Graphique d'une fonction impaire. Fonctions paires et impaires

Masquer Afficher

Méthodes de spécification d'une fonction

Soit la fonction donnée par la formule : y=2x^(2)-3. En attribuant des valeurs à la variable indépendante x, vous pouvez calculer, à l'aide de cette formule, les valeurs correspondantes de la variable dépendante y. Par exemple, si x=-0,5, alors, en utilisant la formule, nous constatons que la valeur correspondante de y est y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

En prenant n'importe quelle valeur prise par l'argument x dans la formule y=2x^(2)-3, vous ne pouvez calculer qu'une seule valeur de la fonction qui lui correspond. La fonction peut être représentée sous forme de tableau :

x	−2	−1	0	1	2	3
oui	−4	−3	−2	−1	0	1

En utilisant ce tableau, vous pouvez voir qu'à la valeur de l'argument −1 la valeur de la fonction −3 correspondra ; et la valeur x=2 correspondra à y=0, etc. Il est également important de savoir que chaque valeur d’argument du tableau correspond à une seule valeur de fonction.

Plus de fonctions peuvent être spécifiées à l'aide de graphiques. À l'aide d'un graphique, il est établi quelle valeur de la fonction est en corrélation avec une certaine valeur x. Le plus souvent, il s'agira d'une valeur approximative de la fonction.

Fonction paire et impaire

La fonction est même fonction, quand f(-x)=f(x) pour tout x du domaine de définition. Une telle fonction sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

La fonction est fonction étrange, quand f(-x)=-f(x) pour tout x du domaine de définition. Une telle fonction sera symétrique par rapport à l'origine O (0;0) .

La fonction est même pas, ni bizarre et s'appelle fonction vue générale , lorsqu'il n'a pas de symétrie par rapport à l'axe ou à l'origine.

Examinons la fonction de parité suivante :

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) avec un domaine de définition symétrique par rapport à l'origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Cela signifie que la fonction f(x)=3x^(3)-7x^(7) est impaire.

Fonction périodique

La fonction y=f(x) , dans le domaine dont l'égalité f(x+T)=f(x-T)=f(x) est vraie pour tout x, est appelée fonction périodique de période T \neq 0 .

Répéter le graphique d'une fonction sur n'importe quel segment de l'axe des x de longueur T.

Les intervalles où la fonction est positive, c'est-à-dire f(x) > 0, sont des segments de l'axe des abscisses qui correspondent aux points du graphe de fonctions situés au-dessus de l'axe des abscisses.

f(x) > 0 sur (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalles où la fonction est négative, c'est-à-dire f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Fonction limitée

Délimité par le bas Il est d'usage d'appeler une fonction y=f(x), x \in X lorsqu'il existe un nombre A pour lequel l'inégalité f(x) \geq A est valable pour tout x \in X .

Un exemple de fonction délimitée par le bas : y=\sqrt(1+x^(2)) puisque y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pour tout x .

Délimité par le haut une fonction y=f(x), x \in X est appelée lorsqu'il existe un nombre B pour lequel l'inégalité f(x) \neq B est vraie pour tout x \in X .

Un exemple de fonction délimitée ci-dessous : y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] puisque y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pour tout x \in [-1;1] .

Limité Il est d'usage d'appeler une fonction y=f(x), x \in X lorsqu'il existe un nombre K > 0 pour lequel l'inégalité \left | f(x)\droite | \neq K pour tout x \in X .

Exemple fonction limitée: y=\sin x est limité partout axe des nombres, parce que \gauche | \péché x \droit | \neq 1.

Fonction croissante et décroissante

Il est d'usage de parler d'une fonction qui augmente sur l'intervalle considéré comme fonction croissante quand valeur plus élevée x correspondra à une valeur plus grande de la fonction y=f(x) . Il s'ensuit qu'en prenant deux valeurs arbitraires de l'argument x_(1) et x_(2) de l'intervalle considéré, avec x_(1) > x_(2) , le résultat sera y(x_(1)) > y(x_(2)).

Une fonction qui décroît sur l'intervalle considéré est appelée fonction décroissante alors quand la plus grande valeur de x correspond à valeur inférieure fonctions y(x) . Il s'ensuit qu'en prenant dans l'intervalle considéré deux valeurs arbitraires de l'argument x_(1) et x_(2) , et x_(1) > x_(2) , le résultat sera y(x_(1))< y(x_{2}) .

Racines de fonction Il est d'usage d'appeler les points auxquels la fonction F=y(x) coupe l'axe des abscisses (ils sont obtenus en résolvant l'équation y(x)=0).

a) Si pour x > 0 même fonction augmente, puis diminue à mesure que x< 0

b) Lorsqu'une fonction paire décroît à x > 0, alors elle augmente à x< 0

c) Quand à x > 0 fonction étrange augmente, alors il augmente aussi lorsque x< 0

d) Lorsqu'une fonction impaire diminue pour x > 0, alors elle diminuera également pour x< 0

Extréma de la fonction

Point minimum de la fonction y=f(x) est généralement appelé un point x=x_(0) dont le voisinage aura d'autres points (sauf le point x=x_(0)), et pour eux l'inégalité f(x) > f sera alors satisfait (x_(0)) . y_(min) - désignation de la fonction au point min.

Point maximum de la fonction y=f(x) est généralement appelé un point x=x_(0) dont le voisinage aura d'autres points (sauf le point x=x_(0)), et pour eux l'inégalité f(x) sera alors satisfaite< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Condition préalable

D'après le théorème de Fermat : f"(x)=0 lorsque la fonction f(x) qui est différentiable au point x_(0) aura un extremum en ce point.

État suffisant

Lorsque la dérivée change de signe de plus à moins, alors x_(0) sera le point minimum ;
x_(0) - sera un point maximum uniquement lorsque la dérivée change de signe de moins à plus lors du passage point fixe x_(0) .

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle

Étapes de calcul :

La dérivée f"(x) est recherchée ;
Les points stationnaires et critiques de la fonction sont trouvés et ceux appartenant au segment sont sélectionnés ;
Les valeurs de la fonction f(x) se trouvent en stationnaire et points critiques et les extrémités du segment. Le plus petit des résultats obtenus sera valeur la plus basse fonctions, et plus encore - le plus grand.

même, si pour tout \(x\) de son domaine de définition ce qui suit est vrai : \(f(-x)=f(x)\) .

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe \(y\) :

Exemple : la fonction \(f(x)=x^2+\cos x\) est paire, car \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) La fonction \(f(x)\) est appelée impair, si pour tout \(x\) de son domaine de définition ce qui suit est vrai : \(f(-x)=-f(x)\) .

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine :

Exemple : la fonction \(f(x)=x^3+x\) est impaire car \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Les fonctions qui ne sont ni paires ni impaires sont appelées fonctions de forme générale. Une telle fonction peut toujours être représentée de manière unique comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Par exemple, la fonction \(f(x)=x^2-x\) est la somme de la fonction paire \(f_1=x^2\) et de l'impair \(f_2=-x\) .

\(\trianglenoirdroit\) Quelques propriétés :

1) Le produit et le quotient de deux fonctions de même parité est une fonction paire.

2) Le produit et le quotient de deux fonctions de parités différentes est une fonction étrange.

3) Somme et différence de fonctions paires - fonction paire.

4) Somme et différence des fonctions impaires - fonction impaire.

5) Si \(f(x)\) est une fonction paire, alors l'équation \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) a une racine unique si et seulement quand \( x =0\) .

6) Si \(f(x)\) est une fonction paire ou impaire, et que l'équation \(f(x)=0\) a une racine \(x=b\), alors cette équation aura nécessairement une seconde racine \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) La fonction \(f(x)\) est appelée périodique sur \(X\) si pour un certain nombre \(T\ne 0\) ce qui suit est vrai : \(f(x)=f( x+T) \) , où \(x, x+T\in X\) . Le plus petit \(T\) pour lequel cette égalité est satisfaite est appelé la période principale (principale) de la fonction.

U fonction périodique n'importe quel nombre de la forme \(nT\) , où \(n\in \mathbb(Z)\) sera également un point.

Exemple : n'importe lequel fonction trigonométrique est périodique ;
pour les fonctions \(f(x)=\sin x\) et \(f(x)=\cos x\) période principale est égal à \(2\pi\), les fonctions \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) et \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) ont un période principale égale à \ (\pi\) .

Afin de construire un graphique d'une fonction périodique, vous pouvez tracer son graphique sur n'importe quel segment de longueur \(T\) (période principale) ; puis le graphique de l'ensemble de la fonction est complété en décalant la partie construite d'un nombre entier de périodes vers la droite et la gauche :

\(\blacktriangleright\) Le domaine \(D(f)\) de la fonction \(f(x)\) est un ensemble constitué de toutes les valeurs de l'argument \(x\) pour lesquelles la fonction a un sens (est défini).

Exemple : la fonction \(f(x)=\sqrt x+1\) a un domaine de définition : \(x\in

Tâche 1 #6364

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

A quelles valeurs du paramètre \(a\) l'équation

a la seule solution?

Notez que puisque \(x^2\) et \(\cos x\) sont des fonctions paires, si l'équation a une racine \(x_0\) , elle aura également une racine \(-x_0\) .
En effet, soit \(x_0\) une racine, c'est-à-dire l'égalité \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) droite. Remplaçons \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Ainsi, si \(x_0\ne 0\) , alors l'équation aura déjà au moins deux racines. Par conséquent, \(x_0=0\) . Alors:

Nous avons reçu deux valeurs pour le paramètre \(a\) . Notez que nous avons utilisé le fait que \(x=0\) est exactement la racine de l’équation d’origine. Mais nous n’avons jamais utilisé le fait qu’il est le seul. Par conséquent, vous devez remplacer les valeurs résultantes du paramètre \(a\) dans équation originale et vérifiez pour quel \(a\) la racine \(x=0\) sera vraiment unique.

1) Si \(a=0\) , alors l'équation prendra la forme \(2x^2=0\) . Évidemment, cette équation n’a qu’une seule racine \(x=0\) . La valeur \(a=0\) nous convient donc.

2) Si \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , alors l'équation prendra la forme \ Réécrivons l'équation sous la forme \ Parce que \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Que \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Par conséquent, les valeurs du côté droit de l'équation (*) appartiennent au segment \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Puisque \(x^2\geqslant 0\) , alors côté gauche l'équation (*) est supérieure ou égale à \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Ainsi, l'égalité (*) ne peut être satisfaite que lorsque les deux côtés de l'équation sont égaux à \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Et cela signifie que \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] La valeur \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nous convient donc.

Répondre:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tâche 2 #3923

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles le graphique de la fonction \

symétrique par rapport à l'origine.

Si le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine, alors une telle fonction est impaire, c'est-à-dire que \(f(-x)=-f(x)\) est valable pour tout \(x\) du domaine de définition de la fonction. Ainsi, il est nécessaire de trouver les valeurs de paramètres pour lesquelles \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligné)\]

La dernière équation doit être satisfaite pour tout \(x\) du domaine de \(f(x)\) , donc, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Répondre:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tâche 3 #3069

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \ a 4 solutions, où \(f\) est une fonction périodique paire de période \(T=\dfrac(16)3\) défini sur toute la droite numérique, et \(f(x)=ax^2\) pour \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tâche des abonnés)

Puisque \(f(x)\) est une fonction paire, son graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc lorsque \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Ainsi, quand \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), et c'est un segment de longueur \(\dfrac(16)3\) , fonction \(f(x)=ax^2\) .

1) Soit \(a>0\) . Alors le graphique de la fonction \(f(x)\) ressemblera à ceci :

Ensuite, pour que l'équation ait 4 solutions, il faut que le graphe \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) passe par le point \(A\) :

Ainsi, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aligné)\end(rassemblé)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligné) \end( rassemblé)\droite.\] Puisque \(a>0\) , alors \(a=\dfrac(18)(23)\) convient.

2) Soit \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Il faut que le graphe \(g(x)\) passe par le point \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligné) \end(rassemblé)\right.\] Puisque \(un<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Le cas où \(a=0\) ne convient pas, puisque alors \(f(x)=0\) pour tout \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) et le l'équation n'aura qu'une seule racine.

Répondre:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Tâche 4 #3072

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs de \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \

a au moins une racine.

(Tâche des abonnés)

Réécrivons l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) et \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
La fonction \(g(x)\) est paire et a un point minimum \(x=0\) (et \(g(0)=49\) ).
La fonction \(f(x)\) pour \(x>0\) est décroissante, et pour \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
En effet, lorsque \(x>0\) le deuxième module s'ouvrira positivement (\(|x|=x\) ), donc, quelle que soit la manière dont le premier module s'ouvrira, \(f(x)\) sera égal à \( kx+A\) , où \(A\) est l'expression de \(a\) et \(k\) est égal à \(-9\) ou \(-3\) . Quand \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Trouvons la valeur de \(f\) au point maximum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, il faut que les graphiques des fonctions \(f\) et \(g\) aient au moins un point d'intersection. Il vous faut donc : \ \\]

Répondre:

\(a\in \(-7\)\cup\)

Tâche 5 #3912

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \

a six solutions différentes.

Faisons le remplacement \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . L’équation prendra alors la forme \ Nous allons progressivement écrire les conditions dans lesquelles l'équation originale aura six solutions.
Notez que l'équation quadratique \((*)\) peut avoir un maximum de deux solutions. Toute équation cubique \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ne peut pas avoir plus de trois solutions. Par conséquent, si l'équation \((*)\) a deux solutions différentes (positives !, puisque \(t\) doit être supérieur à zéro) \(t_1\) et \(t_2\) , alors en effectuant la substitution inverse , on obtient : \[\gauche[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligné)\end(rassemblé)\right.\] Puisque tout nombre positif peut être représenté par \(\sqrt2\) dans une certaine mesure, par exemple, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), alors la première équation de l'ensemble sera réécrite sous la forme \ Comme nous l'avons déjà dit, toute équation cubique n'a pas plus de trois solutions, par conséquent, chaque équation de l'ensemble n'aura pas plus de trois solutions. Cela signifie que l'ensemble complet n'aura pas plus de six solutions.
Cela signifie que pour que l'équation originale ait six solutions, l'équation quadratique \((*)\) doit avoir deux solutions différentes, et chaque équation cubique résultante (de l'ensemble) doit avoir trois solutions différentes (et non une seule solution de une équation doit coïncider avec n'importe laquelle - par la décision de la seconde !)
Évidemment, si l’équation quadratique \((*)\) a une solution, alors nous n’obtiendrons pas six solutions à l’équation d’origine.

Ainsi, le plan de solution devient clair. Notons point par point les conditions à remplir.

1) Pour que l'équation \((*)\) ait deux solutions différentes, il faut que son discriminant soit positif : \

2) Il faut aussi que les deux racines soient positives (puisque \(t>0\) ). Si le produit de deux racines est positif et que leur somme est positive, alors les racines elles-mêmes seront positives. Il vous faut donc : \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Ainsi, nous nous sommes déjà dotés de deux racines positives différentes \(t_1\) et \(t_2\) .

3) Regardons cette équation \ Pour quoi \(t\) aura-t-il trois solutions différentes ?
Considérons la fonction \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Peut être factorisé : \ Par conséquent, ses zéros sont : \(x=-1;2\) .
Si nous trouvons la dérivée \(f"(x)=3x^2-6x\) , alors nous obtenons deux points extremum \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Le graphique ressemble donc à ceci :

On voit que toute ligne horizontale \(y=k\) , où \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) avait trois solutions différentes, il faut que \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Ainsi, il vous faut : \[\begin(cas) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notons aussi immédiatement que si les nombres \(t_1\) et \(t_2\) sont différents, alors les nombres \(\log_(\sqrt2)t_1\) et \(\log_(\sqrt2)t_2\) seront différent, ce qui signifie que les équations \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Et \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) aura des racines différentes.
Le système \((**)\) peut être réécrit comme suit : \[\begin(cas) 1

Ainsi, nous avons déterminé que les deux racines de l'équation \((*)\) doivent se situer dans l'intervalle \((1;4)\) . Comment écrire cette condition ?
Nous n’écrirons pas explicitement les racines.
Considérons la fonction \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Son graphique est une parabole à branches ascendantes, qui possède deux points d'intersection avec l'axe des x (nous avons noté cette condition au paragraphe 1)). À quoi doit ressembler son graphique pour que les points d'intersection avec l'axe des x soient dans l'intervalle \((1;4)\) ? Donc:

Premièrement, les valeurs \(g(1)\) et \(g(4)\) de la fonction aux points \(1\) et \(4\) doivent être positives, et deuxièmement, le sommet de la la parabole \(t_0\ ) doit également être dans l'intervalle \((1;4)\) . On peut donc écrire le système : \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) a toujours au moins une racine \(x=0\) . Cela signifie que pour remplir les conditions du problème, il faut que l’équation \

avait quatre racines différentes, différentes de zéro, représentant, avec \(x=0\), une progression arithmétique.

Notez que la fonction \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) est paire, ce qui signifie que si \(x_0\) est la racine de l'équation \( (*)\ ) , alors \(-x_0\) sera également sa racine. Il faut alors que les racines de cette équation soient des nombres ordonnés par ordre croissant : \(-2d, -d, d, 2d\) (donc \(d>0\)). C'est alors que ces cinq nombres formeront une progression arithmétique (avec la différence \(d\)).

Pour que ces racines soient les nombres \(-2d, -d, d, 2d\) , il faut que les nombres \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) soient les racines de l'équation \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Alors, d’après le théorème de Vieta :

Réécrivons l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) et \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
La fonction \(g(x)\) a un point maximum \(x=0\) (et \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Dérivée nulle : \(x=0\) . Quand \(x<0\) имеем: \(g">0\) , pour \(x>0\) : \(g"<0\) .
La fonction \(f(x)\) pour \(x>0\) est croissante, et pour \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
En effet, lorsque \(x>0\) le premier module s'ouvrira positivement (\(|x|=x\)), donc, quelle que soit la façon dont le deuxième module s'ouvrira, \(f(x)\) sera égal à \( kx+A\) , où \(A\) est l'expression de \(a\) et \(k\) est égal à \(13-10=3\) ou \(13+10 =23\) . Quand \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Trouvons la valeur de \(f\) au point minimum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, il faut que les graphiques des fonctions \(f\) et \(g\) aient au moins un point d'intersection. Il vous faut donc : \ En résolvant cet ensemble de systèmes, nous obtenons la réponse : \\]

Répondre:

\(a\in \(-2\)\cup\)

Même fonction.

Même est une fonction dont le signe ne change pas lorsque le signe change x.

x l'égalité est vraie f(–x) = f(x). Signe x n'affecte pas le signe oui.

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des coordonnées (Fig. 1).

Exemples de fonction paire :

oui=cos x

oui = x 2

oui = –x 2

oui = x 4

oui = x 6

oui = x 2 + x

Explication:
Prenons la fonction oui = x 2 ou oui = –x 2 .
Pour n'importe quelle valeur x la fonction est positive. Signe x n'affecte pas le signe oui. Le graphique est symétrique par rapport à l'axe des coordonnées. C'est une fonction paire.

Fonction étrange.

Impair est une fonction dont le signe change lorsque le signe change x.

Autrement dit, quelle que soit la valeur x l'égalité est vraie f(–x) = –f(x).

Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine (Fig. 2).

Exemples de fonction impaire :

oui= péché x

oui = x 3

oui = –x 3

Explication:

Prenons la fonction y = – x 3 .
Toutes les significations à il aura un signe moins. C'est un signe x influence le signe oui. Si la variable indépendante est un nombre positif, alors la fonction est positive, si la variable indépendante est un nombre négatif, alors la fonction est négative : f(–x) = –f(x).
Le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine. C'est une fonction étrange.

Propriétés des fonctions paires et impaires :

NOTE:

Toutes les fonctions ne sont pas paires ou impaires. Il existe des fonctions qui n'obéissent pas à une telle gradation. Par exemple, la fonction racine à = √X ne s'applique ni aux fonctions paires ni aux fonctions impaires (Fig. 3). Lors de la liste des propriétés de telles fonctions, une description appropriée doit être donnée : ni paire ni impaire.

Fonctions périodiques.

Comme vous le savez, la périodicité est la répétition de certains processus à un certain intervalle. Les fonctions qui décrivent ces processus sont appelées fonctions périodiques. Autrement dit, ce sont des fonctions dans les graphiques desquelles se trouvent des éléments qui se répètent à certains intervalles numériques.

La dépendance d'une variable y sur une variable x, dans laquelle chaque valeur de x correspond à une seule valeur de y, est appelée une fonction. Pour la désignation, utilisez la notation y=f(x). Chaque fonction possède un certain nombre de propriétés de base, telles que la monotonie, la parité, la périodicité et autres.

Examinez de plus près la propriété de parité.

Une fonction y=f(x) est appelée même si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

2. La valeur de la fonction au point x, appartenant au domaine de définition de la fonction, doit être égale à la valeur de la fonction au point -x. Autrement dit, pour tout point x, à partir du domaine de définition de la fonction, l'égalité suivante doit être satisfaite : f(x) = f(-x).

Graphique d'une fonction paire

Si vous tracez un graphique d’une fonction paire, il sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

Par exemple, la fonction y=x^2 est paire. Vérifions ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=3 arbitraire. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Donc f(x) = f(-x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est paire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^2.

La figure montre que le graphique est symétrique par rapport à l’axe Oy.

Graphique d'une fonction impaire

Une fonction y=f(x) est dite impaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

1. Le domaine de définition d'une fonction donnée doit être symétrique par rapport au point O. Autrement dit, si un point a appartient au domaine de définition de la fonction, alors le point correspondant -a doit également appartenir au domaine de définition de la fonction donnée.

2. Pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = -f(x).

Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport au point O - l'origine des coordonnées. Par exemple, la fonction y=x^3 est impaire. Vérifions ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=2 arbitraire. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Donc f(x) = -f(x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est impaire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^3.

La figure montre clairement que la fonction impaire y=x^3 est symétrique par rapport à l'origine.

Une fonction est appelée paire (impaire) si pour tout et l'égalité

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe
.

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Exemple 6.2. Examiner si une fonction est paire ou impaire

1)
; 2)
; 3)
.

Solution.

1) La fonction est définie lorsque
. Nous trouverons
.

Ceux.
. Cela signifie que cette fonction est paire.

2) La fonction est définie lorsque

Ceux.
. Cette fonction est donc étrange.

3) la fonction est définie pour , c'est-à-dire Pour

,
. La fonction n’est donc ni paire ni impaire. Appelons cela une fonction de forme générale.

3. Etude de la fonction de monotonie.

Fonction
est appelé augmenter (diminuer) sur un certain intervalle si dans cet intervalle chaque valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande (plus petite) de la fonction.

Les fonctions croissantes (décroissantes) sur un certain intervalle sont appelées monotones.

Si la fonction
différentiable sur l'intervalle
et a une dérivée positive (négative)
, alors la fonction
augmente (diminue) sur cet intervalle.

Exemple 6.3. Trouver des intervalles de monotonie des fonctions

1)
; 3)
.

Solution.

1) Cette fonction est définie sur toute la droite numérique. Trouvons la dérivée.

La dérivée est égale à zéro si
Et
. Le domaine de définition est l'axe des nombres, divisé par des points
,
à intervalles. Déterminons le signe de la dérivée dans chaque intervalle.

Dans l'intervalle
la dérivée est négative, la fonction décroît sur cet intervalle.

Dans l'intervalle
la dérivée est positive, donc la fonction augmente sur cet intervalle.

2) Cette fonction est définie si
ou

Nous déterminons le signe du trinôme quadratique dans chaque intervalle.

Ainsi, le domaine de définition de la fonction

Trouvons la dérivée
,
, Si
, c'est-à-dire
, Mais
. Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles
.

Dans l'intervalle
la dérivée est négative, donc la fonction décroît sur l'intervalle
. Dans l'intervalle
la dérivée est positive, la fonction augmente sur l'intervalle
.

4. Etude de la fonction à l'extremum.

Point
appelé le point maximum (minimum) de la fonction
, s'il existe un tel voisinage du point c'est pour tout le monde
de ce quartier, l'inégalité persiste

.

Les points maximum et minimum d’une fonction sont appelés points extremum.

Si la fonction
au point a un extremum, alors la dérivée de la fonction en ce point est égale à zéro ou n'existe pas (condition nécessaire à l'existence d'un extremum).

Les points auxquels la dérivée est nulle ou n'existe pas sont appelés critiques.

5. Conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum.

Règle 1. Si pendant la transition (de gauche à droite) par le point critique dérivé
change de signe de « + » à « – », puis au point fonction
a un maximum ; si de « – » à « + », alors le minimum ; Si
ne change pas de signe, alors il n’y a pas d’extremum.

Règle 2. Laissez au point
dérivée première d'une fonction
égal à zéro
, et la dérivée seconde existe et est différente de zéro. Si
, Que – point maximum, si
, Que – point minimum de la fonction.

Exemple 6.4 . Explorez les fonctions maximales et minimales :

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solution.

1) La fonction est définie et continue sur l'intervalle
.

Trouvons la dérivée
et résoudre l'équation
, c'est-à-dire
.D'ici
– les points critiques.

Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles ,
.

Lors du passage par des points
Et
la dérivée change de signe de « – » à « + », donc, selon la règle 1
– un minimum de points.

En passant par un point
la dérivée change de signe de « + » à « – », donc
– point maximum.

,
.

2) La fonction est définie et continue dans l'intervalle
. Trouvons la dérivée
.

Après avoir résolu l'équation
, nous trouverons
Et
– les points critiques. Si le dénominateur
, c'est-à-dire
, alors la dérivée n’existe pas. Donc,
– troisième point critique. Déterminons le signe de la dérivée par intervalles.