Las lecciones de álgebra nos presentan diferentes tipos de expresiones. A medida que hay nuevo material disponible, las expresiones se vuelven más complejas. A medida que uno se familiariza con los grados, estos se van añadiendo gradualmente a la expresión, complicándola. Esto también ocurre con fracciones y otras expresiones.

Para que el estudio del material sea lo más cómodo posible, esto se hace utilizando ciertos nombres para que puedan resaltarse. Este artículo brindará una descripción completa de todas las expresiones algebraicas escolares básicas.

Monomios y polinomios

Las expresiones monomios y polinomios se estudian en el plan de estudios escolar a partir del séptimo grado. Las definiciones de este tipo se dan en los libros de texto.

Definición 1

monomios– estos son números, variables, sus potencias con exponente natural, cualquier producto elaborado con su ayuda.

Definición 2

Polinomios llamada suma de monomios.

Si tomamos, por ejemplo, el número 5, la variable x, el grado z 7, entonces productos de la forma 5x Y 7 x 2 7 z 7 se consideran monomios. Al tomar la suma de monomios de la forma 5+x o z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, entonces obtenemos un polinomio.

Para distinguir un monomio de un polinomio, preste atención a los grados y sus definiciones. El concepto de coeficiente es importante. Al reducir términos similares, se dividen por el término libre del polinomio o el coeficiente principal.

Muy a menudo, se realizan algunas acciones sobre monomios y polinomios, después de lo cual la expresión se reduce a la forma de un monomio. Realiza sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, apoyándose en un algoritmo para realizar operaciones con polinomios.

Cuando hay una variable, es posible dividir el polinomio en polinomios, que se representan como un producto. Esta acción se llama factorizar un polinomio.

Fracciones racionales (algebraicas)

El concepto de fracciones racionales se estudia en el 8º grado de secundaria. Algunos autores las llaman fracciones algebraicas.

Definición 3

Fracción algebraica racional Se llama fracción en la que aparecen polinomios, monomios o números en lugar del numerador y denominador.

Consideremos el ejemplo de escribir fracciones racionales del tipo 3 x + 2, 2 · a + 3 · b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 y 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4. Según la definición, podemos decir que toda fracción se considera una fracción racional.

Las fracciones algebraicas se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir y elevar a potencias. Esto se analiza con más detalle en la sección sobre operaciones con fracciones algebraicas. Si es necesario convertir una fracción, suelen utilizar la propiedad de reducción y reducción a un denominador común.

Expresiones racionales

En el curso escolar se estudia el concepto de fracciones irracionales, ya que es necesario trabajar con expresiones racionales.

Definición 4

Expresiones racionales se consideran expresiones numéricas y de letras donde se utilizan números racionales y letras con suma, resta, multiplicación, división y elevación a una potencia entera.

Las expresiones racionales pueden no tener signos propios de la función, lo que conduce a la irracionalidad. Las expresiones racionales no contienen raíces, potencias con exponentes irracionales fraccionarios, potencias con variables en el exponente, expresiones logarítmicas, funciones trigonométricas, etc.

Basándonos en la regla dada anteriormente, daremos ejemplos de expresiones racionales. De la definición anterior tenemos que tanto una expresión numérica de la forma 1 2 + 3 4 como 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0, 3 se consideran racionales. Las expresiones que contienen designaciones de letras también se clasifican como racionales a 2 + b 2 3 · a - 0, 5 · b, con variables de la forma a · x 2 + b · x + c y x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Todas las expresiones racionales se dividen en números enteros y fraccionarios.

Expresiones racionales enteras.

Expresiones racionales enteras.– son expresiones que no contienen división en expresiones con variables de grado negativo.

De la definición tenemos que una expresión racional completa es también una expresión que contiene letras, por ejemplo, a + 1, una expresión que contiene varias variables, por ejemplo, x 2 · y 3 − z + 3 2 y a + b 3.

Expresiones como x: (y-1) y 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 no pueden ser números enteros racionales, ya que tienen división en una expresión con variables.

Expresiones racionales fraccionarias

Expresión racional fraccionaria es una expresión que contiene división por una expresión con variables de grado negativo.

De la definición se deduce que las expresiones racionales fraccionarias pueden ser 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 y 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2.

Si consideramos expresiones de este tipo (2 x − x 2): 4 y a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, entonces no se consideran racionales fraccionarias, ya que no tienen expresiones con variables en el denominador.

Expresiones con poderes

Las expresiones que contienen potencias en cualquier parte de la notación se llaman expresiones con poderes o expresiones de poder.

Para el concepto, damos un ejemplo de tal expresión. Es posible que no contengan variables, por ejemplo, 2 3, 32 - 1 5 + 1, 5 3, 5 5 - 2 5 - 1, 5. Las expresiones de potencia de la forma 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 también son típicas. Para poder solucionarlos es necesario realizar algunas transformaciones.

Expresiones irracionales, expresiones con raíz.

La raíz que aparece en la expresión le da un nombre diferente. Se les llama irracionales.

Definición 8

Expresiones irracionales son expresiones que tienen signos raíz en su escritura.

De la definición se desprende claramente que se trata de expresiones de la forma 64, x - 1 4 3 + 3 3, 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2, a + 1 a 1 2 + 2, x y, 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x y x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Cada uno de ellos tiene al menos un icono raíz. Las raíces y las potencias están relacionadas, por lo que puedes ver expresiones como x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

Expresiones trigonométricas

expresión trigonométrica- estas son expresiones que contienen sin, cos, tg y ctg y sus inversas: arcsin, arccos, arctg y arcctg.

Los ejemplos de funciones trigonométricas son obvios: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 y 2 sin x · t g 2 x + 3, 4 3 · t g π - arcsin - 3 5.

Para trabajar con este tipo de funciones, es necesario utilizar las propiedades y fórmulas básicas de funciones directas e inversas. El artículo sobre transformación de funciones trigonométricas revelará este tema con más detalle.

Expresiones logarítmicas

Después de familiarizarte con los logaritmos, podrás hablar sobre expresiones logarítmicas complejas.

Definición 10

Las expresiones que tienen logaritmos se llaman logarítmico.

Un ejemplo de tales funciones sería log 3 9 + ln e, log 2 (4 a b), log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2).

Puedes encontrar expresiones donde hay potencias y logaritmos. Esto es comprensible, ya que de la definición de logaritmo se deduce que es un exponente. Luego obtenemos expresiones de la forma x l g x - 10, log 3 3 x 2 + 2 x - 3, log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2.

Para profundizar su estudio del material, debe consultar el material sobre la conversión de expresiones logarítmicas.

fracciones

Existen expresiones de un tipo especial, que se llaman fracciones. Como tienen un numerador y un denominador, pueden contener no sólo valores numéricos, sino también expresiones de cualquier tipo. Veamos la definición de fracción.

Definición 11

Fracción es una expresión que tiene un numerador y un denominador, en la que hay designaciones o expresiones tanto numéricas como alfabéticas.

Ejemplos de fracciones que tienen números en el numerador y denominador se ven así: 1 4, 2, 2 - 6 2 7, π 2, - e π, (− 15) (− 2) . El numerador y el denominador pueden contener expresiones tanto numéricas como alfabéticas de la forma (a + 1) 3, (a + b + c) (a 2 + b 2), 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5, cos 2 α - sen 2 α 1 + 3 t g α, 2 + ln 5 ln x.

Aunque expresiones como 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 no son fracciones, sí tienen una fracción en su notación.

expresión general

Los grados superiores consideran problemas de mayor dificultad, que contienen todas las tareas combinadas del grupo C para el Examen Estatal Unificado. Estas expresiones son particularmente complejas y contienen varias combinaciones de raíces, logaritmos, potencias y funciones trigonométricas. Estas son tareas como x 2 - 1 · sin x + π 3 o sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .

Su apariencia sugiere que pueden clasificarse en cualquiera de los tipos anteriores. La mayoría de las veces no se clasifican en ninguno, ya que tienen una solución combinada específica. Se consideran expresiones generales, no utilizándose especificaciones ni expresiones adicionales para la descripción.

Al resolver una expresión algebraica de este tipo, siempre es necesario prestar atención a su notación, la presencia de fracciones, potencias o expresiones adicionales. Esto es necesario para determinar con precisión cómo solucionarlo. Si no está seguro de su nombre, se recomienda llamarlo expresión de tipo general y resolverlo de acuerdo con el algoritmo escrito anteriormente.

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Expresiones numéricas y algebraicas. Conversión de expresiones.

¿Qué es una expresión en matemáticas? ¿Por qué necesitamos conversiones de expresiones?

La pregunta, como dicen, es interesante... El hecho es que estos conceptos son la base de todas las matemáticas. Todas las matemáticas se componen de expresiones y sus transformaciones. ¿No está muy claro? Dejame explicar.

Digamos que tienes un mal ejemplo frente a ti. Muy grande y muy complejo. ¡Digamos que eres bueno en matemáticas y no tienes miedo de nada! ¿Puedes dar una respuesta de inmediato?

Tendrás que decidir este ejemplo. Consistentemente, paso a paso, este ejemplo simplificar. Por supuesto, según ciertas reglas. Aquellos. hacer conversión de expresión. Cuanto más exitosamente lleves a cabo estas transformaciones, más fuerte serás en matemáticas. Si no sabes cómo hacer las transformaciones correctas, no podrás hacerlas en matemáticas. Nada...

Para evitar un futuro (o presente...) tan incómodo, no está de más entender este tema).

Primero, averigüemos ¿Qué es una expresión en matemáticas?. Qué ha pasado expresión numérica Y lo que es expresión algebraica.

¿Qué es una expresión en matemáticas?

Expresión en matemáticas- Este es un concepto muy amplio. Casi todo lo que tratamos en matemáticas es un conjunto de expresiones matemáticas. Cualquier ejemplo, fórmula, fracción, ecuación, etc., todo consta de expresiones matemáticas.

3+2 es una expresión matemática. s 2 - d 2- Esta también es una expresión matemática. Tanto una fracción saludable como incluso un número son expresiones matemáticas. Por ejemplo, la ecuación es:

5x + 2 = 12

consta de dos expresiones matemáticas conectadas por un signo igual. Una expresión está a la izquierda y la otra a la derecha.

En general, el término " expresión matemática"Se utiliza, más a menudo, para evitar tararear. ¿Te preguntarán qué es una fracción ordinaria, por ejemplo? ¡¿Y cómo responder?!

Primera respuesta: "Esto es... mmmmmm... tal cosa... en la cual... ¿Puedo escribir mejor una fracción? ¿Cuál quieres?"

La segunda respuesta: “Una fracción ordinaria es (¡con alegría y alegría!) expresión matemática , que consta de un numerador y un denominador!"

La segunda opción será algo más impresionante, ¿verdad?)

Este es el propósito de la frase " expresión matemática "Muy bien. Correcto y sólido. Pero para un uso práctico es necesario tener un buen conocimiento de tipos específicos de expresiones en matemáticas .

El tipo específico es otra cuestión. Este ¡Es un asunto completamente diferente! Cada tipo de expresión matemática tiene mío un conjunto de reglas y técnicas que deben utilizarse al tomar una decisión. Para trabajar con fracciones: un juego. Para trabajar con expresiones trigonométricas: la segunda. Para trabajar con logaritmos: el tercero. Etcétera. En algún lugar estas reglas coinciden, en algún lugar difieren marcadamente. Pero no tengas miedo de estas aterradoras palabras. Dominaremos logaritmos, trigonometría y otras cosas misteriosas en las secciones correspondientes.

Aquí dominaremos (o repetiremos, según quién...) dos tipos principales de expresiones matemáticas. Expresiones numéricas y expresiones algebraicas.

Expresiones numéricas.

Qué ha pasado expresión numérica? Este es un concepto muy simple. El nombre en sí insinúa que se trata de una expresión con números. Así es como es. Una expresión matemática formada por números, paréntesis y símbolos aritméticos se llama expresión numérica.

7-3 es una expresión numérica.

(8+3.2) 5.4 también es una expresión numérica.

Y este monstruo:

también una expresión numérica, sí...

Un número ordinario, una fracción, cualquier ejemplo de cálculo sin X y otras letras: todas estas son expresiones numéricas.

signo principal numérico expresiones - en ella sin letras. Ninguno. Sólo números y símbolos matemáticos (si es necesario). Es simple, ¿verdad?

¿Y qué puedes hacer con las expresiones numéricas? Por lo general, las expresiones numéricas se pueden contar. Para hacer esto, sucede que hay que abrir los corchetes, cambiar los signos, abreviar, intercambiar términos, es decir, hacer conversiones de expresiones. Pero más sobre eso a continuación.

Aquí nos ocuparemos de un caso tan divertido cuando con una expresión numérica. no necesitas hacer nada. Bueno, ¡nada de nada! Esta agradable operación - Hacer nada)- se ejecuta cuando la expresión no tiene sentido.

¿Cuándo una expresión numérica no tiene sentido?

Está claro que si vemos algún tipo de abracadabra frente a nosotros, como

entonces no haremos nada. Porque no está claro qué hacer al respecto. Algún tipo de tontería. Tal vez cuente el número de ventajas...

Pero hay expresiones aparentemente bastante decentes. Por ejemplo este:

(2+3) : (16 - 2 8)

Sin embargo, esta expresión también no tiene sentido! Por la sencilla razón de que en el segundo paréntesis, si cuentas, obtienes cero. ¡Pero no puedes dividir por cero! Esta es una operación prohibida en matemáticas. Por tanto, tampoco es necesario hacer nada con esta expresión. Para cualquier tarea con dicha expresión, la respuesta siempre será la misma: "¡La expresión no tiene significado!"

Para dar esa respuesta, por supuesto, tuve que calcular lo que estaría entre paréntesis. Y a veces hay muchas cosas entre paréntesis... Bueno, no hay nada que puedas hacer al respecto.

No hay tantas operaciones prohibidas en matemáticas. Solo hay uno en este tema. División por cero. Las restricciones adicionales que surgen en raíces y logaritmos se analizan en los temas correspondientes.

Entonces, una idea de lo que es. expresión numérica- consiguió. Concepto la expresión numérica no tiene sentido- comprendió. Vamonos.

Expresiones algebraicas.

Si aparecen letras en una expresión numérica, esta expresión se convierte en... La expresión se convierte en... ¡Sí! Se vuelve expresión algebraica. Por ejemplo:

5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Este tipo de expresiones también se denominan expresiones literales. O expresiones con variables. Es prácticamente lo mismo. Expresión 5a+c, por ejemplo, tanto literal como algebraico, y una expresión con variables.

Concepto expresión algebraica - más amplio que numérico. Él incluye y todas las expresiones numéricas. Aquellos. una expresión numérica también es una expresión algebraica, solo que sin letras. Todo arenque es un pez, pero no todo pez es un arenque...)

Por qué alfabético- Está vacío. Bueno, ya que hay letras... Frase expresión con variables Tampoco es muy desconcertante. Si comprende que los números están ocultos debajo de las letras. Debajo de las letras se pueden ocultar todo tipo de números... Y 5, y -18, y lo que quieras. Es decir, una carta puede ser reemplazar para diferentes números. Por eso las letras se llaman variables.

en expresión y+5, Por ejemplo, en- valor variable. O simplemente dicen " variable", sin la palabra "magnitud". A diferencia de cinco, que es un valor constante. O simplemente - constante.

Término expresión algebraica significa que para trabajar con esta expresión es necesario utilizar leyes y reglas álgebra. Si aritmética funciona con números específicos, entonces álgebra- con todos los números a la vez. Un ejemplo sencillo para aclarar.

En aritmética podemos escribir que

Pero si escribimos tal igualdad mediante expresiones algebraicas:

a + b = b + a

decidiremos de inmediato Todo preguntas. Para todos los numeros ataque. Por todo infinito. Porque debajo de las letras A Y b implícito Todo números. Y no sólo números, sino también otras expresiones matemáticas. Así funciona el álgebra.

¿Cuándo una expresión algebraica no tiene sentido?

Todo sobre la expresión numérica está claro. Allí no puedes dividir por cero. Y con letras, ¿es posible saber entre qué dividimos?

Tomemos por ejemplo esta expresión con variables:

2: (A - 5)

¿Tiene sentido? ¿Quién sabe? A- cualquier número...

Cualquiera, cualquiera... Pero hay un significado. A, para lo cual esta expresión exactamente¡No tiene sentido! ¿Y cuál es este número? ¡Sí! ¡Esto es 5! Si la variable A reemplaza (dicen “sustituir”) con el número 5, entre paréntesis obtienes cero. Que no se puede dividir. Entonces resulta que nuestra expresión no tiene sentido, Si un = 5. Pero para otros valores A¿tiene sentido? ¿Puedes sustituir otros números?

Ciertamente. En tales casos simplemente dicen que la expresión

2: (A - 5)

tiene sentido para cualquier valor A, excepto a = 5 .

Todo el conjunto de números que Poder sustituir en una expresión dada se llama rango de valores aceptables esta expresión.

Como puedes ver, no hay nada complicado. Miremos la expresión con variables y averigüemos: ¿a qué valor de la variable se obtiene la operación prohibida (división por cero)?

Y luego asegúrese de mirar la pregunta de la tarea. ¿Qué están preguntando?

no tiene sentido, nuestro significado prohibido será la respuesta.

Si preguntas a qué valor de una variable la expresión tiene el significado(¡siente la diferencia!), la respuesta será todos los demás números excepto lo prohibido.

¿Por qué necesitamos el significado de la expresión? Él está ahí, él no está... ¡¿Cuál es la diferencia?! La cuestión es que este concepto cobra mucha importancia en la secundaria. ¡Extremadamente importante! Ésta es la base de conceptos tan sólidos como el dominio de valores aceptables o el dominio de una función. Sin esto, no podrás resolver ecuaciones o desigualdades graves en absoluto. Como esto.

Conversión de expresiones. Transformaciones de identidad.

Nos presentaron las expresiones numéricas y algebraicas. Entendimos lo que significa la frase “la expresión no tiene significado”. Ahora tenemos que descubrir qué es. Transformación de expresiones. La respuesta es simple, hasta el punto de la vergüenza). Esta es cualquier acción con una expresión. Eso es todo. Has estado haciendo estas transformaciones desde primer grado.

Tomemos la genial expresión numérica 3+5. ¿Cómo se puede convertir? ¡Sí, muy sencillo! Calcular:

Este cálculo será la transformación de la expresión. Puedes escribir la misma expresión de manera diferente:

Aquí no contamos nada de nada. Acabo de escribir la expresión. en una forma diferente. Esta también será una transformación de la expresión. Puedes escribirlo así:

Y esto también es una transformación de una expresión. Puedes realizar tantas transformaciones como quieras.

Cualquier acción sobre la expresión cualquier escribirlo de otra forma se llama transformar la expresión. Y eso es todo. Todo es muy sencillo. Pero hay una cosa aquí regla muy importante. Tan importante que se puede llamar con seguridad. regla principal todas las matemáticas. Rompiendo esta regla inevitablemente conduce a errores. ¿Estamos entrando en ello?)

Digamos que transformamos nuestra expresión al azar, así:

¿Conversión? Ciertamente. Escribimos la expresión en una forma diferente, ¿qué hay de malo aquí?

No es así.) La cuestión es que las transformaciones "al azar" No les interesan las matemáticas en absoluto.) Todas las matemáticas se basan en transformaciones en las que la apariencia cambia, pero la esencia de la expresión no cambia. Tres más cinco se pueden escribir de cualquier forma, pero debe ser ocho.

transformaciones, expresiones que no cambian la esencia son llamados idéntico.

Exactamente transformaciones de identidad y nos permiten, paso a paso, transformar un ejemplo complejo en una expresión simple, manteniendo La esencia del ejemplo. Si nos equivocamos en la cadena de transformaciones, hacemos una transformación NO idéntica, entonces decidiremos otro ejemplo. Con otras respuestas que no están relacionadas con las correctas.)

Ésta es la regla principal para resolver cualquier problema: mantener la identidad de las transformaciones.

Di un ejemplo con la expresión numérica 3+5 para mayor claridad. En expresiones algebraicas, las transformaciones de identidad vienen dadas por fórmulas y reglas. Digamos que en álgebra hay una fórmula:

a(b+c) = ab + ca

Esto significa que en cualquier ejemplo podemos en lugar de la expresión a(b+c) siéntete libre de escribir una expresión ab + ca. Y viceversa. Este transformación idéntica. Las matemáticas nos permiten elegir entre estas dos expresiones. Y cuál escribir depende del ejemplo específico.

Otro ejemplo. Una de las transformaciones más importantes y necesarias es la propiedad básica de una fracción. Puedes consultar el enlace para obtener más detalles, pero aquí solo te recordaré la regla: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, o una expresión que no es igual a cero, la fracción no cambiará. A continuación se muestra un ejemplo de transformaciones de identidad que utilizan esta propiedad:

Como probablemente habrás adivinado, esta cadena puede continuar indefinidamente...) Una propiedad muy importante. Esto es lo que te permite convertir todo tipo de monstruos de ejemplo en blancos y esponjosos).

Hay muchas fórmulas que definen transformaciones idénticas. Pero los más importantes son un número bastante razonable. Una de las transformaciones básicas es la factorización. Se utiliza en todas las matemáticas, desde elemental hasta avanzada. Empecemos por él. En la próxima lección.)

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Artículos sobre ciencias y matemáticas.

¿Qué es una expresión numérica y algebraica?

expresión numérica- es cualquier registro formado por números y signos de operaciones aritméticas y escrito según reglas conocidas, por lo que tiene un determinado significado. Por ejemplo, las siguientes entradas son expresiones numéricas: 4 + 5; -1,05 × 22,5 - 34. Por otro lado, la notación × 16 - × 0,5 no es numérica, ya que, aunque consta de números y signos de operaciones aritméticas, no está escrita según las reglas de composición de expresiones numéricas.

Si en una expresión numérica hay letras en lugar de números (todos o solo algunos), entonces esta expresión ya está algebraico.

El significado de usar letras es aproximadamente el siguiente. Se pueden sustituir letras por diferentes números, lo que significa que la expresión puede tener diferentes significados. El álgebra como ciencia estudia los principios de simplificar expresiones, buscar y utilizar diversas reglas, leyes y fórmulas. El álgebra estudia las formas más racionales de realizar cálculos, y para eso precisamente sirven las generalizaciones, es decir, el uso de variables (letras) en lugar de números específicos.

Los hechos algebraicos incluyen las leyes de la suma y la multiplicación, los conceptos de números negativos, fracciones ordinarias y decimales y las reglas de las operaciones aritméticas con ellos, y las propiedades de las fracciones ordinarias. El álgebra está diseñada para comprender toda esta variedad de hechos, enseñarles a usarlos y ver la aplicabilidad de las leyes en expresiones numéricas y algebraicas específicas.

Cuando se evalúa una expresión numérica, el resultado es su valor. El valor de una expresión algebraica sólo se puede calcular si se sustituyen las letras por ciertos valores numéricos. Por ejemplo, la expresión a ÷ b con a = 3 y b = 5 tiene el valor 3 ÷ 5 o 0,6. Sin embargo, una expresión algebraica puede ser tal que, para algunos valores de las variables (letras), puede no tener significado alguno. Para el mismo ejemplo (a ÷ b), la expresión no tiene sentido cuando b = 0, ya que no se puede dividir por cero.

Por tanto, hablan de valores aceptables e inaceptables de variables para una expresión algebraica particular.

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Expresiones algebraicas

1. Definición del concepto
2. Valor de expresión
3. Expresiones de identidad
4. resolución de problemas
5. ¿Qué hemos aprendido?

Definición del concepto

¿Qué expresiones se llaman algebraicas? Se trata de una notación matemática formada por números, letras y símbolos aritméticos. La presencia de letras es la principal diferencia entre expresiones numéricas y algebraicas. Ejemplos:

Una letra en expresiones algebraicas denota un número. Por eso se llama variable: en el primer ejemplo es la letra a, en el segundo es b y en el tercero es c. La expresión algebraica en sí también se llama expresión con variable.

Valor de expresión

Significado de la expresión algebraica es el número obtenido como resultado de realizar todas las operaciones aritméticas indicadas en esta expresión. Pero para conseguirlo, hay que sustituir las letras por números. Por eso, en los ejemplos siempre indican qué número corresponde a la letra. Veamos cómo encontrar el valor de la expresión 8a-14*(5-a) si a=3.

Sustituyamos el número 3 por la letra a. Obtenemos la siguiente entrada: 8*3-14*(5-3).

Como ocurre con las expresiones numéricas, la solución de una expresión algebraica se realiza según las reglas para realizar operaciones aritméticas. Resolvamos todo en orden.

Por tanto, el valor de la expresión 8a-14*(5-a) en a=3 es igual a -4.

El valor de una variable se llama válido si la expresión tiene sentido con él, es decir, es posible encontrar su solución.

Un ejemplo de una variable válida para la expresión 5:2a es el número 1. Sustituyéndolo en la expresión, obtenemos 5:2*1=2.5. La variable no válida para esta expresión es 0. Si sustituimos cero en la expresión, obtenemos 5:2*0, es decir, 5:0. No puedes dividir por cero, lo que significa que la expresión no tiene sentido.

Expresiones de identidad

Si dos expresiones son iguales para cualquier valor de sus variables constituyentes, se llaman idéntico.
Ejemplo de expresiones idénticas :
4(a+c) y 4a+4c.
Cualesquiera que sean los valores que tomen las letras a y c, las expresiones siempre serán iguales. Cualquier expresión puede ser reemplazada por otra que sea idéntica a ella. Este proceso se llama transformación de identidad.

Ejemplo de transformación de identidad .
4*(5a+14c) – esta expresión se puede reemplazar por una idéntica aplicando la ley matemática de la multiplicación. Para multiplicar un número por la suma de dos números, debes multiplicar este número por cada término y sumar los resultados.

Por tanto, la expresión 4*(5a+14c) es idéntica a 20a+64c.

El número que aparece antes de una variable letra en una expresión algebraica se llama coeficiente. El coeficiente y la variable son multiplicadores.

resolución de problemas

Las expresiones algebraicas se utilizan para resolver problemas y ecuaciones.
Consideremos el problema. A Petya se le ocurrió un número. Para que su compañero Sasha lo adivinara, Petya le dijo: primero le sumé 7 al número, luego le resté 5 y lo multipliqué por 2. Como resultado, obtuve el número 28. ¿Qué número adiviné?

Para resolver el problema, debe designar el número oculto con la letra a y luego realizar todas las acciones indicadas con él.

Ahora resolvamos la ecuación resultante.

Petya deseaba el número 12.

¿Qué hemos aprendido?

Una expresión algebraica es un registro formado por letras, números y símbolos aritméticos. Cada expresión tiene un valor, que se encuentra realizando todas las operaciones aritméticas en la expresión. La letra en una expresión algebraica se llama variable y el número delante de ella se llama coeficiente. Las expresiones algebraicas se utilizan para resolver problemas.

6.4.1. Expresión algebraica

I. Las expresiones en las que se pueden utilizar números, símbolos aritméticos y paréntesis junto con letras se denominan expresiones algebraicas.

Ejemplos de expresiones algebraicas:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a+2b); a 2 – 2ab;

Dado que una letra en una expresión algebraica puede ser reemplazada por algunos números diferentes, la letra se llama variable y la expresión algebraica en sí se llama expresión con variable.

II. Si en una expresión algebraica las letras (variables) se reemplazan por sus valores y se realizan las acciones especificadas, entonces el número resultante se denomina valor de la expresión algebraica.

Ejemplos. Encuentra el significado de la expresión:

1) a + 2b -c con a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| en x = -8; y = -5; z = 6.

1) a + 2b -c con a = -2; b = 10; c = -3,5. En lugar de variables, sustituyamos sus valores. Obtenemos:

2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| en x = -8; y = -5; z = 6. Sustituya los valores indicados. Recordamos que el módulo de un número negativo es igual a su número opuesto, y el módulo de un número positivo es igual a este número mismo. Obtenemos:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Los valores de la letra (variable) para los cuales tiene sentido la expresión algebraica se denominan valores permisibles de la letra (variable).

Ejemplos. ¿Para qué valores de la variable no tiene sentido la expresión?

Solución. Sabemos que no se puede dividir por cero, por lo tanto, cada una de estas expresiones no tendrá sentido dado el valor de la letra (variable) que convierte el denominador de la fracción en cero.

En el ejemplo 1), este valor es a = 0. De hecho, si sustituye 0 en lugar de a, deberá dividir el número 6 entre 0, pero esto no se puede hacer. Respuesta: la expresión 1) no tiene sentido cuando a = 0.

En el ejemplo 2) el denominador x - 4 = 0 en x = 4, por lo tanto, este valor x = 4 no se puede tomar. Respuesta: la expresión 2) no tiene sentido cuando x = 4.

En el ejemplo 3) el denominador es x + 2 = 0 cuando x = -2. Respuesta: la expresión 3) no tiene sentido cuando x = -2.

En el ejemplo 4) el denominador es 5 -|x| = 0 para |x| = 5. Y desde |5| = 5 y |-5| = 5, entonces no puedes tomar x = 5 y x = -5. Respuesta: la expresión 4) no tiene sentido en x = -5 y en x = 5.
IV. Se dice que dos expresiones son idénticamente iguales si, para cualquier valor admisible de las variables, los valores correspondientes de estas expresiones son iguales.

Ejemplo: 5 (a – b) y 5a – 5b también son iguales, ya que la igualdad 5 (a – b) = 5a – 5b será cierta para cualquier valor de a y b. La igualdad 5 (a – b) = 5a – 5b es una identidad.

Identidad es una igualdad que es válida para todos los valores permitidos de las variables incluidas en ella. Ejemplos de identidades que ya conoces son, por ejemplo, las propiedades de la suma y la multiplicación, y la propiedad distributiva.

Reemplazar una expresión con otra expresión idénticamente igual se llama transformación de identidad o simplemente transformación de una expresión. Las transformaciones idénticas de expresiones con variables se realizan en función de las propiedades de las operaciones con números.

a) convierta la expresión a idénticamente igual usando la propiedad distributiva de la multiplicación:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Solución. Recordemos la propiedad distributiva (ley) de la multiplicación:

(a+b)c=ac+bc(ley distributiva de la multiplicación relativa a la suma: para multiplicar la suma de dos números por un tercer número, puedes multiplicar cada término por este número y sumar los resultados resultantes).
(a-b) c=a c-b c(ley distributiva de la multiplicación relativa a la resta: para multiplicar la diferencia de dos números por un tercer número, puedes multiplicar el minuendo y restar por este número por separado y restar el segundo del primer resultado).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transforme la expresión en idénticamente igual, utilizando las propiedades (leyes) conmutativas y asociativas de la suma:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Solución. Apliquemos las leyes (propiedades) de la suma:

a+b=b+a(conmutativo: reordenar los términos no cambia la suma).
(a+b)+c=a+(b+c)(combinativo: para sumar un tercer número a la suma de dos términos, puedes sumar la suma del segundo y el tercero al primer número).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Convierta la expresión a idénticamente igual usando las propiedades (leyes) conmutativas y asociativas de la multiplicación:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2u · (-1); 9) 3a · (-3) · 2 chelines.

Solución. Apliquemos las leyes (propiedades) de la multiplicación:

a·b=b·a(conmutativo: reordenar los factores no cambia el producto).
(a b) c=a (b c)(combinativo: para multiplicar el producto de dos números por un tercer número, puedes multiplicar el primer número por el producto del segundo y el tercero).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2u · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Si una expresión algebraica se da en forma de fracción reducible, entonces, utilizando la regla para reducir una fracción, se puede simplificar, es decir, reemplácelo con una expresión más simple idénticamente igual.

Ejemplos. Simplifique usando la reducción de fracciones.

Solución. Reducir una fracción significa dividir su numerador y denominador por el mismo número (expresión), distinto de cero. La fracción 10) se reducirá en 3b; fracción 11) se reducirá en A y fracción 12) se reducirá en 7n. Obtenemos:

Las expresiones algebraicas se utilizan para crear fórmulas.

Una fórmula es una expresión algebraica escrita como una igualdad y que expresa la relación entre dos o más variables. Ejemplo: fórmula de ruta que conoces s=vt(s - distancia recorrida, v - velocidad, t - tiempo). Recuerda qué otras fórmulas conoces.

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Significado de la regla de la expresión algebraica

Expresiones numéricas y algebraicas.

En la escuela primaria aprendiste a hacer cálculos con numeros enteros y fraccionarios, resolvió ecuaciones, se familiarizó con las figuras geométricas y el plano de coordenadas. Todo esto constituyó el contenido de una materia escolar "Matemáticas". De hecho, un campo de la ciencia tan importante como las matemáticas se divide en una gran cantidad de disciplinas independientes: álgebra, geometría, teoría de la probabilidad, análisis matemático, lógica matemática, estadística matemática, teoría de juegos, etc. Cada disciplina tiene sus propios objetos de estudio, sus propios métodos de comprensión de la realidad.

El álgebra que vamos a estudiar le brinda a la persona la oportunidad no solo de realizar varios cálculos, pero también le enseña a hacerlo de la forma más rápida y racional posible. Una persona que domina los métodos algebraicos tiene una ventaja sobre aquellos que no los dominan: calcula más rápido, navega con mayor éxito en situaciones de la vida, toma decisiones con mayor claridad y piensa mejor. Nuestra tarea es ayudarte a dominar los métodos algebraicos, tu tarea no es resistirte al aprendizaje, estar dispuesto a seguirnos, superando las dificultades.

De hecho, en la escuela primaria ya se te ha abierto una ventana al mágico mundo del álgebra, porque el álgebra estudia principalmente expresiones numéricas y algebraicas.

Recordemos que una expresión numérica es cualquier registro formado por números y signos de operaciones aritméticas (compuestos, por supuesto, con significado: por ejemplo, 3 + 57 es una expresión numérica, mientras que 3 + : no es una expresión numérica, sino un conjunto de símbolos sin significado). Por algunas razones (de ellas hablaremos más adelante), a menudo se utilizan letras (principalmente del alfabeto latino) en lugar de números específicos; entonces se obtiene una expresión algebraica. Estas expresiones pueden resultar muy engorrosas. El álgebra te enseña a simplificarlos usando diferentes reglas, leyes, propiedades, algoritmos, fórmulas, teoremas.

Ejemplo 1. Simplifica una expresión numérica:

Solución. Ahora recordaremos algo juntos y verás cuántas operaciones algebraicas ya conoces. En primer lugar, es necesario desarrollar un plan para realizar los cálculos. Para ello, tendrás que utilizar las convenciones aceptadas en matemáticas sobre el orden de las operaciones. El procedimiento en este ejemplo sería el siguiente:

1) encuentre el valor A de la expresión entre los primeros paréntesis:
A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) encuentre el valor B de la expresión en el segundo paréntesis:

3) divida A entre B; entonces sabremos qué número C está contenido en el numerador (es decir, encima de la línea horizontal);

4) encuentre el valor D del denominador (es decir, la expresión contenida debajo de la línea horizontal):
D = 25 - 37 - 0,4;

5) divida C por D; este será el resultado deseado. Entonces, hay un plan de cálculo (y tener un plan es la mitad
¡éxito!), comencemos a implementarlo.

1) Encontremos A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Por supuesto, puedes contar en fila o, como dicen, “cara a cara”: 2,73 + 4,81, luego sumar a este número
3,27, luego resta 2,81. Pero una persona culta no calculará de esta manera. Recordará las leyes conmutativas y asociativas de la suma (sin embargo, no necesita recordarlas, siempre están en su cabeza) y calculará así:

(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

Ahora analicemos juntos una vez más qué hechos matemáticos tuvimos que recordar en el proceso de resolución del ejemplo (y no solo recordar, sino también usar).

1. El orden de las operaciones aritméticas.

2. Ley conmutativa de la suma: a + b = b + a.

4. Ley combinada de la suma:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

5. Ley de combinación de la multiplicación: abc = (ab)c = a(bc).

6. Conceptos comunes de fracciones. decimal, un número negativo.

7. Operaciones aritméticas con fracciones decimales.

8. Operaciones aritméticas con fracciones ordinarias.

10. Reglas para acciones positivas y negativas. números. Ya sabes todo esto, pero todos estos son hechos algebraicos. Por lo tanto, ya ha tenido cierta exposición al álgebra en la escuela primaria. La principal dificultad, como se puede ver en el ejemplo 1, es que existen bastantes hechos de este tipo, y no solo es necesario conocerlos, sino también poder utilizarlos, como dicen, “en el momento adecuado y en el lugar correcto." Esto es lo que aprenderemos.

Dado que a las letras que componen una expresión algebraica se les pueden dar diferentes valores numéricos (es decir, se pueden cambiar los significados de las letras), estas letras se denominan variables.

b) De igual forma, siguiendo el orden de las actuaciones, consistentemente encontramos:

¡Pero no puedes dividir por cero! ¿Qué significa esto en este caso (y en otros casos similares)? Esto significa que cuando: la expresión algebraica dada no tiene sentido.

Se utiliza la siguiente terminología: si, para valores específicos de letras (variables), una expresión algebraica tiene un valor numérico, entonces los valores especificados de las variables se denominan admisibles; Si, para valores específicos de letras (variables), la expresión algebraica no tiene sentido, entonces los valores indicados de las variables se consideran inválidos.

Entonces, en el ejemplo 2, los valores a = 1 y b = 2, a = 3,7 y b = -1,7 son aceptables, mientras que los valores
no válido (más precisamente: los dos primeros pares de valores son válidos y el tercer par de valores no es válido).

En general, en el ejemplo 2, los valores de las variables a, b serán inaceptables para los cuales a + b = 0 o a - b = 0. Por ejemplo, a = 7, b = - 7 o a = 28,3, b = 28,3 - pares de valores no válidos; en el primer caso, a + b = 0, y en el segundo caso, a - b = 0. En ambos casos, el denominador de la expresión dada en este ejemplo se vuelve cero y, repetimos nuevamente, no se puede dividir por cero. . Ahora, probablemente, usted mismo podrá encontrar pares de valores válidos para las variables a, by pares de valores no válidos para estas variables en el ejemplo 2. ¡Pruébelo!

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A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas

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En las clases de álgebra en la escuela nos encontramos con expresiones de varios tipos. A medida que aprende material nuevo, la grabación de expresiones se vuelve más diversa y compleja. Por ejemplo, nos familiarizamos con las potencias: aparecieron potencias en expresiones, estudiamos fracciones, aparecieron expresiones fraccionarias, etc.

Para facilitar la descripción del material, las expresiones que constan de elementos similares recibieron nombres específicos para distinguirlas de toda la variedad de expresiones. En este artículo los conoceremos, es decir, daremos una descripción general de las expresiones básicas que se estudian en las lecciones de álgebra en la escuela.

Navegación de páginas.

Monomios y polinomios

Comencemos con expresiones llamadas monomios y polinomios. Al momento de escribir este artículo, la conversación sobre monomios y polinomios comienza en las lecciones de álgebra de séptimo grado. Allí se dan las siguientes definiciones.

Definición.

monomios Se llaman números, variables, sus potencias con exponentes naturales, así como cualquier producto compuesto de ellos.

Definición.

Polinomios es la suma de los monomios.

Por ejemplo, el número 5, la variable x, la potencia z 7, los productos 5 x y 7 x x 2 7 z 7 son todos monomios. Si tomamos la suma de monomios, por ejemplo, 5+x o z 7 +7+7·x·2·7·z 7, entonces obtenemos un polinomio.

Trabajar con monomios y polinomios a menudo implica hacer cosas con ellos. Así, sobre el conjunto de los monomios se define la multiplicación de monomios y la elevación de un monomio a una potencia, en el sentido de que como resultado de su ejecución se obtiene un monomio.

La suma, la resta, la multiplicación y la exponenciación se definen en el conjunto de polinomios. Cómo se determinan estas acciones y mediante qué reglas se realizan, hablaremos en el artículo Acciones con polinomios.

Si hablamos de polinomios con una sola variable, entonces, cuando se trabaja con ellos, dividir un polinomio por un polinomio tiene un significado práctico significativo y, a menudo, dichos polinomios deben representarse como un producto, esta acción se llama factorizar el polinomio;

Fracciones racionales (algebraicas)

En octavo grado se inicia el estudio de expresiones que contienen división por una expresión con variables. Y las primeras expresiones de este tipo son fracciones racionales, que algunos autores llaman fracciones algebraicas.

Definición.

Fracción racional (algebraica) es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios, en particular monomios y números.

Aquí hay algunos ejemplos de fracciones racionales: y . Por cierto, cualquier fracción ordinaria es una fracción racional (algebraica).

Se introducen la suma, resta, multiplicación, división y exponenciación en una variedad de fracciones algebraicas. Cómo se hace esto se explica en el artículo Acciones con fracciones algebraicas.

A menudo es necesario realizar transformaciones de fracciones algebraicas, las más comunes son la reducción y la reducción a un nuevo denominador.

Expresiones racionales

Definición.

Expresiones con potencias (expresiones de potencia) son expresiones que contienen grados en su notación.

A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones con potencias. Es posible que no contengan variables, por ejemplo, 2 3 , . También se realizan expresiones de potencia con variables: etcétera.

No estaría de más familiarizarse con cómo se hace. convertir expresiones con potencias.

Expresiones irracionales, expresiones con raíz.

Definición.

Las expresiones que contienen logaritmos se llaman expresiones logarítmicas.

Ejemplos de expresiones logarítmicas son log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

Muy a menudo, las expresiones contienen potencias y logaritmos, lo cual es comprensible, ya que, por definición, un logaritmo es un exponente. Como resultado, expresiones como esta parecen naturales: .

Para continuar con el tema, consulte el material. convertir expresiones logarítmicas.

fracciones

En esta sección veremos expresiones de un tipo especial: fracciones.

La fracción amplía el concepto. Las fracciones también tienen un numerador y un denominador ubicados encima y debajo de la línea de fracción horizontal (a la izquierda y a la derecha de la línea de fracción inclinada), respectivamente. Solo que, a diferencia de las fracciones ordinarias, el numerador y el denominador pueden contener no solo números naturales, sino también cualquier otro número, así como cualquier expresión.

Entonces, definamos una fracción.

Definición.

Fracción es una expresión compuesta por un numerador y un denominador separados por una línea fraccionaria, que representan algunas expresiones o números numéricos o alfabéticos.

Esta definición le permite dar ejemplos de fracciones.

Comencemos con ejemplos de fracciones cuyos numeradores y denominadores son números: 1/4, , (-15)/(-2) . El numerador y denominador de una fracción pueden contener expresiones, tanto numéricas como alfabéticas. Aquí hay ejemplos de tales fracciones: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), .

Pero las expresiones 2/5−3/7 no son fracciones, aunque contienen fracciones en sus notaciones.

Expresiones generales

En la escuela secundaria, especialmente en problemas de mayor dificultad y problemas del grupo C en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, te encontrarás con expresiones de forma compleja, que contienen en su notación simultáneamente raíces, potencias, logaritmos, funciones trigonométricas, etc. Por ejemplo, o . Parecen ajustarse a varios tipos de expresiones enumeradas anteriormente. Pero normalmente no se clasifican como uno de ellos. Ellos son considerados expresiones generales, y al describir simplemente dicen una expresión, sin agregar aclaraciones adicionales.

Para concluir el artículo, me gustaría decir que si una expresión determinada es engorrosa y no está del todo seguro de a qué tipo pertenece, entonces es mejor llamarla simplemente una expresión que llamarla una expresión que no lo es. .

Bibliografía.

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• Álgebra: 9º grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Álgebra y el inicio del análisis: Proc. para 10-11 grados. educación general instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov - 14ª ed. - M.: Educación, 2004. - 384 págs.: Ill.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas): Proc. asignación.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.

Las expresiones algebraicas comienzan a estudiarse en 7º grado. Tienen una serie de propiedades y se utilizan para resolver problemas. Estudiemos este tema con más detalle y consideremos un ejemplo de resolución del problema.

Definición del concepto

¿Qué expresiones se llaman algebraicas? Se trata de una notación matemática formada por números, letras y símbolos aritméticos. La presencia de letras es la principal diferencia entre expresiones numéricas y algebraicas. Ejemplos:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Una letra en expresiones algebraicas denota un número. Por eso se llama variable: en el primer ejemplo es la letra a, en el segundo es b y en el tercero es c. La expresión algebraica en sí también se llama expresión con variable.

Valor de expresión

Significado de la expresión algebraica es el número obtenido como resultado de realizar todas las operaciones aritméticas indicadas en esta expresión. Pero para conseguirlo, hay que sustituir las letras por números. Por eso, en los ejemplos siempre indican qué número corresponde a la letra. Veamos cómo encontrar el valor de la expresión 8a-14*(5-a) si a=3.

Sustituyamos el número 3 por la letra a. Obtenemos la siguiente entrada: 8*3-14*(5-3).

Como ocurre con las expresiones numéricas, la solución de una expresión algebraica se realiza según las reglas para realizar operaciones aritméticas. Resolvamos todo en orden.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Por tanto, el valor de la expresión 8a-14*(5-a) en a=3 es igual a -4.

El valor de una variable se llama válido si la expresión tiene sentido con él, es decir, es posible encontrar su solución.

Un ejemplo de variable válida para la expresión 5:2a es el número 1.

Sustituyéndolo en la expresión, obtenemos 5:2*1=2,5. La variable no válida para esta expresión es 0. Si sustituimos cero en la expresión, obtenemos 5:2*0, es decir, 5:0. No puedes dividir por cero, lo que significa que la expresión no tiene sentido.

Expresiones de identidad

Si dos expresiones son iguales para cualquier valor de sus variables constituyentes, se llaman idéntico.
Ejemplo de expresiones idénticas :
4(a+c) y 4a+4c.
Cualesquiera que sean los valores que tomen las letras a y c, las expresiones siempre serán iguales. Cualquier expresión puede ser reemplazada por otra que sea idéntica a ella. Este proceso se llama transformación de identidad.

Ejemplo de transformación de identidad .
4*(5a+14c) – esta expresión se puede reemplazar por una idéntica aplicando la ley matemática de la multiplicación. Para multiplicar un número por la suma de dos números, debes multiplicar este número por cada término y sumar los resultados.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a+64s.

Por tanto, la expresión 4*(5a+14c) es idéntica a 20a+64c.

El número que aparece antes de una variable letra en una expresión algebraica se llama coeficiente. El coeficiente y la variable son multiplicadores.

resolución de problemas

Las expresiones algebraicas se utilizan para resolver problemas y ecuaciones.
Consideremos el problema. A Petya se le ocurrió un número. Para que su compañero Sasha lo adivinara, Petya le dijo: primero le sumé 7 al número, luego le resté 5 y lo multipliqué por 2. Como resultado, obtuve el número 28. ¿Qué número adiviné?

Para resolver el problema, debe designar el número oculto con la letra a y luego realizar todas las acciones indicadas con él.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Ahora resolvamos la ecuación resultante.

Petya deseaba el número 12.

¿Qué hemos aprendido?

Una expresión algebraica es un registro formado por letras, números y símbolos aritméticos. Cada expresión tiene un valor, que se encuentra realizando todas las operaciones aritméticas en la expresión. La letra en una expresión algebraica se llama variable y el número delante de ella se llama coeficiente. Las expresiones algebraicas se utilizan para resolver problemas.

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