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Fait bien connu : Un exemple de paradoxe : si le littoral britannique est mesuré par sections de 100 km, sa longueur est alors d'environ 2 800 km. Si des tronçons de 50 km sont utilisés, la longueur est d'environ 3 400 km, soit 600 km de plus. Longueur

Lorsque vous étudiez la géographie, n'oubliez pas, bien sûr, que chaque pays a sa propre superficie et sa propre longueur de frontière. En particulier, si un pays est baigné par une mer ou un océan, il a alors une frontière maritime d'une certaine longueur. Vous êtes-vous déjà demandé comment cette longueur de frontière est déterminée ? En 1977, le mathématicien américain Benoit Mandelbrot s'est fixé question suivante: Quelle est la longueur du littoral britannique ? Il s’est avéré qu’il était impossible de répondre correctement à cette « question enfantine ». En 1988, le scientifique norvégien Jens Feder a décidé de déterminer la longueur du littoral norvégien. Veuillez noter que la côte norvégienne est fortement découpée par des fjords. D'autres scientifiques se sont posés des questions similaires sur la longueur des côtes australiennes, Afrique du Sud, Allemagne, Portugal et autres pays.

Nous ne pouvons mesurer la longueur du littoral qu’approximativement. À mesure que nous effectuons un zoom arrière, nous devons mesurer de plus en plus de petits promontoires et de petites baies - la longueur du littoral augmente, et il n'y a tout simplement aucune limite objective à la réduction de l'échelle (et donc à l'augmentation de la longueur du littoral) ; nous sommes obligés d'admettre que cette ligne a longueur infinie. Nous savons que la dimension d’une ligne droite est un, la dimension d’un carré est deux et la dimension d’un cube est trois. Mandelbrot a proposé d'utiliser des dimensions fractionnaires - dimensions Hausdorff - Besicovitch - pour mesurer des courbes « monstrueuses ». Les courbes sans fin brisées comme un littoral ne sont pas tout à fait des lignes. Ils semblent « balayer » une partie de l’avion, comme une surface. Mais ce ne sont pas non plus des surfaces. Cela signifie qu'il est raisonnable de supposer que leur dimension est supérieure à un, mais également inférieure à deux, c'est-à-dire qu'il s'agit d'objets de dimension fractionnaire.

Le scientifique norvégien E. Feder a proposé une autre façon de mesurer la longueur du littoral. La carte était recouverte d'une grille carrée dont les cellules ont des dimensions e? e. On peut voir que le nombre N(e) de telles cellules qui couvrent le littoral sur la carte est approximativement égal au nombre de pas pendant lesquels on peut parcourir le littoral sur la carte à l'aide d'une boussole avec une solution e. Si e est réduit, alors le nombre N(e) augmentera. Si la longueur du littoral britannique avait une certaine longueur L, alors le nombre de pas d'une boussole avec une solution (ou le nombre cellules carrées

N(e) couvrant le littoral sur la carte) serait inversement proportionnel à e, et la valeur Ln (e)=N(e) ? e tendrait à devenir constant à mesure que k diminue. Malheureusement, les calculs effectués par de nombreux scientifiques ont montré que cela n'est pas entièrement vrai. À mesure que la hauteur diminue, la longueur mesurée augmente. Il s'est avéré que la relation entre la longueur mesurée L(e) et le pas e peut être décrite par la relation approximative Le coefficient D est appelé dimension fractale. Le mot fractale vient de

mot latin

fractal - fractionnaire, non entier. Un ensemble est dit fractal s’il a une dimension non entière. Pour la Norvège D=1,52 et pour la Grande-Bretagne D=1,3. Ainsi, le littoral de la Norvège et de la Grande-Bretagne est une fractale de dimension fractale D. Des calculs ont également été effectués pour un cercle, et la dimension fractale du cercle est D=1, ce qui était prévisible. Ainsi, la dimension fractale est une généralisation de la dimension ordinaire.

Comment comprendre cela et qu’est-ce que cela pourrait signifier ? Les mathématiciens ont commencé à se rappeler si quelque chose de semblable avait déjà existé en mathématiques ou non ? Et ils se sont souvenus ! Considérons une partie d'une certaine ligne AB sur le plan (Fig. 3). Prenons un carré d'arête e et demandons-nous : combien de carrés N(e) d'arête e sont nécessaires pour couvrir la ligne AB avec de tels carrés ? On voit que N(e) est proportionnel De même, si une zone limitée fermée sur un plan (Fig. 4) est recouverte d'une grille carrée de côté e, alors le nombre minimum de carrés de côté e couvrant la surface sera égal à Si l’on considère une région fermée et délimitée dans

espace tridimensionnel et prenons un cube d'arête e, alors le nombre de cubes remplissant cette zone est Déterminons la dimension fractale en fonction de ce qui a été indiqué ci-dessus dans

cas général

comme suit:

Prenons le logarithme des côtés gauche et droit

Un exemple de paradoxe : si le littoral britannique est mesuré par sections de 100 km, sa longueur est alors d'environ 2 800 km. Si des tronçons de 50 km sont utilisés, la longueur est d'environ 3 400 km, soit 600 km de plus.

La longueur du littoral dépend de la manière dont il est mesuré. Puisqu’une masse continentale peut être caractérisée par des courbures de n’importe quelle taille, allant de centaines de kilomètres à des fractions de millimètre ou moins, il n’existe aucun moyen évident de sélectionner la taille du plus petit élément à prendre pour la mesure. Il est donc impossible de déterminer sans ambiguïté le périmètre de cette zone. Il existe diverses approximations mathématiques pour résoudre ce problème.

La principale méthode d'estimation de la longueur d'une frontière ou d'un littoral consistait à superposer N segments égaux longueur je sur une carte ou une photographie aérienne à l’aide d’une boussole. Chaque extrémité du segment doit appartenir à la limite mesurée. En examinant les divergences dans l'évaluation des limites, Richardson a découvert ce qu'on appelle maintenant effet Richardson: L'échelle de mesure est inversement proportionnelle à la longueur totale de tous les segments. Autrement dit, plus la règle utilisée est courte, plus la limite mesurée est longue. Ainsi, les géographes espagnols et portugais se sont simplement guidés par des mesures à différentes échelles.

Ce qui a été le plus frappant pour Richardson, c'est que lorsque la valeur je tend vers zéro, la longueur de la côte tend vers l'infini. Richardson pensait initialement, en s'appuyant sur la géométrie euclidienne, que cette longueur atteindrait une valeur fixe, comme c'est le cas pour les longueurs régulières. formes géométriques. Par exemple, le périmètre polygone régulier, inscrit dans un cercle, se rapproche de la longueur du cercle lui-même à mesure que le nombre de côtés augmente (et que la longueur de chaque côté diminue). Dans la théorie des mesures géométriques, une courbe lisse telle qu'un cercle, qui peut être représentée approximativement sous forme de petits segments avec une limite donnée, est appelée courbe rectifiable.

Plus de dix ans après que Richardson ait terminé ses travaux, Mandelbrot a développé une nouvelle branche des mathématiques – la géométrie fractale – pour décrire les complexes non rectifiables qui existent dans la nature, comme le littoral sans fin. Son propre définition fractale comme base de ses recherches est la suivante :

j'ai inventé un mot fractale, prenant comme base l'adjectif latin fracturé. Verbe latin correspondant frangere moyens casser: Créez des fragments irréguliers. Il est donc raisonnable qu'en plus de « fragmentaire », fracturé doit aussi signifier « irrégulier ».

La propriété clé des fractales est l'autosimilarité, qui consiste en la manifestation du même chiffre globalà n'importe quelle échelle. Le littoral est perçu comme une alternance de baies et de caps. Hypothétiquement, si un littoral donné possède la propriété d'auto-similarité, alors, quelle que soit l'échelle de l'une ou l'autre partie, il y aura toujours un motif similaire de baies et de promontoires plus petits superposés à des baies et promontoires plus grands, jusqu'aux grains de sable. À ces échelles, le littoral apparaît comme un fil en évolution instantanée, potentiellement sans fin, avec un agencement stochastique de baies et de promontoires. Dans de telles conditions (par opposition à des courbes douces), Mandelbrot déclare : « La longueur du littoral est un concept insaisissable, glissant entre les doigts de ceux qui tentent de le comprendre. »

où la longueur du littoral L est fonction de l’unité ε et est approximée par l’expression du côté droit. F est une constante, D est le paramètre de Richardson, dépendant du littoral lui-même (Richardson n'a pas donné explication théorique cette quantité, cependant Mandelbrot a défini D comme une forme non entière de la dimension Hausdorff, plus tard la dimension fractale. En d’autres termes, D est la valeur pratiquement mesurée de la « rugosité »). S'étant regroupé côté droit expressions, on obtient :

où Fε -D doit être le nombre d'unités ε nécessaires pour obtenir L. La dimension fractale est le nombre de dimensions d'un objet utilisé pour approximer une fractale : 0 pour un point, 1 pour une ligne, 2 pour les figures de surface. Étant donné que la ligne brisée mesurant la longueur de la côte ne s'étend pas dans une direction et ne représente en même temps pas de superficie, la valeur de D dans l'expression prend position intermédiaire entre 1 et 2 (pour la côte généralement inférieur à 1,5). Cela peut être interprété comme une ligne épaisse ou une bande de 2ε de large. Des côtes plus « brisées » ont valeur plus élevée D et donc L s’avèrent plus longs pour le même ε. Mandelbrot a montré que D ne dépend pas de ε.

En général, les lignes de côte diffèrent des fractales mathématiques car elles sont formées à l’aide de nombreux petits détails qui créent des motifs uniquement statistiquement.

En réalité, il n'y a pas de détails inférieurs à 1 cm sur les côtes [ ] . Cela est dû à l'érosion et à d'autres phénomènes marins. Dans la plupart des endroits, la taille minimale est beaucoup plus élevée. Par conséquent, le modèle fractal infini n’est pas adapté aux littoraux.

Pour des raisons pratiques, choisissez une taille minimale de pièces égale à l'ordre des unités de mesure. Donc, si le littoral se mesure en kilomètres, alors changements mineurs les lignes bien inférieures à un kilomètre ne sont tout simplement pas prises en compte. Pour mesurer le littoral en centimètres, toutes les petites variations d’environ un centimètre doivent être prises en compte. Cependant, à des échelles de l'ordre du centimètre, diverses hypothèses arbitraires non fractales doivent être faites, par exemple à l'endroit où l'estuaire rejoint la mer, ou à des endroits où des mesures doivent être prises à des watts larges. De plus, l'utilisation diverses méthodes les mesures pour différentes unités de mesure ne permettent pas la conversion de ces unités par simple multiplication.

Pour déterminer l'état eaux territoriales construisent les soi-disant courbes de la côte de la province canadienne de la Colombie-Britannique ; elles constituent plus de 10 % de la longueur du littoral canadien (en tenant compte de toutes les îles de l'archipel arctique canadien) - 25 725 km sur 243 042 km sur une distance linéaire de seulement 965 km

Avant de nous familiariser avec le premier type de fractales - à savoir les courbes dont la dimension fractale dépasse 1 - considérons une section typique d'un rivage. Bien entendu, sa longueur ne peut être inférieure à la distance en ligne droite entre son point de départ et son point d'arrivée. Cependant, en règle générale, les côtes ont forme irrégulière- ils sont tortueux et brisés, et leurs longueurs dépassent sans aucun doute largement les distances entre leurs points extrêmes, mesurées en ligne droite.

Il existe de nombreuses façons d’estimer plus précisément la longueur d’un littoral et, dans ce chapitre, nous en analyserons quelques-unes. En fin de compte, nous arriverons à une conclusion très remarquable : la longueur du littoral est une notion très glissante, et vous ne pouvez pas la saisir à mains nues. Quelle que soit la méthode de mesure utilisée, le résultat est toujours le même : la longueur d'un littoral typique est très longue et si mal définie qu'il est plus commode de la considérer comme infinie. Par conséquent, si quelqu'un décide de comparer différentes rives du point de vue de leur longueur, il devra trouver quelque chose pour remplacer la notion de longueur, qui ce cas sans objet.

Dans ce chapitre, nous commencerons la recherche d'un remplaçant approprié, et au cours du processus de recherche, nous ne pouvons éviter de nous familiariser avec diverses formes concepts fractals de dimension, de mesure et de courbe.

MÉTHODES ALTERNATIVES DE MESURE

Méthode A. Régleons l'ouverture de la boussole de mesure sur une certaine longueur donnée, que nous appelons la longueur du pas, et marchons avec cette boussole le long du littoral qui nous intéresse, en commençant chaque nouveau pas au point où se terminait le précédent. Le nombre de pas multiplié par la longueur e nous donnera la longueur approximative de la berge. Nous savons depuis l'école que si nous répétons cette opération, en réduisant à chaque fois l'ouverture de la boussole, nous pouvons alors nous attendre à ce que la valeur se précipite rapidement vers une valeur très spécifique, appelée la vraie longueur. Cependant, ce qui se passe réellement ne correspond pas à nos attentes. Dans un cas typique, la longueur observée tend à augmenter sans limite.

La raison de ce comportement est évidente : si vous regardez une péninsule ou une baie sur des cartes à l'échelle 1/100 000 et 1/10 000, alors dernière carte on distingue clairement des péninsules et des baies plus petites qui n'étaient pas visibles sur la première. Une carte de la même zone, réalisée à l'échelle 1/1000, nous montrera des péninsules et des criques encore plus petites, et ainsi de suite. Chaque nouveau détail augmente la longueur totale de la banque.

La procédure ci-dessus suppose que le littoral est de forme trop irrégulière pour que sa longueur puisse être directement représentée comme la somme des longueurs de courbes géométriques simples, dont les longueurs peuvent être trouvées dans des ouvrages de référence. C'est, Méthode A remplace le littoral par une séquence lignes brisées, composé de sections droites dont on peut déterminer la longueur.

Méthode B. Le même « lissage » peut être obtenu par d’autres moyens. Imaginez un homme marchant le long du rivage le chemin le plus court, dont la trajectoire ne s'écarte jamais de l'eau plus loin que distance spécifiée. Ayant atteint point final, il revient, réduisant légèrement la valeur de . Puis encore et encore, jusqu'à ce que finalement la valeur atteigne, disons, 50 cm. Il n'est pas possible de la réduire davantage, car la personne est trop grande et maladroite pour pouvoir tracer une trajectoire plus détaillée. On me objectera peut-être que ces petits détails inaccessibles, d'une part, n'ont aucun intérêt immédiat pour l'homme, et d'autre part, sont sujets à des changements si importants selon la période de l'année et la hauteur de la marée que leur enregistrement détaillé perd généralement tout sens. Nous examinerons la première de ces objections plus loin dans ce chapitre. Quant à la deuxième objection, elle peut être neutralisée en se limitant à considérer un rivage rocheux à marée basse et en eau calme. En principe, une personne peut tracer des courbes approximatives plus détaillées en appelant une souris pour l'aider, puis une fourmi, et ainsi de suite. Et encore, à mesure que notre promeneur suit un chemin de plus en plus proche de l’eau, la distance qu’il doit parcourir augmente indéfiniment.

Méthode C. La méthode B implique une certaine asymétrie entre l’eau et le rivage. Afin d'éviter cette asymétrie, Kantor a proposé de visualiser le littoral comme à travers une lentille défocalisée, de sorte que chaque point se transforme en une tache ronde de rayon . En d’autres termes, Cantor considère que tous les points – sur terre comme sur l’eau – dont la distance jusqu’au littoral lui-même ne dépasse pas . Ces pointes forment une sorte de boudin ou de ruban de largeur (un exemple d'un tel « boudin » - bien que dans un contexte différent - est montré sur la Fig. 56). Mesurons la surface de la bande résultante et divisons-la par. Si le littoral était droit, alors le ruban serait un rectangle et la valeur trouvée de la manière décrite ci-dessus s'avérerait être la longueur réelle de la côte. Lorsqu'il s'agit de côtes réelles, on obtient une estimation approximative de la longueur , qui augmente sans limite à mesure que .

MéthodeD. Imaginez une carte réalisée à la manière des artistes pointillistes, c'est-à-dire où les continents et les océans sont représentés par des points ronds colorés de rayon . Au lieu de considérer les centres des spots comme des points appartenant au trait de côte, comme dans la méthode C, on exigera que le nombre de spots cachant complètement la ligne soit le plus petit. En conséquence, les endroits proches des caps se trouveront principalement sur terre et près des baies, ils se trouveront dans la mer. L'estimation de la longueur du littoral sera ici le résultat de la division de la superficie couverte par les spots par . Le « comportement » de cette évaluation laisse également beaucoup à désirer.

ALÉATOIRE DES RÉSULTATS DE MESURE

En résumant la section précédente, nous notons que le résultat de l’utilisation de l’une des quatre méthodes est toujours le même. À mesure que e diminue, la longueur approximative de la courbe tend vers l’infini.

Afin de bien comprendre la signification de ce fait, effectuons une mesure similaire de la longueur de n’importe quelle courbe euclidienne ordinaire. Par exemple, sur un segment de ligne droite, les données de mesure estimées approximatives coïncident fondamentalement et déterminent la longueur requise. Dans le cas d'un cercle valeur approximative la longueur augmente, mais se précipite assez rapidement vers une certaine limite spécifique. Les courbes dont la longueur peut être ainsi déterminée sont dites rectifiables.

Il est encore plus instructif d'essayer de mesurer la longueur de certaines côtes domestiquées par l'homme, par exemple la côte près de Chelsea telle qu'elle apparaît aujourd'hui. Puisque les gens laissent encore de très grands plis du terrain inchangés, nous allons installer une très grande solution sur notre boussole et la réduire progressivement. Comme on pouvait s’y attendre, la longueur du littoral va augmenter.

Cependant, il en existe un fonctionnalité intéressante: avec une réduction supplémentaire, on se retrouve inévitablement dans une zone intermédiaire, où la longueur reste quasiment inchangée. Cette zone s'étend d'environ 20 m à 20 cm (très environ). Lorsqu'elle devient inférieure à 20 cm, la longueur recommence à augmenter - désormais, les pierres individuelles influencent le résultat de la mesure. Ainsi, si vous tracez un graphique de l'évolution de la valeur en fonction de , vous y trouverez sans aucun doute une zone plane avec des valeurs de e comprises entre 20 m et 20 cm - sur des graphiques similaires pour les côtes naturelles « sauvages », de telles zones plates ne sont pas observées.

Il est évident que les mesures effectuées dans cette zone plane ont une énorme valeur pratique. Puisque les frontières entre les différents disciplines scientifiques sont principalement le résultat d'un accord entre scientifiques sur la division du travail, on peut par exemple transférer tous les phénomènes dont l'échelle dépasse 20 m, c'est-à-dire ceux que l'homme n'a pas encore atteint, au département de géographie. Une telle limitation nous donnera une longueur géographique bien précise. Garde côtière peut utiliser avec succès la même valeur pour travailler avec des rivages « sauvages », et les encyclopédies et les almanachs indiqueront à chacun la longueur correspondante.

D’un autre côté, il m’est difficile d’imaginer que toutes les agences gouvernementales intéressées, même d’un seul pays, se mettront d’accord entre elles pour utiliser un sens unique, et son adoption par tous les pays du monde est totalement impossible à imaginer. Richardson donne cet exemple : les encyclopédies espagnoles et portugaises donnent des longueurs différentes frontière terrestre entre ces pays, avec une différence de 20% (il en va de même pour la frontière entre la Belgique et les Pays-Bas). Cet écart doit s’expliquer en partie par des choix différents. Les preuves empiriques, dont nous parlerons bientôt, montrent que pour qu'une telle différence se produise, il suffit qu'une valeur diffère d'une autre d'un facteur deux seulement ; Il n’est d’ailleurs pas surprenant qu’un petit pays (le Portugal) mesure plus soigneusement la longueur de ses frontières que son grand voisin.

Le deuxième argument, le plus significatif, contre le choix arbitraire est de nature philosophique et scientifique générale. La nature existe indépendamment de l'homme, et quiconque accorde trop d'importance à une signification ou à une signification particulière suppose que le maillon déterminant dans le processus de compréhension de la nature est l'homme avec ses normes généralement acceptées ou ses moyens techniques très changeants. Si les littoraux doivent un jour devenir des objets recherche scientifique, il est peu probable que l’on puisse légiférer pour interdire l’incertitude constatée sur leurs longueurs. Quoi qu’il en soit, la notion de longueur géographique n’est pas aussi anodine qu’il y paraît à première vue. Ce n'est pas tout à fait « objectif », car lors de la détermination de la longueur de cette manière, l'influence de l'observateur est inévitable.

RECONNAISSANCE ET IMPORTANCE DES RÉSULTATS ARBITRAIRES DES MESURES

Sans aucun doute, beaucoup de gens pensent que les lignes de côte sont des courbes irréductibles, et d'ailleurs je ne me souviens pas que quelqu'un ait pensé le contraire. Cependant, ma recherche de preuves écrites en faveur de cette opinion a été presque totalement infructueuse. Outre les citations de Perrin données dans le deuxième chapitre, on trouve aussi cette observation dans l'article de Steinhaus : « En mesurant la longueur de la rive gauche de la Vistule avec une précision croissante, on peut obtenir des valeurs en dizaines, en centaines et même en milliers. de fois supérieur à ce que donne la carte scolaire.. L'affirmation suivante semble très proche de la réalité : la plupart des arcs trouvés dans la nature ne sont pas rectifiables. Cette affirmation contredit la croyance populaire, qui se résume au fait que les arcs non rectifiables sont une fiction mathématique et que dans la nature, tous les arcs sont rectifiables. De ces deux affirmations contradictoires, la première devrait apparemment être considérée comme vraie. Cependant, ni Perrin ni Steinhaus n’ont pris la peine de développer leurs hypothèses plus en détail et de les amener à leur conclusion logique.

K. Fadiman raconte une histoire intéressante. Son ami Edward Kasner a mené cette expérience à plusieurs reprises : il « a demandé aux petits enfants ce qu'ils pensaient de la longueur totale côte des États-Unis. Après qu'un des enfants ait exprimé une hypothèse assez « raisonnable »,... Kasner... les a invités à réfléchir à la mesure dans laquelle ce chiffre pourrait être augmenté s'ils mesuraient très soigneusement le périmètre de tous les caps et baies, puis traçaient tout aussi soigneusement des caps et des criques plus petits dans chacun de ces caps et dans chacune de ces baies, puis mesurez chaque caillou et chaque grain de sable qui forme le littoral, chaque molécule, chaque atome, etc. Il s'est avéré que le rivage pouvait être aussi long que vous comme . Les enfants l’ont tout de suite compris, mais Kasner avait des problèmes avec les adultes.» L’histoire est bien sûr très sympa, mais il est peu probable qu’elle ait quelque chose à voir avec ma recherche. Kasner n’a clairement pas cherché à mettre en évidence un aspect de la réalité méritant une étude plus approfondie.

Ainsi, on peut dire que l'article et le livre que vous tenez entre vos mains représentent essentiellement les premiers ouvrages consacrés à ce sujet.

Dans son livre The Will to Believe1, William James écrit : « Ce qui n'entre pas dans le cadre d'une classification... est toujours un champ riche de grandes découvertes. Dans toute science, autour de faits généralement acceptés et ordonnés, tourne toujours un nuage poussiéreux d'exceptions aux règles - des phénomènes subtils, incohérents, rarement rencontrés, des phénomènes plus faciles à ignorer qu'à considérer. Chaque science s'efforce de parfait état un système fermé et strict de vérités... Les phénomènes qui ne peuvent être classés au sein du système sont considérés comme des absurdités paradoxales et ne sont évidemment pas vrais. Ils sont négligés et rejetés sur la base des meilleures intentions de la conscience scientifique... Quiconque étudie sérieusement les phénomènes irréguliers sera capable de créer nouvelle science sur les fondations de l'ancienne. À la fin de ce processus, les règles de la science actualisée deviendront, pour la plupart, les exceptions d’hier. »

Le présent essai, dont le modeste but est un renouvellement complet de la géométrie de la Nature, décrit des phénomènes si inclassables qu'il n'est possible d'en parler qu'avec l'autorisation du censeur. Vous rencontrerez le premier de ces phénomènes dans la section suivante.

EFFET RICHARDSON

Une étude empirique du changement de longueur approximative obtenue à l'aide de la méthode A est décrite dans l'article de Richardson, dont le lien vers lequel, par hasard (ou fatidique), est tombé sous mon œil. Je n'y ai prêté attention que parce que j'avais beaucoup entendu parler de Lewis Fry Richardson comme d'un scientifique exceptionnel dont l'originalité de pensée s'apparentait à l'excentricité (voir chapitre 40). Comme nous le verrons au chapitre 10, l'humanité doit certaines de ses idées les plus profondes et les plus durables concernant la nature des turbulences : attention particulière Parmi eux, celui qui vaut la peine est celui selon lequel la turbulence présuppose l’émergence d’une cascade auto-similaire. Il a également travaillé sur d'autres problèmes complexes- comme par exemple la nature des conflits armés entre États. Ses expériences étaient des exemples de simplicité classique, mais il n'hésitait pas à utiliser des concepts plus sophistiqués lorsque le besoin s'en faisait sentir.

Montré sur la Fig. 57 graphiques, découverts après la mort de Richardson parmi ses papiers, ont été publiés dans le livre presque secret (et totalement inapproprié pour de telles publications) « Yearbook on systèmes généraux" Après avoir examiné ces graphiques, nous arrivons à la conclusion qu'il existe deux constantes (appelons-les et ) - telles que pour déterminer la longueur du littoral en construisant une ligne brisée s'en rapprochant, il faut prendre approximativement des intervalles de longueur et écrire la formule suivante :

La valeur de l'indicateur dépend apparemment de la nature du littoral mesuré, et différentes sections de cette ligne, considérées séparément, peuvent donner des valeurs différentes. Pour Richardson, la magnitude n’était qu’un indicateur pratique sans signification particulière. Cependant, la valeur de cet indicateur ne semble pas dépendre de la méthode choisie pour estimer la longueur du littoral. Cela signifie qu'il mérite la plus grande attention.

DIMENSION FRACTALE DU LITTORAL

Après avoir étudié le travail de Richardson, j'ai suggéré que même si l'exposant n'est pas un nombre entier, il peut et doit être compris comme une dimension - plus précisément comme une dimension fractale. Bien entendu, j'étais pleinement conscient que toutes les méthodes de mesure ci-dessus sont basées sur des définitions généralisées non standard de la dimension, déjà utilisées en mathématiques pures. Détermination de la longueur basée sur la couverture du littoral le plus petit nombre points de rayon, utilisés pour déterminer la dimension du revêtement. La détermination de la longueur, basée sur le recouvrement du littoral avec un ruban de largeur , incarne l'idée de Cantor et Minkowski (voir Fig. 56), et nous devons la dimension correspondante à Buligan. Cependant, ces deux exemples ne font que suggérer l’existence de nombreuses dimensions (dont la plupart ne sont connues que de quelques spécialistes) qui brillent dans divers domaines hautement spécialisés des mathématiques. Nous aborderons certaines de ces dimensions plus en détail au chapitre 39.

Pourquoi les mathématiciens ont-ils dû introduire cette abondance de dimensions différentes ? Alors quoi dans certains cas ils acceptent différentes significations. Heureusement, vous ne rencontrerez pas de tels cas dans cet essai, c’est pourquoi une liste de dimensions alternatives possibles peut être trouvée ici. bonne conscience réduire à deux, que je n'ai cependant pas encore mentionnés. La dimension la plus ancienne et la plus étudiée de notre liste remonte à Hausdorff et sert à définir la dimension fractale - nous y reviendrons très prochainement. La deuxième dimension, plus simple, est appelée dimension de similarité : ce n'est pas la même chose. caractère général Cependant, en tant que première dimension, elle s'avère plus que adéquate dans de nombreux cas - nous l'examinerons dans le chapitre suivant.

Bien sûr, je ne vais pas donner ici preuve mathématique que l'exposant de Richardson est une dimension. Pour être honnête, je ne peux pas imaginer comment une telle preuve peut être réalisée dans le cadre d’un quelconque sciences naturelles. Je veux juste attirer l'attention du lecteur sur le fait que la notion de longueur nous pose un problème conceptuel, et l'indicateur apporte une solution pratique et élégante. Maintenant que la dimension fractale a pris sa place dans l'étude des littoraux, il est peu probable que nous souhaitions, pour des raisons particulières, revenir à cette époque où nous croyions inconsidérément et naïvement. Celui qui croit encore devra désormais essayer s’il veut prouver qu’il a raison.

L'étape suivante – expliquer la forme des côtes et déduire leur signification à partir d'autres considérations plus fondamentales – je propose de la reporter au chapitre 28. À ce stade, il suffit de dire que, en première approximation, . Cette valeur est trop grande pour décrire avec précision les faits, mais elle suffit amplement pour dire qu'il est possible, devrait et naturel de croire que la dimension du trait de côte dépasse la valeur euclidienne habituelle de la courbe.

DIMENSION FRACTALE DE HAUSDORFF

Si l’on admet que les différentes côtes naturelles ont une longueur infinie et que la valeur de la longueur basée sur la valeur anthropométrique ne donne qu’une idée partielle de la situation réelle, alors comment comparer les différentes côtes entre elles ? Puisque l’infini n’est pas différent de l’infini multiplié par quatre, à quoi cela nous servirait-il de dire que la longueur d’une rive est quatre fois plus grande que la longueur de n’importe lequel de ses quartiers ? Requis meilleure façon pour exprimer l'idée tout à fait raisonnable qu'une courbe doit avoir une certaine « mesure », et cette mesure pour la courbe entière doit être quatre fois supérieure à la même mesure pour n'importe lequel de ses quartiers.

Une méthode extrêmement ingénieuse pour atteindre cet objectif a été proposée par Felix Hausdorff. Sa méthode est basée sur le fait que la mesure linéaire d'un polygone est calculée en additionnant les longueurs de ses côtés sans aucune transformation. On peut supposer que ces longueurs de côtés sont élevées à une puissance égale à la dimension euclidienne de la droite (la raison de cette hypothèse deviendra bientôt évidente). La mesure de la surface de la région interne d'un polygone fermé est calculée de la même manière - en la recouvrant de carrés, en trouvant la somme des longueurs des côtés de ces carrés et en l'élevant à une puissance (dimension euclidienne du plan ). Si nous utilisons le « mauvais » degré dans les calculs, alors le résultat de ces calculs ne nous donnera aucun résultat. informations utiles: l'aire de tout polygone fermé sera égal à zéro, et la longueur de sa région interne sera infinie.

Considérons à partir de telles positions une approximation polygonale (linéaire par morceaux) d'un littoral composé de petits intervalles de longueur . En élevant la longueur de l'intervalle à une puissance et en la multipliant par le nombre d'intervalles, nous obtenons une certaine valeur que l'on peut provisoirement appeler « longueur approximative en dimension ». Puisque, selon Richardson, le nombre de côtés est égal, notre étendue approximative prend la valeur .. Autrement dit, l'étendue approximative du littoral présente un comportement prudent si et seulement si .

LA DIMENSION FRACTALE D'UNE COURBE PEUT ÊTRE SUPÉRIEURE À L'UNITÉ ; COURBES FRACTALES

Comme prévu par son créateur, la dimension Hausdorff conserve les fonctions d'une dimension ordinaire et sert d'exposant pour déterminer la mesure.

Cependant, d'un autre côté, la dimension est très inhabituelle - elle s'exprime nombre fractionnaire! De plus, elle est supérieure à l'unité, qui est la dimension « naturelle » des courbes (il peut être strictement prouvé que leur dimension topologique est également égale à l'unité).

Je propose d'appeler courbes fractales les courbes dont la dimension fractale dépasse leur dimension topologique 1. En guise de bref résumé de ce chapitre, je peux proposer déclaration suivante: Aux échelles géographiques, les littoraux peuvent être modélisés à l'aide de courbes fractales. Les littoraux ont une structure fractale.

Riz. 55. ARBRE SINGE

A ce stade, ce petit dessin doit être considéré simplement comme un élément décoratif, il ne fait que remplir un espace vide.

Cependant, après avoir lu le chapitre 14, le lecteur pourra trouver ici un indice pour résoudre l’énigme « architecturale » de la Fig. 210. Un indice plus sérieux est fourni par le générateur ci-dessous :

Si un mathématicien a besoin d'« apprivoiser » une courbe particulièrement irrégulière, il peut utiliser la procédure standard suivante : une certaine valeur est sélectionnée et un cercle de rayon est construit autour de chaque point de la courbe. Ce procédé, qui remonte au moins à Hermann Minkowski, et même à Georg Cantor lui-même, est un peu rudimentaire, mais très efficace. (Quant au terme saucisse, son origine, selon des rumeurs non vérifiées, est en quelque sorte liée à l'application par Norbert Wiener de cette procédure aux courbes browniennes.)

Dans les illustrations postées ici, le lissage décrit ci-dessus est appliqué non pas à des rivages réels, mais à une courbe théorique, que nous construirons un peu plus tard (voir Fig. 79) en ajoutant constamment des détails de plus en plus fins. En comparant le morceau de saucisse montré à droite avec l'extrémité droite de la saucisse placée en haut, nous voyons que l'étape critique dans la construction de la courbe se produit lorsque la courbe commence à inclure des parties plus petites que . Pour plus étapes ultérieures la saucisse ne change pas de manière significative.

Riz. 57. DONNÉES EMPIRIQUES DE RICHARDSON SUR LE TAUX DE CROISSANCE DE LA LONGUEUR DES LITTORAUX

Cette figure montre les résultats expérimentaux de mesures de longueur de courbe effectuées sur diverses courbes utilisant des polygones équilatéraux de longueur de côté décroissante. Comme prévu, dans le cas d'un cercle, des mesures de plus en plus précises donnent une valeur qui se stabilise très rapidement autour d'une valeur bien précise.

En revanche, dans le cas des côtes, les valeurs approximatives de longueur ne se stabilisent pas du tout. Lorsque la longueur du pas tend vers zéro, les approximations de la longueur, tracées dans un système de coordonnées double logarithmique, forment une ligne droite avec une pente négative. Il en va de même pour les frontières terrestres entre les pays. Les enquêtes de Richardson dans diverses encyclopédies ont révélé des différences significatives dans la détermination de la longueur de la frontière commune par les cartographes des pays respectifs : par exemple, la longueur de la frontière entre l'Espagne et le Portugal est de 987 km du point de vue des Espagnols et de 1214 km. km du point de vue des Portugais ; la frontière entre les Pays-Bas et la Belgique (380 et 449 km) a été également touchée. Étant donné que la pente des lignes correspondantes est de -0,25, une différence de vingt pour cent entre les mesures signifie une double différence entre les valeurs acceptées pour ces mesures - ce n'est pas une hypothèse si incroyable.

Richardson n'a rien donné interprétation théorique différentes pentes de leurs lignes droites. Nous avons l'intention d'interpréter les lignes de côte comme des approximations des courbes fractales et de considérer coefficients de pente les lignes droites correspondantes comme valeurs approximatives de la différence, où est la dimension fractale.

Longueur du littoral

Est-ce mesurable ?
A-t-on le droit de donner la longueur dans les manuels scolaires ?
littoral et ne serons-nous pas gênés,
demander ce chiffre aux étudiants ?

K.S. LAZAREVITCH

Dans les cours de géographie, nous opérons avec de nombreux indicateurs statistiques. La plupart d'entre eux semblent très simples et clairs : tellement millions de personnes, tant de millions de tonnes de charbon, tant de kilomètres. Mais c’est si vous n’y pensez pas. Mais il suffit d’approfondir n’importe quel chiffre et il cesse d’être clair. Parfois, il tombe en poussière. Voici des exemples.
Nous ouvrons l'Atlas du monde récemment publié, qui vient d'être mis en vente (M. : Federal State Unitary Enterprise Cartography Production Association, 2003). Dans le tableau « États et territoires du monde » on trouve : « La capitale de la France est Paris (2 125,2 mille habitants). Si un étudiant donne un tel chiffre lors d’un examen, l’examinateur sera-t-il satisfait ? Après tout, Paris est l'un des les plus grands centres L'Europe et pas moins que Saint-Pétersbourg. Mais il n'y a pas d'erreur dans le chiffre donné : c'est Paris en limites administratives ville de Paris. Et dans les limites d’un pôle urbain réellement établi, c’est une ville qui vaut dix millions de dollars.
Cela dépend beaucoup de la façon dont vous comptez.
Cela ne signifie pas que nous pouvons accepter n'importe quel nombre compris entre 2,2 et 10 de la part de l'élève comme réponse ; En citant tel ou tel nombre, l'élève doit comprendre ce qui se cache derrière, ce qui est mesuré et comment. Un million de tonnes de charbon riche en calories et de lignite sont des millions différents. Mais cela ressemblait à des kilomètres. Un kilomètre est aussi un kilomètre en Afrique. Et ce qui se mesure en kilomètres peut être remis en question ? Mais il s'avère que même en donnant des longueurs en kilomètres, l'auteur du manuel doit d'abord réfléchir. L'enseignant, à l'aide d'un manuel scolaire, doit également soumettre une figure à une analyse critique avant de la diffuser aux élèves et de leur demander de la mémoriser. Nous lisons un manuel pour la 10e année : « Le Canada a accès à trois océans, et

longueur totale son littoral (environ 250 000 km) n'a pas d'égal dans le monde. Comment le littoral a-t-il été mesuré, qu’est-ce qui a été mesuré, comment a-t-il été mesuré, avec quoi a-t-il été mesuré ? Comment peut-on même mesurer un littoral ? Les courbes irrégulières sur une carte peuvent être mesurées à l'aide d'un curvimètre - la roue de cet appareil roule le long de la courbe, enregistrant soigneusement chaque courbe. Cependant, la tortuosité du littoral est souvent si grande qu'il est impossible de le suivre avec un curvimètre. Il faut parcourir la courbe avec un compas de mesure. La longueur de pas la plus confortable est de 2 mm. A différentes échelles, ce pas correspond bien entendu à différentes distances ; une telle mesure ne donnera jamais une longueur exacte, puisque chaque pas redresse la courbe sur un petit segment, mais
erreur relative
plus ou moins conservé.
Essayons, à titre d'exemple, de mesurer la longueur du littoral de l'Okrug autonome de Tchoukotka. Prenons une carte de l'Atlas scolaire sur la géographie de la Russie (échelle 1 : 22 000 000) et parcourons toute la côte des Tchouktches avec un pas de boussole de deux millimètres (44 km). Le résultat sera de 4300 km (98 pas de boussole). Faisons la même mesure en utilisant la carte à l'échelle 1 : 7 500 000 Ici, nous compterons déjà 345 pas de deux millimètres (15 km), soit 5 200 km. Il est logique de supposer que si la carte est utilisée dans les mesures
à plus grande échelle
, le littoral mesuré deviendra encore plus long. Faisons une autre expérience. La longueur du littoral de la région de Léningrad. sur la carte
1 : 500 000 - 670 km. Dans le même temps, la longueur du littoral de la seule baie de Vyborg (où les rives sont particulièrement découpées de baies et de criques), mesurée à partir d'une carte topographique, est de 338 km, alors que selon atlas scolaire- 65 km (la différence est de plus de
5 fois !).
Ainsi, il y a une augmentation naturelle de la longueur du littoral mesuré avec une échelle croissante. La raison n'est pas seulement que le pas de deux millimètres de la boussole correspond à une valeur de plus en plus petite sur le terrain, mais surtout parce que la ligne elle-même, même si elle est mesurée avec une grande précision et convertie selon l'échelle en kilomètres, devient en réalité plus longtemps (Fig. 1) . Sur la carte de la Russie, près des rives de la région de Léningrad. Seules la baie de Vyborg, la baie de Neva et les petits méandres de la côte sud du golfe de Finlande sont visibles. Sur une carte à l'échelle 1 : 2 500 000, les contours de la baie de Vyborg sont déjà assez complexes, et au sud les baies de Koporskaya et de Luga sont bien visibles. Sur la carte vieille d'un demi-million d'années, il existe de nombreuses autres petites baies dans la baie de Vyborg, dont certaines ont noms propres(Baie Baltiets, Baie Klyuchevskaya), et seulement côte sud Le golfe de Finlande semble peu modifié par rapport à l'échelle précédente ; le littoral y est beaucoup moins accidenté.

Comment déterminer la longueur exacte du littoral ?
Le météorologue anglais Richardson s'est fixé cet objectif en choisissant son île natale, la Grande-Bretagne, comme terrain d'essai. Il est arrivé à la conclusion que la longueur du littoral augmente avec l'échelle de la carte sur laquelle cette longueur est mesurée (Fig. 2). Y a-t-il une limite à cette augmentation ? À peine. La longueur du littoral est augmentée par chaque petite langue de sable qui s'avance dans la mer, chaque creux qui crée une petite baie, chaque galet qui coule autour de l'eau. Même sur la carte à plus grande échelle, elles ne sont pas visibles, alors qu'en réalité toutes ces irrégularités du littoral existent.

Il existe de nombreux exemples d'utilisation méthodes mathématiques permet de rendre la recherche géographique plus convaincante, plus fiable. Ici, c'est le contraire qui s'est produit : la recherche géographique - l'étude de la longueur du littoral - a contribué à l'émergence d'un nouveau concept mathématique. Nom anglais Ce concept est fractal, mais en russe il n'est pas encore complètement établi et se retrouve en trois versions : fractale(génitif et cas instrumentaux volonté fractale, fractale), fractale au genre masculin ( fractale, fractale) Et fractale au genre féminin ( fractales, fractale); pour semble pencher vers fractale.
Une fractale est une ligne dont chaque fragment devient infiniment plus complexe, la longueur de chaque fragment et de la ligne entière augmente constamment. Un exemple est la figure habituellement appelée flocon de neige de Koch, bien que ce nom soit incorrect : ce flocon de neige a été construit au début du XXe siècle. Helga von Koch, et son nom de famille ne doit pas être décliné.
Prenons triangle équilatéral. Divisons chaque côté en trois parties égales et construisons un triangle équilatéral sur le segment médian de chaque côté. Vous obtiendrez une étoile régulière à six branches, un chiffre à six coins convexes et six entrants. Divisons chacun de ses côtés (et il y en a 12) en trois parties égales et construisons à nouveau un triangle équilatéral sur le segment médian de chaque côté. Le résultat sera une figure à 48 côtés, avec 18 angles convexes et 30 angles récurrents. Répéter cette opération nombre infini fois (cela ne peut bien sûr être fait que mentalement), nous obtenons une figure dont la superficie augmente constamment, mais de plus en plus lentement, se rapprochant progressivement d'une certaine limite (Fig. 3). Le périmètre de cette figure augmente indéfiniment, puisque chaque fois que l'on construit un nouveau triangle équilatéral sur le côté de la figure, aussi petit soit-il, trois segments égaux de ce côté sont remplacés par quatre égaux et donc la longueur de chaque côté (et donc tout le périmètre) augmente de 4/3 fois, et tout nombre supérieur à un à une puissance égale à l'infini (et on fait la construction un nombre infini de fois) tend vers l'infini.

La bordure du flocon de neige ressemblera à une ligne large et hirsute qui remplit tout le zone frontalière ce chiffre. Les concepts de « ligne large », de « surface épaisse », apparemment absurdes du point de vue des mathématiques classiques (la ligne n'y a pas de largeur et la surface n'a pas d'épaisseur), ont acquis des droits de citoyenneté avec le développement de la théorie des fractales. . On pense qu'une ligne est unidimensionnelle, qu'elle n'a qu'une longueur, la position d'un point sur elle est déterminée par une coordonnée ; la surface est bidimensionnelle, elle a une aire, la position d'un point sur celle-ci est déterminée par deux coordonnées ; le corps est tridimensionnel, il a du volume, il faut trois coordonnées. Et la théorie des fractales introduit la notion de dimension fractionnaire : la ligne n'est pas devenue bidimensionnelle, mais a cessé d'être unidimensionnelle. C'est assez difficile à comprendre pour une personne non préparée (on ne peut pas éternuer une fois et demie), mais si l'on se souvient du comportement du littoral - non seulement sur la carte, mais aussi dans la nature, comment il change si vous regardez en s'accroupissant, puis en se levant de toute sa hauteur, puis en escaladant une montagne, puis en décollant dans un avion ou un vaisseau spatial, nous ne comprendrons pas tant que nous ressentirons ce que système complexe
représente cette ligne ; Pour elle, une caractéristique ne suffit certainement pas : la longueur. Et la théorie des fractales, née de la recherche géographique, vient elle-même au secours de la géographie. Une méthode d’étude du relief sous forme fractale n’a pas encore été développée, mais elle est certainement prometteuse. En regardant le soulagement dans vue générale
En le dessinant sur une carte à petite échelle, nous voyons des chaînes de montagnes, des plateaux et des vallées profondes. À une échelle moyenne, des collines, des vallons et des ravins apparaissent déjà. Encore plus grand - et vous pouvez voir les buttes et les ondulations du vent sur le sable. Mais ce n'est pas la limite : il existe des cailloux individuels et des grains de sable. Concrètement, tout cela est important car vous devez apprendre à sélectionner correctement les objets à représenter sur des cartes à différentes échelles ; L'une des principales erreurs des compilateurs de cartes est la divergence entre le contenu de la carte et son échelle ; la carte est soit sous-chargée, soit surchargée.
Mais que faire de la longueur du littoral ? Refuser de le mesurer parce que c’est incommensurable ? Non, ce n'est pas une option. Simplement, lorsque vous indiquez la longueur du littoral, vous devez toujours indiquer à quelle échelle sur les cartes il a été mesuré et de quelle manière. Le monde Carnet d'information". Ici, les données du littoral sont fournies pour chaque pays et chaque océan, mais la méthode de mesure n'est pas précisée. En conséquence, le littoral du Canada s'avère être de plus de 200 000 km, l'océan Arctique - 45,4 mille km, l'océan Atlantique - 111,9 mille km (les données sont données - ne vous méprenez pas ! - au kilomètre le plus proche). Le Canada a été pensé en tenant compte des îles, c'est certain ; La façon dont les océans ont été considérés est inconnue, mais les côtes de deux des trois océans qui entourent le Canada totalisent moins que le littoral du Canada seul. Pour la Norvège, le chiffre est de 21 925 km et la note est donnée : « Continental 3 419 km, grandes îles 2413 km, de longs fjords, de nombreuses petites îles et petits virages encoches] littoral 16 093 km. La somme correspond exactement à la longueur totale indiquée du littoral. Mais pourquoi les rives des fjords ne font pas partie du littoral du continent, pourquoi la longueur des bords dentelés s'ajoute à la longueur du littoral du continent, quelles îles sont considérées comme grandes - nous ne pouvons que deviner tout cela. Les données absolument incontestables de ce tableau ne sont données que pour Andorre, l'Autriche, le Botswana, la Hongrie, le Swaziland et des pays similaires qui n'ont pas accès à la mer - il est écrit : « 0 km ».