων τρισδιάστατου χώρου

δ) ένα σύνολο πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από δύο.

Λύση.

ΕΝΑ)Οποιαδήποτε δύο διανύσματα βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή θα εξαρτώνται γραμμικά, καθώς τα διανύσματα είναι συγγραμμικά
, Οτι
, λ - βαθμωτό μέγεθος. Κατά συνέπεια, η βάση ενός δεδομένου χώρου είναι μόνο ένα (οποιοδήποτε) διάνυσμα διαφορετικό από το μηδέν.

Συνήθως ο χώρος αυτός ορίζεται R, η διάστασή του είναι 1.

σι)οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα
θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και οποιαδήποτε τρία διανύσματα στο επίπεδο θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Για οποιοδήποτε διάνυσμα , υπάρχουν αριθμοί  Και  τέτοια που
. Ο χώρος ονομάζεται δισδιάστατος, που συμβολίζεται με R 2 .

Η βάση ενός δισδιάστατου χώρου σχηματίζεται από οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα.

V)Οποιαδήποτε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου R 3 .

ΣΟΛ)Ως βάση για το χώρο των πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από δύο, μπορούμε να επιλέξουμε τα ακόλουθα τρία διανύσματα: ē 1 = Χ 2 ; ē 2 = Χ; ē 3 =1 .

(1 είναι ένα πολυώνυμο πανομοιότυπα ίσο με ένα). Ο χώρος αυτός θα είναι τρισδιάστατος.

Γραμμικό (διάνυσμα)Ένα διάστημα είναι ένα σύνολο V αυθαίρετων στοιχείων που ονομάζονται διανύσματα, στο οποίο ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό, δηλ. σε οποιαδήποτε δύο διανύσματα \mathbf(u) και (\mathbf(v)) εκχωρείται ένα διάνυσμα \mathbf(u)+\mathbf(v), που ονομάζεται το άθροισμα των διανυσμάτων \mathbf(u) και (\mathbf(v)), κάθε διάνυσμα (\mathbf(v)) και οποιοσδήποτε αριθμός \λάμδα από το πεδίο των πραγματικών αριθμών \mathbb(R) σχετίζεται με ένα διάνυσμα \lambda\mathbf(v), που ονομάζεται γινόμενο του διανύσματος \mathbf(v) με τον αριθμό \λάμδα ; άρα πληρούνται οι εξής προϋποθέσεις:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\σε V(ανταλλαγή της προσθήκης).
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\σε V(συνειρμότητα προσθήκης);
3. υπάρχει ένα στοιχείο \mathbf(o)\στο V , που ονομάζεται μηδενικό διάνυσμα, έτσι ώστε \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\σε V;
4. για κάθε διάνυσμα (\mathbf(v)) υπάρχει ένα διάνυσμα που ονομάζεται αντίθετο από το διάνυσμα \mathbf(v) έτσι ώστε \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\σε V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ σε\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\σε V.

Καλούνται οι συνθήκες 1-8 αξιώματα του γραμμικού χώρου. Το πρόσημο ίσου που τοποθετείται μεταξύ των διανυσμάτων σημαίνει ότι η αριστερή και η δεξιά πλευρά της ισότητας αντιπροσωπεύουν το ίδιο στοιχείο του συνόλου V ονομάζονται ίσα.

Στον ορισμό του γραμμικού χώρου, εισάγεται η λειτουργία του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό για πραγματικούς αριθμούς. Ένας τέτοιος χώρος λέγεται γραμμικό διάστημα πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών, ή, εν ολίγοις, πραγματικό γραμμικό χώρο. Αν στον ορισμό, αντί για το πεδίο \mathbb(R) των πραγματικών αριθμών, πάρουμε το πεδίο των μιγαδικών αριθμών \mathbb(C) , τότε παίρνουμε γραμμικό διάστημα πάνω από το πεδίο των μιγαδικών αριθμών, ή, εν ολίγοις, πολύπλοκος γραμμικός χώρος. Ως αριθμητικό πεδίο, μπορούμε επίσης να επιλέξουμε το πεδίο \mathbb(Q) των ρητών αριθμών και σε αυτή την περίπτωση λαμβάνουμε ένα γραμμικό διάστημα πάνω από το πεδίο των ρητών αριθμών. Στη συνέχεια, εκτός εάν αναφέρεται διαφορετικά, θα ληφθούν υπόψη οι πραγματικοί γραμμικοί χώροι. Σε ορισμένες περιπτώσεις, για συντομία, θα μιλήσουμε για χώρο, παραλείποντας τη λέξη γραμμικό, αφού όλα τα κενά που αναφέρονται παρακάτω είναι γραμμικά.

Σημειώσεις 8.1

1. Τα αξιώματα 1-4 δείχνουν ότι ένας γραμμικός χώρος είναι μια μεταθετική ομάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης.

2. Τα αξιώματα 5 και 6 προσδιορίζουν την κατανεμιμότητα της πράξης πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό σε σχέση με την πράξη πρόσθεσης διανυσμάτων (αξίωμα 5) ή με την πράξη πρόσθεσης αριθμών (αξίωμα 6). Το αξίωμα 7, που μερικές φορές ονομάζεται νόμος του συσχετισμού του πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό, εκφράζει τη σύνδεση μεταξύ δύο διαφορετικών πράξεων: πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό και πολλαπλασιάζοντας αριθμούς. Η ιδιότητα που ορίζεται από το αξίωμα 8 ονομάζεται μονάδα της πράξης του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

3. Ο γραμμικός χώρος είναι ένα μη κενό σύνολο, αφού περιέχει απαραίτητα μηδενικό διάνυσμα.

4. Οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό ονομάζονται γραμμικές πράξεις σε διανύσματα.

5. Η διαφορά μεταξύ των διανυσμάτων \mathbf(u) και \mathbf(v) είναι το άθροισμα του διανύσματος \mathbf(u) με το αντίθετο διάνυσμα (-\mathbf(v)) και συμβολίζεται: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Δύο μη μηδενικά διανύσματα \mathbf(u) και \mathbf(v) ονομάζονται συγγραμμικά (αναλογικά) εάν υπάρχει ένας αριθμός \λάμδα τέτοιος ώστε \mathbf(v)=\λάμδα \mathbf(u). Η έννοια της συγγραμμικότητας εκτείνεται σε οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό διανυσμάτων. Το μηδενικό διάνυσμα \mathbf(o) θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.

Συμπεράσματα των αξιωμάτων του γραμμικού χώρου

1. Υπάρχει μόνο ένα μηδενικό διάνυσμα στον γραμμικό χώρο.

2. Στον γραμμικό χώρο, για οποιοδήποτε διάνυσμα \mathbf(v)\στο V υπάρχει ένα μοναδικό αντίθετο διάνυσμα (-\mathbf(v))\σε V.

3. Το γινόμενο ενός αυθαίρετου διανύσματος χώρου και του αριθμού μηδέν ισούται με το μηδενικό διάνυσμα, δηλ. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\σε V.

4. Το γινόμενο μηδενικού διανύσματος με οποιονδήποτε αριθμό ισούται με μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή για οποιονδήποτε αριθμό \λάμδα.

5. Το διάνυσμα απέναντι σε ένα δεδομένο διάνυσμα είναι ίσο με το γινόμενο αυτού του διανύσματος με τον αριθμό (-1), δηλ. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\σε V.

6. Σε εκφράσεις της μορφής \mathbf(a+b+\ldots+z)(άθροισμα πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων) ή \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(το γινόμενο ενός διανύσματος και ενός πεπερασμένου αριθμού παραγόντων) μπορείτε να τοποθετήσετε τις αγκύλες με οποιαδήποτε σειρά ή να μην τις προσδιορίσετε καθόλου.

Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, τις δύο πρώτες ιδιότητες. Μοναδικότητα του μηδενικού διανύσματος. Αν \mathbf(o) και \mathbf(o)" είναι δύο μηδενικά διανύσματα, τότε με το αξίωμα 3 λαμβάνουμε δύο ισότητες: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)"ή \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), του οποίου οι αριστερές πλευρές είναι ίσες σύμφωνα με το αξίωμα 1. Κατά συνέπεια, ίσες είναι και οι δεξιές πλευρές, δηλ. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Μοναδικότητα του αντίθετου διανύσματος. Αν το διάνυσμα \mathbf(v)\στο V έχει δύο αντίθετα διανύσματα (-\mathbf(v)) και (-\mathbf(v))", τότε με τα αξιώματα 2, 3,4 λαμβάνουμε την ισότητά τους:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Οι υπόλοιπες ιδιότητες αποδεικνύονται με παρόμοιο τρόπο.

Παραδείγματα γραμμικών χώρων

1. Ας υποδηλώσουμε \(\mathbf(o)\) - ένα σύνολο που περιέχει ένα μηδενικό διάνυσμα, με τις πράξεις \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o)Και \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Για τις υποδεικνυόμενες πράξεις, ικανοποιούνται τα αξιώματα 1-8. Συνεπώς, το σύνολο \(\mathbf(o)\) είναι ένα γραμμικό διάστημα πάνω από οποιοδήποτε πεδίο αριθμών. Αυτός ο γραμμικός χώρος ονομάζεται null.

2. Ας υποδηλώσουμε V_1,\,V_2,\,V_3 - σύνολα διανυσμάτων (κατευθυνόμενα τμήματα) σε ευθεία γραμμή, σε επίπεδο, στο διάστημα, αντίστοιχα, με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων με έναν αριθμό. Η εκπλήρωση των αξιωμάτων 1-8 του γραμμικού χώρου προκύπτει από την πορεία της στοιχειώδους γεωμετρίας. Συνεπώς, τα σύνολα V_1,\,V_2,\,V_3 είναι πραγματικοί γραμμικοί χώροι. Αντί για ελεύθερα διανύσματα, μπορούμε να εξετάσουμε τα αντίστοιχα σύνολα διανυσμάτων ακτίνας. Για παράδειγμα, ένα σύνολο διανυσμάτων σε ένα επίπεδο που έχουν κοινή αρχή, δηλ. που απεικονίζεται από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου είναι ένας πραγματικός γραμμικός χώρος. Το σύνολο των διανυσμάτων ακτίνας μονάδας μήκους δεν σχηματίζει γραμμικό χώρο, αφού για κανένα από αυτά τα διανύσματα το άθροισμα \mathbf(v)+\mathbf(v)δεν ανήκει στο υπό εξέταση σύνολο.

3. Ας υποδηλώσουμε \mathbb(R)^n - ένα σύνολο πινάκων-στήλων μεγεθών n\times1 με τις πράξεις της πρόσθεσης πινάκων και του πολλαπλασιασμού των πινάκων με έναν αριθμό. Τα αξιώματα 1-8 του γραμμικού χώρου ικανοποιούνται για αυτό το σύνολο. Το μηδενικό διάνυσμα σε αυτό το σύνολο είναι η στήλη μηδέν o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Συνεπώς, το σύνολο \mathbb(R)^n είναι ένας πραγματικός γραμμικός χώρος. Ομοίως, ένα σύνολο \mathbb(C)^n στηλών μεγέθους n\times1 με σύνθετα στοιχεία είναι ένας σύνθετος γραμμικός χώρος. Το σύνολο των πινάκων στηλών με μη αρνητικά πραγματικά στοιχεία, αντίθετα, δεν είναι γραμμικός χώρος, αφού δεν περιέχει αντίθετα διανύσματα.

4. Ας υποδηλώσουμε \(Ax=o\) - το σύνολο των λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος Ax=o των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με και αγνώστους (όπου Α είναι ο πραγματικός πίνακας του συστήματος), που θεωρείται ως σύνολο στηλών του μεγέθη n\times1 με τις πράξεις της πρόσθεσης πινάκων και του πολλαπλασιασμού των πινάκων με έναν αριθμό . Σημειώστε ότι αυτές οι πράξεις όντως ορίζονται στο σύνολο \(Ax=o\) . Από την ιδιότητα 1 των διαλυμάτων σε ένα ομογενές σύστημα (βλ. Ενότητα 5.5) προκύπτει ότι το άθροισμα δύο διαλυμάτων ενός ομογενούς συστήματος και το γινόμενο της διάλυσής του κατά έναν αριθμό είναι επίσης διαλύματα ενός ομογενούς συστήματος, δηλ. ανήκουν στο σύνολο \(Ax=o\) . Τα αξιώματα του γραμμικού χώρου για στήλες ικανοποιούνται (βλ. σημείο 3 σε παραδείγματα γραμμικών χώρων). Επομένως, το σύνολο των λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος είναι ένας πραγματικός γραμμικός χώρος.

Το σύνολο \(Ax=b\) λύσεων στο ανομοιογενές σύστημα Ax=b,~b\ne o, αντίθετα, δεν είναι γραμμικός χώρος, έστω και μόνο επειδή δεν περιέχει μηδενικό στοιχείο (x=o είναι δεν αποτελεί λύση για το ανομοιογενές σύστημα).

5. Ας συμβολίσουμε M_(m\times n) - ένα σύνολο πινάκων μεγέθους m\times n με τις πράξεις της πρόσθεσης πινάκων και του πολλαπλασιασμού των πινάκων με έναν αριθμό. Τα αξιώματα 1-8 του γραμμικού χώρου ικανοποιούνται για αυτό το σύνολο. Το μηδενικό διάνυσμα είναι ένας μηδενικός πίνακας Ο κατάλληλου μεγέθους. Επομένως, το σύνολο M_(m\times n) είναι ένας γραμμικός χώρος.

6. Ας συμβολίσουμε P(\mathbb(C)) - το σύνολο των πολυωνύμων μιας μεταβλητής με μιγαδικούς συντελεστές. Οι πράξεις της πρόσθεσης πολλών όρων και του πολλαπλασιασμού ενός πολυωνύμου με έναν αριθμό που θεωρείται πολυώνυμο βαθμού μηδέν ορίζονται και ικανοποιούν τα αξιώματα 1-8 (συγκεκριμένα, μηδενικό διάνυσμα είναι ένα πολυώνυμο που είναι πανομοιότυπα ίσο με μηδέν). Επομένως, το σύνολο P(\mathbb(C)) είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο των μιγαδικών αριθμών. Το σύνολο P(\mathbb(R)) πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές είναι επίσης ένας γραμμικός χώρος (αλλά, φυσικά, πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών). Το σύνολο P_n(\mathbb(R)) πολυωνύμων βαθμού το πολύ n με πραγματικούς συντελεστές είναι επίσης πραγματικός γραμμικός χώρος. Σημειώστε ότι σε αυτό το σύνολο ορίζεται η πράξη πρόσθεσης πολλών όρων, αφού ο βαθμός του αθροίσματος των πολυωνύμων δεν υπερβαίνει τους βαθμούς των όρων.

Το σύνολο των πολυωνύμων του βαθμού n δεν είναι γραμμικός χώρος, αφού το άθροισμα τέτοιων πολυωνύμων μπορεί να αποδειχθεί ένα πολυώνυμο χαμηλότερου βαθμού που δεν ανήκει στο υπό εξέταση σύνολο. Το σύνολο όλων των πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από n με θετικούς συντελεστές δεν είναι επίσης γραμμικό διάστημα, αφού πολλαπλασιάζοντας ένα τέτοιο πολυώνυμο με έναν αρνητικό αριθμό θα οδηγήσει σε ένα πολυώνυμο που δεν ανήκει σε αυτό το σύνολο.

7. Ας συμβολίσουμε C(\mathbb(R)) - το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται και συνεχίζονται στο \mathbb(R) . Το άθροισμα (f+g) των συναρτήσεων f,g και το γινόμενο \λάμδα f της συνάρτησης f και ο πραγματικός αριθμός \λάμδα ορίζονται από τις ισότητες:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)για όλα τα x\in \mathbb(R)

Αυτές οι πράξεις όντως ορίζονται στο C(\mathbb(R)) αφού το άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και το γινόμενο μιας συνεχούς συνάρτησης και ενός αριθμού είναι συνεχείς συναρτήσεις, δηλ. στοιχεία του C(\mathbb(R)) . Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση των αξιωμάτων του γραμμικού χώρου. Εφόσον η πρόσθεση των πραγματικών αριθμών είναι ανταλλάξιμη, προκύπτει ότι η ισότητα f(x)+g(x)=g(x)+f(x)για οποιοδήποτε x\in \mathbb(R) . Επομένως f+g=g+f, δηλ. Το αξίωμα 1 ικανοποιείται. Το αξίωμα 2 προκύπτει ομοίως από τη συσχέτιση της πρόσθεσης. Το μηδενικό διάνυσμα είναι η συνάρτηση o(x), πανομοιότυπα ίση με το μηδέν, η οποία φυσικά είναι συνεχής. Για οποιαδήποτε συνάρτηση f ισχύει η ισότητα f(x)+o(x)=f(x), δηλ. Το αξίωμα 3 είναι αληθές Το αντίθετο διάνυσμα για το διάνυσμα f θα είναι η συνάρτηση (-f)(x)=-f(x) . Τότε f+(-f)=o (το αξίωμα 4 είναι αληθές). Τα αξιώματα 5, 6 προκύπτουν από την κατανομή των πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πραγματικών αριθμών και το αξίωμα 7 - από τη συσχέτιση του πολλαπλασιασμού των αριθμών. Το τελευταίο αξίωμα ικανοποιείται, αφού ο πολλαπλασιασμός με ένα δεν αλλάζει τη συνάρτηση: 1\cdot f(x)=f(x) για οποιοδήποτε x\in \mathbb(R), δηλ. 1\cdot f=f. Έτσι, το θεωρούμενο σύνολο C(\mathbb(R)) με τις εισαγόμενες πράξεις είναι ένας πραγματικός γραμμικός χώρος. Ομοίως, αποδεικνύεται ότι C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- σύνολα συναρτήσεων που έχουν συνεχείς παραγώγους της πρώτης, δεύτερης κ.λπ. Οι παραγγελίες, αντίστοιχα, είναι επίσης γραμμικοί χώροι.

Ας υποδηλώσουμε το σύνολο των τριγωνομετρικών διωνύμων (συχνά \omega\ne0 ) με πραγματικούς συντελεστές, δηλ. πολλές λειτουργίες της φόρμας f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Οπου a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Το άθροισμα τέτοιων διωνύμων και το γινόμενο ενός διωνύμου με έναν πραγματικό αριθμό είναι τριγωνομετρικά διώνυμα. Τα αξιώματα του γραμμικού χώρου για το υπό εξέταση σύνολο ικανοποιούνται (αφού T_(\omega)(\mathbb(R))\υποσύνολο C(\mathbb(R))). Ως εκ τούτου, πολλοί T_(\omega)(\mathbb(R))με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό για συναρτήσεις, είναι ένας πραγματικός γραμμικός χώρος. Το μηδενικό στοιχείο είναι το διώνυμο o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, πανομοιότυπα ίσο με μηδέν.

Το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται και του μονότονου στο \mathbb(R) δεν είναι γραμμικός χώρος, αφού η διαφορά δύο μονότονων συναρτήσεων μπορεί να αποδειχθεί μη μονότονη συνάρτηση.

8. Ας υποδηλώσουμε \mathbb(R)^X - το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στο σύνολο X με τις πράξεις:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Είναι ένας πραγματικός γραμμικός χώρος (η απόδειξη είναι ίδια με το προηγούμενο παράδειγμα). Σε αυτή την περίπτωση, το σύνολο X μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα. Ειδικότερα, εάν X=\(1,2,\lds,n\), τότε το f(X) είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών f_1,f_2,\ldots,f_n, Οπου f_i=f(i),~i=1,\ldots,nΈνα τέτοιο σύνολο μπορεί να θεωρηθεί μήτρα-στήλη διαστάσεων n\times1, δηλ. ένα μάτσο \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))συμπίπτει με το σύνολο \mathbb(R)^n (βλ. σημείο 3 για παραδείγματα γραμμικών διαστημάτων). Αν X=\mathbb(N) (υπενθυμίζουμε ότι \mathbb(N) είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών), τότε λαμβάνουμε ένα γραμμικό διάστημα \mathbb(R)^(\mathbb(N))- πολλές ακολουθίες αριθμών \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Συγκεκριμένα, το σύνολο των συγκλίνουσων ακολουθιών αριθμών σχηματίζει επίσης έναν γραμμικό χώρο, αφού το άθροισμα δύο συγκλίνουσων ακολουθιών συγκλίνει και όταν όλοι οι όροι μιας συγκλίνουσας ακολουθίας πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό, προκύπτει μια συγκλίνουσα ακολουθία. Αντίθετα, το σύνολο των αποκλίνων ακολουθιών δεν είναι γραμμικός χώρος, αφού, για παράδειγμα, το άθροισμα των αποκλίνων ακολουθιών μπορεί να έχει ένα όριο.

9. Ας υποδηλώσουμε \mathbb(R)^(+) - το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών στους οποίους το άθροισμα a\plus b και το γινόμενο \λάμδα\ast a (οι συμβολισμοί σε αυτό το παράδειγμα διαφέρουν από τους συνηθισμένους) είναι που ορίζονται από τις ισότητες: a\plus b=ab,~ \λάμδα\ast a=a^(\λάμδα), με άλλα λόγια, το άθροισμα των στοιχείων νοείται ως γινόμενο αριθμών και ο πολλαπλασιασμός ενός στοιχείου με έναν αριθμό νοείται ως αύξηση σε δύναμη. Και οι δύο πράξεις όντως ορίζονται στο σύνολο \mathbb(R)^(+) αφού το γινόμενο θετικών αριθμών είναι θετικός αριθμός και κάθε πραγματική δύναμη ενός θετικού αριθμού είναι θετικός αριθμός. Ας ελέγξουμε την εγκυρότητα των αξιωμάτων. Ισότητες

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\plus c)=a(bc)=(ab)c=(a\plus b)\plus c

δείχνουν ότι τα αξιώματα 1 και 2 ικανοποιούνται. Το μηδενικό διάνυσμα αυτού του συνόλου είναι ένα, αφού a\oplus1=a\cdot1=a, δηλ. o=1 . Το αντίθετο διάνυσμα για το a είναι το διάνυσμα \frac(1)(a) , το οποίο ορίζεται από το a\ne o . Πράγματι, a\plus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση των αξιωμάτων 5, 6,7,8:

\begin(gathered) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\plus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(συγκεντρώθηκε)

Όλα τα αξιώματα ικανοποιούνται. Κατά συνέπεια, το υπό εξέταση σύνολο είναι ένας πραγματικός γραμμικός χώρος.

10. Έστω V ένας πραγματικός γραμμικός χώρος. Ας εξετάσουμε το σύνολο των γραμμικών βαθμωτών συναρτήσεων που ορίζονται στο V, δηλ. λειτουργίες f\colon V\to \mathbb(R)λαμβάνοντας πραγματικές αξίες και ικανοποιώντας τις προϋποθέσεις:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(προσθετικότητα);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(ομοιογένεια).

Οι γραμμικές πράξεις σε γραμμικές συναρτήσεις καθορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως στην παράγραφο 8 των παραδειγμάτων γραμμικών χώρων. Το άθροισμα f+g και το γινόμενο \λάμδα\cdot f ορίζονται από τις ισότητες:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ σε V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Η εκπλήρωση των αξιωμάτων του γραμμικού χώρου επιβεβαιώνεται με τον ίδιο τρόπο όπως στην παράγραφο 8. Επομένως, το σύνολο των γραμμικών συναρτήσεων που ορίζεται στον γραμμικό χώρο V είναι ένας γραμμικός χώρος. Αυτό το διάστημα ονομάζεται συζυγές με το διάστημα V και συμβολίζεται με V^(\ast) . Τα στοιχεία του ονομάζονται συνδιανύσματα.

Για παράδειγμα, το σύνολο των γραμμικών μορφών n μεταβλητών, που θεωρείται ως το σύνολο των βαθμωτών συναρτήσεων του διανυσματικού ορίσματος, είναι ο γραμμικός συζυγής χώρος με το διάστημα \mathbb(R)^n.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ § 1. Ορισμός γραμμικού χώρου

Γενικεύοντας την έννοια του διανύσματος, γνωστό από τη σχολική γεωμετρία, θα ορίσουμε αλγεβρικές δομές (γραμμικούς χώρους) στις οποίες είναι δυνατή η κατασκευή n-διάστατης γεωμετρίας, ειδική περίπτωση της οποίας θα είναι η αναλυτική γεωμετρία.

Ορισμός 1. Δίνεται ένα σύνολο L=(a,b,c,…) και ένα πεδίο P=( ,…). Έστω η αλγεβρική πράξη της πρόσθεσης να οριστεί στο L και ο πολλαπλασιασμός των στοιχείων από το L με στοιχεία του πεδίου P να οριστεί:

Το σύνολο L ονομάζεται γραμμικό διάστημα πάνω από το πεδίο P, εάν πληρούνται οι ακόλουθες απαιτήσεις (αξιώματα γραμμικού χώρου):

1. L μεταθετική ομάδα σε σχέση με την πρόσθεση.

2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;

3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;

4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;

5. a L ισχύει η ακόλουθη ισότητα: 1 a=a (όπου 1 είναι η μονάδα του πεδίου P).

Τα στοιχεία του γραμμικού χώρου L ονομάζονται διανύσματα (σημειώνουμε για άλλη μια φορά ότι θα συμβολίζονται με τα λατινικά γράμματα a, b, c,...), και τα στοιχεία του πεδίου P ονομάζονται αριθμοί (θα τα συμβολίσουμε με τα ελληνικά γράμματα α,

Παρατήρηση 1. Βλέπουμε ότι οι γνωστές ιδιότητες των «γεωμετρικών» διανυσμάτων λαμβάνονται ως αξιώματα του γραμμικού χώρου.

Παρατήρηση 2. Ορισμένα γνωστά εγχειρίδια άλγεβρας χρησιμοποιούν διαφορετικούς συμβολισμούς για αριθμούς και διανύσματα.

Βασικά παραδείγματα γραμμικών χώρων

1. R 1 είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων σε κάποια γραμμή.

ΣΕ σε αυτό που ακολουθεί θα ονομάσουμε τέτοια διανύσματαδιανύσματα τμημάτωνσε ευθεία γραμμή. Αν πάρουμε το R ως P, τότε προφανώς το R1 είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο R.

2. R 2 , R3 – διανύσματα τμημάτων στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο. Είναι εύκολο να δούμε ότι τα R2 και R3 είναι γραμμικοί χώροι πάνω από το R.

3. Έστω P ένα αυθαίρετο πεδίο. Θεωρήστε το σύνολο P(ιδ) όλα τα διατεταγμένα σύνολα n στοιχείων του πεδίου P:

P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P, i=1,2,..,n .

Το σύνολο a=(α1,α2,…,αn) θα ονομαστεί n-διάστατο διάνυσμα σειράς.Οι αριθμοί i θα ονομάζονται συστατικά στοιχεία

διάνυσμα α.

Για διανύσματα από P(n) , κατ 'αναλογία με τη γεωμετρία, εισάγουμε φυσικά τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό, υποθέτοντας ότι οποιαδήποτε (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) και (β1 ,β2 ,.. .,βn ) P(n) :

(α1 ,α2 ,…,αn )+(β1 ,β2 ,...,βn )=(α1 +β1 ,α2 +b2 ,...,αn +βn ),
(α1 ,α2 ,…,αn )= (α1 , α2 ,…, αn ) R.

Από τον ορισμό της προσθήκης διανυσμάτων σειρών είναι σαφές ότι εκτελείται κατά συνιστώσες. Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι το P(n) είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το P.

Το διάνυσμα 0=(0,…,0) είναι το μηδενικό διάνυσμα (a+0=a a P(n)), και το διάνυσμα -a=(-α1,-α2,…,-αn) είναι το αντίθετο του a (αφού . a+(-a)=0).

Γραμμικός χώρος ΠΤο (n) ονομάζεται ο ν-διάστατος χώρος των διανυσμάτων σειρών ή ν-διάστατος αριθμητικός χώρος.

Παρατήρηση 3. Μερικές φορές θα δηλώνουμε και με P(n) τον n-διάστατο αριθμητικό χώρο των διανυσμάτων στηλών, ο οποίος διαφέρει από το P(n) μόνο στον τρόπο εγγραφής των διανυσμάτων.

4. Θεωρήστε το σύνολο M n (P) όλων των πινάκων ντης τάξης με στοιχεία από το πεδίο P. Αυτός είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το P, όπου ο μηδενικός πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά.

5. Θεωρήστε το σύνολο P[x] όλων των πολυωνύμων στη μεταβλητή x με συντελεστές από το πεδίο P. Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι το P[x] είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το P. Ας το ονομάσουμεχώρος πολυωνύμων.

6. Έστω P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) το σύνολο όλων των πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από n μαζί με

0. Είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P. P n [x] θα καλέσουμε χώρος πολυωνύμων βαθμού το πολύ n.

7. Ας συμβολίσουμε με Ф το σύνολο όλων των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής με το ίδιο πεδίο ορισμού. Τότε Ф είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το R.

ΣΕ Σε αυτόν τον χώρο μπορεί κανείς να βρει άλλους γραμμικούς χώρους, για παράδειγμα τον χώρο των γραμμικών συναρτήσεων, τις διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις, τις συνεχείς συναρτήσεις κ.λπ.

8. Κάθε πεδίο είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από τον εαυτό του.

Μερικά συμπεράσματα από τα αξιώματα του γραμμικού χώρου

Συμπέρασμα 1. Έστω L ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P. Το L περιέχει το μηδενικό στοιχείο 0 και ένα L (-a) L (αφού το L είναι μια ομάδα πρόσθεσης).

ΣΕ Στη συνέχεια, το μηδενικό στοιχείο του πεδίου P και ο γραμμικός χώρος L θα συμβολίζονται πανομοιότυπα με

0. Αυτό συνήθως δεν προκαλεί σύγχυση.

Συμπέρασμα 2. 0 a=0 a L (0 P στην αριστερή πλευρά, 0 L στη δεξιά πλευρά).

Απόδειξη. Ας θεωρήσουμε α a, όπου α είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το P. Έχουμε: α a=(α+0)a=α a+0 a, από όπου 0 a= α a +(-α a)=0.

Συμπέρασμα 3. α 0=0 α Π.

Απόδειξη. Θεωρήστε α a=α(a+0)=α a+α 0; άρα α 0=0. Συμπέρασμα 4. α a=0 εάν και μόνο εάν είτε α=0 είτε a=0.

Απόδειξη. Επάρκεια αποδεικνύεται στα συμπεράσματα 2 και 3.

Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα. Έστω α a=0 (2). Ας υποθέσουμε ότι α 0. Τότε, αφού α P, τότε υπάρχει α-1 P. Πολλαπλασιάζοντας το (2) με α-1, παίρνουμε:

α-1 (α α)=α-1 0. Κατά συνέπεια 2 α-1 0=0, δηλ. α-1 (α α)=0. (3)

Από την άλλη, χρησιμοποιώντας τα αξιώματα 2 και 5 του γραμμικού χώρου, έχουμε: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.

Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι a=0. Η έρευνα έχει αποδειχθεί.

Παρουσιάζουμε τις παρακάτω δηλώσεις χωρίς απόδειξη (η εγκυρότητά τους επαληθεύεται εύκολα).

Συμπέρασμα 5. (-α) a=-α a α P, a L. Συμπέρασμα 6. α (-a)=-α a α P, a L. Συμπέρασμα 7. α (a–b)=α a–α b α P, a,b L.

§ 2. Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων

Έστω L ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P και a1 ,a2 ,…ως (1) είναι κάποιο πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων από το L.

Το σύνολο a1 ,a2 ,…όπως θα ονομαστεί σύστημα διανυσμάτων.

Αν b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs ως , (αi P), τότε λένε ότι το διάνυσμα b εκφράζεται γραμμικάμέσω του συστήματος (1), ή είναι γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα του συστήματος (1).

Όπως και στην αναλυτική γεωμετρία, στον γραμμικό χώρο μπορεί κανείς να εισαγάγει τις έννοιες των γραμμικά εξαρτημένων και γραμμικά ανεξάρτητων συστημάτων διανυσμάτων. Ας το κάνουμε αυτό με δύο τρόπους.

Ορισμός I. Το πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων (1) για το s 2 ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο,αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματά του είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Διαφορετικά (δηλαδή όταν κανένα από τα διανύσματά του δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων), ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη.

Ορισμός II. Το πεπερασμένο σύστημα των διανυσμάτων (1) ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, αν υπάρχει ένα σύνολο αριθμών α1 ,α2 ,…,αs , αi P, τουλάχιστον ένας από τους οποίους δεν είναι ίσος με 0 (ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται μη μηδενικό), τότε ισχύει η ισότητα: α1 a1 +…+ αs ως =0 (2).

Από τον Ορισμό II μπορούμε να λάβουμε αρκετούς ισοδύναμους ορισμούς ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος:

Ορισμός 2.

α) σύστημα (1) γραμμικά ανεξάρτητη, αν από το (2) προκύπτει ότι α1 =…=αs =0.

β) σύστημα (1) γραμμικά ανεξάρτητη, αν η ισότητα (2) ικανοποιείται μόνο για όλα τα αi =0 (i=1,…,s).

γ) σύστημα (1) γραμμικά ανεξάρτητη, εάν κάποιος μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων αυτού του συστήματος είναι διαφορετικός από το 0, δηλ. αν β1 , …,βs είναι οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο αριθμών, τότε β1 a1 +…βs ως 0.

Θεώρημα 1. Για το s 2, οι ορισμοί της γραμμικής εξάρτησης I και II είναι ισοδύναμοι.

Απόδειξη.

I) Έστω το (1) γραμμικά εξαρτώμενο από τον ορισμό I. Τότε μπορούμε να υποθέσουμε, χωρίς απώλεια γενικότητας, ότι ως =α1 a1 +…+αs-1 ως-1 . Ας προσθέσουμε το διάνυσμα (-ως) και στις δύο πλευρές αυτής της ισότητας. Παίρνουμε:

0= α1 a1 +…+αs-1 ως-1 +(-1) ως (3) (από το συμπέρασμα 5

(–ως ) =(-1) ως ). Στην ισότητα (3) ο συντελεστής (-1) είναι 0, και επομένως το σύστημα (1) εξαρτάται γραμμικά και εξ ορισμού

II) Έστω το σύστημα (1) γραμμικά εξαρτώμενο από τον ορισμό II, δηλ. υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο α1 ,…,αs, που ικανοποιεί το (2). Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι α ως 0. Στο (2) προσθέτουμε (-α ως) και στις δύο πλευρές. Παίρνουμε:

α1 a1 +α2 a2 +…+αs ως - αs ως = -α ως , από όπου α1 a1 +…+αs-1 ως-1 = -αs ως .

Επειδή αs 0, τότε υπάρχει αs -1 P. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας (4) με (-αs -1 ) και ας χρησιμοποιήσουμε μερικά αξιώματα του γραμμικού χώρου. Παίρνουμε:

(-αs -1 ) (-αs ως )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1 ), που ακολουθεί: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 ως-1 =ως.

Ας εισάγουμε τον συμβολισμό β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 . Στη συνέχεια, η ισότητα που προκύπτει παραπάνω θα ξαναγραφεί ως εξής:

ως = β1 a1 +…+ βs-1 ως-1 .

Από το s 2, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα διάνυσμα ai στη δεξιά πλευρά. Βρήκαμε ότι το σύστημα (1) εξαρτάται γραμμικά από τον ορισμό I.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Δυνάμει του Θεωρήματος 1, εάν είναι απαραίτητο, για το s 2 μπορούμε να εφαρμόσουμε οποιονδήποτε από τους παραπάνω ορισμούς της γραμμικής εξάρτησης.

Παρατήρηση 1. Εάν το σύστημα αποτελείται από ένα μόνο διάνυσμα a1, τότε μόνο ο ορισμός ισχύει για αυτό

Έστω a1 =0; τότε 1a1 =0. Επειδή 1 0, τότε το a1 =0 είναι ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα.

Έστω a1 0; τότε α1 a1 ≠0, για οποιοδήποτε α1 0. Αυτό σημαίνει ότι το μη μηδενικό διάνυσμα a1 είναι γραμμικά ανεξάρτητο

Υπάρχουν σημαντικές συνδέσεις μεταξύ της γραμμικής εξάρτησης του διανυσματικού συστήματος και των υποσυστημάτων του.

Θεώρημα 2. Εάν κάποιο υποσύστημα (δηλαδή μέρος) ενός πεπερασμένου συστήματος διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος δεν είναι δύσκολο να γίνει μόνος σας. Μπορεί να βρεθεί σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο άλγεβρας ή αναλυτικής γεωμετρίας.

Συμπέρασμα 1. Όλα τα υποσυστήματα ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Λήφθηκε από το Θεώρημα 2 με αντίφαση.

Παρατήρηση 2. Είναι εύκολο να δούμε ότι τα γραμμικά εξαρτώμενα συστήματα μπορούν να έχουν υποσυστήματα τόσο γραμμικά

Συμπέρασμα 2. Εάν ένα σύστημα περιέχει 0 ή δύο αναλογικά (ίσα) διανύσματα, τότε είναι γραμμικά εξαρτώμενο (καθώς ένα υποσύστημα 0 ή δύο αναλογικών διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά).

§ 3. Μέγιστα γραμμικά ανεξάρτητα υποσυστήματα

Ορισμός 3. Έστω a1, a2,…,ak,…. Το (1) είναι ένα πεπερασμένο ή άπειρο σύστημα διανυσμάτων του γραμμικού χώρου L. Το πεπερασμένο υποσύστημά του ai1, ai2, …, αέρας (2) ονομάζεται βάση του συστήματος (1)ή μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημααυτό το σύστημα εάν πληρούνται οι ακόλουθες δύο προϋποθέσεις:

1) το υποσύστημα (2) είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

2) εάν οποιοδήποτε διάνυσμα αj του συστήματος (1) εκχωρηθεί στο υποσύστημα (2), τότε λαμβάνουμε μια γραμμικά εξαρτημένη

σύστημα ai1, ai2, …, αέρας, aj (3).

Παράδειγμα 1. Στο διάστημα Pn [x], θεωρήστε το σύστημα των πολυωνύμων 1,x1 , …, xn (4). Ας αποδείξουμε ότι η (4) είναι γραμμικά ανεξάρτητη. Έστω α0, α1,…, αn αριθμοί από το P έτσι ώστε α0 1+α1 x+...+αn xn =0. Τότε, με τον ορισμό της ισότητας των πολυωνύμων, α0 =α1 =…=αn =0. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα των πολυωνύμων (4) είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Ας αποδείξουμε τώρα ότι το σύστημα (4) είναι η βάση του γραμμικού χώρου Pn [x].

Για κάθε f(x) Pn [x] έχουμε: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; Επομένως, το f(x) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων (4). τότε το σύστημα 1,x1 , …, xn ,f(x) εξαρτάται γραμμικά (εξ ορισμού I). Έτσι, η (4) είναι μια βάση του γραμμικού χώρου Pn [x].

Παράδειγμα 2. Στο Σχ. 1 a1, a3 και a2, a3 – βάσεις του συστήματος των διανυσμάτων a1,a2,a3.

Θεώρημα 3. Υποσύστημα (2) ai1 ,…, αέρας πεπερασμένου ή άπειρου συστήματος (1) a1 , a2 ,…,καθώς ,… είναι ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα (βάση) του συστήματος (1) εάν και μόνο εάν

α) (2) γραμμικά ανεξάρτητο. β) οποιοδήποτε διάνυσμα από το (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2).

Αναγκαιότητα. Έστω (2) ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα του συστήματος (1). Τότε ικανοποιούνται δύο προϋποθέσεις από τον ορισμό 3:

1) (2) γραμμικά ανεξάρτητο.

2) Για οποιοδήποτε διάνυσμα α j από (1) το σύστημα ai1 ,…, ais ,aj (5) εξαρτάται γραμμικά. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι οι προτάσεις α) και β) είναι αληθείς.

Η συνθήκη α) συμπίπτει με 1). επομένως, α) είναι ικανοποιημένος.

Περαιτέρω, δυνάμει του 2) υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο α1 ,...,αr ,β P (6) τέτοιο ώστε α1 ai1 +…+αr αέρας +βaj =0 (7). Ας αποδείξουμε ότι β 0 (8). Ας υποθέσουμε ότι β=0 (9). Τότε από την (7) παίρνουμε: α1 ai1 +…+αr αέρα =0 (10). Εφόσον το σύνολο (6) είναι μη μηδενικό και το β=0, προκύπτει ότι το α1 ,...,αr είναι μη μηδενικό σύνολο. Και μετά από το (10) προκύπτει ότι η (2) είναι γραμμικά εξαρτημένη, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη α). Αυτό αποδεικνύει (8).

Προσθέτοντας το διάνυσμα (-βaj) και στις δύο πλευρές των ισοτήτων (7), παίρνουμε: -βaj = α1 ai1 +…+αr αέρα. Αφού β 0 λοιπόν

υπάρχει β-1 Ρ; πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας με β-1: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )αέρας =aj . Ας εισαγάγουμε

σημειογραφία: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; Έτσι, πήραμε: 1 ai1 +…+ r αέρας =aj ; επομένως, έχει αποδειχθεί η πληρότητα της συνθήκης β).

Η ανάγκη έχει αποδειχθεί.

Επάρκεια. Έστω ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις α) και β) από το Θεώρημα 3 Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις 1) και 2) από τον ορισμό 3.

Εφόσον η συνθήκη α) συμπίπτει με τη συνθήκη 1), τότε το 1) ικανοποιείται.

Ας αποδείξουμε ότι το 2) ισχύει. Με τη συνθήκη β), οποιοδήποτε διάνυσμα aj (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2). Κατά συνέπεια, το (5) εξαρτάται γραμμικά (από τον ορισμό 1), δηλ. 2) εκπληρώνεται.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Σχόλιο. Δεν έχει κάθε γραμμικός χώρος μια βάση. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει βάση στο διάστημα P[x] (διαφορετικά, οι μοίρες όλων των πολυωνύμων στο P[x] θα ήταν, όπως προκύπτει από την παράγραφο β) του Θεωρήματος 3, συλλογικά οριοθετημένες).

§ 4. Το κύριο θεώρημα για τη γραμμική εξάρτηση. Οι συνέπειές του

Ορισμός 4. Έστω δύο πεπερασμένα συστήματα διανυσμάτων γραμμικού χώρου L:a1 ,a2 ,…,al (1) και

b1 ,b2 ,…,bs (2).

Αν κάθε διάνυσμα του συστήματος (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2), τότε θα λέμε ότι το σύστημα (1)

εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2). Παραδείγματα:

1. Οποιοδήποτε υποσύστημα ενός συστήματος 1 ,…,ai ,…,ak εκφράζεται γραμμικά σε ολόκληρο το σύστημα, επειδή

ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ακ .

2. Οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων τμήματος από το R2 εκφράζεται γραμμικά μέσω ενός συστήματος που αποτελείται από δύο μη γραμμικά επίπεδα διανύσματα.

Ορισμός 5. Αν δύο πεπερασμένα συστήματα διανυσμάτων εκφράζονται γραμμικά το ένα μέσω του άλλου, τότε ονομάζονται ισοδύναμα.

Σημείωση 1. Ο αριθμός των διανυσμάτων σε δύο ισοδύναμα συστήματα μπορεί να είναι διαφορετικός, όπως φαίνεται από τα ακόλουθα παραδείγματα.

3. Κάθε σύστημα είναι ισοδύναμο με τη βάση του (αυτό προκύπτει από το Θεώρημα 3 και το Παράδειγμα 1).

4. Οποιαδήποτε δύο συστήματαΤα διανύσματα τμήματος από το R2, καθένα από τα οποία περιέχει δύο μη συγγραμμικά διανύσματα, είναι ισοδύναμα.

Το παρακάτω θεώρημα είναι μια από τις πιο σημαντικές προτάσεις στη θεωρία των γραμμικών χώρων. Βασικό θεώρημα για τη γραμμική εξάρτηση.Έστω σε ένα γραμμικό διάστημα L πάνω από ένα πεδίο P δίνονται δύο

διανυσματικά συστήματα:

a1 ,a2 ,…,al (1) και b1 ,b2 ,…,bs (2), και (1) είναι γραμμικά ανεξάρτητο και γραμμικά εκφράζεται μέσω του (2). Τότε l s (3). Απόδειξη. Πρέπει να αποδείξουμε την ανισότητα (3). Ας υποθέσουμε το αντίθετο, έστω l>s (4).

Κατά συνθήκη, κάθε διάνυσμα ai από το (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του συστήματος (2):

a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs

…………………... (5)

al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .

Ας κάνουμε την ακόλουθη εξίσωση: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), όπου xi είναι άγνωστοι που παίρνουν τιμές από το πεδίο P (i=1,…,s).

Ας πολλαπλασιάσουμε κάθε μία από τις ισότητες (5), αντίστοιχα, με x1,x2,…,xl, αντικαταστήσουμε στην (6) και βάλουμε μαζί τους όρους που περιέχουν b1, μετά b2 και, τέλος, bs. Παίρνουμε:

x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1	+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0.

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε μια μη μηδενική λύση	εξίσωση (6). Για να γίνει αυτό, ας εξισώσουμε με μηδέν όλα
συντελεστές για bi (i=1, 2,…,s) και συνθέστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0
α12 x1 +α22 x2 +…+αλ2 xl =0
…………………….

α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.

(8) ομοιογενές σύστημα s εξισώσεων για αγνώστους x 1,…,xl. Είναι πάντα συνεργάσιμη.

ΣΕ Λόγω της ανισότητας (4), σε αυτό το σύστημα ο αριθμός των αγνώστων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων, και επομένως, όπως προκύπτει από τη μέθοδο Gauss, ανάγεται σε τραπεζοειδή μορφή. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν μη μηδενικά

λύσεις στο σύστημα (8). Ας συμβολίσουμε ένα από αυτά με x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s).

Αντικαθιστώντας τους αριθμούς (9) στην αριστερή πλευρά του (7), παίρνουμε: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)

Άρα, η (9) είναι μια μη μηδενική λύση της εξίσωσης (6). Επομένως, το σύστημα (1) εξαρτάται γραμμικά και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη. Επομένως, η υπόθεση μας (4) είναι λανθασμένη και l s.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Συμπεράσματα από το κύριο θεώρημα της γραμμικής εξάρτησης Συμπέρασμα 1. Δύο πεπερασμένα ισοδύναμα γραμμικά ανεξάρτητα διανυσματικά συστήματα αποτελούνται από

τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.

Απόδειξη. Έστω τα συστήματα των διανυσμάτων (1) και (2) ισοδύναμα και γραμμικά ανεξάρτητα. Για να το αποδείξουμε αυτό, εφαρμόζουμε το κύριο θεώρημα δύο φορές.

Επειδή Το σύστημα (2) είναι γραμμικά ανεξάρτητο και γραμμικά εκφράζεται μέσω του (1), μετά από το κύριο θεώρημα l s (11).

Από την άλλη πλευρά, το (1) είναι γραμμικά ανεξάρτητο και εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2) και από το κύριο θεώρημα s l (12).

Από τις (11) και (12) προκύπτει ότι s=l. Η δήλωση έχει αποδειχθεί.

Συμπέρασμα 2. Αν σε κάποιο σύστημα διανυσμάτων a1 ,…,ως ,… (13) (πεπερασμένα ή άπειρα) υπάρχουν δύο βάσεις, τότε αυτές αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.

Απόδειξη. Έστω ai1 ,…,ail (14) και aj1 ,..ajk (15) οι βάσεις του συστήματος (13). Ας δείξουμε ότι είναι ισοδύναμα.

Σύμφωνα με το Θεώρημα 3, κάθε διάνυσμα του συστήματος (13) εκφράζεται γραμμικά μέσω της βάσης του (15), ειδικότερα, οποιοδήποτε διάνυσμα του συστήματος (14) εκφράζεται γραμμικά μέσω του συστήματος (15). Ομοίως, το σύστημα (15) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (14). Αυτό σημαίνει ότι τα συστήματα (14) και (15) είναι ισοδύναμα και από το συμπέρασμα 1 έχουμε: l=k.

Η δήλωση έχει αποδειχθεί.

Ορισμός 6. Ο αριθμός των διανυσμάτων σε μια αυθαίρετη βάση ενός πεπερασμένου (άπειρου) συστήματος διανυσμάτων ονομάζεται κατάταξη αυτού του συστήματος (αν δεν υπάρχουν βάσεις, τότε η κατάταξη του συστήματος δεν υπάρχει).

Σύμφωνα με το συμπέρασμα 2, εάν το σύστημα (13) έχει τουλάχιστον μία βάση, η κατάταξή του είναι μοναδική.

Παρατήρηση 2. Εάν ένα σύστημα αποτελείται μόνο από μηδενικά διανύσματα, τότε υποθέτουμε ότι η κατάταξή του είναι 0. Χρησιμοποιώντας την έννοια της κατάταξης, μπορούμε να ενισχύσουμε το κύριο θεώρημα.

Συμπέρασμα 3. Δίνονται δύο πεπερασμένα συστήματα διανυσμάτων (1) και (2), και το (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2). Τότε ο βαθμός του συστήματος (1) δεν υπερβαίνει τον βαθμό του συστήματος (2).

Απόδειξη . Ας υποδηλώσουμε την κατάταξη του συστήματος (1) με r1, την κατάταξη του συστήματος (2) με r2. Αν r1 =0, τότε η πρόταση είναι αληθής.

Έστω r1 0. Τότε r2 0, γιατί Το (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2). Αυτό σημαίνει ότι τα συστήματα (1) και (2) έχουν βάσεις.

Έστω a1 ,…,ar1 (16) η βάση του συστήματος (1) και b1 ,…,br2 (17) η βάση του συστήματος (2). Είναι γραμμικά ανεξάρτητα από τον ορισμό της βάσης.

Επειδή Το (16) είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε το κύριο θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί στο ζεύγος συστημάτων (16), (17). Με αυτό

θεώρημα r1 r2 . Η δήλωση έχει αποδειχθεί.

Συμπέρασμα 4. Δύο πεπερασμένα ισοδύναμα συστήματα διανυσμάτων έχουν τις ίδιες τάξεις. Για να αποδείξουμε αυτή τη δήλωση, πρέπει να εφαρμόσουμε το συμπέρασμα 3 δύο φορές.

Παρατήρηση 3. Σημειώστε ότι η κατάταξη ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος διανυσμάτων είναι ίση με τον αριθμό των διανυσμάτων του (αφού σε ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα η μόνη βάση του συμπίπτει με το ίδιο το σύστημα). Επομένως, το συμπέρασμα 1 είναι μια ειδική περίπτωση του συμπερασμάτων 4. Αλλά χωρίς απόδειξη αυτής της ειδικής περίπτωσης, δεν θα μπορούσαμε να αποδείξουμε το συμπέρασμα 2, να εισαγάγουμε την έννοια της κατάταξης ενός συστήματος διανυσμάτων και να λάβουμε το συμπέρασμα 4.

§ 5. Πεπερασμένες διαστάσεις γραμμικοί χώροι

Ορισμός 7. Ένας γραμμικός χώρος L πάνω από ένα πεδίο P ονομάζεται πεπερασμένος αν υπάρχει τουλάχιστον μία βάση στο L.

Βασικά παραδείγματα γραμμικών χώρων πεπερασμένων διαστάσεων:

1. Διανυσματικά τμήματα σε ευθεία γραμμή, επίπεδο και σε χώρο (γραμμικοί χώροι R1, R2, R3).

2. n-διάστατος αριθμητικός χώρος P(n) . Ας δείξουμε ότι στο P(n) υπάρχει η ακόλουθη βάση: e1 =(1,0,…,0)

e2 =(0,1,…,0) (1)

en =(0,0,…1).

Ας αποδείξουμε πρώτα ότι το (1) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Ας δημιουργήσουμε την εξίσωση x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2).

Χρησιμοποιώντας τη μορφή των διανυσμάτων (1), ξαναγράφουμε την εξίσωση (2) ως εξής: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1 , x2 , …,xn )=(0,0,…,0).

Από τον ορισμό της ισότητας των διανυσμάτων σειρών, προκύπτει:

x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). Επομένως, το (1) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Ας αποδείξουμε ότι η (1) είναι μια βάση του χώρου P(n) χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 3 στις βάσεις.

Για κάθε a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn έχουμε:

α=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2 ,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ n en .

Αυτό σημαίνει ότι οποιοδήποτε διάνυσμα στον χώρο P(n) μπορεί να εκφραστεί γραμμικά μέσω του (1). Κατά συνέπεια, το (1) είναι μια βάση του χώρου P(n), και επομένως το P(n) είναι ένας πεπερασμένος-διάστατος γραμμικός χώρος.

3. Γραμμικός χώρος Pn [x]=(α0 xn +...+αn | αi P).

Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι η βάση του χώρου Pn [x] είναι το σύστημα των πολυωνύμων 1,x,…,xn. Άρα Πν

[Χ] είναι ένας πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικός χώρος.

4. Γραμμικός χώρος Μ n(P). Μπορεί να επαληθευτεί ότι το σύνολο των πινάκων της μορφής Eij , όπου το μόνο μη μηδενικό στοιχείο 1 βρίσκεται στην τομή της i-ης σειράς και της j-ης στήλης (i,j=1,…,n) , αποτελούν τη βάση Mn (P).

Συμπεράσματα από το κύριο θεώρημα για τη γραμμική εξάρτηση για πεπερασμένες διαστάσεις γραμμικούς χώρους

Μαζί με τα συμπεράσματα του βασικού θεωρήματος γραμμικής εξάρτησης 1-4, πολλές άλλες σημαντικές δηλώσεις μπορούν να ληφθούν από αυτό το θεώρημα.

Συμπέρασμα 5. Οποιεσδήποτε δύο βάσεις ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.

Αυτή η πρόταση είναι μια ειδική περίπτωση του συμπερασμάτων 2 του βασικού θεωρήματος γραμμικής εξάρτησης που εφαρμόζεται σε ολόκληρο τον γραμμικό χώρο.

Ορισμός 8. Ο αριθμός των διανυσμάτων σε μια αυθαίρετη βάση ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου L ονομάζεται διάσταση αυτού του χώρου και συμβολίζεται με αμυδρό L.

Σύμφωνα με το συμπέρασμα 5, κάθε πεπερασμένος-διάστατος γραμμικός χώρος έχει μια μοναδική διάσταση. Ορισμός 9. Εάν ένας γραμμικός χώρος L έχει διάσταση n, τότε ονομάζεται n-διάστατος

γραμμικός χώρος. Παραδείγματα:

1. αμυδρό R1 =1;

2. dimR 2 =2;

3. dimP (n) =n, δηλ. Το P(n) είναι ένας n-διάστατος γραμμικός χώρος, επειδή παραπάνω, στο παράδειγμα 2 φαίνεται ότι το (1) είναι η βάση

P(n);

4. dimP n [x]=(n+1), επειδή, όπως είναι εύκολο να ελεγχθεί, το 1,x,x2 ,…,xn είναι μια βάση n+1 διανυσμάτων αυτού του χώρου.

5. dimM n (P)=n2, επειδή υπάρχουν ακριβώς n2 πίνακες της μορφής Eij που υποδεικνύονται στο Παράδειγμα 4.

Συμπέρασμα 6. Σε έναν n-διάστατο γραμμικό χώρο L, οποιαδήποτε n+1 διανύσματα a1 ,a2 ,…,an+1 (3) συνιστούν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα.

Απόδειξη. Εξ ορισμού της διάστασης του χώρου σε L υπάρχει βάση n διανυσμάτων: e1 ,e2 ,…,en (4). Ας εξετάσουμε ένα ζεύγος συστημάτων (3) και (4).

Ας υποθέσουμε ότι η (3) είναι γραμμικά ανεξάρτητη. Επειδή Το (4) είναι μια βάση του L, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου L μπορεί να εκφραστεί γραμμικά μέσω του (4) (από το Θεώρημα 3 από την §3). Συγκεκριμένα, το σύστημα (3) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (4). Με την υπόθεση (3) είναι γραμμικά ανεξάρτητο. τότε το κύριο θεώρημα για τη γραμμική εξάρτηση μπορεί να εφαρμοστεί στο ζεύγος των συστημάτων (3) και (4). Παίρνουμε: n+1 n, το οποίο είναι αδύνατο. Η αντίφαση αποδεικνύει ότι η (3) εξαρτάται γραμμικά.

Η έρευνα έχει αποδειχθεί.

Παρατήρηση 1. Από το συμπέρασμα 6 και το θεώρημα 2 από την §2 προκύπτει ότι σε έναν n-διάστατο γραμμικό χώρο κάθε πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων που περιέχει περισσότερα από n διανύσματα εξαρτάται γραμμικά.

Από αυτή την παρατήρηση προκύπτει

Συμπέρασμα 7. Σε έναν γραμμικό χώρο n-διαστάσεων, οποιοδήποτε γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα περιέχει το πολύ n διανύσματα.

Παρατήρηση 2. Χρησιμοποιώντας αυτή τη δήλωση μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ορισμένοι γραμμικοί χώροι δεν είναι πεπερασμένων διαστάσεων.

Παράδειγμα. Ας εξετάσουμε τον χώρο των πολυωνύμων P[x] και ας αποδείξουμε ότι δεν είναι πεπερασμένων διαστάσεων. Ας υποθέσουμε ότι dim P[x]=m, m N. Θεωρούμε 1, x,…, xm – ένα σύνολο (m+1) διανυσμάτων από το P[x]. Αυτό το σύστημα διανυσμάτων, όπως σημειώθηκε παραπάνω, είναι γραμμικά ανεξάρτητο, γεγονός που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι η διάσταση του P[x] είναι ίση με m.

Είναι εύκολο να ελεγχθεί (χρησιμοποιώντας P[x]) ότι οι πεπερασμένες διαστάσεις γραμμικοί χώροι δεν είναι οι χώροι όλων των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, οι χώροι των συνεχών συναρτήσεων κ.λπ.

Συμπέρασμα 8. Οποιοδήποτε πεπερασμένο γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων a1 , a2 ,…,ak (5) ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου L μπορεί να συμπληρωθεί στη βάση αυτού του χώρου.

Απόδειξη. Έστω n=dim L. Ας εξετάσουμε δύο πιθανές περιπτώσεις.

1. Αν k=n, τότε το a 1 , a2 ,…,ak είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα n διανυσμάτων. Σύμφωνα με το συμπέρασμα 7, για οποιοδήποτε b L το σύστημα a1 , a2 ,…,ak , b εξαρτάται γραμμικά, δηλ. (5) – βάση L.

2. Έστω k n. Τότε το σύστημα (5) δεν είναι βάση του L, που σημαίνει ότι υπάρχει ένα διάνυσμα α k+1 L, ότι a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Αν (k+1)

Με το συμπέρασμα 7, αυτή η διαδικασία τελειώνει μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Λαμβάνουμε μια βάση a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,an του γραμμικού χώρου L, που περιέχει το (5).

Η έρευνα έχει αποδειχθεί.

Από το συμπέρασμα 8 προκύπτει

Συμπέρασμα 9. Οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου L περιέχεται σε κάποια βάση L (καθώς ένα τέτοιο διάνυσμα είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα).

Έπεται ότι αν το P είναι άπειρο πεδίο, τότε σε έναν πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικό χώρο πάνω από το πεδίο P υπάρχουν άπειρες βάσεις (αφού στο L υπάρχουν άπειρα διανύσματα της μορφής a, a 0, P\0).

§ 6. Ισομορφισμός γραμμικών χώρων

Ορισμός 10. Δύο γραμμικοί χώροι L και L` σε ένα πεδίο P ονομάζονται ισόμορφοι εάν υπάρχει διχοτόμηση: L L` που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

1. (a+b)= (a)+ (b) a, b L,

2. (α)= (α) P, a L.

Μια τέτοια χαρτογράφηση από μόνη της ονομάζεται ισομορφισμός ή ισομορφική χαρτογράφηση.

Ιδιότητες ισομορφισμών.

1. Με τον ισομορφισμό, το μηδενικό διάνυσμα γίνεται μηδέν.

Απόδειξη. Έστω ένα L και: L L` ισομορφισμός. Αφού a=a+0, τότε (a)= (a+0)= (a)+ (0).

Επειδή (L)=L` τότε από την τελευταία ισότητα είναι σαφές ότι το (0) (το συμβολίζουμε με 0`) είναι το μηδενικό διάνυσμα από

2. Με τον ισομορφισμό, ένα γραμμικά εξαρτημένο σύστημα μετατρέπεται σε γραμμικά εξαρτημένο σύστημα. Απόδειξη. Έστω a1 , a2 ,…,ως (2) κάποιο γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα από το L. Τότε υπάρχει

ένα μη μηδενικό σύνολο αριθμών 1 ,…, s (3) από το P, έτσι ώστε 1 a1 +…+ s ως =0. Ας υποβάλουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας σε μια ισομορφική χαρτογράφηση. Λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό του ισομορφισμού, παίρνουμε:

1 (a1 )+…+ s (ως )= (0)=0` (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα 1). Επειδή Το σύνολο (3) είναι μη μηδενικό, τότε από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι (1),..., (s) είναι ένα γραμμικά εξαρτημένο σύστημα.

3. Αν: L L` είναι ισομορφισμός, τότε -1 : L` L είναι επίσης ισομορφισμός.

Απόδειξη. Αφού είναι bijection, τότε υπάρχει bijection -1 : L` L. Πρέπει να αποδείξουμε ότι αν a`,

Εφόσον πρόκειται για ισομορφισμό, τότε a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). Αυτό υπονοεί:

a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)).

Από (5) και (6) έχουμε -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`).

Ομοίως, ελέγχεται ότι -1 (a`)= -1 (a`). Άρα, το -1 είναι ισομορφισμός.

Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί.

4. Με τον ισομορφισμό, ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα μετατρέπεται σε γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Απόδειξη. Έστω: L L` είναι ισομορφισμός και a1, a2,…,ως (2) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Απαιτείται

να αποδείξετε ότι τα (a1), (a2),…, (as) (7) είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητη.

Ας υποθέσουμε ότι η (7) εξαρτάται γραμμικά. Στη συνέχεια, όταν εμφανίζει -1, μπαίνει στο σύστημα a1,...,ως.

Με την ιδιότητα 3 -1 είναι ένας ισομορφισμός, και κατόπιν με την ιδιότητα 2, το σύστημα (2) θα είναι επίσης γραμμικά εξαρτημένο, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη. Επομένως, η υπόθεσή μας είναι εσφαλμένη.

Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί.

5. Με τον ισομορφισμό, η βάση οποιουδήποτε συστήματος διανυσμάτων πηγαίνει στη βάση του συστήματος των εικόνων του. Απόδειξη. Έστω a1 , a2 ,…,as ,… (8) ένα πεπερασμένο ή άπειρο σύστημα γραμμικών διανυσμάτων

χώρος L, : L L` είναι ισομορφισμός. Έστω ότι το σύστημα (8) έχει βάση ai1 , …, αέρας (9). Ας δείξουμε ότι το σύστημα

(a1),…, (ak),… (10) έχει βάση (ai1),…, (air) (11).

Εφόσον η (9) είναι γραμμικά ανεξάρτητη, τότε από την ιδιότητα 4 το σύστημα (11) είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Ας αντιστοιχίσουμε στο (11) οποιοδήποτε διάνυσμα από το (10). παίρνουμε: (ai1), …, (αέρας), (aj) (12). Θεωρήστε το σύστημα ai1 , …,air , aj (13). Εξαρτάται γραμμικά, αφού η (9) είναι η βάση του συστήματος (8). Όμως το (13) υπό ισομορφισμό μετατρέπεται σε (12). Εφόσον η (13) εξαρτάται γραμμικά, τότε από την ιδιότητα 2 το σύστημα (12) εξαρτάται επίσης γραμμικά. Αυτό σημαίνει ότι το (11) είναι η βάση του συστήματος (10).

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα 5 σε ολόκληρο τον πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικό χώρο L, λαμβάνουμε

Δήλωση 1. Έστω L ένας n-διάστατος γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P, : L L` ισομορφισμός. Τότε το L` είναι επίσης πεπερασμένος-διάστατος χώρος και το dim L`= dim L = n.

Ειδικότερα, η Πρόταση 2 είναι αληθής Εάν οι πεπερασμένες διαστάσεις γραμμικοί χώροι είναι ισόμορφοι, τότε οι διαστάσεις τους είναι ίσες.

Σχόλιο. Στην §7 θα διαπιστωθεί και η εγκυρότητα του αντίστροφου αυτής της δήλωσης.

§ 7. Διανυσματικές συντεταγμένες

Έστω L ένας πεπερασμένος γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P και e1 ,...,en (1) είναι κάποια βάση του L.

Ορισμός 11. Έστω ένα L. Ας εκφράσουμε το διάνυσμα a διαμπερής βάση (1), δηλ. a= 1 e1 +…+ n en (2), i P (i=1,…,n). Καλείται η στήλη (1,…, n)t (3). στήλη συντεταγμένωνδιάνυσμα α στη βάση (1).

Η στήλη συντεταγμένων του διανύσματος a στη βάση e συμβολίζεται επίσης με [a], [a]e ή [1,.., n].

Όπως και στην αναλυτική γεωμετρία, αποδεικνύεται η μοναδικότητα της διανυσματικής έκφρασης μέσω της βάσης, δηλ. τη μοναδικότητα της στήλης συντεταγμένων του διανύσματος σε μια δεδομένη βάση.

Σημείωση 1. Σε ορισμένα σχολικά βιβλία, αντί για στήλες συντεταγμένων, λαμβάνονται υπόψη οι γραμμές συντεταγμένων (για παράδειγμα, στο βιβλίο). Σε αυτήν την περίπτωση, οι τύποι που λαμβάνονται εκεί στη γλώσσα των στηλών συντεταγμένων φαίνονται διαφορετικοί.

Θεώρημα 4. Έστω L ένας n-διάστατος γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P και (1) κάποια βάση του L. Εξετάστε την αντιστοίχιση: a (1,..., n)t, που συνδέει οποιοδήποτε διάνυσμα a από το L με τη στήλη συντεταγμένων του στη βάση (1). Τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός των χώρων L και P(n) (P(n) είναι ένας αριθμητικός χώρος n διαστάσεων διανυσμάτων στηλών).

Απόδειξη . Η αντιστοίχιση είναι μοναδική λόγω της μοναδικότητας των διανυσματικών συντεταγμένων. Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι είναι bijection και (a)= (a), (a)+ (b)= (a+b). Αυτό σημαίνει ισομορφισμός.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Συμπέρασμα 1. Ένα σύστημα διανυσμάτων a1 ,a2 ,…,ως ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου L είναι γραμμικά εξαρτώμενο εάν και μόνο εάν το σύστημα που αποτελείται από τις στήλες συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων σε κάποια βάση του χώρου L εξαρτάται γραμμικά.

Η εγκυρότητα αυτής της δήλωσης προκύπτει από το Θεώρημα 1 και τις δεύτερες και τέταρτες ιδιότητες του ισομορφισμού. Παρατήρηση 2. Το συμπέρασμα 1 μας επιτρέπει να μελετήσουμε το ζήτημα της γραμμικής εξάρτησης συστημάτων διανυσμάτων σε

σε έναν πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικό χώρο μπορεί να αναχθεί στην επίλυση της ίδιας ερώτησης για τις στήλες ενός συγκεκριμένου πίνακα.

Θεώρημα 5 (κριτήριο ισομορφισμού πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικών χώρων). Δύο πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικοί χώροι L και L` σε ένα πεδίο P είναι ισόμορφοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια διάσταση.

Ανάγκη. Έστω L L` Δυνάμει της Πρότασης 2 από την §6, η διάσταση του L συμπίπτει με τη διάσταση του L1.

Επάρκεια. Έστω dim L = dim L`= n. Τότε, με το Θεώρημα 4, έχουμε: L P(n)		και L` P(n) . Από εδώ
δεν είναι δύσκολο να ληφθεί ότι το L L`.
Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.
Σημείωση. Σε αυτό που ακολουθεί, συχνά θα υποδηλώνουμε έναν n-διάστατο γραμμικό χώρο με Ln.
§ 8. Πίνακας μετάβασης
Ορισμός 12. Έστω στο γραμμικό διάστημα Ln	δίνονται δύο βάσεις:
e= (е1,...еn) και e`=(e1`,...,e`n) (παλιό και νέο).
Ας επεκτείνουμε τα διανύσματα της βάσης e` στη βάση e:
e`1 =t11 e1 +…+tn1 en
…………………..

e`n =t1n e1 +…+tnn en .

t11………t1n

Τ= ………………

tn1………tnn

που ονομάζεται μήτρα μετάβασηςαπό τη βάση ε στη βάση ε».

Σημειώστε ότι είναι βολικό να γράψετε τις ισότητες (1) σε μορφή πίνακα ως εξής: e` = eT (2). Αυτή η ισότητα είναι ισοδύναμη με τον ορισμό του πίνακα μετάβασης.

Παρατήρηση 1. Ας διατυπώσουμε έναν κανόνα για την κατασκευή ενός πίνακα μετάβασης: για να κατασκευάσουμε έναν πίνακα μετάβασης από τη βάση e στη βάση e», για όλα τα διανύσματα ej» της νέας βάσης e», πρέπει να βρούμε τις στήλες συντεταγμένων τους στο παλιά βάση e και γράψτε τις ως τις αντίστοιχες στήλες του πίνακα T.

Σημείωση 2. Στο βιβλίο, ο πίνακας μετάβασης συντάσσεται σειρά προς σειρά (από τις σειρές συντεταγμένων των διανυσμάτων της νέας βάσης στην παλιά).

Θεώρημα 6. Ο πίνακας μετάβασης από τη μία βάση του n-διάστατου γραμμικού χώρου Ln πάνω από το πεδίο P στην άλλη βάση του είναι ένας μη εκφυλισμένος πίνακας νης τάξης με στοιχεία από το πεδίο P.

Απόδειξη. Έστω T ο πίνακας μετάβασης από τη βάση e στη βάση e`. Οι στήλες του πίνακα T, εξ ορισμού 12, είναι οι στήλες συντεταγμένων των διανυσμάτων της βάσης e` στη βάση e` Δεδομένου ότι το e` είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα, τότε από το συμπέρασμα 1 του Θεωρήματος 4 οι στήλες του πίνακα T. είναι γραμμικά ανεξάρτητες και επομένως |T|≠0.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια.

Θεώρημα 7. Οποιοσδήποτε μη εκφυλισμένος τετραγωνικός πίνακας nης τάξης με στοιχεία από το πεδίο P χρησιμεύει ως μεταβατικός πίνακας από μια βάση του n-διάστατου γραμμικού χώρου Ln πάνω από το πεδίο P σε κάποια άλλη βάση Ln.

Απόδειξη . Έστω η βάση e = (e1, ..., en) του γραμμικού χώρου L και ενός μη ενικού τετραγώνου πίνακα

Т= t11………t1n

tn1………tnn

nη τάξη με στοιχεία από το πεδίο P. Στον γραμμικό χώρο Ln, θεωρήστε ένα διατεταγμένο σύστημα διανυσμάτων e`=(e1 `,…,e`n), για το οποίο οι στήλες του πίνακα T είναι στήλες συντεταγμένων στη βάση e .

Το σύστημα των διανυσμάτων e` αποτελείται από n διανύσματα και, δυνάμει του Συμπερασματικού 1 του Θεωρήματος 4, είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού οι στήλες ενός μη ενικού πίνακα T είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Επομένως, αυτό το σύστημα είναι η βάση του γραμμικού χώρου Ln, και λόγω της επιλογής των διανυσμάτων συστήματος e` ισχύει η ισότητα e`=eT. Αυτό σημαίνει ότι το T είναι ο πίνακας μετάβασης από τη βάση e στη βάση e`.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος a σε διαφορετικές βάσεις

Έστω οι βάσεις e=(е1,...еn) και e`=(e1`,...,e`n) στον γραμμικό χώρο Ln με τον πίνακα μετάβασης T από τη βάση e στη βάση e` , δηλ. (2) είναι αλήθεια. Το διάνυσμα a έχει συντεταγμένες στις βάσεις e και e` [a]e =(1 ,…, n)T και [a]e` =(1 `,…,

n `)T , δηλ. a=e[a]e και a=e`[a]e` .

Στη συνέχεια, από τη μια πλευρά, a=e[a]e , και από την άλλη a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (χρησιμοποιήσαμε η ισότητα (2)). Από αυτές τις ισότητες παίρνουμε: a=e[a]e =e(T[a]e` ). Ως εκ τούτου, λόγω της μοναδικότητας της επέκτασης του διανύσματος στη βάση

Αυτό συνεπάγεται την ισότητα [a]e =Т[a]e` (3), ή




	n`.

Οι σχέσεις (3) και (4) ονομάζονται τύποι μετασχηματισμού συντεταγμένωνόταν αλλάζει η βάση του γραμμικού χώρου. Εκφράζουν τις παλιές διανυσματικές συντεταγμένες ως προς τις νέες. Αυτοί οι τύποι μπορούν να επιλυθούν σε σχέση με τις νέες συντεταγμένες του διανύσματος πολλαπλασιάζοντας το (4) στα αριστερά με το T-1 (υπάρχει ένας τέτοιος πίνακας, αφού το T είναι ένας μη ενικός πίνακας).

Τότε παίρνουμε: [a]e` =T-1 [a]e . Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του διανύσματος στην παλιά βάση e του γραμμικού χώρου Ln, μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του στη νέα βάση, e`.

§ 9. Υποχώροι γραμμικού χώρου

Ορισμός 13. Έστω L ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P και H L. Εάν το H είναι επίσης ένας γραμμικός χώρος πάνω από το P ως προς τις ίδιες πράξεις με το L, τότε το H καλείται υποχώροςγραμμικός χώρος L.

Δήλωση 1. Ένα υποσύνολο H ενός γραμμικού χώρου L πάνω από ένα πεδίο P είναι ένας υποχώρος του L εάν πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες:

1. h1 +h2H για οποιοδήποτε h1, h2H;

2. h H για οποιαδήποτε h H και P.

Απόδειξη. Εάν οι συνθήκες 1 και 2 ικανοποιούνται στο H, τότε η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός με στοιχεία του πεδίου P καθορίζονται στο H. Η εγκυρότητα των περισσότερων αξιωμάτων γραμμικού χώρου για το H προκύπτει από την εγκυρότητά τους για το L. Ας ελέγξουμε μερικά από αυτά:

α) 0 h=0 H (λόγω συνθήκης 2);

β) h H έχουμε: (-h)=(-1)h H (λόγω συνθήκης 2).

Η δήλωση έχει αποδειχθεί.

1. Οι υποχώροι οποιουδήποτε γραμμικού χώρου L είναι 0 και L.

2. R 1 – υποχώρος του χώρου R2 διανυσμάτων τμήματος στο επίπεδο.

3. Ο χώρος των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής έχει, ειδικότερα, τους ακόλουθους υποχώρους:

α) γραμμικές συναρτήσεις της μορφής ax+b.

β) συνεχείς συναρτήσεις. γ) διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις.

Ένας παγκόσμιος τρόπος αναγνώρισης υποχώρων οποιουδήποτε γραμμικού χώρου συνδέεται με την έννοια του γραμμικού κύτους.

Ορισμός 14. Έστω a1 ,…as (1) ένα αυθαίρετο πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων στον γραμμικό χώρο L. Ας καλέσουμε γραμμικό κέλυφοςαυτού του συνόλου συστήματος ( 1 a1 +…+ s ως | i P) = . Το γραμμικό κέλυφος του συστήματος (1) συμβολίζεται επίσης με L(a1 ,…,as ).

Θεώρημα 8. Το γραμμικό κύτος H οποιουδήποτε πεπερασμένου συστήματος διανυσμάτων (1) ενός γραμμικού χώρου L είναι ένας πεπερασμένος υποχώρος του γραμμικού χώρου L. Η βάση του συστήματος (1) είναι επίσης βάση του H, και η διάσταση του Η ισούται με τον βαθμό του συστήματος (1).

Απόδειξη. Έστω H= . Από τον ορισμό του γραμμικού κύτους προκύπτει εύκολα ότι πληρούνται οι συνθήκες 1 και 2 της Πρότασης 1 Δυνάμει αυτής της δήλωσης, το H είναι ένας υποχώρος του γραμμικού χώρου L. Έστω ότι η βάση είναι ο αέρος (2). του συστήματος (1). Τότε έχουμε: οποιοδήποτε διάνυσμα h H εκφράζεται γραμμικά μέσω του (1) - εξ ορισμού ενός γραμμικού κελύφους, και το (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω της βάσης του (2). Εφόσον το (2) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα, είναι η βάση του Ν. Αλλά ο αριθμός των διανυσμάτων στο (2) είναι ίσος με την κατάταξη του συστήματος (1). Άρα dimH=r.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Παρατήρηση 1. Εάν το H είναι ένας πεπερασμένος υποχώρος ενός γραμμικού χώρου L και το h1 ,...,hm είναι βάση του H, τότε είναι εύκολο να δούμε ότι H=