Le champ électrique, comme le champ gravitationnel, est potentiel. Ceux. le travail effectué par les forces électrostatiques ne dépend pas de la route le long de laquelle la charge q se déplace dans le champ électrique du point 1 au point 2. Ce travail est égal à la différence des énergies potentielles possédées par la charge en mouvement au moment initial et points finaux du terrain :
A 1,2 = W 1 – W 2. (7)
On peut montrer que énergie potentielle la charge q est directement proportionnelle à l'ampleur de cette charge. Par conséquent, comme caractéristique énergétique d'un champ électrostatique, le rapport de l'énergie potentielle d'une charge d'essai q 0 placée en tout point du champ à la valeur de cette charge est utilisé :
Cette quantité représente la quantité d'énergie potentielle par unité de charge positive et est appelée potentiel de terrain à un moment donné. [φ] = J / Cl = V (Volts).
Si nous acceptons que lorsque la charge q 0 est éloignée à l'infini (r→ ∞), son énergie potentielle dans le champ de charge q devient nulle, alors le potentiel de champ frais ponctuels q à une distance r de celui-ci :
. (9)
Si un champ est créé par un système de charges ponctuelles, alors le potentiel du champ résultant est égal à la somme algébrique (y compris les signes) des potentiels de chacun d'eux :
. (10)
D'après la définition du potentiel (8) et l'expression (7), le travail effectué par les forces du champ électrostatique pour déplacer la charge de
le point 1 au point 2 peut être représenté comme suit :
La tension comme gradient potentiel
Trouvons la relation entre l'intensité E du champ électrostatique, qui est sa force caractéristique, et le potentiel φ, l'énergie caractéristique du champ.
Travailler pour déplacer un point, charge positive q dans une direction arbitraire X du point 1 au point 2 infiniment proche, X 2 – X 1 = ré X, sera égal à : A 1,2 = q E X∙d X ou par potentiel : A 1,2 = q(φ 1 – φ 2) = - q dφ.
, (12)
Où: 
ceux. L'intensité du champ est égale au gradient de potentiel pris avec un signe moins. Cela signifie que
orienté vers la diminution du potentiel. Pour afficher graphiquement la distribution potentielle champ électrostatique apprécier – une surface en tous points dont le potentiel φ a la même valeur. Pour des charges ponctuelles en milieu homogène, par exemple, ces surfaces sont des sphères (Fig. 133a Trofimov, p. 139).
Pour tout point du champ, les lignes de tension sont toujours dirigées perpendiculairement aux surfaces équipotentielles. (Fig. 133b Trofimova, p. 139).
DIPÔLE ÉLECTRIQUE
Dipôle électrique
– un système de deux charges ponctuelles opposées de taille égale +q et -q, distance
entre lesquels il y a beaucoup moins de distance par rapport aux points considérés du champ. Une droite passant par les deux charges s’appelle axe dipolaire
. Vecteur 
, dirigé d'une charge négative vers une charge positive et égale en grandeur à la distance qui les sépare, est appelé bras dipolaire
. Vecteur 
,
,
(13)
appelé moment dipolaire électrique ou moment dipolaire .
Déterminons le potentiel et l'intensité du champ du dipôle en un point arbitraire M à une distance r du milieu du dipôle. Potentiel de champ au point M :
Considérant que je‹‹ r, r + ≈ r - = r et r - – r + ≈ je cos(π-θ), finalement pour φ on obtient :
.
(15)
Selon le principe de superposition, l'intensité du champ dipolaire 
. La dérivation de la formule du module de l’intensité du champ dipolaire est plus compliquée. Écrivons cette formule sans dérivation :
(16)
).
Riz. 1.16 :
Le travail effectué lors du déplacement d'une charge unitaire du point 1 au point 2 est égal à E x d x. Le même travail est égal à ϕ 1 − ϕ 2 = − d ϕ . En égalant les deux expressions, nous obtenons d ϕ = − e x d x . Un raisonnement similaire s'applique pour les axes Y et Z. En conséquence, on retrouve les trois composantes du vecteur E → :
Vous pouvez donner définition invariante gradient, ce qui sera vrai dans un système de coordonnées curvilignes arbitraires. Fonction dégradéϕ (r →) est vecteur orienté vers l'augmentation maximale de la fonction, et sa longueur est égale à la dérivée de la fonction dans le même sens. Pour clarifier le sens de cette définition, tirons-nous de point arbitraire r → dans n'importe quelle direction vecteur unitaire s → . La projection du vecteur A → ≡ grad ϕ sur cette direction est A s = s → ⋅ A → = s → ⋅ grad ϕ . Mais la même quantité est égale à la dérivée A s = ∂ ϕ ∕ ∂ s de la fonction ϕ dans la direction s →. Cela peut être facilement vérifié en exécutant axe de coordonnées dans la direction du vecteur s → et en répétant le raisonnement du début du paragraphe. Ainsi,
∂ ϕ ∂ s = s → ⋅ grade ϕ .
La dérivée d'une fonction dans n'importe quelle direction est égale à la projection du gradient de cette fonction sur la même direction. Il est clair que cette dérivée est maximale lorsque cette direction coïncide avec la direction du gradient.
▸ Problème 8.1
Calculer les composantes covariantes et contravariantes une charge ponctuelle dans un système curviligne arbitraire coordonnées Exprimer les composants physiques du feutre de toiture à points facturer de manière arbitraire système orthogonal coordonne à travers Coefficients boiteux.
Solution : Soit x j — coordonnées contravariantes. Composantes covariables E j = − ∂ ϕ ∕ ∂ x j vecteur E → dans on trouve ce système de coordonnées en utilisant la formule
E j = − ∂ ∂ x j q r = q r 2 ∂ r ∂ x j .
Composantes contravariantes E j trouver par formule
E j = g j k E k ,
où sur une paire d'indices répétitifs, la sommation est implicite. Rappelons que
G j k = ∂ r → ∂ x j ⋅ ∂ r → ∂ x k
est un tenseur métrique à travers lequel l'élément est exprimé longueurs :
(d r →) 2 = g j k ré x j ré x k .
Tenseur g j k est son inverse :
G j k g k l = δ l j .
Dans un système de coordonnées orthogonales, l'élément de longueur est exprimé à travers les coefficients de Lamé :
(d r →) 2 = (h 1 d x 1) 2 + (h 2 d x 2) 2 + (h 3 d x 3) 2,
et le tenseur métrique est diagonal :
G j k = h 1 2 0 0 0 h 2 2 0 0 0 h 3 2 .
Son tenseur inverse est également diagonal :
G j k = (g j k) − 1 = 1 ∕ h 1 2 0 0 0 1 ∕ h 2 2 0 0 0 1 ∕ h 3 2 .
Les composantes physiques des vecteurs sont définies de manière orthogonale système de coordonnées comme moyenne géométrique du produit composantes covariantes et contravariantes :
E h 1 = E 1 E 1 = E 1 ∕ h 1, E h 2 = E 2 E 2 = E 2 ∕ h 2, E h 3 = E 3 E 3 = E 3 ∕ h 3.
▸ Problème 8.2 Notez la charge ponctuelle en sphérique et cylindrique
systèmes de coordonnées. Solution: DANS système sphérique coordonnées (r, θ, α) dont le centre à l'emplacement de la charge est différent de zéro uniquement la première composante covariante du vecteur champ : E 1 = q ∕ r 2, puisque ϕ = q ∕ r ne dépend pas de θ et α. De tous Coefficients boiteux ( h 1 = 1, h 2 = r, h 3 = r sin θ) exactement h 1 est égal à 1, donc covariant, contravariant et les composants physiques sont tous égaux les uns aux autres :
E 1 = E 1 = E r = q ∕ r 2 . Dans un système de coordonnées cylindrique (ρ, α, z)également avec le centre du lieu de facturation, nous avons : h 1 = 1, h 2 = ρ, h 3 = 1, r = ρ 2 + z 2. Différencier ϕ = q ∕ r, calculer les composantes covariantes du champ, puis à nouveau E ρ = (q ∕ r 2) (ρ ∕ r) , E α = 0 , E z = (q ∕ r 2) (z ∕ r) .
G.M. Kazakov
Transfert de chaleur et de masse
Approuvé par la rédaction et l'édition
conseil universitaire comme
aide pédagogique
Nijni Novgorod - 2016
Kazakov G.M. Transfert de chaleur et de masse : Tutoriel. – N. Novgorod : Nijni Novgorod. État architecte-construit univ., 2016. – 93 p.
ISBN5-87941-412-4
Le manuel fournit une approche théorique pour résoudre large gamme problèmes de transfert de chaleur et de masse : transfert de chaleur à travers des parois monocouches et multicouches de divers forme géométrique, théorie de la similarité des processus et des phénomènes, détermination des coefficients de transfert thermique lors du transfert thermique par convection. Les questions de transfert de chaleur et de masse lors des transformations de phase sont examinées en détail. Le manuel montre les caractéristiques de l'échange de chaleur radiante entre solides, émission et absorption de gaz purs et de flammes, et également pris en compte méthodes d'ingénierie calcul des échangeurs de chaleur.
Le manuel peut être utile aux enseignants et aux étudiants des spécialités de chaleur et d'électricité.
ISBN5-87941-412-4
© Kazakov G.M., 2016
© NNGASU, 2016
Introduction
La théorie du transfert de chaleur et de masse de la matière est l'une des sections les plus importantes science moderne. Elle a super signification pratique dans des domaines technologiques très variés : énergie stationnaire et industrielle, processus technologiques industrie chimique et métallurgique, industrie de la construction et services publics. En particulier grande valeur le problème du transfert de chaleur et de masse a des implications dans de nouveaux domaines technologiques, en particulier pour énergie nucléaire Et technologie spatiale. Base scientifique De nombreux processus de production d'énergie thermique, de technologie énergétique et de technologie chimique sont basés sur la théorie du transfert de chaleur et de masse. Il comprend un complexe connaissances scientifiques de l'hydrodynamique continuum, physique moléculaire, thermodynamique, équations physique mathématique, physique et chimique phénomènes de surface médias dispersés. La théorie de la cinétique moléculaire des phénomènes de transfert de chaleur et de masse est très complexe et insuffisamment développée. C'est pourquoi théorie moderne Le transfert de chaleur et de masse est principalement phénoménologique, basé sur l'hydrodynamique et la thermodynamique des milieux continus.
Le manuel est basé sur la théorie du transfert de toute substance. Cela permet aux étudiants de comprendre clairement la différence entre les problèmes de transfert de chaleur et de masse non couplés et plus encore. tâches complexes transferts de chaleur et de masse associés. Parce que formulation mathématique les processus de transfert de chaleur et de masse qui ne sont pas liés les uns aux autres sont identiques, cela nous permet de nous limiter à une présentation plus détaillée des problèmes de transfert de chaleur.
Le manuel « Transfert de chaleur et de masse » est destiné aux étudiants par correspondance formulaire à distance formation, mais peut également être recommandé aux étudiants à temps plein formation dans les spécialités de chaleur et d'électricité.
Principes de base de la doctrine des processus de transfert d'énergie thermique et de masse dans l'espace
Concepts et définitions de base
Le transfert de toute substance (énergie, masse, impulsion, charge électrique) peut se produire à la fois par des méthodes microscopiques (mouvement thermique chaotique invisible des microparticules) et macroscopiques (visible, associé au mouvement de la masse de matière). Dans le premier cas, lorsque le milieu est stationnaire, le transfert de masse de n'importe quel composant du mélange est appelé diffusion, et le transfert d'énergie thermique est appelé conductivité thermique. Dans le second cas, avec un mouvement visible du milieu lui-même, qui se produit en raison de forces extérieures, le transfert de masse et d’énergie thermique est appelé respectivement convection de masse et convection de chaleur. Il existe deux types de convection : libre (naturelle) et forcée. En convection du premier type force motrice est causée par l'inhomogénéité de la densité du milieu, associée à l'inhomogénéité de la température, dans le domaine de la force de masse (gravitationnelle, centrifuge, électromagnétique). Les volumes chauffés du milieu, ayant une faible densité, « flottent » dans les volumes refroidis. Avec la convection forcée, le mouvement du milieu dans l'espace est effectué par des pompes, des ventilateurs, etc. Le transfert combiné de masse ou d’énergie thermique par des méthodes microscopiques et macroscopiques est appelé respectivement transfert de masse par convection et transfert de chaleur par convection. L'environnement de conduite, quel que soit état d'agrégation Il est d'usage de l'appeler un liquide, qui peut être à un ou plusieurs composants. Le transfert de chaleur par convection à la frontière d'un fluide en mouvement et d'une paroi fixe solide est appelé transfert de chaleur. Le transfert de masse par convection de tout composant d'un liquide en écoulement à la frontière avec une paroi fixe solide est appelé transfert de masse. Le transfert de chaleur d’un fluide en mouvement à un autre fluide en mouvement à travers une paroi fixe solide les séparant est appelé transfert de chaleur. Ainsi, le transfert de chaleur comprend le transfert de chaleur sur les deux surfaces du mur et la conduction thermique dans le mur lui-même. De même, le transfert de masse de n’importe quel composant d’un mélange en mouvement vers un autre mélange en mouvement à travers une paroi fixe solide les séparant est appelé transfert de masse. Le transfert de masse comprend le transfert de masse sur les deux surfaces du mur et la diffusion de tout composant dans le mur lui-même.
Le transfert de chaleur peut se produire dans la région du vide profond avec un contenu moléculaire extrêmement petit de la substance. Le transfert de chaleur dans ce cas s'effectue par des photons émis par certains corps et absorbés par d'autres, et est appelé transfert de chaleur radiante. Dans ce cas, selon la loi d'équivalence de masse et d'énergie, la masse est également transférée. Cependant, dans les cas techniques ordinaires, ce transfert de masse est négligeable par rapport au transfert de masse radiatif, par exemple lors du rayonnement solaire et stellaire.
Solution: cas général le transfert de chaleur et de masse peut se produire simultanément. Dans d’autres cas, ils peuvent être considérés séparément ou l’un d’eux peut être négligé. L'échange de chaleur peut se produire simultanément : par conductivité thermique, et par transfert de chaleur par une substance en mouvement, et par rayonnement. De même, le transfert de masse peut se produire simultanément : à la fois par la diffusion de n'importe quel composant du mélange, et par le transfert de ce composant par une substance en mouvement. Très souvent, il est possible d'isoler et d'étudier certains cas particulier transfert de chaleur ou de masse.
Si, par exemple, la vitesse w et la température T en tout point de l'écoulement du fluide sont connues et que la densité r et la capacité thermique massique spécifique c p sont constantes, alors la quantité élémentaire de masse circulant par unité de temps à travers l'élément dF d'un une surface arbitraire est égale à
,
où est le vecteur unitaire normal à la surface élémentaire dF.
En intégrant cette expression sur toute la surface, on obtient le débit massique transféré par convection
, (kg/s). (1.1)
La densité du débit massique est égale à
, (kg/m 2 s). (1.2)
La quantité élémentaire de chaleur transférée par unité de temps à travers un élément d'une surface arbitraire dF est
En intégrant sur toute la surface, on obtient le flux thermique transféré par convection
, (Mar). (1.3)
La densité du flux thermique dans ce cas est égale à
, (W/m2). (1.4)
Champ de potentiel. Dégradé potentiel
Par potentiel, on entend toute grandeur dont l'hétérogénéité dans l'espace conduit à un transfert microscopique de la substance correspondante. Très souvent, il est choisi en fonction de sa commodité. Par exemple, dans le cas de la conductivité thermique, la température spécifique énergie interne et enthalpie spécifique. Cependant, la température est choisie comme potentiel car elle, en fonction des coordonnées, ne subit pas de discontinuité à la frontière, par exemple, de matériaux différents. Alors que l'énergie interne spécifique et l'enthalpie à cette frontière en fonction des coordonnées ont une discontinuité.
Le champ de potentiel s'entend comme l'ensemble des valeurs potentielles en tous points de la zone d'étude à tout instant. Si le potentiel est choisi comme température, concentration d'un composant du mélange, débit de liquide, etc., alors en conséquence nous parlons de sur le champ de température, le champ de concentration, le champ de vitesse, etc. Lieu géométrique les points de potentiels égaux dans un champ de potentiel forment des surfaces isopotentielles. Par exemple, dans un champ de température, ce sont des surfaces isothermes. Les surfaces isopotentielles ne peuvent pas se croiser. Sinon, il y aurait plusieurs potentiels aux points d’intersection, ce qui est physiquement absurde. Il y a des non-stationnaires et champs stationnaires potentiels. Si le champ dépend du temps, il est non stationnaire. Par exemple, les champs non stationnaires de températures et de débits de fluides dans Système cartésien les coordonnées ont la forme
T = T(x,y,z,t), 
Comme vous pouvez le voir, l'un des champs est scalaire et l'autre est vectoriel.
En conséquence, les champs stationnaires peuvent être écrits sous la forme
; 
Il existe respectivement des champs potentiels tridimensionnels, bidimensionnels et unidimensionnels, non stationnaires ou stationnaires. Ci-dessus, respectivement, des champs tridimensionnels non stationnaires et stationnaires de températures et de vitesses sont présentés, puisqu'il y a trois coordonnées sous le signe de la fonction. Par exemple, les champs unidimensionnels non stationnaires de températures et de vitesses d'écoulement des fluides dans un système de coordonnées cartésiennes ont la forme
En conséquence, les champs stationnaires unidimensionnels peuvent être écrits sous la forme
1. À partir des formules (8.1)
il s'ensuit que
où désigne la dérivée par rapport à la direction du vecteur ds (voir annexe, § 2). Par la définition de la notion de gradient, cette dérivée spatiale d'un scalaire coïncide avec la composante de son gradient dans la direction de l'équation (4] :
Ainsi,
Puisque cette égalité des projections vectorielles doit se produire pour tout choix de direction, ces vecteurs doivent être égaux entre eux :
Ainsi, l’intensité du champ électrostatique est égale au gradient potentiel électrostatique pris avec le signe opposé.
Puisque le gradient de potentiel est dirigé dans le sens de son augmentation et est une mesure de la vitesse de cette augmentation, on peut dire que la tension champ électrique est une mesure du taux de désintégration du potentiel, ou, simplement, qu'elle est égale à la désintégration du potentiel. La direction du champ coïncide avec la direction des trajectoires orthogonales des surfaces équipotentielles (voir appendice, § 2). Par conséquent, ces trajectoires orthogonales (lignes de gradient) coïncident avec des lignes de forces électriques, ou lignes de force.
2. Une ligne de champ électrique est une ligne dont les tangentes en chaque point coïncident en direction avec le vecteur d'intensité du champ électrique en ce même point (c'est-à-dire avec la direction force électrique, agissant sur l'unité charge positive). Évidemment, à travers chaque point du champ, une et une seule ligne de force peut être tracée. En chacun de ces points, le vecteur a une direction très spécifique. En déplaçant un segment arbitrairement petit dans la direction, nous arriverons à un point où le vecteur peut avoir une direction différente de celle dans nouveau point dans lequel on peut répéter à nouveau la même opération, etc. Obtenu de cette manière ligne briséeà la limite, avec une diminution infinie des segments qui la composent, coïncide avec la ligne de champ recherchée.
Pour obtenir l’équation analytique lignes électriques, il suffit de prendre en compte que l'élément de longueur de la ligne de champ est parallèle à l'intensité du champ, c'est-à-dire que ses composantes le long des axes de coordonnées sont proportionnelles aux composantes du vecteur E :
Les équations (10.3) sont équivalentes à un système de deux équations différentielles, par exemple, dont les intégrales ont la forme : où sont les constantes d'intégration. L'ensemble de ces dernières équations est l'équation de la ligne de champ. L'arbitraire dans le choix des constantes correspond à la possibilité de choisir arbitrairement les coordonnées du point de champ par lequel on veut tracer une ligne de force donnée.
Physiciens du 19ème siècle pendant longtemps cherché à expliquer phénomènes électromagnétiques déformations et mouvements vortex d'un milieu hypothétique spécial pénétrant tout - l'éther ; ils croyaient que les lignes de force coïncidaient avec les axes de déformation (ou axes de torsion) subis par l'éther dans un champ électrique. Cependant, au début du 20e siècle. l'incohérence totale de la théorie mécaniste de l'éther est devenue claire, et à l'heure actuelle, en utilisant le concept de « lignes de force », il faut se rappeler que ce concept a une signification conditionnellement auxiliaire et que les lignes de force ne servent qu'à représenter graphiquement la direction du vecteur électrique.
3. Cependant, tout comme pour la méthode appropriée de dessin des surfaces équipotentielles, la densité de leur disposition peut servir de mesure du gradient de potentiel, c'est-à-dire une mesure de l'intensité du champ. De même, les lignes de force peuvent être utilisées dans le même but. .
Il est bien entendu impossible de tracer sur le dessin toutes les lignes de force passant par chaque point du champ et remplissant tout l'espace occupé par le champ. Habituellement, les lignes de champ sont tracées de telle manière que dans n'importe quelle partie du champ, le nombre de lignes traversant l'aire d'une surface unitaire qui leur est perpendiculaire est, si possible, proportionnel à
l'intensité du champ sur ce site. Dans ce cas, la densité des lignes de champ peut servir de mesure de l’intensité du champ. De plus, le nombre de lignes traversant élément arbitraire La surface sera évidemment proportionnelle au produit de la tension et de la projection de l'élément sur un plan perpendiculaire à ce produit. Ce produit est égal au flux vectoriel traversant l'élément. Par conséquent, au lieu du terme « flux vectoriel à travers une surface donnée », le terme « flux vectoriel à travers une surface donnée » sera utilisé. l'expression « le nombre de lignes de force coupant une surface donnée » est parfois utilisée. Ce nombre de lignes est considéré comme positif ou négatif selon que les lignes de force coupent une surface donnée dans la direction d'une normale positive (externe) ou négative (interne) à celle-ci.
Notez qu'avec la méthode indiquée pour tracer les lignes de champ nombre total ces lignes coupant toute surface fermée doivent être proportionnelles somme algébrique charges situées à l'intérieur car, selon le théorème de Gauss (3.6), la somme de ces charges est proportionnelle au flux du vecteur qui les traverse. Dans ce cas, bien entendu, pour déterminer le nombre de lignes qui se coupent, il faut prendre chacune d'elles avec le. signe approprié ou
En particulier, le nombre de lignes de force traversant toute surface fermée ne contenant pas de charges est nul. Autrement dit, le nombre (positif) de lignes sortant d’un volume délimité par une surface est égal au nombre (négatif) de lignes qui y pénètrent. Il s’ensuit que dans les sections libres du champ, les lignes de champ ne peuvent ni commencer ni se terminer. En revanche, ces lignes ne peuvent pas
également être fermé. Sinon, l'intégrale linéaire sur chacune des lignes de force fermées serait différente de zéro (puisque les éléments des lignes de force sont parallèles, donc, intégrande significativement positif), ce qui contredit l’équation (7.3). Par conséquent, dans un champ électrostatique, les lignes de force commencent et se terminent à charges électriques, ou une extrémité va à l'infini.
Ainsi, pour obtenir une image correcte du champ, il suffit évidemment de tracer le nombre de lignes de chaque élément de charge, proportionnel à l'ampleur cette accusation.
Pour les lignes ouvertes, il existe cependant, en plus de celles énumérées, une troisième possibilité : elles peuvent, avec une continuation illimitée, sans se croiser ni se fermer, remplir de manière dense partout une certaine zone d'espace limitée. Nous nous familiariserons avec ce type de lignes de champ magnétique au chapitre. IV. Cependant, pour les lignes de force d'un champ électrostatique, cette possibilité est exclue, car une ligne remplissant une certaine zone de l'espace doit, avec une continuation suffisante, s'approcher aussi près que souhaité des points qu'elle a traversés précédemment. S'il y a deux points infiniment proches sur une ligne de champ similaire, alors l'intégrale le long de cette ligne sera essentiellement positive et aura une valeur finie. En même temps, si le vecteur est fini, cette intégrale ne doit différer que d'une quantité infinitésimale de l'intégrale le long d'un contour fermé formé par un segment de la ligne de champ et un segment infinitésimal de la droite reliant Mais la dernière intégrale, selon à (7.3), égal à zéro, c'est-à-dire diffère d'une quantité finie de Cette contradiction prouve l'impossibilité de l'existence de lignes de force du type indiqué.
