Dans cet article, nous présenterons concept de racine d'un nombre. Nous procéderons séquentiellement : nous commencerons par la racine carrée, de là nous passerons à la description de la racine cubique, après quoi nous généraliserons la notion de racine en définissant la nième racine. En même temps, nous présenterons des définitions, des notations, donnerons des exemples de racines et donnerons les explications et commentaires nécessaires.

Racine carrée, racine carrée arithmétique

Pour comprendre la définition de la racine d’un nombre, et de la racine carrée en particulier, il faut avoir . À ce stade, nous rencontrerons souvent la deuxième puissance d’un nombre : le carré d’un nombre.

Commençons avec définitions de racine carrée.

Définition

Racine carrée d'un est un nombre dont le carré est égal à a.

Afin d'apporter exemples racines carrées , prenons plusieurs nombres, par exemple 5, −0,3, 0,3, 0, et mettons-les au carré, nous obtenons les nombres 25, 0,09, 0,09 et 0, respectivement (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 et 0 2 =0·0=0 ). Alors, d'après la définition donnée ci-dessus, le nombre 5 est la racine carrée du nombre 25, les nombres −0,3 et 0,3 sont les racines carrées de 0,09 et 0 est la racine carrée de zéro.

Il convient de noter que pour aucun nombre a, il n’existe a dont le carré est égal à a. À savoir, pour tout nombre négatif a, il n’existe pas de nombre réel b dont le carré est égal à a. En fait, l'égalité a=b 2 est impossible pour tout a négatif, puisque b 2 n'est pas un nombre négatif pour tout b. Ainsi, sur un plateau nombres réels il n'y a pas de racine carrée d'un nombre négatif. Autrement dit, sur l’ensemble des nombres réels, la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie et n’a aucune signification.

Cela nous amène à une question logique : « Existe-t-il une racine carrée de a pour tout a non négatif » ? La réponse est oui. La justification de ce fait peut être considérée manière constructive, utilisé pour trouver la valeur de la racine carrée.

Ensuite, la question logique suivante se pose : « Quel est le nombre de toutes les racines carrées d'un nombre non négatif donné a - un, deux, trois ou même plus » ? Voici la réponse : si a vaut zéro, alors la seule racine carrée de zéro est zéro ; si a est un nombre positif, alors le nombre de racines carrées du nombre a est deux et les racines sont . Justifions cela.

Commençons par le cas a=0 . Montrons d’abord que zéro est bien la racine carrée de zéro. Cela découle de l'égalité évidente 0 2 =0·0=0 et de la définition de la racine carrée.

Montrons maintenant que 0 est la seule racine carrée de zéro. Utilisons la méthode inverse. Supposons qu’il existe un nombre b non nul qui soit la racine carrée de zéro. Alors la condition b 2 =0 doit être satisfaite, ce qui est impossible, puisque pour tout b non nul la valeur de l'expression b 2 est positive. Nous sommes arrivés à une contradiction. Cela prouve que 0 est la seule racine carrée de zéro.

Passons aux cas où a est un nombre positif. Nous avons dit plus haut qu'il existe toujours une racine carrée de tout nombre non négatif, soit la racine carrée de a le nombre b. Disons qu'il existe un nombre c, qui est aussi la racine carrée de a. Alors, par définition d'une racine carrée, les égalités b 2 =a et c 2 =a sont vraies, d'où il résulte que b 2 −c 2 =a−a=0, mais puisque b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , alors (b−c)·(b+c)=0 . L'égalité résultante est valide propriétés des opérations avec des nombres réels possible uniquement lorsque b−c=0 ou b+c=0 . Ainsi, les nombres b et c sont égaux ou opposés.

Si nous supposons qu'il existe un nombre d, qui est une autre racine carrée du nombre a, alors en raisonnant comme ceux déjà donnés, il est prouvé que d est égal au nombre b ou au nombre c. Ainsi, le nombre de racines carrées d’un nombre positif est deux et les racines carrées sont des nombres opposés.

Pour faciliter le travail avec les racines carrées racine négative« se sépare » du positif. A cet effet, il est introduit définition de la racine carrée arithmétique.

Définition

Racine carrée arithmétique d'un nombre non négatif a- Ce nombre non négatif, dont le carré est égal à a.

La notation de la racine carrée arithmétique de a est . Le signe s’appelle le signe arithmétique de la racine carrée. On l'appelle aussi le signe radical. Par conséquent, vous pouvez parfois entendre à la fois « racine » et « radical », ce qui signifie le même objet.

Le nombre sous le signe arithmétique de la racine carrée s'appelle nombre radical, et l'expression sous le signe racine est expression radicale, tandis que le terme « nombre radical» est souvent remplacé par « expression radicale ». Par exemple, dans la notation le nombre 151 est un nombre radical, et dans la notation l'expression a est une expression radicale.

Lors de la lecture, le mot « arithmétique » est souvent omis, par exemple, l'entrée est lue comme « la racine carrée de sept virgule vingt-neuf ». Le mot « arithmétique » n’est utilisé que lorsqu’ils veulent souligner que nous parlons de spécifiquement sur la racine carrée positive d’un nombre.

À la lumière de la notation introduite, il résulte de la définition d'une racine carrée arithmétique que pour tout nombre non négatif a .

Les racines carrées d'un nombre positif a s'écrivent en utilisant le signe arithmétique racine carrée comme et . Par exemple, les racines carrées de 13 sont et . Racine carrée arithmétique de zéro égal à zéro, c'est, . Pour les nombres négatifs a, nous n'attacherons pas de sens à la notation tant que nous n'aurons pas étudié nombres complexes . Par exemple, les expressions et n'ont aucun sens.

Sur la base de la définition de la racine carrée, les propriétés des racines carrées sont prouvées, qui sont souvent utilisées dans la pratique.

En conclusion de ce paragraphe, notons que les racines carrées du nombre a sont des solutions de la forme x 2 =a par rapport à la variable x.

Racine cubique d'un nombre

Définition de la racine cubique du nombre a est donné de la même manière que la définition de la racine carrée. Seulement, il est basé sur le concept d'un cube composé d'un nombre et non d'un carré.

Définition

Racine cubique d'un est un nombre dont le cube est égal à a.

Donne moi exemples racines cubes . Pour ce faire, prenez plusieurs nombres, par exemple 7, 0, −2/3, et cubez-les : 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Ensuite, sur la base de la définition d’une racine cubique, nous pouvons dire que le nombre 7 est la racine cubique de 343, 0 est la racine cubique de zéro et −2/3 est la racine cubique de −8/27.

On peut montrer que la racine cubique d’un nombre, contrairement à la racine carrée, existe toujours, non seulement pour a non négatif, mais aussi pour tout nombre réel a. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la même méthode que celle que nous avons mentionnée lors de l'étude des racines carrées.

De plus, il n’existe qu’une seule racine cubique de numéro donné un. Démontrons la dernière affirmation. Pour ce faire, considérons trois cas séparément : a est un nombre positif, a=0 et a est un nombre négatif.

Il est facile de montrer que si a est positif, la racine cubique de a ne peut être ni un nombre négatif ni zéro. En effet, soit b la racine cubique de a, alors par définition on peut écrire l'égalité b 3 =a. Il est clair que cette égalité ne peut pas être vraie pour b négatif et pour b=0, puisque dans ces cas b 3 =b·b·b sera respectivement un nombre négatif ou zéro. Ainsi, la racine cubique d’un nombre positif a est un nombre positif.

Supposons maintenant qu'en plus du nombre b, il existe une autre racine cubique du nombre a, notons-la c. Alors c 3 =a. Par conséquent, b 3 −c 3 =a−a=0, mais b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(c'est la formule de multiplication abrégée différence de cubes), d'où (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. L'égalité résultante n'est possible que lorsque b−c=0 ou b 2 +b·c+c 2 =0. De la première égalité nous avons b=c, et la deuxième égalité n'a pas de solutions, puisque son côté gauche est un nombre positif pour tout nombre positif b et c comme somme de trois termes positifs b 2, b·c et c 2. Cela prouve le caractère unique de la racine cubique d'un nombre positif a.

Lorsque a=0, la racine cubique du nombre a est uniquement le nombre zéro. En effet, si l'on suppose qu'il existe un nombre b, qui est une racine cubique non nulle de zéro, alors l'égalité b 3 =0 doit être vérifiée, ce qui n'est possible que lorsque b=0.

Pour un a négatif, des arguments similaires à ceux d’un a positif peuvent être donnés. Tout d’abord, nous montrons que la racine cubique d’un nombre négatif ne peut être égale ni à un nombre positif ni à zéro. Deuxièmement, nous supposons qu’il existe une deuxième racine cubique d’un nombre négatif et montrons qu’elle coïncidera nécessairement avec la première.

Ainsi, il existe toujours une racine cubique de tout nombre réel a donné, et une racine unique.

Donne moi définition de la racine cubique arithmétique.

Définition

Racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le cube est égal à a.

La racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est notée , le signe est appelé le signe de la racine cubique arithmétique, le nombre 3 dans cette notation est appelé index racine. Le nombre sous le signe racine est nombre radical, l'expression sous le signe racine est expression radicale.

Bien que la racine cubique arithmétique ne soit définie que pour les nombres non négatifs a, il est également pratique d'utiliser des notations dans lesquelles les nombres négatifs se trouvent sous le signe de la racine cubique arithmétique. Nous les comprendrons ainsi : , où a est un nombre positif. Par exemple, .

Nous parlerons des propriétés des racines cubiques dans l'article général Propriétés des racines.

Calculer la valeur d'une racine cubique s'appelle extraire une racine cubique ; cette action est abordée dans l'article extraire des racines : méthodes, exemples, solutions.

Pour conclure ce point, disons que la racine cubique du nombre a est une solution de la forme x 3 =a.

racine nième, racine arithmétique du degré n

Généralisons le concept de racine d'un nombre - nous introduisons définition de la nième racine pour n.

Définition

nième racine d'un est un nombre dont la puissance n est égale à a.

Depuis cette définition il est clair que la racine du premier degré du nombre a est le nombre a lui-même, puisque lors de l'étude du degré c indicateur naturel nous avons accepté un 1 =a .

Ci-dessus, nous avons examiné des cas particuliers de la nième racine pour n=2 et n=3 - racine carrée et racine cubique. Autrement dit, une racine carrée est une racine du deuxième degré et une racine cubique est une racine du troisième degré. Pour étudier les racines du nième degré pour n=4, 5, 6, ..., il convient de les diviser en deux groupes : le premier groupe - les racines de degrés pairs (c'est-à-dire pour n = 4, 6, 8 , ...), le deuxième groupe - les racines des degrés impairs (c'est-à-dire avec n=5, 7, 9, ...). Cela est dû au fait que les racines des puissances paires sont similaires aux racines carrées et que les racines des puissances impaires sont similaires aux racines cubiques. Traitons-les un par un.

Commençons par les racines dont les puissances sont les nombres pairs 4, 6, 8, ... Comme nous l'avons déjà dit, elles sont semblables à la racine carrée du nombre a. Autrement dit, la racine de tout degré pair du nombre a n'existe que pour a non négatif. De plus, si a=0, alors la racine de a est unique et égale à zéro, et si a>0, alors il y a deux racines de degré pair du nombre a, et ce sont des nombres opposés.

Justifions la dernière affirmation. Soit b une racine de degré pair (nous la notons 2 m, où m est un entier naturel) à partir du numéro a . Supposons qu'il existe un nombre c - une autre racine de degré 2·m du nombre a. Alors b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Mais on connaît la forme b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), alors (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. De cette égalité il résulte que b−c=0, ou b+c=0, ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Les deux premières égalités signifient que les nombres b et c sont égaux ou que b et c sont opposés. Et la dernière égalité n'est valable que pour b=c=0, puisque sur son côté gauche se trouve une expression qui est non négative pour tout b et c comme somme de nombres non négatifs.

Quant aux racines du nième degré pour n impair, elles sont similaires à la racine cubique. Autrement dit, n'importe quelle racine degré étrange du nombre a existe pour tout nombre réel a, et pour un nombre donné a il est unique.

L'unicité d'une racine de degré impair 2·m+1 du nombre a se prouve par analogie avec la preuve de l'unicité de la racine cubique de a. Seulement ici au lieu de l'égalité a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) une égalité de la forme b 2 m+1 −c 2 m+1 = est utilisée (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). L'expression entre parenthèses peut être réécrite comme suit b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Par exemple, avec m=2 on a b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Lorsque a et b sont tous deux positifs ou tous deux négatifs, leur produit est un nombre positif, alors l'expression b 2 +c 2 +b·c entre parenthèses elle-même haut degré l'imbrication, est positive comme la somme des nombres positifs. Maintenant, en passant séquentiellement aux expressions entre parenthèses des degrés d'imbrication précédents, nous sommes convaincus qu'ils sont également positifs comme somme de nombres positifs. En conséquence, on obtient que l'égalité b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 possible uniquement lorsque b−c=0, c'est-à-dire lorsque le nombre b est égal au nombre c.

Il est temps de comprendre la notation des nièmes racines. A cet effet, il est donné définition racine arithmétique nième degré.

Définition

Racine arithmétique du nième degré d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont la puissance n est égale à a.

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Premier niveau

Racine et ses propriétés. Théorie détaillée avec des exemples (2019)

Essayons de comprendre ce qu'est ce concept de « racine » et « avec quoi on la mange ». Pour ce faire, regardons des exemples que vous avez déjà rencontrés en classe (enfin, ou que vous êtes sur le point de rencontrer).

Par exemple, nous avons une équation. quelle est la solution équation donnée? Quels nombres peuvent être mis au carré et obtenus ? En vous souvenant de la table de multiplication, vous pouvez facilement donner la réponse : et (après tout, lorsque deux nombres négatifs sont multipliés, on obtient un nombre positif) ! Pour simplifier, les mathématiciens ont introduit notion spéciale racine carrée et lui a attribué un symbole spécial.

Définissons la racine carrée arithmétique.

Pourquoi le nombre doit-il être non négatif ? Par exemple, à quoi est-ce égal ? Eh bien, essayons d'en choisir un. Peut-être trois ? Vérifions : , non. Peut être, ? Encore une fois, on vérifie : . Eh bien, ça ne va pas ? C'est normal, car il n'existe pas de nombres qui, une fois mis au carré, donnent un nombre négatif !
Voici ce que vous devez retenir : le nombre ou l'expression sous le signe racine doit être non négatif !

Cependant, les plus attentifs ont probablement déjà remarqué que la définition dit que la solution de la racine carrée de « un nombre s'appelle ceci non négatif nombre dont le carré est égal à ". Certains d'entre vous diront qu'au tout début nous avons regardé un exemple, sélectionné des nombres qui peuvent être mis au carré et obtenus, la réponse était et, mais ici nous parlons d'une sorte de « nombre non négatif » ! Cette remarque est tout à fait appropriée. Ici, il vous suffit de faire la distinction entre les concepts d'équations quadratiques et de racine carrée arithmétique d'un nombre. Par exemple, n'est pas équivalent à l'expression.

Il s'ensuit que, c'est-à-dire, ou. (Lire le sujet "")

Et cela s'ensuit.

Bien sûr, cela est très déroutant, mais il faut se rappeler que les signes sont le résultat de la résolution de l'équation, car lors de la résolution de l'équation, nous devons écrire tous les X qui, une fois substitués dans équation originale donnera le résultat correct. Dans notre équation quadratique convient aux deux.

Toutefois, si prends juste la racine carrée de quelque chose, alors toujours nous obtenons un résultat non négatif.

Essayez maintenant de résoudre cette équation. Tout n’est plus si simple et fluide, n’est-ce pas ? Essayez de parcourir les chiffres, peut-être que quelque chose s'arrangera ? Commençons par le tout début - à partir de zéro : - ne rentre pas, passons à autre chose - moins de trois, balayons également, et si. Vérifions : - ne convient pas non plus, car... ça fait plus de trois. C'est la même histoire avec les nombres négatifs. Alors que devons-nous faire maintenant ? La recherche ne nous a-t-elle vraiment rien donné ? Pas du tout, maintenant nous savons avec certitude que la réponse sera un nombre entre et, ainsi qu'entre et. De plus, les solutions ne seront évidemment pas des nombres entiers. De plus, ils ne sont pas rationnels. Alors, quelle est la prochaine étape ? Traçons graphiquement la fonction et marquons les solutions dessus.

Essayons de tromper le système et obtenons la réponse à l'aide d'une calculatrice ! Extractons-en la racine ! Oh-oh-oh, il s'avère que c'est le cas. Ce numéro ne finit jamais. Comment pouvez-vous vous en souvenir, puisqu'il n'y aura pas de calculatrice à l'examen !? Tout est très simple, vous n'avez pas besoin de le mémoriser, vous devez vous en souvenir (ou pouvoir le comprendre rapidement) valeur approximative. et les réponses elles-mêmes. De tels nombres sont appelés irrationnels ; c'est pour simplifier l'écriture de tels nombres que le concept de racine carrée a été introduit.

Regardons un autre exemple pour renforcer cela. Regardons le problème suivant : vous devez traverser un champ carré d'un côté de km en diagonale, combien de km devez-vous parcourir ?

Le plus évident ici est de considérer le triangle séparément et d'utiliser le théorème de Pythagore : . Ainsi, . Alors, quelle est la distance requise ici ? Évidemment, la distance ne peut pas être négative, on le comprend. La racine de deux est approximativement égale, mais, comme nous l'avons noté plus tôt, - est déjà une réponse complète.

Pour résoudre des exemples avec des racines sans causer de problèmes, vous devez les voir et les reconnaître. Pour ce faire, vous devez connaître au moins les carrés des nombres de à, et également être capable de les reconnaître. Par exemple, il faut savoir ce qui est égal à un carré, et aussi, inversement, ce qui est égal à un carré.

Avez-vous compris ce qu'est une racine carrée ? Ensuite, résolvez quelques exemples.

Exemples.

Eh bien, comment ça s'est passé ? Regardons maintenant ces exemples :

Réponses:

racine cubique

Eh bien, il semble que nous ayons compris le concept de racine carrée, essayons maintenant de comprendre ce qu'est une racine cubique et quelle est leur différence.

La racine cubique d'un nombre est le nombre dont le cube est égal. Avez-vous remarqué que tout est beaucoup plus simple ici ? Il n'y a aucune restriction sur valeurs possiblesà la fois les valeurs sous le signe de la racine cubique et le nombre en cours d'extraction. Autrement dit, la racine cubique peut être extraite de n'importe quel nombre : .

Comprenez-vous ce qu’est une racine cubique et comment l’extraire ? Alors allez-y et résolvez les exemples.

Exemples.

Réponses:

Racine - oh degré

Eh bien, nous avons compris les concepts de racines carrées et cubiques. Résumons maintenant les connaissances acquises avec le concept 1ère racine.

1ère racine d'un nombre est un nombre dont la puissance ième est égale, c'est-à-dire

équivalent.

Si - même, Que:

• avec négatif, l’expression n’a pas de sens (racines paires de nombres négatifs ne peut pas être supprimé!);
• pour le non négatif() l’expression a une racine non négative.

Si - est impair, alors l'expression a une racine unique pour any.

Ne vous inquiétez pas, les mêmes principes s'appliquent ici qu'avec les racines carrées et cubiques. Autrement dit, les principes que nous avons appliqués lors de l’examen des racines carrées sont étendus à toutes les racines de degré pair.

Et les propriétés utilisées pour la racine cubique s’appliquent aux racines de degré impair.

Eh bien, est-ce devenu plus clair ? Regardons des exemples :

Ici, tout est plus ou moins clair : nous regardons d'abord - oui, le degré est pair, le nombre sous la racine est positif, ce qui signifie que notre tâche est de trouver un nombre dont la quatrième puissance nous donnera. Eh bien, des suppositions ? Peut être, ? Exactement!

Ainsi, le degré est égal à impair, le nombre sous la racine est négatif. Notre tâche est de trouver un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, produit. Il est assez difficile de remarquer immédiatement la racine. Cependant, vous pouvez immédiatement affiner votre recherche, n'est-ce pas ? Premièrement, le nombre recherché est définitivement négatif, et deuxièmement, on peut remarquer qu'il est impair, et donc le nombre souhaité est impair. Essayez de trouver la racine. Bien sûr, vous pouvez le rejeter en toute sécurité. Peut être, ?

Oui, c'est ce que nous recherchions ! A noter que pour simplifier le calcul nous avons utilisé les propriétés des degrés : .

Propriétés de base des racines

Il est clair? Sinon, après avoir examiné les exemples, tout devrait se mettre en place.

Multiplication des racines

Comment multiplier les racines ? La propriété la plus simple et la plus fondamentale permet de répondre à cette question :

Commençons par quelque chose de simple :

Les racines des nombres résultants ne sont-elles pas exactement extraites ? Pas de problème, voici quelques exemples :

Et s'il n'y avait pas deux, mais plus de multiplicateurs ? Le même! La formule de multiplication des racines fonctionne avec un certain nombre de facteurs :

Que pouvons-nous en faire ? Eh bien, bien sûr, cachez les trois sous la racine, en vous rappelant que les trois sont la racine carrée de !

Pourquoi avons nous besoin de ça? Oui, juste pour étendre nos capacités lors de la résolution d'exemples :

Que pensez-vous de cette propriété des racines ? Est-ce que cela rend la vie beaucoup plus facile ? Pour moi, c'est tout à fait vrai ! Tu dois juste te souvenir de ça On ne peut saisir des nombres positifs que sous le signe racine d'un degré pair.

Voyons où cela peut être utile. Par exemple, le problème nécessite de comparer deux nombres :

Plus que:

Vous ne pouvez pas le savoir tout de suite. Eh bien, utilisons la propriété désassemblée de saisir un nombre sous le signe racine ? Alors vas-y:

Eh bien, sachant quoi plus grand nombre sous le signe de la racine, plus la racine elle-même est grosse ! Ceux. si donc, . De là, nous concluons fermement que. Et personne ne nous convaincra du contraire !

Avant cela, nous saisissions un multiplicateur sous le signe de la racine, mais comment le supprimer ? Il vous suffit de le prendre en compte et d'extraire ce que vous extrayez !

Il était possible d’emprunter une voie différente et de s’étendre à d’autres facteurs :

Pas mal, non ? Chacune de ces approches est correcte, décidez comme vous le souhaitez.

Par exemple, voici une expression :

Dans cet exemple, le degré est pair, mais que se passe-t-il s’il est impair ? Encore une fois, appliquez les propriétés des puissances et factorisez tout :

Tout semble clair avec cela, mais comment extraire la racine d'un nombre en puissance ? Voici par exemple ceci :

Assez simple, non ? Et si le degré est supérieur à deux ? Nous suivons la même logique en utilisant les propriétés des diplômes :

Eh bien, tout est clair ? Alors voici un exemple :

Ce sont les pièges, à leur sujet ça vaut toujours la peine de le rappeler. Cela se reflète effectivement dans les exemples de propriétés :

Il est clair? Renforcez avec des exemples :

Oui, nous voyons que la racine est à une puissance paire, le nombre négatif sous la racine est également à une puissance paire. Eh bien, est-ce que ça marche pareil ? Voici quoi :

C'est tout! Voici maintenant quelques exemples :

J'ai compris? Alors allez-y et résolvez les exemples.

Exemples.

Réponses.

Si vous avez reçu des réponses, vous pouvez avancer l’esprit tranquille. Sinon, comprenons ces exemples :

Examinons deux autres propriétés des racines :

Ces propriétés doivent être analysées dans des exemples. Eh bien, faisons ça ?

J'ai compris? Sécurisons-le.

Exemples.

Réponses.

RACINES ET LEURS PROPRIÉTÉS. NIVEAU MOYEN

Racine carrée arithmétique

L'équation a deux solutions : et. Ce sont des nombres dont le carré est égal à.

Considérez l'équation. Résolvons-le graphiquement. Traçons un graphique de la fonction et une ligne au niveau. Les points d'intersection de ces lignes seront les solutions. On voit que cette équation a également deux solutions - l'une positive, l'autre négative :

Mais en dans ce cas les solutions ne sont pas des nombres entiers. De plus, ils ne sont pas rationnels. Afin de les écrire décisions irrationnelles, nous introduisons un symbole spécial de racine carrée.

Racine carrée arithmétique est un nombre non négatif dont le carré est égal à. Lorsque l'expression n'est pas définie, parce que Il n’existe aucun nombre dont le carré soit égal à un nombre négatif.

Racine carrée: .

Par exemple, . Et cela suit ou.

Permettez-moi encore une fois d'attirer votre attention, ceci est très important : La racine carrée est toujours un nombre non négatif : !

racine cubique d'un nombre est un nombre dont le cube est égal à. La racine cubique est définie pour tout le monde. Il peut être extrait de n'importe quel nombre : . Comme vous pouvez le constater, cela peut également prendre des valeurs négatives.

La racine ième d'un nombre est un nombre dont la puissance ième est égale, c'est-à-dire

Si c'est pair, alors :

• si, alors la ième racine de a n'est pas définie.
• si, alors la racine non négative de l'équation est appelée la racine arithmétique du ème degré de et est notée.

Si - est impair, alors l’équation a une racine unique pour chaque équation.

Avez-vous remarqué qu'à gauche au-dessus du signe de la racine on écrit son degré ? Mais pas pour la racine carrée ! Si vous voyez une racine sans degré, cela signifie qu'elle est carrée (degrés).

Exemples.

Propriétés de base des racines

RACINES ET LEURS PROPRIÉTÉS. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Racine carrée (racine carrée arithmétique)à partir d'un nombre non négatif s'appelle ainsi nombre non négatif dont le carré est

Propriétés des racines :

Racine arithmétique du deuxième degré

Définition 1

La deuxième racine (ou racine carrée) de $a$ appelez un nombre qui, une fois mis au carré, devient égal à $a$.

Exemple 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, ce qui signifie que le nombre $7$ est la 2ème racine du nombre $49$ ;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, ce qui signifie que le nombre $0,9$ est la 2ème racine du nombre $0,81$ ;

$1^2=1 \cdot 1=1$, ce qui signifie que le nombre $1$ est la 2ème racine du nombre $1$.

Note 2

En termes simples, pour n'importe quel nombre $a

$a=b^2$ pour $a$ négatif est incorrect, car $a=b^2$ ne peut pas être négatif pour aucune valeur de $b$.

On peut conclure que pour les nombres réels, il ne peut pas y avoir de racine seconde d'un nombre négatif.

Note 3

Parce que $0^2=0 \cdot 0=0$, alors de la définition il s'ensuit que zéro est la 2ème racine de zéro.

Définition 2

Racine arithmétique du 2ème degré du nombre $a$($a \ge 0$) est un nombre non négatif qui, une fois au carré, est égal à $a$.

Les racines du 2ème degré sont aussi appelées racines carrées.

La racine arithmétique du 2ème degré du nombre $a$ est notée $\sqrt(a)$ ou vous pouvez voir la notation $\sqrt(a)$. Mais le plus souvent pour la racine carrée le nombre $2$ est exposant racine- non spécifié. Le signe « $\sqrt( )$ » est le signe de la racine arithmétique du 2ème degré, également appelée « signe radical" Les concepts « racine » et « radical » sont des noms du même objet.

S'il y a un nombre sous le signe racine arithmétique, alors il s'appelle nombre radical, et si l'expression, alors – expression radicale.

L'entrée $\sqrt(8)$ est lue comme « racine arithmétique du 2e degré de huit » et le mot « arithmétique » n'est souvent pas utilisé.

Définition 3

Selon la définition racine arithmétique du 2ème degré peut s'écrire :

Pour tout $a \ge 0$ :

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Nous avons montré la différence entre une racine seconde et une racine seconde arithmétique. De plus, nous ne considérerons que les racines des nombres et des expressions non négatifs, c'est-à-dire seulement de l'arithmétique.

Racine arithmétique du troisième degré

Définition 4

Racine arithmétique du 3ème degré (ou racine cubique) du nombre $a$($a \ge 0$) est un nombre non négatif qui, une fois réduit au cube, devient égal à $a$.

Souvent, le mot arithmétique est omis et on dit « la 3ème racine du nombre $a$ ».

La racine arithmétique du 3ème degré de $a$ est notée $\sqrt(a)$, le signe « $\sqrt( )$ » est le signe de la racine arithmétique du 3ème degré et le nombre $3$ dans cette notation s'appelle index racine. Le nombre ou l'expression qui apparaît sous le signe racine s'appelle radical.

Exemple 2

$\sqrt(3,5)$ – racine arithmétique du 3ème degré de 3,5$ ou racine cubique de 3,5$ ;

$\sqrt(x+5)$ – racine arithmétique du 3ème degré de $x+5$ ou racine cubique de $x+5$.

Arithmétique nième racine

Définition 5

Arithmétique nième racine degrésà partir du nombre $a \ge 0$ on appelle un nombre non négatif qui, élevé à la $n$ième puissance, devient égal à $a$.

Notation pour la racine arithmétique du degré $n$ de $a \ge 0$ :

où $a$ est un nombre ou une expression radicale,

Une racine arithmétique du nième degré d'un nombre non négatif est un nombre non négatif nième degré qui est égal à :

La puissance d'une racine est un nombre naturel supérieur à 1.

3.

4.

Cas spéciaux:

1. Si l'exposant racine n'est pas un entier nombre pair (), alors l'expression radicale peut être négative.

Dans le cas d'un exposant impair, l'équation pour toute valeur réelle et entière A TOUJOURS une seule racine :

Pour une racine de degré impair, l’identité suivante est vraie :

,

2. Si l'exposant racine est un entier pair (), alors l'expression radicale ne peut pas être négative.

Dans le cas d'un exposant pair, l'équation. Il a

à racine unique

et, si et

Pour une racine de degré pair, l’identité suivante est vraie :

Pour une racine de degré pair, les égalités suivantes sont valables ::

Fonction de puissance, ses propriétés et son graphique.

Fonction de puissance et ses propriétés.

Fonction puissance avec exposant naturel. La fonction y = x n, où n est un nombre naturel, est appelée fonction puissance avec un exposant naturel. Pour n = 1 on obtient la fonction y = x, ses propriétés :

Proportionnalité directe. La proportionnalité directe est une fonction donné par la formule y = kx n, où le nombre k est appelé coefficient de proportionnalité.

Listons les propriétés de la fonction y = kx.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble de tous les nombres réels.

y = kx - Pas même fonction(f(-x) = k (-x)= -kx = -k(x)).

3) Pour k > 0 la fonction augmente, et pour k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Le graphique (ligne droite) est présenté à la figure II.1.

Riz. II.1.

Lorsque n=2 on obtient la fonction y = x 2, ses propriétés :

Fonction y -x 2. Listons les propriétés de la fonction y = x 2.

y = x 2 - fonction paire (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

La fonction diminue au cours de l'intervalle.

En fait, si , alors - x 1 > - x 2 > 0, et donc

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, c'est-à-dire et cela signifie que la fonction est décroissante.

Le graphique de la fonction y=x2 est une parabole. Ce graphique est présenté à la figure II.2.

Riz. II.2.

Lorsque n = 3 on obtient la fonction y = x 3, ses propriétés :

Le domaine de définition d’une fonction est la droite numérique entière.

y = x 3 - fonction impaire (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) La fonction y = x 3 augmente sur toute la droite numérique. Le graphique de la fonction y = x 3 est présenté sur la figure. C'est ce qu'on appelle une parabole cubique.

Le graphique (parabole cubique) est présenté à la figure II.3.

Riz. II.3.

Soit n un nombre naturel pair arbitraire supérieur à deux :

n = 4, 6, 8,... . Dans ce cas, la fonction y = x n a les mêmes propriétés que la fonction y = x 2. Le graphique d'une telle fonction ressemble à une parabole y = x 2, seules les branches du graphique en |n| >1 plus ils montent en pente raide, plus n est grand, et plus « pressé » sur l’axe des x, plus n est grand.

Soit n un nombre impair arbitraire supérieur à trois : n = = 5, 7, 9, ... . Dans ce cas, la fonction y = x n a les mêmes propriétés que la fonction y = x 3. Le graphique d'une telle fonction ressemble à une parabole cubique (seules les branches du graphique montent et descendent d'autant plus raides, plus n est grand. Notez également que sur l'intervalle (0 ; 1) le graphique de la fonction puissance y = x n se déplace s'éloigner de l'axe des x plus lentement à mesure que x augmente, plus il est supérieur à n.

Fonction puissance avec exposant entier négatif. Considérons la fonction y = x - n, où n est un nombre naturel. Lorsque n = 1 on obtient y = x - n ou y = Propriétés de cette fonction :

Le graphique (hyperbole) est présenté à la figure II.4.