Formes géométriques. Cours complets – Hypermarché du savoir

Cercle est une ligne plate et fermée dont tous les points sont à la même distance d'un certain point (point O), appelé centre du cercle.
(Un cercle est une figure géométrique constituée de tous les points situés à une distance donnée d'un point donné.)

Cercle est une partie du plan limitée par un cercle. Le point O est aussi appelé centre du cercle.

La distance d'un point d'un cercle à son centre, ainsi que le segment reliant le centre du cercle à son point, est appelée rayon. cercle/cercle.
Découvrez comment le cercle et la circonférence sont utilisés dans notre vie, notre art et notre design.

Accord - Grec - une corde qui lie quelque chose ensemble
Diamètre - "mesure à travers"

FORME RONDE

Les angles peuvent apparaître en quantités toujours croissantes et, par conséquent, acquérir une rotation toujours croissante - jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement et que le plan devienne un cercle.Il s’agit d’un cas à la fois très simple et très complexe, dont je voudrais parler en détail. Il convient de noter ici que la simplicité et la complexité sont dues à l’absence d’angles. Le cercle est simple parce que la pression de ses limites, par rapport aux formes rectangulaires, est nivelée - les différences ici ne sont pas si grandes. C'est complexe parce que le haut se jette imperceptiblement vers la gauche et la droite, et la gauche et la droite vers le bas.

V. Kandinsky

Dans la Grèce antique, le cercle et la circonférence étaient considérés comme la couronne de la perfection. En effet, en chaque point le cercle est disposé de la même façon, ce qui lui permet de se déplacer tout seul. Cette propriété du cercle a rendu la roue possible, puisque l'essieu et le moyeu de la roue doivent être en contact à tout moment.

De nombreuses propriétés utiles d'un cercle sont étudiées à l'école. Un des plus beaux théorèmes est le suivant : traçons une droite passant par un point donné coupant un cercle donné, puis le produit des distances de ce point à les points d'intersection d'un cercle avec une ligne droite ne dépendent pas exactement de la manière dont la ligne droite a été tracée. Ce théorème date d’environ deux mille ans.

Sur la fig. La figure 2 montre deux cercles et une chaîne de cercles dont chacun touche ces deux cercles et deux voisins dans la chaîne. Le géomètre suisse Jacob Steiner a prouvé il y a environ 150 ans l'affirmation suivante : si la chaîne est fermée pour un certain choix du troisième cercle, alors elle sera fermée pour tout autre choix du troisième cercle. Il s'ensuit que si la chaîne n'est pas fermée une fois, alors elle ne sera fermée pour aucun choix du troisième cercle. À l'artiste qui a peintchaîne représentée, il faudrait travailler dur pour la faire fonctionner, ou se tourner vers un mathématicien pour calculer l'emplacement des deux premiers cercles, au niveau desquels la chaîne est fermée.

Nous avons évoqué la roue en premier, mais avant même la roue, les gens utilisaient des bûches rondes- des rouleaux pour le transport de charges lourdes.

Est-il possible d'utiliser des rouleaux d'une autre forme que ronde ? AllemandL'ingénieur Franz Relo a découvert que les rouleaux dont la forme est illustrée sur la figure ont la même propriété. 3. Cette figure est obtenue en traçant des arcs de cercle dont les centres sont aux sommets d'un triangle équilatéral, reliant deux autres sommets. Si nous traçons deux tangentes parallèles à cette figure, alors la distance entreils seront égaux à la longueur du côté du triangle équilatéral d'origine, donc ces rouleaux ne sont pas pires que les ronds. Plus tard, d'autres figures ont été inventées pouvant servir de rouleaux.

Enz. "J'explore le monde. Mathématiques", 2006

Chaque triangle a, et d'ailleurs, un seul, cercle à neuf points. Ceun cercle passant par les trois triplets de points suivants dont les positions sont déterminées pour le triangle : les bases de ses altitudes D1 D2 et D3, les bases de ses médianes D4, D5 et D6les milieux de D7, D8 et D9 de segments de droite depuis le point d'intersection de ses hauteurs H jusqu'à ses sommets.

Ce cercle, trouvé au XVIIIe siècle. du grand scientifique L. Euler (c'est pourquoi on l'appelle souvent aussi cercle d'Euler), a été redécouvert au siècle suivant par un professeur d'un gymnase provincial en Allemagne. Le nom de ce professeur était Karl Feuerbach (il était le frère du célèbre philosophe Ludwig Feuerbach).De plus, K. Feuerbach a découvert qu'un cercle de neuf points comporte quatre autres points étroitement liés à la géométrie d'un triangle donné. Ce sont les points de contact avec quatre cercles d'un type particulier. L'un de ces cercles est inscrit, les trois autres sont des excercles. Ils sont inscrits dans les coins du triangle et touchent extérieurement ses côtés. Les points de contact de ces cercles avec le cercle des neuf points D10, D11, D12 et D13 sont appelés points de Feuerbach. Ainsi, le cercle de neuf points est en réalité le cercle de treize points.

Ce cercle est très facile à construire si l’on connaît ses deux propriétés. Premièrement, le centre du cercle de neuf points se situe au milieu du segment reliant le centre du cercle circonscrit du triangle au point H - son orthocentre (le point d'intersection de ses altitudes). Deuxièmement, son rayon pour un triangle donné est égal à la moitié du rayon du cercle qui l'entoure.

Enz. ouvrage de référence pour jeunes mathématiciens, 1989

La forme d'un cercle est intéressante du point de vue de l'occultisme, de la magie et des significations anciennes qui y sont attachées par les gens. Tous les plus petits composants qui nous entourent – ​​atomes et molécules – ont une forme ronde. Le soleil est rond, la lune est ronde, notre planète est ronde aussi. Les molécules d’eau – la base de tous les êtres vivants – ont également une forme ronde. Même la nature crée sa vie en rond. Par exemple, vous pouvez vous souvenir d'un nid d'oiseau - les oiseaux le fabriquent également sous cette forme.

Cette figure dans les pensées anciennes des cultures

Le cercle est un symbole d'unité. Il est présent dans toutes les cultures dans de nombreux détails. Nous n'attachons même pas autant d'importance à cette forme que nos ancêtres.

Depuis l'Antiquité, un cercle est le signe d'une ligne sans fin, qui symbolise le temps et l'éternité. À l’époque préchrétienne, c’était l’ancien signe de la roue du soleil. Tous les points sont équivalents, la ligne d'un cercle n'a ni début ni fin.

Et le centre du cercle était la source d’une rotation sans fin de l’espace et du temps pour les maçons. Le cercle est la fin de toutes les figures ; ce n'est pas pour rien que le secret de la création y était contenu, selon les francs-maçons. La forme du cadran de la montre, qui présente également cette forme, dénote un retour indispensable au point de départ.

Cette figure a une composition magique et mystique profonde, qui a été dotée par de nombreuses générations de personnes de différentes cultures. Mais qu’est-ce qu’un cercle en tant que figure géométrique ?

Qu'est-ce qu'un cercle

La notion de cercle est souvent confondue avec la notion de cercle. Ce n’est pas étonnant, car ils sont très étroitement liés. Même leurs noms sont similaires, ce qui provoque beaucoup de confusion dans l'esprit immature des écoliers. Pour comprendre « qui est qui », examinons ces questions plus en détail.

Par définition, un cercle est une courbe fermée, et dont chaque point est équidistant d'un point appelé centre du cercle.

Ce que vous devez savoir et ce que vous pouvez utiliser pour construire un cercle

Pour construire un cercle, il suffit de sélectionner un point arbitraire, qui peut être désigné par O (c'est ainsi qu'on appelle le centre du cercle dans la plupart des sources, nous ne nous écarterons pas des notations traditionnelles). L'étape suivante consiste à utiliser une boussole - un outil de dessin composé de deux parties avec soit une aiguille, soit un élément d'écriture attaché à chacune d'elles.

Ces deux pièces sont reliées entre elles par une charnière, ce qui permet de choisir un rayon arbitraire dans certaines limites liées à la longueur de ces mêmes pièces. A l'aide de cet appareil, la pointe d'une boussole est installée à un point arbitraire O, et une courbe est déjà tracée au crayon, qui s'avère finalement être un cercle.

Quelles sont les dimensions d'un cercle ?

Si nous connectons le centre du cercle et tout point arbitraire sur la courbe obtenue en travaillant avec une boussole à l'aide d'une règle, nous obtenons. Tous ces segments, appelés rayons, seront égaux. Si l'on relie deux points du cercle et le centre avec une ligne droite à l'aide d'une règle, on obtient son diamètre.

Un cercle se caractérise également par le calcul de sa longueur. Pour le trouver, il faut connaître soit le diamètre, soit le rayon du cercle et utiliser la formule présentée dans la figure ci-dessous.

Dans cette formule, C est la circonférence, r est le rayon du cercle, d est le diamètre et Pi est une constante de valeur 3,14.

À propos, la constante Pi a été calculée uniquement à partir du cercle.

Il s'est avéré que quel que soit le diamètre du cercle, le rapport circonférence/diamètre est le même, égal à environ 3,14.

Quelle est la principale différence entre un cercle et un cercle ?

Essentiellement, un cercle est une ligne. Ce n’est pas une figure, c’est une ligne courbe fermée qui n’a ni fin ni début. Et l'espace qui se trouve à l'intérieur est le vide. L'exemple le plus simple de cercle est un cerceau ou, en d'autres termes, un cerceau, que les enfants utilisent dans les cours d'éducation physique ou que les adultes utilisent pour créer une taille fine.

Venons-en maintenant au concept de ce qu’est un cercle. Il s'agit avant tout d'une figure, c'est-à-dire d'un certain ensemble de points délimités par une ligne. Dans le cas d’un cercle, cette droite est le cercle évoqué ci-dessus. Il s'avère qu'un cercle est un cercle au milieu duquel il n'y a pas de vide, mais de nombreux points dans l'espace. Si nous étirons du tissu sur un cerceau, nous ne pourrons plus le faire tourner, car ce ne sera plus un cercle - son vide est remplacé par du tissu, un morceau d'espace.

Passons directement à la notion de cercle

Un cercle est une figure géométrique qui fait partie d'un plan délimité par un cercle. Il est également caractérisé par des concepts tels que le rayon et le diamètre, évoqués ci-dessus lors de la définition d'un cercle. Et ils sont calculés exactement de la même manière. Le rayon d'un cercle et le rayon d'un cercle sont de taille identique. En conséquence, la longueur du diamètre est également similaire dans les deux cas.

Puisqu’un cercle fait partie d’un plan, il se caractérise par la présence d’une aire. Vous pouvez le recalculer en utilisant le rayon et Pi. La formule ressemble à ceci (voir image ci-dessous).

Dans cette formule, S est l'aire, r est le rayon du cercle. Pi est à nouveau la même constante, égale à 3,14.

La formule du cercle, qui peut également être calculée à partir du diamètre, change et prend la forme illustrée dans la figure suivante.

Un quart vient du fait que le rayon est égal à la moitié du diamètre. Si le rayon est au carré, il s'avère que la relation se transforme sous la forme :

r*r = 1/2*d*1/2*d;

Un cercle est une figure dans laquelle des parties individuelles, par exemple un secteur, peuvent être distinguées. Il ressemble à une partie d'un cercle limité par un segment d'arc et ses deux rayons tirés du centre.

La formule qui permet de calculer la superficie d'un secteur donné est présentée dans la figure ci-dessous.

Utiliser des formes dans des problèmes de polygones

De plus, un cercle est une figure géométrique souvent utilisée en conjonction avec d’autres figures. Par exemple, comme un triangle, un trapèze, un carré ou un losange. Il y a souvent des problèmes où il faut trouver l'aire d'un cercle inscrit ou, à l'inverse, circonscrit autour d'une certaine figure.

Un cercle inscrit est un cercle qui touche tous les côtés du polygone. Le cercle doit avoir un point de contact avec chaque côté de n'importe quel polygone.

Pour un certain type de polygone, la détermination du rayon du cercle inscrit est calculée selon des règles distinctes, clairement expliquées dans le cours de géométrie.

Nous pouvons en citer quelques exemples. La formule d'un cercle inscrit dans des polygones peut être calculée comme suit (plusieurs exemples sont présentés sur la photo ci-dessous).

Quelques exemples simples et concrets pour renforcer votre compréhension de la différence entre un cercle et un cercle

Devant nous S'il est ouvert, le bord en fer de la trappe est un cercle. S'il est fermé, le couvercle agit comme un cercle.

Un cercle peut également être appelé n'importe quelle bague - en or, en argent ou en bijoux. L'anneau qui contient un trousseau de clés est aussi un cercle.

Mais un aimant rond sur le réfrigérateur, une assiette ou des crêpes cuites par grand-mère forment un cercle.

Le goulot d'une bouteille ou d'un pot vu de dessus est un cercle, mais le couvercle qui ferme ce goulot est un cercle vu de dessus.

De nombreux exemples de ce type peuvent être donnés, et pour assimiler ce matériel, il faut les donner afin que les enfants comprennent mieux le lien entre théorie et pratique.

ET cercle- des formes géométriques interconnectées. il y a une ligne brisée de frontière (courbe) cercle,

Définition. Un cercle est une courbe fermée dont chaque point est équidistant d’un point appelé centre du cercle.

Pour construire un cercle, un point arbitraire O est sélectionné, pris comme centre du cercle, et une ligne fermée est tracée à l'aide d'un compas.

Si le point O du centre du cercle est connecté à des points arbitraires du cercle, alors tous les segments résultants seront égaux les uns aux autres, et ces segments sont appelés rayons, abrégés par la lettre latine minuscule ou majuscule « er » ( r ou R.). Vous pouvez tracer autant de rayons dans un cercle qu’il y a de points sur la longueur du cercle.

Un segment reliant deux points d'un cercle et passant par son centre est appelé diamètre. Diamètre se compose de deux rayons, couché sur la même ligne droite. Le diamètre est indiqué par la lettre latine minuscule ou majuscule « de » ( d ou D).

Règle. Diamètre un cercle est égal à deux de ses rayons.

d = 2r
D=2R

La circonférence d'un cercle est calculée par la formule et dépend du rayon (diamètre) du cercle. La formule contient le nombre ¶, qui indique combien de fois la circonférence est supérieure à son diamètre. Le nombre ¶ a un nombre infini de décimales. Pour les calculs, ¶ = 3,14 a été pris.

La circonférence d'un cercle est désignée par la lettre majuscule latine « tse » ( C). La circonférence d'un cercle est proportionnelle à son diamètre. Formules pour calculer la circonférence d'un cercle en fonction de son rayon et de son diamètre :

C = ¶d
C = 2¶r

• Exemples
• Étant donné : d = 100 cm.
• Circonférence : C=3,14*100 cm=314 cm
• Étant donné : d = 25 mm.
• Circonférence : C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Circulaire sécante et arc de cercle

Chaque sécante (ligne droite) coupe un cercle en deux points et le divise en deux arcs. La taille de l'arc de cercle dépend de la distance entre le centre et la sécante et se mesure le long d'une courbe fermée depuis le premier point d'intersection de la sécante avec le cercle jusqu'au second.

Arcs les cercles sont divisés sécante en une majeure et une mineure si la sécante ne coïncide pas avec le diamètre, et en deux arcs égaux si la sécante passe le long du diamètre du cercle.

Si une sécante passe par le centre d'un cercle, alors son segment situé entre les points d'intersection avec le cercle est le diamètre du cercle, ou la plus grande corde du cercle.

Plus la sécante est éloignée du centre du cercle, plus la mesure en degrés du plus petit arc de cercle est petite et plus le plus grand arc de cercle est grand, et le segment de la sécante, appelé accord, diminue à mesure que la sécante s'éloigne du centre du cercle.

Définition. Un cercle est une partie d'un plan situé à l'intérieur d'un cercle.

Le centre, le rayon et le diamètre d'un cercle sont simultanément le centre, le rayon et le diamètre du cercle correspondant.

Puisqu’un cercle fait partie d’un plan, l’un de ses paramètres est l’aire.

Règle. Aire d'un cercle ( S) est égal au produit du carré du rayon ( r2) au nombre ¶.

• Exemples
• Étant donné : r = 100 cm
• Zone du cercle :
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Étant donné : d = 50 mm
• Zone du cercle :
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Si vous dessinez deux rayons dans un cercle vers différents points du cercle, alors deux parties du cercle sont formées, appelées secteurs. Si vous dessinez une corde dans un cercle, alors la partie du plan entre l'arc et la corde s'appelle segment de cercle.

Aujourd'hui, nous allons faire du poulet. De quelle couleur est le poulet ? C'est vrai, jaune. Parmi tous les cercles, sélectionnez uniquement les cercles jaunes. Mettez ensuite de côté les cercles bleus et les verts séparément.

Tout d'abord, nous disposons simplement le poulet sur du papier sans colle pour que le bébé comprenne ce que nous faisons, cela aidera également à éviter les erreurs lorsque vous travaillez avec de la colle.

Le grand cercle jaune sera le corps du poulet. Où le met-on ? (on invite l'enfant à choisir lui-même une place sur une feuille de papier).

Le plus petit cercle sera la tête. Où sera notre tête de poulet ? (laissez à nouveau l'enfant choisir l'endroit dans lequel la poule regardera : vers le ciel et le soleil ou vers le bas sur l'herbe, peut-être qu'il picorera les grains. Aidez l'enfant à fantasmer, proposez des options. Vous pouvez donner aux petits des astuces et des conseils, mais n'insistez pas, laissez-le faire son choix)

Où est le petit cercle noir ? Ce sera l'œil. Un petit triangle est le bec, deux triangles identiques sont les pattes. Placez les personnages à leur place.

Qu'est-ce qui manque à notre poulet ? C'est vrai, les ailes ! Nous avons 2 autres cercles jaunes, nous en mettrons un de côté - ce sera le soleil, et à partir du second nous ferons des ailes. Que pensez-vous de faire deux ailes à partir d’un cercle ? (les enfants à partir de trois ans peuvent gérer cela. Laissez l'enfant tenir le cercle dans ses mains, tournez-le, appliquez-le sur le papier, peut-être qu'il trouvera une réponse).

Nous allons couper le cercle en deux. Pour ce faire, trouvons le centre du cercle. Où est le centre (milieu) du cercle ? (vous pouvez donner un crayon à l'enfant et l'inviter à trouver et marquer le centre au verso (non coloré !) de la feuille. Même si le point n'est pas au centre, mais quelque part à proximité, ce n'est pas grave, félicitez le bébé ! Si l'enfant est petit, faites tout vous-même en expliquant chaque action).

Nous allons maintenant tracer une ligne droite passant par le centre, qui divisera le cercle en deux. Le long de cette ligne, nous couperons notre cercle en deux parties. Vous obtenez deux ailes (assurez-vous de couper le point (centre) indiqué par l'enfant, d'une part, l'enfant sentira que son avis est important pour vous et vous l'écoutez, et d'autre part, l'applique sera plus artistique)

Lors d'un cours pour les plus grands, vous pouvez expliquer ce qu'est un demi-cercle (ou retenir ce chiffre)

Regardez les formes que nous avons. Cette figure s'appelle un demi-cercle. Demi-cercle - demi-cercle (répétez plusieurs fois et proposez de répéter le nom)
Où seront nos ailes de poulet ?

Le poulet a été disposé sur du papier, vous pouvez maintenant le coller.

Le poulet est prêt.

Prenons de grands cercles verts (ou 1 cercle) - ce sera notre herbe. Que pensez-vous de faire de l'herbe à partir d'un cercle ? C'est vrai, coupez à nouveau en deux (on répète les étapes comme pour les ailes : laissez l'enfant marquer le centre, coupez et collez le bas). Pour rendre l'herbe plus naturelle, vous pouvez faire de petites coupes le long du côté arrondi.

Collez le soleil sur le ciel.

Les nuages ​​peuvent être réalisés de différentes manières :

1. Collez les cercles en les superposant pour former un nuage. Différentes tailles de cercles rendront la forme du nuage plus naturelle.
2. Coupez les cercles en deux et superposez-les également.

Nous l'avons fait différemment : Polya voulait plier les cercles en deux et ne coller qu'une moitié du cercle. Nous avons déjà réalisé d'autres objets artisanaux de cette façon et elle a aimé cette option.

Lorsque le papier est complètement sec, vous pouvez finir de dessiner les rayons du soleil et les fleurs sur l'herbe avec un crayon. Vous pouvez le faire avec de la pâte à modeler. Laissez le bébé choisir lui-même.