Οδηγίες

Σας δίνονται τρεις βαθμοί. Ας τα συμβολίσουμε ως (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Υποτίθεται ότι αυτά τα σημεία είναι οι κορυφές ορισμένων τρίγωνο. Το καθήκον είναι να δημιουργηθούν εξισώσεις των πλευρών του - πιο συγκεκριμένα, εξισώσεις εκείνων των γραμμών στις οποίες βρίσκονται αυτές οι πλευρές. Αυτές οι εξισώσεις θα πρέπει να μοιάζουν με:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3, λοιπόν, πρέπει να βρείτε τις γωνιακές τιμές k1, k2, k3 και τις μετατοπίσεις b1, b2, b3.

Βρείτε μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (x1, y1), (x2, y2). Αν x1 = x2, τότε η επιθυμητή γραμμή είναι κάθετη και η εξίσωσή της είναι x = x1. Αν y1 = y2, τότε η ευθεία είναι οριζόντια και η εξίσωσή της είναι y = y1. Γενικά, αυτές οι συντεταγμένες δεν θα αντιστοιχούν μεταξύ τους.

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες (x1, y1), (x2, y2) στη γενική εξίσωση της ευθείας γραμμής, παίρνετε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων: k1*x1 + b1 = y1.
k1*x2 + b1 = y2 Αφαιρέστε τη μία εξίσωση από την άλλη και λύστε την εξίσωση που προκύπτει για k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, επομένως k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Αντικαθιστώντας αυτό που βρήκατε σε οποιαδήποτε από τις αρχικές εξισώσεις, βρείτε την έκφραση για b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 Αφού γνωρίζουμε ήδη ότι x2 ≠ x1, μπορούμε να απλοποιήσουμε την παράσταση πολλαπλασιάζοντας το y1 με (x2 - x1)/(x2 - x1). Τότε για το b1 θα λάβετε την ακόλουθη έκφραση: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Ελέγξτε αν το τρίτο από τα δεδομένα είναι στη γραμμή που βρέθηκε. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το (x3, y3) στην εξίσωση που προκύπτει και δείτε αν ισχύει η ισότητα. Αν παρατηρηθεί, λοιπόν, και τα τρία σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία και το τρίγωνο εκφυλίζεται σε τμήμα.

Με τον ίδιο τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω, εξάγετε εξισώσεις για τις ευθείες που διέρχονται από τα σημεία (x2, y2), (x3, y3) και (x1, y1), (x3, y3).

Η τελική μορφή των εξισώσεων για τις πλευρές ενός τριγώνου που δίνονται από τις συντεταγμένες των κορυφών είναι: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 )
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Να βρω εξισώσεις κόμματα τρίγωνο, πρώτα απ 'όλα, πρέπει να προσπαθήσουμε να λύσουμε το ερώτημα πώς να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο εάν είναι γνωστά το διάνυσμα κατεύθυνσης s(m, n) και κάποιο σημείο M0(x0, y0) που ανήκει στην ευθεία.

Οδηγίες

Πάρτε ένα αυθαίρετο (μεταβλητό, κινητήριο) σημείο М(x, y) και κατασκευάστε ένα διάνυσμα М0M =(x-x0, y-y0) (γράψτε επίσης М0M(x-x0, y-y0)), το οποίο προφανώς θα είναι συγγραμμικό (παράλληλο ) κατά k s. Στη συνέχεια, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι ανάλογες, οπότε μπορούμε να δημιουργήσουμε μια κανονική ευθεία: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Είναι αυτή η αναλογία που θα χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος.

Όλες οι περαιτέρω ενέργειες καθορίζονται με βάση τη μέθοδο .1η μέθοδος. Ένα τρίγωνο δίνεται από τις συντεταγμένες των τριών κορυφών του, οι οποίες στη σχολική γεωμετρία δίνονται από τα μήκη των τριών του κόμματα(βλ. Εικ. 1). Δηλαδή, η συνθήκη περιέχει σημεία M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Αντιστοιχούν στα διανύσματα ακτίνας τους) OM1, 0M2 και OM3 με τις ίδιες συντεταγμένες με τα σημεία. Για να πάρεις εξισώσεις κόμματα s M1M2 απαιτεί το διάνυσμα κατεύθυνσής του M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) και οποιοδήποτε από τα σημεία M1 ή M2 (εδώ λαμβάνεται το σημείο με τον χαμηλότερο δείκτη).

Ετσι, για κόμματα y M1M2 κανονική εξίσωση της ευθείας (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Ενεργώντας καθαρά επαγωγικά, μπορούμε να γράψουμε εξισώσειςτο υπόλοιπο κόμματα.Για κόμματα s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Για κόμματα s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2η μέθοδος. Το τρίγωνο ορίζεται από δύο σημεία (όπως και πριν από M1(x1, y1) και M2(x2, y2)), καθώς και από τα μοναδιαία διανύσματα των κατευθύνσεων των άλλων δύο κόμματα. Για κόμματα s M2M3: p^0 (m1, n1). Για M1M3: q^0(m2, n2). Επομένως για κόμματα s M1M2 θα είναι το ίδιο όπως στην πρώτη μέθοδο: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Για κόμματα s М2М3 ως σημείο (x0, y0) του κανονικού εξισώσεις(x1, y1), και το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι p^0(m1, n1). Για κόμματα s M1M3, (x2, y2) λαμβάνεται ως σημείο (x0, y0), το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι q^0(m2, n2). Έτσι, για M2M3: εξίσωση (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 Για M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Συμβουλή 3: Πώς να βρείτε το ύψος ενός τριγώνου αν δίνονται οι συντεταγμένες των σημείων

Το ύψος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή του σχήματος με την αντίθετη πλευρά. Αυτό το τμήμα πρέπει να είναι κάθετο στην πλευρά, έτσι μόνο ένα μπορεί να σχεδιαστεί από κάθε κορυφή ύψος. Δεδομένου ότι υπάρχουν τρεις κορυφές σε αυτό το σχήμα, υπάρχει ο ίδιος αριθμός υψών. Εάν ένα τρίγωνο δίνεται από τις συντεταγμένες των κορυφών του, το μήκος καθενός από τα ύψη μπορεί να υπολογιστεί, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού και τον υπολογισμό των μηκών των πλευρών.

Οδηγίες

Ξεκινήστε υπολογίζοντας τα μήκη των πλευρών τρίγωνο. Ορίζω συντεταγμένεςσχήματα όπως αυτό: Α(Χ1,Υ1,Ζ1), Β(Χ2,Υ2,Ζ2) και C(Χ3,Υ3,Ζ3). Στη συνέχεια, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΒ χρησιμοποιώντας τον τύπο AB = √((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1-Z2)²). Για τις άλλες δύο πλευρές θα μοιάζουν με αυτό: BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) και AC = √((X1-X3)² + (Y1 -Y3)2 + (Z1-Z3)2). Για παράδειγμα, για τρίγωνομε συντεταγμένες A(3,5,7), B(16,14,19) και C(1,2,13) ​​το μήκος της πλευράς AB θα είναι √((3-16)² + (5-14 )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Τα μήκη των πλευρών BC και AC, υπολογιζόμενα με τον ίδιο τρόπο, θα είναι √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 και √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Γνωρίζοντας τα μήκη των τριών πλευρών που λήφθηκαν στο προηγούμενο βήμα αρκεί για τον υπολογισμό του εμβαδού τρίγωνο(S) σύμφωνα με τον τύπο του Heron: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας σε αυτόν τον τύπο τις τιμές που λαμβάνονται από τις συντεταγμένες τρίγωνο-δείγμα από το προηγούμενο βήμα, αυτό θα δώσει την τιμή: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12 ) * (19,85+20,12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Με βάση την περιοχή τρίγωνο, που υπολογίστηκε στο προηγούμενο βήμα, και τα μήκη των πλευρών που λήφθηκαν στο δεύτερο βήμα, υπολογίστε τα ύψη για κάθε μία από τις πλευρές. Επειδή το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό του γινόμενου του ύψους και του μήκους της πλευράς προς την οποία τραβιέται, για να βρείτε το ύψος, διαιρέστε τη διπλασιασμένη περιοχή με το μήκος της επιθυμητής πλευράς: H = 2*S/a. Για το παράδειγμα που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω, το ύψος χαμηλωμένο στην πλευρά AB θα είναι 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, το ύψος στην πλευρά BC θα έχει μήκος 2*68,815/20,12 ≈ 6,84 και για την πλευρά AC αυτή η τιμή θα είναι ίση με 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

Πηγές:

• δίνονται σημεία να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου

Συμβουλή 4: Πώς να χρησιμοποιήσετε τις συντεταγμένες των κορυφών ενός τριγώνου για να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του

Στην αναλυτική γεωμετρία, ένα τρίγωνο σε ένα επίπεδο μπορεί να οριστεί σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες των κορυφών, μπορείτε να δημιουργήσετε εξισώσεις για τις πλευρές του τριγώνου. Αυτές θα είναι οι εξισώσεις τριών ευθειών, οι οποίες τέμνονται σχηματίζουν ένα σχήμα.

Στα προβλήματα 1 - 20 δίνονται οι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ.
Βρείτε: 1) το μήκος της πλευράς ΑΒ. 2) εξισώσεις των πλευρών AB και AC και οι γωνιακοί συντελεστές τους. 3) Εσωτερική γωνία Α σε ακτίνια με ακρίβεια 0,01. 4) εξίσωση για το ύψος του CD και το μήκος του. 5) η εξίσωση ενός κύκλου για τον οποίο το ύψος CD είναι η διάμετρος. 6) ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων που ορίζουν το τρίγωνο ABC.

Μήκος πλευρών τριγώνου:
|ΑΒ| = 15
|AC| = 11,18
|π.Χ.| = 14,14
Απόσταση d από το σημείο Μ: d = 10
Δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Μήκος των πλευρών του τριγώνου
Η απόσταση d μεταξύ των σημείων M 1 (x 1 , y 1) και M 2 (x 2 , y 2) καθορίζεται από τον τύπο:

8) Εξίσωση ευθείας
Μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από τα σημεία A 1 (x 1 , y 1) και A 2 (x 2 , y 2) αντιπροσωπεύεται από τις εξισώσεις:

Εξίσωση της ευθείας ΑΒ


ή

ή
y = -3 / 4 x -7 / 4 ή 4y + 3x +7 = 0
Εξίσωση γραμμής AC
Κανονική εξίσωση της γραμμής:

ή

ή
y = 1 / 2 x + 9 / 2 ή 2y -x - 9 = 0
Εξίσωση ευθείας BC
Κανονική εξίσωση της γραμμής:

ή

ή
y = -7x + 42 ή y + 7x - 42 = 0
3) Γωνία μεταξύ ευθειών
Εξίσωση ευθείας AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Γραμμική εξίσωση AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Η γωνία φ μεταξύ δύο ευθειών, που δίνεται με εξισώσεις με γωνιακούς συντελεστές y = k 1 x + b 1 και y 2 = k 2 x + b 2, υπολογίζεται από τον τύπο:

Οι κλίσεις αυτών των γραμμών είναι -3/4 και 1/2. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο και ας πάρουμε το modulo στη δεξιά πλευρά του:

tg φ = 2
φ = αρκτάν(2) = 63,44 0 ή 1,107 rad.
9) Εξίσωση ύψους μέσω της κορυφής Γ
Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο N 0 (x 0 ;y 0) και είναι κάθετη στην ευθεία Ax + By + C = 0 έχει διάνυσμα κατεύθυνσης (A;B) και, επομένως, αντιπροσωπεύεται από τις εξισώσεις:



Αυτή η εξίσωση μπορεί να βρεθεί με άλλο τρόπο. Για να το κάνουμε αυτό, ας βρούμε την κλίση k 1 της ευθείας ΑΒ.
Εξίσωση ΑΒ: y = -3 / 4 x -7 / 4, δηλ. k 1 = -3 / 4
Ας βρούμε τον γωνιακό συντελεστή k της καθέτου από την συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών: k 1 *k = -1.
Αντικαθιστώντας την κλίση αυτής της γραμμής αντί για k 1, παίρνουμε:
-3 / 4 k = -1, από όπου k = 4 / 3
Εφόσον η κάθετη διέρχεται από το σημείο C(5,7) και έχει k = 4 / 3, θα αναζητήσουμε την εξίσωσή της με τη μορφή: y-y 0 = k(x-x 0).
Αντικαθιστώντας x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 παίρνουμε:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
ή
y = 4 / 3 x + 1 / 3 ή 3y -4x - 1 = 0
Ας βρούμε το σημείο τομής με την ευθεία ΑΒ:
Έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε το y και το αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση.
Παίρνουμε:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) Μήκος του υψομέτρου του τριγώνου από την κορυφή Γ
Η απόσταση d από το σημείο M 1 (x 1 ;y 1) μέχρι την ευθεία Ax + By + C = 0 είναι ίση με την απόλυτη τιμή της ποσότητας:

Βρείτε την απόσταση μεταξύ του σημείου C(5;7) και της ευθείας AB (4y + 3x +7 = 0)


Το μήκος του ύψους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν άλλο τύπο, όπως η απόσταση μεταξύ του σημείου C(5;7) και του σημείου D(-1;-1).
Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων εκφράζεται σε συντεταγμένες με τον τύπο:

5) η εξίσωση ενός κύκλου για τον οποίο το ύψος CD είναι η διάμετρος.
Η εξίσωση κύκλου ακτίνας R με κέντρο στο σημείο E(a;b) έχει τη μορφή:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Εφόσον το CD είναι η διάμετρος του επιθυμητού κύκλου, το κέντρο του Ε είναι το μέσο του τμήματος CD. Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τη διαίρεση ενός τμήματος στο μισό, παίρνουμε:


Επομένως, E(2;3) και R = CD / 2 = 5. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, λαμβάνουμε την εξίσωση του επιθυμητού κύκλου: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων που ορίζουν το τρίγωνο ABC.
Εξίσωση της ευθείας ΑΒ: y = -3 / 4 x -7 / 4
Εξίσωση γραμμής AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Εξίσωση ευθείας BC: y = -7x + 42

Πρόβλημα 1. Δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Βρείτε: 1) το μήκος της πλευράς ΑΒ. 2) Εξισώσεις των πλευρών AB και BC και οι γωνιακοί συντελεστές τους. 3) γωνία Β σε ακτίνια με ακρίβεια δύο ψηφίων. 4) εξίσωση ύψους CD και το μήκος του. 5) την εξίσωση της διάμεσης ΑΕ και τις συντεταγμένες του σημείου Κ της τομής αυτής της διάμεσης με το ύψος CD. 6) η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Κ παράλληλα στην πλευρά ΑΒ. 7) συντεταγμένες του σημείου Μ, που βρίσκονται συμμετρικά στο σημείο Α σε σχέση με την ευθεία γραμμή CD.

Λύση:

1. Η απόσταση d μεταξύ των σημείων A(x 1 ,y 1) και B(x 2 ,y 2) καθορίζεται από τον τύπο

Εφαρμόζοντας το (1), βρίσκουμε το μήκος της πλευράς ΑΒ:

2. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(x 1 ,y 1) και B(x 2 ,y 2) έχει τη μορφή

(2)

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β σε (2), παίρνουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ:

Έχοντας λύσει την τελευταία εξίσωση για το y, βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ με τη μορφή ευθείας εξίσωσης με γωνιακό συντελεστή:

που

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ στο (2), παίρνουμε την εξίσωση της ευθείας BC:

Ή

3. Είναι γνωστό ότι η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών, των οποίων οι γωνιακοί συντελεστές είναι αντίστοιχα ίσοι, υπολογίζεται με τον τύπο

(3)

Η επιθυμητή γωνία Β σχηματίζεται από ευθείες AB και BC, οι γωνιακοί συντελεστές των οποίων βρίσκονται: Εφαρμόζοντας το (3), παίρνουμε

Ή χαρούμενος.

4. Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο προς μια δεδομένη κατεύθυνση έχει τη μορφή

(4)

Το ύψος CD είναι κάθετο στην πλευρά ΑΒ. Για να βρούμε την κλίση του ύψους CD, χρησιμοποιούμε την συνθήκη της καθετότητας των γραμμών. Από τότε Αντικαθιστώντας σε (4) τις συντεταγμένες του σημείου Γ και τον ευρεθέν γωνιακό συντελεστή ύψους, παίρνουμε

Για να βρούμε το μήκος του ύψους CD, προσδιορίζουμε πρώτα τις συντεταγμένες του σημείου D - το σημείο τομής των ευθειών AB και CD. Επίλυση του συστήματος από κοινού:

βρίσκουμε εκείνοι. D(8;0).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) βρίσκουμε το μήκος του ύψους CD:

5. Για να βρούμε την εξίσωση της διάμεσης ΑΕ, προσδιορίζουμε πρώτα τις συντεταγμένες του σημείου Ε, που είναι το μέσο της πλευράς BC, χρησιμοποιώντας τους τύπους για τη διαίρεση ενός τμήματος σε δύο ίσα μέρη:

(5)

Ως εκ τούτου,

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων Α και Ε σε (2), βρίσκουμε την εξίσωση της διάμεσης:

Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής του ύψους CD και της διάμεσης ΑΕ, λύνουμε μαζί το σύστημα εξισώσεων

Βρίσκουμε.

6. Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ, ο γωνιακός της συντελεστής θα είναι ίσος με τον γωνιακό συντελεστή της ευθείας ΑΒ. Αντικαθιστώντας στην (4) τις συντεταγμένες του ευρεθέντος σημείου Κ και του γωνιακού συντελεστή παίρνουμε

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Εφόσον η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην ευθεία CD, το επιθυμητό σημείο Μ, που βρίσκεται συμμετρικά στο σημείο Α σε σχέση με την ευθεία CD, βρίσκεται στην ευθεία ΑΒ. Επιπλέον, το σημείο D είναι το μέσο του τμήματος ΑΜ. Χρησιμοποιώντας τους τύπους (5), βρίσκουμε τις συντεταγμένες του επιθυμητού σημείου M:

Το τρίγωνο ABC, το ύψος CD, η διάμεσος AE, η ευθεία KF και το σημείο M κατασκευάζονται στο σύστημα συντεταγμένων xOy στο Σχήμα. 1.

Εργασία 2. Να δημιουργήσετε μια εξίσωση για τον γεωμετρικό τόπο των σημείων των οποίων οι αποστάσεις από ένα δεδομένο σημείο A(4; 0) και από μια δεδομένη ευθεία x=1 είναι ίσες με 2.

Λύση:

Στο σύστημα συντεταγμένων xOy, κατασκευάζουμε το σημείο A(4;0) και την ευθεία x = 1. Έστω M(x;y) ένα αυθαίρετο σημείο της επιθυμητής γεωμετρικής θέσης των σημείων. Ας χαμηλώσουμε την κάθετη ΜΒ στη δεδομένη ευθεία x = 1 και ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Β. Εφόσον το σημείο Β βρίσκεται στη δεδομένη ευθεία, η τετμημένη του είναι ίση με 1. Η τεταγμένη του σημείου Β είναι ίση με τη τεταγμένη του σημείου Μ Επομένως, B(1;y) (Εικ. 2).

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος |MA|: |MV| = 2. Αποστάσεις |ΜΑ| και |MB| βρίσκουμε από τον τύπο (1) του προβλήματος 1:

Τετραγωνίζοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά, παίρνουμε

Η εξίσωση που προκύπτει είναι μια υπερβολή στην οποία ο πραγματικός ημιάξονας είναι a = 2 και ο φανταστικός μισός άξονας είναι

Ας ορίσουμε τις εστίες μιας υπερβολής. Για μια υπερβολή, η ισότητα ικανοποιείται, επομένως, και – υπερβολικά κόλπα. Όπως μπορείτε να δείτε, το δεδομένο σημείο A(4;0) είναι η σωστή εστίαση της υπερβολής.

Ας προσδιορίσουμε την εκκεντρότητα της υπερβολής που προκύπτει:

Οι εξισώσεις των ασυμπτωτών υπερβολής έχουν τη μορφή και . Επομένως, ή και είναι ασύμπτωτα μιας υπερβολής. Πριν κατασκευάσουμε μια υπερβολή, κατασκευάζουμε τις ασύμπτωτές της.

Πρόβλημα 3. Δημιουργήστε μια εξίσωση για τον γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από το σημείο A(4; 3) και την ευθεία y = 1. Αναγάγετε την εξίσωση που προκύπτει στην απλούστερη μορφή της.

Λύση:Έστω M(x; y) ένα από τα σημεία του επιθυμητού γεωμετρικού τόπου σημείων. Ας ρίξουμε την κάθετη MB από το σημείο M σε αυτήν την ευθεία y = 1 (Εικ. 3). Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Β. Προφανώς, η τετμημένη του σημείου Β ισούται με την τετμημένη του σημείου Μ και η τεταγμένη του σημείου Β ισούται με 1, δηλ. Β(x; 1). Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος |MA|=|MV|. Συνεπώς, για οποιοδήποτε σημείο M(x;y) που ανήκει στον επιθυμητό γεωμετρικό τόπο σημείων, ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

Η εξίσωση που προκύπτει ορίζει μια παραβολή με την κορυφή της στο σημείο.

Ασκηση 1

57. Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ. Εύρημα

) μήκος της πλευράς ΑΒ.

) Εξισώσεις των πλευρών AB και AC και οι γωνιακοί συντελεστές τους.

) εσωτερική γωνία Α;

) εξίσωση της διάμεσης τιμής από την κορυφή Β.

) εξίσωση ύψους CD και το μήκος του.

) την εξίσωση ενός κύκλου για τον οποίο το ύψος CD είναι η διάμετρος και τα σημεία τομής αυτού του κύκλου με την πλευρά AC.

) εξίσωση της διχοτόμου της εσωτερικής γωνίας Α.

) εμβαδόν του τριγώνου ABC.

) ένα σύστημα γραμμικών ανισώσεων που ορίζουν το τρίγωνο ABC.

Κάντε ένα σχέδιο.

Α(7, 9); Β(-2, -3); C(-7, 7)

Λύση:

1) Ας βρούμε το μήκος του διανύσματος

= (χ σι -Χ ένα )2+ (y σι -υ ένα )2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225

= = 15 - μήκος πλευράς ΑΒ

2) Ας βρούμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημεία

Ω ΕΝΑ ; στο V ) και Β(χ ΕΝΑ ; στο V ) γενικά

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β σε αυτή την εξίσωση της ευθείας

=

=

=

μικρό ΑΒ = (- 3, - 4) ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. Αυτό το διάνυσμα είναι παράλληλο με την ευθεία ΑΒ.

4(x - 7) = - 3(y - 9)

4x + 28 = - 3y + 27

4x + 3y + 1 = 0 - εξίσωση της ευθείας ΑΒ

Αν η εξίσωση είναι γραμμένη με τη μορφή: y = Χ - τότε μπορούμε να απομονώσουμε τον γωνιακό του συντελεστή: k 1 =4/3

Διάνυσμα Ν ΑΒ = (-4, 3) ονομάζεται το κανονικό διάνυσμα της ευθείας ΑΒ.

Διάνυσμα Ν ΑΒ = (-4, 3) είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ.

Ομοίως, βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς AC

=

=

=

μικρό ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ = (- 7, - 1) - διάνυσμα κατεύθυνσης της πλευράς AC

(x - 7) = - 7 (y - 9)

x + 7 = - 7y + 63

x + 7y - 56 = 0 - εξίσωση πλευράς AC

y = = x + 8 από όπου και η κλίση k 2 = 1/7

Διάνυσμα Ν ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. = (- 1, 7) - κανονικό διάνυσμα γραμμής AC.

Διάνυσμα Ν ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. = (- 1, 7) είναι κάθετο στην ευθεία AC.

3) Ας βρούμε τη γωνία Α

Ας γράψουμε τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων Και

* = *cos ∟A

Για να βρούμε τη γωνία Α, αρκεί να βρούμε το συνημίτονο αυτής της γωνίας. Από τον προηγούμενο τύπο γράφουμε την παράσταση για το συνημίτονο της γωνίας Α

cos ∟A =

Εύρεση του κλιμακωτού γινομένου των διανυσμάτων Και

= (χ V - Χ ΕΝΑ ; στο V - y ΕΝΑ ) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)

= (χ Με - Χ ΕΝΑ ; στο Με - y ΕΝΑ ) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)

9*(-14) + (-12)*(-2) = 150

Διάνυσμα μήκος = 15 (βρέθηκε νωρίτερα)

Ας βρούμε το μήκος του διανύσματος

= (χ ΜΕ -Χ ΕΝΑ )2+ (y Με -υ ένα )2 = (-14)2 + (-2)2 = 200

= = 14,14 - μήκος πλευράς AC

Τότε cos ∟A = = 0,7072

∟A = 45 0

4) Ας βρούμε την εξίσωση της διάμεσης ΒΕ από το σημείο Β στην πλευρά AC

Η διάμεσος εξίσωση σε γενική μορφή

Τώρα πρέπει να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας ΒΕ.

Ας οικοδομήσουμε το τρίγωνο ABC στο παραλληλόγραμμο ABCD, έτσι ώστε η πλευρά AC να είναι η διαγώνιος του. Οι διαγώνιοι σε ένα παραλληλόγραμμο χωρίζονται στο μισό, δηλαδή AE = EC. Επομένως, το σημείο Ε βρίσκεται στην ευθεία BF.

Το διάνυσμα BE μπορεί να ληφθεί ως το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής BE , που θα βρούμε.

= +

= (χ ντο - Χ σι ; στο ντο - y σι ) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)

= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)

Ας αντικαταστήσουμε την εξίσωση

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου C (-7; 7)

(x + 7) = 2 (y - 7)

x + 77 = 2y - 14

x - 2y + 91 = 0 - εξίσωση διάμεσου BE

Δεδομένου ότι το σημείο Ε είναι το μέσο της πλευράς AC, οι συντεταγμένες του

Χ μι = (χ ΕΝΑ + x Με )/2 = (7 - 7)/2 = 0

στο μι = (y ΕΝΑ + y Με )/2 = (9 + 7)/2 = 8

Συντεταγμένες του σημείου Ε (0; 8)

5) Ας βρούμε την εξίσωση για το ύψος CD και το μήκος του

Γενική εξίσωση

Είναι απαραίτητο να βρεθεί το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής CD

Η γραμμή CD είναι κάθετη στη γραμμή ΑΒ, επομένως, το διάνυσμα κατεύθυνσης της γραμμής CD είναι παράλληλο με το κανονικό διάνυσμα της ευθείας ΑΒ

CD ‖ΑΒ

Δηλαδή, το κανονικό διάνυσμα της ευθείας γραμμής ΑΒ μπορεί να ληφθεί ως το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας γραμμής CD

Διάνυσμα ΑΒ βρέθηκε νωρίτερα: ΑΒ (-4, 3)

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου C, (- 7; 7)

(x + 7) = - 4 (y - 7)

x + 21 = - 4y + 28

x + 4y - 7 = 0 - εξίσωση ύψους C D

Συντεταγμένες του σημείου Δ:

Το σημείο D ανήκει στην ευθεία ΑΒ, επομένως, οι συντεταγμένες του σημείου D(x ρε . y ρε ) πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση της ευθείας ΑΒ που βρέθηκε νωρίτερα

Το σημείο D ανήκει στην ευθεία CD, επομένως, οι συντεταγμένες του σημείου D(x ρε . y ρε ) πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση της ευθείας γραμμής CD,

Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων με βάση αυτό

Συντεταγμένες Δ(1; 1)

Βρείτε το μήκος της ευθείας γραμμής CD

= (χ ρε -Χ ντο )2+ (y ρε -υ ντο )2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100

= = 10 - μήκος CD ευθείας γραμμής

6) Βρείτε την εξίσωση ενός κύκλου με διάμετρο CD

Είναι προφανές ότι η ευθεία γραμμή CD διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων αφού η εξίσωσή της είναι -3x - 4y = 0, επομένως, η εξίσωση ενός κύκλου μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

(x - a) 2 + (y - b) 2= R 2- εξίσωση κύκλου με κέντρο στο σημείο (α, β)

Εδώ R = СD/2 = 10 /2 = 5

(x - a) 2 + (y - b) 2 = 25

Το κέντρο του κύκλου O (a; b) βρίσκεται στο μέσο του τμήματος CD. Ας βρούμε τις συντεταγμένες του:

Χ 0= α = = = - 3;

y 0= β = = = 4

Εξίσωση κύκλου:

(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 25

Ας βρούμε την τομή αυτού του κύκλου με την πλευρά AC:

Το σημείο Κ ανήκει τόσο στον κύκλο όσο και στην ευθεία AC

x + 7y - 56 = 0 - η εξίσωση της ευθείας γραμμής AC που βρέθηκε νωρίτερα.

Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα

Έτσι, παίρνουμε την τετραγωνική εξίσωση

στο 2- 750у +2800 = 0

στο 2- 15у + 56 = 0

=

στο 1 = 8

στο 2= 7 - σημείο που αντιστοιχεί στο σημείο Γ

επομένως οι συντεταγμένες του σημείου Η:

x = 7*8 - 56 = 0

Ένα παράδειγμα επίλυσης ορισμένων εργασιών από την τυπική εργασία "Αναλυτική γεωμετρία σε ένα επίπεδο"

Δίνονται οι κορυφές,
,
τρίγωνο ABC. Εύρημα:

Εξισώσεις όλων των πλευρών ενός τριγώνου.

Σύστημα γραμμικών ανισώσεων που ορίζουν ένα τρίγωνο αλφάβητο;

Εξισώσεις υψομέτρου, διάμεσου και διχοτόμου τριγώνου που προέρχονται από την κορυφή ΕΝΑ;

Το σημείο τομής των υψομέτρων του τριγώνου.

Το σημείο τομής των μέσων του τριγώνου.

Μήκος ύψους χαμηλωμένο στο πλάι ΑΒ;

Γωνία ΕΝΑ;

Κάντε ένα σχέδιο.

Έστω οι κορυφές του τριγώνου να έχουν συντεταγμένες: ΕΝΑ (1; 4), ΣΕ (5; 3), ΜΕ(3; 6). Ας σχεδιάσουμε αμέσως ένα σχέδιο:

1. Για να γράψουμε τις εξισώσεις όλων των πλευρών ενός τριγώνου, χρησιμοποιούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία με συντεταγμένες ( Χ 0 , y 0 ) Και ( Χ 1 , y 1 ):

=

Έτσι, αντικαθιστώντας αντί για ( Χ 0 , y 0 ) συντεταγμένες σημείων ΕΝΑκαι αντί για ( Χ 1 , y 1 ) συντεταγμένες σημείων ΣΕ, παίρνουμε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ:

Η εξίσωση που προκύπτει θα είναι η εξίσωση της ευθείας ΑΒ, γραμμένο σε γενική μορφή. Ομοίως, βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ:

Και επίσης η εξίσωση της ευθείας Ήλιος:

2. Σημειώστε ότι το σύνολο των σημείων του τριγώνου αλφάβητοαντιπροσωπεύει την τομή τριών ημιεπίπεδων και κάθε ημιεπίπεδο μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας μια γραμμική ανισότητα. Αν πάρουμε την εξίσωση κάθε πλευράς Δ αλφάβητο, Για παράδειγμα ΑΒ, μετά οι ανισότητες

Και

ορίστε σημεία που βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές μιας γραμμής ΑΒ. Πρέπει να επιλέξουμε το ημιεπίπεδο όπου βρίσκεται το σημείο C Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του και στις δύο ανισότητες.

Η δεύτερη ανισότητα θα είναι σωστή, που σημαίνει ότι τα απαιτούμενα σημεία καθορίζονται από την ανισότητα

.

Το ίδιο κάνουμε και με την ευθεία BC, την εξίσωσή της
. Χρησιμοποιούμε το σημείο Α (1, 1) ως σημείο δοκιμής:

Αυτό σημαίνει ότι η απαιτούμενη ανισότητα έχει τη μορφή:

.

Αν ελέγξουμε την ευθεία γραμμή AC (σημείο δοκιμής Β), παίρνουμε:

Αυτό σημαίνει ότι η απαιτούμενη ανισότητα θα έχει τη μορφή

Τελικά παίρνουμε ένα σύστημα ανισοτήτων:

Τα σημάδια "≤", "≥" σημαίνουν ότι τα σημεία που βρίσκονται στις πλευρές του τριγώνου περιλαμβάνονται επίσης στο σύνολο των σημείων που αποτελούν το τρίγωνο αλφάβητο.

3. α) Για να βρεθεί η εξίσωση του ύψους που έπεσε από την κορυφή ΕΝΑστο πλάι Ήλιος, θεωρήστε την εξίσωση της πλευράς Ήλιος:
. Διάνυσμα με συντεταγμένες
κάθετα στο πλάι Ήλιοςκαι επομένως παράλληλα με το ύψος. Ας γράψουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ΕΝΑπαράλληλα με το διάνυσμα
:

Αυτή είναι η εξίσωση για το ύψος που παραλείφθηκε από το t. ΕΝΑστο πλάι Ήλιος.

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου της πλευράς Ήλιοςσύμφωνα με τους τύπους:

Εδώ
– αυτές είναι οι συντεταγμένες του t. ΣΕ, ΕΝΑ
– συντεταγμένες t. ΜΕ. Ας αντικαταστήσουμε και πάρουμε:

Η ευθεία που διέρχεται από αυτό το σημείο και το σημείο ΕΝΑείναι η επιθυμητή διάμεσος:

γ) Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της διχοτόμου με βάση το γεγονός ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο το ύψος, η διάμεσος και η διχοτόμος που κατεβαίνουν από τη μία κορυφή στη βάση του τριγώνου είναι ίσα. Ας βρούμε δύο διανύσματα
Και
και το μήκος τους:

Στη συνέχεια το διάνυσμα
έχει την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα
και το μήκος του
Ομοίως, το μοναδιαίο διάνυσμα
συμπίπτει στην κατεύθυνση με το διάνυσμα
Διάνυσμα άθροισμα

είναι ένα διάνυσμα που συμπίπτει κατά διεύθυνση με τη διχοτόμο της γωνίας ΕΝΑ. Έτσι, η εξίσωση της επιθυμητής διχοτόμου μπορεί να γραφτεί ως εξής:

4) Έχουμε ήδη κατασκευάσει την εξίσωση για ένα από τα ύψη. Ας κατασκευάσουμε μια εξίσωση για ένα άλλο ύψος, για παράδειγμα, από την κορυφή ΣΕ. Πλευρά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝδίνεται από την εξίσωση
Το διάνυσμα λοιπόν
κάθετος ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ, και επομένως παράλληλα με το επιθυμητό ύψος. Τότε η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή ΣΕπρος την κατεύθυνση του διανύσματος
(δηλαδή κάθετη ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ), έχει τη μορφή:

Είναι γνωστό ότι τα ύψη ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο. Ειδικότερα, το σημείο αυτό είναι η τομή των υψών που βρέθηκαν, δηλ. επίλυση του συστήματος εξισώσεων:

- συντεταγμένες αυτού του σημείου.

5. Μέση ΑΒέχει συντεταγμένες
. Ας γράψουμε την εξίσωση της διάμεσου στην πλευρά ΑΒ.Αυτή η ευθεία διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες (3, 2) και (3, 6), που σημαίνει ότι η εξίσωσή της έχει τη μορφή:

Σημειώστε ότι ένα μηδέν στον παρονομαστή ενός κλάσματος στην εξίσωση μιας ευθείας σημαίνει ότι αυτή η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα των τεταγμένων.

Για να βρείτε το σημείο τομής των διαμέσου, αρκεί να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων:

Το σημείο τομής των διαμέτρων ενός τριγώνου έχει συντεταγμένες
.

6. Μήκος ύψους χαμηλωμένο στο πλάι AB,ίση με την απόσταση από το σημείο ΜΕσε ευθεία γραμμή ΑΒμε εξίσωση
και βρίσκεται με τον τύπο:

7. Συνημίτονο γωνίας ΕΝΑμπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων Και , η οποία είναι ίση με την αναλογία του βαθμωτού γινόμενου αυτών των διανυσμάτων προς το γινόμενο των μηκών τους:

.