فرمول های حل معادلات مثلثاتی ساده چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنیم

وظیفه شماره 1

منطق ساده است: بدون در نظر گرفتن این واقعیت که اکنون توابع مثلثاتی آرگومان پیچیده تری دارند، مانند قبل انجام خواهیم داد!

اگر بخواهیم معادله ای از شکل زیر را حل کنیم:

سپس پاسخ زیر را می نویسیم:

یا (از زمانی که)

اما اکنون نقش ما با این عبارت ایفا می شود:

سپس می توانیم بنویسیم:

هدف ما با شما این است که مطمئن شویم سمت چپ به سادگی و بدون هیچ گونه "ناخالصی" ایستاده است!

بیایید کم کم از شر آنها خلاص شویم!

ابتدا مخرج را حذف می کنیم: برای انجام این کار، تساوی خود را در:

حالا بیایید با تقسیم هر دو قسمت از شر آن خلاص شویم:

حالا بیایید از شر این هشت خلاص شویم:

عبارت به دست آمده را می توان به صورت 2 سری راه حل نوشت (بر اساس قیاس با یک معادله درجه دوم، که در آن تفکیک کننده را اضافه یا کم می کنیم)

ما باید بزرگترین ریشه منفی را پیدا کنیم! واضح است که ما نیاز به مرتب سازی داریم.

ابتدا به قسمت اول نگاه می کنیم:

واضح است که اگر بگیریم، در نتیجه اعداد مثبت دریافت خواهیم کرد، اما آنها به ما علاقه ای ندارند.

بنابراین باید آن را منفی بگیرید. بگذار باشد.

زمانی که ریشه باریکتر می شود:

و ما باید بزرگترین منفی را پیدا کنیم!! این بدان معناست که رفتن به سمت منفی در اینجا دیگر معنی ندارد. و بزرگترین ریشه منفی برای این سریال برابر خواهد بود با.

حالا سری دوم را بررسی می کنیم:

و دوباره جایگزین: , سپس:

علاقه ای ندارد!

آنوقت دیگر افزایش معنا ندارد! کم کنیم! سپس اجازه دهید:

مناسب است!

بگذار باشد. سپس

سپس - بزرگترین ریشه منفی!

پاسخ:

وظیفه شماره 2

بدون توجه به استدلال کسینوس پیچیده، دوباره حل می کنیم:

اکنون دوباره در سمت چپ بیان می کنیم:

هر دو طرف را در ضرب کنید

هر دو طرف را تقسیم کنید

تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را به سمت راست ببرید و علامت آن را از منفی به مثبت تغییر دهید.

ما دوباره 2 سری ریشه می گیریم، یکی با و دیگری با.

ما باید بزرگترین ریشه منفی را پیدا کنیم. بیایید به قسمت اول نگاه کنیم:

واضح است که اولین ریشه منفی را در خواهیم گرفت، برابر است و بزرگترین ریشه منفی در 1 سری خواهد بود.

برای سری دوم

اولین ریشه منفی نیز در و برابر خواهد بود. از آنجا که، پس بزرگترین ریشه منفی معادله است.

پاسخ: .

وظیفه شماره 3

ما بدون توجه به استدلال مماس پیچیده حل می کنیم.

حالا، به نظر پیچیده نیست، درست است؟

مانند قبل، در سمت چپ بیان می کنیم:

خوب، عالی است، فقط یک سری ریشه در اینجا وجود دارد! بیایید دوباره بزرگترین منفی را پیدا کنیم.

معلوم است که اگر آن را زمین بگذاری معلوم می شود. و این ریشه برابر است.

پاسخ:

حال سعی کنید مشکلات زیر را خودتان حل کنید.

تکلیف یا 3 کار برای حل مستقل.

1. معادله را حل کنید.
   
2. معادله را حل کنید.
   در جواب پی شی ام کوچکترین ریشه ممکن.
3. معادله را حل کنید.
   در جواب پی شی ام کوچکترین ریشه ممکن.

آماده؟ بیایید بررسی کنیم. من کل الگوریتم راه حل را با جزئیات شرح نمی دهم، به نظر می رسد که قبلاً به اندازه کافی در بالا توجه شده است.

خوب، همه چیز درست است؟ آه، آن سینوس های بد، همیشه نوعی مشکل با آنها وجود دارد!

خب حالا می توانید معادلات مثلثاتی ساده را حل کنید!

راه حل ها و پاسخ ها را بررسی کنید:

وظیفه شماره 1

بیان کنیم

کوچکترین ریشه مثبت به دست می آید اگر قرار دهیم، از آن پس

پاسخ:

وظیفه شماره 2

کوچکترین ریشه مثبت در به دست می آید.

برابر خواهد بود.

پاسخ: .

وظیفه شماره 3

وقتی می گیریم، وقتی داریم.

پاسخ: .

این دانش به شما کمک می کند تا بسیاری از مشکلاتی را که در امتحان با آنها مواجه خواهید شد حل کنید.

اگر برای رتبه "5" درخواست می دهید، فقط باید به خواندن مقاله ادامه دهید سطح متوسطکه به حل معادلات مثلثاتی پیچیده تر اختصاص خواهد یافت (تکلیف C1).

سطح متوسط

در این مقاله توضیح خواهم داد حل معادلات مثلثاتی پیچیده ترو نحوه انتخاب ریشه آنها. در اینجا به موضوعات زیر می پردازم:

1. معادلات مثلثاتی برای سطح مبتدی (به بالا مراجعه کنید).

معادلات مثلثاتی پیچیده‌تر مبنای مسائل پیشرفته هستند. آنها هم نیاز به حل خود معادله به شکل کلی و هم یافتن ریشه های این معادله متعلق به یک بازه معین دارند.

حل معادلات مثلثاتی به دو کار فرعی خلاصه می شود:

1. حل معادله
2. انتخاب ریشه

لازم به ذکر است که دومی همیشه مورد نیاز نیست، اما در بیشتر نمونه ها هنوز انتخاب مورد نیاز است. اما اگر لازم نباشد، می توانیم با شما همدردی کنیم - این بدان معنی است که این معادله به خودی خود بسیار پیچیده است.

تجربه من در تجزیه و تحلیل مسائل C1 نشان می دهد که آنها معمولا به دسته های زیر تقسیم می شوند.

چهار دسته از وظایف با پیچیدگی افزایش یافته (C1 سابق)

1. معادلاتی که به فاکتورسازی کاهش می یابد.
2. معادلات به شکل کاهش یافت.
3. معادلات حل شده با تغییر یک متغیر
4. معادلاتی که به دلیل غیرمنطقی یا مخرج نیاز به انتخاب اضافی ریشه دارند.

به بیان ساده: اگر گرفتار شدید یکی از معادلات سه نوع اول، سپس خود را خوش شانس بدانید. برای آنها، به عنوان یک قاعده، شما علاوه بر این باید ریشه های متعلق به یک بازه خاص را انتخاب کنید.

اگر با یک معادله نوع 4 برخورد کردید، پس شانس کمتری دارید: باید طولانی تر و با دقت بیشتری آن را سرهم بندی کنید، اما اغلب اوقات نیازی به انتخاب اضافی ریشه ها ندارد. با این وجود، من این نوع معادلات را در مقاله بعدی تجزیه و تحلیل خواهم کرد و این مقاله را به حل معادلات سه نوع اول اختصاص خواهم داد.

معادلاتی که به فاکتورسازی کاهش می یابد

مهمترین چیزی که برای حل این نوع معادله باید به خاطر بسپارید این است

همانطور که تمرین نشان می دهد، به عنوان یک قاعده، این دانش کافی است. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال 1. معادله با استفاده از فرمول‌های سینوس کاهش و دو زاویه به فاکتورسازی کاهش می‌یابد

• معادله را حل کنید
• تمام ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، پیدا کنید

در اینجا، همانطور که قول داده بودم، فرمول های کاهش کار می کنند:

سپس معادله من به شکل زیر خواهد بود:

سپس معادله من به شکل زیر در می آید:

یک دانش آموز کوته فکر ممکن است بگوید: حالا هر دو طرف را کم می کنم، ساده ترین معادله را می گیرم و از زندگی لذت می برم! و سخت در اشتباه خواهد بود!

خوب چه کار کنیم؟ بله، ساده است، همه چیز را به یک سمت ببرید و عامل مشترک را حذف کنید:

خوب، ما آن را در فاکتورها قرار دادیم، عجله کنید! حالا بیایید تصمیم بگیریم:

معادله اول ریشه دارد:

و دومی:

این قسمت اول مشکل را کامل می کند. اکنون باید ریشه ها را انتخاب کنید:

شکاف به این صورت است:

یا می توان آن را اینگونه نیز نوشت:

خوب، بیایید ریشه ها را در نظر بگیریم:

اول، بیایید با قسمت اول کار کنیم (و حداقل ساده تر است!)

از آنجایی که فاصله ما کاملاً منفی است، نیازی به گرفتن غیر منفی نیست، آنها همچنان ریشه های غیر منفی می دهند.

بیایید آن را بگیریم، پس - خیلی زیاد است، نمی خورد.

پس بگذار - من دیگر آن را نزدم.

یک بار دیگر - سپس - بله، متوجه شدم! اولین ریشه پیدا شد!

دوباره شلیک می کنم: بعد دوباره زدم!

خوب، یک بار دیگر: - این یک پرواز است.

بنابراین از سری اول 2 ریشه متعلق به فاصله وجود دارد: .

ما با سری دوم کار می کنیم (در حال ساخت به قدرت طبق قاعده):

زیر شلیک!

دوباره دلتنگش شده!

دوباره دلتنگش شده!

فهمیدم!

پرواز!

بنابراین، فاصله من دارای ریشه های زیر است:

این الگوریتمی است که برای حل تمام مثال های دیگر استفاده خواهیم کرد. بیایید با یک مثال دیگر تمرین کنیم.

مثال 2. معادله با استفاده از فرمول های کاهش به فاکتورسازی کاهش می یابد

• معادله را حل کنید

راه حل:

باز هم فرمول های کاهش بدنام:

سعی نکنید دوباره کاهش دهید!

معادله اول ریشه دارد:

و دومی:

اکنون دوباره جستجو برای ریشه ها.

من با قسمت دوم شروع می کنم، من قبلاً همه چیز را در مورد آن از مثال قبلی می دانم! نگاه کنید و مطمئن شوید که ریشه های متعلق به بازه به شرح زیر است:

حالا قسمت اول و ساده تر است:

اگر - مناسب است

اگه اون هم خوبه

اگر قبلاً پرواز است.

سپس ریشه ها به صورت زیر خواهد بود:

کار مستقل. 3 معادله

خوب، آیا تکنیک برای شما واضح است؟ آیا حل معادلات مثلثاتی دیگر چندان دشوار به نظر نمی رسد؟ سپس به سرعت مشکلات زیر را خودتان حل کنید و سپس نمونه های دیگر را حل خواهیم کرد:

1. معادله را حل کنید
   تمام ریشه های این معادله را که بالای بازه قرار دارند پیدا کنید.
2. معادله را حل کنید
   ریشه های معادله را که بالای برش قرار دارند نشان دهید
3. معادله را حل کنید
   تمام ریشه های این معادله را که بین آنها قرار دارد بیابید.

معادله 1.

و دوباره فرمول کاهش:

سری اول ریشه ها:

سری دوم ریشه ها:

ما انتخاب را برای شکاف شروع می کنیم

پاسخ: ، .

معادله 2. بررسی کار مستقل

گروه بندی بسیار دشوار به عوامل (من از فرمول سینوس زاویه دوگانه استفاده خواهم کرد):

سپس یا

این یک راه حل کلی است. اکنون باید ریشه ها را انتخاب کنیم. مشکل اینجاست که نمی توانیم مقدار دقیق زاویه ای را که کسینوس آن برابر با یک چهارم است بگوییم. بنابراین ، من نمی توانم فقط از شر کسینوس قوس خلاص شوم - چنین شرم آور!

کاری که من می توانم انجام دهم این است که بفهمم پس، پس، پس.

بیایید یک جدول ایجاد کنیم: interval:

خوب، از طریق جستجوهای دردناک به این نتیجه ناامیدکننده رسیدیم که معادله ما یک ریشه در بازه مشخص شده دارد: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

معادله 3: آزمون کار مستقل.

معادله ای ترسناک با این حال، می توان آن را به سادگی با استفاده از فرمول سینوس زاویه دوتایی حل کرد:

بیایید آن را 2 کاهش دهیم:

بیایید اولین ترم را با دوم و سوم را با چهارم گروه بندی کنیم و عوامل مشترک را برداریم:

واضح است که معادله اول ریشه ندارد و حالا اجازه دهید دومی را در نظر بگیریم:

به طور کلی، من قصد داشتم کمی بعداً در مورد حل چنین معادلاتی صحبت کنم، اما از آنجایی که مشخص شد، کاری برای انجام دادن وجود ندارد، باید آن را حل کنم ...

معادلات فرم:

این معادله با تقسیم دو طرف بر:

بنابراین، معادله ما یک سری ریشه دارد:

ما باید آنهایی را پیدا کنیم که به بازه تعلق دارند: .

بیایید دوباره یک جدول بسازیم، همانطور که قبلا انجام دادم:

پاسخ: .

معادلات به شکل کاهش یافته است:

خوب، اکنون وقت آن است که به بخش دوم معادلات برویم، به خصوص که من قبلاً در مورد اینکه راه حل معادلات مثلثاتی از نوع جدید شامل چه چیزی است، صحبت کردم. اما شایان ذکر است که معادله به شکلی است

با تقسیم هر دو طرف بر کسینوس حل می شود:

1. معادله را حل کنید
   ریشه های معادله را که بالای برش قرار دارند نشان دهید.
2. معادله را حل کنید
   ریشه های معادله ای که بین آنها قرار دارد را مشخص کنید.

مثال 1.

مورد اول کاملاً ساده است. به سمت راست حرکت کنید و فرمول کسینوس دو زاویه را اعمال کنید:

آره معادله فرم: . من هر دو قسمت را تقسیم می کنم

ما غربالگری ریشه انجام می دهیم:

شکاف:

پاسخ:

مثال 2.

همه چیز نیز بسیار پیش پا افتاده است: بیایید پرانتزهای سمت راست را باز کنیم:

هویت مثلثاتی پایه:

سینوس زاویه دوتایی:

در نهایت می رسیم:

غربالگری ریشه: فاصله زمانی

پاسخ: .

خوب، چگونه تکنیک را دوست دارید، خیلی پیچیده نیست؟ امیدوارم اینطور نباشه. می‌توانیم فوراً رزرو کنیم: در شکل خالص خود، معادلاتی که بلافاصله به معادله مماس کاهش می‌یابند، بسیار نادر هستند. به طور معمول، این انتقال (تقسیم بر کسینوس) تنها بخشی از یک مسئله پیچیده تر است. در اینجا یک مثال برای شما برای تمرین آورده شده است:

• معادله را حل کنید
• تمام ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، پیدا کنید.

بیایید بررسی کنیم:

معادله را می توان بلافاصله حل کرد، کافی است هر دو طرف را بر اساس زیر تقسیم کنیم.

غربالگری ریشه:

پاسخ: .

به هر شکلی، ما هنوز با معادلاتی از نوع که اخیراً بررسی کردیم، مواجه نشده ایم. با این حال، برای ما خیلی زود است که آن را یک روز بنامیم: هنوز یک "لایه" دیگر از معادلات باقی مانده است که ما آن را مرتب نکرده ایم. بنابراین:

حل معادلات مثلثاتی با تغییر متغیرها

همه چیز در اینجا شفاف است: ما دقیقاً به معادله نگاه می کنیم، آن را تا حد امکان ساده می کنیم، جایگزین می کنیم، آن را حل می کنیم، جایگزینی معکوس می کنیم! در کلمات همه چیز بسیار آسان است. بیایید در عمل ببینیم:

مثال.

• معادله را حل کنید: .
• تمام ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، پیدا کنید.

خب اینجا خود جایگزین خودش را به ما پیشنهاد می کند!

سپس معادله ما به این تبدیل می شود:

معادله اول ریشه دارد:

و مورد دوم به این صورت است:

حالا بیایید ریشه های متعلق به بازه را پیدا کنیم

پاسخ: .

بیایید یک مثال کمی پیچیده تر را با هم ببینیم:

• معادله را حل کنید
• ریشه های معادله داده شده را که در بالا بین آنها قرار گرفته اند نشان دهید.

در اینجا جایگزینی بلافاصله قابل مشاهده نیست، علاوه بر این، خیلی واضح نیست. بیایید ابتدا فکر کنیم: چه کاری می توانیم انجام دهیم؟

مثلاً می توانیم تصور کنیم

و در همان زمان

سپس معادله من به شکل زیر در می آید:

و اکنون توجه، تمرکز:

بیایید هر دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنیم:

ناگهان من و شما یک نسبی معادله درجه دوم داریم! بیایید جایگزینی ایجاد کنیم، سپس دریافت می کنیم:

معادله دارای ریشه های زیر است:

سری دوم ریشه های ناخوشایند، اما هیچ کاری نمی توان کرد! ریشه ها را در بازه انتخاب می کنیم.

ما نیز باید آن را در نظر بگیریم

از آن زمان و سپس

پاسخ:

برای تقویت این موضوع قبل از اینکه خودتان مشکلات را حل کنید، تمرین دیگری برای شما وجود دارد:

• معادله را حل کنید
• تمام ریشه های این معادله را که بین آنها قرار دارد بیابید.

در اینجا باید چشمان خود را باز نگه دارید: اکنون مخرج هایی داریم که می توانند صفر باشند! بنابراین، شما باید به ویژه به ریشه ها توجه کنید!

اول از همه باید معادله را دوباره مرتب کنم تا بتوانم یک جایگزین مناسب انجام دهم. اکنون نمی توانم چیزی بهتر از بازنویسی مماس بر حسب سینوس و کسینوس فکر کنم:

اکنون با استفاده از هویت مثلثاتی اولیه از کسینوس به سینوس حرکت می کنم:

و در نهایت، من همه چیز را به یک مخرج مشترک می آورم:

اکنون می توانم به معادله ادامه دهم:

اما در (یعنی در).

اکنون همه چیز برای جایگزینی آماده است:

سپس یا

با این حال، توجه داشته باشید که اگر، پس در همان زمان!

چه کسی از این رنج می برد؟ مشکل مماس این است که وقتی کسینوس برابر با صفر است (تقسیم بر صفر اتفاق می افتد) تعریف نمی شود.

بنابراین، ریشه های معادله عبارتند از:

حالا ریشه ها را در فاصله الک می کنیم:

بنابراین، معادله ما دارای یک ریشه در بازه است، و آن برابر است.

می بینید: ظاهر یک مخرج (درست مانند مماس، منجر به مشکلات خاصی با ریشه ها می شود! در اینجا باید بیشتر مراقب باشید!).

خوب، من و شما تقریباً تجزیه و تحلیل معادلات مثلثاتی را به پایان رسانده ایم - برای حل دو مسئله به تنهایی. آن ها اینجا هستند.

1. معادله را حل کنید
   تمام ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، پیدا کنید.
2. معادله را حل کنید
   ریشه های این معادله را که در بالای برش قرار دارند، نشان دهید.

تصمیم گرفت؟ خیلی سخت نیست؟ بیایید بررسی کنیم:

1. ما طبق فرمول های کاهش کار می کنیم:

   جایگزین در معادله:

   بیایید همه چیز را از طریق کسینوس بازنویسی کنیم تا جایگزینی آسان تر شود:

   اکنون ساختن جایگزین آسان است:

   واضح است که یک ریشه خارجی است، زیرا معادله هیچ راه حلی ندارد. سپس:

   ما در بازه به دنبال ریشه هایی هستیم که نیاز داریم

   پاسخ: .

2. 
   در اینجا جایگزینی بلافاصله قابل مشاهده است:

   سپس یا

   	- مناسب است!	- مناسب است!
   	- مناسب است!	- مناسب است!
   	- بسیاری از!	- همچنین بسیار!

   پاسخ:

خب همین الان! اما حل معادلات مثلثاتی به همین جا ختم نمی شود. نحوه حل چنین وظایفی را در مقاله ای برای سطح پیشرفته بررسی خواهیم کرد.

سطح پیشرفته

علاوه بر معادلات مثلثاتی که در دو مقاله قبلی مورد بحث قرار گرفت، دسته دیگری از معادلات را در نظر خواهیم گرفت که نیاز به تحلیل دقیق تری دارند. این مثال‌های مثلثاتی یا غیرمنطقی یا مخرج دارند که تحلیل آنها را دشوارتر می‌کند. با این حال، ممکن است به خوبی در قسمت C مقاله امتحانی با این معادلات روبرو شوید. با این حال، هر ابر دارای پوشش نقره ای است: برای چنین معادلاتی، به عنوان یک قاعده، این سوال که کدام یک از ریشه های آن متعلق به یک بازه معین است، دیگر مطرح نمی شود. بیایید در اطراف بوش ضرب و شتم نکنیم، اما بیایید مستقیماً به سراغ مثال‌های مثلثاتی برویم.

مثال 1.

معادله را حل کنید و ریشه های متعلق به بخش را پیدا کنید.

راه حل:

ما یک مخرج داریم که نباید برابر با صفر باشد! سپس حل این معادله مانند حل سیستم است

بیایید هر یک از معادلات را حل کنیم:

و حالا دومی:

حالا بیایید به سریال نگاه کنیم:

واضح است که این گزینه برای ما مناسب نیست، زیرا در این حالت مخرج ما به صفر تنظیم می شود (فرمول ریشه های معادله دوم را ببینید)

اگر، پس همه چیز مرتب است، و مخرج صفر نیست! سپس ریشه های معادله به صورت زیر است: , .

حالا ریشه های متعلق به بازه را انتخاب می کنیم.

سپس ریشه ها به شرح زیر است:

ببینید، حتی ظهور یک اختلال کوچک در شکل مخرج به طور قابل توجهی بر حل معادله تأثیر می‌گذارد: ما یک سری ریشه‌ها را که مخرج را باطل می‌کردند کنار گذاشتیم. اگر با مثال‌های مثلثاتی غیرمنطقی برخورد کنید، اوضاع می‌تواند پیچیده‌تر شود.

مثال 2.

معادله را حل کنید:

راه حل:

خوب، حداقل لازم نیست ریشه ها را از بین ببرید، و این خوب است! بیایید ابتدا معادله را بدون توجه به غیرمنطقی بودن حل کنیم:

بنابراین، این همه است؟ نه، افسوس، خیلی آسان خواهد بود! باید به خاطر داشته باشیم که فقط اعداد غیر منفی می توانند زیر ریشه ظاهر شوند. سپس:

راه حل این نابرابری این است:

اکنون باید دریابیم که آیا بخشی از ریشه های معادله اول به طور ناخواسته به جایی ختم شده است که نابرابری برقرار نیست.

برای انجام این کار، می توانید دوباره از جدول استفاده کنید:

بنابراین، یکی از ریشه های من "از بین رفت"! اگر آن را زمین بگذارید معلوم می شود. سپس پاسخ را می توان به صورت زیر نوشت:

پاسخ:

می بینید که ریشه نیاز به توجه بیشتری دارد! بیایید آن را پیچیده تر کنیم: اجازه دهید اکنون یک تابع مثلثاتی در زیر ریشه خود داشته باشم.

مثال 3.

مانند قبل: ابتدا هر کدام را جداگانه حل می کنیم و سپس به کارهایی که انجام داده ایم فکر می کنیم.

حالا معادله دوم:

اکنون دشوارترین کار این است که بفهمیم اگر ریشه های معادله اول را در آنجا جایگزین کنیم، مقادیر منفی زیر ریشه حسابی به دست می آیند یا خیر:

عدد را باید رادیان فهمید. از آنجایی که یک رادیان تقریباً درجه است، پس رادیان ها به ترتیب درجه هستند. این گوشه کوارتر دوم است. علامت کسینوس ربع دوم چیست؟ منهای. سینوس چطور؟ به علاوه. پس در مورد این عبارت چه می توانیم بگوییم:

کمتر از صفر است!

یعنی ریشه معادله نیست.

حالا وقتشه

بیایید این عدد را با صفر مقایسه کنیم.

کوتانژانت تابعی است که در 1 چهارم کاهش می یابد (هر چه آرگومان کوچکتر باشد، کوتانژانت بزرگتر است). رادیان ها تقریباً درجه هستند. در همان زمان

از آن زمان، و بنابراین
,

پاسخ: .

آیا ممکن است پیچیده تر شود؟ لطفا! اگر ریشه همچنان یک تابع مثلثاتی باشد و قسمت دوم معادله دوباره یک تابع مثلثاتی باشد، دشوارتر خواهد بود.

هرچه مثال های مثلثاتی بیشتر باشد بهتر است، در زیر ببینید:

مثال 4.

ریشه به دلیل محدودیت کسینوس مناسب نیست

حالا دومی:

در همان زمان، با تعریف ریشه:

باید دایره واحد را به خاطر بسپاریم: یعنی آن ربع هایی که سینوس کمتر از صفر است. این ربع ها چیست؟ سوم و چهارم. سپس ما به آن دسته از راه حل های معادله اول که در سه ماهه سوم یا چهارم قرار دارند علاقه مند خواهیم شد.

سری اول ریشه هایی را می دهد که در تقاطع ربع سوم و چهارم قرار دارند. سری دوم - کاملاً مخالف آن - ریشه هایی را ایجاد می کند که در مرز سه ماهه اول و دوم قرار دارند. بنابراین این سریال برای ما مناسب نیست.

پاسخ: ،

و دوباره مثال های مثلثاتی با "غیر منطقی دشوار". ما نه تنها تابع مثلثاتی را دوباره زیر ریشه داریم، بلکه اکنون در مخرج نیز قرار دارد!

مثال 5.

خوب، هیچ کاری نمی توان کرد - ما مانند قبل انجام می دهیم.

حالا با مخرج کار می کنیم:

من نمی‌خواهم نابرابری مثلثاتی را حل کنم، بنابراین یک کار حیله‌گرانه انجام می‌دهم: سری ریشه‌هایم را می‌گیرم و با نامساوی جایگزین می‌کنم:

اگر - زوج باشد، داریم:

زیرا تمام زوایای دید در ربع چهارم قرار دارند. و دوباره این سوال مقدس: علامت سینوس در ربع چهارم چیست؟ منفی. سپس نابرابری

اگر - فرد است، پس:

زاویه در کدام ربع قرار دارد؟ این گوشه کوارتر دوم است. سپس همه گوشه ها دوباره گوشه های کوارتر دوم هستند. سینوس آنجا مثبت است. فقط آنچه شما نیاز دارید! بنابراین سریال:

مناسب است!

ما با سری دوم ریشه ها به همین ترتیب برخورد می کنیم:

ما نابرابری خود را جایگزین می کنیم:

اگر - حتی، پس

کرنرهای کوارتر اول سینوس آنجا مثبت است، یعنی سریال مناسب است. حالا اگر - فرد است، پس:

هم مناسب است!

خب حالا جواب را یادداشت می کنیم!

پاسخ:

خب، این شاید پرکارترین مورد بود. حالا من به شما مشکلاتی را پیشنهاد می کنم که خودتان حل کنید.

آموزش

1. تمام ریشه های معادله را که متعلق به بخش است حل کنید و پیدا کنید.

راه حل ها:

1. 
   معادله اول:
   یا
   ODZ ریشه:

   معادله دوم:

   انتخاب ریشه هایی که به فاصله تعلق دارند

   پاسخ:

یا
یا
ولی

بیایید در نظر بگیریم: . اگر - حتی، پس
- مناسب نیست!
اگر - عجیب و غریب، : - مناسب!
این بدان معنی است که معادله ما دارای سری ریشه های زیر است:
یا
انتخاب ریشه در بازه:

	- مناسب نیست	- مناسب است
	- مناسب است	- بسیاری از
	- مناسب است	بسیاری از

پاسخ: ، .

یا
از آنجا که، پس از آن مماس تعریف نشده است. ما بلافاصله این سری ریشه ها را دور می اندازیم!

بخش دوم:

در عین حال، با توجه به DZ لازم است که

ما ریشه های موجود در معادله اول را بررسی می کنیم:

اگر علامت:

زوایای ربع اول که مماس مثبت است. مناسب نیست!
اگر علامت:

گوشه چهارم. در آنجا مماس منفی است. مناسب است. پاسخ را یادداشت می کنیم:

پاسخ: ، .

ما در این مقاله نمونه های مثلثاتی پیچیده را با هم بررسی کرده ایم، اما شما باید خودتان معادلات را حل کنید.

خلاصه و فرمول های اساسی

معادله مثلثاتی معادله ای است که در آن مجهول به شدت تحت علامت تابع مثلثاتی قرار می گیرد.

دو روش برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد:

راه اول استفاده از فرمول هاست.

راه دوم از طریق دایره مثلثاتی است.

به شما امکان می دهد زاویه ها را اندازه گیری کنید، سینوس، کسینوس و غیره آنها را پیدا کنید.

حل معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است: تبدیل معادلهبرای دریافت ساده ترین آننوع (به بالا مراجعه کنید) و راه حلساده ترین حاصل معادله مثلثاتیهفت تا هستند روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

1. روش جبری.

(روش تعویض و جایگزینی متغیر).

2. فاکتورسازی.

مثال 1. معادله را حل کنید:گناه ایکس+cos ایکس = 1 .

راه حل بیایید تمام عبارات معادله را به سمت چپ منتقل کنیم:

گناه ایکس+cos ایکس – 1 = 0 ,

اجازه دهید عبارت را تبدیل و فاکتورسازی کنیم

سمت چپ معادله:

مثال 2. معادله را حل کنید: cos 2 ایکس+ گناه ایکس cos ایکس = 1.

راه حل: cos 2 ایکس+ گناه ایکس cos ایکس– گناه 2 ایکس– cos 2 ایکس = 0 ,

گناه ایکس cos ایکس– گناه 2 ایکس = 0 ,

گناه ایکس· (cos ایکس– گناه ایکس ) = 0 ,

مثال 3. معادله را حل کنید: cos 2 ایکس– cos 8 ایکس+ cos 6 ایکس = 1.

راه حل: cos 2 ایکس+ cos 6 ایکس= 1 + cos 8 ایکس,

2 co 4 ایکس cos 2 ایکس= 2cos² 4 ایکس ,

Cos 4 ایکس · (cos 2 ایکس– cos 4 ایکس) = 0 ,

Cos 4 ایکس · 2 گناه 3 ایکسگناه ایکس = 0 ,

1). cos 4 ایکس= 0، 2). گناه 3 ایکس= 0، 3). گناه ایکس = 0 ,

4. انتقال به نیم زاویه.

بیایید با استفاده از یک مثال به این روش نگاه کنیم:

مثال حل معادله: 3گناه ایکس– 5 عدد ایکس = 7.

راه حل: 6 گناه ( ایکس/ 2) cos ( ایکس/ 2) – 5 cos² ( ایکس/ 2) + 5 sin² ( ایکس/ 2) =

7 sin² ( ایکس/ 2) + 7 cos² ( ایکس/ 2) ,

2 sin² ( ایکس/ 2) - 6 گناه ( ایکس/ 2) cos ( ایکس/ 2) + 12 cos² ( ایکس/ 2) = 0 ,

قهوهای مایل به زرد²( ایکس/ 2) - 3 قهوهای مایل به زرد ( ایکس/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. معرفی یک زاویه کمکی.

معادله ای از فرم را در نظر بگیرید:

آگناه ایکس + ب cos ایکس = ج ,

جایی که آ, ب, ج- ضرایب؛ایکس- ناشناخته.

حال ضرایب معادله دارای خواص سینوس و کسینوس هستند، برای مثال: مدول (مقدار مطلق) هر کدام که بیش از 1 نیست، و مجموع مربع های آنها 1 است. سپس می توانیم نشان دهیم آنها را بر این اساس چگونه cos و sin (اینجا - باصطلاح زاویه کمکی) ومعادله ما را بگیرید

درس و ارائه با موضوع: "حل معادلات مثلثاتی ساده"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین Integral برای درجه 10 از 1C
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف تعاملی برای ساخت و ساز در فضا
محیط نرم افزار "1C: Mathematical Constructor 6.1"

آنچه ما مطالعه خواهیم کرد:
1. معادلات مثلثاتی چیست؟

3. دو روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی.
4. معادلات مثلثاتی همگن.
5. مثال ها.

معادلات مثلثاتی چیست؟

بچه ها، ما قبلا آرکسین، آرکوزین، آرکتانژانت و آرکوتانژانت را مطالعه کرده ایم. حال بیایید به طور کلی معادلات مثلثاتی را بررسی کنیم.

معادلات مثلثاتی معادلاتی هستند که در آنها یک متغیر تحت علامت یک تابع مثلثاتی قرار می گیرد.

اجازه دهید شکل حل ساده ترین معادلات مثلثاتی را تکرار کنیم:

1) اگر |a|≤ 1 باشد، معادله cos(x) = a یک راه حل دارد:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) اگر |a|≤ 1 باشد، معادله sin(x) = a یک راه حل دارد:

3) اگر |a| > 1، سپس معادله sin(x) = a و cos(x) = a هیچ راه حلی ندارند 4) معادله tg(x)=a یک راه حل دارد: x=arctg(a)+ πk

5) معادله ctg(x)=a یک راه حل دارد: x=arcctg(a)+ πk

برای همه فرمول ها k یک عدد صحیح است

ساده ترین معادلات مثلثاتی به این شکل است: T(kx+m)=a، T تابع مثلثاتی است.

معادلات: الف) sin(3x)= √3/2 را حل کنید

راه حل:

الف) اجازه دهید 3x=t را نشان دهیم، سپس معادله خود را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

راه حل این معادله خواهد بود: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

از جدول مقادیر بدست می آوریم: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

بیایید به متغیر خود برگردیم: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn،

سپس x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

پاسخ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3، که در آن n یک عدد صحیح است. (-1)^n – منهای یک به توان n.

نمونه های بیشتری از معادلات مثلثاتی.

راه حل:

الف) این بار مستقیماً به محاسبه ریشه های معادله می رویم:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. سپس x/5= πk => x=5πk

پاسخ: x=5πk که k یک عدد صحیح است.

ب) آن را به شکل می نویسیم: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. می دانیم که: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

پاسخ: x=2π/9 + πk/3 که k یک عدد صحیح است.

معادلات: cos(4x)= √2/2 را حل کنید. و تمام ریشه ها را در قسمت پیدا کنید.

راه حل:

اجازه دهید معادله خود را به صورت کلی حل کنیم: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

حالا بیایید ببینیم چه ریشه هایی در بخش ما می افتد. در k در k=0، x= π/16، ما در بخش داده شده هستیم.
با k=1 x= π/16+ π/2=9π/16 دوباره ضربه میزنیم.
برای k=2، x= π/16+ π=17π/16، اما در اینجا ما ضربه ای نزدیم، به این معنی که برای k بزرگ نیز بدیهی است که ضربه نمی زنیم.

پاسخ: x= π/16، x= 9π/16

دو روش اصلی راه حل

بیایید معادله را حل کنیم:

راه حل:
برای حل معادله خود از روش معرفی یک متغیر جدید به معنی t=tg(x) استفاده می کنیم.

در نتیجه جایگزینی دریافت می کنیم: t 2 + 2t -1 = 0

بیایید ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنیم: t=-1 و t=1/3

سپس tg(x)=-1 و tg(x)=1/3، ساده ترین معادله مثلثاتی را می گیریم، بیایید ریشه های آن را پیدا کنیم.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

پاسخ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

نمونه ای از حل معادله

حل معادلات: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

راه حل:

بیایید از هویت استفاده کنیم: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

معادله ما به شکل زیر خواهد بود: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

اجازه دهید جایگزین t=cos(x) را معرفی کنیم: 2t 2 -3t - 2 = 0

راه حل معادله درجه دوم ما ریشه های: t=2 و t=-1/2 است

سپس cos(x)=2 و cos(x)=-1/2.

زیرا کسینوس نمی تواند مقادیر بیشتر از یک بگیرد، پس cos(x)=2 ریشه ندارد.

برای cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

پاسخ: x= ±2π/3 + 2πk

معادلات مثلثاتی همگن.

معادلات فرم

معادلات مثلثاتی همگن درجه دوم

برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول، آن را بر cos(x) تقسیم کنید: اگر برابر با صفر باشد نمی توانید بر کسینوس تقسیم کنید، بیایید مطمئن شویم که اینطور نیست:
اجازه دهید cos(x)=0، سپس asin(x)+0=0 => sin(x)=0، اما سینوس و کسینوس همزمان با صفر برابر نیستند، یک تضاد می گیریم، بنابراین می توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم با صفر

معادله را حل کنید:
مثال: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

راه حل:

بیایید فاکتور مشترک را برداریم: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

سپس باید دو معادله را حل کنیم:

Cos(x)=0 و cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 در x= π/2 + πk;

معادله cos(x)+sin(x)=0 را در نظر بگیرید معادله ما را بر cos(x) تقسیم کنید:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

پاسخ: x= π/2 + πk و x= -π/4+πk

چگونه معادلات مثلثاتی همگن درجه دو را حل کنیم؟
بچه ها، همیشه این قوانین را دنبال کنید!

1. ببینید ضریب a برابر است با چه چیزی، اگر a=0 باشد، معادله ما به شکل cos(x)(bsin(x)+ccos(x) می شود که نمونه ای از حل آن در اسلاید قبلی است.

2. اگر a≠0، پس باید هر دو طرف معادله را بر مجذور کسینوس تقسیم کنید، به دست می آوریم:

متغیر t=tg(x) را تغییر می دهیم و معادله را بدست می آوریم:

حل مثال شماره:3

بیایید هر دو طرف معادله را بر مربع کسینوس تقسیم کنیم:

متغیر t=tg(x) را تغییر می دهیم: t 2 + 2 t - 3 = 0

بیایید ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنیم: t=-3 و t=1

سپس: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

پاسخ: x=-arctg(3) + πk و x= π/4+ πk

حل مثال شماره:4

راه حل:
بیایید بیان خود را تغییر دهیم:

ما می توانیم چنین معادلاتی را حل کنیم: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

پاسخ: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

حل مثال شماره:5

راه حل:
بیایید بیان خود را تغییر دهیم:

اجازه دهید جایگزین tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 را معرفی کنیم.

جواب معادله درجه دوم ما به صورت ریشه خواهد بود: t=-2 و t=1/2

سپس بدست می آوریم: tg(2x)=-2 و tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

پاسخ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 و x=arctg(1/2)/2+ πk/2

مشکلات برای راه حل مستقل

الف) sin(7x)= 1/2 ب) cos(3x)= √3/2 ج) cos(-x) = -1 د) tg(4x) = √3 د) ctg(0.5x) = -1.7

2) معادلات را حل کنید: sin(3x)= √3/2. و تمام ریشه های قطعه [π/2; π].

3) معادله را حل کنید: تخت 2 (x) + 2 تخت (x) + 1 = 0

4) معادله را حل کنید: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) معادله را حل کنید: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) معادله را حل کنید: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

نحوه حل معادلات مثلثاتی:

هر معادله مثلثاتی باید به یکی از انواع زیر کاهش یابد:

\(\sin⁡t=a\)، \(\cos⁡t=a\)، tg\(t=a\)، ctg\(t=a\)

جایی که \(t\) یک عبارت با x است، \(a\) یک عدد است. چنین معادلات مثلثاتی نامیده می شوند ساده ترین. آنها را می توان به راحتی با استفاده از () یا فرمول های خاص حل کرد:

اینفوگرافیک حل معادلات مثلثاتی ساده را اینجا ببینید:، و.

پاسخ: \(\چپ[ \شروع(جمع‌شده)x=-\frac(π)(6)+2πk، \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn، \پایان (جمع‌شده)\راست.\) \(k,n∈Z\)

معنی هر نماد در فرمول ریشه های معادلات مثلثاتی را ببینید.

توجه!معادلات \(\sin⁡x=a\) و \(\cos⁡x=a\) هیچ جوابی ندارند اگر \(a ε (-∞;-1)∪(1;∞)\). زیرا سینوس و کسینوس برای هر x بزرگتر یا مساوی \(-1\) و کوچکتر یا مساوی \(1\) هستند:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

مثال . معادله \(\cos⁡x=-1,1\) را حل کنید.
راه حل: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
پاسخ : بدون راه حل

مثال . معادله مثلثاتی \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\ را حل کنید.
راه حل:

کاهش معادلات مثلثاتی به ساده ترین کار خلاقانه است.
- روش (محبوب ترین در آزمون دولتی واحد).
- روش.
- روش آرگومان های کمکی.

بیایید مثالی از حل معادله مثلثاتی درجه دوم را در نظر بگیریم

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	بیایید جایگزین \(t=\cos⁡x\) را ایجاد کنیم.
	معادله ما معمولی شده است. می توانید با استفاده از آن حل کنید.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	ما یک جایگزین معکوس می کنیم.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	با استفاده از دایره عددی معادله اول را حل می کنیم. معادله دوم هیچ راه حلی ندارد زیرا \(\cos⁡x∈[-1;1]\) و نمی تواند برای هر x برابر دو باشد.
	بیایید تمام اعداد موجود در این نقاط را یادداشت کنیم.

مثالی از حل معادله مثلثاتی با مطالعه ODZ:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	یک کسری وجود دارد و یک کوتانژانت وجود دارد - یعنی باید آن را یادداشت کنیم. اجازه دهید یادآوری کنم که یک کوتانژانت در واقع یک کسری است: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) بنابراین، ODZ برای ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	اجازه دهید "غیر راه حل" را روی دایره اعداد علامت گذاری کنیم.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	بیایید مخرج معادله را با ضرب آن در ctg\(x\) از شر آن خلاص کنیم. ما می توانیم این کار را انجام دهیم، زیرا در بالا نوشتیم که ctg\(x≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	بیایید فرمول زاویه دوگانه را برای سینوس اعمال کنیم: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	اگر دستان شما برای تقسیم بر کسینوس دراز است، آنها را به عقب بکشید! اگر یک عبارت با یک متغیر قطعاً برابر با صفر نباشد، می توانید آن را بر روی یک عبارت تقسیم کنید (به عنوان مثال، اینها: \(x^2+1.5^x\)). در عوض، بیایید \(\cos⁡x\) را از پرانتز خارج کنیم.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	بیایید معادله را به دو قسمت تقسیم کنیم.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	با استفاده از دایره عددی معادله اول را حل می کنیم. معادله دوم را بر \(2\) تقسیم کرده و \(\sin⁡x\) را به سمت راست حرکت دهید.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	ریشه های حاصل در ODZ گنجانده نشده اند. بنابراین در پاسخ آنها را یادداشت نمی کنیم. معادله دوم معمولی است. بیایید آن را بر \(\sin⁡x\) تقسیم کنیم (\(\sin⁡x=0\) نمی تواند راه حلی برای معادله باشد زیرا در این حالت \(\cos⁡x=1\) یا \(\cos⁡ x=-1\)).
	دوباره از دایره استفاده می کنیم.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\)، \(n∈Z\)	این ریشه ها توسط ODZ حذف نمی شوند، بنابراین می توانید آنها را در پاسخ بنویسید.

کلاس: 10

معادلات برای همیشه ادامه خواهند داشت.

الف. اینشتین

اهداف درس:

• آموزشی:
  • درک عمیق روش های حل معادلات مثلثاتی.
  • توسعه مهارت های تشخیص و انتخاب صحیح روش ها برای حل معادلات مثلثاتی.
• آموزشی:
  • پرورش علاقه شناختی به فرآیند آموزشی؛
  • توسعه توانایی تجزیه و تحلیل یک کار داده شده؛
  • کمک به بهبود جو روانی در کلاس درس.
• رشدی:
  • ترویج توسعه مهارت کسب مستقل دانش؛
  • تقویت توانایی دانش آموزان برای استدلال دیدگاه خود؛

تجهیزات:پوستر با فرمول های مثلثاتی اولیه، کامپیوتر، پروژکتور، صفحه نمایش.

1 درس

I. به روز رسانی دانش مرجع

حل معادلات شفاهی:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; به Z.

II. یادگیری مطالب جدید

- امروز به معادلات مثلثاتی پیچیده تر نگاه خواهیم کرد. بیایید به 10 راه برای حل آنها نگاه کنیم. بعد دو درس برای تثبیت و برای درس بعدی یک تست وجود دارد. در غرفه "For Lesson" وظایفی ارسال شده است که مشابه مواردی است که در آزمون وجود دارد، باید آنها را قبل از آزمون حل کنید. (روز قبل از آزمون، راه حل های این کارها را روی جایگاه قرار دهید).

بنابراین، بیایید به بررسی راه‌های حل معادلات مثلثاتی بپردازیم. برخی از این روش ها احتمالا برای شما دشوار به نظر می رسند، در حالی که برخی دیگر آسان به نظر می رسند، زیرا ... شما قبلاً چند تکنیک برای حل معادلات می دانید.

چهار دانش آموز در کلاس یک وظیفه فردی دریافت کردند: درک و نشان دادن 4 راه برای حل معادلات مثلثاتی.

(دانش آموزان سخنگو از قبل اسلایدهایی را آماده کرده اند. بقیه کلاس مراحل اصلی حل معادلات را در یک دفتر یادداشت می کنند.)

1 دانش آموز: 1 راه. حل معادلات با فاکتورگیری

sin 4x = 3 cos 2x

برای حل معادله از فرمول سینوس دو زاویه sin 2 = 2 sin cos استفاده می کنیم
2 گناه 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0،
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. حاصل ضرب این عوامل برابر با صفر است اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد.

2x = + k، k Z یا sin 2x = 1.5 - هیچ راه حلی وجود ندارد، زیرا | گناه| 1
x = + k; به Z.
پاسخ: x = + k، k Z.

2 دانش آموز. روش 2. حل معادلات با تبدیل مجموع یا تفاضل توابع مثلثاتی به حاصل ضرب

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

برای حل معادله از فرمول sin– sin = 2 sin сos استفاده می کنیم

cos 3x + 2 sin cos = 0،

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0،

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. معادله حاصل معادل مجموعه ای از دو معادله است:

مجموعه راه حل های معادله دوم به طور کامل در مجموعه راه حل های معادله اول گنجانده شده است. به معنای

پاسخ:

3 دانش آموز. 3 راه. حل معادلات با تبدیل حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع

sin 5x cos 3x = گناه 6x cos2x.

برای حل معادله از فرمول استفاده می کنیم

پاسخ:

4 دانش آموز. 4 راه. حل معادلاتی که به معادلات درجه دوم تقلیل می یابند

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 گناه x – 2 (1 – sin 2 x) = 0،
2 گناه 2 x + 3 گناه x – 2 = 0،

اجازه دهید sin x = t، که در آن | t |. معادله درجه دوم 2t 2 + 3t - 2 = 0 را به دست می آوریم،

D = 9 + 16 = 25.

بدین ترتیب . شرط را برآورده نمی کند | t |.

پس گناه x = . از همین رو .

پاسخ:

III. تلفیق آنچه از کتاب درسی توسط A. N. Kolmogorov آموخته شده است

1. شماره 164 (الف)، 167 (الف) (معادله درجه دوم)
2. شماره 168 (الف) (فاکتورسازی)
3. شماره 174 (الف) (تبدیل مبلغ به محصول)
4. (تبدیل محصول به جمع)

(در پایان درس، راه حل این معادلات را برای تأیید روی صفحه نمایش دهید)

№ 164 (آ)

2 گناه 2 x + گناه x – 1 = 0.
sin x = t، | t | 1. سپس
2 t 2 + t – 1 = 0، t = – 1، t= . جایی که

پاسخ: - .

№ 167 (آ)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

اجازه دهید tg x = 1، سپس معادله 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 را به دست می آوریم.

پاسخ:

№ 168 (آ)

پاسخ:

№ 174 (آ)

معادله را حل کنید:

پاسخ:

درس 2 (درس-سخنرانی)

IV. یادگیری مطالب جدید(ادامه)

– بنابراین، بیایید به مطالعه راه های حل معادلات مثلثاتی ادامه دهیم.

5 راه. حل معادلات مثلثاتی همگن

معادلات فرم a sin x + b cos x = 0، که در آن a و b برخی از اعداد هستند، معادلات همگن درجه اول نسبت به sin x یا cos x نامیده می شوند.

معادله را در نظر بگیرید

sin x – cos x = 0. بیایید هر دو طرف معادله را بر cos x تقسیم کنیم. این را می توان انجام داد، از دست دادن ریشه رخ نمی دهد، زیرا ، اگر cos x = 0،که sin x = 0. اما این با هویت مثلثاتی اصلی در تضاد است گناه 2 x + cos 2 x = 1.

ما گرفتیم tan x – 1 = 0.

قهوهای مایل به زرد x = 1،

معادلات فرم یک گناه 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0،جایی که الف، ب، ج -برخی از اعداد را معادلات همگن درجه دوم نسبت به sin x یا cos x می نامند.

معادله را در نظر بگیرید

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. بیایید هر دو طرف معادله را بر cos x تقسیم کنیم و ریشه از بین نخواهد رفت، زیرا cos x = 0 ریشه این معادله نیست.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

بگذارید tg x = t. D = 9 - 8 = 1.

سپس tg x = 2 یا tg x = 1.

در نتیجه x = arctan 2 + , x =

پاسخ: arctg 2 + ,

معادله دیگری را در نظر بگیرید: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
اجازه دهید سمت راست معادله را به شکل 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) تبدیل کنیم. سپس دریافت می کنیم:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x)
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (ما معادله 2 را بدست آوردیم که قبلاً آن را تحلیل کردیم).

پاسخ: arctan 2 + k،

6 راه. حل معادلات مثلثاتی خطی

معادله مثلثاتی خطی معادله ای از فرم است یک گناه x + b cos x = c، که در آن a، b، c برخی از اعداد هستند.

معادله را در نظر بگیرید sin x + cos x= – 1.
بیایید معادله را به صورت زیر بنویسیم:

با در نظر گرفتن آن و، دریافت می کنیم:

پاسخ:

7 راه. معرفی یک استدلال اضافی

اصطلاح a cos x + b sin xقابل تبدیل است:

(ما قبلاً از این تبدیل هنگام ساده سازی عبارات مثلثاتی استفاده کرده ایم)

اجازه دهید یک استدلال اضافی را معرفی کنیم - زاویه به گونه ای است که

سپس

معادله را در نظر بگیرید: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

مشق شب:شماره 164 -170 (ج، د).