Comment trouver le module d'un vecteur par projection. Types de projections par définition projection vectorielle

Pr a b = |b|cos(a,b) ou

Où a b est le produit scalaire des vecteurs, |a| - module du vecteur a.

Instructions. Pour trouver la projection du vecteur Пp a b dans mode en ligne il faut indiquer les coordonnées des vecteurs a et b. Dans ce cas, le vecteur peut être précisé dans le plan (deux coordonnées) et dans l'espace (trois coordonnées). La solution résultante est enregistrée dans un fichier Word. Si les vecteurs sont spécifiés via les coordonnées des points, vous devez alors utiliser cette calculatrice.

Classification des projections vectorielles

Types de projections par définition projection vectorielle

Types de projections selon le système de coordonnées

Propriétés de projection vectorielle

1. La projection géométrique d'un vecteur est un vecteur (a une direction).
2. La projection algébrique d'un vecteur est un nombre.

Théorèmes de projection vectorielle

Pr a b = |b|cos(a,b)

Types de projections vectorielles

1. projection sur l’axe OX.
2. projection sur l’axe OY.
3. projection sur un vecteur.

Projection sur l'axe OX	Projection sur l'axe OY	Projection sur vecteur
Si la direction du vecteur A’B’ coïncide avec la direction de l’axe OX, alors la projection du vecteur A’B’ a un signe positif.	Si la direction du vecteur A’B’ coïncide avec la direction de l’axe OY, alors la projection du vecteur A’B’ a un signe positif.	Si la direction du vecteur A’B’ coïncide avec la direction du vecteur NM, alors la projection du vecteur A’B’ a un signe positif.
Si la direction du vecteur est opposée à la direction de l’axe OX, alors la projection du vecteur A’B’ a signe négatif.	Si la direction du vecteur A’B’ est opposée à la direction de l’axe OY, alors la projection du vecteur A’B’ a un signe négatif.	Si la direction du vecteur A’B’ est opposée à la direction du vecteur NM, alors la projection du vecteur A’B’ a un signe négatif.
Si le vecteur AB est parallèle à l’axe OX, alors la projection du vecteur A’B’ est égale à la valeur absolue du vecteur AB.	Si le vecteur AB est parallèle à l’axe OY, alors la projection du vecteur A’B’ est égale à la valeur absolue du vecteur AB.	Si le vecteur AB est parallèle au vecteur NM, alors la projection du vecteur A’B’ est égale à la valeur absolue du vecteur AB.
Si le vecteur AB est perpendiculaire à l’axe OX, alors la projection A’B’ est égale à zéro (vecteur nul).	Si le vecteur AB est perpendiculaire à l’axe OY, alors la projection A’B’ est égale à zéro (vecteur nul).	Si le vecteur AB est perpendiculaire au vecteur NM, alors la projection A’B’ est égale à zéro (vecteur nul).

1. Question : La projection d'un vecteur peut-elle avoir un signe négatif ? Réponse : Oui, il peut y avoir des projections vectorielles valeur négative. Dans ce cas, le vecteur a direction opposée(voir comment l'axe OX et le vecteur AB sont orientés)
2. Question : La projection d'un vecteur peut-elle coïncider avec la valeur absolue du vecteur ? Réponse : Oui, c’est possible. Dans ce cas, les vecteurs sont parallèles (ou se trouvent sur la même droite).
3. Question : La projection d'un vecteur peut-elle être égale à zéro (vecteur nul). Réponse : Oui, c’est possible. Dans ce cas, le vecteur est perpendiculaire à l'axe (vecteur) correspondant.

Exemple 1. Le vecteur (Fig. 1) forme un angle de 60° avec l'axe OX (il est précisé par le vecteur a). Si OE est une unité d'échelle, alors |b|=4, donc .

En effet, la longueur du vecteur (projection géométrique b) est égale à 2, et la direction coïncide avec la direction de l'axe OX.

Exemple 2. Le vecteur (Fig. 2) forme un angle (a,b) = 120 o avec l'axe OX (avec le vecteur a). Longueur |b| le vecteur b est égal à 4, donc pr a b=4·cos120 o = -2.

En effet, la longueur du vecteur est 2, et la direction est opposée à la direction de l'axe.

Introduction…………………………………………………………………………………3

1. Valeur du vecteur et du scalaire…………………………………….4

2. Définition de la projection, de l'axe et des coordonnées d'un point………………...5

3. Projection du vecteur sur l'axe………………………………………………………...6

4. Formule de base de l'algèbre vectorielle……………………………..8

5. Calcul du module d'un vecteur à partir de ses projections…………………...9

Conclusion………………………………………………………………………………...11

Littérature………………………………………………………………………………...12

Introduction:

La physique est inextricablement liée aux mathématiques. Les mathématiques donnent à la physique les moyens et les techniques nécessaires pour exprimer de manière générale et précise la relation entre les grandeurs physiques découvertes à la suite d'expériences ou de recherches théoriques. Après tout, la principale méthode de recherche en physique est expérimentale. Cela signifie qu'un scientifique révèle des calculs à l'aide de mesures. Désigne la relation entre diverses grandeurs physiques. Ensuite, tout est traduit dans le langage mathématique. Formé modèle mathématique. La physique est une science qui étudie le plus simple et en même temps le plus modèles généraux. La tâche de la physique est de créer une telle image dans notre esprit monde physique, qui reflète le plus pleinement ses propriétés et fournit de telles relations entre les éléments du modèle qui existent entre les éléments.

Ainsi, la physique crée un modèle du monde qui nous entoure et étudie ses propriétés. Mais tout modèle est limité. Lors de la création de modèles d'un phénomène particulier, seuls ceux qui sont essentiels pour de ce cercle propriétés et connexions des phénomènes. C'est l'art d'un scientifique : choisir l'essentiel parmi toute la diversité.

Les modèles physiques sont mathématiques, mais les mathématiques ne constituent pas leur base. Les relations quantitatives entre les grandeurs physiques sont déterminées à la suite de mesures, d'observations et recherche expérimentale et ne sont exprimés que dans le langage mathématique. Cependant, il n’existe pas d’autre langage pour construire théories physiques n'existe pas.

1. Signification du vecteur et du scalaire.

En physique et en mathématiques, un vecteur est une quantité caractérisée par sa valeur numérique et l'orientation. En physique, il existe de nombreuses grandeurs importantes qui sont des vecteurs, par exemple la force, la position, la vitesse, l'accélération, le couple, l'impulsion, l'intensité des champs électriques et magnétiques. Elles peuvent être comparées à d'autres grandeurs telles que la masse, le volume, la pression, la température et la densité, qui peuvent être décrites numéro régulier, et ils s'appellent " scalaires" .

Ils sont écrits soit en lettres normales, soit en chiffres (a, b, t, G, 5, −7....). Grandeurs scalaires peut être positif et négatif. Dans le même temps, certains objets d'étude peuvent avoir de telles propriétés que description complète Pour lequel la connaissance d'une seule mesure numérique s'avère insuffisante, il faut aussi caractériser ces propriétés par direction dans l'espace. De telles propriétés sont caractérisées quantités vectorielles(vecteurs). Les vecteurs, contrairement aux scalaires, sont désignés par des lettres grasses : a, b, g, F, C....
Souvent, un vecteur est désigné par une lettre en police normale (non grasse), mais avec une flèche au-dessus :

Le module d'un vecteur, c'est-à-dire la longueur d'un segment de droite dirigé, est désigné par les mêmes lettres que le vecteur lui-même, mais en écriture normale (pas en gras) et sans flèche au-dessus d'elles, ou exactement de la même manière en tant que vecteur (c'est-à-dire en gras ou régulier, mais avec une flèche), mais la désignation du vecteur est alors entourée de tirets verticaux.
Un vecteur est un objet complexe caractérisé simultanément par sa grandeur et sa direction.

Il n'y a pas non plus de positif et vecteurs négatifs. Mais les vecteurs peuvent être égaux entre eux. C’est par exemple lorsque a et b ont les mêmes modules et sont orientés dans la même direction. Dans ce cas, la notation est vraie un= b. Il faut également garder à l'esprit que le symbole vectoriel peut être précédé d'un signe moins, par exemple - c, cependant, ce signe indique symboliquement que le vecteur -c a le même module que le vecteur c, mais est dirigé dans le sens opposé direction.

Le vecteur -c est appelé l'opposé (ou l'inverse) du vecteur c.
En physique, chaque vecteur est rempli d'un contenu spécifique, et lorsqu'on compare des vecteurs du même type (par exemple des forces), les points de leur application peuvent également être importants.

2. Détermination de la projection, de l'axe et des coordonnées du point.

Axe- Il s'agit d'une ligne droite à laquelle on donne une certaine direction.
Un axe est désigné par une lettre : X, Y, Z, s, t... Habituellement, un point est sélectionné (arbitrairement) sur l'axe, qui est appelé l'origine et, en règle générale, est désigné par la lettre O. À partir de ce point, les distances jusqu'à d'autres points d'intérêt pour nous sont mesurées.

Projection d'un point sur un axe est la base d'une perpendiculaire tracée de ce point à un axe donné. Autrement dit, la projection d'un point sur l'axe est un point.

Coordonnée du point sur cet axe s'appelle un nombre, valeur absolue qui est égale à la longueur du segment d'axe (à l'échelle choisie) compris entre l'origine de l'axe et la projection du point sur cet axe. Ce nombre est pris avec un signe plus si la projection du point est située dans la direction de l'axe depuis son origine et avec un signe moins si elle est dans la direction opposée.

3. Projection du vecteur sur l'axe.

La projection d'un vecteur sur un axe est un vecteur qui s'obtient en multipliant la projection scalaire d'un vecteur sur cet axe et le vecteur unitaire de cet axe. Par exemple, si un x – projection scalaire vecteur a sur l'axe X, alors a x ·i est sa projection vectorielle sur cet axe.

Notons la projection vectorielle de la même manière que le vecteur lui-même, mais avec l'indice de l'axe sur lequel le vecteur est projeté. Ainsi, nous désignons la projection vectorielle du vecteur a sur l'axe X par x (une lettre en gras désignant le vecteur et l'indice du nom de l'axe) ou

Projection scalaire le vecteur par axe est appelé nombre, dont la valeur absolue est égale à la longueur du segment d'axe (à l'échelle sélectionnée) compris entre les projections du point de départ et du point final du vecteur. Habituellement, au lieu de l'expression projection scalaire ils disent simplement - projection. La projection est désignée par la même lettre que le vecteur projeté (en écriture normale et non grasse), avec un indice inférieur (en règle générale) du nom de l'axe sur lequel ce vecteur est projeté. Par exemple, si un vecteur est projeté sur l'axe X UN, alors sa projection est notée par un x. Lors de la projection du même vecteur sur un autre axe, si l'axe est Y, sa projection sera notée y.

Pour calculer la projection vecteur sur un axe (par exemple l'axe X), il faut soustraire la coordonnée du point de départ de la coordonnée de son point final, c'est-à-dire

une X = X k − X n.

La projection d'un vecteur sur un axe est un nombre. De plus, la projection peut être positive si la valeur x k supérieur à la valeur xn,

négatif si la valeur x k est inférieure à la valeur x n

et égal à zéro si x k est égal à x n.

La projection d'un vecteur sur un axe peut également être trouvée en connaissant le module du vecteur et l'angle qu'il fait avec cet axe.

D'après la figure, il est clair que a x = a Cos α

C'est-à-dire que la projection du vecteur sur l'axe est égale au produit du module du vecteur et du cosinus de l'angle entre la direction de l'axe et direction vectorielle. Si l'angle est aigu, alors
Cos α > 0 et a x > 0, et, s'il est obtus, alors cosinus angle obtus est négatif, et la projection du vecteur sur l'axe sera également négative.

Les angles mesurés à partir de l'axe dans le sens inverse des aiguilles d'une montre sont considérés comme positifs et les angles mesurés le long de l'axe sont négatifs. Cependant, comme le cosinus est une fonction paire, c'est-à-dire Cos α = Cos (− α), lors du calcul des projections, les angles peuvent être comptés dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse.

Pour trouver la projection d'un vecteur sur un axe, il faut multiplier le module de ce vecteur par le cosinus de l'angle entre la direction de l'axe et la direction du vecteur.

4. Formule de base de l'algèbre vectorielle.

Projetons le vecteur a sur les axes X et Y du système de coordonnées rectangulaires. Retrouvons les projections vectorielles du vecteur a sur ces axes :

a x = a x ·i et y = a y ·j.

Mais conformément à la règle de l'addition vectorielle

une = une x + une y.

une = une x je + une y j.

Ainsi, nous avons exprimé un vecteur en termes de ses projections et des vecteurs du système de coordonnées rectangulaires (ou en termes de ses projections vectorielles).

Projections vectorielles a x et a y sont appelés composants ou composantes du vecteur a. L'opération que nous avons effectuée s'appelle la décomposition d'un vecteur le long des axes d'un système de coordonnées rectangulaires.

Si le vecteur est donné dans l’espace, alors

une = une x je + une y j + une z k.

Cette formule s'appelle formule de base algèbre vectorielle. Bien sûr, cela peut s’écrire ainsi.

L'axe est la direction. Cela signifie que la projection sur un axe ou sur une ligne dirigée est considérée comme la même. La projection peut être algébrique ou géométrique. En termes géométriques, la projection d'un vecteur sur un axe est comprise comme un vecteur, et en termes algébriques, elle est comprise comme un nombre. C'est-à-dire que les concepts de projection d'un vecteur sur un axe et de projection numérique d'un vecteur sur un axe sont utilisés.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Si nous avons un axe L et un vecteur A B → non nul, alors nous pouvons construire un vecteur A 1 B 1 ⇀, désignant les projections de ses points A 1 et B 1.

A 1 B → 1 sera la projection du vecteur A B → sur L.

Définition 1

Projection du vecteur sur l'axe est un vecteur dont le début et la fin sont des projections du début et de la fin d'un vecteur donné. n p L A B → → il est d'usage de désigner la projection A B → sur L. Pour construire une projection sur L, les perpendiculaires sont déposées sur L.

Exemple 1

Un exemple de projection vectorielle sur un axe.

Sur le plan de coordonnées O x y, un point M 1 (x 1, y 1) est spécifié. Il est nécessaire de construire des projections sur O x et O y pour imager le rayon vecteur du point M 1. On obtient les coordonnées des vecteurs (x 1, 0) et (0, y 1).

Si nous parlons deà propos de la projection de a → sur un b → non nul ou de la projection de a → sur la direction b → , alors nous entendons la projection de a → sur l'axe avec lequel la direction b → coïncide. La projection de a → sur la ligne définie par b → est désignée n p b → a → → . On sait que lorsque l'angle entre a → et b → , n p b → a → → et b → peut être considéré comme codirectionnel. Dans le cas où l'angle est obtus, n p b → a → → et b → sont de directions opposées. Dans une situation de perpendiculaire a → et b →, et a → est nul, la projection de a → dans la direction b → est le vecteur zéro.

La caractéristique numérique de la projection d'un vecteur sur un axe est la projection numérique d'un vecteur sur un axe donné.

Définition 2

Projection numérique du vecteur sur l'axe est un nombre égal au produit de la longueur d'un vecteur donné et du cosinus de l'angle entre le vecteur donné et le vecteur qui détermine la direction de l'axe.

La projection numérique de A B → sur L est notée n p L A B → , et a → sur b → - n p b → a → .

Sur la base de la formule, nous obtenons n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , d'où a → est la longueur du vecteur a → , a ⇀ , b → ^ est l'angle entre les vecteurs a → et b → .

On obtient la formule de calcul de la projection numérique : n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Il est applicable pour les longueurs connues a → et b → et l'angle entre elles. La formule est applicable pour les coordonnées connues a → et b →, mais il existe une forme simplifiée.

Exemple 2

Découvrez la projection numérique de a → sur une droite dans la direction b → d'une longueur a → égale à 8 et d'un angle entre elles de 60 degrés. Par condition on a a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Alors, remplaçons valeurs numériques dans la formule n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Répondre: 4.

Avec cos connu (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , nous avons a → , b → comme produit scalaire une → et b → . Suite à la formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , nous pouvons trouver la projection numérique a → dirigée le long du vecteur b → et obtenir n p b → a → = a → , b → b → . La formule est équivalente à la définition donnée au début du paragraphe.

Définition 3

La projection numérique du vecteur a → sur un axe coïncidant en direction avec b → est le rapport du produit scalaire des vecteurs a → et b → à la longueur b → . La formule n p b → a → = a → , b → b → est applicable pour trouver la projection numérique de a → sur une ligne coïncidant en direction avec b → , avec des coordonnées a → et b → connues.

Exemple 3

Étant donné b → = (- 3 , 4) . Trouvez la projection numérique a → = (1, 7) sur L.

Solution

Sur le plan de coordonnées n p b → a → = a → , b → b → a la forme n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , avec a → = (a x , a y ) et b → = b X , par y . Pour trouver la projection numérique du vecteur a → sur l'axe L, vous avez besoin de : n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + by y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Répondre: 5.

Exemple 4

Trouvez la projection de a → sur L, coïncidant avec la direction b →, où il y a a → = - 2, 3, 1 et b → = (3, - 2, 6). L'espace tridimensionnel est spécifié.

Solution

Étant donné a → = a x , a y , a z et b → = b x , by , b z , nous calculons le produit scalaire : a ⇀ , b → = a x · b x + a y · by + a z · b z . La longueur b → est trouvée à l'aide de la formule b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Il s'ensuit que la formule pour déterminer la projection numérique a → sera : n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Remplacez les valeurs numériques : n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Réponse : - 6 7.

Regardons la connexion entre a → sur L et la longueur de la projection a → sur L. Traçons un axe L, en ajoutant a → et b → à partir d'un point sur L, après quoi nous traçons une ligne perpendiculaire de l'extrémité a → à L et dessinons une projection sur L. Il existe 5 variantes de l'image :

D'abord le cas avec a → = n p b → a → → signifie a → = n p b → a → → , donc n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → une → → .

Deuxième le cas implique l'utilisation de n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , ce qui signifie n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Troisième le cas explique que lorsque n p b → a → → = 0 → on obtient n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , alors n p b → a → → = 0 et n p b → une → = 0 = n p b → une → → .

Quatrième le cas montre n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , suit n p b → a → = a → · cos ( une → , b → ^) = - n p b → une → → .

Cinquième le cas montre a → = n p b → a → → , ce qui signifie a → = n p b → a → → , donc nous avons n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - une → = - n p b → une → .

Définition 4

La projection numérique du vecteur a → sur l'axe L, qui est orienté de la même manière que b →, a la valeur suivante :

• la longueur de la projection du vecteur a → sur L, à condition que l'angle entre a → et b → soit inférieur à 90 degrés ou égal à 0 : n p b → a → = n p b → a → → avec la condition 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zéro à condition que a → et b → soient perpendiculaires : n p b → a → = 0, lorsque (a → , b → ^) = 90° ;
• la longueur de la projection a → sur L, multipliée par -1, lorsqu'il existe un angle obtus ou droit des vecteurs a → et b → : n p b → a → = - n p b → a → → avec la condition de 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Exemple 5

Étant donné la longueur de la projection a → sur L, égale à 2. Trouvez la projection numérique a → à condition que l'angle soit de 5 π 6 radians.

Solution

D'après la condition, il est clair que angle donné est obtus : π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Réponse : - 2.

Exemple 6

Étant donné un plan O x y z de longueur vectorielle a → égale à 6 3, b → (- 2, 1, 2) avec un angle de 30 degrés. Trouvez les coordonnées de la projection a → sur l'axe L.

Solution

Tout d'abord, nous calculons la projection numérique du vecteur a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Par condition, l'angle est aigu, alors la projection numérique a → = la longueur de la projection du vecteur a → : n p L a → = n p L a → → = 9. Ce cas montre que les vecteurs n p L a → → et b → sont co-dirigés, ce qui signifie qu'il existe un nombre t pour lequel l'égalité est vraie : n p L a → → = t · b → . De là, nous voyons que n p L a → → = t · b → , ce qui signifie que nous pouvons trouver la valeur du paramètre t : t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Alors n p L a → → = 3 · b → avec les coordonnées de la projection du vecteur a → sur l'axe L égales à b → = (- 2 , 1 , 2) , où il faut multiplier les valeurs par 3. Nous avons n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Réponse : (- 6, 3, 6).

Il est nécessaire de répéter les informations précédemment apprises sur la condition de colinéarité des vecteurs.

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Soit deux vecteurs et donnés dans l'espace. Reportons d'un point arbitraire Ô vecteurs et . Angle entre les vecteurs est appelé le plus petit des angles. Désigné .

Considérons l'axe je et tracez dessus un vecteur unitaire (c'est-à-dire un vecteur dont la longueur est égale à un).

À un angle entre le vecteur et l'axe je comprendre l'angle entre les vecteurs et .

Alors laisse je est un axe et est un vecteur.

Notons par Un 1 Et B1 projections sur l'axe je respectivement des points UN Et B. Supposons que Un 1 a une coordonnée x1, UN B1– coordonner x2 sur l'axe je.

Alors projection vecteur par axe je appelé différence x1 – x2 entre les coordonnées des projections de fin et de début du vecteur sur cet axe.

Projection du vecteur sur l'axe je nous noterons .

Il est clair que si l'angle entre le vecteur et l'axe jeépicé alors x2> x1, et projection x2 – x1> 0 ; si cet angle est obtus, alors x2< x1 et projection x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси je, Que x2= x1 Et x2– x1=0.

Ainsi, la projection du vecteur sur l'axe je est la longueur du segment Un 1 B 1, pris avec un certain signe. Par conséquent, la projection du vecteur sur l’axe est un nombre ou un scalaire.

La projection d'un vecteur sur un autre est déterminée de la même manière. Dans ce cas, on trouve les projections des extrémités de ce vecteur sur la droite sur laquelle se trouve le 2ème vecteur.

Regardons quelques éléments de base propriétés des projections.

SYSTÈMES VECTORIELS LINÉAIREMENT DÉPENDANTS ET LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS

Considérons plusieurs vecteurs.

Combinaison linéaire de ces vecteurs est n'importe quel vecteur de la forme , où sont des nombres. Les nombres sont appelés coefficients de combinaison linéaire. Ils disent aussi que dans ce cas, cela s'exprime linéairement à travers ces vecteurs, c'est-à-dire en est obtenu à l'aide d'actions linéaires.

Par exemple, si trois vecteurs sont donnés, alors les vecteurs suivants peuvent être considérés comme leur combinaison linéaire :

Si un vecteur est représenté comme une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs, alors on dit qu'il est disposé le long de ces vecteurs.

Les vecteurs sont appelés linéairement dépendant, si de tels chiffres existent, tous ne égal à zéro, Quoi . C'est clair que vecteurs donnés sera linéairement dépendant si l’un de ces vecteurs est exprimé linéairement à travers les autres.

Sinon, c'est à dire quand le rapport effectué uniquement lorsque , ces vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Théorème 1. Deux vecteurs quelconques sont linéairement dépendants si et seulement s'ils sont colinéaires.

Preuve:

Le théorème suivant peut être prouvé de la même manière.

Théorème 2. Trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils sont coplanaires.

Preuve.

BASE

Base est la collection de non nuls linéairement vecteurs indépendants. Nous désignerons les éléments de la base par .

Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que deux vecteurs non colinéaires sur un plan sont linéairement indépendants. Par conséquent, selon le théorème 1 du paragraphe précédent, une base sur un plan est constituée de deux vecteurs non colinéaires quelconques sur ce plan.

De même, trois vecteurs non coplanaires sont linéairement indépendants dans l’espace. Par conséquent, nous appelons trois vecteurs non coplanaires une base dans l’espace.

La déclaration suivante est vraie.

Théorème. Soit une base donnée dans l'espace. Alors n’importe quel vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire , Où x, oui, z- quelques chiffres. C'est la seule décomposition.

Preuve.

Ainsi, la base permet à chaque vecteur d'être associé de manière unique à un triplet de nombres - les coefficients d'expansion de ce vecteur en vecteurs de base : . L'inverse est également vrai, pour trois nombres x, y, z en utilisant la base, vous pouvez comparer le vecteur si vous faites une combinaison linéaire .

Si la base et , puis les chiffres x, y, z sont appelés coordonnées vecteur dans une base donnée. Les coordonnées vectorielles sont désignées par .

SYSTÈME DE COORDONNÉES CARTÉSIENNES

Soit un point donné dans l'espace Ô et trois vecteurs non coplanaires.

Système cartésien coordonnées dans l'espace (sur le plan) est l'ensemble d'un point et d'une base, c'est-à-dire un ensemble d'un point et de trois vecteurs non coplanaires (2 vecteurs non colinéaires) émanant de ce point.

Point Ô appelé l'origine; les lignes droites passant par l'origine des coordonnées dans la direction des vecteurs de base sont appelées axes de coordonnées - les axes des abscisses, des ordonnées et des applications. Les plans passant par les axes de coordonnées sont appelés plans de coordonnées.

Considérons dans le système de coordonnées sélectionné point arbitraire M.. Introduisons la notion de coordonnées de points M.. Vecteur reliant l'origine à un point M.. appelé vecteur de rayon points M..

Un vecteur dans la base sélectionnée peut être associé à un triplet de nombres – ses coordonnées : .

Coordonnées du rayon vecteur du point M.. sont appelés coordonnées du point M. dans le système de coordonnées considéré. M(x,y,z). La première coordonnée est appelée l'abscisse, la seconde est l'ordonnée et la troisième est l'appliquée.

De même défini Coordonnées cartésiennes dans un avion. Ici, le point n'a que deux coordonnées : l'abscisse et l'ordonnée.

Il est facile de constater que lorsque système donné coordonnées, chaque point a certaines coordonnées. En revanche, pour chaque triplet de nombres, il existe un point unique qui a ces nombres comme coordonnées.

Si les vecteurs pris comme base dans le système de coordonnées sélectionné ont une longueur unitaire et sont perpendiculaires par paires, alors le système de coordonnées est appelé Rectangulaire cartésien.

Il est facile de le montrer.

Les cosinus directeurs d’un vecteur déterminent complètement sa direction, mais ne disent rien sur sa longueur.

Beaucoup grandeurs physiques sont entièrement déterminés en spécifiant un certain nombre. Il s'agit par exemple du volume, de la masse, de la densité, de la température corporelle, etc. De telles quantités sont appelées scalaires. Pour cette raison, les nombres sont parfois appelés scalaires. Mais il existe aussi des quantités qui sont déterminées en spécifiant non seulement un nombre, mais aussi une certaine direction. Par exemple, lorsqu'un corps bouge, vous devez indiquer non seulement la vitesse à laquelle le corps se déplace, mais également la direction du mouvement. De la même manière, lorsqu'on étudie l'action d'une force quelconque, il est nécessaire d'indiquer non seulement la valeur de cette force, mais aussi la direction de son action. De telles quantités sont appelées vecteur. Pour les décrire, la notion de vecteur a été introduite, qui s'est avérée utile pour les mathématiques.

Définition du vecteur

Toute paire ordonnée de points A à B dans l'espace définit segment dirigé, c'est-à-dire un segment avec la direction qui y est spécifiée. Si le point A est le premier, alors il est appelé le début du segment dirigé et le point B est sa fin. La direction d'un segment est considérée comme la direction du début à la fin.

Définition
Un segment orienté est appelé vecteur.

Nous désignerons un vecteur par le symbole \(\overrightarrow(AB) \), la première lettre indiquant le début du vecteur, et la seconde sa fin.

Un vecteur dont le début et la fin coïncident s'appelle zéro et est noté \(\vec(0)\) ou simplement 0.

La distance entre le début et la fin d'un vecteur est appelée son longueur et est noté \(|\overrightarrow(AB)| \) ou \(|\vec(a)| \).

Les vecteurs \(\vec(a) \) et \(\vec(b) \) sont appelés colinéaire, s'ils se trouvent sur la même ligne ou sur des lignes parallèles. Les vecteurs colinéaires peuvent avoir des directions identiques ou opposées.

Nous pouvons maintenant formuler notion importanteégalité de deux vecteurs.

Définition
Les vecteurs \(\vec(a) \) et \(\vec(b) \) sont dits égaux (\(\vec(a) = \vec(b) \)) s'ils sont colinéaires, ont la même direction et leurs longueurs sont égales.

Sur la fig. 1 représentés à gauche sont inégaux, et à droite - vecteurs égaux\(\vec(a) \) et \(\vec(b) \). De la définition de l'égalité des vecteurs, il s'ensuit que si vecteur donné déplacez-vous parallèlement à lui-même, vous obtenez un vecteur égal à celui donné. À cet égard, les vecteurs dans géométrie analytique appelé gratuit.

Projection d'un vecteur sur un axe

Soit l'axe \(u\) et un vecteur \(\overrightarrow(AB)\) dans l'espace. Traçons des plans perpendiculaires à l'axe \(u\) passant par les points A et B. Notons A" et B" les points d'intersection de ces plans avec l'axe (voir figure 2).

La projection du vecteur \(\overrightarrow(AB) \) sur l'axe \(u\) est la valeur A"B" du segment orienté A"B" sur l'axe \(u\). Rappelons que
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , si la direction \(\overrightarrow(A"B") \) coïncide avec la direction de l'axe \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , si la direction \(\overrightarrow(A"B") \) est opposée à la direction de l'axe \(u\),
La projection du vecteur \(\overrightarrow(AB)\) sur l'axe \(u\) est notée comme suit : \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).

Théorème
La projection du vecteur \(\overrightarrow(AB) \) sur l'axe \(u\) est égale à la longueur du vecteur \(\overrightarrow(AB) \) multipliée par le cosinus de l'angle entre le vecteur \ (\overrightarrow(AB) \) et l'axe \( u\) , c'est-à-dire

Commentaire
Soit \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) et un axe \(u\) spécifié. En appliquant la formule du théorème à chacun de ces vecteurs, on obtient

Projections vectorielles sur les axes de coordonnées

Soyons donnés dans l'espace système rectangulaire coordonnées Oxyz et un vecteur arbitraire \(\overrightarrow(AB)\). Soit, en outre, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Les projections du vecteur X, Y, Z \(\overrightarrow(AB)\) sur les axes de coordonnées sont appelées coordonnées. En même temps, ils écrivent
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

Théorème
Quels que soient les deux points A(x 1 ; y 1 ; z 1) et B(x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow(AB)\) sont déterminées par les formules suivantes :

X = X 2 -X 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

Commentaire
Si le vecteur \(\overrightarrow(AB) \) quitte l'origine, c'est-à-dire x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, alors les coordonnées X, Y, Z du vecteur \(\overrightarrow(AB) \) sont égales aux coordonnées de son extrémité :
X = x, Y = y, Z = z.

Cosinus directeurs d'un vecteur

De la géométrie élémentaire, on sait que le carré de la longueur de la diagonale parallélépipède rectangle égal à la somme carrés des longueurs de ses trois dimensions. Ainsi,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Mais \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); ainsi on obtient
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
ou
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Cette formule exprime la longueur d'un vecteur arbitraire à travers ses coordonnées.

Notons \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) les angles entre le vecteur \(\vec(a) \) et les axes de coordonnées. A partir des formules de projection du vecteur sur l'axe et de la longueur du vecteur on obtient
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) sont appelés cosinus directeurs du vecteur \(\vec(a) \).

En mettant au carré les côtés gauche et droit de chacune des égalités précédentes et en résumant les résultats obtenus, nous avons
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
ceux. la somme des carrés des cosinus directeurs de tout vecteur est égale à un.

Opérations linéaires sur les vecteurs et leurs propriétés de base

Ajout de deux vecteurs

Commentaire
L'action de soustraction de vecteurs est inverse de l'action d'addition, c'est-à-dire la différence \(\vec(b) - \vec(a) \) les vecteurs \(\vec(b) \) et \(\vec(a) \) est un vecteur qui, en somme avec le vecteur \(\ vec(a ) \) donne le vecteur \(\vec(b) \) (voir figure).

Commentaire
En déterminant la somme de deux vecteurs, vous pouvez trouver la somme de n’importe quel nombre de vecteurs donnés. Soit par exemple trois vecteurs \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). En ajoutant \(\vec(a) \) et \(\vec(b) \), on obtient le vecteur \(\vec(a) + \vec(b) \). En y ajoutant maintenant le vecteur \(\vec(c) \), nous obtenons le vecteur \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Produit d'un vecteur et d'un nombre

Si \(\lambda =0 \) ou \(\vec(a) = \vec(0) \), alors le produit \(\lambda \vec(a) \) est considéré comme égal au vecteur zéro.

Commentaire
En utilisant la définition de la multiplication d'un vecteur par un nombre, il est facile de prouver que si les vecteurs \(\vec(a) \) et \(\vec(b) \) sont colinéaires et \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), alors il existe (et un seul) nombre \(\lambda \) tel que \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Propriétés de base des opérations linéaires

1. Propriété commutative d'addition
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Propriété correspondante ajout
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Propriété combinatoire de multiplication
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Propriété distributive par rapport à la somme des nombres
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Propriété distributive par rapport à la somme des vecteurs
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Commentaire
Ces propriétés des opérations linéaires sont d'une importance fondamentale, puisqu'elles permettent d'effectuer des opérations algébriques ordinaires sur des vecteurs. Par exemple, grâce aux propriétés 4 et 5, vous pouvez multiplier un polynôme scalaire par un polynôme vectoriel « terme par terme ».

Théorèmes de projection vectorielle

Théorème
La projection de la somme de deux vecteurs sur un axe est égale à la somme de leurs projections sur cet axe, soit
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Le théorème peut être généralisé au cas d’un nombre quelconque de termes.

Théorème
Lorsque le vecteur \(\vec(a) \) est multiplié par le nombre \(\lambda \), sa projection sur l'axe est également multipliée par ce nombre, c'est-à-dire \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)

Conséquence
Si \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) et \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), alors
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Conséquence
Si \(\vec(a) = (x;y;z) \), alors \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) pour n'importe quel nombre \(\lambda \)

De là, il est facile de déduire condition de colinéarité de deux vecteurs en coordonnées.
En effet, l'égalité \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) est équivalente aux égalités \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) ou
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) c'est-à-dire les vecteurs \(\vec(a) \) et \(\vec(b) \) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Décomposition d'un vecteur en base

Soit les vecteurs \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) vecteurs unitaires axes de coordonnées, c'est-à-dire \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), et chacun d'eux est également dirigé avec l'axe de coordonnées correspondant (voir figure). Un triplet de vecteurs \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) est appelé base.
Le théorème suivant est valable.

Théorème
Tout vecteur \(\vec(a) \) peut être développé de manière unique sur la base \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), c'est-à-dire présenté comme
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
où \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) sont des nombres.