Propriétés des inégalités à une variable. Inégalités linéaires, exemples, solutions

LEÇON : « RÉSOUDRE LES INÉGALITÉS AVEC UNE SEULE VARIABLE »

Article: Algèbre
Sujet: Résoudre les inégalités avec une seule variable

Objectifs de la leçon :

Pédagogique:

organiser les activités des élèves pour percevoir, comprendre et consolider dans un premier temps des concepts tels que la résolution des inégalités à une variable, l'inégalité équivalente, la résolution de l'inégalité ; vérifier la capacité des élèves à appliquer les connaissances et les compétences acquises dans les leçons précédentes pour résoudre les problèmes de cette leçon.

Pédagogique:

développer l'intérêt pour les mathématiques grâce à l'utilisation des TIC dans la pratique ; cultiver les besoins cognitifs des étudiants; former des qualités personnelles telles que la responsabilité, la persévérance dans la réalisation des objectifs, l'indépendance.

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel

II. Examen devoirs(Mise à jour des connaissances de base)

1. À l'aide de la ligne de coordonnées, trouvez l'intersection des intervalles : a) (1;8) et (5;10); b) (-4;4) et [-6;6]; c) (5;+∞) et [-∞;4]

Réponse : a) (1;5) ; b) (-4;4); c) il n'y a pas d'intersections

2. Notez les intervalles indiqués sur la figure :

Réponse : 1) (2 ; 6) ; b) (-1;7]; c) .

Exemple3, résoudre l'inégalité 3(x-1)<-4+3х.

Ouvrons les parenthèses du côté gauche de l'inégalité : 3x-3<-4+3х.

Déplaçons le terme 3x de signes opposés du côté droit vers la gauche, et le terme -3 du côté gauche vers la droite et donnons membres similaires: 3x-3x<-4+3,

Comme nous le voyons, ceci inégalité numérique n’est vrai pour aucune valeur de x. Cela signifie que notre inégalité à une variable n’a pas de solution.

Simulateur

Résolvez l’inégalité et marquez sa solution :

f) 7x-2,4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

je) 16x-44>x+1 ;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Réponse : a) (-8 ; +∞) ; b) [-1,5 ; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5 ; +∞); h) (-∞; 1); je) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).

IV. Conclusions

La solution d’une inégalité dans une variable est la valeur de la variable qui la transforme en une véritable inégalité numérique. Résoudre une inégalité, c’est trouver toutes ses solutions ou prouver qu’il n’y a pas de solutions. Les inégalités qui ont les mêmes solutions sont dites équivalentes. Les inégalités qui n’ont pas de solution sont également considérées comme équivalentes. Si les deux côtés d’une inégalité sont multipliés ou divisés par le même nombre négatif, changeant le signe de l’inégalité en l’opposé. Dans d'autres cas, cela reste le même.

V. Tests finaux

1) La résolution d’une inégalité dans une variable s’appelle...

a) la valeur de la variable, qui en fait une véritable inégalité ;

b) la valeur de la variable, qui la transforme en valeur numérique correcte

inégalité;

c) une variable qui en fait une véritable inégalité numérique.

2) Lequel des nombres est la solution de l'inégalité 8+5y>21+6y :

a) 2 et 5 b) -1 et 8 c) -12 et 1 d) -15 et -30?

3) Spécifiez l'ensemble des solutions à l'inégalité 4(x+1)>20 :

une) (- ∞; 4); b) (4; +∞); c) " title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com">!}

peut être représenté ainsi :

1) On déplace les inconnues d'un côté, les connues de l'autre avec des signes opposés :

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2) Si le nombre devant X n'est pas égal à zéro (a-c≠0), divisez les deux côtés de l'inégalité par a-c.

Si a-c>0, le signe de l'inégalité ne change pas :

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Si a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

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Si a-c=0, alors c'est - cas particulier. Nous considérerons séparément des cas particuliers de résolution d'inégalités linéaires.

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Il s'agit d'une inégalité linéaire. On déplace les inconnues dans un sens, les connues dans l'autre avec des signes opposés :

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Nous divisons les deux côtés de l’inégalité par le nombre devant X. Depuis -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

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Depuis , 10 sur la droite numérique est marqué d'un point perforé. , à moins l'infini.

Puisque l’inégalité est stricte et que le point manque, on écrit 10 dans la réponse avec une parenthèse.

Il s'agit d'une inégalité linéaire. Inconnus - dans un sens, connus - dans l'autre avec des signes opposés :

Nous divisons les deux côtés de l'inégalité par le nombre devant X. Depuis 10>

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Puisque l’inégalité n’est pas stricte, nous marquons -2,3 sur la droite numérique avec un point plein. L'ombrage de -2,3 va vers la droite, jusqu'à plus l'infini.

Puisque l’inégalité est stricte et que le point est ombré, on écrit -2,3 dans la réponse avec crochet.

Il s'agit d'une inégalité linéaire. Inconnus - dans un sens, connus - dans l'autre sens signe opposé.

Nous divisons les deux côtés de l’inégalité par le nombre devant X. Depuis 3>0, le signe de l'inégalité ne change pas :

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Puisque l’inégalité est stricte, nous représentons x=2/3 sur la droite numérique comme un point perforé.

Puisque l’inégalité est stricte et que le point manque, on écrit 2/3 dans la réponse avec une parenthèse.

X et portée X. Alors une inégalité de la forme f(x) > g(x) ou f(x) < g(x) s'appelle inégalité à une variable . Beaucoup X appelé la portée de sa définition.

Valeur variable X de beaucoup X, auquel l'inégalité se transforme en une véritable inégalité numérique, on l'appelle décision. Résoudre une inégalité signifie y trouver de nombreuses solutions.

La base pour résoudre les inégalités à une variable est le concept d'équivalence.

Les deux inégalités sont appelées équivalent, si leurs ensembles de solutions sont égaux.

Les théorèmes sur l'équivalence des inégalités et leurs conséquences sont similaires aux théorèmes correspondants sur l'équivalence des équations. Leur preuve utilise les propriétés de véritables inégalités numériques.

Théorème 1. Laissez l'inégalité f(x) > g(x) défini sur l'ensemble X Et h(x) est une expression définie sur le même ensemble. Ensuite les inégalités f(x) > g(x) Et f(x) + h(x) > g(x)+h(x) sont équivalents sur le plateau X.

De ce théorème il résulte conséquences, qui sont souvent utilisés pour résoudre les inégalités :

1) Si des deux côtés de l'inégalité f(x) > g(x) ajoutez le même numéro d, alors on obtient l'inégalité f(x) + d > g(x)+d, équivalent à celui d'origine.

2) Si un terme (ou une expression avec une variable) est transféré d'une partie de l'inégalité à une autre, en changeant le signe du terme en l'opposé, alors nous obtenons une inégalité équivalente à celle donnée.

Théorème 2. Laissez l'inégalité f(x) > g(x) défini sur l'ensemble X Et h(x X de beaucoup X expression h(x) accepte valeurs positives. Ensuite les inégalités f(x) > g(x) Et f(x) × h(x) > g(x) ×h(x) sont équivalents sur le plateau X.

Un corollaire découle de ce théorème : si les deux côtés de l'inégalité f(x) > g(x) multiplier par le même nombre positif d, alors on obtient l'inégalité f(x) × d > g(x) × ré, équivalent à celui-ci.

Théorème 3. Laissez l'inégalité f(x) > g(x) défini sur l'ensemble X Et h(x) - une expression définie sur le même ensemble, et pour tous X de beaucoup X expression h(x) accepte valeurs négatives. Ensuite les inégalités f(x) > g(x) Et f(x) × h(x) < g(x) ×h(x) sont équivalents sur le plateau X.

De ce théorème il résulte conséquence: si les deux côtés de l'inégalité f(x) > g(x) multiplié par le même nombre négatif d et changeons le signe de l'inégalité par le signe opposé, nous obtenons l'inégalité f(x) × d < g(x) × ré, équivalent à celui-ci.

Tâche. Est-ce que le numéro X= 5 solution de l'inégalité 2 X+ 7 > 10 - x, xО R? Trouvez de nombreuses solutions à cette inégalité.

Solution. Nombre X= 5 est une solution à l'inégalité
2X + 7 > 10 - X, puisque 2×5 + 7 > 10 - 5 est une véritable inégalité numérique. Et l'ensemble de ses solutions est l'intervalle (1; ¥), qui se trouve en effectuant la transformation de l'inégalité 2 X+ 7 > 10 - XÞ 3X> 3Þ X > 1.

Tâche. Résoudre l'inégalité 5 X- 5 < 2X+ 16 et justifier toutes les transformations qui seront effectuées au cours du processus de solution.

Solution.

Transformations	Justification des transformations
1. Déplaçons l'expression 2 X V côté gauche, et le chiffre -5 à droite, en changeant leurs signes à l'opposé : 5 X- 2X < 16 + 5.	Nous avons utilisé le corollaire 2 du théorème 3 et obtenu une inégalité équivalente à celle d'origine.
2. Présentons des termes similaires à gauche et bonnes pièces inégalités : 3 X < 21.	Complété transformations identitaires expressions des côtés gauche et droit de l'inégalité - elles n'ont pas violé l'équivalence des inégalités : le donné et l'original.
3. Divisez les deux côtés de l’inégalité par 3 : X < 7.	Nous avons utilisé le corollaire du théorème 4 et obtenu une inégalité équivalente à celle d'origine.

Équations à une variable. Une équation contenant une variable est appelée une équation à une variable ou une équation à une inconnue. Par exemple, une équation avec une variable est 3(2x+7)=4x-1.

La racine ou solution d'une équation est la valeur d'une variable à laquelle l'équation devient une véritable égalité numérique.

Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses racines ou prouver qu’il n’y a pas de racines.

Les équations sont dites équivalentes si toutes les racines de la première équation sont des racines de la deuxième équation et vice versa, toutes les racines de la deuxième équation sont des racines de la première équation ou si les deux équations n'ont pas de racines. Par exemple, les équations x-8=2 et x+10=20 sont équivalentes, car la racine de la première équation x=10 est également la racine de la deuxième équation, et les deux équations ont la même racine.

Théorèmes sur l'équivalence des équations. Les trois premiers théorèmes sont « silencieux », ils garantissent l'équivalence des transformations sans aucune conditions supplémentaires, leur utilisation ne pose aucun problème au décideur.

Théorème 1. Si un terme de l'équation est transféré d'une partie de l'équation à une autre avec le signe opposé, alors une équation équivalente à celle donnée sera obtenue.

Théorème 2. Si les deux côtés de l'équation sont égaux degré étrange, alors on obtient une équation équivalente à celle-ci.

Théorème 3. Équation exponentielle

Les trois théorèmes suivants sont « gênants » ; ils ne fonctionnent que sous certaines conditions, ce qui signifie qu’ils peuvent causer des problèmes lors de la résolution d’équations.

Le domaine de définition de l'équation f(x) = g(x) ou le domaine valeurs acceptables(ODZ) une variable est l'ensemble des valeurs de la variable x pour lesquelles les expressions f(x) et g(x) ont simultanément un sens.

Théorème 4. Si les deux membres de l'équation f(x)=g(x) sont multipliés par la même expression h(x), qui :

a) a du sens partout dans le domaine de définition (dans le domaine des valeurs admissibles) de l'équation f(x) = g(x) ;

b) ne devient 0 nulle part dans cette région - alors nous obtenons l'équation f(x) h(x) = g(x) h(x), équivalente à celle donnée.

La conséquence du théorème 4 est une autre affirmation « calme » : si les deux côtés de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, alors une équation équivalente à celle donnée est obtenue.

Théorème 5. Si les deux côtés de l'équation f(x) = g(x) sont non négatifs dans le domaine de définition de l'équation, alors après avoir élevé ses deux côtés à la même puissance paire n, on obtient une équation équivalente à ceci : f(x)n = g ( x)n .

Théorème 6. Si f(x) > 0 et g(x) > 0, alors équation logarithmique

Équivalent à l'équation f(x) = g(x).

Inégalités linéaires avec une variable. Si la variable x reçoit un valeur numérique, alors nous obtenons une inégalité numérique exprimant une affirmation vraie ou fausse. Soit par exemple l'inégalité 5x-1>3x+2. Pour x=2 on obtient 5·2-1>3·2+2 – déclaration vraie(indication du numéro correct); à x=0, nous obtenons 5·0-1>3·0+2 – une fausse déclaration. Toute valeur d'une variable à laquelle cette inégalité avec une variable se transforme en une véritable inégalité numérique est appelée une solution à l'inégalité. Résoudre une inégalité avec une variable revient à trouver l’ensemble de toutes ses solutions.

Deux inégalités de même variable x sont dites équivalentes si les ensembles de solutions de ces inégalités coïncident.

L'idée principale pour résoudre l'inégalité est la suivante : on remplace l'inégalité donnée par une autre, plus simple, mais équivalente à celle donnée ; nous remplaçons à nouveau l'inégalité résultante par une inégalité plus simple qui lui est équivalente, etc.

Ces remplacements sont effectués sur la base des déclarations suivantes.

Théorème 1. Si n'importe quel terme d'une inégalité à une variable est transféré d'une partie de l'inégalité à une autre de signe opposé, tout en laissant le signe de l'inégalité inchangé, alors une inégalité équivalente à celle donnée sera obtenue.

Théorème 2. Si les deux côtés d'une inégalité à une variable sont multipliés ou divisés par le même nombre positif, en laissant le signe de l'inégalité inchangé, alors une inégalité équivalente à celle donnée sera obtenue.

Théorème 3. Si les deux côtés d'une inégalité à une variable sont multipliés ou divisés par le même nombre négatif, tout en changeant le signe de l'inégalité en l'opposé, alors une inégalité équivalente à celle donnée sera obtenue.

Une inégalité de la forme ax+b>0 est dite linéaire (respectivement ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.