La construction de graphiques de fonctions contenant des modules pose généralement des difficultés considérables aux écoliers. Cependant, tout n'est pas si mal. Il suffit de mémoriser quelques algorithmes pour résoudre de tels problèmes, et vous pouvez facilement créer un graphique même pour les plus apparemment fonction complexe. Voyons de quel type d'algorithmes il s'agit.
1. Tracer un graphique de la fonction y = |f(x)|
Notez que l'ensemble des valeurs de fonction y = |f(x)| : y ≥ 0. Ainsi, les graphiques de telles fonctions sont toujours situés entièrement dans le demi-plan supérieur.
Tracer un graphique de la fonction y = |f(x)| se compose des quatre étapes simples suivantes.
1) Construisez soigneusement et soigneusement un graphique de la fonction y = f(x).
2) Laissez inchangés tous les points du graphique qui se trouvent au-dessus ou sur l'axe 0x.
3) Affichez la partie du graphique qui se situe sous l'axe 0x symétriquement par rapport à l'axe 0x.
Exemple 1. Tracez un graphique de la fonction y = |x 2 – 4x + 3|
1) On construit un graphe de la fonction y = x 2 – 4x + 3. Évidemment, le graphe de cette fonction est une parabole. Trouvons les coordonnées de tous les points d'intersection de la parabole avec les axes de coordonnées et les coordonnées du sommet de la parabole.
x2 – 4x + 3 = 0.
x1 = 3, x2 = 1.
Par conséquent, la parabole coupe l'axe 0x aux points (3, 0) et (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Par conséquent, la parabole coupe l’axe 0y au point (0, 3).
Coordonnées du sommet de la parabole :
x dans = -(-4/2) = 2, y dans = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Le point (2, -1) est donc le sommet de cette parabole.
Dessinez une parabole en utilisant les données obtenues (Fig.1)
2) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à l'axe 0x.
3) On obtient un graphique de la fonction originale ( riz. 2, représenté en pointillé).
2. Représenter graphiquement la fonction y = f(|x|)
Notez que les fonctions de la forme y = f(|x|) sont paires :
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Cela signifie que les graphiques de ces fonctions sont symétriques par rapport à l’axe 0y.
Tracer un graphique de la fonction y = f(|x|) consiste en la chaîne d'actions simple suivante.
1) Représentez graphiquement la fonction y = f(x).
2) Laissez la partie du graphique pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphique située dans le demi-plan droit.
3) Afficher la partie du graphique spécifiée au point (2) symétriquement à l'axe 0y.
4) Comme graphique final, sélectionnez l'union des courbes obtenues aux points (2) et (3).
Exemple 2. Tracez un graphique de la fonction y = x 2 – 4 · |x| + 3
Puisque x 2 = |x| 2, alors la fonction originale peut être réécrite sous la forme suivante : y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Nous pouvons maintenant appliquer l'algorithme proposé ci-dessus.
1) Nous construisons soigneusement et soigneusement un graphique de la fonction y = x 2 – 4 x + 3 (voir aussi riz. 1).
2) On laisse la partie du graphe pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphe située dans le demi-plan droit.
3) Affichage côté droit les graphiques sont symétriques à l’axe 0y.
(Fig.3).
Exemple 3. Tracez un graphique de la fonction y = log 2 |x|
Nous appliquons le schéma donné ci-dessus.
1) Construire un graphique de la fonction y = log 2 x (Fig.4).
3. Tracer la fonction y = |f(|x|)|
Notez que les fonctions de la forme y = |f(|x|)| sont également pairs. En effet, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), et par conséquent, leurs graphiques sont symétriques par rapport à l'axe 0y. L'ensemble des valeurs de telles fonctions : y ≥ 0. Cela signifie que les graphiques de ces fonctions sont entièrement situés dans le demi-plan supérieur.
Pour tracer la fonction y = |f(|x|)|, vous devez :
1) Construisez soigneusement un graphique de la fonction y = f(|x|).
2) Laissez inchangée la partie du graphique qui se trouve au-dessus ou sur l'axe 0x.
3) Afficher la partie du graphique située sous l'axe 0x symétriquement par rapport à l'axe 0x.
4) Comme graphique final, sélectionnez l'union des courbes obtenues aux points (2) et (3).
Exemple 4. Tracez un graphique de la fonction y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Notez que x 2 = |x| 2. Cela signifie qu'au lieu de la fonction originale y = -x 2 + 2|x| – 1
vous pouvez utiliser la fonction y = -|x| 2 + 2|x| – 1, puisque leurs graphiques coïncident.
On construit un graphe y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Pour cela nous utilisons l’algorithme 2.
a) Représentez graphiquement la fonction y = -x 2 + 2x – 1 (Fig.6).
b) On laisse la partie du graphique qui se situe dans le demi-plan droit.
c) Nous affichons la partie résultante du graphique symétriquement à l'axe 0y.
d) Le graphique résultant est représenté par la ligne pointillée sur la figure (Fig.7).
2) Il n'y a aucun point au-dessus de l'axe 0x ; nous laissons les points sur l'axe 0x inchangés.
3) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à 0x.
4) Le graphique résultant est représenté sur la figure avec une ligne pointillée (Fig.8).
Exemple 5. Représentez graphiquement la fonction y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Vous devez d’abord tracer la fonction y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Pour ce faire, nous revenons à l'algorithme 2.
a) Tracez soigneusement la fonction y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig.9).
Noter que cette fonction est fractionnaire linéaire et son graphique est une hyperbole. Pour tracer une courbe, vous devez d’abord trouver les asymptotes du graphique. Horizontal – y = 2/1 (le rapport des coefficients de x au numérateur et au dénominateur de la fraction), vertical – x = -3.
2) Nous laisserons inchangée la partie du graphique qui se trouve au-dessus de l’axe 0x ou sur celui-ci.
3) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x sera affichée symétriquement par rapport à 0x.
4) Le graphique final est présenté dans la figure (Fig.11).
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La fonction y=x^2 est appelée fonction quadratique. Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole. Vue générale La parabole est représentée dans la figure ci-dessous.
Fonction quadratique
Fig 1. Vue générale de la parabole
Comme le montre le graphique, il est symétrique par rapport à l’axe Oy. L'axe Oy est appelé axe de symétrie de la parabole. Cela signifie que si vous tracez une ligne droite sur le graphique parallèle à l'axe Ox au-dessus de cet axe. Ensuite, il coupera la parabole en deux points. La distance entre ces points et l'axe Oy sera la même.
L'axe de symétrie divise le graphique d'une parabole en deux parties. Ces parties sont appelées branches de la parabole. Et le point d’une parabole qui se trouve sur l’axe de symétrie est appelé le sommet de la parabole. Autrement dit, l’axe de symétrie passe par le sommet de la parabole. Les coordonnées de ce point sont (0;0).
Propriétés de base d'une fonction quadratique
1. À x =0, y=0 et y>0 à x0
2. Valeur minimale la fonction quadratique atteint son sommet. Ymin à x=0 ; Il convient également de noter que valeur maximale la fonction n'existe pas.
3. La fonction décroît sur l'intervalle (-∞;0] et augmente sur l'intervalle , car la droite y=kx coïncidera avec le graphique y=|x-3|-|x+3| dans cette section. Ceci cette option ne nous convient pas. 
Si k est inférieur à -2, alors la droite y=kx avec le graphique y=|x-3|-|x+3| aura une intersection. Cette option nous convient. 
Si k=0, alors l'intersection de la droite y=kx avec le graphe y=|x-3|-|x+3| il y en aura aussi un. Cette option nous convient. 
Réponse : pour k appartenant à l'intervalle (-∞;-2)U)
