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Pour multiplier des fractions algébriques (rationnelles), vous devez :
1) Écrivez le produit des numérateurs au numérateur, et écrivez le produit des dénominateurs de ces fractions au dénominateur.
Dans ce cas, des polynômes sont nécessaires.
2) Si possible, réduisez la fraction.
Commentaire.
Lors de la multiplication, la somme et la différence doivent être placées entre parenthèses.
Exemples de multiplication de fractions algébriques.
Lors de la multiplication de fractions algébriques, nous multiplions les numérateurs séparément et les dénominateurs de ces fractions séparément :
On réduit 36 et 45 par 9, 22 et 55 par 11, a² et de a a, b et b par b, c⁵ et c² par c² :
Pour multiplier des fractions algébriques, vous multipliez le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Puisque les numérateurs et les dénominateurs de ces fractions contiennent des polynômes, ils sont nécessaires.
Au numérateur de la première fraction on la sort des parenthèses multiplicateur commun 3. Nous factorisons le numérateur de la deuxième fraction en facteurs sous forme de différence de carrés. Le dénominateur de la première fraction est le carré de la différence. Au dénominateur de la deuxième fraction on retire le facteur commun 5 :
La fraction peut être réduite de (x+3) et (2x-1) :
On multiplie le numérateur par le numérateur, le dénominateur par le dénominateur. Nous factorisons le dénominateur de la deuxième fraction en utilisant la formule de la différence des carrés :
(a-b) et (b-a) ne diffèrent que par leur signe. Retirons le « moins » des parenthèses, par exemple au numérateur. Après cela, réduisez la fraction de (a-b) et de a :
Lors de la multiplication de fractions algébriques, nous multiplions le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Nous essayons de factoriser les polynômes qu'ils contiennent.
Dans la première fraction du numérateur - un carré parfait sommes, le dénominateur est la somme des cubes. Dans la deuxième fraction du numérateur - (partie de la formule de la somme des cubes), au dénominateur il y a un facteur commun de 3, que l'on met entre parenthèses :
On réduit la fraction de (x+3)² et (x²-3x+9) :
En algèbre, les opérations avec des fractions algébriques (rationnelles) peuvent se produire sous la forme tâche distincte, et au cours de la résolution d'autres exemples, par exemple, la résolution d'équations et d'inégalités. C'est pourquoi il est important d'apprendre à multiplier, diviser, additionner et soustraire de telles fractions dans le temps.
Catégorie : |Sur Cette leçon Les règles de multiplication et de division des fractions algébriques seront abordées, ainsi que des exemples d'application de ces règles. Multiplier et soustraire des fractions algébriques n'est pas différent de multiplier et de diviser fractions ordinaires. Dans le même temps, la présence de variables conduit à un peu plus de manière complexe simplification des expressions résultantes. Malgré le fait qu'il soit plus facile de multiplier et de diviser des fractions que de les additionner et de les soustraire, l'étude de ce sujet doit être abordée de manière extrêmement responsable, car elle comporte de nombreux pièges auxquels on ne prête généralement pas attention. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons non seulement les règles de multiplication et de division des fractions, mais analyserons également les nuances qui peuvent survenir lors de leur utilisation.
Sujet:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques
Leçon:Multiplier et diviser des fractions algébriques
1. Règles de multiplication et de division des fractions ordinaires et algébriques
Les règles de multiplication et de division des fractions algébriques sont absolument similaires aux règles de multiplication et de division des fractions ordinaires. Rappelons-leur :
Autrement dit, pour multiplier des fractions, il faut multiplier leurs numérateurs (ce sera le numérateur du produit) et multiplier leurs dénominateurs (ce sera le dénominateur du produit).
La division par fraction est une multiplication par une fraction inversée, c'est-à-dire que pour diviser deux fractions, il faut multiplier la première d'entre elles (le dividende) par la seconde inversée (le diviseur).
2. Cas particuliers d'application des règles de multiplication et de division des fractions
Malgré la simplicité de ces règles, de nombreuses personnes font des erreurs dans un certain nombre de cas particuliers lorsqu'elles résolvent des exemples sur ce sujet. Regardons de plus près ces cas particuliers :
Dans toutes ces règles nous avons utilisé le fait suivant : .
3. Exemples de multiplication et de division de fractions ordinaires
Résolvons quelques exemples de multiplication et de division de fractions ordinaires pour nous rappeler comment utiliser ces règles.
Exemple 1
Remarque : lors de la réduction de fractions, nous avons utilisé la décomposition du nombre en facteurs premiers. Rappelons que nombres premiers ceux-ci sont appelés entiers, qui ne sont divisibles que par et par eux-mêmes. Les numéros restants sont appelés composite. Le nombre n'est ni premier ni composé. Exemples nombres premiers: 
.
Exemple 2
Considérons maintenant un des cas particuliers des fractions ordinaires.
Exemple 3
Comme vous pouvez le constater, multiplication et division de fractions ordinaires, dans le cas application correcte Les règles ne sont pas compliquées.
4. Exemples de multiplication et de division de fractions algébriques (cas simples)
Regardons la multiplication et la division de fractions algébriques.
Exemple 4
Exemple 5
A noter qu'il est possible et même nécessaire de réduire des fractions après multiplication selon les mêmes règles que nous avons évoquées précédemment dans les leçons consacrées à la réduction de fractions algébriques. Regardons quelques-uns exemples simples pour des cas particuliers.
Exemple 6
Exemple 7
Considérons maintenant un peu plus exemples complexes sur la multiplication et la division de fractions.
Exemple 8
Exemple 9
Exemple 10
Exemple 11
Exemple 12
Exemple 13
5. Exemples de multiplication et de division de fractions algébriques (cas difficiles)
Auparavant, nous avons examiné des fractions dans lesquelles le numérateur et le dénominateur étaient des monômes. Cependant, dans certains cas, il est nécessaire de multiplier ou de diviser des fractions dont les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes. Dans ce cas, les règles restent les mêmes, mais pour réduire il faut utiliser des formules de multiplication abrégées et des parenthèses.
Exemple 14
Exemple 15
Exemple 16
Exemple 17
Exemple 18
Dans cette leçon, nous avons examiné Règles pour multiplier et diviser des fractions algébriques, ainsi que l'application de ces règles à des exemples spécifiques.
Bibliographie
1. Bashmakov M.I. Algèbre 8e année. - M. : Éducation, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algèbre 8. - 5e éd. - M. : Éducation, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algèbre 8e année. Tutoriel pour les établissements d'enseignement. - M. : Éducation, 2006.
1. Portail pour toute la famille.
2. Fête idées pédagogiques « Leçon publique» .
3. Toutes les mathématiques élémentaires.
Devoirs
1. N° 73-77, 80. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algèbre 8. - 5e éd. - M. : Éducation, 2010.
2. Effectuez la multiplication : a), b)
3. Effectuer la division : a) , b)
Dans cet article, nous examinerons opérations de base avec des fractions algébriques:
- fractions réductrices
- multiplier des fractions
- diviser des fractions
Commençons avec réduction de fractions algébriques.
Il semblerait que, algorithmeévident.
À réduire les fractions algébriques, besoin de
1. Factorisez le numérateur et le dénominateur de la fraction.
2. Réduisez les facteurs égaux.
Cependant, les écoliers commettent souvent l'erreur de « réduire » non pas les facteurs, mais les termes. Par exemple, il y a des amateurs qui « réduisent » des fractions et obtiennent le résultat, ce qui, bien sûr, n'est pas vrai.
Regardons des exemples :
1.
Réduire la fraction : 
1. Factorisons le numérateur en utilisant la formule du carré de la somme, et le dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés
2. Divisez le numérateur et le dénominateur par
2.
Réduire la fraction : 
1. Factorisons le numérateur. Puisque le numérateur contient quatre termes, nous utilisons le regroupement.
2. Factorisons le dénominateur. Nous pouvons également utiliser le regroupement.
3. Écrivons la fraction que nous avons obtenue et réduisons les mêmes facteurs :
Multiplier des fractions algébriques.
Lors de la multiplication de fractions algébriques, nous multiplions le numérateur par le numérateur et multiplions le dénominateur par le dénominateur.
Important! Il n'est pas nécessaire de se précipiter pour multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction. Après avoir écrit le produit des numérateurs des fractions au numérateur et le produit des dénominateurs au dénominateur, nous devons factoriser chaque facteur et réduire la fraction.
Regardons des exemples :
3. Simplifiez l'expression :
1. Écrivons le produit des fractions : au numérateur le produit des numérateurs, et au dénominateur le produit des dénominateurs :
2. Factorisons chaque parenthèse :
Nous devons maintenant réduire les mêmes facteurs. Notez que les expressions et ne diffèrent que par le signe : 
et en divisant la première expression par la seconde, nous obtenons -1.
Donc, 
On divise les fractions algébriques selon la règle suivante :
C'est Pour diviser par une fraction, vous devez multiplier par celui « inversé ».
On voit que diviser des fractions revient à multiplier, et la multiplication revient finalement à réduire des fractions.
Regardons un exemple :
4. Simplifiez l'expression :
Cette leçon couvrira les règles de multiplication et de division des fractions algébriques, ainsi que des exemples d'application de ces règles. Multiplier et diviser des fractions algébriques n'est pas différent de multiplier et diviser des fractions ordinaires. Dans le même temps, la présence de variables conduit à des manières un peu plus complexes de simplifier les expressions résultantes. Malgré le fait qu'il soit plus facile de multiplier et de diviser des fractions que de les additionner et de les soustraire, l'étude de ce sujet doit être abordée de manière extrêmement responsable, car elle comporte de nombreux pièges auxquels on ne prête généralement pas attention. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons non seulement les règles de multiplication et de division des fractions, mais analyserons également les nuances qui peuvent survenir lors de leur utilisation.
Sujet:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques
Leçon:Multiplier et diviser des fractions algébriques
Les règles de multiplication et de division des fractions algébriques sont absolument similaires aux règles de multiplication et de division des fractions ordinaires. Rappelons-leur :
Autrement dit, pour multiplier des fractions, il faut multiplier leurs numérateurs (ce sera le numérateur du produit) et multiplier leurs dénominateurs (ce sera le dénominateur du produit).
La division par fraction est une multiplication par une fraction inversée, c'est-à-dire que pour diviser deux fractions, il faut multiplier la première d'entre elles (le dividende) par la seconde inversée (le diviseur).
Malgré la simplicité de ces règles, de nombreuses personnes font des erreurs dans un certain nombre de cas particuliers lorsqu'elles résolvent des exemples sur ce sujet. Regardons de plus près ces cas particuliers :
Dans toutes ces règles nous avons utilisé le fait suivant : .
Résolvons quelques exemples de multiplication et de division de fractions ordinaires pour nous rappeler comment utiliser ces règles.
Exemple 1
Note: Lors de la réduction de fractions, nous avons utilisé la décomposition des nombres en facteurs premiers. Rappelons que nombres premiers
sont ces nombres naturels qui ne sont divisibles que par eux-mêmes. Les numéros restants sont appelés composite
. Le nombre n'est ni premier ni composé. Exemples de nombres premiers : 
.
Exemple 2
Considérons maintenant un des cas particuliers des fractions ordinaires.
Exemple 3
Comme vous pouvez le constater, multiplier et diviser des fractions ordinaires, si les règles sont appliquées correctement, n'est pas difficile.
Regardons la multiplication et la division de fractions algébriques.
Exemple 4
Exemple 5
A noter qu'il est possible et même nécessaire de réduire des fractions après multiplication selon les mêmes règles que nous avons évoquées précédemment dans les leçons consacrées à la réduction de fractions algébriques. Examinons quelques exemples simples pour des cas particuliers.
Exemple 6
Exemple 7
Examinons maintenant quelques exemples plus complexes de multiplication et de division de fractions.
Exemple 8
Exemple 9
Exemple 10
Exemple 11
Exemple 12
Exemple 13
Auparavant, nous avons examiné des fractions dans lesquelles le numérateur et le dénominateur étaient des monômes. Cependant, dans certains cas, il est nécessaire de multiplier ou de diviser des fractions dont les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes. Dans ce cas, les règles restent les mêmes, mais pour réduire il faut utiliser des formules de multiplication abrégées et des parenthèses.
Exemple 14
Exemple 15
Exemple 16
Exemple 17
Exemple 18
