Comment trouver la valeur d'une expression ? Expressions numériques. Expressions avec parenthèses

Ainsi, si une expression numérique est composée de nombres et des signes +, −, · et :, alors dans l'ordre de gauche à droite vous devez d'abord effectuer la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction, ce qui vous permettra de trouver le valeur souhaitée de l’expression.

Donnons quelques exemples pour clarifier.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression 14−2·15:6−3.

Solution.

Pour trouver la valeur d'une expression, vous devez effectuer toutes les actions qui y sont spécifiées conformément à l'ordre accepté pour effectuer ces actions. Tout d'abord, dans l'ordre de gauche à droite, nous effectuons la multiplication et la division, nous obtenons 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Maintenant, nous effectuons également les actions restantes dans l'ordre de gauche à droite : 14−5−3=9−3=6. C'est ainsi que nous avons trouvé la valeur de l'expression originale, elle est égale à 6.

Répondre:

14−2·15 :6−3=6.

Exemple.

Trouvez le sens de l’expression.

Solution.

DANS dans cet exemple il faut d'abord faire la multiplication 2·(−7) et la division avec la multiplication dans l'expression . En nous rappelant comment , nous trouvons 2·(−7)=−14. Et d'abord effectuer les actions dans l'expression , après quoi , et exécutez : .

Nous substituons les valeurs obtenues dans l'expression originale : .

Mais que se passe-t-il s'il y a une expression numérique sous le signe racine ? Pour obtenir la valeur d'une telle racine, vous devez d'abord trouver la valeur de l'expression radicale, en respectant l'ordre accepté pour effectuer les actions. Par exemple, .

Dans les expressions numériques, les racines doivent être perçues comme des nombres, et il est conseillé de remplacer immédiatement les racines par leurs valeurs, puis de trouver la valeur de l'expression résultante sans racines, en effectuant les actions dans l'ordre accepté.

Exemple.

Trouvez le sens de l'expression avec les racines.

Solution.

Trouvons d'abord la valeur de la racine . Pour ce faire, dans un premier temps, on calcule la valeur de l'expression radicale, on a −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Et deuxièmement, on trouve la valeur de la racine.

Calculons maintenant la valeur de la deuxième racine à partir de l'expression originale : .

Enfin, on peut retrouver le sens de l'expression originale en remplaçant les racines par leurs valeurs : .

Répondre:

Bien souvent, pour trouver le sens d’une expression avec des racines, il faut d’abord la transformer. Montrons la solution de l'exemple.

Exemple.

Quel est le sens de l'expression .

Solution.

Nous ne pouvons pas remplacer la racine de trois par sa valeur exacte, ce qui nous empêche de calculer la valeur de cette expression de la manière décrite ci-dessus. Cependant, nous pouvons calculer la valeur de cette expression en effectuant des transformations simples. En vigueur formule de différence carrée: . En prenant en compte, on obtient . Ainsi, la valeur de l’expression originale est 1.

Répondre:

.

Avec des diplômes

Si la base et l'exposant sont des nombres, leur valeur est calculée en déterminant le degré, par exemple 3 2 =3·3=9 ou 8 −1 =1/8. Il existe également des entrées dans lesquelles la base et/ou l'exposant sont des expressions. Dans ces cas, vous devez trouver la valeur de l'expression dans la base, la valeur de l'expression dans l'exposant, puis calculer la valeur du degré lui-même.

Exemple.

Trouver la valeur d'une expression avec des puissances de la forme 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Solution.

Dans l'expression originale, il y a deux puissances 2 3·4−10 et (1−1/2) 3,5−2·1/4. Leurs valeurs doivent être calculées avant d'effectuer d'autres actions.

Commençons par la puissance 2 3·4−10. Son indicateur contient une expression numérique, calculons sa valeur : 3·4−10=12−10=2. Vous pouvez maintenant trouver la valeur du degré lui-même : 2 3·4−10 =2 2 =4.

La base et l'exposant (1−1/2) 3,5−2 1/4 contiennent des expressions ; on calcule leurs valeurs afin de trouver ensuite la valeur de l'exposant. Nous avons (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Nous revenons maintenant à l'expression d'origine, remplaçons les degrés par leurs valeurs et trouvons la valeur de l'expression dont nous avons besoin : 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Répondre:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Il convient de noter qu'il existe des cas plus courants où il est conseillé de procéder à une enquête préliminaire. simplification de l'expression avec pouvoirsà la base.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

À en juger par les exposants de cette expression, valeurs exactes Vous ne pourrez pas obtenir de diplômes. Essayons de simplifier l'expression originale, cela aidera peut-être à trouver son sens. Nous avons

Répondre:

.

Les puissances dans les expressions vont souvent de pair avec les logarithmes, mais nous parlerons de trouver le sens des expressions avec des logarithmes dans l'un des.

Trouver la valeur d'une expression avec des fractions

Les expressions numériques peuvent contenir des fractions dans leur notation. Quand vous avez besoin de trouver une valeur expression similaire, fractions autres que fractions ordinaires, vous devez les remplacer par leurs valeurs avant d'effectuer le reste des étapes.

Le numérateur et le dénominateur des fractions (qui sont différents des fractions ordinaires) peuvent contenir à la fois des nombres et des expressions. Pour calculer la valeur d'une telle fraction, vous devez calculer la valeur de l'expression au numérateur, calculer la valeur de l'expression au dénominateur, puis calculer la valeur de la fraction elle-même. Cet ordre s'explique par le fait que la fraction a/b, où a et b sont des expressions, représente essentiellement un quotient de la forme (a):(b), puisque .

Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Trouver le sens d'une expression avec des fractions .

Solution.

Il y a trois fractions dans l'expression numérique originale Et . Pour trouver la valeur de l’expression originale, nous devons d’abord remplacer ces fractions par leurs valeurs. Faisons ça.

Le numérateur et le dénominateur d'une fraction contiennent des nombres. Pour trouver la valeur d'une telle fraction, remplacez la barre de fraction par un signe de division et effectuez cette action : .

Au numérateur de la fraction il y a une expression 7−2·3, sa valeur est facile à trouver : 7−2·3=7−6=1. Ainsi, . Vous pouvez procéder à la recherche de la valeur de la troisième fraction.

La troisième fraction du numérateur et du dénominateur contient des expressions numériques. Vous devez donc d'abord calculer leurs valeurs, ce qui vous permettra de trouver la valeur de la fraction elle-même. Nous avons .

Il reste à substituer les valeurs trouvées dans l'expression d'origine et à effectuer les actions restantes : .

Répondre:

.

Souvent, pour trouver les valeurs d'expressions avec des fractions, vous devez effectuer simplification expressions fractionnaires , basé sur l'exécution d'opérations avec des fractions et la réduction de fractions.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

La racine de cinq ne peut pas être extraite complètement, donc pour trouver la valeur de l’expression originale, simplifions-la d’abord. Pour ça débarrassons-nous de l'irrationalité au dénominateur première fraction : . Après cela, l'expression originale prendra la forme . Après avoir soustrait les fractions, les racines disparaîtront, ce qui permettra de retrouver la valeur initiale de expression donnée: .

Répondre:

.

Avec des logarithmes

Si une expression numérique contient et s'il est possible de s'en débarrasser, cela est fait avant d'effectuer d'autres actions. Par exemple, lors de la recherche de la valeur de l'expression log 2 4+2·3, le logarithme log 2 4 est remplacé par sa valeur 2, après quoi les actions restantes sont effectuées dans l'ordre habituel, c'est-à-dire log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Lorsqu'il existe des expressions numériques sous le signe du logarithme et/ou à sa base, on trouve d'abord leurs valeurs, après quoi la valeur du logarithme est calculée. Par exemple, considérons une expression avec un logarithme de la forme . A la base du logarithme et sous son signe se trouvent des expressions numériques ; on retrouve leurs valeurs : . Nous trouvons maintenant le logarithme, après quoi nous complétons les calculs : .

Si les logarithmes ne sont pas calculés avec précision, alors simplification préliminaire à l'aide de . Dans ce cas, vous devez avoir une bonne maîtrise du contenu de l'article. conversion d'expressions logarithmiques.

Exemple.

Trouver la valeur d'une expression avec des logarithmes .

Solution.

Commençons par calculer log 2 (log 2 256) . Puisque 256=2 8, alors log 2 256=8, donc, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Les logarithmes log 6 2 et log 6 3 peuvent être regroupés. La somme des logarithmes log 6 2+log 6 3 est égale au logarithme du produit log 6 (2 3), donc, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Regardons maintenant la fraction. Pour commencer, nous réécrirons la base du logarithme au dénominateur sous la forme d'une fraction ordinaire en 1/5, après quoi nous utiliserons les propriétés des logarithmes, ce qui nous permettra d'obtenir la valeur de la fraction :
.

Il ne reste plus qu'à substituer les résultats obtenus dans l'expression originale et finir de trouver sa valeur :

Répondre:

Comment trouver la valeur d’une expression trigonométrique ?

Lorsqu'une expression numérique contient ou, etc., leurs valeurs sont calculées avant d'effectuer d'autres actions. S'il existe des expressions numériques sous le signe des fonctions trigonométriques, leurs valeurs sont d'abord calculées, après quoi les valeurs des fonctions trigonométriques sont trouvées.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

En passant à l'article, nous obtenons et cosπ=−1 . On substitue ces valeurs dans l'expression originale, elle prend la forme . Pour trouver sa valeur, vous devez d'abord effectuer une exponentiation, puis terminer les calculs : .

Répondre:

.

Il est à noter que le calcul des valeurs d'expressions avec sinus, cosinus, etc. nécessite souvent un préalable convertir une expression trigonométrique.

Exemple.

Quelle est la valeur de l'expression trigonométrique .

Solution.

Transformons l'expression originale en utilisant , en dans ce cas nous avons besoin de la formule du cosinus double angle et la formule du cosinus de la somme :

Les transformations que nous avons effectuées nous ont aidé à trouver le sens de l'expression.

Répondre:

.

Cas général

DANS cas général une expression numérique peut contenir des racines, des puissances, des fractions, des fonctions et des parenthèses. Trouver les valeurs de telles expressions consiste à effectuer les actions suivantes :

• premières racines, puissances, fractions, etc. sont remplacés par leurs valeurs,
• d'autres actions entre parenthèses,
• et dans l'ordre de gauche à droite, les opérations restantes sont effectuées - multiplication et division, suivies de l'addition et de la soustraction.

Les actions répertoriées sont effectuées jusqu'à l'obtention du résultat final.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

La forme de cette expression est assez complexe. Dans cette expression, nous voyons des fractions, des racines, des puissances, des sinus et des logarithmes. Comment trouver sa valeur ?

En parcourant l'enregistrement de gauche à droite, on retrouve une fraction du formulaire . Nous savons que lorsqu'on travaille avec des fractions type complexe, nous devons calculer séparément la valeur du numérateur, séparément le dénominateur, et enfin trouver la valeur de la fraction.

Au numérateur on a la racine de la forme . Pour déterminer sa valeur, vous devez d'abord calculer la valeur de l'expression radicale . Il y a un sinus ici. On ne peut trouver sa valeur qu'après avoir calculé la valeur de l'expression . Nous pouvons faire cela : . Alors d'où et d'où .

Le dénominateur est simple : .

Ainsi, .

Après avoir remplacé ce résultat dans l'expression originale, il prendra la forme . L'expression résultante contient le degré . Pour trouver sa valeur, il faut d’abord trouver la valeur de l’indicateur, on a .

Donc, .

Répondre:

.

S'il n'est pas possible de calculer les valeurs exactes des racines, des puissances, etc., vous pouvez alors essayer de vous en débarrasser en utilisant certaines transformations, puis revenir au calcul de la valeur selon le schéma spécifié.

Façons rationnelles de calculer les valeurs des expressions

Calcul des valeurs expressions numériques nécessite cohérence et précision. Oui, il est nécessaire de respecter la séquence d'actions enregistrée dans les paragraphes précédents, mais il n'est pas nécessaire de le faire aveuglément et mécaniquement. Ce que nous entendons par là, c’est qu’il est souvent possible de rationaliser le processus de recherche du sens d’une expression. Par exemple, certaines propriétés des opérations avec des nombres peuvent accélérer et simplifier considérablement la recherche de la valeur d'une expression.

Par exemple, on connaît cette propriété de multiplication : si l'un des facteurs du produit égal à zéro, alors la valeur du produit est nulle. En utilisant cette propriété, on peut immédiatement dire que la valeur de l'expression 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) est égal à zéro. Si l’on suivait l’ordre standard des opérations, il faudrait d’abord calculer les valeurs des expressions encombrantes entre parenthèses, ce qui prendrait beaucoup de temps, et le résultat serait toujours nul.

Il est également pratique d'utiliser la propriété de soustraction nombres égaux: Si vous soustrayez un nombre égal d’un nombre, le résultat est zéro. Cette propriété peut être considérée de manière plus large : la différence entre deux expressions numériques identiques est nulle. Par exemple, sans calculer la valeur des expressions entre parenthèses, vous pouvez trouver la valeur de l'expression (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), il est égal à zéro, puisque l'expression originale est la différence d'expressions identiques.

Les transformations d'identité peuvent faciliter le calcul rationnel des valeurs d'expression. Par exemple, regrouper des termes et des facteurs peut être utile ; mettre le facteur commun entre parenthèses n’est pas moins souvent utilisé. Ainsi la valeur de l'expression 53·5+53·7−53·11+5 se trouve très facilement après avoir retiré le facteur 53 entre parenthèses : 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Calcul direct prendrait beaucoup plus de temps.

Pour conclure ce point, prêtons attention à une approche rationnelle du calcul des valeurs des expressions avec des fractions - les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur de la fraction sont annulés. Par exemple, réduire les mêmes expressions au numérateur et au dénominateur d'une fraction permet de retrouver immédiatement sa valeur, qui est égale à 1/2.

Trouver la valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables

La valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables est trouvée pour des valeurs spécifiques données de lettres et de variables. C'est, nous parlons de sur la recherche de la valeur d'une expression littérale pour des valeurs de lettres données ou sur la recherche de la valeur d'une expression avec des variables pour des valeurs de variables sélectionnées.

Règle trouver la valeur d'une expression littérale ou d'une expression avec des variables pour des valeurs données de lettres ou des valeurs sélectionnées de variables est la suivante : vous devez remplacer les valeurs données de lettres ou de variables dans l'expression d'origine et calculer la valeur de l'expression numérique résultante ; c'est la valeur souhaitée.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression 0,5·x−y à x=2,4 et y=5.

Solution.

Pour trouver la valeur requise de l'expression, vous devez d'abord remplacer les valeurs données des variables dans l'expression d'origine, puis effectuer les étapes suivantes : 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Répondre:

−3,8 .

Pour terminer, effectuer parfois des transformations sur des expressions littérales et variables donnera leurs valeurs, quelles que soient les valeurs des lettres et des variables. Par exemple, l’expression x+3−x peut être simplifiée, après quoi elle prendra la forme 3. De là, nous pouvons conclure que la valeur de l'expression x+3−x est égale à 3 pour toute valeur de la variable x parmi sa plage de valeurs admissibles (APV). Autre exemple : la valeur de l'expression est 1 pour tous valeurs positives x , donc zone valeurs acceptables la variable x dans l'expression originale est l'ensemble nombres positifs, et l’égalité est vraie dans cette région.

Références.

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• Mathématiques. 6e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [N. Ya. Vilenkin et autres]. - 22e éd., rév. - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill. ISBN978-5-346-00897-2.
• Algèbre: manuel pour la 7ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019315-3.
• Algèbre: manuel pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Algèbre: 9e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2009. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-021134-5.
• Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov - 14e éd. - M. : Éducation, 2004. - 384 pp. : ill.

Cet article explique comment trouver les valeurs d'expressions mathématiques. Commençons par des expressions numériques simples, puis considérons les cas à mesure que leur complexité augmente. A la fin nous donnons une expression contenant désignations de lettres, supports, racines, spécial signes mathématiques, diplômes, fonctions, etc. Conformément à la tradition, nous fournirons à l’ensemble de la théorie des exemples abondants et détaillés.

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Comment trouver la valeur d'une expression numérique ?

Les expressions numériques, entre autres, aident à décrire la condition problématique langage mathématique. Du tout expressions mathématiques peut être soit très simple, constitué d'une paire de nombres et de symboles arithmétiques, soit très complexe, contenant des fonctions, des puissances, des racines, des parenthèses, etc. Dans le cadre d’une tâche, il est souvent nécessaire de trouver le sens d’une expression particulière. Comment procéder sera discuté ci-dessous.

Les cas les plus simples

Il s'agit de cas où l'expression ne contient que des chiffres et opérations arithmétiques. Pour réussir à trouver les valeurs de telles expressions, vous aurez besoin de connaître l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques sans parenthèses, ainsi que la capacité d'effectuer des opérations avec différents nombres.

Si l'expression ne contient que des nombres et des signes arithmétiques " + " , " · " , " - " , " ÷ " , alors les actions sont effectuées de gauche à droite dans l'ordre suivant : d'abord multiplication et division, puis addition et soustraction. Donnons des exemples.

Exemple 1 : la valeur d'une expression numérique

Laissez-vous devoir trouver les valeurs de l'expression 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Faisons d'abord la multiplication et la division. On obtient :

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Maintenant, nous effectuons la soustraction et obtenons le résultat final :

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemple 2 : la valeur d'une expression numérique

Calculons : 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Nous effectuons d’abord la conversion, la division et la multiplication de fractions :

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Faisons maintenant quelques additions et soustractions. Regroupons les fractions et ramenons-les à un dénominateur commun :

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

La valeur requise a été trouvée.

Expressions avec parenthèses

Si une expression contient des parenthèses, elles définissent l'ordre des opérations dans cette expression. Les actions entre parenthèses sont réalisées en premier, puis toutes les autres. Montrons cela avec un exemple.

Exemple 3 : la valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression 0,5 · (0,76 - 0,06).

L'expression contient des parenthèses, nous effectuons donc d'abord l'opération de soustraction entre parenthèses, et ensuite seulement la multiplication.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

La signification des expressions contenant des parenthèses entre parenthèses se trouve selon le même principe.

Exemple 4 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Nous effectuerons des actions en commençant par les parenthèses les plus intérieures et en passant aux parenthèses extérieures.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Pour trouver la signification des expressions entre parenthèses, l'essentiel est de suivre la séquence d'actions.

Expressions avec des racines

Les expressions mathématiques dont nous devons trouver les valeurs peuvent contenir des signes racines. De plus, l'expression elle-même peut être sous le signe racine. Que faire dans ce cas ? Vous devez d'abord trouver la valeur de l'expression sous la racine, puis extraire la racine du nombre obtenu. Si possible, il est préférable de supprimer les racines des expressions numériques et de les remplacer par des valeurs numériques.

Exemple 5 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur de l'expression avec les racines - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Tout d’abord, nous calculons les expressions radicales.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Vous pouvez maintenant calculer la valeur de l’expression entière.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Souvent, pour trouver le sens d’une expression avec des racines, il faut d’abord convertir l’expression originale. Expliquons cela avec un autre exemple.

Exemple 6 : La valeur d'une expression numérique

Combien font 3 + 1 3 - 1 - 1

Comme vous pouvez le constater, nous n'avons pas la possibilité de remplacer la racine par une valeur exacte, ce qui complique le processus de comptage. Cependant, dans ce cas, vous pouvez appliquer la formule de multiplication abrégée.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Ainsi:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expressions avec pouvoirs

Si une expression contient des puissances, leurs valeurs doivent être calculées avant de procéder à toutes les autres actions. Il arrive que l'exposant ou la base du degré lui-même soient des expressions. Dans ce cas, la valeur de ces expressions est d'abord calculée, puis la valeur du diplôme.

Exemple 7 : La valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Commençons à calculer dans l'ordre.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Il ne reste plus qu'à effectuer l'opération d'addition et découvrir le sens de l'expression :

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Il est aussi souvent conseillé de simplifier une expression en utilisant les propriétés d’un diplôme.

Exemple 8 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur de l'expression suivante : 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Les exposants sont encore une fois tels que leurs valeurs numériques exactes ne peuvent pas être obtenues. Simplifions l'expression originale pour trouver sa valeur.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expressions avec des fractions

Si une expression contient des fractions, lors du calcul d'une telle expression, toutes les fractions qu'elle contient doivent être représentées comme des fractions ordinaires et leurs valeurs​​calculées.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction contiennent des expressions, les valeurs de ces expressions sont d'abord calculées et la valeur finale de la fraction elle-même est écrite. Les opérations arithmétiques sont effectuées dans l'ordre standard. Regardons l'exemple de solution.

Exemple 9 : La valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression contenant des fractions : 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Comme vous pouvez le voir, il y a trois fractions dans l’expression originale. Calculons d'abord leurs valeurs.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Réécrivons notre expression et calculons sa valeur :

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Souvent, pour trouver le sens des expressions, il est pratique de réduire les fractions. Existe règle tacite: avant de trouver sa valeur, il est préférable de simplifier au maximum toute expression, en réduisant tous les calculs aux cas les plus simples.

Exemple 10 : La valeur d'une expression numérique

Calculons l'expression 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Nous ne pouvons pas extraire complètement la racine de cinq, mais nous pouvons simplifier l’expression originale grâce à des transformations.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

L'expression originale prend la forme :

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Calculons la valeur de cette expression :

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expressions avec logarithmes

Lorsque des logarithmes sont présents dans une expression, leur valeur est calculée depuis le début, si possible. Par exemple, dans l'expression log 2 4 + 2 · 4, vous pouvez immédiatement écrire la valeur de ce logarithme au lieu du log 2 4, puis effectuer toutes les actions. On obtient : log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Des expressions numériques peuvent également être trouvées sous le signe du logarithme lui-même et à sa base. Dans ce cas, la première chose à faire est de trouver leur signification. Prenons l'expression log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Nous avons:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

S'il est impossible de calculer la valeur exacte du logarithme, simplifier l'expression permet de trouver sa valeur.

Exemple 11 : La valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

journal 2 journal 2 256 = journal 2 8 = 3 .

Par la propriété des logarithmes :

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

En utilisant à nouveau les propriétés des logarithmes, pour la dernière fraction de l'expression, nous obtenons :

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Vous pouvez maintenant procéder au calcul de la valeur de l'expression d'origine.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Expressions avec fonctions trigonométriques

Il arrive que l'expression contienne les fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente, ainsi que leurs fonctions inverses. La valeur est calculée avant que toutes les autres opérations arithmétiques ne soient effectuées. Sinon, l'expression est simplifiée.

Exemple 12 : La valeur d'une expression numérique

Trouvez la valeur de l'expression : t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Tout d'abord, nous calculons les valeurs des fonctions trigonométriques incluses dans l'expression.

péché - 5 π 2 = - 1

Nous substituons les valeurs dans l'expression et calculons sa valeur :

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

La valeur de l'expression a été trouvée.

Souvent pour trouver le sens d'une expression avec fonctions trigonométriques, il faut d'abord le convertir. Expliquons avec un exemple.

Exemple 13 : La valeur d'une expression numérique

Nous devons trouver la valeur de l'expression cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pour la conversion, nous utiliserons formules trigonométriques cosinus du double angle et cosinus de la somme.

cos 2 π 8 - péché 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - péché 5 π 36 péché π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Cas général d'une expression numérique

En général expression trigonométrique peut contenir tous les éléments décrits ci-dessus : parenthèses, puissances, racines, logarithmes, fonctions. Formulons règle générale trouver le sens de telles expressions.

Comment trouver la valeur d'une expression

1. Racines, puissances, logarithmes, etc. sont remplacés par leurs valeurs.
2. Les actions entre parenthèses sont exécutées.
3. Les actions restantes sont effectuées dans l'ordre de gauche à droite. D'abord - multiplication et division, puis - addition et soustraction.

Regardons un exemple.

Exemple 14 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur de l'expression - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

L'expression est assez complexe et lourde. Ce n'est pas par hasard que nous avons choisi un tel exemple, après avoir essayé d'y intégrer tous les cas décrits ci-dessus. Comment trouver le sens d’une telle expression ?

On sait que lors du calcul de la valeur d'un complexe forme fractionnaire, d'abord les valeurs du numérateur et du dénominateur de la fraction se trouvent respectivement séparément. Nous allons successivement transformer et simplifier cette expression.

Tout d'abord, calculons la valeur de l'expression radicale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pour ce faire, vous devez trouver la valeur du sinus et l'expression qui est l'argument de la fonction trigonométrique.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Vous pouvez maintenant connaître la valeur du sinus :

péché π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = péché π 6 + 2 π = péché π 6 = 1 2.

On calcule la valeur de l'expression radicale :

2 péché π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · péché π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Avec le dénominateur de la fraction tout est plus simple :

Nous pouvons maintenant écrire la valeur de la fraction entière :

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

En tenant compte de cela, nous écrivons l'expression entière :

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Résultat final :

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Dans ce cas, nous avons pu calculer les valeurs exactes des racines, des logarithmes, des sinus, etc. Si cela n’est pas possible, vous pouvez essayer de vous en débarrasser grâce à des transformations mathématiques.

Calculer les valeurs d'expression à l'aide de méthodes rationnelles

Les valeurs numériques doivent être calculées de manière cohérente et précise. Ce processus peut être rationalisé et accéléré en utilisant diverses propriétés actions avec des chiffres. Par exemple, on sait qu'un produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Compte tenu de cette propriété, on peut immédiatement dire que l'expression 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 est égale à zéro. Dans le même temps, il n'est pas du tout nécessaire d'effectuer les actions dans l'ordre décrit dans l'article ci-dessus.

Il est également pratique d'utiliser la propriété de soustraire des nombres égaux. Sans effectuer aucune action, vous pouvez ordonner que la valeur de l'expression 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 soit également nulle.

Une autre technique pour accélérer le processus consiste à utiliser des transformations d'identité telles que le regroupement de termes et de facteurs et la soustraction. multiplicateur commun hors parenthèses. Une approche rationnelle pour calculer des expressions avec des fractions consiste à réduire les mêmes expressions au numérateur et au dénominateur.

Par exemple, prenons l'expression 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Sans effectuer les opérations entre parenthèses, mais en réduisant la fraction, on peut dire que la valeur de l'expression est 1 3 .

Trouver les valeurs des expressions avec des variables

La valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables est trouvée pour des valeurs spécifiques données de lettres et de variables.

Trouver les valeurs des expressions avec des variables

Pour trouver la valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables, vous devez remplacer définir des valeurs lettres et variables, puis calculez la valeur de l’expression numérique résultante.

Exemple 15 : La valeur d'une expression avec des variables

Calculez la valeur de l'expression 0, 5 x - y étant donné x = 2, 4 et y = 5.

Nous substituons les valeurs des variables dans l'expression et calculons :

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Parfois, vous pouvez transformer une expression pour obtenir sa valeur quelles que soient les valeurs des lettres et des variables qu'elle contient. Pour ce faire, vous devez vous débarrasser des lettres et des variables dans l'expression, si possible, en utilisant transformations identitaires, propriétés des opérations arithmétiques et toutes les autres méthodes possibles.

Par exemple, l'expression x + 3 - x a évidemment la valeur 3, et pour calculer cette valeur il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de la variable x. La valeur de cette expression est égale à trois pour toutes les valeurs de la variable x parmi sa plage de valeurs admissibles.

Un autre exemple. La valeur de l'expression x x est égale à un pour tous les x positifs.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Objectifs: améliorer les compétences dans la composition d'expressions et le calcul de leur signification ; continuer à développer ses compétences en matière de prise de décision tâches des composants; développer l’attention et les capacités de raisonnement.

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel.

II. Comptage oral.

1. Dictée mathématique.

a) Le nombre a été réduit de 8 et nous avons obtenu 20. Nommez ce nombre.

b) Le nombre a été augmenté de 6 et nous avons obtenu 15. Nommez ce nombre.

c) Si le nombre est multiplié par 5, il devient 30. De quel nombre s'agit-il ?

d) Si le nombre est réduit de 4 fois, il devient 8. De quel nombre s'agit-il ?

2. Géométrie sur les allumettes.

a) Combien de carrés y a-t-il dans le dessin ? Combien d'autres polygones ? Quels sont ces polygones ?

b) Retirez un bâton pour qu'il reste 3 carrés. Trouvez plusieurs solutions et comparez-les.

c) Retirez un bâton pour qu'il reste 4 carrés. Trouvez plusieurs solutions et comparez-les.

d) Retirez deux bâtons pour qu'il reste 4 carrés.

3. Comparez l'heure indiquée sur l'horloge. En utilisant la même règle, dessinez les aiguilles de la dernière horloge.

III. Message du sujet de la leçon.

IV. Travaillez sur le sujet de la leçon.

Tâche n°5(p. 74).

Les élèves lisent le devoir.

– De combien de parties l’expression se compose-t-elle ?

– Quelle action sera effectuée en dernier ?

– Écrivez l’expression et calculez sa valeur.

Tâche n°6(p. 74).

- Lisez le texte. Est-ce une tâche ?

– Que sait-on ? Que devez-vous savoir ?

– Notez brièvement les conditions du problème.

C'était 25 litres. et 14 litres.

Utilisé - 7 litres.

Gauche - ? l.

1) Combien de feuilles y avait-il ?

25 + 14 = 39 (à gauche).

2) Combien de feuilles reste-t-il ?

39 – 7 = 32 (à gauche).

Réponse : 32 feuilles.

V. Répétition du matériel abordé.

1. Travaillez selon le manuel.

Tâche n°13(p. 75).

– Regardez le dessin.

– Comment s’appellent ces chiffres ?

– Quelle est l’aire de la partie ombrée de la figure ?

– Combien de cellules y a-t-il dans la figure jaune ? (28 cellules.)

– Combien de cellules y a-t-il dans la figure bleue ? (24 cellules.)

– Combien de cellules forment 1 cm2 ? (4 cellules.)

– Comment calculer la superficie dans ce cas ?

28 : 4 = 7 (cm 2).

24 : 4 = 6 (cm 2).

Tâche n°14(p. 75).

Les élèves créent des diagrammes de « machine » et répondent aux questions du devoir.

Tâche n°15(p. 75).

Les étudiants travaillent de manière indépendante. Tests par les pairs en binôme.

2. Travaillez avec des cartes.

Tâche n°1.

Écrivez des expressions et calculez leurs valeurs.

a) Du nombre 90, soustrayez la somme des nombres 42 et 8.

b) Augmente la différence entre les nombres 58 et 50 de 7.

c) Du nombre 39, soustrayez la différence entre les nombres 17 et 8.

d) Réduisez la somme des nombres 13 et 7 par 9.

e) Du nombre 38, soustrayez la différence entre les nombres 17 et 9.

f) Réduisez la somme des nombres 7 et 6 par 10.

g) Au nombre 8, ajoutez la différence entre les nombres 75 et 70.

h) Augmente la différence entre les nombres 13 et 4 de 20.

Tâche n°2.

Il y avait autant de pommes dans le vase que dans l’assiette. 5 pommes supplémentaires ont été mises dans le vase, et il y avait 14 pommes dedans. Combien de pommes y a-t-il ensemble dans l’assiette et dans le vase ? Trouvez une expression pour résoudre le problème et calculez sa valeur.

VI. Résumé de la leçon.

– Qu'avez-vous appris de nouveau pendant la leçon ?

– Nommer les composantes de toutes les opérations arithmétiques.

Devoirs: N° 139 (cahier d'exercices).

Leçon 108

Coin. angle droit

Objectifs: initier les élèves à la notion d'« angle » ; apprendre à réaliser un modèle angle droit; apprendre à identifier les angles droits et indirects dans un dessin ; améliorer les compétences informatiques; développer l'attention et l'œil.

En règle générale, les enfants commencent à étudier l'algèbre dès classes juniors. Après avoir maîtrisé les principes de base du travail avec les nombres, ils résolvent des exemples avec une ou plusieurs variables inconnues. Trouver le sens d'une expression comme celle-ci peut être assez difficile, mais si vous la simplifiez en utilisant les connaissances de l'école primaire, tout s'arrangera rapidement et facilement.

Quel est le sens d'une expression

Une expression numérique s'appelle notation algébrique, composé de chiffres, de parenthèses et de signes si cela a du sens.

En d’autres termes, s’il est possible de retrouver le sens d’une expression, alors l’entrée n’est pas dénuée de sens, et vice versa.

Des exemples des entrées suivantes sont des constructions numériques valides :

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Un seul nombre représentera également une expression numérique, comme le nombre 18 de l'exemple ci-dessus.
Exemples de constructions de nombres incorrectes qui n'ont aucun sens :

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Incorrect exemples numériques Ce ne sont qu’un ensemble de symboles mathématiques et n’ont aucune signification.

Comment trouver la valeur d'une expression

Depuis dans exemples similaires des signes arithmétiques sont présents, on peut conclure qu'ils permettent de produire calculs arithmétiques. Pour calculer les signes ou, en d’autres termes, trouver le sens d’une expression, il est nécessaire d’effectuer les manipulations arithmétiques appropriées.

A titre d'exemple, considérons la construction suivante : (120-30)/3=30. Le nombre 30 sera la valeur de l'expression numérique (120-30)/3.

Instructions:

Concept d'égalité numérique

Une égalité numérique est une situation où deux parties d'un exemple sont séparées par le signe « = ». C'est-à-dire qu'une partie est complètement égale (identique) à l'autre, même si elle est affichée sous la forme d'autres combinaisons de symboles et de chiffres.
Par exemple, toute construction comme 2+2=4 peut être appelée une égalité numérique, car même si les parties sont interverties, la signification ne changera pas : 4=2+2. Il en va de même pour les constructions plus complexes impliquant des parenthèses, des divisions, des multiplications, des opérations avec des fractions, etc.

Comment trouver correctement la valeur d'une expression

Pour trouver correctement la valeur de l'expression, vous devez effectuer des calculs selon un certain ordre actes. Cet ordre est enseigné dans les cours de mathématiques, puis dans les cours d'algèbre de école primaire. C’est également connu sous le nom d’étapes arithmétiques.

Étapes arithmétiques :

1. La première étape est l’addition et la soustraction de nombres.
2. La deuxième étape est celle où sont effectuées la division et la multiplication.
3. Troisième étape - les nombres sont au carré ou au cube.

Observer suivre les règles, vous pouvez toujours déterminer correctement le sens de l'expression :

1. Effectuez des actions à partir de la troisième étape et en terminant par la première, s'il n'y a pas de parenthèses dans l'exemple. C'est-à-dire d'abord un carré ou un cube, puis divisez ou multipliez, et ensuite seulement additionnez et soustrayez.
2. Dans les constructions avec parenthèses, effectuez d'abord les actions entre parenthèses, puis suivez l'ordre décrit ci-dessus. S'il y a plusieurs parenthèses, utilisez également la procédure du premier paragraphe.
3. Dans les exemples sous forme de fraction, recherchez d'abord le résultat au numérateur, puis au dénominateur, puis divisez le premier par le second.

Trouver le sens d'une expression n'est pas difficile si l'on acquiert des connaissances de base cours initiaux algèbre et mathématiques. Guidé par les informations décrites ci-dessus, vous pouvez résoudre n'importe quel problème, même de complexité accrue.

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