Bola (esfera)
Superficie esférica. Bola (esfera). Secciones de bolas: círculos.
Teorema de Arquímedes. Partes de la pelota: segmento esférico,
capa esférica, cinturón esférico, sector esférico.
superficie esférica - Este lugar geométrico de puntos(aquellos. muchosnúmero de todos los puntos)en el espacio, equidistante de un punto oh , que se llama centro de la superficie esférica. (Figura 90). Radio AOi diámetro AB se determinan de la misma manera que en un círculo.
Bola (esfera) - Este un cuerpo limitado por una superficie esférica. Poder consigue la pelota girando el semicírculo ( o circulo ) alrededor del diámetro. Todas las secciones planas de la pelota son círculos ( Fig.90 ). El círculo más grande se encuentra en una sección que pasa por el centro de la pelota y se llama gran circulo. Su radio es igual al radio de la pelota. Dos círculos grandes cualesquiera se cruzan a lo largo del diámetro de la bola ( AB, figura 91 ).Este diámetro es también el diámetro de los círculos máximos que se cruzan. A través de dos puntos de una superficie esférica ubicados en los extremos del mismo diámetro(A y B, Fig.91 ), puedes dibujar innumerables círculos grandes. Por ejemplo, se puede trazar un número infinito de meridianos a través de los polos de la Tierra.
El volumen de la esfera es una vez y media menor que el volumen del cilindro circunscrito a su alrededor. (Fig.92 ), A la superficie de la bola es una vez y media menor que la superficie total del mismo cilindro ( Teorema de Arquímedes):
Aquí S pelota Y V pelota - la superficie y el volumen de la pelota, respectivamente;
S cilindro Y V cilindro - la superficie total y el volumen del cilindro circunscrito.
Partes de la pelota. Parte de una bola (esfera) ), cortado de él por algún avión ( ABC, figura 93), llamado pelota(esférico ) segmento. Círculo ABC llamado base segmento de bola. Segmento de línea Minnesota perpendicular trazada desde el centro N círculo ABC hasta que se cruza con una superficie esférica, se llama altura segmento de bola. Punto METRO llamado arriba segmento de bola.
Parte de una esfera encerrada entre dos planos paralelos. ABC y DEF intersectando una superficie esférica (Fig. 93), llamado capa esférica; la superficie curva de una capa esférica se llama cinturón de bolas(zona). circulos ABC y DEF – jardines cinturón de bolas. Distancia N.K. entre las bases del cinturón esférico - su altura. La parte de la pelota limitada por la superficie curva de un segmento esférico ( AMCB, Fig.93) y superficie cónica OABC , cuya base es la base del segmento ( A B C ), y el vértice es el centro de la pelota. oh , llamado sector esférico.
Una bola y una esfera son, ante todo, figuras geométricas, y si una bola es un cuerpo geométrico, entonces una esfera es la superficie de una bola. Estas cifras fueron de interés hace muchos miles de años antes de Cristo.
Posteriormente, cuando se descubrió que la Tierra es una bola y el cielo es una esfera celeste, se desarrolló una nueva y fascinante dirección en geometría: la geometría esférica o la geometría esférica. Para hablar del tamaño y volumen de una pelota, primero debes definirlo.
Pelota
Una bola de radio R con centro en el punto O en geometría es un cuerpo creado por todos los puntos en el espacio que tienen una propiedad común. Estos puntos están ubicados a una distancia que no excede el radio de la bola, es decir, llenan todo el espacio menos que el radio de la bola en todas las direcciones desde su centro. Si consideramos solo aquellos puntos que equidistan del centro de la pelota, consideraremos su superficie o el caparazón de la pelota.
¿Cómo puedo conseguir la pelota? Podemos recortar un círculo de papel y empezar a girarlo alrededor de su propio diámetro. Es decir, el diámetro del círculo será el eje de rotación. La figura formada será una pelota. Por eso, a la pelota también se le llama cuerpo de revolución. Porque se puede formar girando una figura plana: un círculo.
Tomemos un avión y cortemos nuestra bola con él. Igual que cortamos una naranja con un cuchillo. El trozo que cortamos de la bola se llama segmento esférico.
En la Antigua Grecia, no solo sabían trabajar con una bola y una esfera como figuras geométricas, por ejemplo, usarlas en la construcción, sino que también sabían calcular la superficie de una bola y el volumen de una bola.
Una esfera es otro nombre para la superficie de una pelota. Una esfera no es un cuerpo, es la superficie de un cuerpo de revolución. Sin embargo, dado que tanto la Tierra como muchos cuerpos tienen forma esférica, por ejemplo una gota de agua, el estudio de las relaciones geométricas dentro de la esfera se ha generalizado.
Por ejemplo, si conectamos dos puntos de una esfera entre sí mediante una línea recta, entonces esta línea recta se llamará cuerda, y si esta cuerda pasa por el centro de la esfera, que coincide con el centro de la pelota, entonces la cuerda se llamará diámetro de la esfera.
Si trazamos una línea recta que toca la esfera en un solo punto, entonces esta línea se llamará tangente. Además, esta tangente a la esfera en este punto será perpendicular al radio de la esfera trazada hasta el punto de contacto.
Si extendemos la cuerda a una línea recta en una dirección u otra desde la esfera, entonces esta cuerda se llamará secante. O podemos decirlo de otra manera: la secante de la esfera contiene su cuerda.
Volumen de bola
La fórmula para calcular el volumen de una pelota es:
donde R es el radio de la pelota.
Si necesitas encontrar el volumen de un segmento esférico, usa la fórmula:
V seg =πh 2 (R-h/3), h es la altura del segmento esférico.
Área de superficie de una pelota o esfera
Para calcular el área de una esfera o el área de la superficie de una pelota (son lo mismo):
donde R es el radio de la esfera.
A Arquímedes le gustaba mucho la bola y la esfera, incluso pidió dejar en su tumba un dibujo en el que estaba inscrita una bola en un cilindro. Arquímedes creía que el volumen de una bola y su superficie son iguales a dos tercios del volumen y la superficie del cilindro en el que está inscrita la bola.
En el Capítulo 2 continuaremos con la “geometría estructural” y hablaremos sobre la estructura y propiedades de las figuras espaciales más importantes: bolas y esferas, cilindros y conos, prismas y pirámides. La mayoría de los objetos creados por manos humanas: edificios, automóviles, muebles, platos. , etc., etc., consta de piezas con la forma de estas figuras.
§ 4. ESFERA Y BOLA
Después de las líneas rectas y los planos, la esfera y la bola son las figuras espaciales más simples, pero muy importantes y ricas en diversas propiedades. Se han escrito libros enteros sobre las propiedades geométricas de una pelota y su superficie: una esfera. Algunas de estas propiedades eran conocidas por los geómetras griegos antiguos y otras fueron descubiertas más recientemente, en los últimos años. Estas propiedades (junto con las leyes de las ciencias naturales) explican por qué, por ejemplo, los cuerpos celestes y los huevos de peces tienen forma esférica, por qué los batiscafos y los balones de fútbol tienen la forma de una pelota, por qué los rodamientos de bolas son tan comunes en la tecnología, etc. Sólo podemos probar las propiedades más simples de la pelota. La demostración de otras propiedades, aunque muy importantes, a menudo requiere el uso de métodos completamente no elementales, aunque la formulación de tales propiedades puede ser muy simple: por ejemplo, entre todos los cuerpos que tienen una superficie determinada, la bola tiene el mayor volumen.
4.1. Definiciones de esfera y bola.
Una esfera y una pelota se definen en el espacio exactamente de la misma manera que un círculo y un círculo en un plano. Una esfera es una figura formada por todos los puntos del espacio alejados de uno determinado.
diferentes puntos a la misma distancia (positiva).
Este punto se llama centro de la esfera y la distancia es su radio (figura 4.1).
Entonces, una esfera con centro O y radio R es una figura formada por todos los puntos X del espacio para los cuales
Una bola es una figura formada por todos los puntos del espacio ubicados a una distancia no mayor que una distancia determinada (positiva) de un punto determinado. Este punto se llama centro de la pelota y esta distancia es su radio.
Entonces, una bola con centro O y radio R es una figura formada por todos los puntos X del espacio para los cuales
Aquellos puntos X de una bola de centro O y radio R para los que forman una esfera. Dicen que esta esfera encierra una determinada bola o que es su superficie.
Aproximadamente los mismos puntos X de la pelota por los que dicen que se encuentran dentro de la pelota.
El radio de una esfera (y de una bola) se llama no solo la distancia, sino también cualquier segmento que conecte el centro con un punto de la esfera.
GEOMETRÍA
Sección II. ESTEREOMETRÍA
§22. PELOTA. ESFERA.
1. Definición de bola y esfera. Elementos de bola y esfera.
Una bala es un cuerpo geométrico formado por la rotación de un círculo alrededor de un eje que contiene su diámetro (Fig. 500).
El centro del círculo que gira se llama centro de la bola, el radio del círculo es el radio de la bola y el diámetro del círculo es el diámetro de la bola. En la Figura 500, el punto O es el centro de la pelota, OA y OB son los radios de la pelota y AB es el diámetro de la pelota.
La superficie de una pelota se llama esfera.
El centro, radio y diámetro de una esfera también son el centro, radio y diámetro de una esfera.
Todos los puntos de la esfera están a la misma distancia, igual al radio, del centro de la esfera. Otros puntos de la pelota que no pertenecen a la esfera se llaman puntos internos; se dice que dichos puntos están dentro de la esfera. Los puntos internos de la pelota están ubicados desde el centro de la pelota a una distancia menor que el radio.
Llegamos así a otra definición de esfera y bola.
Una esfera es una superficie que consta de todos los puntos del espacio que equidistan de un mismo punto. Este punto se llama centro de la esfera y la distancia desde el centro de la esfera a cualquiera de sus puntos es el radio de la esfera.
Una bala es un cuerpo geométrico que consta de todos los puntos en el espacio ubicados a una distancia no mayor que un punto determinado de un punto determinado. Este punto se llama centro de la pelota y esta distancia se llama radio de la pelota.
Ejemplo. El radio de la esfera es de 3,5 cm. El punto A se sitúa dentro o fuera de la esfera si está alejado del centro de la esfera: 1) cm, 2) cm.
Una pelota es un cuerpo formado por todos los puntos del espacio que se encuentran a una distancia no mayor que una determinada de un punto determinado. Este punto se llama centro de la pelota y esta distancia se llama radio de la pelota. El límite de una pelota se llama superficie esférica o esfera. Los puntos de la esfera son todos los puntos de la bola que se alejan del centro a una distancia igual al radio. Cualquier segmento que conecta el centro de una bola con un punto de la superficie esférica también se llama radio. El segmento que pasa por el centro de la bola y conecta dos puntos de la superficie esférica se llama diámetro. Los extremos de cualquier diámetro se denominan puntos diametralmente opuestos de la bola.
Una pelota es un cuerpo de revolución, al igual que un cono y un cilindro. Una bola se obtiene haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro como eje.
El área de la superficie de la pelota se puede encontrar usando las fórmulas:
donde r es el radio de la pelota, d es el diámetro de la pelota.
El volumen de la pelota se encuentra mediante la fórmula:
V = 4/3 πr 3,
donde r es el radio de la pelota.
Teorema. Cada sección de una pelota por un plano es un círculo. El centro de este círculo es la base de la perpendicular trazada desde el centro de la bola hasta el plano de corte.
Con base en este teorema, si una bola con centro O y radio R es intersectada por el plano α, entonces la sección transversal da como resultado un círculo de radio r con centro K. El radio de la sección de la bola por el plano puede ser encontrado por la fórmula
De la fórmula se desprende claramente que los planos equidistantes del centro cortan la pelota en círculos iguales. El radio de la sección es mayor cuanto más cerca está el plano de corte del centro de la bola, es decir, menor es la distancia OK. El radio mayor tiene una sección por un plano que pasa por el centro de la pelota. El radio de este círculo es igual al radio de la pelota.
El plano que pasa por el centro de la pelota se llama plano central. La sección de una pelota por el plano diametral se llama círculo máximo, la sección de una esfera se llama círculo máximo y la sección de una esfera se llama círculo máximo.
Teorema. Cualquier plano diametral de una pelota es su plano de simetría. El centro de la pelota es su centro de simetría.
El plano que pasa por el punto A de la superficie esférica y es perpendicular al radio trazado hacia el punto A se llama plano tangente. El punto A se llama punto tangente.
Teorema. El plano tangente tiene sólo un punto común con la pelota: el punto de contacto.
La recta que pasa por el punto A de la superficie esférica perpendicular al radio trazado hasta este punto se llama tangente.
Teorema. Por cualquier punto de la superficie esférica pasa un número infinito de tangentes y todas ellas se encuentran en el plano tangente de la pelota.
Un segmento esférico es la parte de una bola separada de ella por un plano. El círculo ABC es la base del segmento esférico. El segmento perpendicular MN trazado desde el centro N del círculo ABC hasta la intersección con la superficie esférica es la altura del segmento esférico. El punto M es el vértice del segmento esférico.
El área de superficie de un segmento esférico se puede calcular mediante la fórmula:
El volumen de un segmento esférico se puede encontrar mediante la fórmula:
V = πh 2 (R – 1/3h),
donde R es el radio del círculo máximo, h es la altura del segmento esférico.
A partir de un segmento esférico y un cono se obtiene un sector esférico de la siguiente manera. Si un segmento esférico es más pequeño que un hemisferio, entonces el segmento esférico se complementa con un cono, cuyo vértice está en el centro de la bola y la base es la base del segmento. Si el segmento es más grande que un hemisferio, entonces se le quita el cono especificado.
Un sector esférico es una parte de una bola limitada por una superficie curva de un segmento esférico (en nuestra figura, esto es AMCB) y una superficie cónica (en nuestra figura, esto es OABC), cuya base es la base de la segmento (ABC), y el vértice es el centro de la pelota O.
El volumen del sector esférico se encuentra mediante la fórmula:
V = 2/3 πR 2 H.
Una capa esférica es parte de una bola encerrada entre dos planos paralelos (planos ABC y DEF en la figura) que cruzan la superficie esférica. La superficie curva de la capa esférica se llama cinturón (zona) esférico. Los círculos ABC y DEF son las bases del cinturón esférico. La distancia NK entre las bases del cinturón esférico es su altura.
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