Addition et soustraction de monômes. Leçon vidéo « Opérations arithmétiques avec des monômes

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Étape 1 : « La répétition est mère de l'apprentissage » Déchiffrez le mot : ALGEBRE du mot arabe « Al » - jebra » (traduit par « restauration »).

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1. Un monôme est la somme de facteurs numériques et alphabétiques. 2. Tous les nombres, toutes variables, puissances de variables sont également considérés comme des monômes. 3. Le facteur littéral d'un monôme écrit sous forme standard est appelé coefficient du monôme. 4. Expression algébrique, qui est le produit de nombres et de variables élevées en puissances avec indicateur naturel, s'appelle un monôme

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5. La somme des exposants de toutes les lettres incluses dans le monôme est appelée le degré du monôme. 6. Les termes identiques ou différents les uns des autres uniquement par les coefficients sont appelés termes similaires. 7. Deux monômes constitués des mêmes variables sont appelés monômes similaires. 8. En ajoutant des monômes, un monôme est obtenu.

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9. Un monôme dans lequel tous les facteurs numériques sont multipliés et leur produit est placé en premier lieu, toutes les puissances disponibles avec la même base de lettre sont multipliées et toutes les puissances avec une base de lettre différente sont multipliées, est appelé un monôme de forme standard. 10. Pour ouvrir des parenthèses précédées d'un signe «+», les parenthèses doivent être omises, en préservant le signe de chaque terme qui était entre parenthèses. 11. Lorsque nous ouvrons des parenthèses précédées d'un signe « - », nous omettons les parenthèses et les signes des membres qui étaient entre parenthèses sont inversés.

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Trouvez l'erreur :

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Parmi les monômes écrits, sélectionnez-en des similaires et trouvez leur somme :

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A D U G S I

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La première étape est l'élaboration modèle mathématique. (SMM) Soit la distance totale x km, puis le premier jour nous avons marché Le deuxième jour nous avons marché

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Puisqu'il reste 25 km au troisième jour, nous obtenons un modèle mathématique : La deuxième étape consiste à travailler avec le modèle compilé. RMM

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2. RMM Étape 3 : Réponse à la question problème : (OVZ) Nous avons pris la longueur du chemin comme x, ce qui signifie qu'elle est égale à 55 km. Réponse : la longueur du chemin est de 55 km.

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A Z D U G S I

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« Un livre est un livre, mais bougez votre cerveau » n°292 n°293

Dans cette leçon, nous rappellerons ce qu'est un monôme, la forme standard d'un monôme, et donnerons une définition des monômes similaires. Apprenons à distinguer les monômes similaires des différents. Formulons les règles pour ajouter et soustraire des monômes similaires. Apprenons à résoudre tâches typiques en utilisant l'addition et la soustraction.

Sujet:Monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes

Leçon:Ajouter et soustraire des monômes

Rappelons ce qu'on appelle un monôme, et quelles opérations peuvent être effectuées avec les monômes. Un monôme est le produit de nombres et de puissances. Regardons deux exemples :

Les deux expressions sont des monômes et avant de procéder à une addition ou une soustraction, il est nécessaire de les mettre sous forme standard :

Rappelons que pour réduire un monôme à la forme standard, il faut d'abord obtenir coefficient numérique, en multipliant tous les facteurs numériques, puis en multipliant les puissances correspondantes.

Voyons s'il est possible d'ajouter nos deux monômes - non, ce n'est pas possible, car vous ne pouvez ajouter que les monômes qui ont la même partie de lettre, c'est-à-dire uniquement des monômes similaires. Autrement dit, nous devons apprendre à faire la distinction entre les monômes similaires et non similaires.

Regardons des exemples de monômes similaires :

Les monômes et sont similaires car ils ont la même partie lettre -

Encore un exemple. Écrivons un monôme et un monôme. Nous pouvons attribuer absolument n'importe quel coefficient numérique au deuxième monôme et obtenir un monôme similaire au premier. Choisissons, par exemple, un coefficient et obtenons deux monômes similaires : et

Considérez l'exemple suivant. Premier monôme, son coefficient égal à un. Écrivons maintenant sa partie lettre et ajoutons-y un coefficient numérique arbitraire, par exemple . Nous avons deux monômes similaires : et .

Faisons-le conclusion: Des monômes similaires ont la même partie de lettre, et ces monômes peuvent être ajoutés et soustraits.

Donnons maintenant des exemples de monômes non similaires :

ET ; ces monômes ont des parties de lettres différentes, la variable a qu'ils contiennent est représentée dans différents degrés, donc les monômes ne sont pas similaires

Autre exemple : les monômes et ne sont pas non plus similaires ; leurs parties de lettres diffèrent par les puissances de la variable a.

Considérons la troisième paire de monômes : et ne sont pas non plus similaires.

Voyons maintenant l’ajout de monômes similaires ; pour ce faire, prenons un exemple :

Ajoutez deux monômes :

Il est évident que ces monômes sont similaires, car il est facile de remarquer que leurs parties de lettre sont les mêmes, mais mathématiquement la similitude des monômes peut être prouvée en remplaçant la partie de lettre par une autre lettre, et si pour les deux monômes cette lettre devient s'avère être le même, alors les monômes sont similaires. Passons à un exemple, remplaçons le premier monôme par ? Ensuite, dans le deuxième monôme, nous remplaçons la même partie de lettre par

En additionnant ces deux expressions, on obtient . Revenons maintenant aux variables d'origine - remplacez la variable t dans la réponse par , nous obtenons la réponse finale :

Formulons maintenant règle pour ajouter des monômes:

Afin d'obtenir la somme de monômes similaires, il est nécessaire d'additionner leurs coefficients, et d'ajouter la partie lettre de la même manière que pour les termes d'origine.

Regardons des exemples :

2)

Commentaire sur l'exemple n°1 : on écrit d'abord la somme des coefficients des monômes dans le résultat, c'est-à-dire qu'on réécrit ensuite la partie littérale sans changements, c'est-à-dire

Commentaire sur l'exemple n°2 : similaire au premier exemple, on note d'abord la somme des coefficients, c'est-à-dire puis on réécrit la partie lettre sans modifications - .

Passons à règle pour soustraire les monômes. Prenons des exemples :

La règle pour soustraire de tels monômes est similaire à la règle d'addition : nous réécrivons la partie lettre sans modification, soustrayons les coefficients et les soustrayons dans le bon ordre. Pour notre exemple :

Faisons-le conclusion: Vous pouvez ajouter et soustraire n'importe quel monôme, mais uniquement ceux similaires ; pour ce faire, vous devez ajouter ou soustraire leurs coefficients, en réécrivant la partie lettre dans sa forme originale. Les monômes non similaires ne peuvent pas être ajoutés ou soustraits.

Maintenant, connaissant l'algorithme d'addition et de soustraction de monômes similaires, nous pouvons résoudre certains problèmes typiques.

Tâches de simplification :

Simplifiez l'expression :

Le premier monôme est écrit sous une forme standard, il ne peut plus être simplifié, les deuxième et troisième ne sont pas sous une forme standard, ce qui signifie que la première action lors de la simplification d'expressions avec des monômes est de réduire les monômes qui peuvent y être réduits à un formulaire standard.

Alors, mettons le deuxième puis le troisième monôme sous forme standard :

Réécrivons l'expression originale en tenant compte des transformations effectuées :

Nous voyons la même partie de lettre pour les trois monômes, ce qui signifie qu'ils sont similaires, c'est-à-dire que nous avons le droit de les ajouter et de les soustraire. Selon la règle, nous remplirons actions nécessaires avec des coefficients, et réécrivez la partie littérale sans modifications :

Existe problème inverse . Un monôme est donné. Représenter un monôme comme une somme de monômes.

Tous les monômes, sous la forme de la somme dont nous présentons celui donné, auront la même partie lettre, qui est également la même avec le monôme donné - . Imaginons notre monôme, par exemple, comme une somme de deux termes. Pour ce faire, imaginons le coefficient comme une somme.

Nous continuerons notre connaissance des monômes avec le matériel de l'article ci-dessous : nous analyserons la mise en œuvre actions de base avec des monômes tels que l'addition et la soustraction. Voyons dans quels cas ces actions doivent être réalisées et ce qu'elles donneront au final ; Formulons la règle d'addition et de soustraction et appliquons-la pour résoudre des problèmes standards.

Résultat de l'ajout et de la soustraction de monômes

Nous étudierons l'addition et la soustraction de monômes sur la base d'opérations avec des polynômes, car, en général, le résultat de l'addition ou de la soustraction de monômes est un polynôme, et seulement dans des situations particulières est un monôme.

En d’autres termes, l’addition et la soustraction sur un ensemble de monômes ne peuvent être introduites qu’avec des restrictions. Clarifions ce que cela signifie en faisant une analogie avec la soustraction de nombres naturels. Sur l'ensemble des nombres naturels, l'action de soustraction est également considérée avec une limitation : pour que le résultat devienne un nombre naturel, la soustraction doit être effectuée uniquement selon le schéma : à partir d'un plus grand entier naturel moins.

C'est une autre affaire si nous parlons deà propos de l'ensemble des entiers, y compris les nombres naturels : ici la soustraction s'effectue sans restrictions.

La même chose peut être appliquée lorsqu’il s’agit d’ajouter ou de soustraire deux monômes. Afin d'obtenir finalement un monôme, l'addition ou la soustraction sur un ensemble de monômes peut être effectuée avec une restriction : les monômes d'origine ajoutés ou soustraits doivent être des termes similaires (ils sont alors appelés monômes similaires), ou l'un d'eux doit être nul . Dans d'autres cas, le résultat des actions n'est plus un monôme.

Mais sur l'ensemble des polynômes, qui contient tous les monômes, l'addition et la soustraction de monômes sont étudiées comme un cas particulier d'addition et de soustraction de polynômes. Dans ce cas, les actions sont considérées sans les restrictions ci-dessus, puisque le résultat de leur exécution est un polynôme (ou un monôme comme cas particulier polynôme).

Règle pour ajouter et soustraire des monômes

Formulons la règle d'addition et de soustraction de monômes sous la forme d'une séquence d'actions :

Définition 1

Pour réaliser l'action d'ajouter ou de soustraire deux monômes vous devez :

• notez la somme ou la différence des monômes en fonction de la tâche : les monômes doivent être mis entre parenthèses, en plaçant respectivement un signe plus ou moins entre eux ;
• si des monômes entre parenthèses sont présents dans formulaire non standard, apportez-les sous une forme standard ;
• parenthèses ouvertes;
• Donnez les termes similaires, le cas échéant, et éliminez les termes égaux à zéro.

Appliquons maintenant la règle énoncée pour résoudre les problèmes.

Exemples d'ajout et de soustraction de monômes

Monômes donnés 8 fois Et − 3 fois. Il est nécessaire d'effectuer leur addition et leur soustraction.

Solution

1. Effectuons l'action d'addition. Écrivons la somme en mettant les monômes originaux entre parenthèses et en mettant un signe plus entre eux : (8x) + (− 3x). Les monômes entre parenthèses ont une forme standard, ce qui signifie que la deuxième étape de l'algorithme de règle peut être ignorée. L'étape suivante consiste à ouvrir les parenthèses : 8x−3x, puis nous présentons des termes similaires : 8 x − 3 x = (8 − 3) x = 5 x.

Écrivons brièvement la solution comme suit : (8 x) + (− 3 x) = 8 x − 3 x = 5 x.

1. Effectuons l'opération de soustraction de la même manière : (8 x) − (− 3 x) = 8 x + 3 x = 11 x.

Répondre: (8x) + (− 3x) = 5x Et (8 x) − (− 3 x) = 11 x.

Prenons un exemple où l'un des monômes est zéro.

Exemple 2

Il faut trouver la différence entre le monôme - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 et le monôme x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y.

Solution

Nous agissons selon l'algorithme selon la règle. Écrivons la différence : - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y. Nous mettons les monômes entre parenthèses sous forme standard et nous obtenons alors : 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z. Ouvrons les parenthèses, ce qui nous donnera la forme d'expression suivante : 0 + 1 4 · x 2 · y 6 · z, il, en raison de la propriété d'ajouter zéro, sera identiquement égal à 1 4 · x 2 · y 6 · z.

Ainsi, note courte la solution sera comme ceci :

5 x 3 2 3 0 x z 2 - x 2 3 y 5 z - 3 8 x y = = 0 - - 1 4 x 2 y 6 z = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Répondre:- 5 x 3 2 3 0 x z 2 - x 2 3 oui 5 z - 3 8 x oui = 1 4 x 2 oui 6 z

Les exemples considérés ont donné des monômes résultant d’additions et de soustractions. Cependant, comme déjà mentionné, dans cas général le résultat de l'addition et de la soustraction est un polynôme.

Exemple 3

Monômes donnés − 9 x z 3 Et − 13 x y z. Il faut trouver leur somme.

Solution

Nous notons le montant : (− 9 x z 3) + (− 13 x y z). Les monômes ont une forme standard, nous développons donc les parenthèses : (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 - 13 · x · y · z . Il n'y a pas de termes similaires dans l'expression résultante, nous n'avons rien à donner, ce qui signifie que l'expression résultante sera le résultat du calcul : − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z.

Répondre: (− 9 x z 3) + (− 13 x y z) = − 9 x z 3 − 13 x y z.

Le même schéma s'applique à l'addition ou à la soustraction de trois monômes ou plus.

Exemple 4

Un exemple doit être résolu : 0 , 2 · une 3 · b 2 + 7 · une 3 · b 2 − 3 · une 3 · b 2 − 2 , 7 · une 3 · b 2.

Solution

Tous les monômes donnés ont une forme standard et sont similaires. Donne moi membres similaires en effectuant des additions et des soustractions coefficients numériques, et en laissant la partie lettre comme originale : 0 , 2 · une 3 · b 2 + 7 · une 3 · b 2 − 3 · une 3 · b 2 − 2 , 7 · une 3 · b 2 = = (0 , 2 + 7 − 3 − 2 , 7) · une 3 · b 2 = 1, 5 · une 3 · b 2

Répondre: 0, 2 · une 3 · b 2 + 7 · une 3 · b 2 − 3 · une 3 · b 2 − 2, 7 · une 3 · b 2 = 1, 5 · une 3 · b 2.

Exemple 5

Les monômes sont donnés : 5, − 3 a, 15 a, − 0, 5 x z 4, − 12 a, − 2 et 0,5xz4. Il faut trouver leur somme.

Solution

Notons le montant : (5) + (− 3 une) + (− 15 une) + (− 0,5 x z 4) + (− 12 une) + (− 2) + (0,5 x z 4 ). En élargissant les parenthèses, nous obtenons : 5 − 3 une + 15 une − 0, 5 x z 4 − 12 une − 2 + 0, 5 x z 4. Regroupons les termes similaires : (5 − 2) + (− 3 une + 15 une − 12 une) + (− 0,5 x z 4 + 0,5 x z 4) et listons-les : 3 + 0 + 0 = 3

Répondre: (5) + (− 3 une) + (15 une) + (− 0,5 x z 4) + (− 12 une) + (− 2) + (0,5 x z 4 ) = 3.

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L'ajout de monômes ou la soustraction d'un monôme à un autre n'est possible que si les monômes sont similaires. Si les monômes ne sont pas similaires, dans ce cas l'addition des monômes peut s'écrire comme une somme, et la soustraction comme une différence.

Monômes similaires

Monômes similaires- les monômes, constitués des mêmes lettres, mais peuvent avoir des coefficients différents ou identiques (facteurs numériques). Des lettres identiques dans des monômes similaires doivent avoir mêmes indicateurs degrés. Si les degrés de la même lettre dans différents monômes ne coïncident pas, alors ces monômes ne peuvent pas être qualifiés de similaires :

5un B 2 et -7 un B 2 - monômes similaires

5un 2 b et 5 un B - pas de monômes similaires

Veuillez noter que la séquence des lettres dans des monômes similaires peut ne pas être la même. De plus, les monômes peuvent être représentés sous la forme d'une expression qui peut être simplifiée. Par conséquent, avant de commencer à déterminer si ces monômes sont similaires ou non, il convient de les amener à une forme standard. Par exemple, prenons deux monômes :

5abbé et -7 b 2 un

Les deux monômes sont sous une forme non standard, il ne sera donc pas facile de déterminer s'ils sont similaires. Pour le savoir, réduisons les monômes à la forme standard :

5un B 2 et -7 un B 2

Maintenant, il est immédiatement clair que ces monômes sont similaires.

Deux monômes similaires qui diffèrent uniquement par leur signe sont appelés opposé. Par exemple:

5un 2 avant JC et -5 un 2 avant JC- les monômes opposés.

Réduire les monômes similaires est une simplification d'une expression contenant des monômes similaires en les ajoutant. L'ajout de monômes similaires s'effectue selon les règles de réduction des termes similaires.

Ajout de monômes

Pour ajouter des monômes dont vous avez besoin :

1. Créez une somme en écrivant tous les termes un par un
2. Pour apporter des termes similaires, pour cela vous avez besoin de :

Exemple 1. Ajouter des monômes 12 un B, -4un 2 b et -5 un B.

Solution: Faisons la somme des monômes :

12un B + (-4un 2 b) + (-5un B)

12un B - 4un 2 b - 5un B

Il faut maintenant déterminer s'il existe des monômes similaires parmi les termes et, s'il y en a, faire une réduction :

12un B - 4un 2 b - 5un B = (12 + (-5))un B - 4un 2 b = 7un B - 4un 2 b

Exemple 2. Ajouter des monômes 5 un 2 avant JC et -5 un 2 avant JC.

Solution: Faisons la somme des monômes :

5un 2 avant JC + (-5un 2 avant JC)

Développons les parenthèses :

5un 2 avant JC - 5un 2 avant JC

Ces deux monômes sont opposés, c'est-à-dire qu'ils ne diffèrent que par leur signe. Cela signifie que si on additionne leurs facteurs numériques, on obtient zéro :

5un 2 avant JC - 5un 2 avant JC = (5 - 5)un 2 avant JC = 0un 2 avant JC = 0

Ainsi, lors de l'ajout de monômes opposés, le résultat est zéro.

Règle générale ajout de monômes :

Pour ajouter plusieurs monômes, il faut écrire tous les termes les uns après les autres en conservant leurs signes, mettre les monômes négatifs entre parenthèses et faire une réduction termes similaires(monômes similaires).

Soustraire des monômes

Pour soustraire des monômes, vous devez :

1. Composez la différence en écrivant tous les monômes les uns après les autres, en les séparant par le signe - (moins)
2. Mettre tous les monômes sous forme standard
3. Développez les parenthèses si elles sont dans l'expression
4. Faire une réduction des monômes similaires, soit :
   1. ajouter leurs facteurs numériques
   2. Après le coefficient obtenu, ajoutez les facteurs de lettre sans modifications

Exemple. Trouver la différence des monômes 8 un B 2 , -5un 2 b Et - un B 2 .

Solution: Faisons la différence entre les monômes :

8un B 2 - (-5un 2 b) - (-un B 2)

Tous les monômes sont sous forme standard. Vous pouvez donc commencer à ouvrir les parenthèses. Voir les règles d'ouverture des parenthèses.

8un B 2 + 5un 2 b + un B 2

Nous devons maintenant déterminer s'il y en a des similaires parmi les monômes et, si c'est le cas, faire une réduction :

8un B 2 + 5un 2 b + un B 2 = (8 + 1)un B 2 + 5un 2 b = 9un B 2 + 5un 2 b

La règle générale pour soustraire des monômes :

Pour soustraire un monôme d'un autre, ajoutez le monôme de soustrahend avec au minuend signe opposé et faire une réduction de monômes similaires.