Complétez les équations quadratiques. Cas particuliers de résolution d'équations quadratiques

François Viet est né en 1540 en France à Fontenay-le-Comte. Avocat de formation. Il était très impliqué dans le domaine du droit et, de 1571 à 1584, il fut conseiller des rois George III et George IV. Mais tout est à toi temps libre, il consacra tous ses loisirs aux mathématiques et à l'astronomie. Il commença à travailler de manière particulièrement intensive dans le domaine des mathématiques en 1584, après avoir été démis de ses fonctions sous cour royale. Viet a étudié en détail les travaux des mathématiciens anciens et contemporains.

François Viète a essentiellement créé une nouvelle algèbre. Il y a introduit le symbolisme alphabétique. Ses principales idées sont présentées dans l'ouvrage « Introduction à l'art analytique ». Il a écrit : « Tous les mathématiciens savaient que des trésors incomparables se cachaient sous leur algèbre et leur almucabala, mais ils ne savaient pas comment les trouver : les problèmes qu'ils considéraient comme les plus difficiles sont résolus tout à fait facilement avec l'aide de notre art.

En effet, nous savons tous à quel point il est facile de résoudre, par exemple, des équations quadratiques. Il existe des formules toutes faites pour les résoudre. Avant F. Vieta, la solution de chaque équation quadratique s'effectuait selon ses propres règles sous forme d'argumentations et de descriptions verbales très longues, des actions plutôt lourdes. Même l'équation elle-même forme moderne je ne pouvais pas l'écrire. Cela a également nécessité un travail assez long et complexe. description verbale. Il a fallu des années pour maîtriser les techniques de résolution d'équations. Règles générales, semblables aux formules modernes, et plus encore, il n'y avait pas de formules pour résoudre les équations. Cotes constantes n'étaient pas indiqués par des lettres. Seules les expressions comportant des coefficients numériques spécifiques ont été prises en compte.

Le Viet a introduit les symboles de lettres dans l'algèbre. Après l'innovation de Vieta, il est devenu possible d'écrire des règles sous forme de formules. Certes, le Viet désignait toujours les exposants avec des mots, ce qui créait certaines difficultés pour résoudre certains problèmes. A l'époque de Vieta, l'offre de numéros était encore limitée. François Viète a exposé de manière très détaillée dans ses travaux la théorie de la résolution des équations du premier au quatrième degré.

Le grand mérite de Vieta fut la découverte de la relation entre les racines et les coefficients des équations de la forme réduite d'un nombre arbitraire. diplôme naturel. On connaît bien le célèbre théorème de Vieta pour une équation quadratique réduite : « la somme des racines d’une équation quadratique de forme réduite est égale au deuxième coefficient tiré de signe opposé, et le produit des racines de cette équation est égal à membre gratuit" Ce théorème permet de vérifier verbalement l'exactitude de la solution équations quadratiques, et dans les cas les plus simples, trouvez les racines des équations.

A noter également que Viète a donné la première représentation analytique (à l'aide d'une formule) du nombre π en Europe.

Viet mourut à l'âge de 63 ans en 1603.

Théorème de Vieta.

Somme des racines trinôme quadratique x2 + px + q est égal à son deuxième coefficient p de signe opposé, et le produit est égal au terme libre q.

Preuve.

Soient x1 et x2 des racines différentes du trinôme quadratique x2 + px + q. Le théorème de Vieta stipule que les relations suivantes sont vérifiées : x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Pour le prouver, remplaçons chacune des racines dans l’expression du trinôme quadratique. On obtient deux égalités numériques correctes : x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Soustrayons ces égalités les unes des autres. On obtient x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Développons la différence des carrés et déplaçons en même temps le deuxième terme vers la droite :

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Puisque par condition les racines x1 et x2 sont différentes, alors x1 – x2 ≠ 0 et on peut diviser l’égalité par x1 – x2. On obtient la première égalité du théorème : x1 + x2 = –p

Pour prouver la seconde, substituons dans l’une des égalités écrites ci-dessus (par exemple la première) au lieu du coefficient p, un nombre égal – (x1 + x2) : x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Transformer côté gauche, nous obtenons : x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, ce qui devait être prouvé.

Dans le cas d'une équation quadratique non réduite ax2 + bx + c = 0 : x1+x2 = x1x2 =

Théorème inverse du théorème de Vieta.

Si les égalités x1+x2 = et x1x2 = sont satisfaites, alors les nombres x1 et x2 sont les racines de l'équation quadratique ax2 + bx + c = 0.

Preuve.

De l'égalité x1+x2 = et x1x2 = il résulte que x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

Mais x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) et donc x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Il s'ensuit que x1 et x2 sont les racines de l'équation x2 + x + = 0, et donc les équations ax2 + bx + c = 0.

Application du théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta est utilisé en 8e année pour trouver les racines des équations quadratiques. Vous pouvez élargir le champ d'utilisation de ce théorème, par exemple, pour résoudre des systèmes d'équations de la 9e à la 11e année et résoudre des problèmes liés à l'étude des équations quadratiques et de leurs racines. Cela réduit le temps et simplifie la résolution du système.

Résolvez le système d'équations :

Si nous supposons que les racines x et y d'une équation quadratique dont la somme des racines est égale à 5 et que leur produit est égal à 6, alors nous obtenons un ensemble de deux systèmes

Réponse : (2 ;3), (3 ;2).

Les étudiants maîtrisent rapidement cette méthode de résolution et l'utilisent avec plaisir. De plus, vous pouvez compliquer les systèmes et utiliser cette technique lors de l'étude divers sujets en 10e-11e années.

Résolvez le système d'équations :

Sous la condition x > 0 y > 0 on obtient

Soit et les racines d'une équation quadratique réduite, alors ce systèmeéquivaut à la combinaison de deux systèmes

Le deuxième système de population n’a pas de solution ; la solution du premier est la paire x=9,y=4.

Réponse : (9 ;4).

Vous trouverez ci-dessous des systèmes d'équations qui peuvent être résolus à l'aide du théorème de Vieta.

Réponse : (65 ; 3), (5 ; 63).

Réponse : (23 ; 11), (7 ; 27).

Réponse : (4 ; 729), (81 ; 4096).

Réponse : (2 ; 2).

5. x + y =12 Réponse : (8;4),(4;8).

Réponse : (9 ; 4), (4 ; 9).

Des systèmes d'équations similaires peuvent être compilés par l'enseignant lui-même ou les étudiants peuvent y être impliqués, ce qui contribue au développement de l'intérêt pour le sujet.

Tâches de solution orale.

Sans résoudre d'équations quadratiques, trouvez leurs racines.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Réponse : 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Réponse : -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Réponse : -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Réponse : -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Réponse : 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Réponse : -2,5 ;-1.

Considérons les problèmes dans lesquels le théorème de Vieta est utilisé.

Sans résoudre l'équation 9x²+18x-8=0, trouvez x1³+x2³, où x1,x2 sont ses racines.

9x²+18x-8=0 │:9x²+2x-=0

1) Discriminant supérieur à zéro, D>0, ce qui signifie que x1, x2 sont de vraies racines.

D’après le théorème de Vieta, il s’ensuit que : x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) Transformez l'expression x1³+x2³ : x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

Remplaçons les valeurs que nous connaissons dans la formule résultante et obtenons la réponse :

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

A quelle valeur de k dans l'équation 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

Selon le théorème de Vieta : x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), nous avons obtenu un système de deux équations et substitué 2x1 au lieu de x2.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3x1=k-

Comparons les équations résultantes :

Résolvons l'équation quadratique et trouvons k :

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Réponse : avec k1=-1 et k2=2.

Soit x1;x2 les racines de l'équation quadratique x²+13x-17=0. Composez une équation dont les racines seraient les nombres 2-x1 et 2-x2.

Considérons l'équation x²+13x-17=0.

1) Discriminant D>0, ce qui signifie que x1 ; x2 sont de vraies racines.

D'après le théorème de Vieta : x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) Remplacez les nombres 2-x2 et 2-x2 dans ce système.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Par conséquent, en appliquant le théorème de Vieta, l'équation requise est x²-17x+13=0.

Réponse : x²-17x+13=0.

Étant donné une équation quadratique ax2+bx+c=0, quels sont les signes de b et c si x2>x1,x1>0,x2

Puisque x2 x1, il s’ensuit que b>0,c

Réponse : b>0,с

6) Étant donné une équation quadratique ax2+bx+c=0, quels sont les signes de b et c si x1 0,x2>0.

D'après le théorème de Vieta : x1+x2=-b x1∙x2=c

Puisque x1>0, x2>0 et x2>x1, il s'ensuit que b 0.

Tâches pour décision indépendante.

1) Sans résoudre l'équation 2x²-3x-11=0, trouvez +, où x1;x2 sont ses racines.

2) Trouvez la valeur de l'expression +, où x1;x2 sont les racines du trinôme x²-18x+11=0.

3) Soit x1;x2 les racines de l'équation quadratique x²-7x-46=0.

Écrire une équation quadratique dont les racines sont des nombres

2x1 +x2 et 2x2 +x1.

Réponse : 9x2-21x-481=0

4) A quelle valeur entière de k se trouve l'une des racines de l'équation

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 trois fois moins que la seconde ?

Réponse : k=2.

5) Étant donné une équation quadratique ax2+bx+c=0, quels sont les signes de b et c si x1 0.

Aujourd'hui, elle mérite d'être chantée en poésie
Théorème de Vieta sur les propriétés des racines.
Quoi de mieux, dites-moi, une cohérence comme celle-ci :
Vous avez multiplié les racines - et la fraction est prête
Au numérateur Avec, au dénominateur UN.
Et la somme des racines de la fraction est également égale
Même avec un moins cette fraction
Quel problème
En numérateurs V, au dénominateur UN.
(Du folklore scolaire)

Dans l'épigraphe merveilleux théorème François Vieta n'est pas donné tout à fait avec précision. En fait, nous pouvons écrire une équation quadratique qui n’a pas de racines et écrire leur somme et leur produit. Par exemple, l'équation x 2 + 2x + 12 = 0 n'a pas de vraies racines. Mais, en adoptant une approche formelle, nous pouvons écrire leur produit (x 1 · x 2 = 12) et la somme (x 1 + x 2 = -2). Notre les versets correspondront au théorème avec la mise en garde : « si l'équation a des racines », c'est-à-dire D ≥ 0.

D'abord application pratique Ce théorème est la construction d'une équation quadratique qui a donné des racines. Deuxièmement, il vous permet de résoudre oralement de nombreuses équations quadratiques. Les manuels scolaires se concentrent principalement sur le développement de ces compétences.

Nous examinerons ici davantage tâches complexes, résolu en utilisant le théorème de Vieta.

Exemple 1.

L'une des racines de l'équation 5x 2 – 12x + c = 0 est trois fois supérieure à la seconde. Trouvez l'art.

Solution.

Soit la deuxième racine x 2.

Alors la première racine x1 = 3x 2.

D'après le théorème de Vieta, la somme des racines est 12/5 = 2,4.

Créons l'équation 3x 2 + x 2 = 2,4.

Donc x 2 = 0,6. Donc x 1 = 1,8.

Réponse : c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

Exemple 2.

On sait que x 1 et x 2 sont les racines de l'équation x 2 – 8x + p = 0, avec 3x 1 + 4x 2 = 29. Trouvez p.

Solution.

D’après le théorème de Vieta, x 1 + x 2 = 8, et par condition 3x 1 + 4x 2 = 29.

Après avoir résolu le système de ces deux équations, on trouve la valeur x 1 = 3, x 2 = 5.

Et donc p = 15.

Réponse : p = 15.

Exemple 3.

Sans calculer les racines de l'équation 3x 2 + 8 x – 1 = 0, trouvez x 1 4 + x 2 4

Solution.

Notez que par le théorème de Vieta x 1 + x 2 = -8/3 et x 1 x 2 = -1/3 et transformez l'expression

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Réponse : 4898/9.

Exemple 4.

A quelles valeurs du paramètre a se trouve la différence entre les racines les plus grandes et les plus petites de l'équation
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 est égal à leur produit.

Solution.

Il s'agit d'une équation quadratique. Il aura 2 racines différentes si D > 0. En d’autres termes, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 ou (a – 3) 2 > 0. Par conséquent, nous avons 2 racines pour tout a, pour sauf pour a = 3.

Pour plus de précision, nous supposerons que x 1 > x 2 et obtiendrons x 1 + x 2 = (a + 1)/2 et x 1 x 2 = (a – 1)/2. Basé sur les conditions du problème x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Les trois conditions doivent être remplies simultanément. Considérons la première et la dernière équation comme un système. Il peut être facilement résolu par addition algébrique.

On obtient x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Vérifions quoi UN la deuxième égalité sera satisfaite : x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Remplaçons les valeurs obtenues et nous aurons : a/4 = (a – 1)/2. Alors a = 2. Il est évident que si a = 2, alors toutes les conditions sont remplies.

Réponse : quand a = 2.

Exemple 5.

Qu'est-ce qui est égal à plus petite valeur a, auquel la somme des racines de l'équation
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 est égal à la somme des carrés de ses racines.

Solution.

Tout d’abord, réduisons l’équation à forme canonique: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Il aura des racines si D/4 ≥ 0. Donc : a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Ou (a – 1) 2 ≥ 0. Et c’est le condition valable pour tout a.

Appliquons le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Calculons

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Ou après substitution x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Il reste à créer une égalité qui correspond aux conditions du problème : x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . On obtient : 2a = 4a 2 – 4a + 2. Cette équation quadratique a 2 racines : a 1 = 1 et a 2 = 1/2. Le plus petit d’entre eux est –1/2.

Réponse : 1/2.

Exemple 6.

Trouver la relation entre les coefficients de l'équation ax 2 + bx + c = 0 si la somme des cubes de ses racines est égale au produit des carrés de ces racines.

Solution.

Nous supposerons que cette équation a des racines et, par conséquent, le théorème de Vieta peut lui être appliqué.

Alors la condition du problème s'écrira comme suit : x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Ou : (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Le deuxième facteur doit être converti. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

On obtient (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Reste à remplacer les sommes et produits de racines par les coefficients.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Cette expression peut facilement être convertie sous la forme b(3ac – b 2)/une = c 2. La relation a été trouvée.

Commentaire. Il convient de garder à l’esprit que la relation résultante n’a de sens qu’une fois que l’autre est satisfaite : D ≥ 0.

Exemple 7.

Trouver la valeur de la variable a pour laquelle la somme des carrés des racines de l'équation x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 est la plus grande valeur.

Solution.

Si cette équation a des racines x 1 et x 2, alors leur somme est x 1 + x 2 = -2a, et le produit x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

On calcule x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (une – 3) 2 + 22.

Or il est évident que cette expression prend valeur la plus élevéeà a = 3.

Il reste à vérifier si l'équation quadratique originale a réellement des racines en a = 3. Nous vérifions par substitution et obtenons : x 2 + 6x + 7 = 0 et pour cela D = 36 – 28 > 0.

La réponse est donc : pour a = 3.

Exemple 8.

L'équation 2x 2 – 7x – 3 = 0 a des racines x 1 et x 2. Trouvez la triple somme des coefficients de l'équation quadratique donnée, dont les racines sont les nombres X 1 = 1/x 1 et X 2 = 1/x 2. (*)

Solution.

Évidemment, x 1 + x 2 = 7/2 et x 1 x 2 = -3/2. Composons la deuxième équation à partir de ses racines sous la forme x 2 + px + q = 0. Pour ce faire, nous utilisons l'inverse du théorème de Vieta. On obtient : p = -(X 1 + X 2) et q = X 1 · X 2.

Après avoir effectué la substitution dans ces formules basées sur (*), alors : p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 et q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

L'équation recherchée prendra la forme : x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. On peut maintenant facilement calculer la somme triplée de ses coefficients :

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. La réponse est reçue.

Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment utiliser le théorème de Vieta ?
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Établissement d'enseignement budgétaire municipal

"Moyenne lycée N° 64" Briansk

Conférence scientifique et pratique de la ville

"Premiers pas dans la science"

Scientifique travaux de recherche

"Théorème de Viete pour les équations du troisième et du quatrième degré"

Mathématiques

Complété par : élève de 11b

Shanov Ilya Alekseevich

Responsable scientifique :

professeur de mathématiques,

Candidat de Physique et Mathématiques sciences

Bykov Sergueï Valentinovitch

Briansk 2012

Présentation ………………………………………………………………………………… 3

Buts et objectifs ……………………………………………………… 4

Bref contexte historique ………………………………………… 4

Équation quadratique……………………………………………………………. 5

Équation cubique……………………………………………………………. 6

Équation du quatrième degré ………………………………………… 7

Partie pratique………………………………………………………. 9

Références…………………………………………………… 12

Annexe …………………………………………………………… 13

Introduction

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule qu'un corps est algébriquement clos, c'est-à-dire que les équations du nième degré à coefficients complexes (en cas général) sur le champ a exactement n racines complexes. Les équations du troisième degré sont résolues par la formule de Cordano. Équations du quatrième degré utilisant la méthode Ferrari. De plus, il a été prouvé en théorie algébrique que si est la racine de l’équation, alors est aussi la racine de cette équation. Pour équation cubique les cas suivants sont possibles :

les trois racines sont réelles ;

deux racines sont complexes, l’une est réelle.

Il s’ensuit que toute équation cubique possède au moins une racine réelle.

Pour une équation du quatrième degré :

Les quatre racines sont différentes.

Deux racines sont réelles, deux sont complexes.

Les quatre racines sont complexes.

Ce travail est consacré à une étude approfondie du théorème de Vieta : sa formulation, sa preuve, ainsi que la résolution de problèmes utilisant ce théorème.

Le travail effectué vise à aider les élèves de 11e qui sont sur le point de réussir l'examen d'État unifié, ainsi que pour les jeunes mathématiciens qui ne sont pas indifférents aux choses plus simples et méthodes efficaces des solutions dans divers domaines mathématiques.

L'annexe à ce travail fournit un ensemble de problèmes permettant de résoudre et de consolider de manière indépendante le nouveau matériel que j'ai étudié.

Cette question ne peut être ignorée, car elle est importante pour les mathématiques, tant pour la science en général que pour les étudiants et ceux qui souhaitent résoudre de tels problèmes.

Buts et objectifs du travail:

Obtenez un analogue du théorème de Vieta pour une équation du troisième degré.

Démontrer un analogue du théorème de Vieta pour une équation du troisième degré.

Obtenez un analogue du théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Démontrer un analogue du théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Considérez l’application de ces questions à la résolution de problèmes pratiques.

• Assurez-vous que l’application de ce théorème est pratique.

Approfondir connaissances mathématiques dans le domaine de la résolution d'équations.

Développer un intérêt pour les mathématiques.

Bref contexte historique

À juste titre digne d'être chanté en poésie

Sur les propriétés des racines THÉORÈME DE VIETTE...

FRANCOIS VIET (1540-1603) - mathématicien français. Avocat de profession. En 1591, il introduisit désignations de lettres non seulement pour les quantités inconnues, mais aussi pour les coefficients d'équations ; grâce à cela, il est devenu possible pour la première fois d'exprimer les propriétés des équations et de leurs racines formules générales. Il était chargé d'établir une méthode uniforme pour résoudre les équations des 2e, 3e et 4e degrés. Parmi les découvertes, Viète lui-même a particulièrement apprécié l'établissement de la relation entre les racines et les coefficients des équations. Pour une solution approximative des équations avec coefficients numériques Vieth a proposé une méthode similaire à la méthode ultérieure de Newton. En trigonométrie, François Viète a donné solution complète problème de détermination de tous les éléments d'un triangle plan ou sphérique à partir de trois données, a trouvé des expansions importantes de cos nx et le péché nx en puissances de cos X et le péché X. Il envisage pour la première fois des œuvres infinies. Les œuvres du Viet ont été écrites langue difficile et ont donc reçu moins de distribution en leur temps qu'ils ne le méritaient .

Équation quadratique

Tout d'abord, rappelons-nous les formules de Vieta pour les équations du deuxième degré, que nous avons apprises dans le programme cours scolaire entraînement.

T
Théorème de Vietapour l'équation quadratique (8e année)

E
si et sont les racines d'une équation quadratique alors

c'est-à-dire que la somme des racines de l'équation quadratique réduite est égale au deuxième coefficient pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

Rappelez-vous également le théorème, inverse du théorème Vieta:

Si les chiffres - p Et q sont tels que

alors et sont les racines de l'équation

Le théorème de Vieta est remarquable en ce sens que, sans connaître les racines du trinôme carré, nous pouvons facilement calculer leur somme et leur produit, c'est-à-dire les expressions symétriques les plus simples.

Le théorème de Vieta permet de deviner les racines entières d'un trinôme carré.

Équation cubique

Passons maintenant directement à la formulation et à la solution de l'équation cubique à l'aide du théorème de Vieta.

Formulation

À
L'équation omniprésente est une équation du troisième ordre de la forme

Où une ≠ 0.

Si une = 1, alors l'équation est appelée équation cubique réduite :

Il faut donc prouver que pour l’équation

le théorème suivant est vrai :

n
prendre racine équation donnée, Alors

Preuve

Imaginons un polynôme

effectuons les transformations :

Donc, nous comprenons cela

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients aux puissances correspondantes sont égaux.

Cela signifie que

Q.E.D.

Considérons maintenant le théorème, inverse du théorème de Vieta pour une équation du troisième degré.

F
formulation

E
si les chiffres sont tels que

Équation du quatrième degré

Passons maintenant à l'établissement et à la résolution d'une équation du quatrième degré en utilisant le théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Formulation

U
équation du quatrième degré - une équation de la forme

G
de une ≠ 0.

E
si une = 1, alors l'équation est dite réduite

ET
alors, prouvons que pour l'équation

Avec
le théorème suivant est vrai : soit les racines de l'équation donnée, alors

Preuve

Imaginons un polynôme

effectuons les transformations :

Donc, nous comprenons cela

Nous savons que deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients aux puissances correspondantes sont égaux.

Cela signifie que

Q.E.D.

Considérons le théorème, inverse du théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Formulation

Si les chiffres sont tels que

alors ces nombres sont les racines de l'équation

Partie pratique

Examinons maintenant les solutions aux problèmes utilisant les théorèmes de Vieta pour les équations du troisième et du quatrième degré.

Tâche n°1

Réponse : 4, -4.

Tâche n°2

Réponse : 16, 24.

Pour résoudre ces équations, nous pouvons utiliser respectivement les formules de Cardano et la méthode de Ferrari, mais en utilisant le théorème de Vieta, nous connaissons la somme et le produit des racines de ces équations.

Tâche n°3

Créez une équation du troisième degré si l'on sait que la somme des racines est 6, le produit apparié des racines est 3 et le produit est -4.

Faisons une équation, on obtient

Tâche n°4

Écrivez une équation du troisième degré si l'on sait que la somme des racines est égale à 8 , le produit paire des racines est égal à 4 , le triple du produit est égal à 12 , et le produit 20 .

Solution : en utilisant la formule de Vieta, on obtient

Faisons une équation, on obtient

En utilisant le théorème de Vieta, nous avons facilement composé des équations en utilisant leurs racines. C'est le plus manière rationnelle résoudre ces problèmes.

Problème n°5

où a, b, c sont les formules de Heron.

Ouvrons les parenthèses et transformons l'expression, on obtient

Z
Notez que l’expression radicale est expression cubique. Utilisons le théorème de Vieta pour l’équation cubique correspondante, alors nous avons ça

Z

Sachant qu'on obtient :

De la solution à ce problème, il est clair que le théorème de Vieta est applicable aux problèmes de différents domaines mathématiques.

Conclusion

Dans cet article, une méthode de résolution d’équations des troisième et quatrième degrés à l’aide du théorème de Vieta a été étudiée. Les formules dérivées de l'ouvrage sont faciles à utiliser. Au cours de l'étude, il est devenu évident que dans certains cas, cette méthode est plus efficace que la formule de Cordano et la méthode de Ferrari pour les équations du troisième et du quatrième degrés, respectivement.

Le théorème de Vieta a été appliqué dans la pratique. Un certain nombre de problèmes ont été résolus, ce qui a permis de mieux consolider le nouveau matériel.

Cette étude a été très intéressante et pédagogique pour moi. Ayant approfondi mes connaissances en mathématiques, j'ai découvert beaucoup de choses intéressantes et j'ai aimé faire ces recherches.

Mais mes recherches dans le domaine de la résolution d’équations ne sont pas terminées. À l'avenir, je prévois d'étudier la solution d'une équation du nième degré en utilisant le théorème de Vieta.

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon superviseur scientifique, candidat aux sciences physiques et mathématiques, et la possibilité d'un tel recherche inhabituelle et une attention constante au travail.

Références

Vinogradov I.M. Encyclopédie mathématique. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Tâches pour mathématiques élémentaires, Fizmatlit, 1980.

"Comment résoudre des équations quadratiques incomplètes"- Compétences en résolution. Kostroma. Iaroslavl. Ladyzhenskaya Olga Alexandrovna. Steklov Vladimir Andreïevitch. Résolvons l'équation. Égalité. Travail oral. Kazan. Objet de mouvement. Table cryptographique. Nijni Novgorod. Lyapunov Alexandre Mikhaïlovitch. Résolution d'équations quadratiques incomplètes. Vitesse. Bus. Tâches de mouvement.

"Mathématiques "Équations quadratiques""- f) Pour quelle valeur de a l'équation a-t-elle une racine ? Résolution d'équations quadratiques. Résolvez oralement l’équation quadratique. Résolvez l'équation avec les coefficients des lettres. Essayez de donner à votre esprit autant de nourriture que possible. Objectif : apprendre à voir une manière rationnelle de résoudre des équations quadratiques. M.V. Lomonossov. Faire des exercices.

"François Viète et son théorème"- Deux polynômes sont identiques. Enseignement mathématique. Découvertes mathématiques. Les formules de Vieta. François Viet. Enseignants. Renseignez-vous auprès de diverses sources Qui est François Viet ? Discriminant. Le théorème de Vieta peut être généralisé aux polynômes de n'importe quel degré. Formules dérivées de Viethe pour les équations quadratiques.

"Trouver les racines d'une équation quadratique"- L'équation n'a pas de racines. Équations quadratiques incomplètes. Propriétés des coefficients d'équation. Résoudre des équations à l'aide de la formule. Résolution d'équations quadratiques incomplètes. Déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. Trouver les racines d'équations quadratiques incomplètes. Trouver le discriminant. Méthodes de résolution d'équations quadratiques.

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