En composant un numéro de téléphone, l'abonné a oublié 4 chiffres. Calculer des probabilités sans construire un espace d'événements élémentaires

Il y a cinq boules de tailles différentes dans l'urne. Quelle est la probabilité de tirer toutes les boules dans l’ordre croissant si l’on sait qu’il n’y a pas de boules identiques ?

Solution. Nombre total possible résultats élémentaires l'expérience est égale au nombre de permutations de cinq éléments, et le nombre d'issues favorables à l'événement est égal à un.

Probabilité requise :

.

Problème 17.

En composant un numéro de téléphone, l'abonné a oublié les deux derniers chiffres et, se rappelant qu'ils étaient différents, il les a composés pour avoir de la chance. Quelle est la probabilité qu’il ait composé le bon numéro ?

Solution. Le nombre total de résultats possibles de l'expérience est égal au nombre de placements de 10 à 2, soit . Le nombre d'issues favorables à l'événement est égal à un.

Probabilité requise :

.

Problème 18.

Il y a 15 cahiers dans le tiroir du bureau, dont 8 carrés. Nous avons pris trois cahiers au hasard. Trouvez la probabilité que les trois cahiers pris soient de la plus haute qualité.

Solution. Puisque l'ordre ne joue ici aucun rôle, le nombre total de tous les résultats possibles sera égal au nombre de combinaisons de 15 par 3, c'est-à-dire que le nombre d'événements favorables sera également égal au nombre de combinaisons de 8 par 3.

Probabilité requise :

.

Problème 19.

Il y a 15 étudiants dans le groupe, dont 8 sont d'excellents étudiants. 6 étudiants ont été appelés au hasard (selon la liste). Trouvez la probabilité que 4 des étudiants appelés soient d’excellents étudiants.

Solution. Le nombre de résultats possibles de l'expérience est ici égal au nombre de combinaisons de 15 par 6, .

Nous considérons qu'une combinaison est favorable s'il y a 4 excellents étudiants et 2 non. 4 excellents étudiants peuvent être sélectionnés parmi 8 excellents étudiants de différentes manières, tandis que les 6-4 = 2 étudiants restants (pas d'excellents étudiants) sont sélectionnés parmi 15-8 = 7 étudiants de différentes manières.

Si à chacun des quatre excellents élèves on ajoute une des paires

étudiants qui ne sont pas d’excellents élèves, nous obtiendrons des groupes « favorables » de 6 personnes. Leur nombre est égal à m =.

Probabilité requise :

Problème 20.

La première difficulté que Pascal surmonta dans sa correspondance avec le chevalier de Marais fut celle du décompte précis des cas. Il s'agissait d'un jeu dans lequel trois dés sont lancés, et l'un des joueurs parie que le total des côtés lancés sera supérieur à 10, et l'autre - qu'il sera égal ou inférieur à 10. Il est facile de voir que les chances des deux joueurs sont égales. Mais la difficulté était la suivante. La comptabilité des patients est très grand nombre Les jeux montrèrent au Chevalier de Marais que ceux qui parient plus de 10 gagnent plus souvent avec 11 qu'avec 12 points. Cependant, selon Mere, 11 points peuvent être obtenus de six manières différentes (6-4-1 ; 6-3-2 ; 5-5-1 ; 5-4-2 ; 5-3-3 ; 4-4-3). ), et 12 points peuvent également être obtenus de six manières (6-5-1 ; 6-4-2 ; 6-3-3 ; 5-5-2 ; 5-4-3 ; 4-4-4). La réponse de Pascal est très simple : la combinaison 6-4-1 n'est pas première, mais sextuple, puisque si les dés sont numérotés, ou si chacun des trois dés est coloré différemment pour pouvoir les distinguer, on peut obtenir la valeur 6. sur chacun des trois dés, et la valeur 4 est sur chacun des deux autres, ce qui fait déjà six combinaisons. En revanche, une combinaison telle que 5-5-1 ne peut être réalisée que de trois manières différentes, et une combinaison telle que 4-4-4 ne peut être réalisée que d'une seule manière.

Par conséquent, si vous voulez savoir nombre réel de diverses manières obtenez 11 ou obtenez 12 points, puis pour chacun de ces cas, vous devez additionner la somme de ces six nombres qui correspondent aux combinaisons,

alors que pour le cas de 12 points on a

De là nous concluons qu'en moyenne nous obtenons 11 points 27 fois, tandis que nous obtenons 12 points 25 fois, et ce résultat s'accorde parfaitement avec les observations du Chevalier de Mère.

Exemple 4. En composant un numéro de téléphone, l'abonné a oublié un chiffre et l'a composé au hasard. Trouvez la probabilité que le bon numéro soit composé.

Solution. Notons par UNévénement – ​​​​le numéro requis a été composé. L'abonné pouvait composer l'un des 10 chiffres. Le nombre total de résultats élémentaires possibles est donc de 10. Ces résultats sont également possibles (le nombre est saisi au hasard) et forment groupe complet(au moins un chiffre sera certainement composé), c'est-à-dire. Un seul numéro est nécessaire. Donc pour l'événement UN UN .

Exemple 5. En composant un numéro de téléphone, l'abonné a oublié les deux derniers chiffres et, se rappelant seulement qu'ils étaient différents, les a composés au hasard. Trouver la probabilité que les numéros dont vous avez besoin.

Solution. Notons par DANSévénement – ​​​​deux numéros requis ont été composés. Il n'y a qu'un nombre limité de paires que vous pouvez collectionner différents numéros, combien de placements peuvent être faits de 10 chiffres sur 2, c'est-à-dire . Par conséquent, le nombre total de résultats élémentaires également possibles est . Une seule combinaison de deux nombres est nécessaire. Donc pour l'événement UN une seule issue est favorable. La probabilité requise est égale au rapport du nombre d'issues favorables à l'événement UN au nombre de tous les résultats élémentaires : .

Exemple 6. Dans un lot de 10 pièces il y a 7 pièces standards. Trouvez la probabilité que parmi six pièces prises au hasard, il y en ait exactement 4 standards.

Solution. Laissez l'événement UN– parmi les 6 pièces prises, 4 exactement sont standards. Le nombre total de résultats de tests élémentaires possibles est égal au nombre de façons dont 6 parties peuvent être extraites de 10, c'est-à-dire le nombre de combinaisons de 10 éléments de 6 (). Comptons le nombre d'issues favorables à l'événement UN: 4 pièces standards peuvent être extraites de 7 pièces standards de différentes manières. Dans ce cas, les 6-4=2 pièces restantes doivent être non standards. Ils peuvent être extraits de 10-7=3 pièces non standard de différentes manières. Le nombre d’issues favorables est donc de . La probabilité requise est égale au rapport du nombre d'issues favorables à l'événement UN, au nombre de tous les résultats élémentaires.

En composant un numéro de téléphone, l'abonné a oublié les deux derniers chiffres et, se rappelant seulement que ces chiffres étaient différents, les a composés au hasard. Trouvez la probabilité que les numéros requis soient composés.

Tâche n°2

Étant donné une fonction différentielle de continu variable aléatoire X :

Trouver fonction intégrale F(x)

Tâche n°3

Il y a 3 boules blanches et 3 boules noires dans l'urne. Une balle à la fois est retirée de l'urne deux fois sans les remettre. Trouver la probabilité d'occurrence boule blanche au deuxième essai (événement B) si la boule noire a été tirée au premier essai (événement A).

Tâche n°4

Il y a 3 boîtes contenant 10 pièces. La première boîte contient 8, la deuxième 7 et la troisième 9 pièces standards. Une pièce est retirée au hasard de chaque boîte. Trouvez la probabilité que ces trois pièces supprimées se révèlent être standard.

Tâche n°5
La probabilité d'atteindre la cible lors du tir avec trois canons est la suivante : = 0,8; = 0,7; = 0,9. Trouvez la probabilité d'au moins un coup sûr (événement A) avec une salve de toutes les armes.

Tâche n°6

Il y a deux ensembles de pièces. La probabilité que la partie du premier ensemble soit standard est de 0,8 et la seconde est de 0,9. Trouvez la probabilité qu'une partie prise au hasard (dans un ensemble pris au hasard) soit standard.

Tâche n°7

Pour participer aux compétitions sportives qualificatives des étudiants, 4 étudiants du premier groupe du cours ont été répartis, 6 du deuxième groupe et 5 étudiants du troisième groupe. Les probabilités qu’un étudiant des premier, deuxième et troisième groupes soit inclus dans l’équipe de l’institut sont respectivement égales à 0,9 ; 0,7 et 0,8. Un étudiant sélectionné au hasard s'est retrouvé dans l'équipe nationale à la suite du concours. À quel groupe cet élève appartenait-il le plus probablement ?

Tâche n°8

La probabilité que la consommation d'électricité au cours d'une journée ne dépasse pas la norme établie est de 0,75. Trouvez la probabilité qu'au cours des 6 prochains jours, la consommation d'électricité pendant 4 jours ne dépasse pas la norme.

Tâche n°9

Trouvez la probabilité que l'événement A se produise exactement 80 fois dans 400 essais si la probabilité que cet événement se produise dans chaque essai est de 0,2.

Tâche n°10

La probabilité qu'un tireur atteigne une cible d'un seul coup est de 0,75. Trouvez la probabilité qu'avec 100 tirs, la cible soit touchée : a) pas moins de 70 et pas plus de 80 fois ; b) pas plus de 70 fois.

Tâche n°11

Un marchandiseur examine 24 échantillons de marchandises. La probabilité que chacun des échantillons soit considéré comme apte à la vente est de 0,6. Trouvez le nombre le plus probable d’échantillons qu’un marchandiseur reconnaît comme étant aptes à la vente.

Probabilité qu'un événement se produise dans chacun des 400 tests indépendantségal à 0,8. Trouvez-en un nombre positif E, de sorte qu'avec une probabilité de 0,9876 valeur absolue l'écart de la fréquence relative d'occurrence d'un événement par rapport à sa probabilité de 0,8 n'a pas dépassé E.

Tâche n°13

La pièce est lancée 5 fois. Trouvez la probabilité que les « armoiries » apparaissent :

a) moins de deux fois ;

b) au moins deux fois.

Tâche n°14

La première urne contient 10 boules dont 8 blanches ; La deuxième urne contient 20 boules dont 4 blanches. Une boule est tirée au hasard dans chaque urne, puis une boule est tirée au hasard parmi ces deux boules. Trouvez la probabilité que la boule blanche soit tirée.

Tâche n°15

Combien d'essais indépendants faut-il réaliser avec une probabilité d'occurrence d'un événement dans chaque essai égale à 0,4 pour que le nombre le plus probable d'occurrence d'un événement dans ces essais soit égal à 25 ?

Tâche n°16

La variable aléatoire discrète X est spécifiée par la loi de distribution.

Trouver : variance D(X), moyenne écart type(X) et construisons un polygone de distribution.

Tâche n°17

Le manuel a été publié à 100 000 exemplaires. La probabilité que le manuel soit mal relié est de 0,0001. Trouvez la probabilité que le tirage contienne exactement 5 livres défectueux.

Tâche n°18

Une liste de valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète X est donnée : et aussi connu attentes mathématiques cette quantité et ses carrés :

M(X)=2,3 et M(X )=5,9.

Trouver les probabilités correspondant valeurs possibles X.

Tâche n°19

La variable aléatoire X est spécifiée par la fonction intégrale

Trouver la probabilité qu'à la suite du test, la valeur de X prenne une valeur contenue dans l'intervalle (-1;1)

Tâche n°20
Une variable aléatoire discrète est spécifiée par une loi de distribution

Trouvez la fonction intégrale et tracez son graphique.

Tâche n°21

La variable aléatoire continue X est donnée fonction différentielle
dans l'intervalle (0 ; π/3) ; en dehors de cet intervalle f(x)=0. Trouver la probabilité que X prenne une valeur appartenant à l'intervalle (
)

Tâche n°22

La variable aléatoire discrète X est spécifiée par la loi de distribution :

Trouver points centraux première, deuxième, troisième et quatrième commandes

Tâche n°23

Écrivez une loi binomiale pour la distribution d'une variable aléatoire discrète X - le nombre d'occurrences d'un nombre pair de points sur deux dés.

Tâche n°24

Trouvez la variance et l'écart type d'une variable aléatoire discrète X spécifiée par la loi de distribution :

La probabilité d'apparition de l'événement a dans chaque essai est de ½. À l'aide de l'inégalité de Chebyshev, estimez la probabilité que le nombre X d'occurrences de l'événement A soit compris entre 40 et 60 si 100 essais indépendants sont effectués.

Tâche n°27

Construire un histogramme fréquences relatives Par distribution donnéeéchantillons

L'échantillon est spécifié sous forme de distribution de fréquence

Tâche n°29

Pour construit série d'intervalles calculer intervalle de confianceà γ=0,99 et t=2,861

Tâche n°30

L'échantillon est spécifié sous forme de distribution de fréquence