Les équations quadratiques sont étudiées en 8e année, il n'y a donc rien de compliqué ici. Il est absolument nécessaire de pouvoir les résoudre.
Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où les coefficients a, b et c sont nombres arbitraires, et une ≠ 0.
Avant d'étudier des méthodes de résolution spécifiques, notez que toutes les équations quadratiques peuvent être divisées en trois classes :
- N'avoir pas de racines ;
- Avoir exactement une racine ;
- Ils ont deux racines différentes.
C'est différence importante équations quadratiques des linéaires, où la racine existe toujours et est unique. Comment déterminer le nombre de racines d’une équation ? Il y a une chose merveilleuse à cela - discriminant.
Discriminant
Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors le discriminant est simplement le nombre D = b 2 − 4ac.
Il faut connaître cette formule par cœur. D’où cela vient n’a plus d’importance maintenant. Une autre chose est importante : par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. À savoir:
- Si D< 0, корней нет;
- Si D = 0, il y a exactement une racine ;
- Si D > 0, il y aura deux racines.
Attention : le discriminant indique le nombre de racines, et pas du tout leurs signes, comme beaucoup de gens le croient pour une raison quelconque. Jetez un œil aux exemples et vous comprendrez tout vous-même :
Tâche. Combien de racines ont les équations quadratiques :
- x 2 − 8x + 12 = 0 ;
- 5x2 + 3x + 7 = 0 ;
- x2 − 6x + 9 = 0.
Écrivons les coefficients de la première équation et trouvons le discriminant :
une = 1, b = −8, c = 12 ;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Le discriminant est donc positif, donc l’équation a deux racines différentes. Nous analysons la deuxième équation de la même manière :
une = 5 ; b = 3 ; c = 7 ;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Le discriminant est négatif, il n’y a pas de racines. La dernière équation restante est :
une = 1 ; b = −6 ; c = 9 ;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Discriminant égal à zéro- il y aura une racine.
Veuillez noter que des coefficients ont été notés pour chaque équation. Oui, c’est long, oui, c’est fastidieux, mais on ne va pas mélanger les probabilités et faire des erreurs stupides. Choisissez vous-même : rapidité ou qualité.
D'ailleurs, si vous comprenez, au bout d'un moment, vous n'aurez plus besoin d'écrire tous les coefficients. Vous effectuerez de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à faire cela quelque part après 50 à 70 équations résolues - en général, pas tant que ça.
Racines d'une équation quadratique
Passons maintenant à la solution elle-même. Si le discriminant D > 0, les racines peuvent être trouvées à l'aide des formules :
Formule de base pour les racines d'une équation quadratique
Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtiendrez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0 ;
- 15 − 2x − x2 = 0 ;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Première équation :
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ une = 1 ; b = −2 ; c = −3 ;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ l'équation a deux racines. Trouvons-les :
Deuxième équation :
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ une = −1 ; b = −2 ; c = 15 ;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Trouvons-les
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fin(aligner)\]
Enfin, la troisième équation :
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ une = 1 ; b = 12 ; c = 36 ;
ré = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ l'équation a une racine. N’importe quelle formule peut être utilisée. Par exemple, le premier :
Comme vous pouvez le voir sur les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et savez compter, il n'y aura aucun problème. Le plus souvent, des erreurs se produisent lors de la substitution de coefficients négatifs dans la formule. Là encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera : regardez la formule littéralement, notez chaque étape - et très bientôt vous vous débarrasserez des erreurs.
Équations quadratiques incomplètes
Il arrive qu'une équation quadratique soit légèrement différente de ce qui est donné dans la définition. Par exemple:
- x2 + 9x = 0 ;
- X 2 - 16 = 0.
Il est facile de remarquer qu’il manque un terme dans ces équations. De telles équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standards : elles ne nécessitent même pas de calculer le discriminant. Alors, introduisons un nouveau concept :
L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée une équation quadratique incomplète si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est égal à zéro.
Bien entendu, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro : b = c = 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme ax 2 = 0. Évidemment, une telle équation a une racine unique : x = 0.
Considérons les cas restants. Soit b = 0, alors on obtient une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0. Transformons-la un peu :
Depuis l'arithmétique racine carrée n'existe qu'à partir de nombre non négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (−c /a) ≥ 0. Conclusion :
- Si dans une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 l'inégalité (−c /a) ≥ 0 est satisfaite, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus ;
- Si (−c /a)< 0, корней нет.
Comme vous pouvez le voir, le discriminant n'était pas requis - dans les équations quadratiques incomplètes, il n'y a pas calculs complexes. En fait, il n'est même pas nécessaire de se souvenir de l'inégalité (−c /a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la valeur x 2 et de voir ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal. S’il y a un nombre positif, il y aura deux racines. S’il est négatif, il n’y aura aucune racine.
Regardons maintenant les équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici : il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme :
Sortir le facteur commun des parenthèsesLe produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. C'est de là que viennent les racines. En conclusion, examinons quelques-unes de ces équations :
Tâche. Résoudre des équations quadratiques :
- x 2 - 7x = 0 ;
- 5x2 + 30 = 0 ;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0 ; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Il n'y a pas de racines, parce que un carré ne peut pas être égal à un nombre négatif.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5 ; x 2 = −1,5.
Avec ça programme de mathématiques tu peux résoudre une équation quadratique.
Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de solution de deux manières :
- utiliser un discriminant
- en utilisant le théorème de Vieta (si possible).
De plus, la réponse est affichée comme étant exacte et non approximative.
Par exemple, pour l'équation \(81x^2-16x-1=0\), la réponse s'affiche sous la forme suivante :
Ce programme peut être utile pour les lycéens écoles secondaires en préparation essais et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs
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ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente. Si vous n'êtes pas familier avec les règles d'entrée polynôme quadratique
, nous vous recommandons de vous familiariser avec eux.
Règles de saisie d'un polynôme quadratique
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.
Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
De plus, nombres fractionnaires peut être saisi non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales.
En décimales partie fractionnaire peut être séparé du tout par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x^2
Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.
Le dénominateur ne peut pas être négatif.
En entrant fraction numérique Le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
Partie entière est séparé de la fraction par une esperluette : &
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Lors de la saisie d'une expression tu peux utiliser des parenthèses. Dans ce cas, lors de la résolution d'une équation quadratique, l'expression introduite est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2(a-1)(a+1)-(5a-10&1/2)
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Un peu de théorie.
Équation quadratique et ses racines. Équations quadratiques incomplètes
Chacune des équations
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
on dirait
\(ax^2+bx+c=0, \)
où x est une variable, a, b et c sont des nombres.
Dans la première équation a = -1, b = 6 et c = 1,4, dans la seconde a = 8, b = -7 et c = 0, dans la troisième a = 1, b = 0 et c = 4/9. De telles équations sont appelées équations quadratiques.
Définition.
Équation quadratique est appelée une équation de la forme ax 2 +bx+c=0, où x est une variable, a, b et c sont des nombres et \(a \neq 0 \).
Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique. Le nombre a est appelé premier coefficient, le nombre b est le deuxième coefficient et le nombre c est le terme libre.
Dans chacune des équations de la forme ax 2 +bx+c=0, où \(a \neq 0\), le plus grand degré la variable x est carrée. D'où le nom : équation quadratique.
Notez qu'une équation quadratique est aussi appelée équation du deuxième degré, puisque son côté gauche est un polynôme du deuxième degré.
Une équation quadratique dans laquelle le coefficient de x 2 est égal à 1 est appelée équation quadratique donnée. Par exemple, les équations quadratiques données sont les équations
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Si dans une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 au moins un des coefficients b ou c est égal à zéro, alors une telle équation est appelée équation quadratique incomplète. Ainsi, les équations -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sont des équations quadratiques incomplètes. Dans le premier d’entre eux b=0, dans le deuxième c=0, dans le troisième b=0 et c=0.
Il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes :
1) ax 2 +c=0, où \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, où \(b \neq 0 \);
3) hache 2 =0.
Considérons la résolution d'équations de chacun de ces types.
Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +c=0 comme \(c \neq 0 \) nous la transférons membre gratuit du côté droit et divisez les deux côtés de l’équation par a :
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Puisque \(c \neq 0 \), alors \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Si \(-\frac(c)(a)>0\), alors l'équation a deux racines.
Si \(-\frac(c)(a) Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 avec \(b \neq 0 \) développez-la côté gauche par facteurs et obtenir l'équation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.
Cela signifie qu'une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 pour \(b \neq 0 \) a toujours deux racines.
Une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 =0 est équivalente à l'équation x 2 =0 et a donc une seule racine 0.
Formule pour les racines d'une équation quadratique
Voyons maintenant comment résoudre des équations quadratiques dans lesquelles les coefficients des inconnues et le terme libre sont non nuls.
Résolvons l'équation quadratique dans vue générale et nous obtenons ainsi la formule des racines. Cette formule peut ensuite être utilisée pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.
Résolvons l'équation quadratique axe 2 +bx+c=0
En divisant les deux côtés par a, nous obtenons l'équation quadratique réduite équivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Transformons cette équation en sélectionnant le carré du binôme :
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
L'expression radicale s'appelle discriminant d'une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 (« discriminant » en latin - discriminateur). Il est désigné par la lettre D, c'est-à-dire
\(D = b^2-4ac\)
Maintenant, en utilisant la notation discriminante, nous réécrivons la formule des racines de l'équation quadratique :
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), où \(D= b^2-4ac \)
Il est évident que :
1) Si D>0, alors l'équation quadratique a deux racines.
2) Si D=0, alors l'équation quadratique a une racine \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Ainsi, selon la valeur du discriminant, une équation quadratique peut avoir deux racines (pour D > 0), une racine (pour D = 0) ou n'avoir aucune racine (pour D). Lors de la résolution d'une équation quadratique en utilisant ce formule, il est conseillé de procéder de la manière suivante :
1) calculer le discriminant et le comparer à zéro ;
2) si le discriminant est positif ou égal à zéro, alors utilisez la formule racine si le discriminant est négatif, notez qu'il n'y a pas de racines ;
Théorème de Vieta
L'équation quadratique donnée ax 2 -7x+10=0 a les racines 2 et 5. La somme des racines est 7 et le produit est 10. On voit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient tiré de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Toute équation quadratique réduite ayant des racines possède cette propriété.
La somme des racines de l'équation quadratique ci-dessus est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.
Ceux. Le théorème de Vieta stipule que les racines x 1 et x 2 de l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 ont la propriété :
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)