Pour trouver l'intégrale définie par la méthode trapézoïdale, l'aire trapèze courbé se divise également en n trapèzes rectangulaires de hauteurs h et de bases y 1, y 2, y 3,..y n, où n est le numéro du trapèze rectangulaire. L'intégrale sera numériquement égal à la somme zones de trapèzes rectangulaires (Figure 4).
Riz. 4
n - nombre de partitions
L'erreur de la formule trapézoïdale est estimée par le nombre
L'erreur de la formule du trapèze diminue plus rapidement avec la croissance que l'erreur de la formule du rectangle. Par conséquent, la formule trapézoïdale permet une plus grande précision que la méthode du rectangle.
La formule de Simpson
Si pour chaque paire de segments on construit un polynôme du deuxième degré, puis l'intégrons sur le segment et utilisons la propriété d'additivité de l'intégrale, nous obtenons la formule de Simpson.
Dans la méthode de Simpson, pour calculer une intégrale définie, tout l'intervalle d'intégration est divisé en sous-intervalles longueur égale h = (ba)/n. Le nombre de segments de partition est un nombre pair. Ensuite, sur chaque paire de sous-intervalles adjacents, la fonction intégrande f(x) est remplacée par un polynôme de Lagrange du deuxième degré (Figure 5).
Riz. 5 La fonction y=f(x) sur le segment est remplacée par un polynôme du 2ème ordre
Considérons l'intégrande sur un segment. Remplaçons cet intégré par un polynôme d'interpolation de Lagrange du deuxième degré, coïncidant avec y= aux points :
Intégrons sur le segment :
Introduisons un changement de variables :
Compte tenu des formules de remplacement,
Après avoir effectué l'intégration, nous obtenons la formule de Simpson :
La valeur obtenue pour l'intégrale coïncide avec l'aire d'un trapèze curviligne délimité par un axe, des droites et une parabole passant par des points. Sur un segment, la formule de Simpson ressemblera à :
Dans la formule de la parabole, la valeur de la fonction f(x) aux points impairs de la partition x 1, x 3, ..., x 2n-1 a un coefficient de 4, aux points pairs x 2, x 4, . .., x 2n-2 - coefficient 2 et à deux points limites x 0 =a, x n =b - coefficient 1.
La signification géométrique de la formule de Simpson : l'aire d'un trapèze curviligne sous le graphique de la fonction f(x) sur un segment est approximativement remplacée par la somme des aires des figures situées sous les paraboles.
Si la fonction f(x) a une dérivée continue quatrième commande, Que valeur absolue les erreurs de la formule de Simpson ne dépassent pas
où M - valeur la plus élevée sur le segment. Puisque n 4 croît plus vite que n 2, l'erreur de la formule de Simpson diminue avec l'augmentation de n beaucoup plus vite que l'erreur de la formule trapézoïdale.
Calculons l'intégrale
Cette intégrale est facile à calculer :
Prenons n égal à 10, h=0,1, calculons les valeurs de l'intégrande aux points de partition, ainsi qu'aux points demi-entiers.
En utilisant la formule des rectangles moyens, on obtient I droit = 0,785606 (l'erreur est de 0,027 %), en utilisant la formule du trapèze I piège = 0,784981 (erreur d'environ 0,054. Lors de l'utilisation de la méthode des rectangles droit et gauche, l'erreur est supérieure à 3 % .
Pour comparer la précision des formules approximatives, calculons à nouveau l'intégrale
mais maintenant selon la formule de Simpson avec n=4. Divisons le segment en quatre parties égales par les points x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 et calculons approximativement les valeurs de la fonction f(x)=1/( 1+x) à ces points : 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.
En utilisant la formule de Simpson, on obtient
Estimons l'erreur du résultat obtenu. Pour la fonction intégrande f(x)=1/(1+x) on a : f (4) (x)=24/(1+x) 5, ce qui signifie que sur le segment . On peut donc prendre M=24, et l’erreur du résultat ne dépasse pas 24/(2880 4 4)=0,0004. En comparant la valeur approximative avec la valeur exacte, nous concluons que l'erreur absolue du résultat obtenu à l'aide de la formule de Simpson est inférieure à 0,00011. Ceci est conforme à l’estimation d’erreur donnée ci-dessus et indique en outre que la formule de Simpson est beaucoup plus précise que la formule trapézoïdale. Par conséquent, la formule de Simpson est plus souvent utilisée pour le calcul approximatif d'intégrales définies que la formule trapézoïdale.
Un problème se pose concernant le calcul numérique d'une intégrale définie, qui peut être résolu à l'aide de formules appelées quadrature.
Rappelons les formules les plus simples intégration numérique.
Calculons la valeur numérique approximative. On divise l'intervalle d'intégration [a, b] en n parties égales en divisant les points 
, appelés nœuds de la formule de quadrature. Que les valeurs aux nœuds soient connues 
:
Ordre de grandeur 
appelé intervalle ou étape d’intégration. Notez que dans la pratique - dans les calculs, le nombre i est choisi petit, il ne dépasse généralement pas 10-20 sur un intervalle partiel. 
l'intégrande est remplacé par un polynôme d'interpolation
ce qui représente approximativement la fonction f(x) sur l'intervalle considéré.
a) Ne gardons qu'un seul premier terme dans le polynôme d'interpolation, alors
La formule quadratique résultante
appelée la formule du rectangle.
b) Gardons les deux premiers termes du polynôme d'interpolation, alors
(2)
La formule (2) est appelée formule trapézoïdale.
c) Intervalle d'intégration 
décomposons-le en nombre pair 2n parties égales, et le pas d'intégration h sera égal à 
. Sur l'intervalle 
de longueur 2h, on remplace l'intégrande par un polynôme d'interpolation du deuxième degré, c'est-à-dire qu'on conserve les trois premiers termes du polynôme :
La formule de quadrature résultante est appelée formule de Simpson
(3)
Les formules (1), (2) et (3) ont un simple signification géométrique. Dans la formule des rectangles, la fonction intégrande f(x) sur l'intervalle 
est remplacé par un segment de droite y = yk, parallèle à l'axe des abscisses, et dans la formule trapézoïdale - par un segment de droite 
et l'aire du rectangle et du trapèze rectiligne est calculée respectivement, qui sont ensuite résumées. Dans la formule de Simpson, la fonction f(x) sur l'intervalle 
la longueur 2h est remplacée par un trinôme carré - une parabole 
L'aire d'un trapèze parabolique curviligne est calculée, puis les aires sont additionnées.
CONCLUSION
A la fin des travaux, je voudrais souligner un certain nombre de caractéristiques de l'application des méthodes évoquées ci-dessus. Chaque méthode de solution approximative d'une intégrale définie a ses propres avantages et inconvénients ; selon la tâche à accomplir, des méthodes spécifiques doivent être utilisées.
Méthode de remplacement des variables est l'une des principales méthodes de calcul d'intégrales indéfinies. Même dans les cas où nous intégrons par une autre méthode, nous devons souvent recourir à des variables variables dans les calculs intermédiaires. Le succès de l’intégration dépend dans une large mesure de notre capacité à sélectionner un changement de variables aussi réussi qui simplifierait l’intégrale donnée.
Pour l'essentiel, l'étude des méthodes d'intégration revient à déterminer quel type de remplacement de variable doit être effectué pour tel ou tel type d'intégrande.
Ainsi, intégration de toute fraction rationnelle se réduit à intégrer un polynôme et plusieurs fractions simples.
L'intégrale de toute fonction rationnelle peut s'exprimer à travers des fonctions élémentaires sous forme finale, à savoir :
via des logarithmes - dans le cas de fractions simples de type 1 ;
via des fonctions rationnelles - dans le cas de fractions simples de type 2
par logarithmes et arctangentes - dans le cas de fractions simples de type 3
à travers des fonctions rationnelles et des arctangentes - dans le cas de fractions simples de type 4. Universel substitution trigonométrique rationalise toujours l'intégrande, mais cela conduit souvent à des, pour lequel, notamment, il est quasiment impossible de retrouver les racines du dénominateur.
Par conséquent, lorsque cela est possible, des substitutions partielles sont utilisées, ce qui rationalise également l'intégrande et conduit à des fractions moins complexes. Formule de Newton – Leibniz représente approche générale
à trouver des intégrales définies.
Quant aux techniques de calcul des intégrales définies, elles ne diffèrent pratiquement pas de toutes ces techniques et méthodes. Appliquer exactement de la même manière méthodes de substitution
(changement de variable), méthode d'intégration par parties, mêmes techniques pour trouver des primitives pour les fonctions trigonométriques, irrationnelles et transcendantales. La seule particularité est que lorsqu’on utilise ces techniques, il est nécessaire d’étendre la transformation non seulement à la fonction intégrande, mais aussi aux limites de l’intégration. Lors du remplacement de la variable d'intégration, n'oubliez pas de modifier les limites d'intégration en conséquence. Correctement du théorème, la condition de continuité de la fonction est une condition suffisante pour l’intégrabilité d’une fonction. Mais ça ne veut pas dire ça Intégrale définie n'existe que pour les fonctions continues. La classe des fonctions intégrables est beaucoup plus large. Par exemple, il existe une intégrale définie de fonctions ayant numéro final
points de rupture. Calculer l'intégrale définie d'une fonction continue à l'aide de la formule de Newton-Leibniz revient à trouver la primitive, qui existe toujours, mais ne l'est pas toujours fonction élémentaire
ou une fonction pour laquelle des tableaux ont été compilés permettant d'obtenir la valeur de l'intégrale. Dans de nombreuses applications, la fonction intégrable est spécifiée dans un tableau et la formule de Newton-Leibniz n'est pas directement applicable. Si vous avez besoin d'obtenir le résultat le plus précis, c'est l'idéal.
Méthode Simpson D'après ce que nous avons appris ci-dessus, nous pouvons faire prochaine sortie
que l'intégrale est utilisée dans des sciences telles que la physique, la géométrie, les mathématiques et d'autres sciences. A l'aide de l'intégrale, le travail de la force est calculé, les coordonnées du centre de masse et le chemin parcouru par le point matériel sont trouvés. En géométrie, il est utilisé pour calculer le volume d'un corps, trouver la longueur de l'arc d'une courbe, etc.
Calcul des intégrales à l'aide des formules des rectangles, des trapèzes et de la formule de Simpson. Estimation des erreurs. Des lignes directrices
sur le sujet 4.1 :
La solution de nombreux problèmes techniques se résume au calcul de certaines intégrales dont l'expression exacte est complexe, nécessite de longs calculs et n'est pas toujours justifiée en pratique. Ici, leur valeur approximative est tout à fait suffisante. Par exemple, vous devez calculer la superficie délimité par une ligne, dont l'équation est inconnue, l'axe X et deux ordonnées. Dans ce cas, vous pouvez remplacer cette ligne plus simple, dont l’équation est connue. L'aire du trapèze curviligne ainsi obtenu est prise comme valeur approximative de l'intégrale souhaitée. Géométriquement, l'idée de la méthode de calcul de l'intégrale définie à l'aide de la formule du rectangle est que l'aire d'un trapèze curviligne Un 1 ABC 1 est remplacé par l'aire d'un rectangle égal A 1 A 2 B 1 B 2, qui par le théorème de la valeur moyenne est égal à
Où f(c) --- hauteur rectangle A 1 A 2 B 1 B 2, représentant la valeur de l'intégrande à un point intermédiaire Californie< c
Il est presque difficile de trouver une telle valeur Avec, auquel (b-a) f (c) serait exactement égal à . Pour obtenir une valeur plus précise, l'aire d'un trapèze curviligne est divisée en n rectangles dont les hauteurs sont égales oui 0 , oui 1 , oui 2 , …, oui n -1 et des terrains.
Si nous résumons les aires de rectangles qui couvrent l'aire d'un trapèze curviligne avec un désavantage, la fonction est non décroissante, alors au lieu de la formule nous utilisons la formule
Si c'est en excès, alors
Les valeurs sont trouvées à partir d'égalités. Ces formules sont appelées formules de rectangles et donne un résultat approximatif. Avec augmentation n le résultat devient plus précis.
Exemple 1 . Calculer en utilisant la formule du rectangle
Divisons l'intervalle d'intégration en 5 parties. Alors . A l'aide d'une calculatrice ou d'un tableau, on retrouvera les valeurs de l'intégrande (précises à 4 décimales près) :
Selon la formule des rectangles (avec inconvénient)
Par contre, selon la formule de Newton-Leibniz
Trouvons l'erreur de calcul relative à l'aide de la formule du rectangle :
Calcul des intégrales à l'aide de formules trapézoïdales. Estimation de l'erreur :
La signification géométrique de la méthode suivante de calcul approximatif des intégrales est de trouver l'aire d'un trapèze « rectiligne » de taille à peu près égale.
Qu'il soit nécessaire de calculer l'aire A 1 AmBB 1 trapèze curviligne, exprimé par la formule.
Remplaçons l'arc AmB accord UN B et au lieu de l'aire d'un trapèze curviligne A 1 AmBB 1 calculer l'aire du trapèze A1ABB1: 
, Où AA1 Et BB 1 - les bases du trapèze, et A1B 1 – sa hauteur.
Notons f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. hauteur du trapèze A 1 B 1 =b-a, carré 
. Ainsi, 
ou
C'est ce qu'on appelle petite formule trapèze.
Lors du calcul d’une intégrale définie, on n’obtient pas toujours une solution exacte. La représentation sous forme de fonction élémentaire n’est pas toujours possible. La formule de Newton-Leibniz ne convient pas au calcul, des méthodes d'intégration numérique doivent donc être utilisées. Cette méthode vous permet d'obtenir des données avec une grande précision. La méthode de Simpson n’est que cela.
Pour ce faire, il est nécessaire de donner une représentation graphique de la dérivation de la formule. Ce qui suit est un enregistrement de l'estimation de l'erreur absolue à l'aide de la méthode Simpson. En conclusion, nous comparerons trois méthodes : Simpson, rectangles, trapèzes.
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Méthode parabolique – essence, formule, évaluation, erreurs, illustrations
Une fonction de la forme y = f (x) est donnée, qui a une continuité sur l'intervalle [ a ; b ] , il faut calculer l'intégrale définie ∫ a b f (x) d x
Il faut diviser le segment [a; b ] en n segments de la forme x 2 i - 2 ; X 2 je , je = 1 , 2 , . . . , n de longueur 2 h = b - a n et points a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Chaque intervalle x 2 i - 2 ; X 2 je , je = 1 , 2 , . . . , n de l'intégrande est approximé à l'aide d'une parabole définie par y = a i x 2 + b i x + c i passant par des points de coordonnées x 2 i - 2 ; f (x 2 je - 2) , x 2 je - 1 ; x 2 je - 1 , x 2 je ; f (x 2 je) . C'est pourquoi la méthode porte ce nom.
Ces actions sont effectuées afin de prendre l'intégrale ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x comme valeur approximative ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Nous pouvons calculer en utilisant la formule de Newton-Leibniz. C'est l'essence de la méthode parabolique. Considérez la figure ci-dessous.
Illustration graphique de la méthode parabole (Simpson)
À l'aide de la ligne rouge, le graphique de la fonction y = f (x) est représenté et la ligne bleue est une approximation du graphique y = f (x) à l'aide de paraboles quadratiques.
Sur la base de la cinquième propriété de l'intégrale définie, nous obtenons ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 je (une je x 2 + b je x + c je) ré x
Afin d'obtenir la formule par la méthode de la parabole, il faut calculer :
∫ x 2 je - 2 x 2 je (une je x 2 + b je x + c je) ré x
Soit x 2 je - 2 = 0 . Considérez la figure ci-dessous.
Représentons cela à travers les points de coordonnées x 2 i - 2 ; f (x 2 je - 2) , x 2 je - 1 ; x 2 je - 1 , x 2 je ; f (x 2 i) peut passer par une parabole quadratique de la forme y = a i x 2 + b i x + c i. En d’autres termes, il faut prouver que les coefficients ne peuvent être déterminés que d’une seule manière.
Nous avons cela x 2 i - 2 ; f (x 2 je - 2) , x 2 je - 1 ; x 2 je - 1 , x 2 je ; f (x 2 i) sont des points de la parabole, alors chacune des équations présentées est valide. Nous obtenons cela
une je (x 2 je - 2) 2 + b je x 2 je - 2 + c je = f (x 2 je - 2) une je (x 2 je - 1) 2 + b je x 2 je - 1 + c je = f ( x 2 je - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + c i = f (x 2 i)
Le système résultant est résolu par rapport à a i, b i, c i, où il faut chercher le déterminant de la matrice selon Vandermonde. Nous obtenons cela
(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , et il est considéré comme non nul et ne coïncide pas avec les points x 2 je - 2 , x 2 je - 1 , x 2 je . C'est le signe que l'équation n'a qu'une seule solution, alors les coefficients sélectionnés a i ; b je ; c i ne peut être déterminé que de manière unique, alors par les points x 2 i - 2 ; f (x 2 je - 2) , x 2 je - 1 ; x 2 je - 1 , x 2 je ; f (x 2 i) une seule parabole peut la traverser.
Nous pouvons procéder à la recherche de l'intégrale ∫ x 2 i - 2 x 2 i (ai x 2 + b i x + c i) d x.
Il est clair que
f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 une je h 2 + 2 b je h + c je
Pour effectuer la dernière transition, il faut utiliser une inégalité de la forme
∫ x 2 i - 2 x 2 i (ai x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (ai x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b je h 2 + 2 c je h = = h 3 8 a je h 2 + 6 b je h + 6 c je = h 3 f x 2 je - 2 + 4 f 2 2 je - 1 + f x 2 je
Ainsi, nous obtenons la formule en utilisant la méthode de la parabole :
∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ je = 1 n - 1 f (x 2 je) + f (x 2 n)
Définition 1
La formule de la méthode de Simpson est ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .
La formule d'estimation de l'erreur absolue a la forme δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - une) 5 2880 n 4 .
Exemples de calcul approximatif d'intégrales définies par la méthode de la parabole
La méthode de Simpson implique le calcul approximatif d'intégrales définies. Le plus souvent, il existe deux types de problèmes pour lesquels cette méthode est applicable :
- dans le calcul approximatif d'une intégrale définie ;
- lors de la recherche d'une valeur approximative avec une précision de δ n.
La précision du calcul est affectée par la valeur de n, plus n est élevé, plus les valeurs intermédiaires sont précises.
Exemple 1
Calculez l'intégrale définie ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 en utilisant la méthode de Simpson, en divisant le segment d'intégration en 5 parties.
Solution
Par condition, on sait que a = 0 ; b = 5 ; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.
On écrit alors la formule de Simpson sous la forme
∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Pour l'appliquer pleinement, il faut calculer le pas à l'aide de la formule h = b - a 2 n, déterminer les points x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n et trouver les valeurs de la fonction intégrande f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2n.
Les calculs intermédiaires doivent être arrondis à 5 chiffres. Remplaçons les valeurs et obtenons
h = b - une 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5
Trouvons la valeur de la fonction aux points
je = 0 : x je = x 0 = une + je · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 , 5) = 0 . 50 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . je = 10 : x je = x 10 = a + je · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795
La clarté et la commodité sont présentées dans le tableau ci-dessous
| je | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x je | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 . 5 | 2 | 2 . 5 |
| f x je | 0 | 0 . 12308 | 0 . 2 | 0 . 16552 | 0 . 1 | 0 . 05806 |
| je | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x je | 3 | 3 . 5 | 4 | 4 . 5 | 5 |
| f x je | 0 . 03529 | 0 . 02272 | 0 . 01538 | 0 . 01087 | 0 . 00795 |
Il faut substituer les résultats dans la formule de la méthode parabole :
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171
Pour le calcul, nous avons choisi une intégrale définie, qui peut être calculée à l'aide de Newton-Leibniz. On a:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274
Répondre: Les résultats correspondent au centième près.
Exemple 2
Calculez l'intégrale indéfinie ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x en utilisant la méthode de Simpson avec une précision de 0,001.
Solution
Par condition, on a que a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. La valeur de n doit être déterminée. Pour ce faire, utilisez une formule d'estimation de l'erreur absolue de la méthode Simpson de la forme δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001
Lorsque l'on trouve la valeur de n, alors l'inégalité m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 sera exécuté. Ensuite, en utilisant la méthode de la parabole, l'erreur de calcul ne dépassera pas 0. 001. La dernière inégalité prend la forme
n 4 ≥ m une x [ une ; b ] f (4) (x) · (b - une) 5 2 . 88
Nous devons maintenant déterminer quelle est la plus grande valeur que peut prendre le module de la dérivée quatrième.
f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2
Le domaine de définition f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 appartient à l'intervalle - 81 16 ; 81 16, et le segment d'intégration lui-même [0; π) a un point extremum, il s'ensuit que m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .
On fait la substitution :
n 4 ≥ m une x [ une ; b ] f (4) (x) · (b - une) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159
Nous avons constaté que n – entier naturel, alors sa valeur peut être égale à n = 5, 6, 7... il faut d'abord prendre la valeur n = 5.
Effectuez des actions similaires à l’exemple précédent. Vous devez calculer le pas. Pour ça
h = b - une 2 n = π - 0 2 5 = π 10
Trouvons les nœuds x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n , alors la valeur de l'intégrande aura la forme
je = 0 : x je = x 0 = a + je · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = péché 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10 : x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10
Il reste à substituer les valeurs dans la formule de solution en utilisant la méthode de la parabole et on obtient
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566-0. 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017-0. 87785-0. 5 = = 2 . 237650
La méthode de Simpson permet d'obtenir une valeur approximative de l'intégrale définie ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 avec une précision de 0,001.
Lors du calcul à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, on obtient comme résultat
∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463
Répondre:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237
Commentaire
Dans la plupart des cas, trouver m a x [ a ; b ] f (4) (x) est problématique. Par conséquent, une alternative est utilisée : la méthode de la parabole. Son principe est expliqué en détail dans la section sur la méthode trapézoïdale. La méthode de la parabole est considérée comme la méthode privilégiée pour résoudre l’intégrale. Une erreur de calcul affecte le résultat n. Plus sa valeur est petite, plus le nombre approximatif requis est précis.
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Divisons le segment d'intégration [ UN, b] à un nombre pair n parties égales par incréments h. Sur chaque segment [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [X je-1, X je+1],..., [ X n-2, X n] fonction intégrale F(X) on remplace par un polynôme d'interpolation du deuxième degré :
Les coefficients de ces trinômes carrés peut être trouvé à partir des conditions d'égalité du polynôme aux points correspondant aux données tabulaires. On peut prendre comme polynôme d'interpolation de Lagrange du second degré passant par les points 
:
La somme des aires élémentaires et (Fig. 3.3) peut être calculée à l'aide d'une intégrale définie. En tenant compte des égalités que nous obtenons
- 
Riz. 3.3. Illustration de la méthode de Simpson
Après avoir effectué de tels calculs pour chaque segment élémentaire, nous résumons les expressions résultantes :
Cette expression Pour S est prise comme valeur de l'intégrale définie :
(3.35)
La relation résultante est appelée La formule de Simpson ou formule de parabole.
Cette formule peut être obtenue d'autres manières, par exemple en utilisant deux fois la méthode trapézoïdale lors de la partition du segment [ UN, b] en parties avec des étapes h et 2 h soit en combinant les formules des rectangles et des trapèzes (voir section 3.2.6).
Parfois, la formule de Simpson est écrite en utilisant des indices demi-entiers. Dans ce cas, le nombre de segments de la partition P. arbitraire (pas nécessairement même), et la formule de Simpson a la forme
(3.36)
Il est facile de voir que la formule (3.36) coïncide avec (3.35) si la formule (3.35) est appliquée pour le nombre de segments de la partition 2 n et étape h/2.
Exemple. Calculer l'intégrale en utilisant la méthode de Simpson
Valeurs de fonction à n = 10, h = 0,1 sont donnés dans le tableau. 3.3. En appliquant la formule (3.35), on trouve
Le résultat de l'intégration numérique utilisant la méthode Simpson s'est avéré coïncider avec valeur exacte(six chiffres significatifs).
L'un des algorithmes possibles pour calculer une intégrale définie à l'aide de la méthode de Simpson est illustré à la Fig. 3.4. Les limites du segment d'intégration [ UN, b],erreur ε, ainsi qu'une formule de calcul des valeurs de l'intégrande y =F(X) .
Riz. 3.4. Algorithme de la méthode Simpson
Initialement, le segment est divisé en deux parties avec un pas h =(b- a)/2. La valeur de l'intégrale est calculée je 1. Ensuite le nombre de pas est doublé, la valeur est calculée je 2 par incréments h/2. La condition de fin de compte est prise sous la forme . Si cette condition n’est pas remplie, une nouvelle étape est divisée en deux, etc.
Notez ce qui est montré sur la Fig. 3.4 l'algorithme n'est pas optimal : lors du calcul de chaque approximation je 2 valeurs de fonction ne sont pas utilisées F(X), déjà trouvé à l'étape précédente. Des algorithmes plus économiques seront discutés dans la section. 3.2.7.
