Le principe de moindre action en physique. En théorie quantique des champs

Soulignant immédiatement son caractère universel, le considérant applicable à l'optique et à la mécanique. Depuis ce principe il en a dérivé les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière.

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  La recherche mathématique et le développement du principe de Fermat ont été menés par Christiaan Huygens, après quoi le sujet a été activement discuté par les plus grands scientifiques du XVIIe siècle. Leibniz a introduit le concept fondamental d'action en physique en 1669 : « Les actions formelles du mouvement sont proportionnelles... au produit de la quantité de matière, des distances sur lesquelles elles se déplacent et de la vitesse. »

  Parallèlement à l'analyse des fondamentaux de la mécanique, des méthodes de résolution de problèmes variationnels ont été développées. Isaac Newton dans ses « Principes mathématiques de philosophie naturelle » (1687) a posé et résolu le premier problème variationnel : trouver une forme d'un corps de révolution se déplaçant dans un milieu résistant le long de son axe pour lequel la résistance éprouvée serait la moindre. Presque simultanément, d'autres problèmes variationnels apparaissent : le problème de la brachistochrone (1696), la forme d'une ligne de chaîne, etc.

  Des événements décisifs ont eu lieu en 1744. Leonhard Euler a publié le premier travail général sur le calcul des variations (« Méthode de recherche de courbes ayant les propriétés de maximum ou de minimum »), et Pierre-Louis de Maupertuis dans son traité « La réconciliation des diverses lois de la nature qui semblaient jusqu'ici incompatibles » donna la première formulation du principe de moindre action : « le chemin suivi par la lumière, est le chemin pour lequel la quantité d'action sera la plus petite. » Il démontra le respect de cette loi tant pour la réflexion que pour la réfraction de la lumière. En réponse à l'article de Maupertuis, Euler publie (la même année 1744) l'ouvrage « Sur la détermination du mouvement des corps projetés dans un milieu non résistant par la méthode des maxima et des minima », et dans cet ouvrage il donne la position de Maupertuis. principe un caractère mécanique général : « Puisque tous les phénomènes naturels suivent une certaine loi. S'il existe une loi du maximum ou du minimum, alors il ne fait aucun doute que pour les lignes courbes qui décrivent les corps projetés, lorsqu'une force agit sur eux, il existe une certaine propriété de maximale ou minimale. Euler a formulé cette loi : la trajectoire d'un corps atteint un minimum ∫ mvds (\displaystyle \int mv\ ds). Il l'a ensuite appliqué, dérivant les lois du mouvement dans un champ gravitationnel uniforme et dans plusieurs autres cas.

  En 1746, Maupertuis, dans un nouvel ouvrage, partage l’opinion d’Euler et proclame la plus version générale Son principe : « Lorsqu'un changement se produit dans la nature, la quantité d'action requise pour ce changement est la plus petite possible. La quantité d’action est le produit de la masse des corps par leur vitesse et la distance qu’ils parcourent. Au cours du large débat qui a suivi, Euler a soutenu la priorité de Maupertuis et a plaidé en faveur du caractère universel de la nouvelle loi : « toutes les dynamiques et toutes les hydrodynamiques peuvent être révélées avec une facilité étonnante par la seule méthode des maxima et des minima ».

  Une nouvelle étape s'ouvre en 1760-1761, lorsque Joseph Louis Lagrange introduit la notion stricte de variation d'une fonction et donne le calcul des variations look moderne et étendu le principe de la moindre action à l'arbitraire système mécanique(c'est-à-dire pas seulement pour libérer des points matériels). C'était le début mécanique analytique. Une généralisation plus poussée du principe a été réalisée par Carl Gustav Jacob Jacobi en 1837 - il a considéré le problème géométriquement, comme trouver des extrêmes problème variationnel dans un espace de configuration avec une métrique non euclidienne. En particulier, Jacobi a souligné qu'en l'absence de forces externes, la trajectoire du système est ligne géodésique dans l'espace de configuration.

  L'approche de Hamilton s'est avérée universelle et très efficace dans modèles mathématiques physique, notamment pour la mécanique quantique. Sa puissance heuristique a été confirmée lors de la création de la Relativité Générale, lorsque David Hilbert a appliqué le principe de Hamilton pour dériver les équations finales. champ gravitationnel(1915).

  En mécanique classique

  Le principe de moindre action constitue la base fondamentale et standard des formulations lagrangiennes et hamiltoniennes de la mécanique.

  Regardons d'abord la construction comme ceci : Mécanique lagrangienne. En prenant l'exemple d'un système physique à un degré de liberté, rappelons que l'action est une fonctionnelle par rapport à des coordonnées (généralisées) (dans le cas d'un degré de liberté - une coordonnée), c'est-à-dire qu'elle s'exprime par q (t) (\style d'affichage q(t)) de sorte que toutes les variantes imaginables de la fonction q (t) (\style d'affichage q(t)) un certain nombre est comparé - une action (en ce sens on peut dire qu'une action en tant que fonctionnelle est une règle qui permet d'exécuter une fonction donnée q (t) (\style d'affichage q(t)) calculer un nombre très précis - également appelé action). L'action ressemble à :

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot ( q))(t),t)dt,)

  Où L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\dot (q))(t),t)) est le lagrangien du système, dépendant de la coordonnée généralisée q (style d'affichage q), sa dérivée première q ˙ (\displaystyle (\dot (q))), et aussi, éventuellement, explicitement à partir du moment t (style d'affichage t). Si le système a plus de degrés de liberté n (style d'affichage n), alors le Lagrangien dépend d'un plus grand nombre de coordonnées généralisées q je (t) , je = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots,n) et leurs premiers dérivés. Ainsi, l’action est une fonctionnelle scalaire dépendant de la trajectoire du corps.

  Le fait que l'action soit scalaire facilite son écriture dans n'importe quelle coordonnée généralisée, l'essentiel est que la position (configuration) du système soit caractérisée sans ambiguïté par celles-ci (par exemple, au lieu de coordonnées cartésiennes, celles-ci peuvent être polaires coordonnées, distances entre points du système, angles ou leurs fonctions, etc. .d.).

  L'action peut être calculée pour une trajectoire complètement arbitraire q (t) (\style d'affichage q(t)), peu importe à quel point cela peut être « sauvage » et « contre nature ». Cependant, en mécanique classique, parmi l'ensemble des trajectoires possibles, il n'y en a qu'une seule que le corps suivra réellement. Le principe d'action stationnaire donne précisément la réponse à la question de savoir comment le corps va réellement bouger :

  entre deux points donnés le corps bouge de telle sorte que l'action est stationnaire. Template:/frame Cela signifie que si le lagrangien d'un système est donné, alors en utilisant le calcul des variations, nous pouvons établir exactement comment le corps se déplacera, en obtenant d'abord les équations du mouvement - les équations d'Euler-Lagrange, puis en les résolvant. Cela permet non seulement de généraliser sérieusement la formulation de la mécanique, mais aussi de choisir les coordonnées les plus pratiques pour chaque problème spécifique, sans se limiter aux problèmes cartésiens, ce qui peut être très utile pour obtenir les équations les plus simples et les plus faciles à résoudre. S [ p , q ] = ∫ (∑ je p je ré q je − H (q , p , t) ré t) = ∫ (∑ je p je q ˙ je − H (q , p , t)) ré t , (\displaystyle S=\int (\ big ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\sum _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,) Où H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\mathcal (H))(q_(1),q_(2),\dots ,q_(N),p_(1),p_(2),\dots,p_(N),t) )- Fonction Hamilton de ce système ; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots,q_(N))- coordonnées (généralisées), p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots,p_(N))- les impulsions (généralisées) qui lui sont conjuguées, caractérisant ensemble dans chacun à l'heure actuelle le temps, l'état dynamique du système et, chacun étant fonction du temps, caractérisant ainsi l'évolution (mouvement) du système. Dans ce cas, pour obtenir les équations du mouvement du système sous la forme des équations canoniques de Hamilton, il faut faire varier l’action ainsi écrite indépendamment pour tout q je ( displaystyle q_ (i)) Et p je (\ displaystyle p_ (i)). Il convient de noter que si à partir des conditions du problème il est en principe possible de trouver la loi du mouvement, alors celle-ci est automatiquement Pas signifie qu'il est possible de construire une fonctionnelle qui prend valeur stationnaire avec un vrai mouvement. Un exemple est le mouvement conjoint de charges électriques et de monopôles - charges magnétiques - dans un champ électromagnétique. Leurs équations de mouvement ne peuvent pas être dérivées du principe d'action stationnaire. De même, certains systèmes hamiltoniens ont des équations de mouvement qui ne peuvent être dérivées de ce principe. Exemples Des exemples triviaux aident à évaluer l'utilisation du principe de fonctionnement à travers les équations d'Euler-Lagrange. Particule libre (masse m et la vitesse v) dans l’espace euclidien se déplace en ligne droite. En utilisant les équations d'Euler-Lagrange, cela peut être représenté en coordonnées polaires comme suit. En l'absence de potentiel, la fonction de Lagrange est simplement égale à l'énergie cinétique 1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\dot (x))^(2)+(\dot (y))^(2)\right)) ψ = ∫ [D X ] e (i S [ X ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.) Modèle :/frame Ici∫ [ D X ] (\displaystyle \int) est une notation conditionnelle pour une intégration fonctionnelle infiniment multiple sur toutes les trajectoires x(t), etℏ (\displaystyle \hbar) Analyse mathématique de cette expression dans la limite classique - pour des valeurs suffisamment grandes S / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), c'est-à-dire avec des oscillations très rapides de l'exponentielle imaginaire - montre que l'écrasante majorité de toutes les trajectoires possibles dans cette intégrale s'annulent à la limite (formellement à S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty )). Pour presque tous les chemins, il existe un chemin sur lequel le déphasage sera exactement le contraire, et leur contribution totale sera nulle. Seules les trajectoires pour lesquelles l'action est proche de la valeur extrême (pour la plupart des systèmes - au minimum) ne sont pas réduites. C'est propre fait mathématique depuis

  
  Cette fois, nous aurons besoin d'un peu plus de mathématiques. Cependant, je vais encore une fois essayer de présenter la partie principale de l'article à un niveau élémentaire. Un peu plus strict et moments difficiles Je les surlignerai en couleur ; vous pouvez les ignorer sans compromettre la compréhension de base de l'article.

  Conditions aux limites

  Commençons par le tout objet simple- une balle se déplaçant librement dans l'espace, sur laquelle aucune force n'agit. Comme on le sait, une telle balle se déplace de manière uniforme et rectiligne. Pour simplifier, supposons qu'il se déplace le long de l'axe :

  

  Pour décrire avec précision son mouvement, en règle générale, les conditions initiales sont spécifiées. Par exemple, il est précisé qu'au moment initial, la balle se trouvait à un point de coordonnée et avait une vitesse . Après avoir précisé les conditions initiales sous cette forme, on détermine de manière unique mouvement supplémentaire balle - elle bougera avec vitesse constante, et sa position à l'instant précis sera égale à la position initiale plus la vitesse multipliée par le temps écoulé : . Cette façon de régler conditions initiales très naturel et intuitif. Nous avons tout demandé informations nécessaires sur le mouvement de la balle au moment initial, puis son mouvement est déterminé par les lois de Newton.

  Cependant, ce n’est pas la seule manière de préciser le mouvement de la balle. Une autre méthode alternative consiste à définir la position de la balle à deux moments différents et . Ceux. demande ça :

  1) à ce moment-là, la balle était en un point (avec coordonnées) ;
  2) au moment où la balle était au point (avec coordonnée ).

  L’expression « était au point » ne signifie pas que la balle était au repos au point. À ce moment-là, il pouvait survoler la pointe. Cela signifie que sa position à ce moment précis coïncidait avec le point. La même chose s’applique au point.

  Ces deux conditions déterminent également de manière unique le mouvement de la balle. Son mouvement est facile à calculer. Pour satisfaire aux deux conditions, la vitesse de la balle doit évidemment être de . La position de la balle à un instant donné sera à nouveau égale à la position initiale plus la vitesse multipliée par le temps écoulé :

  Veuillez noter que dans les conditions du problème, nous n'avons pas eu besoin de définir la vitesse initiale. Elle a été déterminée uniquement à partir des conditions 1) et 2).

  Définir les conditions de la deuxième manière semble inhabituel. On ne sait peut-être pas pourquoi il serait nécessaire de leur demander sous cette forme. Cependant, dans le principe de moindre action, des conditions sous la forme de 1) et 2) sont utilisées, et non sous la forme d'une tâche. position initiale et la vitesse initiale.

  Chemin avec le moins d'action

  Écartons-nous maintenant un peu du libre mouvement réel de la balle et considérons le problème purement mathématique suivant. Disons que nous avons une balle que nous pouvons déplacer manuellement comme bon nous semble. Dans ce cas, nous devons remplir les conditions 1) et 2). Ceux. dans la période de temps intermédiaire et nous devons le déplacer d'un point à un autre. Cela peut être fait de manières complètement différentes. Nous appellerons chacune de ces méthodes la trajectoire du mouvement de la balle et elle peut être décrite par une fonction de la position de la balle en fonction du temps. Traçons plusieurs de ces trajectoires sur un graphique de la position de la balle en fonction du temps :

  

  Par exemple, nous pouvons déplacer la balle avec la même vitesse égale à (trajectoire verte). Ou nous pouvons le maintenir au point la moitié du temps, puis le déplacer vers le point à double vitesse (trajectoire bleue). Vous pouvez d'abord le déplacer dans la direction opposée, puis le déplacer vers (trajectoire marron). Vous pouvez le déplacer d'avant en arrière (chemin rouge). En général, vous pouvez le déplacer comme bon vous semble, à condition que les conditions 1) et 2) soient remplies.

  À chacune de ces trajectoires, nous pouvons associer un numéro. Dans notre exemple, c'est à dire en l'absence de toute force agissant sur la balle, ce nombre est égal à l'énergie cinétique totale accumulée pendant toute la durée de son mouvement dans l'intervalle de temps entre et et est appelé action.
  

  DANS dans ce cas le mot énergie cinétique « accumulée » ne rend pas le sens très précis. En réalité, l’énergie cinétique n’est accumulée nulle part ; l’accumulation sert uniquement à calculer l’action sur la trajectoire. En mathématiques, il existe un très bon concept pour une telle accumulation : l’intégrale :

  L'action est généralement indiquée par la lettre . Le symbole signifie énergie cinétique. Cette intégrale signifie que l'action est égale à l'énergie cinétique accumulée de la balle sur l'intervalle de temps de à.
  

  A titre d'exemple, prenons une balle de masse 1 kg, définissons quelques conditions aux limites et calculons l'action pour deux trajectoires différentes. Laissez le point être à une distance de 1 mètre du point et le temps est à 1 seconde du temps. Ceux. nous devons déplacer la balle, qui au moment initial était au point , en une seconde à une distance de 1 m le long de l'axe.

  Dans le premier exemple (trajectoire verte), nous avons déplacé la balle uniformément, c'est-à-dire avec la même vitesse, qui doit évidemment être égale à : m/s. L'énergie cinétique de la balle à chaque instant est égale à : = 1/2 J. En une seconde, 1/2 J d'énergie cinétique va s'accumuler. Ceux. l'action pour une telle trajectoire est égale à : J s.

  Maintenant, ne déplaçons pas immédiatement la balle d'un point à l'autre, mais maintenons-la au point pendant une demi-seconde, puis, pendant le temps restant, déplaçons-la uniformément jusqu'au point. Durant la première demi-seconde, la balle est au repos et son énergie cinétique est nulle. La contribution à l’action de cette partie de la trajectoire est donc également nulle. La seconde moitié d'une seconde, nous déplaçons la balle à double vitesse : m/s. L'énergie cinétique sera égale à = 2 J. La contribution de cette période de temps à l'action sera égale à 2 J fois une demi-seconde, soit 1 J s. Par conséquent, l’action totale pour une telle trajectoire est égale à J s.

  De même, toute autre trajectoire avec les conditions aux limites 1) et 2) données par nos soins correspond à un certain nombre égal à l'action pour cette trajectoire. Parmi toutes ces trajectoires, il existe une trajectoire qui comporte le moins d’action. On peut prouver que cette trajectoire est la trajectoire verte, c'est-à-dire mouvement uniforme du ballon. Pour toute autre trajectoire, aussi délicate soit-elle, l'action sera supérieure à 1/2.

  En mathématiques, une telle cartographie pour chaque fonction un certain nombre appelé fonctionnel. Très souvent, en physique et en mathématiques, des problèmes similaires aux nôtres surviennent, c'est-à-dire trouver une fonction pour laquelle la valeur d’une certaine fonctionnelle est minimale. Par exemple, l'une des tâches qui avait une grande importance importance historique car le développement des mathématiques est le problème de la bachistochrone. Ceux. trouver la courbe le long de laquelle la balle roule le plus rapidement. Encore une fois, chaque courbe peut être représentée par une fonction h(x), et chaque fonction peut être associée à un nombre, en l'occurrence le temps de faire rouler la balle. Là encore, le problème revient à trouver une fonction pour laquelle la valeur de la fonctionnelle est minimale. La branche des mathématiques qui traite de tels problèmes s’appelle le calcul des variations.

  Principe de moindre action

  Dans les exemples évoqués ci-dessus, nous avons deux trajectoires particulières obtenues de deux manières différentes.

  La première trajectoire est obtenue à partir des lois de la physique et correspond à la trajectoire réelle d'une balle libre, sur laquelle aucune force n'agit et pour laquelle les conditions aux limites sont précisées sous la forme 1) et 2).

  La deuxième trajectoire est obtenue à partir du problème mathématique consistant à trouver une trajectoire avec des conditions aux limites données 1) et 2), pour laquelle l'action est minimale.

  Le principe de moindre action stipule que ces deux trajectoires doivent coïncider. En d’autres termes, si l’on sait que la balle s’est déplacée de telle manière que les conditions aux limites 1) et 2) étaient satisfaites, alors elle s’est nécessairement déplacée le long d’une trajectoire pour laquelle l’action est minime par rapport à toute autre trajectoire ayant la même limite. conditions.

  On pourrait considérer cela comme une simple coïncidence. Il existe de nombreux problèmes dans lesquels apparaissent des trajectoires uniformes et des lignes droites. Cependant, le principe de moindre action s’avère être un principe très général, valable dans d’autres situations, par exemple pour le mouvement d’une balle dans un champ gravitationnel uniforme. Pour ce faire, il suffit de remplacer l’énergie cinétique par la différence entre l’énergie cinétique et potentielle. Cette différence est appelée fonction lagrangienne ou lagrangienne et l'action devient désormais égale au lagrangien total accumulé. En fait, la fonction de Lagrange contient toutes les informations nécessaires sur les propriétés dynamiques du système.

  Si nous lançons une balle dans un champ gravitationnel uniforme de telle manière qu’elle passe un point à un instant donné et arrive à un point à un instant donné, alors, selon les lois de Newton, elle volera le long d’une parabole. C'est cette parabole qui coïncidera avec les trajectoires pour lesquelles l'action sera minime.
  

  Ainsi, pour un corps se déplaçant dans un champ de potentiel, par exemple dans le champ gravitationnel de la Terre, la fonction de Lagrange est égale à : . L'énergie cinétique dépend de la vitesse du corps et l'énergie potentielle dépend de sa position, c'est-à-dire coordonnées En mécanique analytique, l'ensemble des coordonnées qui déterminent la position du système est généralement désigné par une seule lettre. Pour une balle se déplaçant librement dans un champ gravitationnel, cela signifie les coordonnées , et .

  Pour indiquer le taux de variation d’une quantité, en physique, on met très souvent simplement un point sur cette quantité. Par exemple, il désigne le taux de changement de coordonnées ou, en d'autres termes, la vitesse du corps dans la direction. En utilisant ces conventions, la vitesse de notre balle en mécanique analytique est notée . Ceux. représente les composantes de vitesse.

  Puisque la fonction de Lagrange dépend de la vitesse et des coordonnées, et peut aussi dépendre explicitement du temps (dépend explicitement du temps signifie que la valeur est différente à différents moments, pour les mêmes vitesses et positions de la balle), alors l'action en général s'écrit comme
  

  Pas toujours minime

  Cependant, à la fin de la partie précédente, nous avons examiné un exemple où le principe de moindre action ne fonctionne clairement pas. Pour ce faire, nous avons à nouveau pris une balle libre, sur laquelle aucune force n'agit, et avons placé un mur à ressorts à côté d'elle.

  

  
  Nous fixons les conditions aux limites telles que les points et coïncident. Ceux. à la fois au moment du temps et au moment du temps, le ballon doit être au même point. L’une des trajectoires possibles sera celle du ballon immobile. Ceux. toute la période entre et il se tiendra au point. L'énergie cinétique et potentielle dans ce cas sera égale à zéro, donc l'action pour une telle trajectoire sera également égale à zéro.
  

  À proprement parler, l'énergie potentielle peut être considérée comme égale non pas à zéro, mais à n'importe quel nombre, puisque la différence d'énergie potentielle dans différents points espace. Cependant, la modification de la valeur de l'énergie potentielle n'affecte pas la recherche d'une trajectoire avec une action minimale. C'est juste que pour toutes les trajectoires, la valeur de l'action changera au même nombre, et la trajectoire avec l'action minimale restera la trajectoire avec l'action minimale. Pour plus de commodité, pour notre balle nous choisirons une énergie potentielle égale à zéro.

  Une autre trajectoire physique possible avec les mêmes conditions aux limites serait une trajectoire dans laquelle la balle vole d'abord vers la droite, passant le point à l'instant . Puis il entre en collision avec le ressort, le comprime, le ressort, se redressant, repousse la balle, et elle passe à nouveau au-delà de la pointe. Vous pouvez sélectionner la vitesse de la balle de telle sorte qu'elle rebondisse sur le mur et passe le point exactement à ce moment-là. L'action sur une telle trajectoire sera fondamentalement égale à l'énergie cinétique accumulée pendant le vol entre la pointe et le mur et retour. Il y aura une certaine période de temps pendant laquelle la balle comprimera le ressort et son énergie potentielle augmentera, et pendant cette période, l'énergie potentielle apportera une contribution négative à l'action. Mais une telle période ne sera pas très longue et ne réduira pas significativement l’effet.

  

  La figure montre les deux trajectoires physiquement possibles du mouvement de la balle. La trajectoire verte correspond à une balle au repos, tandis que la trajectoire bleue correspond à une balle rebondissant sur un mur à ressort.

  Cependant, un seul d’entre eux a un effet minime, à savoir le premier ! La deuxième trajectoire a plus d'action. Il s'avère que dans ce problème, il y a deux facteurs physiques trajectoires possibles et un seul avec une action minimale. Ceux. Dans ce cas, le principe de moindre action ne fonctionne pas.

  Points fixes

  Pour comprendre ce qui se passe ici, ignorons pour l'instant le principe de moindre action et passons aux fonctions ordinaires. Prenons une fonction et traçons son graphique :

  

  J'ai marqué sur le graphique vert quatre points particuliers. Quel est le point commun entre ces points ? Imaginons que le graphique d'une fonction soit un véritable toboggan le long duquel une balle peut rouler. Les quatre points marqués sont spéciaux dans le sens où si vous placez la balle exactement dans ce point, alors il ne roulera nulle part. À tous les autres points, par exemple au point E, il ne pourra pas rester immobile et commencera à glisser. De tels points sont appelés stationnaires. Trouver de tels points est tâche utile, puisque tout maximum ou minimum d'une fonction, s'il ne présente pas de ruptures brusques, doit nécessairement être un point stationnaire.

  Si nous classons plus précisément ces points, alors le point A est le minimum absolu de la fonction, c'est-à-dire sa valeur est inférieure à toute autre valeur de fonction. Le point B n'est ni un maximum ni un minimum et est appelé point selle. Le point C est appelé maximum local, c'est-à-dire la valeur qu'il contient est supérieure à celle des points voisins de la fonction. Et le point D – minimum local, c'est-à-dire la valeur qu'il contient est inférieure à celle des points voisins de la fonction.

  La recherche de tels points est effectuée par une branche des mathématiques appelée analyse mathématique. Autrement, on l’appelle parfois analyse infinitésimale, car elle peut fonctionner avec des quantités infinitésimales. Du point de vue analyse mathématique les points stationnaires ont une propriété spéciale grâce à laquelle ils sont trouvés. Pour comprendre cette propriété, nous devons comprendre à quoi ressemble la fonction à de très petites distances de ces points. Pour ce faire, nous prendrons un microscope et examinerons nos points à travers celui-ci. La figure montre à quoi ressemble la fonction à proximité de différents points à différents grossissements.

  

  On peut voir qu'à très fort grossissement (c'est-à-dire pour de très petits écarts x), les points stationnaires se ressemblent exactement et sont très différents du point non stationnaire. Il est facile de comprendre quelle est cette différence - le graphique d'une fonction en un point stationnaire devient strictement ligne horizontale, et en non stationnaire - incliné. C'est pourquoi une balle installée à un point fixe ne roulera pas.

  L'horizontalité d'une fonction en un point stationnaire peut s'exprimer différemment : la fonction en un point stationnaire ne change pratiquement pas avec un très petit changement de son argument, même par rapport au changement de l'argument lui-même. La fonction en un point non stationnaire avec un petit changement change proportionnellement au changement. Et quoi angle plus grand la pente de la fonction, plus la fonction change quand . En fait, à mesure que la fonction augmente, elle ressemble de plus en plus à une tangente au graphique au point en question.
  

  En langage mathématique strict, l'expression « une fonction ne change pratiquement pas en un point avec un très petit changement » signifie que le rapport d'un changement d'une fonction et d'un changement de son argument tend vers 0 comme il tend vers 0 :

  $$display$$\lim_(∆x \to 0) \frac (∆y(x_0))(∆x) = \lim_(x \to 0) \frac (y(x_0+∆x)-y(x_0) )(∆x) = 0$$affichage$$

  Pour un point non stationnaire, ce rapport tend vers un nombre non nul, qui est égal à la tangente de la pente de la fonction en ce point. Ce même nombre est appelé la dérivée de la fonction en un point donné. La dérivée d'une fonction montre à quelle vitesse la fonction change autour d'un point donné avec un petit changement dans son argument. Ainsi, les points stationnaires sont des points pour lesquels la dérivée de la fonction est égale à 0.
  

  Trajectoires stationnaires

  Par analogie avec points fixes on peut introduire la notion de trajectoires stationnaires. Rappelons que chaque trajectoire correspond à une certaine valeur d'action, c'est-à-dire un certain nombre. Il peut alors y avoir une trajectoire telle que pour des trajectoires proches d'elle avec les mêmes conditions aux limites, les valeurs d'action correspondantes ne différeront pratiquement pas de l'action pour la trajectoire stationnaire elle-même. Une telle trajectoire est dite stationnaire. En d’autres termes, toute trajectoire proche de la stationnaire aura une valeur d’action qui diffère très peu de l’action de cette trajectoire stationnaire.
  

  Encore une fois, en langage mathématique, « légèrement différent » signifie ce qui suit : signification exacte. Supposons que nous ayons une fonctionnelle donnée pour les fonctions avec les conditions aux limites requises 1) et 2), c'est-à-dire Et . Supposons que la trajectoire soit stationnaire.

  Nous pouvons prendre n'importe quelle autre fonction telle qu'elle prenne des valeurs nulles aux extrémités, c'est-à-dire = = 0. Prenons également une variable, que nous rendrons de plus en plus petite. A partir de ces deux fonctions et de la variable, on peut composer une troisième fonction, qui satisfera également les conditions aux limites et. Au fur et à mesure qu'elle diminue, la trajectoire correspondant à la fonction se rapprochera de plus en plus de la trajectoire.

  De plus, pour les trajectoires stationnaires à petites valeurs de la fonctionnelle pour les trajectoires différeront très peu de la valeur de la fonctionnelle pour même en comparaison avec . Ceux.

  $$display$$\lim_(ε \to 0) \frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=\lim_(ε \to 0) \frac (S(x( t)+εg(t))-S(x(t)))ε = 0$$affichage$$

  
  De plus, cela devrait être vrai pour toute trajectoire satisfaisant les conditions aux limites = = 0.

  Un changement de fonctionnel avec un petit changement de fonction (plus précisément, la partie linéaire du changement de fonctionnel, proportionnelle au changement de fonction) est appelé une variation de fonctionnel et est noté . Le nom « calcul des variations » vient du terme « variation ».

  Pour les trajectoires stationnaires, variation de la fonctionnelle.

  Une méthode permettant de trouver des fonctions stationnaires (non seulement pour le principe de moindre action, mais aussi pour de nombreux autres problèmes) a été trouvée par deux mathématiciens - Euler et Lagrange. Il s'avère que fonction stationnaire, dont la fonctionnelle est exprimée par une intégrale similaire à l'intégrale d'action, doit satisfaire une certaine équation, qui est maintenant appelée équation d'Euler-Lagrange.
  

  Principe stationnaire

  La situation avec un minimum d'action pour les trajectoires est similaire à la situation avec un minimum pour les fonctions. Pour qu’une trajectoire ait le moins d’effet, il faut qu’elle soit stationnaire. Cependant, toutes les trajectoires stationnaires ne sont pas des trajectoires d’action minimale. Par exemple, une trajectoire stationnaire peut avoir un effet minime localement. Ceux. son action sera moindre que celle de toute autre trajectoire voisine. Cependant, quelque part au loin, il peut y avoir d’autres trajectoires pour lesquelles l’action sera encore moindre.

  Il s'avère que vrais corps ne suivront pas nécessairement des trajectoires ayant le moins d’effets. Ils peuvent se déplacer le long d’un ensemble plus large de trajectoires spéciales, à savoir des trajectoires stationnaires. Ceux. la trajectoire réelle du corps sera toujours stationnaire. Par conséquent, il est plus correct d'appeler le principe de moindre action le principe d'action stationnaire. Cependant, selon la tradition établie, on l’appelle souvent le principe de moindre action, impliquant non seulement la minimalité, mais aussi la stationnarité des trajectoires.
  

  Nous pouvons désormais écrire le principe de l'action stationnaire dans le langage mathématique, tel qu'il est habituellement écrit dans les manuels : .

  Ici, ce sont des coordonnées généralisées, c'est-à-dire un ensemble de variables qui définissent de manière unique la position du système.
  - taux de changement des coordonnées généralisées.
  - Fonction de Lagrange, qui dépend des coordonnées généralisées, de leurs vitesses et éventuellement du temps.
  - une action qui dépend de la trajectoire spécifique du système (c'est-à-dire de ).

  Les trajectoires réelles du système sont stationnaires, c'est-à-dire pour eux une variation de l'action.
  

  Si l'on revient à l'exemple avec une balle et une paroi élastique, alors l'explication de cette situation devient désormais très simple. Pour donné conditions aux limites que la balle doit arriver au point à la fois au moment et au moment, il y a deux trajectoires stationnaires. Et la balle peut réellement suivre n’importe laquelle de ces trajectoires. Pour sélectionner explicitement l'une des trajectoires, vous pouvez appliquer condition supplémentaire. Par exemple, disons que la balle doit rebondir sur le mur. La trajectoire sera alors déterminée sans ambiguïté.

  Certaines conséquences remarquables découlent du principe de moindre action (plus précisément stationnaire), dont nous discuterons dans la partie suivante.

  Balises : ajouter des balises

  Nommé d'après William Hamilton, qui a utilisé ce principe pour construire ce qu'on appelle le formalisme hamiltonien en mécanique classique.

  Le principe de stationnarité de l’action est le plus important de la famille des principes extrêmes. Pas tous systèmes physiques avoir des équations de mouvement qui peuvent être obtenues à partir de ce principe, mais toutes les interactions fondamentales y sont soumises, et ce principe est donc l'une des dispositions clés physique moderne. Les équations de mouvement obtenues grâce à son aide sont appelées équations d'Euler-Lagrange.

  La première formulation du principe a été donnée par P. Maupertuis (français : P. Maupertuis) en 1744, soulignant immédiatement son caractère universel et le considérant applicable à l'optique et à la mécanique. De ce principe il tira les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière.

  En 1746, Maupertuis, dans un nouvel ouvrage, partage l'opinion d'Euler et proclame la version la plus générale de son principe : « Lorsqu'un changement se produit dans la nature, la quantité d'action requise pour ce changement est la moindre possible. La quantité d’action est le produit de la masse des corps par leur vitesse et la distance qu’ils parcourent. Au cours du large débat qui a suivi, Euler a soutenu la priorité de Maupertuis et a plaidé en faveur du caractère universel de la nouvelle loi : « toutes les dynamiques et toutes les hydrodynamiques peuvent être révélées avec une facilité étonnante par la seule méthode des maxima et des minima ».

  Une nouvelle étape s'ouvre en 1760-1761, lorsque Joseph Louis Lagrange introduit le concept strict de variation d'une fonction, donne une forme moderne au calcul des variations et étend le principe de moindre action à un système mécanique arbitraire (c'est-à-dire non seulement à points matériels gratuits). Cela a marqué le début de la mécanique analytique. Une autre généralisation du principe a été réalisée par Carl Gustav Jacob Jacobi en 1837 - il a considéré le problème géométriquement, comme trouver les extrémités d'un problème variationnel dans un espace de configuration avec une métrique non euclidienne. Jacobi a notamment souligné qu'en l'absence de forces externes, la trajectoire du système représente une ligne géodésique dans l'espace de configuration.

  Il convient de noter que si à partir des conditions du problème il est en principe possible de trouver la loi du mouvement, alors celle-ci est automatiquement Pas signifie qu'il est possible de construire une fonctionnelle qui prend une valeur stationnaire lors d'un mouvement vrai. Un exemple est le mouvement conjoint de charges électriques et de monopôles - charges magnétiques - dans un champ électromagnétique. Leurs équations de mouvement ne peuvent pas être dérivées du principe d'action stationnaire. De même, certains systèmes hamiltoniens ont des équations de mouvement qui ne peuvent être dérivées de ce principe.

  Des exemples triviaux aident à évaluer l'utilisation du principe de fonctionnement à travers les équations d'Euler-Lagrange. Particule libre (masse m et la vitesse v) dans l’espace euclidien se déplace en ligne droite. En utilisant les équations d'Euler-Lagrange, cela peut être représenté en coordonnées polaires comme suit. En l'absence de potentiel, la fonction de Lagrange est simplement égale à l'énergie cinétique

  DANS théorie des quanta Fields, le principe de stationnarité de l'action est également appliqué avec succès. La densité lagrangienne inclut ici les opérateurs des champs quantiques correspondants. Bien qu'il soit ici essentiellement plus correct (à l'exception de la limite classique et en partie quasi-classique) de parler non pas du principe de stationnarité de l'action, mais de l'intégration de Feynman le long de trajectoires dans la configuration ou l'espace des phases de ces champs - en utilisant la densité lagrangienne que nous venons de mentionner.

  Plus largement, une action est comprise comme une fonctionnelle qui spécifie un mappage de l'espace de configuration vers un ensemble nombres réels et, en général, il n’est pas nécessaire que ce soit une intégrale, car les actions non locales sont en principe possibles, du moins en théorie. De plus, espace de configuration n'est pas nécessairement un espace de fonctions car il peut avoir

  Lorsque j’ai découvert ce principe pour la première fois, j’ai ressenti une sorte de mysticisme. Il semble que la nature parcoure mystérieusement toutes les voies possibles de déplacement du système et choisisse la meilleure.

  Aujourd'hui, je veux parler un peu de l'un des plus merveilleux principes physiques– le principe de moindre action.

  Arrière-plan

  Depuis l’époque de Galilée, on sait que les corps sur lesquels aucune force n’agit se déplacent en ligne droite, c’est-à-dire le long du chemin le plus court. Les rayons lumineux se propagent également en lignes droites.

  Lorsqu'elle est réfléchie, la lumière se déplace également de manière à se rendre d'un point à un autre le plus rapidement possible. Sur la photo, le chemin le plus court sera le chemin vert, auquel l'angle d'incidence égal à l'angle reflets. Tout autre chemin, par exemple rouge, sera plus long.

  

  
  Ceci est facile à prouver en réfléchissant simplement le trajet des rayons du côté opposé du miroir. Ils sont représentés en pointillés sur l'image.

  

  
  On voit que le chemin vert ACB se transforme en droit ACB'. Et le chemin rouge se transforme en une ligne brisée ADB’, qui est bien entendu plus longue que la ligne verte.

  En 1662, Pierre Fermat suggérait que la vitesse de la lumière dans une matière dense, comme le verre, est inférieure à celle dans l'air. Avant cela, la version de Descartes était généralement acceptée, selon laquelle la vitesse de la lumière dans la matière doit être supérieure à celle dans l'air pour obtenir la loi de réfraction correcte. Pour Fermat, l’hypothèse selon laquelle la lumière pourrait se déplacer plus rapidement dans un milieu plus dense que dans un milieu raréfié ne semblait pas naturelle. Par conséquent, il a supposé que tout était exactement le contraire et a prouvé une chose étonnante : avec cette hypothèse, la lumière est réfractée de manière à atteindre sa destination dans un minimum de temps.

  

  
  Encore une fois, la couleur verte montre le chemin que prend réellement le faisceau lumineux. Le chemin marqué en rouge est le plus court, mais pas le plus rapide, car la lumière a un chemin plus long pour traverser le verre et y est plus lente. Le chemin le plus rapide est le chemin réel du faisceau lumineux.

  Tous ces faits suggèrent que la nature agit de manière rationnelle, que la lumière et les corps se déplacent de la manière la plus optimale possible, en passant le plus de temps possible. moins d'effort. Mais de quel type d’efforts s’agit-il et comment les calculer reste un mystère.

  En 1744, Maupertuis introduit le concept d'« action » et formule le principe selon lequel la véritable trajectoire d'une particule diffère de toute autre en ce que l'action qui la concerne est minime. Cependant, Maupertuis lui-même n'a jamais été en mesure de donner une définition claire de ce qu'est cette action. Strict formulation mathématique Le principe de moindre action a déjà été développé par d'autres mathématiciens - Euler, Lagrange, et a finalement été donné par William Hamilton :

  

  
  En langage mathématique, le principe de moindre action est formulé assez brièvement, mais tous les lecteurs ne comprendront peut-être pas le sens de la notation utilisée. Je veux essayer d'expliquer ce principe plus clairement et en termes plus simples.

  Corps libre

  Alors, imaginez que vous êtes assis dans une voiture à un moment donné et au moment où l'on vous donne tâche simple: au moment où vous devez conduire votre voiture au point.

  

  
  Le carburant pour une voiture coûte cher et, bien sûr, vous souhaitez en dépenser le moins possible. Votre voiture est fabriquée à l’aide des dernières technologies et peut accélérer ou freiner aussi vite que vous le souhaitez. Cependant, il est conçu de telle manière que plus il va vite, plus il consomme de carburant. De plus, la consommation de carburant est proportionnelle au carré de la vitesse. Si vous roulez deux fois plus vite, vous consommerez 4 fois plus de carburant sur la même période. Outre la vitesse, la consommation de carburant dépend bien entendu également du poids du véhicule. Plus notre voiture est lourde, plus elle consomme de carburant. La consommation de carburant de notre voiture à chaque instant est égale, c'est-à-dire exactement égale à l'énergie cinétique de la voiture.

  Alors, comment conduire pour arriver à destination exactement à l’heure convenue et consommer le moins de carburant possible ? Il est clair qu'il faut aller en ligne droite. À mesure que la distance parcourue augmente, la consommation de carburant ne diminuera pas. Et puis vous pouvez choisir différentes tactiques. Par exemple, vous pouvez arriver rapidement au point à l'avance et simplement vous asseoir et attendre que le moment soit venu. La vitesse de conduite, et donc la consommation de carburant à chaque instant, sera élevée, mais le temps de conduite sera également réduit. Peut-être que la consommation globale de carburant ne sera pas si importante. Ou vous pouvez conduire uniformément, à la même vitesse, de sorte que, sans vous presser, vous arriviez exactement au moment précis. Ou conduisez une partie du chemin rapidement et une partie plus lentement. Quelle est la meilleure façon de procéder ?

  Il s’avère que la manière la plus optimale et la plus économique de conduire est de conduire à une vitesse constante, de manière à arriver à destination exactement à l’heure convenue. Toute autre option consommera plus de carburant. Vous pouvez le vérifier vous-même à l'aide de plusieurs exemples. La raison en est que la consommation de carburant augmente avec le carré de la vitesse. Par conséquent, à mesure que la vitesse augmente, la consommation de carburant augmente plus rapidement que le temps de conduite ne diminue, et la consommation globale de carburant augmente également.

  Ainsi, nous avons découvert que si une voiture consomme à chaque instant du carburant proportionnellement à son énergie cinétique, alors le moyen le plus économique de se rendre d'un point à un point exactement à l'heure convenue est de conduire uniformément et en ligne droite, exactement la façon dont un corps se déplace en l'absence de forces agissant sur lui. Toute autre méthode de conduite entraînera une consommation globale de carburant plus élevée.

  Dans le domaine de la gravité

  Améliorons maintenant un peu notre voiture. Attachons-y des moteurs à réaction pour qu'il puisse voler librement dans n'importe quelle direction. En général, la conception est restée la même, de sorte que la consommation de carburant est restée strictement proportionnelle à l'énergie cinétique de la voiture. Si maintenant la tâche est donnée de voler d'un point à un point dans le temps et d'arriver à un point à un moment donné, alors le moyen le plus économique, comme auparavant, sera bien sûr de voler de manière uniforme et rectiligne afin de terminer se lever à un moment donné à l'heure exacte fixée. Cela correspond encore une fois au libre mouvement d’un corps dans un espace tridimensionnel.

  

  
  Cependant, un dispositif inhabituel a été installé dans le dernier modèle de voiture. Cet appareil peut produire du carburant littéralement à partir de rien. Mais la conception est telle que plus la voiture est haute, plus l'appareil produit de carburant à un moment donné. La production de carburant est directement proportionnelle à l'altitude à laquelle la voiture se trouve actuellement. De plus, plus la voiture est lourde, plus le dispositif y est installé puissant et plus il produit de carburant, et la production est directement proportionnelle au poids de la voiture. L'appareil s'est avéré tel que le débit de carburant est exactement égal à (où est l'accélération chute libre), c'est-à-dire énergie potentielle de la voiture.

  La consommation de carburant à chaque instant est égale à l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle de la voiture (moins l'énergie potentielle, car l'appareil installé produit du carburant et ne le consomme pas). Désormais, notre tâche consistant à déplacer la voiture entre les points aussi efficacement que possible devient plus difficile. Le mouvement rectiligne uniforme ne s’avère pas le plus efficace dans ce cas. Il s'avère qu'il est plus optimal de prendre un peu d'altitude, d'y rester un moment, en consommant plus de carburant, puis de descendre jusqu'au point . Avec une trajectoire de vol correcte, la production totale de carburant due à la montée couvrira les coûts de carburant supplémentaires liés à l'augmentation de la longueur de la trajectoire et de l'augmentation de la vitesse. Si vous calculez soigneusement, le moyen le plus économique pour une voiture sera de voler dans une parabole, exactement sur la même trajectoire et exactement à la même vitesse qu'une pierre volerait dans le champ gravitationnel terrestre.

  

  
  Cela vaut la peine d'apporter une précision ici. Bien sûr, vous pouvez lancer une pierre depuis un point de différentes manières pour qu’elle atteigne le point. Mais vous devez le lancer de telle manière que, après avoir décollé du point à un moment donné, il atteigne le point exactement à ce moment-là. C'est ce mouvement qui sera le plus économique pour notre voiture.

  Fonction de Lagrange et principe de moindre action

  Nous pouvons maintenant transférer cette analogie au réel corps physiques. Un analogue du taux de consommation de carburant des corps est appelé fonction de Lagrange ou lagrangien (en l'honneur de Lagrange) et est désigné par la lettre . Le lagrangien montre la quantité de « carburant » qu’un corps consomme à un moment donné. Pour un corps se déplaçant dans un champ potentiel, le lagrangien est égal à son énergie cinétique moins l’énergie potentielle.

  Analogue nombre total carburant consommé pendant tout le trajet, c'est-à-dire la valeur lagrangienne accumulée sur toute la période du mouvement est appelée « action ».

  Le principe de moindre action est que le corps bouge de telle manière que l’action (qui dépend de la trajectoire du mouvement) soit minime. En même temps, il ne faut pas oublier que les conditions initiales et finales sont précisées, c'est-à-dire où se trouve le corps à l'instant et à l'instant.

  Dans ce cas, le corps ne doit pas nécessairement se déplacer dans un champ gravitationnel uniforme, comme nous l'avons envisagé pour notre voiture. Des situations complètement différentes peuvent être envisagées. Un corps peut osciller sur un élastique, se balancer sur un pendule, ou voler autour du Soleil, dans tous ces cas il se déplace de manière à minimiser la « consommation totale de carburant », c'est-à-dire action.

  Si un système est constitué de plusieurs corps, alors le lagrangien d'un tel système sera égal à l'énergie cinétique totale de tous les corps moins l'énergie potentielle totale de tous les corps. Et encore une fois, tous les corps bougeront de concert, de sorte que l'effet de l'ensemble du système lors d'un tel mouvement soit minime.

  Ce n'est pas si simple

  En fait, j'ai un peu triché en disant que les corps bougent toujours d'une manière qui minimise l'action. Même si cela est vrai dans de nombreux cas, il est possible de penser à des situations dans lesquelles l’action n’est clairement pas minime.

  Par exemple, prenez une balle et placez-la dans espace vide. A une certaine distance de celui-ci, nous placerons un mur élastique. Disons que nous voulons que la balle finisse au même endroit après un certain temps. Avec un tel conditions données le ballon peut se déplacer de deux manières différentes. Premièrement, il peut simplement rester en place. Deuxièmement, vous pouvez le pousser vers le mur. Le ballon volera vers le mur, rebondira dessus et reviendra. Il est clair qu’on peut le pousser à une vitesse telle qu’il revient exactement au bon moment.

  Quand j'étais à l'école, notre professeur de physique, Bader, m'a appelé un jour après les cours et m'a dit : « Tu as l'air d'être terriblement fatigué de tout ; écoutez une chose intéressante. Et il m'a dit quelque chose que j'ai trouvé vraiment fascinant. Même aujourd’hui, même si beaucoup de temps s’est écoulé depuis, cela continue de me fasciner. Et chaque fois que je me souviens de ce que j’ai dit, je me remets au travail. Et cette fois, en préparant le cours, je me suis retrouvé à analyser à nouveau les mêmes choses. Et, au lieu de préparer le cours, j'ai pris la décision nouvelle tâche. Le sujet dont je parle est principe de moindre action.
  
  
  « Voici ce que m'a dit alors mon professeur Bader : « Supposons, par exemple, que vous ayez une particule dans le champ gravitationnel ; cette particule, sortie de quelque part, se déplace librement ailleurs vers un autre point. Vous l'avez lancé, disons, vers le haut, et il s'est envolé puis est tombé.

  Il lui a fallu un certain temps pour voyager du point de départ au point final. Essayez maintenant un autre mouvement. Qu'elle se déplace « d'ici à ici » non plus comme avant, mais comme ceci :

  Mais je me suis quand même retrouvé au bon endroit, au même moment qu’avant.

  "Et donc", a poursuivi le professeur, "si vous calculez l'énergie cinétique à chaque instant le long du trajet de la particule, soustrayez-en l'énergie potentielle et intégrez la différence sur tout le temps où le mouvement s'est produit, vous verrez que le numéro que vous obtiendrez sera plus, que pour le véritable mouvement des particules.

  En d'autres termes, les lois de Newton peuvent être formulées non pas comme F = ma, mais comme suit : l'énergie cinétique moyenne moins l'énergie potentielle moyenne atteint sa valeur maximale. valeur la plus basse sur la trajectoire le long de laquelle un objet se déplace réellement d'un endroit à un autre.
  

  Je vais essayer de vous expliquer cela un peu plus clairement.
  Si nous prenons le champ gravitationnel et désignons la trajectoire de la particule x(t), Où X- la hauteur au-dessus du sol (s'en contentons pour l'instant d'une seule dimension ; que la trajectoire ne s'étende que de haut en bas, et non sur les côtés), alors l'énergie cinétique sera oui 2 m(dx/ dt) 2 , un l'énergie potentielle à un moment arbitraire sera égale à mgx.
  
  
  Maintenant, pour un moment de mouvement le long de la trajectoire, je prends la différence entre cinétique et énergie potentielle et intégrer dans le temps du début à la fin. Laissez au moment initial du temps t x le mouvement a commencé à une certaine hauteur et s'est terminé à l'instant t 2 à une autre certaine hauteur.

  Alors l'intégrale est égale à ∫ t2 t1 dt

  Le vrai mouvement se produit le long d’une certaine courbe (en fonction du temps, c’est une parabole) et conduit à une certaine valeur intégrale. Mais tu peux avantmettre imaginez un autre mouvement : d’abord une forte hausse, puis des fluctuations bizarres.

  Vous pouvez calculer la différence entre les énergies potentielles et cinétiques sur ce chemin... ou sur n'importe quel autre. Et le plus étonnant, c’est que le vrai chemin est celui le long duquel cette intégrale est la plus petite.
  Vérifions ça. Examinons d’abord le cas suivant : particule libre il n’y a aucune énergie potentielle. Ensuite, la règle dit que lorsqu'on passe d'un point à un autre dans un temps donné, l'intégrale de l'énergie cinétique doit être la plus petite. Cela signifie que la particule doit se déplacer uniformément. (Et c’est exact, vous et moi savons que la vitesse d’un tel mouvement est constante.) Pourquoi uniformément ? Voyons cela. S'il en était autrement, alors parfois la vitesse de la particule dépasserait la moyenne, et parfois elle serait inférieure, et la vitesse moyenne serait la même, car la particule devrait aller « d'ici à ici » en l'heure convenue. Par exemple, si vous devez vous rendre de la maison à l'école en voiture certaine heure, alors vous pouvez le faire de différentes manières : vous pouvez d'abord conduire comme un fou, et à la fin ralentir, ou conduire à la même vitesse, ou d'abord vous pouvez même aller dans la direction opposée, et ensuite seulement vous tourner vers l'école, etc. Dans tous les cas, la vitesse moyenne doit bien entendu être la même - le quotient de la distance entre le domicile et l'école divisé par le temps. Mais même avec ça vitesse moyenne parfois vous alliez trop vite et parfois trop lentement. Et moyen carré ce qui s'écarte de la moyenne est, comme on le sait, toujours plus grand que le carré de la moyenne ; Cela signifie que l'intégrale de l'énergie cinétique lors des fluctuations de la vitesse de déplacement sera toujours supérieure à celle lors d'un déplacement à vitesse constante. Vous voyez que l'intégrale atteindra un minimum lorsque la vitesse est constante (en l'absence de forces). La bonne façon est la suivante.
  

  Un objet projeté vers le haut dans un champ de gravité s’élève d’abord rapidement, puis de plus en plus lentement. Cela se produit parce qu'il possède également de l'énergie potentielle et que sa valeur minimale devrait atteindre une foisness entre les énergies cinétiques et potentielles. Puisque l'énergie potentielle augmente à mesure que vous montez, alors moins différence Cela fonctionnera si vous atteignez le plus rapidement possible les hauteurs où l’énergie potentielle est élevée. Ensuite, en soustrayant ce potentiel élevé de l’énergie cinétique, on obtient une diminution de la moyenne. Ainsi, le chemin qui monte et fournit une bonne part négative au détriment de l’énergie potentielle est plus rentable.

  C'est tout ce que mon professeur m'a dit, car il était un très bon professeur et savait quand il était temps d'arrêter. Moi-même, hélas, je ne suis pas comme ça. C'est difficile pour moi de m'arrêter à temps. Et donc, au lieu de simplement susciter votre intérêt avec mon histoire, je veux vous intimider, je veux vous rendre malade de la complexité de la vie - je vais essayer de prouver ce que j'ai raconté. Le problème mathématique que nous allons résoudre est très difficile et unique. Il y a une certaine quantité S, appelé action. Elle est égale à l’énergie cinétique moins l’énergie potentielle intégrée dans le temps :

  Mais d’un autre côté, on ne peut pas aller trop vite ni aller trop haut, car cela nécessiterait trop d’énergie cinétique. Vous devez vous déplacer suffisamment vite pour monter et descendre dans le temps imparti dont vous disposez. Vous ne devriez donc pas essayer de voler trop haut, mais simplement atteindre un niveau raisonnable. En conséquence, il s'avère que la solution est une sorte d'équilibre entre le désir d'obtenir autant d'énergie potentielle que possible et le désir de réduire autant que possible la quantité d'énergie cinétique - c'est le désir d'obtenir une réduction maximale dans la différence entre les énergies cinétiques et potentielles.
  

  N'oubliez pas ce p.e. et k.e. — les deux fonctions du temps. Pour toute nouvelle voie envisageable, cette action prend son sens spécifique. Le problème mathématique est de déterminer quelle courbe a ce nombre inférieur aux autres.

  Tu diras : "Oh, c'est facile exemple courant au maximum et au minimum. Il faut calculer l’action, la différencier et trouver le minimum.

  Mais attendez. Habituellement, nous avons une fonction d'une variable et devons trouver la valeur variable, auquel la fonction devient la plus petite ou la plus grande. Disons qu'il y a une tige chauffée au milieu. La chaleur s'y diffuse et sa propre température s'établit en chaque point de la tige. Il faut trouver le point où il est le plus élevé. Mais nous parlons de quelque chose de complètement différent - tous les chemins dans l'espace répond à son numéro, et est censé trouver celui-là chemin, pour lesquels ce nombre est minime. Il s’agit d’un domaine mathématique complètement différent. Ce n'est pas un calcul ordinaire, mais variationnel(c'est comme ça qu'ils l'appellent).

  Ce domaine des mathématiques présente de nombreux problèmes qui lui sont propres. Disons qu'un cercle est généralement défini comme lieu des points dont les distances à un point donné sont les mêmes, mais un cercle peut être défini différemment : c'est l'une des courbes longueur donnée, qui se limite plus grande superficie. Toute autre courbe de même périmètre délimite une aire plus petite que le cercle. Donc si vous vous fixez la tâche : trouver la courbe périmètre donné, limitant la plus grande surface, nous aurons alors un problème de calcul des variations, et non du calcul auquel vous êtes habitué.

  On veut donc prendre l'intégrale sur le chemin parcouru par le corps. Faisons-le de cette façon. Le tout est d'imaginer qu'il existe un vrai chemin et que toute autre courbe que nous dessinons n'est pas le vrai chemin, de sorte que si nous calculons l'action pour cela, nous obtiendrons un nombre supérieur à celui que nous obtenons pour l'action correspondante. à la vraie manière.
  

  La tâche est donc de trouver le vrai chemin. Où se trouve-t-il ? Une solution, bien sûr, serait de compter l'action sur des millions et des millions de chemins, puis de voir quel chemin a la plus petite action. C'est la voie dans laquelle l'action est minime et sera réelle.

  Cette méthode est tout à fait possible. Cependant, cela peut être simplifié. S'il existe une quantité qui a un minimum (par rapport aux fonctions ordinaires, par exemple la température), alors l'une des propriétés du minimum est que lorsqu'on s'en éloigne à distance d'abord d'ordre de petitesse, la fonction ne s'écarte de sa valeur minimale que du montant deuxième commande. Et à tout autre endroit de la courbe, un décalage d’une petite distance modifie également la valeur de la fonction d’une valeur du premier ordre de petitesse. Mais au minimum, de légères déviations latérales n’entraînent pas de changement de fonction en première approximation.
  

  C'est cette propriété que nous allons utiliser pour calculer le chemin réel.

  Si le chemin est correct, alors une courbe légèrement différente de celui-ci ne conduira pas, en première approximation, à un changement dans l'ampleur de l'action. Tous les changements, si c'était vraiment le minimum, n'apparaîtront qu'en seconde approximation.

  C’est facile à prouver. Si, avec un certain écart par rapport à la courbe, des changements se produisent au premier ordre, alors ces changements sont en vigueur proportionnel déviation. Ils sont susceptibles d’augmenter l’effet ; sinon ce ne serait pas un minimum. Mais une fois les changements proportionnel déviation, puis changer le signe de l’écart réduira l’effet. Il s'avère que lorsque vous déviez dans une direction, l'effet augmente et lorsque vous déviez dans la direction opposée, il diminue. La seule possibilité pour que cela soit réellement un minimum est qu'en première approximation, aucun changement ne se produise et que les changements soient proportionnels au carré de l'écart par rapport à la trajectoire réelle.

  Nous allons donc suivre le chemin suivant : notons par x(t) (avec une ligne en dessous) le vrai chemin est celui que l'on veut trouver. Faisons un essai x(t), différant de celui souhaité d'une petite quantité, que nous désignons η (t).
  

  L'idée est que si l'on compte l'action S en route x(t), alors la différence entre ça S et par l'action que nous avons calculée pour le chemin x(t) (pour plus de simplicité il sera désigné S), ou la différence entre S_ Et S, devrait être une première approximation η zéro. Ils peuvent différer au second ordre, mais au premier la différence doit être nulle.

  Et cela doit être respecté pour tout le monde η . Cependant, pas tout à fait pour tout le monde. La méthode nécessite de prendre en compte uniquement les chemins qui commencent et se terminent tous à la même paire de points, c'est-à-dire que chaque chemin doit commencer à un certain point à la fois. t 1 et terminer à un autre moment précis en ce moment t 2 . Ces points et moments sont enregistrés. Donc notre fonction d) (écart) doit être nulle aux deux extrémités : η (t 1 )= 0 Et η (t2)=0. Dans ces conditions, notre problème mathématique devient complètement défini.

  Si vous ne connaissiez pas le calcul, vous pourriez faire la même chose pour trouver le minimum d'une fonction ordinaire. f(x). Pensez-vous à ce qui se passerait si vous preniez f(x) et ajouter à X petite quantité h, et je dirais que l'amendement à f(x) en première commande h doit être au minimum égal à zéro. Voudrais-tu m'installer x+h au lieu de X et étendrait j(x+h) jusqu'à la première puissance h. . ., en un mot, répéterait tout ce que nous entendons faire avec η .
  

  

  Si nous y regardons maintenant attentivement, nous verrons que les deux premiers termes écrits ici correspondent à cette action S, que j'écrirais pour le vrai chemin recherché X. Je veux concentrer votre attention sur le changement S, c'est-à-dire sur la différence entre S et ainsi S_, ce qui résulterait du vrai chemin. Nous écrirons cette différence sous la forme BS et appelons ça une variante S. Jeter le « deuxième et commandes plus élevées", on obtient pour σS
  

  Maintenant, la tâche ressemble à ceci. Voici devant moi une intégrale. Je ne sais pas encore à quoi ça ressemble, mais je sais avec certitude que, quoi η Quoi qu’il en soit, cette intégrale doit être égale à zéro. « Eh bien, pourriez-vous penser, la seule façon pour que cela se produise est que le multiplicateur augmente. η était égal à zéro. » Mais qu’en est-il du premier terme, où il y a d η / dt? Vous dites : « Si η se transforme en rien, alors son dérivé est le même rien ; Cela signifie que le coefficient à dv\/ dt doit également être nul. Eh bien, ce n'est pas tout à fait vrai. Ce n'est pas tout à fait vrai car entre l'écart η et son dérivé il y a une connexion ; ils ne sont pas complètement indépendants parce que η (t) doit être nul et t1 et à t 2 .
  
  
  Lors de la résolution de tous les problèmes de calcul des variations, le même principe général est toujours utilisé. Vous déplacez légèrement ce que vous souhaitez faire varier (de la même manière que nous l'avons fait en ajoutant η ), coup d'œil aux termes du premier ordre, alors arrangez tout pour que vous obteniez une intégrale sous la forme suivante : « décalage (η ), multiplié par ce qu'il obtient », mais pour qu'il ne contienne aucun dérivé de η (Non d η / dt). Il faut absolument tout transformer pour qu'il reste « quelque chose », multiplié par η . Vous comprendrez maintenant pourquoi c’est si important. (Il existe des formules qui vous diront comment, dans certains cas, vous pouvez faire cela sans aucun calcul ; mais elles ne sont pas si générales qu'elles méritent d'être mémorisées ; il est préférable de faire les calculs comme nous le faisons.)

  Comment puis-je refaire un pénis d η / dt, pour qu'il apparaisse η ? Je peux y parvenir en intégrant pièce par pièce. Il s'avère que dans le calcul des variations, l'essentiel est de décrire la variation S puis intégrer par parties pour que les dérivées de η disparu. Dans tous les problèmes dans lesquels des dérivées apparaissent, la même astuce est appliquée.

  Souviens-toi principe général intégration par parties. Si vous avez une fonction arbitraire f multipliée par d η / dt et intégré à t, alors vous écrivez la dérivée de η /t
  

  

  Les limites de l'intégration doivent être substituées dans le premier terme t1 Et t 2 . Puis sous l'intégrale je recevrai le terme d'intégration par parties et le dernier terme qui reste inchangé lors de la transformation.
  Et maintenant, ce qui arrive toujours se produit : la partie intégrée disparaît. (Et s'il ne disparaît pas, il faudra alors reformuler le principe en ajoutant des conditions qui assurent cette disparition !) Nous l'avons déjà dit. η aux extrémités du chemin doit être égal à zéro. Après tout, quel est notre principe ? Le fait est que l'action est minime à condition que la courbe variée commence et se termine à des points sélectionnés. Cela signifie que η (t1)=0 et η (t2)=0. Le terme intégré est donc égal à zéro. Nous rassemblons le reste des membres et écrivons
  

  Variation S a maintenant pris la forme que nous voulions lui donner : quelque chose est entre parenthèses (notons-le F), et tout cela est multiplié par η (t) et intégré à partir de t t à t 2 .
  Il s'est avéré que l'intégrale d'une expression multipliée par η (t), toujours égal à zéro :
  

  Y a-t-il une fonction de t; je le multiplie par η (t) et intégrez-le du début à la fin. Et quoi que ce soit η, J'obtiens zéro. Cela signifie que la fonction F(t) égal à zéro. En général, c'est évident, mais juste au cas où, je vais vous montrer une façon de le prouver.
  

  Soit η (t) Je choisirai quelque chose qui soit égal à zéro partout, pour tous t, sauf pour une valeur présélectionnée t. Il reste nul jusqu'à ce que j'y arrive t, s Puis il sursaute un instant et retombe immédiatement. Si vous prenez l'intégrale de ce m) multipliée par une fonction F, le seul endroit où vous obtiendrez quelque chose de non nul est celui où η (t) bondi; et vous obtiendrez la valeur F à ce stade sur l'intégrale sur le saut. L'intégrale sur le saut lui-même n'est pas égale à zéro, mais après multiplication par F ça devrait donner zéro. Cela signifie que la fonction à l'endroit où il y a eu un saut doit s'avérer nulle. Mais le saut aurait pu être fait n’importe où ; Moyens, F doit être nul partout.

  On voit que si notre intégrale est égale à zéro pour tout η , alors le coefficient à η devrait aller à zéro. L'intégrale d'action atteint un minimum le long du chemin qui satisfera une équation différentielle aussi complexe :
  

  Ce n'est en fait pas si compliqué ; vous l'avez déjà rencontré. C'est juste F=ma. Le premier terme est la masse multipliée par l’accélération ; la seconde est la dérivée de l'énergie potentielle, c'est-à-dire la force.

  Nous avons donc montré (au moins pour un système conservateur) que le principe de moindre action conduit à la bonne réponse ; il déclare que le chemin qui a l'action minimale est le chemin qui satisfait à la loi de Newton.

  Une remarque supplémentaire doit être faite. je ne l'ai pas prouvé minimum. C'est peut-être le maximum. En fait, cela ne doit pas nécessairement être le minimum. Ici, tout est pareil que dans le « principe du temps le plus court », dont nous avons discuté en étudiant l'optique. Là aussi, nous avons d'abord parlé du temps « le plus court ». Cependant, il s'est avéré qu'il existe des situations dans lesquelles ce délai n'est pas nécessairement le « le plus court ». Le principe fondamental est que pour tout écarts de premier ordre depuis chemin optique changements dans le temps serait égal à zéro ; C'est la même histoire ici. Par « minimum », nous entendons en réalité que, au premier ordre de petitesse, la variation de quantité S lorsque les écarts par rapport au chemin doivent être égaux à zéro. Et ce n’est pas forcément le « minimum ».

  Je veux maintenant passer à quelques généralisations. Tout d’abord, toute cette histoire pourrait se faire en trois dimensions. Au lieu de simple X j'aurais alors x, y Et z comme fonctions t, et l'action semblerait plus compliquée. Lorsque vous vous déplacez en 3D, vous devez utiliser toute l'énergie cinétique) : (t/2), multiplié par le carré de la vitesse totale. Autrement dit
  

  De plus, l’énergie potentielle est désormais une fonction x, y Et z. Que pouvez-vous dire du chemin ? Le chemin a une courbe vue générale dans l'espace; ce n'est pas si facile à dessiner, mais l'idée reste la même. Et η ? Eh bien, η a également trois composantes. Le chemin peut être décalé aussi bien en x qu'en oui, et par z, ou dans les trois directions simultanément. Donc η maintenant un vecteur. Cela ne crée pas de complications majeures. Seules les variations doivent être égales à zéro première commande le calcul peut alors être effectué séquentiellement avec trois équipes. D'abord, tu peux bouger ts seulement dans le sens X et dire que le coefficient devrait tendre vers zéro. Vous obtenez une équation. Ensuite, nous déménagerons ts dans la direction à et nous obtenons le deuxième. Puis avancez dans la direction z et nous obtenons le troisième. Vous pouvez tout faire, si vous le souhaitez, dans un ordre différent. Quoi qu’il en soit, un trio d’équations se pose. Mais la loi de Newton, c’est aussi trois équations en trois dimensions, une pour chaque composante. Il ne vous reste plus qu'à constater par vous-même que tout cela fonctionne en trois dimensions (il n'y a pas beaucoup de travail ici). À propos, vous pouvez prendre n'importe quel système de coordonnées, polaire, n'importe lequel, et obtenir immédiatement les lois de Newton par rapport à ce système, en considérant ce qui se passe lorsqu'un décalage se produit. η selon un rayon ou selon un angle, etc.

  La méthode peut être généralisée à un nombre arbitraire de particules. Si, disons, vous avez deux particules et qu'il y a des forces agissant entre elles et qu'il existe une énergie potentielle mutuelle, alors vous ajoutez simplement leurs énergies cinétiques et soustrayez l'énergie potentielle d'interaction de la somme. Que variez-vous ? Chemins les deux particules. Alors pour deux particules se déplaçant dans trois dimensions, six équations apparaissent. Vous pouvez faire varier la position de la particule 1 dans la direction X, dans la direction à et vers z, et faites de même avec la particule 2, il y a donc six équations. Et c'est comme ça que ça devrait être. Trois équations déterminent l'accélération de la particule 1 en raison de la force agissant sur elle, et les trois autres déterminent l'accélération de la particule 2 en raison de la force agissant sur elle. Suivez toujours les mêmes règles du jeu et vous obtiendrez la loi de Newton pour un nombre arbitraire de particules.

  J'ai dit que nous obtiendrions la loi de Newton. Ce n'est pas tout à fait vrai, car la loi de Newton inclut également des forces non conservatrices, telles que la friction. Newton soutenait que que est égal à n'importe quel F. Le principe de moindre action n'est valable que pour conservateur systèmes, tels que toutes les forces peuvent être obtenues à partir de fonction potentielle. Mais vous savez qu’au niveau microscopique, c’est-à-dire au niveau physique le plus profond, les forces non conservatrices n’existent pas. Des forces non conservatrices (telles que la friction) apparaissent uniquement parce que nous négligeons les effets microscopiques complexes : il y a tout simplement trop de particules à analyser. Fondamental mêmes lois peutêtre exprimé comme le principe de moindre action.

  Permettez-moi de passer à d’autres généralisations. Supposons que nous nous intéressions à ce qui se passera lorsque la particule se déplacera de manière relativiste. Jusqu’à présent, nous n’avons pas obtenu l’équation relativiste correcte du mouvement ; F=ma n'est vrai que dans les mouvements non relativistes. La question se pose : existe-t-il un principe correspondant de moindre action dans le cas relativiste ? Oui, ça existe. La formule dans le cas relativiste est :
  

  La première partie de l'intégrale d'action est le produit de la masse au repos t 0 sur à partir de 2 et à l'intégrale de la fonction vitesse √ (1-v2/c 2 ). Ensuite, au lieu de soustraire l’énergie potentielle, nous avons des intégrales du potentiel scalaire φ et du potentiel vectoriel A fois v. Bien entendu, seules les forces électromagnétiques sont prises en compte ici. Tous les champs électriques et magnétiques sont exprimés en termes de φ et A. Cette fonction d'action donne une théorie complète du mouvement relativiste. particule individuelle dans un champ électromagnétique.

  Bien sûr, vous devez comprendre que partout où j'écris v, avant de faire des calculs, vous devez remplacer dx/ dt au lieu de v x etc. D'ailleurs, là où j'ai simplement écrit x, y, z, il faut imaginer les points en ce moment t: x(t), oui(t), z(t). En fait, ce n'est qu'après de telles substitutions et substitutions de v que vous obtiendrez une formule pour l'action d'une particule relativiste. Laissez les plus expérimentés d’entre vous essayer de prouver que cette formule d’action donne réellement les équations de mouvement correctes pour la théorie de la relativité. Laissez-moi juste vous conseiller de commencer par écarter A, c'est-à-dire de vous passer des champs magnétiques pour l'instant. Ensuite vous devrez obtenir les composantes de l’équation du mouvement dp/dt=—qVφ, où, comme vous vous en souvenez probablement, p=mv√(1-v 2 /c 2).

  Inclure en considération potentiel vectoriel Et c'est beaucoup plus difficile. Les variations deviennent alors incomparablement plus complexes. Mais à la fin, le pouvoir s'avère égal à ça, qui suit : g(E+v × B). Mais amusez-vous vous-même.

  Je voudrais souligner que dans cas général(par exemple, dans formule relativiste) sous l'intégrale en action il n'y a plus de différence entre les énergies cinétique et potentielle. Cela ne convenait que dans une approximation non relativiste. Par exemple, membre m o c 2√(1-v 2 /c 2)- ce n'est pas comme ça qu'ils appellent ça énergie cinétique. La question de savoir quelle devrait être l'action à entreprendre dans un cas particulier peut être tranchée après quelques essais et erreurs. C’est le même type de problème que celui de déterminer quelles devraient être les équations du mouvement. Il vous suffit de jouer avec les équations que vous connaissez et de voir si elles peuvent être écrites comme le principe de moindre action.

  Encore une remarque sur la terminologie. Cette fonction qui s'intègre au fil du temps pour obtenir une action S, appelé LagrangienΛ. C'est une fonction qui dépend uniquement des vitesses et des positions des particules. Ainsi le principe de moindre action s’écrit aussi sous la forme
  

  où sous X je Et v je toutes les composantes des coordonnées et des vitesses sont implicites. Si jamais vous entendez quelqu'un parler du "Lagrangien", il parle de la fonction utilisée pour obtenir S. Pour un mouvement relativiste dans un champ électromagnétique
  

  De plus, je dois noter que les gens les plus méticuleux et les plus pédants n'appellent pas S action. C'est ce qu'on appelle « la première fonction principale de Hamilton ». Mais donner une conférence sur le « principe du moindre premier » fonction principale Hamilton" était au-dessus de mes forces. Je l'ai appelé "action". Et d’ailleurs, de plus en plus de gens appellent cela « l’action ». Vous voyez, historiquement, l’action a été appelée autrement, ce qui n’est pas aussi utile à la science, mais je pense qu’il est plus logique de changer la définition. Maintenant, vous aussi commencerez à appeler la nouvelle fonction une action, et bientôt tout le monde commencera à l'appeler par ce simple nom.

  Maintenant, je veux vous dire quelque chose sur notre sujet qui est similaire au raisonnement que j'ai eu sur le principe du temps le plus court. Il y a une différence dans l'essence même de la loi qui dit qu'une intégrale prise d'un point à un autre a un minimum - la loi qui nous dit quelque chose sur l'ensemble du chemin à la fois, et la loi qui dit que lorsque vous vous déplacez, alors Cela signifie qu’il existe une force conduisant à une accélération. La deuxième approche vous rend compte de chacun de vos pas, elle trace votre chemin pouce par pouce, et la première donne immédiatement une déclaration générale sur l'ensemble du chemin parcouru. En parlant de lumière, nous avons évoqué le lien entre ces deux approches. Maintenant, je veux vous expliquer pourquoi il devrait y avoir lois différentielles, s’il existe un tel principe, c’est le principe de moindre action. La raison est la suivante : considérons le chemin réellement parcouru dans l’espace et dans le temps. Comme précédemment, nous nous contenterons d'une seule mesure, afin de pouvoir tracer un graphique de la dépendance X depuis t. Sur le vrai chemin S atteint un minimum. Supposons que nous ayons ce chemin et qu'il passe par un point UN l'espace et le temps et via un autre point voisin b.
  

  Maintenant, si l’intégrale entière de t1 à t 2 a atteint un minimum, il faut que l'intégrale le long d'une petite section de a à b était également minime. Cela ne peut pas faire partie de UNà b au moins un peu plus que le minimum. Sinon, vous pourriez déplacer la courbe d'avant en arrière dans cette section et réduire légèrement la valeur de l'intégrale entière.

  Cela signifie que n’importe quelle partie du chemin doit également fournir un minimum. Et cela est vrai pour toutes les petites portions du chemin. Par conséquent, le principe selon lequel le chemin entier doit donner un minimum peut être formulé en disant qu'un segment infinitésimal du chemin est aussi une courbe sur laquelle l'action est minimale. Et si l'on prend un segment de chemin assez court - entre des points très proches les uns des autres UN Et b,- alors peu importe la façon dont le potentiel change d'un point à l'autre loin de cet endroit, car, en parcourant tout votre segment court, vous ne quittez presque jamais cet endroit. La seule chose que vous devez considérer est le changement de premier ordre de la petitesse du potentiel. La réponse ne dépend peut-être que de la dérivée du potentiel, et non du potentiel ailleurs. Ainsi, une déclaration sur la propriété du chemin entier dans son ensemble devient une déclaration sur ce qui se passe sur une courte section du chemin, c'est-à-dire une déclaration différentielle. Et cette formulation différentielle inclut les dérivées du potentiel, c’est-à-dire la force en un point donné. Il s'agit d'une explication qualitative du lien entre le droit dans son ensemble et le droit différentiel.

  Lorsque nous parlions de lumière, nous abordions également la question : comment une particule trouve-t-elle le bon chemin ? AVEC point différentiel C’est facile à comprendre d’un point de vue. À chaque instant, la particule subit une accélération et sait seulement ce qu’elle est censée faire à ce moment-là. Mais tous vos instincts de cause à effet se réveillent lorsque vous entendez qu’une particule « décide » du chemin à suivre, en s’efforçant d’obtenir un minimum d’action. N'est-elle pas en train de « renifler » les chemins voisins, de deviner à quoi ils mèneront - plus ou moins d'action ? Lorsque nous avons placé un écran sur le chemin de la lumière pour que les photons ne puissent pas essayer tous les chemins, nous avons découvert qu'ils ne pouvaient pas décider quel chemin prendre, et nous avons obtenu le phénomène de diffraction.

  Mais est-ce également vrai pour la mécanique ? Est-il vrai qu'une particule ne se contente pas de « va » la bonne manière», mais reconsidère toutes les autres trajectoires imaginables ? Et si, en mettant des obstacles sur son chemin, nous ne lui permettons pas de regarder vers l'avant, alors nous obtiendrons une sorte d'analogue du phénomène de diffraction ? Le plus merveilleux dans tout cela, c’est que tout se passe réellement ainsi. C’est exactement ce que disent les lois de la mécanique quantique. Notre principe de moindre action n’est donc pas pleinement formulé. Cela ne consiste pas dans le fait que la particule choisit la voie de moindre action, mais dans le fait qu'elle « sent » toutes les voies voisines et choisit celle le long de laquelle l'action est minime, et la méthode de ce choix est similaire à la la façon dont la lumière sélectionne le temps le plus court. Vous vous souvenez que la façon dont la lumière sélectionne le temps le plus court est la suivante : si la lumière suit un chemin qui nécessite un temps différent, elle arrivera avec une phase différente. Et l’amplitude totale à un moment donné est la somme des contributions d’amplitude pour tous les chemins par lesquels la lumière peut l’atteindre. Tous ces chemins dont les phases diffèrent fortement ne donnent rien après addition. Mais si vous parvenez à trouver toute la séquence de trajets dont les phases sont presque les mêmes, alors les petites contributions s'additionneront et au point d'arrivée l'amplitude totale recevra une valeur notable. Le chemin le plus important est celui à proximité duquel se trouvent de nombreux chemins proches qui donnent la même phase.

  Exactement la même chose se produit en mécanique quantique. La mécanique quantique complète (non relativiste et négligeant le spin des électrons) fonctionne comme ceci : la probabilité qu'une particule quitte un point 1 à l'heure actuelle t1, atteindra le point 2 à l'heure actuelle t 2 , égale au carré de l'amplitude de probabilité. L'amplitude totale peut s'écrire comme la somme des amplitudes de tous moyens possibles- pour tout itinéraire d'arrivée. Pour n'importe qui x(t), ce qui pourrait se produire pour n’importe quelle trajectoire imaginaire imaginable, l’amplitude doit être calculée. Ensuite, ils doivent tous être pliés. Que prenons-nous comme amplitude de probabilité d’un certain chemin ? Notre intégrale d’action nous indique quelle devrait être l’amplitude d’un chemin individuel. L'amplitude est proportionnelle e tS/h, Où S - une action dans cette voie. Cela signifie que si l’on représente la phase d’amplitude sous la forme nombre complexe, alors l'angle de phase sera égal S/ h. Action S a la dimension de l'énergie dans le temps, et la constante de Planck a la même dimension. C’est la constante qui détermine quand la mécanique quantique est nécessaire.

  Et c'est comme ça que tout fonctionne. Laissez agir pour tous les chemins S sera très grand par rapport au nombre h. Supposons qu'un chemin mène à une certaine valeur d'amplitude. La phase du chemin adjacent sera complètement différente, car avec un énorme S même des changements mineurs S changer brusquement de phase (après tout h extrêmement peu). Cela signifie que les chemins adjacents éteignent généralement leurs contributions lorsqu'ils sont ajoutés. Et ce n'est pas vrai dans un seul domaine - celui où le chemin et son voisin - tous deux, en première approximation, ont la même phase (ou, plus précisément, presque la même action, variant au sein de l'espace). h). Seuls ces chemins sont pris en compte. Et dans le cas limite, lorsque la constante de Planck h tend vers zéro, les lois correctes de la mécanique quantique peuvent être résumées en disant : « Oubliez toutes ces amplitudes de probabilité. La particule se déplace réellement manière spéciale- exactement selon lequel S en première approximation ne change pas." C'est le lien entre le principe de moindre action et mécanique quantique. Le fait que la mécanique quantique puisse être formulée de cette manière a été découvert en 1942 par un élève du même professeur, M. Bader, dont je vous ai parlé. [La mécanique quantique a été initialement formulée en utilisant équation différentielle pour l'amplitude (Schrödinger), et également en utilisant des mathématiques matricielles (Heisenberg).]

  Maintenant, je veux parler d'autres principes de minimum en physique. Il existe de nombreux principes intéressants de ce type. Je ne les énumérerai pas tous, mais je n'en citerai qu'un de plus. Plus tard, quand nous arriverons à un phénomène physique, pour lequel il existe un excellent principe minimum, je vais vous en parler. Je veux maintenant montrer qu'il n'est pas nécessaire de décrire l'électrostatique en utilisant une équation différentielle pour le champ ; on peut plutôt exiger que certaines intégrales aient un maximum ou un minimum. Pour commencer, prenons le cas où la densité de charge est connue partout, mais il faut trouver le potentiel φ en tout point de l'espace. Vous savez déjà que la réponse devrait être la suivante :
  

  Une autre façon de dire la même chose est d'évaluer l'intégrale U*
  

  c'est une intégrale de volume. Elle est prise dans tout l'espace. Avec une distribution de potentiel correcte φ (x, ouais,z) cette expression atteint son minimum.

  Nous pouvons montrer que ces deux affirmations concernant l’électrostatique sont équivalentes. Supposons que nous ayons choisi une fonction arbitraire φ. Nous voulons montrer que lorsque nous prenons φ comme valeur correcte potentiel _φ plus un petit écart f, alors dans le premier ordre de petitesse la variation de U* sera égal à zéro. Alors on écrit
  

  ici φ est ce que nous recherchons ; mais nous allons faire varier φ pour voir ce qu'il doit être pour que la variation U* s'est avéré être du premier ordre de petitesse. Au premier mandat U* nous devons écrire
  

  Cela doit être intégré par x, y et par z. Et ici, la même astuce s'impose : pour se débarrasser de df/ dx, nous intégrerons plus X en parties. Cela conduira à une différenciation supplémentaireφ par rapport à X. C'est la même idée de base avec laquelle nous nous sommes débarrassés des dérivés en ce qui concerne t. Nous utilisons l'égalité
  

  Le terme intégré est nul car nous prenons f nul à l’infini. (Cela correspond à η qui disparaît lorsque t 1 Et t 2 . Notre principe se formule donc plus précisément ainsi : U* pour la droite φ moins que pour tout autre φ(x, y,z), ayant les mêmes valeurs à l'infini.) Ensuite on fera de même avec à et avec z. Notre intégrale ΔU* se transformera en
  

  Pour que cette variation soit égale à zéro pour tout f arbitraire, le coefficient de f doit être égal à zéro. Moyens,
  

  Nous revenons à notre ancienne équation. Cela signifie que notre proposition « minimale » est correcte. Elle peut être généralisée si les calculs sont légèrement modifiés. Revenons en arrière et intégrons partie par partie, sans tout décrire composant par composant. Commençons par écrire l'égalité suivante :
  

  En différenciant le côté gauche, je peux montrer qu’il est exactement égal au côté droit. Cette équation convient pour effectuer une intégration par parties. Dans notre intégrale ΔU* nous remplaçons Vφ*Vfn et fV 2 φ+V*(fVφ) puis intégrez-le sur le volume. Le terme à divergence après intégration sur le volume est remplacé par une intégrale sur la surface :
  

  Et puisque nous intégrons sur tout l’espace, la surface de cette intégrale se situe à l’infini. Cela signifie f=0, et nous obtenons le même résultat.

  Ce n'est que maintenant que nous commençons à comprendre comment résoudre les problèmes dans lesquels nous nous ne savons pas où se trouvent toutes les charges. Ayons des conducteurs sur lesquels les charges sont réparties d'une manière ou d'une autre. Si les potentiels sur tous les conducteurs sont fixes, alors notre principe minimum peut toujours s'appliquer. Intégration dans U* nous tracerons uniquement le long de la zone située à l'extérieur de tous les conducteurs. Mais comme on ne peut pas changer (φ) sur les conducteurs, alors sur leur surface f = 0, et l'intégrale de surface
  

  doivent être effectués uniquement dans les espaces entre les conducteurs. Et bien sûr, nous obtenons à nouveau l'équation de Poisson
  

  Nous avons donc montré que notre intégrale originale U* atteint un minimum même lorsqu'il est calculé dans l'espace entre les conducteurs, dont chacun est à un potentiel fixe [cela signifie que chaque fonction de test φ(g, oui,z) doit être égal au potentiel du conducteur spécifié lorsque (x, y,z) - points de la surface conductrice]. Il y a un intéressant cas particulier, lorsque les charges sont localisées uniquement sur les conducteurs. Alors
  

  et notre principe minimum nous dit que dans le cas où chaque conducteur a son propre potentiel prédéterminé, les potentiels dans les espaces entre eux sont ajustés pour que l'intégrale U* s'avère être le plus petit possible. De quel genre d’intégrale s’agit-il ? Le terme Vφ est le champ électrique. Cela signifie que l’intégrale est l’énergie électrostatique. Le champ correct est le seul qui, parmi tous les champs obtenus sous forme de gradient de potentiel, possède l'énergie totale la plus faible.

  J'aimerais utiliser ce résultat pour résoudre un problème particulier et vous montrer que toutes ces choses ont un réel impact. signification pratique. Supposons que je prenne deux conducteurs sous la forme d'un condensateur cylindrique.
  

  Le conducteur interne a un potentiel égal, disons, à V, et pour l'externe - zéro. Soit le rayon du conducteur intérieur égal à UN, et externe - b. Nous pouvons maintenant supposer que la répartition des potentiels entre eux est n'importe lequel. Mais si on prend correct valeur de φ et calculer
  (ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 dV alors l'énergie du système devrait être de 1/2CV 2.

  Ainsi, en utilisant notre principe, vous pouvez calculer la capacité AVEC. Si nous prenons une distribution de potentiel incorrecte et essayons d'estimer la capacité du condensateur en utilisant cette méthode, nous nous retrouverons avec trop de valeurs. d'une grande importance capacité à fixe V. Tout potentiel estimé φ qui ne coïncide pas exactement avec sa vraie valeur conduira également à une valeur incorrecte de C, supérieure à ce qui est nécessaire. Mais si le potentiel cp mal choisi est encore une approximation grossière, alors la capacité AVEC se révélera avec une bonne précision, car l’erreur en C est une valeur du second ordre par rapport à l’erreur en φ.

  Supposons que je ne connais pas la capacité du condensateur cylindrique. Ensuite, pour la reconnaître, je peux utiliser ce principe. Je vais simplement tester différentes fonctions de φ en tant que potentiel jusqu'à ce que j'atteigne la valeur la plus basse AVEC. Disons par exemple que j'ai choisi un potentiel qui correspond à un champ constant. (Vous savez, bien sûr, que le champ ici n'est pas réellement constant ; il varie comme 1/r) Si le champ est constant, cela signifie que le potentiel dépend linéairement de la distance. Pour que la tension sur les conducteurs soit celle requise, la fonction φ doit avoir la forme
  

  Cette fonction est égale à V à r = une, zéro à r =b, et entre eux il y a une pente constante égale à - V/(b—UN). Donc, pour déterminer l’intégrale U*, il suffit de multiplier le carré de ce gradient par ε o /2 et d'intégrer sur tout le volume. Effectuons ce calcul pour un cylindre de longueur unité. Elément de volume au rayon r est égal à 2πrdr. En effectuant l'intégration, je constate que mon premier test donne la capacité suivante :
  

  J'obtiens donc une formule de capacité qui, bien qu'incorrecte, est une sorte d'approximation :
  

  Bien sûr, c'est différent de la bonne réponse C = 2πε 0 /ln (b/a), mais dans l'ensemble, ce n'est pas si mal. Essayons de le comparer avec la bonne réponse pour plusieurs valeurs b/a. Les nombres que j'ai calculés sont présentés dans le tableau suivant.
  

  Même quand b/a=2(et cela conduit déjà à des différences assez importantes entre les champs constant et linéaire), j'obtiens quand même une approximation assez passable. Bien sûr, comme prévu, la réponse est un peu trop élevée. Mais si un fil fin est placé à l'intérieur d'un grand cylindre, tout semble bien pire. Ensuite le champ change très fortement et le remplace champ constant ne mène à rien de bon. Lorsque b/a = 100, nous surestimons la réponse presque deux fois. Pour les petits b/a la situation semble bien meilleure. Dans la limite opposée, lorsque l'écart entre les conducteurs n'est pas très large (disons pour b/a = 1,1), un champ constant s'avère être une très bonne approximation, il donne la valeur AVEC précis au dixième de pour cent.

  Je vais maintenant vous expliquer comment améliorer ce calcul. (La réponse pour le cylindre est, bien sûr, connu mais la même méthode fonctionne pour d'autres formes inhabituelles condensateurs, pour lesquels vous ne connaissez peut-être pas la bonne réponse.) L'étape suivante consiste à trouver une meilleure approximation du véritable potentiel φ, qui nous est inconnu. Disons que vous pouvez tester la constante plus l'exposant φ, etc. Mais comment savoir que vous avez la meilleure approximation si vous ne connaissez pas le vrai φ ? Répondre: Comptez-le AVEC; plus il est bas, plus il est proche de la vérité. Testons cette idée. Supposons que le potentiel ne soit pas linéaire, mais, disons, quadratique en r, et que le champ électrique ne soit pas constant, mais linéaire. Le plus général forme quadratique, qui se transforme en φ=O lorsque r=b et en φ=F à r = une, est-ce:
  

  où α est un nombre constant. Cette formule est un peu plus compliquée que la précédente. Il comprend à la fois un terme quadratique et un terme linéaire. Il est très facile d'en obtenir un champ. C'est égal à simple
  

  Maintenant, cela doit être quadrillé et intégré sur le volume. Mais attendez une minute. Que dois-je prendre pour α ? Je peux prendre f pour être une parabole, mais laquelle ? Voici ce que je vais faire : calculer la capacité à α arbitraire. je vais l'avoir
  

  Cela semble un peu déroutant, mais c’est ce que cela donne après avoir intégré le carré du champ. Maintenant, je peux choisir moi-même. Je sais que la vérité est inférieure à tout ce que je m'apprête à calculer. Peu importe ce que je mets à la place d'un, la réponse sera toujours trop grande. Mais si je continue mon jeu avec α et que j'essaie d'atteindre la valeur la plus basse possible AVEC, alors cette valeur la plus basse sera plus proche de la vérité que toute autre valeur. Par conséquent, je dois maintenant choisir α pour que la valeur AVEC a atteint son minimum. Se tourner vers l'ordinaire calcul différentiel, je m'assure que le minimum AVEC sera quand α =— 2 b/(b+un). En substituant cette valeur dans la formule, j'obtiens pour la plus petite capacité
  

  J'ai compris à quoi sert cette formule AVECà différentes significations b/a. J'ai nommé ces numéros AVEC(quadratique). Voici un tableau qui compare AVEC(quadratique) avec AVEC(vrai).
  

  Par exemple, lorsque le rapport des rayons est de 2 : 1, j’obtiens 1,444. Il s'agit d'une très bonne approximation de la bonne réponse, 1,4423. Même avec un grand Ouais l'approximation reste assez bonne - c'est beaucoup mieux que le premier approchant. Il reste tolérable (surestimé de seulement 10 %) même avec b/a = 10 : 1. Un écart important ne se produit qu'à un rapport de 100 : 1. J'obtiens AVECégal à 0,346 au lieu de 0,267. En revanche, pour un rapport de rayon de 1,5 l'accord est excellent, et pour b/a=1,1 la réponse est 10,492065 au lieu du 10,492070 attendu. Là où on s’attendrait à une bonne réponse, elle s’avère être très, très bonne.

  J'ai donné tous ces exemples, d'une part, pour démontrer la valeur théorique du principe d'action minimale et en général de tous les principes de minimum, et, d'autre part, pour vous montrer leur utilité pratique, et nullement pour calculer la capacité que nous avons déjà, nous le savons très bien. Pour toute autre forme, vous pouvez essayer un champ approximatif avec plusieurs paramètres inconnus(comme α) et ajustez-les au minimum. Vous obtiendrez des résultats numériques supérieurs sur des problèmes qui ne pourraient être résolus autrement.