Des triplés pythagoriciens. Triple de nombres pythagoriciens modernes de haute technologie

Ensuite, nous examinerons les méthodes connues pour générer des triplets pythagoriciens efficaces. Les étudiants de Pythagore ont été les premiers à inventer une manière simple de générer des triplets pythagoriciens, en utilisant une formule dont les parties représentent un triplet pythagoricien :

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Où m- non apparié, m>2. Vraiment,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Une formule similaire a été proposée par le philosophe grec Platon :

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Où m- n'importe quel numéro. Pour m= 2,3,4,5 les triplets suivants sont générés :

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Comme on le voit, ces formules ne peuvent pas donner tous les triplets primitifs possibles.

Considérons le polynôme suivant, qui peut être développé en une somme de polynômes :

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

D'où les formules suivantes pour obtenir des triplets primitifs :

un = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Ces formules génèrent des triplets dans lesquels le nombre moyen diffère du plus grand nombre d'exactement un, c'est-à-dire que tous les triplets possibles ne sont pas non plus générés. Ici les trois premiers sont égaux à : (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Pour déterminer comment générer tous les triplets primitifs, leurs propriétés doivent être examinées. Premièrement, si ( abc) est un triplet primitif, alors un Et b, b Et c, UN Et c- doit être relativement simple. Laisser un Et b sont divisés en d. Alors un 2 + b 2 - également divisible par d. Respectivement, c 2 et c doit être divisé par d. Autrement dit, ce n'est pas un trois primitif.

Deuxièmement, parmi les chiffres un, b l'un doit être apparié et l'autre non apparié. En effet, si un Et b- jumelé, alors Avec seront appariés et les nombres peuvent être divisés par au moins 2. S'ils ne sont pas tous les deux appariés, alors ils peuvent être représentés par 2 k+1 je 2 je+1, où k,je- quelques chiffres. Alors un 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4je 2 +4je+1, c'est-à-dire Avec 2, comme un 2 + b 2 a un reste de 2 lorsqu'il est divisé par 4.

Laisser Avec- n'importe quel nombre, c'est-à-dire Avec = 4k+je (je=0,…,3). Alors Avec 2 = (4k+je) 2 a un reste 0 ou 1 et ne peut pas avoir de reste 2. Ainsi, un Et b ne peut pas être dissocié, c'est-à-dire un 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4je 2 +4je+1 et le reste de la division Avec 2 sur 4 doit être 1, ce qui signifie que Avec doit être non apparié.

De telles exigences pour les éléments d'un triplet pythagoricien sont satisfaites par les nombres suivants :

un = 2minute, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Où m Et n- s'amorcent mutuellement avec différents appariements. Ces dépendances sont devenues connues pour la première fois grâce aux œuvres d'Euclide, qui vécut en 2300 r. dos.

Montrons la validité des dépendances (2). Laisser UN- jumelé, alors b Et c- non apparié. Alors c + b je c − b- jumelé. Ils peuvent être représentés comme c + b = 2toi Et c − b = 2v, Où toi,v- quelques entiers. C'est pourquoi

un 2 = Avec 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2toi·2 v = 4UV

Et donc ( un/2) 2 = UV.

On peut prouver par contradiction que toi Et v- mutuellement simple. Laisser toi Et v- divisé en d. Alors ( c + b) Et ( c − b) sont divisés en d. Et ainsi c Et b doit être divisé par d, et cela contredit la condition du triplet pythagoricien.

Parce que UV = (un/2) 2 et toi Et v sont relativement premiers, alors il est facile de prouver que toi Et v doit être des carrés de certains nombres.

Il existe donc des entiers positifs m Et n, tel que toi = m 2 et v = n 2. Alors

UN 2 = 4UV = 4m 2 n 2 donc
UN = 2minute; b = toi − v = m 2 − n 2 ; c = toi + v = m 2 + n 2 .

Parce que b> 0, alors m > n.

Il reste à montrer que m Et n avoir des appariements différents. Si m Et n- jumelé, alors toi Et v doivent être appariés, mais cela est impossible, car ils sont relativement premiers. Si m Et n- non apparié, alors b = m 2 − n 2 et c = m 2 + n 2 seraient appariés, ce qui est impossible, puisque c Et b- mutuellement simple.

Ainsi, tout triplet pythagoricien primitif doit satisfaire aux conditions (2). En même temps, les chiffres m Et n sont appelés générer des nombres triplés primitifs. Par exemple, ayons un triplet pythagoricien primitif (120,119,169). Dans ce cas

UN= 120 = 2·12·5, b= 119 = 144 − 25, et c = 144+25=169,

Où m = 12, n= 5 — générer des nombres, 12 > 5 ; 12 et 5 sont premiers entre eux et appartiennent à des paires différentes.

Le contraire peut être prouvé que les chiffres m, n en utilisant les formules (2), ils donnent un triplet pythagoricien primitif (a,b,c). Vraiment,

UN 2 + b 2 = (2minute) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

C'est ( un,b,c) est un triplet pythagoricien. Montrons que dans ce cas un,b,c sont des nombres premiers entre eux par contradiction. Supposons que ces nombres soient divisibles par p> 1. Depuis m Et n avoir des paires différentes, alors b Et c- non apparié, c'est-à-dire p≠ 2. Depuis r divise b Et c, Que r il faut diviser 2 m 2 et 2 n 2, mais c'est impossible, puisque p≠ 2. Donc m, n- s'amorcent mutuellement et un,b,c- sont également relativement simples.

Le tableau 1 montre tous les triplets pythagoriciens primitifs générés à l'aide des formules (2) pour m≤10.

Tableau 1. Triples pythagoriciens primitifs pour m≤10

L'analyse de ce tableau montre la présence des séries de motifs suivantes :

• ou un, ou b divisible par 3 ;
• un des numéros un,b,c divisible par 5 ;
• nombre UN divisible par 4 ;
• travail un· b divisible par 12.

En 1971, les mathématiciens américains Teigan et Hedwin ont proposé des paramètres d'un triangle rectangle aussi peu connus que sa hauteur pour générer des triplets. h = c− b et excès (succès) e = un + b − c. Sur la figure 1. ces quantités sont indiquées sur un certain triangle rectangle.

Figure 1. Triangle rectangle, sa croissance et son excès

Le nom « excès » vient du fait qu’il s’agit de la distance supplémentaire qui doit être parcourue le long des branches du triangle d’un sommet à l’autre, sinon en suivant sa diagonale.

L’excès et la croissance des côtés du triangle de Pythagore peuvent s’exprimer ainsi :

e 2 e 2
un = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Pas toutes les combinaisons h Et e peut correspondre aux triangles de Pythagore. Pour une donnée h valeurs possibles e sont des produits d'un certain nombre d. Ce numéro d porte le nom de croissance et fait référence à h comme suit: d est le plus petit entier positif dont le carré est divisible par 2 h. Parce que e multiple d, alors il s'écrit e = kd, Où k est un entier positif.

Utiliser des paires ( k,h), vous pouvez générer tous les triangles de Pythagore, y compris les triangles non primitifs et généralisés, comme suit :

(n'importe quoi) 2 (n'importe quoi) 2
un = h + n'importe quoi, b = n'importe quoi + ——, c = h + n'importe quoi + ——, (4)
2h 2h

De plus, un triplet est primitif si k Et h sont relativement premiers et si h =± q 2 à q- non apparié.
De plus, ce sera précisément un triplet pythagoricien si k> √2· h/d Et h > 0.

Pour trouver k Et h depuis ( un,b,c), effectuez les actions suivantes :

• h = c − b;
• écrire h Comment h = pq 2 où p> 0 et tel qui n'est pas un carré ;
• d = 2pq Si p- non apparié et d = pq, si p est apparié ;
• k = (un − h)/d.

Par exemple, pour le triplet (8,15,17) on a h= 17−15 = 2 1, donc p= 2 et q = 1, d= 2, et k= (8 − 2)/2 = 3. Donc ce triplet est donné par ( k,h) = (3,2).

Pour le triple (459,1260,1341) on a h= 1341 − 1260 = 81, donc p = 1, q= 9 et d= 18, à partir d'ici k= (459 − 81)/18 = 21, donc le code de ce triplet est ( k,h) = (21, 81).

Définir des triolets à l’aide de h Et k possède un certain nombre de propriétés intéressantes. Paramètre k est égal

k = 4S/(DP), (5)

Où S = un ab/2 est l'aire du triangle, et P. = un + b + c- son périmètre. Cela découle de l'égalité EP = 4S, qui découle du théorème de Pythagore.

Pour un triangle rectangle eégal au diamètre du cercle inscrit dans le triangle. Cela découle du fait que l'hypoténuse Avec = (UN − r)+(b − r) = un + b − 2r, Où r- rayon du cercle. D'ici h = c − b = UN − 2r Et e = un − h = 2r.

Pour h> 0 et k > 0, k est le nombre ordinal de triplets un-b-c dans une séquence de triangles de Pythagore avec une augmentation h. D'après le tableau 2, qui présente plusieurs options pour les triplets générés par paires h, k, il est clair qu'avec l'augmentation k les tailles des côtés du triangle augmentent. Ainsi, contrairement à la numérotation classique, la numérotation par paires h, k a un plus grand ordre dans les séquences de triolets.

Tableau 2. Triplets pythagoriciens générés par les paires h, k.

Pour h > 0, d satisfait l'inégalité 2√ h ≤ d ≤ 2h, dans lequel la limite inférieure est atteinte à p= 1, et celui du haut - à q= 1. Donc la valeur d par rapport à 2√ h est une mesure de combien un nombre héloigné du carré d'un certain nombre.

Propriétés

Depuis l’équation. x 2 + oui 2 = z 2 de manière homogène, lors de la multiplication x , oui Et z pour le même nombre, vous obtenez un autre triplet pythagoricien. Le triplet de Pythagore s'appelle primitif, s'il ne peut pas être obtenu de cette manière, c'est-à-dire des nombres premiers entre eux.

Exemples

Quelques triplets pythagoriciens (triés par ordre croissant du nombre maximum, les primitifs mis en évidence) :

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

A partir des propriétés des nombres de Fibonacci, il est possible de composer à partir d'eux, par exemple, les triplets pythagoriciens suivants :

Histoire

Les triplés pythagoriciens sont connus depuis très longtemps. Dans l'architecture des anciennes pierres tombales mésopotamiennes, on trouve un triangle isocèle, composé de deux rectangles de côtés de 9, 12 et 15 coudées. Les pyramides du pharaon Snofru (XXVIIe siècle avant JC) ont été construites à l'aide de triangles de 20, 21 et 29 côtés, ainsi que de 18, 24 et 30 dizaines de coudées égyptiennes.

Voir aussi

Links

• E.A. Gorin Puissances des nombres premiers dans les triplets de Pythagore // Éducation mathématique. - 2008. - V. 12. - P. 105-125.

Fondation Wikimédia.

2010.

Voyez ce que sont les « nombres pythagoriciens » dans d’autres dictionnaires : Des triplets de nombres naturels tels qu'un triangle dont les longueurs des côtés sont proportionnelles (ou égales) à ces nombres soit rectangulaire, par exemple. triple de nombres : 3, 4, 5...

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Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

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Livres

• L'Été d'Archimède, ou l'histoire du Commonwealth des jeunes mathématiciens. Système de numérotation binaire, Bobrov Sergey Pavlovich. Système de numération binaire, Tour de Hanoï, mouvement du chevalier, carrés magiques, triangle arithmétique, nombres chiffrés, combinaisons, notion de probabilité, bande de Mobius et bouteille de Klein.…

Triples de nombres pythagoriciens

Travail créatif

étudiant 8 "UN" classe

MAOU "Gymnase N°1"

District Oktiabrsky de Saratov

Panfilov Vladimir

Directeur – professeur de mathématiques de la catégorie la plus élevée

Grishina Irina Vladimirovna

Contenu

Introduction…………………………………………………………………………………3

Partie théorique du travail

Trouver le triangle de Pythagore de base

(formules des anciens hindous)………………………………………………………………4

Partie pratique du travail

Composer des triolets pythagoriciens de différentes manières…………………........6

Une propriété importante des triangles de Pythagore………………………………………………………...8

Conclusion…………………………………………………………………………………....9

Littérature….………………………………………………………………………………………...10

Introduction

Cette année scolaire, dans les cours de mathématiques, nous avons étudié l'un des théorèmes de géométrie les plus populaires - le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore est utilisé à chaque étape de la géométrie ; il a trouvé de nombreuses applications dans la pratique et la vie quotidienne. Mais, en plus du théorème lui-même, nous avons également étudié le théorème inverse du théorème de Pythagore. Dans le cadre de l'étude de ce théorème, nous avons fait la connaissance des triplets pythagoriciens de nombres, c'est-à-dire avec des ensembles de 3 nombres naturelsun , b Etc , pour lequel la relation est valide : = + . De tels ensembles comprennent, par exemple, les triplets suivants :

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Je me suis immédiatement posé des questions : combien de triplets pythagoriciens pouvez-vous trouver ? Comment les composer ?

Dans notre manuel de géométrie, après avoir présenté le théorème inverse du théorème de Pythagore, une remarque importante a été faite : on peut prouver que les jambesUN Etb et l'hypoténuseAvec les triangles rectangles, dont les longueurs des côtés sont exprimées en nombres naturels, peuvent être trouvés à l'aide des formules :

UN = 2kmn b = k( - ) c = k( + , (1)

Oùk , m , n – tous les nombres naturels, etm > n .

Naturellement, la question se pose : comment prouver ces formules ? Et est-ce seulement à l’aide de ces formules que l’on peut composer des triolets pythagoriciens ?

Dans mon travail, j'ai tenté de répondre aux questions qui se posaient en moi.

Partie théorique du travail

Trouver le triangle de Pythagore de base (anciennes formules hindoues)

Nous prouvons d’abord les formules (1) :

Notons les longueurs des jambes parX Età , et la longueur de l'hypoténuse jusqu'àz . D'après le théorème de Pythagore, nous avons l'égalité :+ = .(2)

Cette équation est appelée équation de Pythagore. L'étude des triangles de Pythagore revient à résoudre l'équation (2) en nombres naturels.

Si chaque côté d'un certain triangle de Pythagore est augmenté du même nombre de fois, alors nous obtenons un nouveau triangle rectangle similaire à celui-ci avec des côtés exprimés en nombres naturels, c'est-à-dire encore une fois le triangle de Pythagore.

Parmi tous les triangles semblables il y a le plus petit, il est facile de deviner que ce sera un triangle dont les côtésX Età exprimé par des nombres premiers entre eux

(PGCD (x,y )=1).

Appelons cela le triangle de Pythagoreprincipal .

Trouver les triangles de Pythagore de base.

Soit le triangle (x , oui , z ) est le triangle de Pythagore de base. NombresX Età sont relativement premiers et ne peuvent donc pas être pairs. Montrons qu'ils ne peuvent pas tous deux être étranges. Pour ce faire, notez queLe carré d’un nombre impair divisé par 8 laisse un reste de 1. En fait, tout nombre naturel impair peut être représenté par2 k -1 , Oùk appartientN .

D'ici : = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Nombres( k -1) Etk – consécutifs, l’un d’eux est nécessairement pair. Alors l'expressionk ( k -1) divisé par2 , 4 k ( k -1) divisible par 8, ce qui signifie le nombre Divisé par 8, le reste est 1.

La somme des carrés de deux nombres impairs donne un reste de 2 lorsqu'elle est divisée par 8, donc la somme des carrés de deux nombres impairs est un nombre pair, mais pas un multiple de 4, et donc ce nombrene peut pas être le carré d’un nombre naturel.

Ainsi, l’égalité (2) ne peut pas avoir lieu six Età les deux sont étranges.

Ainsi, si un triangle de Pythagore (x, y, z ) - basique, puis parmi les chiffresX Età l'un doit être pair et l'autre doit être impair. Que le nombre y soit pair. NombresX Etz impair (impairz découle de l’égalité (2)).

De l’équation.+ = nous comprenons cela= ( z + x )( z - x ) (3).

Nombresz + x Etz - x car la somme et la différence de deux nombres impairs sont des nombres pairs, et donc (4) :

z + x = 2 un , z - x = 2 b , OùUN Etb appartenirN .

z + x =2 un , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = un - b. (5)

De ces égalités il résulte queun Etb sont des nombres premiers entre eux.

Prouvons-le en argumentant par contradiction.

Soit GCD (un , b )= d , Oùd >1 .

Alorsd z Etx , et donc les chiffresz + x Etz - x . Alors, basé sur l’égalité (3) serait un diviseur du nombre . Dans ce casd serait un diviseur commun de nombresà EtX , mais les chiffresà EtX doit être relativement premier.

Nombreà , comme on le sait, est pair, doncy = 2c , OùAvec – nombre naturel. L'égalité (3) fondée sur l'égalité (4) prend la forme suivante : =2a*2 b , ou =ab.

D'après l'arithmétique, on sait quesi le produit de deux nombres relativement premiers est le carré d’un nombre naturel, alors chacun de ces nombres est aussi le carré d’un nombre naturel.

Moyens,une = Etb = , Oùm Etn sont des nombres relativement premiers, car ce sont des diviseurs de nombres premiers entre euxUN Etb .

Sur la base de l’égalité (5), nous avons :

z = + , x = - , = un ab = * = ; c = minute

Alorsy = 2 minute .

Nombresm Etn , parce que sont relativement premiers et ne peuvent pas être pairs en même temps. Mais ils ne peuvent pas être étranges en même temps, car dans ce casX = - serait pair, ce qui est impossible. Donc l'un des chiffresm oun est pair et l'autre est impair. Évidemment,y = 2 minute est divisible par 4. Par conséquent, dans chaque triangle de Pythagore de base, au moins une des branches est divisible par 4. Il s’ensuit qu’il n’existe pas de triangles de Pythagore dont tous les côtés seraient des nombres premiers.

Les résultats obtenus peuvent être exprimés sous la forme du théorème suivant :

Tous les triangles de base dans lesquelsà est un nombre pair, obtenu à partir de la formule

X = - , oui =2 minute , z = + ( m > n ), Oùm Etn – toutes les paires de nombres premiers entre eux, dont l’un est pair et l’autre impair (peu importe lequel). Chaque triplet pythagoricien de base (x, y, z ), Oùà – même, est ainsi déterminé sans ambiguïté.

Nombresm Etn les deux ne peuvent pas être pairs ou les deux impairs, car dans ces cas

X = serait pair, ce qui est impossible. Donc l'un des chiffresm oun est pair et l'autre est impair (oui = 2 minute divisible par 4).

Partie pratique du travail

Composer des triolets pythagoriciens de différentes manières

Dans les formules des hindousm Etn – sont relativement premiers, mais peuvent être des nombres de parité arbitraire et il est assez difficile de former des triplets pythagoriciens en les utilisant. Essayons donc de trouver une approche différente pour composer des triolets pythagoriciens.

= - = ( z - oui )( z + oui ), OùX - impair,oui - même,z - impair

v = z - oui , toi = z + oui

= UV , Oùtoi - impair,v – impair (mutuellement premier)

Parce que le produit de deux nombres premiers impairs est le carré d'un nombre naturel, alorstoi = , v = , Oùk Etje – nombres relativement premiers et impairs.

z - oui = z + oui = k 2 , d'où, en additionnant les égalités et en soustrayant l'autre de l'une, on obtient :

2 z = + 2 oui = - c'est

z = y = x = kl

k

je

x

oui

z

37

9

1

9

40

41 (sdes zéros)*(100…0 (sdes zéros) +1)+1 =200…0 (s-1des zéros) 200…0 (s-1des zéros) 1

Propriété importante des triangles de Pythagore

Théorème

Dans le triangle de Pythagore de base, l'une des branches doit être divisible par 4, l'une des branches doit être divisible par 3 et l'aire du triangle de Pythagore doit être un multiple de 6.

Preuve

Comme nous le savons, dans tout triangle de Pythagore, au moins une des branches est divisible par 4.

Montrons que l'une des jambes est également divisible par 3.

Pour le prouver, supposons que dans un triangle de Pythagore (x , oui , z x ououi multiple de 3.

Nous prouvons maintenant que l'aire d'un triangle de Pythagore est divisible par 6.

Chaque triangle de Pythagore a une aire exprimée par un nombre naturel divisible par 6. Cela découle du fait qu'au moins une des branches est divisible par 3 et qu'au moins une des branches est divisible par 4. L'aire du triangle , déterminé par le demi-produit des jambes, doit être exprimé par un nombre divisible par 6 .

Conclusion

En cours

- les formules des anciens hindous ont été prouvées

- une étude a été menée sur le nombre de triplés pythagoriciens (il y en a une infinité)

- les méthodes pour trouver les triplets de Pythagore sont indiquées

- certaines propriétés des triangles de Pythagore ont été étudiées

C'était un sujet très intéressant pour moi et trouver des réponses à mes questions est devenu une activité très intéressante. À l’avenir, j’ai l’intention d’examiner la connexion des triplets de Pythagore avec la séquence de Fibonacci et le théorème de Fermat et d’apprendre bien d’autres propriétés des triangles de Pythagore.

Littérature

L.S. Atanasyan « Géométrie 7-9 années » M. : Éducation, 2012.

V. Sierpinsky « Triangles de Pythagore » M. : Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel

II. Explication du nouveau matériel

Enseignant : Le mystère du pouvoir attractif des triplés pythagoriciens inquiète depuis longtemps l'humanité. Les propriétés uniques des triplés pythagoriciens expliquent leur rôle particulier dans la nature, la musique et les mathématiques. Le sortilège de Pythagore, le théorème de Pythagore, reste dans le cerveau de millions, voire de milliards de personnes. C'est un théorème fondamental que chaque écolier est obligé de mémoriser. Bien que le théorème de Pythagore puisse être compris par des enfants de dix ans, il constitue un début inspirant pour un problème que les plus grands esprits de l'histoire des mathématiques n'ont pas réussi à résoudre : le théorème de Fermat. Pythagore de l'île de Samos (voir. Annexe 1 , diapositive 4) était l’une des figures les plus influentes et pourtant mystérieuses des mathématiques. Parce qu'aucun récit fiable de sa vie et de son œuvre n'a survécu, sa vie est devenue entourée de mythes et de légendes, et les historiens peuvent avoir du mal à séparer les faits de la fiction. Il ne fait cependant aucun doute que Pythagore a développé l’idée de la logique des nombres et que c’est à lui que l’on doit le premier âge d’or des mathématiques. Grâce à son génie, les nombres ont cessé d'être utilisés uniquement pour compter et calculer et ont été appréciés pour la première fois. Pythagore a étudié les propriétés de certaines classes de nombres, les relations entre eux et les chiffres qui forment les nombres. Pythagore s'est rendu compte que les nombres existent indépendamment du monde matériel et que, par conséquent, l'étude des nombres n'est pas affectée par l'imprécision de nos sens. Cela signifiait que Pythagore avait acquis la capacité de découvrir des vérités indépendamment de l'opinion ou des préjugés de quiconque. Des vérités plus absolues que n’importe quelle connaissance antérieure. En nous basant sur la littérature étudiée concernant les triplets pythagoriciens, nous nous intéresserons à la possibilité d'utiliser les triplets pythagoriciens dans la résolution de problèmes de trigonométrie. Nous nous fixerons donc l'objectif : étudier un certain nombre de triplets pythagoriciens, développer un algorithme pour leur utilisation, rédiger un mémo sur leur utilisation et mener des recherches sur leur utilisation dans diverses situations.

Triangle ( diapositive 14), dont les côtés sont égaux aux nombres de Pythagore, est rectangulaire. De plus, tout triangle de ce type est héronien, c'est-à-dire celui dans lequel tous les côtés et l’aire sont des nombres entiers. Le plus simple d'entre eux est le triangle égyptien à côtés (3, 4, 5).

Créons une série de triplets pythagoriciens en multipliant les nombres (3, 4, 5) par 2, par 3, par 4. Nous obtiendrons une série de triplets pythagoriciens, les trierons par ordre croissant du nombre maximum et sélectionnerons les primitifs .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Progression de la leçon

1. Faisons le tour des tâches :

1) En utilisant les relations entre les fonctions trigonométriques du même argument, trouvez si

on le sait.

2) Trouver la valeur des fonctions trigonométriques de l'angle ?, si l'on sait que :

3) Système de tâches de formation sur le thème « Formules d'addition »

sachant que sin = 8/17, cos = 4/5, et sont les angles du premier quart, trouvez la valeur de l'expression :

sachant que et sont les angles du deuxième quart, sin = 4/5, cos = – 15/17, trouver : .

4) Système de tâches de formation sur le thème « Formules double angle »

a) Soit sin = 5/13 l'angle du deuxième quart. Trouvez sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) On sait que tg ? = 3/4, – troisième quart d'angle. Trouvez sin2, cos2, tan2, ctg2.

c) On sait que , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) On sait que , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Trouvez tan( + ) si l'on sait que cos = 3/5, cos = 7/25, où et sont les angles du premier quart.

f) Trouver , – angle du troisième quart.

Nous résolvons le problème de manière traditionnelle en utilisant des identités trigonométriques de base, puis nous résolvons les mêmes problèmes de manière plus rationnelle. Pour ce faire, nous utilisons un algorithme de résolution de problèmes utilisant des triplets de Pythagore. Créons un guide pour résoudre des problèmes à l'aide des triplets de Pythagore. Pour ce faire, on rappelle la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, l'angle aigu d'un triangle rectangle, on le dessine, selon les conditions du problème, on dispose correctement les triplets de Pythagore sur les côtés du triangle rectangle ( riz. 1). Nous notons le rapport et organisons les signes. L'algorithme a été développé.

Figure 1

Algorithme pour résoudre des problèmes

Réviser (étudier) le matériel théorique.

Connaître par cœur les triples pythagoriciens primitifs et, si nécessaire, être capable d'en construire de nouveaux.

Appliquez le théorème de Pythagore aux points avec des coordonnées rationnelles.

Connaître la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle, être capable de dessiner un triangle rectangle et, selon les conditions du problème, placer correctement les triplets de Pythagore sur les côtés du triangle.

Connaître les signes du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente en fonction de leur emplacement dans le plan de coordonnées.

Exigences nécessaires :

1. savoir quels signes ont le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente dans chacun des quarts du plan de coordonnées ;
2. connaître la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle ;
3. connaître et être capable d'appliquer le théorème de Pythagore ;
4. connaître les identités trigonométriques de base, les formules d'addition, les formules à double angle, les formules à demi-argument ;
5. connaître les formules de réduction.

En tenant compte de ce qui précède, remplissons le tableau ( tableau 1). Il doit être complété en suivant la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente ou en utilisant le théorème de Pythagore pour les points à coordonnées rationnelles. Dans ce cas, il faut toujours se souvenir des signes de sinus, cosinus, tangente et cotangente, en fonction de leur emplacement dans le plan de coordonnées.

Tableau 1

		Triples de nombres		péché	parce que	tg	CTG
		(3, 4, 5)	j'heure
		(6, 8, 10)	Deuxième partie			-	-
		(5, 12, 13)	Partie III	-	-
		(8, 15, 17)	IV heure	-		-	-
		(9, 40, 41)	j'heure

Pour un travail réussi, vous pouvez utiliser les instructions d'utilisation des triplets de Pythagore.

Tableau 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Décidons ensemble.

1) Problème : trouver cos, tg et ctg, si sin = 5/13, si - l'angle du deuxième quart.

Une méthode pratique et très précise utilisée par les géomètres pour tracer des lignes perpendiculaires sur le sol est la suivante. Supposons qu'il soit nécessaire de tracer une perpendiculaire passant par le point A à la droite MN (Fig. 13). Retardez trois fois une certaine distance a de A dans la direction AM. Ensuite, trois nœuds sont noués sur la corde, les distances entre eux étant de 4a et 5a. Après avoir attaché les nœuds extrêmes aux points A et B, tirez le cordon par le nœud du milieu. La corde sera disposée en triangle dans lequel l’angle A est un angle droit.

Cette méthode ancienne, apparemment utilisée il y a des milliers d'années par les constructeurs des pyramides égyptiennes, est basée sur le fait que tout triangle dont les côtés sont dans le rapport 3:4:5, selon le célèbre théorème de Pythagore, est rectangulaire, depuis

3 2 + 4 2 = 5 2 .

En plus des nombres 3, 4, 5, il existe, comme on le sait, un ensemble infini d'entiers positifs a, b, c, satisfaisant la relation

A 2 + b 2 = c 2.

On les appelle nombres de Pythagore. Selon le théorème de Pythagore, ces nombres peuvent servir de longueurs des côtés d'un certain triangle rectangle ; donc a et b sont appelés « jambes », et c est appelé « hypoténuse ».

Il est clair que si a, b, c sont un triplet de nombres pythagoriciens, alors pa, pb, pc, où p est un facteur entier, sont des nombres pythagoriciens. À l’inverse, si les nombres pythagoriciens ont un facteur commun, alors ils peuvent tous être réduits par ce facteur commun, et encore une fois vous obtenez un triple des nombres pythagoriciens. Par conséquent, nous examinerons d'abord uniquement les triplets de nombres de Pythagore premiers entre eux (les autres sont obtenus à partir d'eux en multipliant par un facteur entier p).

Montrons que dans chacun de ces triplets a, b, c, l'une des « jambes » doit être paire et l'autre impaire. Arguons par contradiction. Si les deux « jambes » a et b sont paires, alors le nombre a 2 + b 2 sera pair, et donc l'« hypoténuse ». Ceci contredit cependant le fait que les nombres a, b, c n'ont pas de diviseur commun, puisque trois nombres pairs ont un diviseur commun de 2. Ainsi, au moins une des « branches » a, b est impaire.

Il reste une autre possibilité : les deux « jambes » sont impaires et l'« hypoténuse » est paire. Il n’est pas difficile de prouver que cela ne peut pas être le cas. En effet : si les « pattes » ont la forme

2x + 1 et 2 ans + 1,

alors la somme de leurs carrés est égale

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4(x 2 + x + y 2 + y) + 2,

c'est-à-dire que c'est un nombre qui, lorsqu'il est divisé par 4, laisse un reste de 2. Pendant ce temps, le carré de tout nombre pair doit être divisible par 4 sans reste. Cela signifie que la somme des carrés de deux nombres impairs ne peut pas être le carré d’un nombre pair ; autrement dit, nos trois nombres ne sont pas pythagoriciens.

Ainsi, parmi les « jambes » a, b, l’une est paire et l’autre impaire. Par conséquent, le nombre a 2 + b 2 est impair, ce qui signifie que « l'hypoténuse » c est également impaire.

Supposons, pour être précis, que le « côté » a est impair et b est pair. De l'égalité

une 2 + b 2 = c 2

on obtient facilement :

UNE 2 = c 2 - b 2 = (c + b)(c - b).

Les facteurs c + b et c - b du côté droit sont premiers entre eux. En effet, si ces nombres avaient un facteur premier commun différent de un, alors la somme serait divisée par ce facteur

(c + b) + (c - b) = 2c,

et la différence

(c + b) - (c - b) = 2b,

et travailler

(c + b)(c - b) = une 2,

c'est-à-dire que les nombres 2c, 2b et a auraient un facteur commun. Puisque a est impair, ce facteur est différent de deux, et donc les nombres a, b, c ont le même facteur commun, ce qui ne peut cependant pas l'être. La contradiction qui en résulte montre que les nombres c + b et c - b sont premiers entre eux.

Mais si le produit de nombres relativement premiers est un carré exact, alors chacun d'eux est un carré, c'est-à-dire

Après avoir résolu ce système, nous trouvons :

C = (m 2 + n 2)/2, b = (m 2 - n 2)/2, a 2 = (c + b)(c - b) = m 2 n 2, a = mn.

Ainsi, les nombres de Pythagore considérés ont la forme

A = mn, b = (m 2 - n 2)/2, c = (m 2 + n 2)/2.

où m et n sont des nombres impairs relativement premiers. Le lecteur peut facilement vérifier le contraire : pour tout type impair, les formules écrites donnent trois nombres pythagoriciens a, b, c.

Voici plusieurs triplets de nombres pythagoriciens obtenus avec différents types :

Pour m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 pour m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 pour m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 pour m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 avec m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 avec m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 avec m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 pour m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 pour m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 pour m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 pour m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 pour m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 pour m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 avec m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 avec m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 avec m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Tous les autres triplets de nombres de Pythagore ont des facteurs communs ou contiennent des nombres supérieurs à cent.)