Fonctions paires ou impaires. Graphique des fonctions paires et impaires

Une fonction est appelée paire (impaire) si pour tout et l'égalité

.

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe
.

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Exemple 6.2. Examiner si une fonction est paire ou impaire

1)
; 2)
; 3)
.

Solution.

1) La fonction est définie lorsque
. Nous trouverons
.

Ceux.
. Cela signifie que cette fonction est paire.

2) La fonction est définie lorsque

Ceux.
. Cette fonction est donc étrange.

3) la fonction est définie pour , c'est-à-dire Pour

,
. La fonction n’est donc ni paire ni impaire. Appelons cela une fonction de forme générale.

3. Etude de la fonction de monotonie.

Fonction
est appelé augmenter (diminuer) sur un certain intervalle si dans cet intervalle chaque valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande (plus petite) de la fonction.

Les fonctions croissantes (décroissantes) sur un certain intervalle sont appelées monotones.

Si la fonction
différentiable sur l'intervalle
et a une dérivée positive (négative)
, alors la fonction
augmente (diminue) sur cet intervalle.

Exemple 6.3. Trouver des intervalles de monotonie des fonctions

1)
; 3)
.

Solution.

1) Cette fonction est définie sur toute la droite numérique. Trouvons la dérivée.

La dérivée est égale à zéro si
Et
. Le domaine de définition est l'axe des nombres, divisé par des points
,
à intervalles. Déterminons le signe de la dérivée dans chaque intervalle.

Dans l'intervalle
la dérivée est négative, la fonction décroît sur cet intervalle.

Dans l'intervalle
la dérivée est positive, donc la fonction augmente sur cet intervalle.

2) Cette fonction est définie si
ou

.

Nous déterminons le signe du trinôme quadratique dans chaque intervalle.

Ainsi, le domaine de définition de la fonction

Trouvons la dérivée
,
, Si
, c'est-à-dire
, Mais
. Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles
.

Dans l'intervalle
la dérivée est négative, donc la fonction décroît sur l'intervalle
. Dans l'intervalle
la dérivée est positive, la fonction augmente sur l'intervalle
.

4. Etude de la fonction à l'extremum.

Point
appelé le point maximum (minimum) de la fonction
, s'il existe un tel voisinage du point c'est pour tout le monde
de ce quartier, l'inégalité persiste

.

Les points maximum et minimum d’une fonction sont appelés points extremum.

Si la fonction
au point a un extremum, alors la dérivée de la fonction en ce point est égale à zéro ou n'existe pas (condition nécessaire à l'existence d'un extremum).

Les points auxquels la dérivée est nulle ou n'existe pas sont appelés critiques.

5. Conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum.

Règle 1. Si pendant la transition (de gauche à droite) par le point critique dérivé
change de signe de « + » à « – », puis au point fonction
a un maximum ; si de « – » à « + », alors le minimum ; Si
ne change pas de signe, alors il n’y a pas d’extremum.

Règle 2. Laissez au point
dérivée première d'une fonction
égal à zéro
, et la dérivée seconde existe et est différente de zéro. Si
, Que – point maximum, si
, Que – point minimum de la fonction.

Exemple 6.4 . Explorez les fonctions maximales et minimales :

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solution.

1) La fonction est définie et continue sur l'intervalle
.

Trouvons la dérivée
et résoudre l'équation
, c'est-à-dire
.D'ici
– les points critiques.

Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles ,
.

Lors du passage par des points
Et
la dérivée change de signe de « – » à « + », donc, selon la règle 1
– un minimum de points.

En passant par un point
la dérivée change de signe de « + » à « – », donc
– point maximum.

,
.

2) La fonction est définie et continue dans l'intervalle
. Trouvons la dérivée
.

Après avoir résolu l'équation
, nous trouverons
Et
– les points critiques. Si le dénominateur
, c'est-à-dire
, alors la dérivée n’existe pas. Donc,
– troisième point critique. Déterminons le signe de la dérivée par intervalles.

Par conséquent, la fonction a un minimum au point
, maximum en points
Et
.

3) Une fonction est définie et continue si
, c'est-à-dire à
.

Trouvons la dérivée

.

Trouvons les points critiques :

Quartiers de points
n’appartiennent pas au domaine de la définition, ils ne sont donc pas des extrema. Alors, examinons les points critiques
Et
.

4) La fonction est définie et continue sur l'intervalle
. Utilisons la règle 2. Trouvez la dérivée
.

Trouvons les points critiques :

Trouvons la dérivée seconde
et déterminer son signe aux points

Aux points
la fonction a un minimum.

Aux points
la fonction a un maximum.

Même fonction.

Même est une fonction dont le signe ne change pas lorsque le signe change x.

x l'égalité est vraie f(–x) = f(x). Signe x n'affecte pas le signe oui.

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des coordonnées (Fig. 1).

Exemples de fonction paire :

oui=cos x

oui = x 2

oui = –x 2

oui = x 4

oui = x 6

oui = x 2 + x

Explication:
Prenons la fonction oui = x 2 ou oui = –x 2 .
Pour n'importe quelle valeur x la fonction est positive. Signe x n'affecte pas le signe oui. Le graphique est symétrique par rapport à l’axe des coordonnées. C'est une fonction paire.

Fonction étrange.

Impair est une fonction dont le signe change lorsque le signe change x.

Autrement dit, quelle que soit la valeur x l'égalité est vraie f(–x) = –f(x).

Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine (Fig. 2).

Exemples de fonction impaire :

oui= péché x

oui = x 3

oui = –x 3

Explication:

Prenons la fonction y = – x 3 .
Toutes les significations à il aura un signe moins. C'est un signe x influence le signe oui. Si la variable indépendante est un nombre positif, alors la fonction est positive, si la variable indépendante est un nombre négatif, alors la fonction est négative : f(–x) = –f(x).
Le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine. C'est une fonction étrange.

Propriétés des fonctions paires et impaires :

NOTE:

Toutes les fonctions ne sont pas paires ou impaires. Il existe des fonctions qui n'obéissent pas à une telle gradation. Par exemple, la fonction racine à = √X ne s'applique ni aux fonctions paires ni aux fonctions impaires (Fig. 3). Lors de la liste des propriétés de telles fonctions, une description appropriée doit être donnée : ni paire ni impaire.

Fonctions périodiques.

Comme vous le savez, la périodicité est la répétition de certains processus à un certain intervalle. Les fonctions qui décrivent ces processus sont appelées fonctions périodiques. Autrement dit, ce sont des fonctions dans les graphiques desquelles se trouvent des éléments qui se répètent à certains intervalles numériques.

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Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si ce travail vous intéresse, veuillez télécharger la version complète.

Objectifs:

• formuler le concept de fonctions paires et impaires, enseigner la capacité de déterminer et d'utiliser ces propriétés lors de l'étude de fonctions et de la construction de graphiques ;
• développer l’activité créative des élèves, leur pensée logique, leur capacité à comparer et à généraliser ;
• cultiver le travail acharné et la culture mathématique ; développer des compétences en communication .

Équipement: installation multimédia, tableau blanc interactif, polycopiés.

Formes de travail : frontal et groupe avec des éléments d'activités de recherche et de recherche.

Sources d'informations :

1. Algèbre 9e classe A.G. Mordkovitch. Manuel.
2. Algèbre 9e année A.G. Mordkovitch. Livre de problèmes.
3. Algèbre 9e année. Tâches pour l'apprentissage et le développement des élèves. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.

DÉROULEMENT DE LA LEÇON

1. Moment organisationnel

Fixer des buts et des objectifs pour la leçon.

2. Vérification des devoirs

N° 10.17 (livre de problèmes de 9e année. A.G. Mordkovich).

UN) à = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2.E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 à X ~ 0,4
4. f(X) >0 à X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La fonction augmente avec X € [– 2; + ∞)
6. La fonction est limitée par le bas.
7. à naïm = – 3, à Naib n'existe pas
8. La fonction est continue.

(Avez-vous utilisé un algorithme d'exploration de fonctions ?) Glisser.

2. Vérifions le tableau qui vous a été demandé dans la diapositive.

Remplissez le tableau
	Domaine de définition	Zéros de fonction	Intervalles de constance des signes		Coordonnées des points d'intersection du graphique avec Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞ ; –5) U U(2;∞)	x € (–5 ; 2)

3. Actualisation des connaissances

– Les fonctions sont données.
– Préciser le périmètre de définition de chaque fonction.
– Comparez la valeur de chaque fonction pour chaque paire de valeurs d'argument : 1 et – 1 ; 2 et – 2.
– Pour laquelle de ces fonctions dans le domaine de définition les égalités sont vraies f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (entrez les données obtenues dans le tableau) Glisser

4. Nouveau matériel

– En faisant ce travail, les gars, nous avons identifié une autre propriété de la fonction, qui ne vous est pas familière, mais non moins importante que les autres - c'est la régularité et l'étrangeté de la fonction. Notez le sujet de la leçon : « Fonctions paires et impaires », notre tâche est d'apprendre à déterminer la régularité et l'impair d'une fonction, de découvrir l'importance de cette propriété dans l'étude des fonctions et le tracé de graphiques.
Alors, retrouvons les définitions dans le manuel et lisons (p. 110) . Glisser

Déf. 1 Fonction à = f (X), défini sur l'ensemble X est appelé même, si pour une valeur XЄ X est exécuté égalité f(–x)= f(x). Donnez des exemples.

Déf. 2 Fonction y = f(x), défini sur l'ensemble X est appelé impair, si pour une valeur XЄ X l'égalité f(–х)= –f(х) est vraie. Donnez des exemples.

Où avons-nous rencontré les termes « pair » et « impair » ?
Selon vous, laquelle de ces fonctions sera paire ? Pourquoi? Lesquels sont étranges ? Pourquoi?
Pour toute fonction du formulaire à= xn, Où n– un entier, on peut affirmer que la fonction est impaire lorsque n– impair et la fonction est paire quand n- même.
– Afficher les fonctions à= et à = 2X– 3 ne sont ni pairs ni impairs, car les égalités ne sont pas satisfaites f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

L’étude du caractère pair ou impair d’une fonction est appelée étude d’une fonction de parité. Glisser

Dans les définitions 1 et 2, nous parlions des valeurs de la fonction en x et – x, on suppose donc que la fonction est également définie à la valeur X, et à – X.

Déf 3. Si un ensemble numérique, avec chacun de ses éléments x, contient également l'élément opposé –x, alors l'ensemble X appelé un ensemble symétrique.

Exemples :

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sont des ensembles symétriques, et , [–5;4] sont asymétriques.

– Les fonctions paires ont-elles un domaine de définition qui est un ensemble symétrique ? Les étranges ?
– Si D( f) est un ensemble asymétrique, alors quelle est la fonction ?
– Ainsi, si la fonction à = f(X) – pair ou impair, alors son domaine de définition est D( f) est un ensemble symétrique. L'affirmation inverse est-elle vraie : si le domaine de définition d'une fonction est un ensemble symétrique, alors est-il pair ou impair ?
– Cela signifie que la présence d’un ensemble symétrique du domaine de définition est une condition nécessaire, mais pas suffisante.
– Alors, comment examiner une fonction pour la parité ? Essayons de créer un algorithme.

Glisser

Algorithme d'étude d'une fonction pour la parité

1. Déterminer si le domaine de définition de la fonction est symétrique. Sinon, la fonction n’est ni paire ni impaire. Si oui, passez à l’étape 2 de l’algorithme.

2. Écrivez une expression pour f(–X).

3. Comparez f(–X).Et f(X):

• Si f(–X).= f(X), alors la fonction est paire ;
• Si f(–X).= – f(X), alors la fonction est impaire ;
• Si f(–X) ≠ f(X) Et f(–X) ≠ –f(X), alors la fonction n’est ni paire ni impaire.

Exemples :

Examiner la fonction a) pour la parité à= x 5 + ; b) à= ; V) à= .

Solution.

une) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), ensemble symétrique.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => fonction h(x)= x 5 + impair.

b) y =,

à = f(X), D(f) = (–∞; –9) ? (–9; +∞), un ensemble asymétrique, ce qui signifie que la fonction n'est ni paire ni impaire.

V) f(X) = , y = f (x),

1) ré( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Option 2

1. L'ensemble donné est-il symétrique : a) [–2;2] ; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

Contrôle mutuel glisser.

6. Devoirs : №11.11, 11.21,11.22;

Preuve de la signification géométrique de la propriété de parité.

***(Attribution de l'option Examen d'État unifié).

1. La fonction impaire y = f(x) est définie sur toute la droite numérique. Pour toute valeur non négative de la variable x, la valeur de cette fonction coïncide avec la valeur de la fonction g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Trouver la valeur de la fonction h( X) = à X = 3.

7. Résumé

Définition 1. La fonction est appelée même (impair ), si avec chaque valeur de variable
signification - X appartient également
et l'égalité est vraie

Ainsi, une fonction ne peut être paire ou impaire que si son domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine des coordonnées sur la droite numérique (nombre X Et - X appartenir en même temps
). Par exemple, la fonction
n'est ni pair ni impair, puisque son domaine de définition
pas symétrique par rapport à l'origine.

Fonction
même, parce que
symétrique par rapport à l'origine et.

Fonction
étrange, parce que
Et
.

Fonction
n'est ni pair ni impair, car même si
et est symétrique par rapport à l'origine, les égalités (11.1) ne sont pas satisfaites. Par exemple,.

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Oh, parce que si le point

fait également partie du calendrier. Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine, puisque si
appartient au graphe, alors le point
fait également partie du calendrier.

Pour prouver si une fonction est paire ou impaire, les instructions suivantes sont utiles.

Théorème 1. a) La somme de deux fonctions paires (impaires) est une fonction paire (impaire).

b) Le produit de deux fonctions paires (impaires) est une fonction paire.

c) Le produit d’une fonction paire et impaire est une fonction impaire.

d) Si f– même fonction sur le plateau X, et la fonction g défini sur le plateau
, alors la fonction
- même.

d) Si f– fonction étrange sur le plateau X, et la fonction g défini sur le plateau
et pair (impair), alors la fonction
– pair (impair).

Preuve. Démontrons, par exemple, b) et d).

b) Laissez
Et
– même les fonctions. Alors donc. Le cas des fonctions impaires est traité de la même manière
Et
.

d) Laissez f est une fonction paire. Alors.

Les autres affirmations du théorème peuvent être prouvées de la même manière. Le théorème a été prouvé.

Théorème 2. N'importe quelle fonction
, défini sur l'ensemble X, symétrique par rapport à l'origine, peut être représenté comme une somme de fonctions paires et impaires.

Preuve. Fonction
peut s'écrire sous la forme

.

Fonction
– même, parce que
, et la fonction
– bizarre, parce que. Ainsi,
, Où
– même, et
– des fonctions étranges. Le théorème a été prouvé.

Définition 2. Fonction
appelé périodique , s'il y a un numéro
, de telle sorte que pour tout
Nombres
Et
appartiennent également au domaine de la définition
et les égalités sont satisfaites

Un tel numéro T appelé période fonctions
.

De la définition 1, il s’ensuit que si T– durée de la fonction
, puis le nombre – T Même est la période de la fonction
(car lors du remplacement T sur - T l’égalité est maintenue). En utilisant la méthode d’induction mathématique, on peut montrer que si T– durée de la fonction f, alors
, est aussi un point. Il s’ensuit que si une fonction a une période, alors elle a une infinité de périodes.

Définition 3. La plus petite des périodes positives d'une fonction est appelée sa principal période.

Théorème 3. Si T– période principale de la fonction f, alors les périodes restantes en sont des multiples.

Preuve. Supposons le contraire, c'est-à-dire qu'il existe une période fonctions f (>0), pas plusieurs T. Puis, en divisant sur T avec le reste, on obtient
, Où
. C'est pourquoi

c'est – durée de la fonction f, et
, et cela contredit le fait que T– période principale de la fonction f. L’énoncé du théorème découle de la contradiction qui en résulte. Le théorème a été prouvé.

Il est bien connu que les fonctions trigonométriques sont périodiques. Période principale
Et
est égal
,
Et
. Trouvons la période de la fonction
. Laisser
- la durée de cette fonction. Alors

(parce que
.

ouou
.

Signification T, déterminé à partir de la première égalité, ne peut pas être une période, puisqu'il dépend de X, c'est-à-dire est une fonction de X, et non un nombre constant. La période est déterminée à partir de la deuxième égalité :
. Il existe une infinité de périodes, avec
la plus petite période positive est obtenue à
:
. C'est la période principale de la fonction
.

Un exemple de fonction périodique plus complexe est la fonction Dirichlet

Notez que si T est un nombre rationnel, alors
Et
sont des nombres rationnels pour rationnels X et irrationnel quand irrationnel X. C'est pourquoi

pour tout nombre rationnel T. Donc tout nombre rationnel T est la période de la fonction Dirichlet. Il est clair que cette fonction n'a pas de période principale, puisqu'il existe des nombres rationnels positifs arbitrairement proches de zéro (par exemple, un nombre rationnel peut être fait en choisissant n arbitrairement proche de zéro).

Théorème 4. Si la fonction f défini sur le plateau X et a une période T, et la fonction g défini sur le plateau
, alors une fonction complexe
a aussi une période T.

Preuve. Nous avons donc

c'est-à-dire que l'énoncé du théorème est prouvé.

Par exemple, puisque parce que x a une période
, alors les fonctions
avoir des règles
.

Définition 4. Les fonctions qui ne sont pas périodiques sont appelées non périodique .

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Méthodes de spécification d'une fonction

Soit la fonction donnée par la formule : y=2x^(2)-3. En attribuant des valeurs à la variable indépendante x, vous pouvez calculer, à l'aide de cette formule, les valeurs correspondantes de la variable dépendante y. Par exemple, si x=-0,5, alors, en utilisant la formule, nous constatons que la valeur correspondante de y est y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

En prenant n'importe quelle valeur prise par l'argument x dans la formule y=2x^(2)-3, vous ne pouvez calculer qu'une seule valeur de la fonction qui lui correspond. La fonction peut être représentée sous forme de tableau :

En utilisant ce tableau, vous pouvez voir qu'à la valeur de l'argument −1 la valeur de la fonction −3 correspondra ; et la valeur x=2 correspondra à y=0, etc. Il est également important de savoir que chaque valeur d’argument du tableau correspond à une seule valeur de fonction.

Plus de fonctions peuvent être spécifiées à l'aide de graphiques. À l'aide d'un graphique, il est établi quelle valeur de la fonction est en corrélation avec une certaine valeur x. Le plus souvent, il s'agira d'une valeur approximative de la fonction.

Fonction paire et impaire

La fonction est même fonction, quand f(-x)=f(x) pour tout x du domaine de définition. Une telle fonction sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

La fonction est fonction impaire, quand f(-x)=-f(x) pour tout x du domaine de définition. Une telle fonction sera symétrique par rapport à l'origine O (0;0) .

La fonction est même pas, ni bizarre et s'appelle fonction générale, lorsqu'il n'a pas de symétrie par rapport à l'axe ou à l'origine.

Examinons la fonction de parité suivante :

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) avec un domaine de définition symétrique par rapport à l'origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Cela signifie que la fonction f(x)=3x^(3)-7x^(7) est impaire.

Fonction périodique

La fonction y=f(x) , dans le domaine dont l'égalité f(x+T)=f(x-T)=f(x) est vraie pour tout x, est appelée fonction périodique de période T \neq 0 .

Répéter le graphique d'une fonction sur n'importe quel segment de l'axe des x de longueur T.

Les intervalles où la fonction est positive, c'est-à-dire f(x) > 0, sont des segments de l'axe des abscisses qui correspondent aux points du graphe de fonctions situés au-dessus de l'axe des abscisses.

f(x) > 0 sur (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalles où la fonction est négative, c'est-à-dire f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Fonction limitée

Délimité par le bas Il est d'usage d'appeler une fonction y=f(x), x \in X lorsqu'il existe un nombre A pour lequel l'inégalité f(x) \geq A est valable pour tout x \in X .

Un exemple de fonction délimitée par le bas : y=\sqrt(1+x^(2)) puisque y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pour tout x .

Délimité par le haut une fonction y=f(x), x \in X est appelée lorsqu'il existe un nombre B pour lequel l'inégalité f(x) \neq B est vraie pour tout x \in X .

Un exemple de fonction délimitée ci-dessous : y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] puisque y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pour tout x \in [-1;1] .

Limité Il est d'usage d'appeler une fonction y=f(x), x \in X lorsqu'il existe un nombre K > 0 pour lequel l'inégalité \left | f(x)\droite | \neq K pour tout x \in X .

Un exemple de fonction limitée : y=\sin x est limitée sur tout l'axe des nombres, puisque \gauche | \péché x \droit | \neq 1.

Fonction croissante et décroissante

Il est d'usage de parler d'une fonction qui augmente sur l'intervalle considéré comme fonction croissante puis, lorsqu'une plus grande valeur de x correspond à une plus grande valeur de la fonction y=f(x) . Il s'ensuit qu'en prenant deux valeurs arbitraires de l'argument x_(1) et x_(2) de l'intervalle considéré, avec x_(1) > x_(2) , le résultat sera y(x_(1)) > y(x_(2)).

Une fonction qui décroît sur l'intervalle considéré est appelée fonction décroissante lorsqu'une plus grande valeur de x correspond à une plus petite valeur de la fonction y(x) . Il s'ensuit qu'en prenant deux valeurs arbitraires de l'argument x_(1) et x_(2) de l'intervalle considéré, avec x_(1) > x_(2) , le résultat sera y(x_(1))< y(x_{2}) .

Racines de fonction Il est d'usage d'appeler les points auxquels la fonction F=y(x) coupe l'axe des abscisses (ils sont obtenus en résolvant l'équation y(x)=0).

a) Si pour x > 0 une fonction paire augmente, alors elle diminue pour x< 0

b) Lorsqu'une fonction paire décroît à x > 0, alors elle augmente à x< 0

c) Lorsqu'une fonction impaire augmente à x > 0, alors elle augmente également à x< 0

d) Lorsqu'une fonction impaire diminue pour x > 0, alors elle diminuera également pour x< 0

Extréma de la fonction

Point minimum de la fonction y=f(x) est généralement appelé un point x=x_(0) dont le voisinage aura d'autres points (sauf le point x=x_(0)), et pour eux l'inégalité f(x) > f sera alors satisfait (x_(0)) . y_(min) - désignation de la fonction au point min.

Point maximum de la fonction y=f(x) est généralement appelé un point x=x_(0) dont le voisinage aura d'autres points (sauf le point x=x_(0)), et pour eux l'inégalité f(x) sera alors satisfaite< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Condition préalable

D'après le théorème de Fermat : f"(x)=0 lorsque la fonction f(x) qui est différentiable au point x_(0) aura un extremum en ce point.

État suffisant

1. Lorsque la dérivée change de signe de plus à moins, alors x_(0) sera le point minimum ;
2. x_(0) - sera un point maximum uniquement lorsque la dérivée change de signe de moins à plus en passant par le point stationnaire x_(0) .

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle

Étapes de calcul :

1. La dérivée f"(x) est recherchée ;
2. Les points stationnaires et critiques de la fonction sont trouvés et ceux appartenant au segment sont sélectionnés ;
3. Les valeurs de la fonction f(x) se trouvent aux points et extrémités stationnaires et critiques du segment. Le plus petit des résultats obtenus sera la plus petite valeur de la fonction, et plus encore - le plus grand.