Cualquier persona que, al menos indirectamente, haya tenido que lidiar con la geometría de los objetos espaciales en el diseño de interiores y la arquitectura probablemente conozca bien el principio de la sección áurea. Hasta hace poco, hace varias décadas, la popularidad de la sección áurea era tan alta que numerosos seguidores de las teorías místicas y de la disposición del mundo la denominan regla armónica universal.
La esencia de la proporción universal.
Sorprendentemente diferente. La razón de la actitud sesgada, casi mística, hacia una dependencia numérica tan simple fueron varias propiedades inusuales:
- Una gran cantidad de objetos en el mundo de los vivos, desde un virus hasta una persona, tienen proporciones básicas del cuerpo o las extremidades que están muy cerca del valor de la proporción áurea;
- La dependencia de 0,63 o 1,62 es característica solo de los seres biológicos y algunas variedades de cristales, objetos inanimados, desde minerales hasta elementos del paisaje, tienen la geometría de la sección áurea muy raramente;
- Las proporciones áureas en la estructura del cuerpo resultaron ser las más óptimas para la supervivencia de los objetos biológicos reales.
Hoy, la sección áurea se encuentra en la estructura del cuerpo de los animales, las conchas y caparazones de los moluscos, las proporciones de hojas, ramas, troncos y sistemas de raíces en una cantidad bastante grande de arbustos y hierbas.
Muchos seguidores de la teoría de la universalidad de la sección áurea han intentado repetidamente probar el hecho de que sus proporciones son las más óptimas para los organismos biológicos en las condiciones de su existencia.
Por lo general, se da como ejemplo la estructura de la concha de Astreae Heliotropium, uno de los moluscos marinos. La concha es una concha de calcita enrollada en espiral con una geometría que casi coincide con las proporciones de la sección áurea.
Un ejemplo más comprensible y obvio es un huevo de gallina ordinario.
La relación de los parámetros principales, a saber, foco grande y pequeño, o distancias desde puntos equidistantes de la superficie al centro de gravedad, también corresponderá a la sección áurea. Al mismo tiempo, la forma de la cáscara del huevo de un ave es la más óptima para la supervivencia de un ave como especie biológica. En este caso, la fuerza del caparazón juega un papel que está lejos de ser el principal.
¡Para tu información! La sección áurea, también llamada proporción universal de la geometría, se obtuvo como resultado de una gran cantidad de medidas prácticas y comparaciones de los tamaños de plantas, pájaros y animales reales.
Origen de la proporción universal
Los antiguos matemáticos griegos Euclides y Pitágoras conocían la proporción de la sección áurea. En uno de los monumentos de la arquitectura antigua, la pirámide de Keops, la proporción de los lados y la base, los elementos individuales y los bajorrelieves de las paredes se realizan de acuerdo con la proporción universal.
La técnica de la sección áurea fue ampliamente utilizada en la Edad Media por artistas y arquitectos, mientras que la esencia de la proporción universal se consideraba uno de los secretos del universo y se ocultaba cuidadosamente al profano medio. La composición de muchas pinturas, esculturas y edificios se construyó estrictamente de acuerdo con las proporciones de la sección áurea.
Por primera vez, la esencia de la proporción universal fue documentada en 1509 por el monje franciscano Luca Pacioli, quien tenía brillantes habilidades matemáticas. Pero el verdadero reconocimiento se produjo después de que el científico alemán Zeising realizara un exhaustivo estudio de las proporciones y la geometría del cuerpo humano, esculturas antiguas, obras de arte, animales y plantas.
En la mayoría de los objetos vivos, algunos tamaños de cuerpo están sujetos a las mismas proporciones. En 1855, los científicos concluyeron que las proporciones de la sección áurea son una especie de estándar para la armonía del cuerpo y la forma. Estamos hablando, en primer lugar, de los seres vivos; para la naturaleza muerta, la proporción áurea es mucho menos común.
¿Cómo obtuviste la proporción áurea?
La proporción áurea es más fácil de imaginar como la proporción de dos partes del mismo objeto de diferentes longitudes, separadas por un punto.
En pocas palabras, cuántas longitudes de un segmento pequeño caben dentro de uno grande, o la relación entre la mayor de las partes y la longitud total de un objeto lineal. En el primer caso, la relación de la proporción áurea es 0,63, en el segundo caso, la relación de aspecto es 1,618034.
En la práctica, la sección áurea es solo una proporción, la relación de segmentos de cierta longitud, los lados de un rectángulo u otras formas geométricas, características dimensionales relacionadas o conjugadas de objetos reales.
Inicialmente, las proporciones áureas se derivaron empíricamente utilizando construcciones geométricas. Hay varias formas de construir o derivar una proporción armónica:
¡Para tu información! A diferencia de la proporción áurea clásica, la versión arquitectónica implica la relación de aspecto del segmento en la proporción de 44:56.
Si la versión estándar de la proporción áurea para los seres vivos, la pintura, los gráficos, las esculturas y los edificios antiguos se calculó en 37:63, entonces la proporción áurea en la arquitectura de finales del siglo XVII comenzó a usarse cada vez más 44: 56. La mayoría de los expertos consideran el cambio a favor de proporciones más "cuadradas" como la expansión de la construcción de gran altura.
El principal secreto de la proporción áurea
Si las manifestaciones naturales de la sección universal en las proporciones de los cuerpos de animales y humanos, la base del tallo de las plantas aún se puede explicar por evolución y adaptabilidad a la influencia del ambiente externo, entonces el descubrimiento de la sección áurea en la construcción. de casas de los siglos XII-XIX fue una cierta sorpresa. Además, el famoso Partenón griego antiguo se construyó de acuerdo con la proporción universal, muchas casas y castillos de nobles adinerados y personas adineradas en la Edad Media se construyeron deliberadamente con parámetros muy cercanos a la proporción áurea.
La proporción áurea en arquitectura
Muchos de los edificios que han llegado hasta nuestros días atestiguan que los arquitectos de la Edad Media sabían de la existencia de la sección áurea, y, por supuesto, a la hora de construir una casa se guiaban por sus primitivos cálculos y dependencias, con los que trató de lograr la máxima fuerza. Se manifestó especialmente el deseo de construir las casas más bellas y armoniosas en los edificios de las residencias de los gobernantes, iglesias, ayuntamientos y edificios de especial importancia social en la sociedad.
Por ejemplo, la famosa Catedral de Notre Dame en sus proporciones tiene muchas secciones y cadenas dimensionales correspondientes a la sección dorada.
Incluso antes de la publicación de su investigación en 1855 por el profesor Zeising, a fines del siglo XVIII, los famosos complejos arquitectónicos del Hospital Golitsyn y el edificio del Senado en San Petersburgo, la Casa Pashkov y el Palacio Petrovsky en Moscú se construyeron utilizando las proporciones de la sección áurea.
Por supuesto, las casas con estricta observancia de la regla de la sección dorada se construyeron antes. Vale la pena mencionar el monumento de la arquitectura antigua de la Iglesia de la Intercesión en el Nerl, que se muestra en el diagrama.
Todos ellos están unidos no solo por una combinación armoniosa de formas y alta calidad de construcción, sino, ante todo, por la presencia de la sección dorada en las proporciones del edificio. La asombrosa belleza del edificio se vuelve aún más misteriosa si se tiene en cuenta la edad, el edificio de la Iglesia de la Intercesión data del siglo XIII, pero el edificio recibió su apariencia arquitectónica moderna a principios del siglo XVII como resultado de restauración y reestructuración.
Característica de la sección dorada para una persona.
La arquitectura antigua de edificios y casas de la Edad Media sigue siendo atractiva e interesante para una persona moderna por muchas razones:
- El estilo artístico individual en el diseño de las fachadas evita la impronta moderna y la monotonía, cada edificio es una obra de arte;
- Uso masivo para decorar y decorar estatuas, esculturas, estucos, combinaciones inusuales de soluciones de construcción de diferentes épocas;
- Las proporciones y composiciones del edificio llaman la atención sobre los elementos más importantes del edificio.
¡Importante! Al diseñar una casa y desarrollar su apariencia, los arquitectos medievales utilizaron la regla de la sección áurea, utilizando inconscientemente las características de la percepción del subconsciente humano.
Los psicólogos modernos han demostrado experimentalmente que la proporción áurea es una manifestación de un deseo inconsciente o una reacción humana a una combinación o proporción armoniosa en tamaño, forma e incluso color. Se realizó un experimento durante el cual a un grupo de personas que no se conocían entre sí, que no tenían intereses comunes, de diferentes profesiones y categorías de edad, se les ofreció una serie de pruebas, entre las que se encontraba la tarea de doblar una hoja de papel en la relación de aspecto más óptima. De acuerdo con los resultados de la prueba, se encontró que en 85 casos de 100, los sujetos doblaron la hoja casi exactamente de acuerdo con la sección dorada.
Por lo tanto, la ciencia moderna cree que el fenómeno de la proporción universal es un fenómeno psicológico y no la acción de ninguna fuerza metafísica.
Uso del factor de sección universal en el diseño y la arquitectura modernos
Los principios de aplicación de la proporción áurea se han vuelto extremadamente populares en la construcción de viviendas particulares en los últimos años. La ecología y la seguridad de los materiales de construcción han sido sustituidas por un diseño armonioso y la correcta distribución de la energía en el interior de la casa.
La interpretación moderna de la regla de la armonía universal se ha extendido durante mucho tiempo más allá de los límites de la geometría y la forma habituales de un objeto. Hoy, no solo las cadenas dimensionales de la longitud del pórtico y el frontón, los elementos individuales de la fachada y la altura del edificio, sino también el área de las habitaciones, las aberturas de puertas y ventanas, e incluso la combinación de colores de el interior de la habitación están sujetos a la regla.
La forma más fácil es construir una casa armoniosa sobre una base modular. En este caso, la mayoría de los departamentos y habitaciones se realizan en forma de bloques o módulos independientes, diseñados de acuerdo con la regla de la sección áurea. Construir un edificio como un conjunto de módulos armoniosos es mucho más fácil que construir una sola caja, en la que la mayor parte de la fachada y el interior deben estar dentro de los estrictos límites de la proporción áurea.
Muchas empresas de construcción de viviendas privadas utilizan los principios y conceptos de la proporción áurea para aumentar la estimación y dar a los clientes la impresión de un estudio profundo del diseño de la casa. Como regla general, una casa de este tipo se declara muy cómoda y armoniosa en uso. La correcta proporción de las áreas de las habitaciones garantiza el confort espiritual y la excelente salud de los propietarios.
Si la casa se construyó sin tener en cuenta las proporciones óptimas de la sección áurea, puede remodelar las habitaciones para que las proporciones de la habitación correspondan a la proporción de las paredes en una proporción de 1: 1,61. Para hacer esto, los muebles se pueden mover o se pueden instalar particiones adicionales dentro de las habitaciones. De manera similar, las dimensiones de las aberturas de ventanas y puertas se cambian de modo que el ancho de la abertura sea 1,61 veces menor que la altura de la hoja de la puerta. Del mismo modo, se realiza la planificación de muebles, electrodomésticos, decoración de paredes y pisos.
Es más difícil elegir un esquema de color. En este caso, en lugar de la proporción habitual de 63:37, los seguidores de la regla de oro adoptaron una interpretación simplificada: 2/3. Es decir, el fondo de color principal debe ocupar el 60% del espacio de la habitación, no se asigna más del 30% al color de sombreado y el resto se reserva para varios tonos relacionados, diseñados para mejorar la percepción de la solución de color.
Las paredes internas de la habitación están divididas por un cinturón o borde horizontal a una altura de 70 cm, los muebles instalados deben ser proporcionales a la altura de los techos según la proporción áurea. La misma regla se aplica a la distribución de largos, por ejemplo, el tamaño del sofá no debe exceder los 2/3 del largo de la pared, y el área total que ocupan los muebles está relacionada con el área de la habitación como 1: 1.61.
La proporción áurea es difícil de aplicar en masa en la práctica debido al valor de una sola sección, por lo tanto, cuando se diseñan edificios armoniosos, a menudo se recurre a una serie de números de Fibonacci. Esto le permite ampliar la cantidad de opciones posibles para las proporciones y formas geométricas de los elementos principales de la casa. En este caso, a una serie de números de Fibonacci, interconectados por una clara relación matemática, se le llama armónico o áureo.
En el método moderno de diseño de viviendas basado en el principio de la sección áurea, además de la serie de Fibonacci, se utiliza ampliamente el principio propuesto por el famoso arquitecto francés Le Corbusier. En este caso, la altura del futuro propietario o la altura promedio de una persona se elige como la unidad de medida inicial, mediante la cual se calculan todos los parámetros del edificio y el interior. Este enfoque le permite diseñar una casa no solo armoniosa, sino también verdaderamente individual.
Conclusión
En la práctica, según las opiniones de quienes decidieron construir una casa según la regla de la sección áurea, un edificio bien construido realmente resulta bastante cómodo para vivir. Pero el costo del edificio debido al diseño individual y al uso de materiales de construcción de tamaños no estándar aumenta en un 60-70%. Y no hay nada nuevo en este enfoque, ya que la mayoría de los edificios del siglo pasado se construyeron específicamente para las características individuales de los futuros propietarios.
Todo lo que tomó alguna forma se formó, creció, se esforzó por tomar un lugar en el espacio y preservarse. Esta aspiración se realiza principalmente en dos variantes: crecimiento hacia arriba o esparcimiento sobre la superficie de la tierra y torsión en espiral. La regla de la proporción áurea que subyace en la estructura de la espiral se encuentra muy a menudo en la naturaleza en creaciones de una belleza sin igual.
La disposición en espiral y en espiral de las hojas en las ramas de los árboles se notó hace mucho tiempo. Entre las hierbas al borde de la carretera, crece una planta común: la achicoria. Se formó una rama a partir del tallo principal. Aquí está la primera hoja. El proceso hace una fuerte eyección al espacio, se detiene, suelta una hoja, pero ya más corta que la primera, vuelve a hacer una eyección al espacio, pero de menor fuerza, suelta una hoja de tamaño aún menor y vuelve a eyección. Si el primer valor atípico se toma como 100 unidades, entonces el segundo es 62 unidades, el tercero es 38, el cuarto es 24 y así sucesivamente. La longitud de los pétalos también está sujeta a la proporción áurea. En el crecimiento, la conquista del espacio, la planta conserva ciertas proporciones. Sus impulsos de crecimiento disminuyeron gradualmente en proporción a la proporción áurea.
Los ejemplos más obvios: se puede ver una forma de espiral en la disposición de las semillas de girasol, y en las piñas, en las piñas, en la estructura de los pétalos de rosa, etc. El trabajo conjunto de botánicos y matemáticos ha arrojado luz sobre estos asombrosos fenómenos naturales. Resultó que en la disposición de las hojas en una rama, semillas de girasol, piñas, se manifiesta la serie de Fibonacci y, por lo tanto, se manifiesta la ley de la sección áurea.
El concepto de la proporción áurea en la naturaleza será incompleto, por no decir de la espiral. El caparazón se retuerce en espiral, si se despliega, se obtiene una longitud ligeramente inferior a la longitud de la serpiente. Una pequeña concha de diez centímetros tiene una espiral de 35 cm de largo Arquímedes la estudió y dedujo la ecuación de una espiral logarítmica. La espiral dibujada según esta ecuación se llama por su nombre. El aumento de su paso es siempre uniforme. En la actualidad, la espiral de Arquímedes es muy utilizada en ingeniería.
Las arañas siempre tejen sus telas en una espiral logarítmica. Una manada de renos asustados se dispersa en espiral. En un lagarto, la longitud de su cola está relacionada con la longitud del resto del cuerpo de 62 a 38. Los colmillos de los elefantes y mamuts extinguidos, las garras de los leones y los picos de los loros son formas logarítmicas y se asemejan a la forma de un eje que tiende a convertirse en espiral.
Tanto en el mundo vegetal como en el animal, la tendencia a la construcción de formas de la naturaleza se abre paso persistentemente: la simetría con respecto a la dirección del crecimiento y el movimiento. Aquí la proporción áurea aparece en las proporciones de las partes perpendiculares a la dirección de crecimiento.
Proporciones áureas en la estructura de la molécula de ADN. Toda la información sobre las características fisiológicas de los seres vivos se almacena en una molécula microscópica de ADN, cuya estructura también contiene la ley de la proporción áurea. La molécula de ADN consta de dos hélices entrelazadas verticalmente. Cada una de estas espirales tiene 34 angstroms de largo y 21 angstroms de ancho. (1 angstrom es la cienmillonésima parte de un centímetro). 21 y 34 son números que se suceden uno tras otro en la secuencia de los números de Fibonacci, es decir, la relación entre el largo y el ancho de la hélice logarítmica de la molécula de ADN lleva la fórmula de la sección áurea 1: 1.618.
El cuerpo humano y la proporción áurea
Artistas, científicos, diseñadores de moda, diseñadores realizan sus cálculos, dibujos o bocetos basados en la proporción de la proporción áurea. Utilizan medidas del cuerpo humano, también creadas según el principio de la sección áurea. Leonardo Da Vinci y Le Corbusier, antes de crear sus obras maestras, tomaron los parámetros del cuerpo humano, creado de acuerdo con la ley de la proporción áurea.
Las proporciones de las diversas partes de nuestro cuerpo forman un número muy cercano a la proporción áurea. Si estas proporciones coinciden con la fórmula de la proporción áurea, entonces se considera que la apariencia o el cuerpo de una persona tiene una constitución ideal. El principio de calcular la medida de oro en el cuerpo humano se puede representar en forma de diagrama.
El primer ejemplo de la sección dorada en la estructura del cuerpo humano: si tomamos el punto del ombligo como el centro del cuerpo humano, y la distancia entre los pies de la persona y el punto del ombligo como unidad de medida, entonces la altura de una persona es equivalente al número 1.618. Hay varias proporciones áureas más básicas de nuestro cuerpo (1:1.618): la distancia desde la punta de los dedos hasta la muñeca y desde la muñeca hasta el codo es igual a la distancia desde el nivel del hombro hasta la parte superior de la cabeza y la tamaño de la cabeza; la distancia desde la punta del ombligo hasta la coronilla y desde el nivel del hombro hasta la coronilla; la distancia del punto del ombligo a las rodillas y de las rodillas a los pies; la distancia desde la punta del mentón hasta la punta del labio superior y desde la punta del labio superior hasta las fosas nasales; la distancia desde la punta del mentón hasta la línea superior de las cejas y desde la línea superior de las cejas hasta la parte superior de la cabeza; la distancia desde la punta del mentón hasta la parte superior de las cejas y desde la parte superior de las cejas hasta la parte superior de la cabeza.
La proporción áurea en los rasgos faciales humanos es el criterio de la belleza perfecta. En la estructura de los rasgos faciales humanos, también hay muchos ejemplos que tienen un valor cercano a la fórmula de la sección áurea. Estas son algunas de estas proporciones: altura de la cara/anchura de la cara; el punto central de conexión de los labios a la base de la nariz/longitud de la nariz; altura de la cara / distancia desde la punta del mentón hasta el punto central de la unión de los labios; ancho de la boca/ancho de la nariz; ancho de la nariz / distancia entre las fosas nasales; distancia entre pupilas / distancia entre cejas.
La proporción áurea en manos del hombre. Una persona tiene dos manos, los dedos de cada mano constan de tres falanges (con la excepción del pulgar). La suma de las dos primeras falanges del dedo en relación con la longitud total del dedo da la proporción áurea. Hay cinco dedos en cada mano, pero con la excepción de dos pulgares de dos falanges, solo se crean 8 dedos según el principio de la proporción áurea. Considerando que todos estos números 2, 3, 5 y 8 son los números de la secuencia de Fibonacci.
La proporción áurea en la estructura de los pulmones humanos. El físico estadounidense B.D. West y el Dr. A.L. Goldberger durante estudios físicos y anatómicos encontró que la sección dorada también existe en la estructura de los pulmones humanos. La peculiaridad de los bronquios que componen los pulmones de una persona radica en su asimetría. Los bronquios están formados por dos vías respiratorias principales, una (izquierda) es más larga y la otra (derecha) es más corta. Se encontró que esta asimetría continúa en las ramas de los bronquios, en todas las vías aéreas menores. Además, la proporción de la longitud de los bronquios cortos y largos también es la proporción áurea y es igual a 1:1.618.
La proporción áurea está presente en la estructura del oído humano. En el oído interno humano hay un órgano Cóclea ("Caracol"), que realiza la función de transmitir la vibración del sonido. Esta estructura similar a un hueso está llena de líquido y tiene la forma de un caracol, que contiene una forma espiral logarítmica estable.
Cualquier cuerpo, objeto, cosa, figura geométrica, cuya proporción corresponde a la "sección áurea", se distingue por una estricta proporcionalidad y produce la impresión visual más agradable.
Por lo tanto, la estructura de todos los organismos vivos y objetos inanimados que se encuentran en la naturaleza, que no tienen ninguna conexión ni similitud entre sí, se planifica de acuerdo con una determinada fórmula matemática.
La proporción áurea en la naturaleza inanimada
La proporción áurea está presente en la estructura de todos los cristales, pero la mayoría de los cristales son microscópicamente pequeños, por lo que no podemos verlos a simple vista. Sin embargo, los copos de nieve, que también son cristales de agua, son bastante accesibles a nuestros ojos. Todas las figuras de exquisita belleza que forman los copos de nieve, todos los ejes, círculos y figuras geométricas en los copos de nieve también están siempre, sin excepción, construidos según la fórmula perfecta y clara de la sección áurea.
Un huracán está en espiral. Goethe llamó a la espiral "la curva de la vida".
En el Universo, todas las galaxias conocidas por la humanidad y todos los cuerpos en ellas existen en forma de espiral, que corresponde a la fórmula de la sección áurea.
La proporción áurea en el arte y la arquitectura
La fórmula de la sección áurea y las proporciones áureas son muy conocidas por todas las personas del arte, estas son las principales reglas de la estética.
Allá por el Renacimiento, los artistas descubrieron que cualquier cuadro tiene ciertos puntos que involuntariamente atraen nuestra atención, los llamados centros visuales. En este caso, no importa qué formato tenga la imagen: horizontal o vertical. Solo hay cuatro de esos puntos, y están ubicados a una distancia de 3/8 y 5/8 de los bordes correspondientes del plano. Este descubrimiento entre los artistas de esa época se denominó la "sección dorada" de la imagen. Por lo tanto, para llamar la atención sobre el elemento principal de la fotografía, es necesario combinar este elemento con uno de los centros visuales.
Volviendo a los ejemplos de la "sección dorada" en la pintura, uno no puede sino detener la atención en el trabajo de Leonardo da Vinci. Su identidad es uno de los misterios de la historia. El propio Leonardo da Vinci dijo: “Que nadie que no sea matemático se atreva a leer mis obras”. Ganó fama como un artista insuperable, un gran científico, un genio que anticipó muchos inventos que no se implementaron hasta el siglo XX. La proporción áurea está presente en el cuadro de Leonardo da Vinci "La Gioconda". El retrato de Monna Lisa ha llamado la atención de los investigadores durante muchos años, quienes encontraron que la composición del dibujo se basa en triángulos dorados que son partes de un pentágono regular de estrellas.
En la famosa pintura de I. I. Shishkin "Pine Grove", los motivos de la sección dorada son claramente visibles. El pino brillantemente iluminado (de pie en primer plano) divide la longitud de la imagen según la proporción áurea. A la derecha del pino hay un montículo iluminado por el sol. Divide el lado derecho de la imagen horizontalmente según la proporción áurea. A la izquierda del pino principal hay muchos pinos; si lo desea, puede continuar dividiendo la imagen con éxito de acuerdo con la sección dorada y más.
La presencia en cualquier cuadro de verticales y horizontales brillantes, dividiéndolo en relación con la sección áurea, le da el carácter de equilibrio y tranquilidad, de acuerdo con la intención del artista. Cuando la intención del artista es diferente, si, por ejemplo, crea una imagen con una acción que se desarrolla rápidamente, tal esquema geométrico de composición (con predominio de verticales y horizontales) se vuelve inaceptable.
A diferencia de la sección dorada, la sensación de dinámica, emoción, es quizás más pronunciada en otra figura geométrica simple: la espiral dorada.
La composición de múltiples figuras de la "Masacre de los inocentes" de Rafael, realizada en 1509 - 1510 por Rafael, contiene una espiral dorada.Esta imagen se distingue solo por el dinamismo y el dramatismo de la trama. Rafael nunca llevó a cabo su idea, sin embargo, su boceto fue grabado por un artista gráfico italiano desconocido, Marcantinio Raimondi, quien, basado en este boceto, creó el grabado Masacre de los Inocentes.
En el boceto preparatorio de Rafael, se dibujan líneas rojas que van desde el centro semántico de la composición -el punto donde los dedos del guerrero se cerraron alrededor del tobillo del niño- a lo largo de las figuras del niño, la mujer aferrándose a él, el guerrero con el bola llevada y luego a lo largo de las figuras del mismo grupo en el boceto del lado derecho. Si conecta naturalmente estas piezas de la curva con una línea punteada, obtendrá... ¡una espiral dorada! No sabemos si Rafael realmente pintó la espiral dorada al crear la composición "Masacre de los inocentes" o si solo la "sintió". Sin embargo, podemos decir con confianza que el grabador Raimondi vio esta espiral.
El artista Alexander Pankin, explorando las leyes de la belleza con una brújula y una regla... en las famosas plazas de Kazimir Malevich, notó que las pinturas de Malevich son sorprendentemente armoniosas. No hay un solo elemento aleatorio aquí. Tomando un solo segmento, el tamaño del lienzo o el lado del cuadrado, puede construir la imagen completa usando una fórmula. Hay cuadrados, todos cuyos elementos están correlacionados en la proporción de la "sección dorada", y el famoso "Cuadrado negro" se dibuja en la proporción de la raíz cuadrada de dos. Alexander Pankin descubrió un patrón sorprendente: cuanto menos deseo de expresarse, más creatividad... El canon es importante. No es casualidad que en la pintura de iconos se observe tan estrictamente.
La proporción áurea en la escultura
"Es necesario que un hermoso edificio se construya como una persona bien formada" (Pavel Florensky)
Se sabe que incluso en la antigüedad la base de la escultura era la teoría de las proporciones. La relación de las partes del cuerpo humano se asoció con la fórmula de la sección áurea. Las proporciones de la "sección dorada" crean la impresión de armonía de belleza, por lo que los escultores las utilizaron en sus obras. Así, por ejemplo, la famosa estatua de Apolo Belvedere consta de partes que se dividen según proporciones áureas.
El gran escultor griego antiguo Fidias a menudo usaba la "proporción áurea" en sus obras. Los más famosos de ellos fueron la estatua de Zeus Olímpico (que fue considerada una de las maravillas del mundo) y Athena Parthenos.
La proporción áurea en arquitectura
En los libros sobre la "sección dorada" se puede encontrar la observación de que en la arquitectura, como en la pintura, todo depende de la posición del observador, y que si algunas proporciones en un edificio de un lado parecen formar la "sección dorada", entonces desde otros puntos de visión se verán diferentes. La "sección dorada" da la proporción más relajada de los tamaños de ciertas longitudes.
Una de las obras más bellas de la arquitectura griega antigua es el Partenón (siglo V aC). La fachada del Partenón tiene proporciones doradas. Durante sus excavaciones se encontraron brújulas, que fueron utilizadas por arquitectos y escultores del mundo antiguo. En la brújula pompeyana (Museo de Nápoles) se encuentran las proporciones áureas.
El Partenón tiene 8 columnas en los lados cortos y 17 en los largos. las repisas están hechas enteramente de cuadrados de mármol de Pentile. La nobleza del material con el que se construyó el templo permitió limitar el uso del colorido, común en la arquitectura griega, solo enfatiza los detalles y forma un fondo de color (azul y rojo) para la escultura. La razón de la altura del edificio a su longitud es 0.618. Si dividimos el Partenón según la “sección dorada”, obtendremos ciertas protuberancias de la fachada.
Otro ejemplo de la arquitectura antigua es el Panteón.
El famoso arquitecto ruso M. Kazakov utilizó ampliamente la "sección dorada" en su trabajo. Su talento fue multifacético, pero en mayor medida se reveló en numerosos proyectos terminados de edificios residenciales y urbanizaciones. Por ejemplo, la "sección dorada" se puede encontrar en la arquitectura del edificio del Senado en el Kremlin. De acuerdo con el proyecto de M. Kazakov, se construyó el Hospital Golitsyn en Moscú, que actualmente se llama el Primer Hospital Clínico que lleva el nombre de N.I. Pirogov (Leninsky Prospekt, 5).
Otra obra maestra arquitectónica de Moscú, la Casa Pashkov, es una de las obras arquitectónicas más perfectas de V. Bazhenov. La maravillosa creación de V. Bazhenov ha entrado firmemente en el conjunto del centro del Moscú moderno, lo ha enriquecido. El exterior de la casa ha sobrevivido casi sin cambios hasta el día de hoy, a pesar de que sufrió graves incendios en 1812. Durante la restauración, el edificio adquirió formas más masivas.
Entonces, podemos decir con confianza que la proporción áurea es la base de la conformación, cuyo uso asegura la diversidad de formas compositivas en todos los tipos de arte y da lugar a la creación de una teoría científica de la composición y una teoría unificada de la plástica. letras.
"Proporción áurea" ha sido durante mucho tiempo sinónimo de la palabra "armonía". frase "sección dorada" tiene un efecto mágico. Si está realizando algún tipo de encargo artístico (no importa si es una pintura, una escultura o un diseño), la frase “el trabajo se realizó de acuerdo con las reglas proporción áurea” puede ser un excelente argumento a su favor: lo más probable es que el cliente no pueda comprobarlo, pero suena sólido y convincente. Al mismo tiempo, pocos entienden lo que se esconde bajo estas palabras. Mientras tanto, averigua qué proporción áurea y su funcionamiento es bastante sencillo.
La proporción áurea es tal división de un segmento en 2 partes proporcionales, en las que el todo se relaciona con la parte mayor de la misma manera que la mayor con la menor. . Matemáticamente, esta fórmula se ve así: Con : b = b : un o un : b = b : C.
El resultado de la solución algebraica de esta proporción será el número irracional Ф (Ф en honor al antiguo escultor griego Fidias).
No daré la ecuación en sí, para no descargar el texto. Si lo desea, se puede encontrar fácilmente en la red. Solo diré que F será aproximadamente igual a 1.618. Recuerda este número, esta es una expresión numérica proporción áurea.
Entonces, proporción áurea- Esta es la regla de la proporción, muestra la relación entre las partes y el todo.
En cualquier segmento, puede encontrar un "punto dorado", un punto que divide este segmento en partes que se perciben como armoniosas. En consecuencia, cualquier objeto también se puede dividir. Por ejemplo, construyamos un rectángulo dividido de acuerdo con la proporción "áurea":
La relación entre el lado mayor del rectángulo resultante y el menor será aproximadamente igual a 1,6 (obsérvese que el rectángulo menor resultante de la construcción también será dorado).
En general, en los artículos que explican el principio proporción áurea, hay muchos dibujos similares. Esto se explica de manera simple: el hecho es que es problemático encontrar el "punto dorado" mediante una medición ordinaria, ya que el número Ф, como recordamos, es irracional. Por otro lado, tales problemas se resuelven fácilmente por métodos geométricos, utilizando un compás y una regla.
Sin embargo, la presencia de una brújula para la aplicación de la ley en la práctica no es en absoluto necesaria. Hay una serie de números que se consideran la expresión aritmética de la proporción áurea. Este serie de Fibonacci . Aquí está la fila:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 etc
No es necesario memorizar esta secuencia, se puede calcular fácilmente: cada número de la serie de Fibonacci es igual a la suma de los dos anteriores 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, etc., y la proporción de números adyacentes de la serie se acerca a la proporción de la división áurea. Entonces, 21:34 = 0,617 y 34:55 = 0,618.
Uno de los símbolos más antiguos (y todavía atractivos), el pentagrama es una ilustración perfecta del principio proporción áurea.
En una estrella regular de cinco puntas, cada segmento está dividido por un segmento que lo intersecta en proporción áurea(en la figura de arriba, la proporción del segmento rojo con el verde, así como del verde con el azul, y del azul con el violeta, son iguales). (cita de Wikipedia).
¿Por qué la "proporción áurea" parece tan armoniosa?
en la teoria proporción áurea Hay muchos partidarios y opositores. En general, la idea de que la belleza se puede medir y calcular mediante una fórmula matemática no es atractiva para todos. Y, tal vez, este concepto parecería realmente una estética matemática descabellada, si no fuera por los numerosos ejemplos de formación natural correspondientes a proporción áurea.
El término en sí proporción áurea introducido por Leonardo da Vinci. Como matemático, da Vinci también buscaba una relación armoniosa para las proporciones del cuerpo humano.
“Si atamos una figura humana, la creación más perfecta del Universo, con un cinturón y luego medimos la distancia desde el cinturón hasta los pies, entonces este valor se referirá a la distancia desde el mismo cinturón hasta la parte superior de la cabeza. como toda la estatura de una persona hasta la longitud desde el cinturón hasta los pies”.
La división del cuerpo por el punto del ombligo es el indicador más importante proporción áurea. Las proporciones del cuerpo masculino fluctúan dentro de la relación media de 13:8 = 1,625 y están algo más cerca de la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino, en relación a las cuales el valor medio de la proporción se expresa en la relación 8: 5 = 1,6. En un recién nacido, la proporción es de 1:1, a los 13 años es de 1,6 ya los 21 años es igual al varón. Dimensiones proporción áurea se manifiestan en relación con otras partes del cuerpo: la longitud del hombro, el antebrazo y la mano, la mano y los dedos, etc.
Gradualmente, proporción áurea convertido en un canon académico, y cuando una revuelta contra el academicismo estaba madura en el arte, sobre proporción áurea olvidado por un tiempo. Sin embargo, a mediados del siglo XIX, este concepto volvió a popularizarse gracias a los trabajos del investigador alemán Zeising. Hizo muchas mediciones (alrededor de 2000 personas), y concluyó que proporción áurea expresa la ley estadística media. Más allá de la gente , Zeising exploró estructuras arquitectónicas, jarrones, flora y fauna, métricas poéticas y ritmos musicales. Según su teoría, proporción áurea es una regla absoluta, universal para cualquier fenómeno de la naturaleza y del arte.
El principio de la proporción áurea se aplica en varios campos, no solo en el arte, sino también en la ciencia y la tecnología. Siendo tan universal, está, por supuesto, sujeto a muchas dudas. A menudo manifestaciones proporción áurea se declaran resultado de cálculos erróneos o de una simple coincidencia (o incluso malabarismo). En cualquier caso, cualquier comentario, tanto de los partidarios de la teoría como de los opositores, debe ser tratado con crítica.
Y puede leer acerca de cómo se aplica este principio en la práctica.
Recortando un cuadrado de lado a de un rectángulo construido según el principio de la sección áurea, obtenemos un nuevo rectángulo reducido con la misma propiedad
Dorado sección (proporción áurea, división en razón extrema y media, división armónica, número de Fidias) - división de una cantidad continua en partes en tal proporción en la que la parte mayor se relaciona con la menor, como la cantidad total con la mayor. Por ejemplo, la división de un segmento C.A. en dos partes para que la mayor parte AB pertenece al más pequeño Sol como todo el segmento C.A. se refiere a AB(es decir, | AB| / |Sol| = |C.A.| / |AB|).
Esta proporción se suele denotar con la letra griega ϕ (también se encuentra la designación τ). es igual a:
La fórmula de las "armonías áureas", dando pares de números que satisfacen la proporción anterior:
En el caso de un número, el parámetro metro = 1.
En la literatura antigua que nos ha llegado, la división del segmento en la proporción extrema y media (ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) aparece por primera vez en los Elementos de Euclides (c. 300 a. C.), donde se usa para construir un pentágono regular.
C soyEl término "sección dorada"Schnitt de oro) fue introducido por el matemático alemán Martin Ohm en 1835.
Propiedades matematicas
Proporción áurea en una estrella de cinco puntas
— irracional número algebraico, solución positiva de cualquiera de las siguientes ecuaciones
representado como una fracción continua
Para cuyas fracciones adecuadas son las proporciones de números de Fibonacci consecutivos. De este modo, 
.
En una estrella regular de cinco puntas, cada segmento se divide por el segmento que lo intersecta en la proporción áurea (es decir, la proporción del segmento azul con el verde, al igual que el rojo con el azul, al igual que el verde con el violeta, son iguales).
Construcción de la sección áurea
Aquí hay otra vista:
Construcción geométrica
corte de sección dorada AB se puede construir de la siguiente manera: en el punto B restaurado perpendicular a AB, coloque un segmento en él antes de Cristo igual a la mitad AB, en el segmento C.A. posponer el corte ANUNCIO, igual a C.A. − CB, y finalmente, en el segmento AB posponer el corte AE, igual a ANUNCIO. Entonces
Proporción áurea y armonía
En general, se acepta que las personas perciben los objetos que contienen la "sección dorada" como los más armoniosos. Las proporciones de la pirámide de Keops, los templos, los bajorrelieves, los artículos para el hogar y las decoraciones de la tumba de Tutankamón supuestamente indican que los artesanos egipcios utilizaron la proporción de la sección áurea al crearlos. El arquitecto Le Corbusier "encontró" que en el relieve del templo del faraón Seti I en Abydos y en el relieve que representa al faraón Ramsés, las proporciones de las figuras corresponden a la proporción áurea. El arquitecto Hesira, representado en un relieve de una tabla de madera de la tumba de su nombre, sostiene instrumentos de medición en los que se fijan las proporciones de la sección áurea. En la fachada del antiguo templo griego del Partenón hay proporciones doradas. Durante sus excavaciones se encontraron brújulas, que fueron utilizadas por arquitectos y escultores del mundo antiguo. El compás pompeyano (Museo de Nápoles) contiene también las proporciones de la división áurea, etc., etc.
"Sección de oro" en el arte
Proporción áurea y centros visuales
Desde Leonardo da Vinci, muchos artistas han utilizado conscientemente las proporciones de la "sección áurea".
Se sabe que Sergei Eisenstein construyó artificialmente la película Battleship Potemkin de acuerdo con las reglas de la "sección dorada". Rompió la cinta en cinco partes. En los tres primeros, la acción se desarrolla en el barco. En los dos últimos, en Odessa, donde se desarrolla el levantamiento. Esta transición a la ciudad se produce exactamente en el punto de la proporción áurea. Sí, y en cada parte hay un punto de inflexión, que se produce según la ley de la sección áurea. En el marco, escena, episodio, hay un cierto salto en el desarrollo del tema: la trama, el estado de ánimo. Eisenstein creía que, dado que dicha transición está cerca del punto de la sección dorada, se percibe como la más natural y natural.
Otro ejemplo del uso de la regla de la proporción áurea en el arte cinematográfico es la ubicación de los componentes principales del marco en puntos especiales: "centros visuales". A menudo se utilizan cuatro puntos, ubicados a una distancia de 3/8 y 5/8 de los bordes correspondientes del plano.
Cabe señalar que en los ejemplos anteriores apareció el valor aproximado de la "sección áurea": es fácil comprobar que ni 3/2 ni 5/3 es igual al valor de la sección áurea.
El arquitecto ruso Zholtovsky también utilizó la proporción áurea.
Críticas a la proporción áurea
Hay opiniones de que la importancia de la sección áurea en el arte, la arquitectura y la naturaleza es exagerada y basada en cálculos erróneos.
Al analizar las relaciones de aspecto óptimas de los rectángulos (tamaños de hojas de papel A0 y múltiplos, tamaños de placas fotográficas (6:9, 9:12) o fotogramas de películas (a menudo 2:3), tamaños de pantallas de cine y televisión, por ejemplo , 3:4 o 9:16) fueron probados en una variedad de formas. Resultó que la mayoría de la gente no percibe el oro sección como óptima y considera sus proporciones "demasiado alargadas".
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La proporción áurea es una manifestación universal de armonía estructural. Se encuentra en la naturaleza, la ciencia, el arte, en todo aquello con lo que una persona puede entrar en contacto. Una vez familiarizada con la regla de oro, la humanidad ya no la engañó.
DEFINICIÓN
La definición más amplia de la proporción áurea dice que la parte más pequeña se refiere a la más grande, como la parte más grande se refiere al todo. Su valor aproximado es 1,6180339887. En un porcentaje redondeado, las proporciones de las partes del todo se correlacionarán como 62% por 38%. Esta relación opera en las formas de espacio y tiempo.
Los antiguos vieron la sección áurea como un reflejo del orden cósmico, y Johannes Kepler la llamó uno de los tesoros de la geometría. La ciencia moderna considera la proporción áurea como "simetría asimétrica", llamándola en un sentido amplio una regla universal que refleja la estructura y el orden de nuestro orden mundial.
HISTORIA
Los antiguos egipcios tenían la idea de las proporciones áureas, también las conocían en la Rus, pero por primera vez el monje Luca Pacioli explicó científicamente la proporción áurea en el libro La Divina Proporción (1509), que supuestamente fue ilustrado por leonardo da vinci Pacioli vio la trinidad divina en la sección dorada: el segmento pequeño personificaba al Hijo, el grande, al Padre, y el total, al Espíritu Santo.
El nombre del matemático italiano Leonardo Fibonacci está directamente relacionado con la regla de la sección áurea. Como resultado de resolver uno de los problemas, el científico ideó una secuencia de números, ahora conocida como la serie de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Kepler llamó la atención sobre la relación de esta sucesión con la proporción áurea: “Está dispuesta de tal manera que los dos términos inferiores de esta proporción infinita suman el tercer término, y dos últimos términos cualesquiera, si se suman, dan el término siguiente, y la misma proporción se mantiene indefinidamente". Ahora bien, la serie de Fibonacci es la base aritmética para calcular las proporciones de la sección áurea en todas sus manifestaciones.
Leonardo da Vinci también dedicó mucho tiempo a estudiar las características de la proporción áurea, lo más probable es que el término en sí le pertenezca. Sus dibujos de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos regulares prueban que cada uno de los rectángulos obtenidos por sección da la relación de aspecto en división áurea.
Con el tiempo, la regla de la proporción áurea se convirtió en una rutina académica, y solo el filósofo Adolf Zeising en 1855 la devolvió a una segunda vida. Llevó las proporciones de la sección áurea al absoluto, haciéndolas universales para todos los fenómenos del mundo circundante. Sin embargo, su "esteticismo matemático" provocó muchas críticas.
NATURALEZA
Incluso sin entrar en cálculos, la proporción áurea se puede encontrar fácilmente en la naturaleza. Entonces, la proporción de la cola y el cuerpo del lagarto, la distancia entre las hojas de la rama caen debajo de él, hay una sección dorada y en forma de huevo, si se dibuja una línea condicional a través de su parte más ancha.
El científico bielorruso Eduard Soroko, que estudió las formas de las divisiones áureas en la naturaleza, señaló que todo lo que crece y se esfuerza por ocupar su lugar en el espacio está dotado de proporciones de la sección áurea. En su opinión, una de las formas más interesantes es la espiral.
Incluso Arquímedes, prestando atención a la espiral, derivó una ecuación basada en su forma, que todavía se usa en tecnología. Más tarde, Goethe notó la atracción de la naturaleza por las formas espirales, llamando a la espiral "la curva de la vida". Los científicos modernos han descubierto que tales manifestaciones de formas espirales en la naturaleza, como la concha de caracol, la disposición de las semillas de girasol, los patrones de telaraña, el movimiento de un huracán, la estructura del ADN e incluso la estructura de las galaxias, contienen la serie de Fibonacci. .
HUMANO
Los diseñadores de moda y los diseñadores de ropa hacen todos los cálculos en función de las proporciones de la sección dorada. El hombre es una forma universal para probar las leyes de la sección áurea. Por supuesto, por naturaleza, no todas las personas tienen proporciones ideales, lo que crea ciertas dificultades con la selección de ropa.
En el diario de Leonardo da Vinci hay un dibujo de un hombre desnudo inscrito en un círculo, en dos posiciones superpuestas. Basándose en los estudios del arquitecto romano Vitruvio, Leonardo también trató de establecer las proporciones del cuerpo humano. Posteriormente, el arquitecto francés Le Corbusier, utilizando el Hombre de Vitruvio de Leonardo, creó su propia escala de "proporciones armónicas", que influyó en la estética de la arquitectura del siglo XX.
Adolf Zeising, explorando la proporcionalidad del hombre, hizo un trabajo tremendo. Midió unos dos mil cuerpos humanos, así como muchas estatuas antiguas, y dedujo que la proporción áurea expresa la ley media. En una persona, casi todas las partes del cuerpo están subordinadas a él, pero el indicador principal de la sección dorada es la división del cuerpo por el punto del ombligo.
Como resultado de las mediciones, el investigador descubrió que las proporciones del cuerpo masculino 13:8 están más cerca de la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino: 8:5.
EL ARTE DE LAS FORMAS ESPACIALES
El artista Vasily Surikov dijo que "hay una ley inmutable en la composición, cuando no se puede quitar o agregar nada a la imagen, ni siquiera se puede poner un punto extra, esto es matemática real". Durante mucho tiempo, los artistas siguieron esta ley de manera intuitiva, pero después de Leonardo da Vinci, el proceso de creación de una pintura ya no está completo sin resolver problemas geométricos. Por ejemplo, Albrecht Dürer utilizó la brújula proporcional inventada por él para determinar los puntos de la sección áurea.
El historiador de arte F.V. Kovalev, después de haber estudiado en detalle la pintura de Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin en el pueblo de Mikhailovsky", señala que cada detalle del lienzo, ya sea una chimenea, una estantería, un sillón o el propio poeta, está estrictamente inscrito en proporciones áureas.
Los investigadores de la proporción áurea estudian y miden incansablemente las obras maestras de la arquitectura, afirmando que se han convertido en tales porque fueron creadas de acuerdo con los cánones áureos: su lista incluye las Grandes Pirámides de Giza, la Catedral de Notre Dame, la Catedral de San Basilio, el Partenón .
Y hoy, en cualquier arte de formas espaciales, intentan seguir las proporciones de la sección áurea, ya que, según los historiadores del arte, facilitan la percepción de la obra y forman una sensación estética en el espectador.
PALABRA, SONIDO Y CINE
Las formas del arte temporal a su manera nos demuestran el principio de la división áurea. Los críticos literarios, por ejemplo, notaron que el número de líneas más popular en los poemas del último período de la obra de Pushkin corresponde a la serie de Fibonacci: 5, 8, 13, 21, 34.
La regla de la sección áurea también se aplica en obras individuales del clásico ruso. Entonces, el clímax de La dama de picas es la escena dramática de Herman y la condesa, que termina con la muerte de esta última. Hay 853 líneas en la historia, y el clímax cae en la línea 535 (853:535=1.6) - este es el punto de la proporción áurea.
El musicólogo soviético E.K. Rozenov destaca la sorprendente precisión de las proporciones de la sección áurea en las formas estrictas y libres de las obras de Johann Sebastian Bach, lo que corresponde al estilo reflexivo, concentrado y técnicamente verificado del maestro. Esto también es cierto para las obras destacadas de otros compositores, donde el punto de la proporción áurea suele dar cuenta de la solución musical más llamativa o inesperada.
El director de cine Sergei Eisenstein coordinó deliberadamente el guión de su película "Battleship Potemkin" con la regla de la sección áurea, dividiendo la cinta en cinco partes. En las tres primeras secciones, la acción tiene lugar en un barco, y en las dos últimas, en Odessa. La transición a las escenas de la ciudad es el medio dorado de la película.
