La valeur de l'espérance mathématique du nombre 5. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète

Espérance mathématique (valeur moyenne) variable aléatoire X donné sur un discret espace de probabilité, le nombre m =M[X]=∑x i p i est appelé si la série converge absolument.

Objet de la prestation. Utiliser le service dans mode en ligne sont calculés espérance mathématique, variance et moyenne écart type (voir exemple). De plus, un graphique de la fonction de distribution F(X) est tracé.

Propriétés de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire

1. Attente valeur constanteégal à lui-même : M[C]=C, C est une constante ;
2. M=CM[X]
3. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : M=M[X]+M[Y]
4. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : M=M[X] M[Y] , si X et Y sont indépendants.

Propriétés de dispersion

1. La variance d'une valeur constante est nulle : D(c)=0.
2. Le facteur constant peut être retiré sous le signe de dispersion en le mettant au carré : D(k*X)= k 2 D(X).
3. Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors la variance de la somme est égale à la somme des variances : D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Si les variables aléatoires X et Y sont dépendantes : D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. La formule de calcul suivante est valable pour la dispersion :
   D(X)=M(X2)-(M(X))2

Exemple. Les attentes mathématiques et les variances de deux variables aléatoires indépendantes X et Y sont connues : M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Trouvez l'espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire Z=9X-8Y+7.
Solution. Basé sur les propriétés de l'espérance mathématique : M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basé sur les propriétés de dispersion : D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algorithme de calcul de l'espérance mathématique

1. On multiplie les paires une à une : x i par p i .
2. Ajoutez le produit de chaque paire x i p i .
   Par exemple, pour n = 4 : m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Exemple n°1.

Exemple n°2. Une variable aléatoire discrète a la série de distribution suivante :

Solution. La valeur de a se trouve à partir de la relation : Σp i = 1
Σp je = une + 0,32 + 2 une + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 une = 1
0,76 + 3 a = 1 ou 0,24=3 a , d'où a = 0,08

Exemple n°3. Déterminer la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète si sa variance est connue, et x 1 x1 =6 ; x2 =9 ; x3 =x ; x4 =15
p1 = 0,3 ; p2 = 0,3 ; p3 = 0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96

Solution.
Ici, vous devez créer une formule pour trouver la variance d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
où l'espérance m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pour nos données
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ou -9/100 (x 2 -20x+96)=0
En conséquence, nous devons trouver les racines de l’équation, et il y en aura deux.
x3 =8, x3 =12
Choisissez celui qui satisfait à la condition x 1 x3 =12

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète
x1 =6 ; x2 =9 ; x3 =12 ; x4 =15
p1 = 0,3 ; p2 = 0,3 ; p3 = 0,1 ; p4 =0,3

La théorie des probabilités est une branche particulière des mathématiques étudiée uniquement par les étudiants des établissements d'enseignement supérieur. Vous aimez les calculs et les formules ? N'êtes-vous pas effrayé par la perspective de vous familiariser avec la distribution normale, l'entropie d'ensemble, l'espérance mathématique et la dispersion d'une variable aléatoire discrète ? Alors ce sujet vous intéressera beaucoup. Faisons connaissance avec plusieurs des concepts de base les plus importants de cette branche de la science.

Rappelons les bases

Même si vous vous souvenez des concepts les plus simples de la théorie des probabilités, ne négligez pas les premiers paragraphes de l'article. Le fait est que sans une compréhension claire des bases, vous ne pourrez pas travailler avec les formules décrites ci-dessous.

Ainsi, un événement aléatoire se produit, une expérience. Grâce aux actions que nous entreprenons, nous pouvons obtenir plusieurs résultats – certains d’entre eux se produisent plus souvent, d’autres moins souvent. La probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de résultats d'un type réellement obtenus et le nombre total de résultats possibles. Ce n'est qu'en connaissant la définition classique de ce concept que vous pouvez commencer à étudier l'espérance mathématique et la dispersion de variables aléatoires continues.

Moyenne arithmétique

De retour à l’école, pendant les cours de mathématiques, vous avez commencé à travailler avec la moyenne arithmétique. Ce concept est largement utilisé en théorie des probabilités et ne peut donc être ignoré. L'essentiel pour nous pour le moment est que nous le rencontrerons dans les formules d'espérance mathématique et de dispersion d'une variable aléatoire.

Nous avons une suite de nombres et voulons trouver la moyenne arithmétique. Tout ce qui nous est demandé est de résumer tout ce qui est disponible et de diviser par le nombre d'éléments de la séquence. Ayons des nombres de 1 à 9. La somme des éléments sera égale à 45, et nous diviserons cette valeur par 9. Réponse : - 5.

Dispersion

En termes scientifiques, la dispersion est le carré moyen des écarts des valeurs obtenues d'une caractéristique par rapport à la moyenne arithmétique. Il est désigné par une lettre latine majuscule D. Que faut-il pour le calculer ? Pour chaque élément de la séquence, nous calculons la différence entre le nombre existant et la moyenne arithmétique et la mettons au carré. Il y aura exactement autant de valeurs qu'il peut y avoir de résultats pour l'événement que nous envisageons. Ensuite, nous résumons tout ce qui a été reçu et divisons par le nombre d'éléments de la séquence. Si nous avons cinq résultats possibles, divisez par cinq.

La dispersion a également des propriétés dont il faut se souvenir afin d'être utilisées lors de la résolution de problèmes. Par exemple, lorsqu'une variable aléatoire augmente de X fois, la variance augmente de X fois au carré (c'est-à-dire X*X). Il n'est jamais inférieur à zéro et ne dépend pas d'un déplacement des valeurs vers le haut ou vers le bas de quantités égales. De plus, pour les essais indépendants, la variance de la somme est égale à la somme des variances.

Nous devons maintenant absolument considérer des exemples de dispersion d'une variable aléatoire discrète et l'espérance mathématique.

Disons que nous avons mené 21 expériences et obtenu 7 résultats différents. Nous avons observé chacun d’eux respectivement 1, 2, 2, 3, 4, 4 et 5 fois. A quoi sera égale la variance ?

Tout d'abord, calculons la moyenne arithmétique : la somme des éléments, bien sûr, est de 21. Divisez-la par 7, vous obtenez 3. Soustrayez maintenant 3 de chaque nombre de la séquence d'origine, mettez chaque valeur au carré et additionnez les résultats. Le résultat est 12. Il ne reste plus qu’à diviser le nombre par le nombre d’éléments, et, semble-t-il, c’est tout. Mais il y a un piège ! Discutons-en.

Dépendance au nombre d'expériences

Il s'avère que lors du calcul de la variance, le dénominateur peut contenir l'un des deux nombres suivants : soit N, soit N-1. Ici, N est le nombre d'expériences réalisées ou le nombre d'éléments dans la séquence (ce qui est essentiellement la même chose). De quoi cela dépend ?

Si le nombre de tests se mesure en centaines, alors il faut mettre N au dénominateur. Si en unités, alors N-1. Les scientifiques ont décidé de tracer la frontière de manière assez symbolique : elle passe aujourd'hui par le nombre 30. Si nous avons mené moins de 30 expériences, alors nous diviserons le montant par N-1, et si plus, alors par N.

Tâche

Revenons à notre exemple de résolution du problème de la variance et de l'espérance mathématique. Nous avons reçu un nombre intermédiaire 12, qu'il fallait diviser par N ou N-1. Puisque nous avons mené 21 expériences, soit moins de 30, nous choisirons la deuxième option. La réponse est donc : la variance est de 12 / 2 = 2.

Attente

Passons au deuxième concept, que nous devons considérer dans cet article. L'espérance mathématique est le résultat de l'addition de tous les résultats possibles multipliés par les probabilités correspondantes. Il est important de comprendre que la valeur obtenue, ainsi que le résultat du calcul de la variance, ne sont obtenus qu'une seule fois pour l'ensemble du problème, quel que soit le nombre de résultats qui y sont pris en compte.

La formule de l'espérance mathématique est assez simple : on prend le résultat, on le multiplie par sa probabilité, on ajoute la même chose pour le deuxième, le troisième résultat, etc. Tout ce qui touche à ce concept n'est pas difficile à calculer. Par exemple, la somme des valeurs attendues est égale à la valeur attendue de la somme. Il en va de même pour le travail. Toutes les grandeurs de la théorie des probabilités ne vous permettent pas d’effectuer des opérations aussi simples. Prenons le problème et calculons la signification de deux concepts que nous avons étudiés à la fois. De plus, nous avons été distraits par la théorie : il est temps de pratiquer.

Un autre exemple

Nous avons mené 50 essais et obtenu 10 types de résultats – des nombres de 0 à 9 – apparaissant dans différents pourcentages. Il s'agit respectivement de : 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Rappelons que pour obtenir des probabilités, il faut diviser les valeurs en pourcentage par 100. Ainsi, on obtient 0,02 ; 0,1, etc. Présentons un exemple de résolution du problème de la variance d'une variable aléatoire et de l'espérance mathématique.

On calcule la moyenne arithmétique à l'aide de la formule dont on se souvient de l'école primaire : 50/10 = 5.

Convertissons maintenant les probabilités en nombre de résultats « en morceaux » pour faciliter le décompte. Nous obtenons 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 et 9. De chaque valeur obtenue, nous soustrayons la moyenne arithmétique, après quoi nous mettons au carré chacun des résultats obtenus. Voyez comment procéder en utilisant le premier élément comme exemple : 1 - 5 = (-4). Suivant : (-4) * (-4) = 16. Pour les autres valeurs, effectuez ces opérations vous-même. Si vous avez tout fait correctement, après les avoir tous additionnés, vous obtiendrez 90.

Continuons à calculer la variance et la valeur attendue en divisant 90 par N. Pourquoi choisissons-nous N plutôt que N-1 ? Correct, car le nombre d'expériences réalisées dépasse 30. Donc : 90/10 = 9. Nous avons obtenu la variance. Si vous obtenez un numéro différent, ne désespérez pas. Très probablement, vous avez commis une simple erreur dans les calculs. Vérifiez ce que vous avez écrit et tout se mettra probablement en place.

Enfin, rappelez-vous la formule de l’espérance mathématique. Nous ne donnerons pas tous les calculs, nous rédigerons uniquement une réponse que vous pourrez vérifier après avoir effectué toutes les procédures requises. La valeur attendue sera de 5,48. Rappelons seulement comment réaliser les opérations, en prenant comme exemple les premiers éléments : 0*0.02 + 1*0.1... et ainsi de suite. Comme vous pouvez le constater, nous multiplions simplement la valeur du résultat par sa probabilité.

Déviation

Un autre concept étroitement lié à la dispersion et à l’espérance mathématique est l’écart type. Il est désigné soit par les lettres latines sd, soit par la minuscule grecque « sigma ». Ce concept montre à quel point les valeurs s'écartent en moyenne de la caractéristique centrale. Pour trouver sa valeur, vous devez calculer la racine carrée de la variance.

Si vous tracez un graphique de distribution normale et souhaitez voir l'écart carré directement dessus, cela peut être fait en plusieurs étapes. Prenez la moitié de l'image à gauche ou à droite du mode (valeur centrale), tracez une perpendiculaire à l'axe horizontal pour que les aires des figures résultantes soient égales. La taille du segment entre le milieu de la distribution et la projection résultante sur l'axe horizontal représentera l'écart type.

Logiciel

Comme le montrent les descriptions des formules et les exemples présentés, le calcul de la variance et de l’espérance mathématique n’est pas la procédure la plus simple d’un point de vue arithmétique. Afin de ne pas perdre de temps, il est logique d'utiliser le programme utilisé dans les établissements d'enseignement supérieur - il s'appelle « R ». Il possède des fonctions qui vous permettent de calculer les valeurs de nombreux concepts issus des statistiques et de la théorie des probabilités.

Par exemple, vous spécifiez un vecteur de valeurs. Cela se fait comme suit : vecteur<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

En conclusion

La dispersion et l'espérance mathématique sont sans lesquelles il est difficile de calculer quoi que ce soit dans le futur. Dans le cours principal des cours universitaires, ils sont abordés dès les premiers mois d'étude du sujet. C’est précisément à cause du manque de compréhension de ces concepts simples et de l’incapacité de les calculer que de nombreux étudiants commencent immédiatement à prendre du retard dans le programme et reçoivent plus tard de mauvaises notes à la fin de la session, ce qui les prive de bourse.

Entraînez-vous pendant au moins une semaine, une demi-heure par jour, en résolvant des tâches similaires à celles présentées dans cet article. Ensuite, sur n'importe quel test de théorie des probabilités, vous serez en mesure de gérer les exemples sans astuces ni aide-mémoire superflus.

Caractéristiques numériques de base des variables aléatoires discrètes et continues : espérance mathématique, dispersion et écart type. Leurs propriétés et exemples.

La loi de distribution (fonction de distribution et série de distribution ou densité de probabilité) décrit complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines caractéristiques numériques de la valeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son éventuel écart par rapport à celle-ci) pour répondre à la question posée. Considérons les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires discrètes.

Définition 7.1.Attente mathématique Une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles et de leurs probabilités correspondantes :

M(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p p p.(7.1)

Si le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire est infini, alors si la série résultante converge absolument.

Remarque 1. L'espérance mathématique est parfois appelée moyenne pondérée, puisqu'elle est approximativement égale à la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire sur un grand nombre d'expériences.

Remarque 2. De la définition de l'espérance mathématique, il s'ensuit que sa valeur n'est pas inférieure à la plus petite valeur possible d'une variable aléatoire et pas supérieure à la plus grande.

Remarque 3. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est non aléatoire(constante. Nous verrons plus tard qu’il en va de même pour les variables aléatoires continues.

Exemple 1. Trouver l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X- le nombre de pièces standards parmi trois sélectionnées parmi un lot de 10 pièces, dont 2 défectueuses. Créons une série de distribution pour X. Des conditions problématiques, il s'ensuit que X peut prendre les valeurs 1, 2, 3. Alors

Exemple 2. Déterminer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X- le nombre de tirages au sort avant la première apparition des armoiries. Cette quantité peut prendre un nombre infini de valeurs (l'ensemble des valeurs possibles est l'ensemble des nombres naturels). Sa série de distribution a la forme :

+ (lors du calcul, la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante a été utilisée deux fois : , d'où ).

Propriétés de l'espérance mathématique.

1) L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même :

M(AVEC) = AVEC.(7.2)

Preuve. Si l'on considère AVEC comme une variable aléatoire discrète ne prenant qu'une seule valeur AVEC avec probabilité r= 1, alors M(AVEC) = AVEC?1 = AVEC.

2) Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'espérance mathématique :

M(CX) = CM(X). (7.3)

Preuve. Si la variable aléatoire X donné par série de distribution

Alors M(CX) = Cx 1 r 1 + Cx 2 r 2 + … + Cx p p p = AVEC(X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + xprp) = CM(X).

Définition 7.2. Deux variables aléatoires sont appelées indépendant, si la loi de distribution de l'un d'eux ne dépend pas des valeurs prises par l'autre. Sinon les variables aléatoires dépendant.

Définition 7.3. Appelons produit de variables aléatoires indépendantes X Et Oui variable aléatoire XY, dont les valeurs possibles sont égales aux produits de toutes les valeurs possibles X pour toutes les valeurs possibles Oui, et les probabilités correspondantes sont égales aux produits des probabilités des facteurs.

3) L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques :

M(XY) = M(X)M(Oui). (7.4)

Preuve. Pour simplifier les calculs, nous nous limitons au cas où X Et Oui ne prenons que deux valeurs possibles :

Ainsi, M(XY) = x 1 oui 1 ?p 1 g 1 + x 2 oui 1 ?p 2 g 1 + x 1 oui 2 ?p 1 g 2 + x 2 oui 2 ?p 2 g 2 = oui 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + oui 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (oui 1 g 1 + oui 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(X)?M(Oui).

Remarque 1. Cette propriété peut être prouvée de la même manière pour un plus grand nombre de valeurs possibles des facteurs.

Remarque 2. La propriété 3 est vraie pour le produit d'un nombre quelconque de variables aléatoires indépendantes, ce qui est prouvé par la méthode d'induction mathématique.

Définition 7.4. Définissons somme de variables aléatoires X Et Oui comme variable aléatoire X+Y, dont les valeurs possibles sont égales aux sommes de chaque valeur possible X avec toutes les valeurs possibles Oui; les probabilités de telles sommes sont égales aux produits des probabilités des termes (pour les variables aléatoires dépendantes - les produits de la probabilité d'un terme par la probabilité conditionnelle du second).

4) L'espérance mathématique de la somme de deux variables aléatoires (dépendantes ou indépendantes) est égale à la somme des espérances mathématiques des termes :

M (X+Y) = M (X) + M (Oui). (7.5)

Preuve.

Considérons à nouveau les variables aléatoires définies par la série de distribution donnée dans la preuve de la propriété 3. Alors les valeurs possibles X+Y sont X 1 + à 1 , X 1 + à 2 , X 2 + à 1 , X 2 + à 2. Notons leurs probabilités respectivement par r 11 , r 12 , r 21 et r 22. Nous trouverons M(X+Oui) = (x 1 + oui 1)p 11 + (x 1 + oui 2)p 12 + (x 2 + oui 1)p 21 + (x 2 + oui 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + oui 1 (p 11 + p 21) + oui 2 (p 12 + p 22).

Prouvons que r 11 + r 22 = r 1. En effet, l'événement qui X+Y prendra des valeurs X 1 + à 1 ou X 1 + à 2 et dont la probabilité est r 11 + r 22 coïncide avec l'événement qui X = X 1 (sa probabilité est r 1). On prouve de la même manière que p 21 + p 22 = r 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Moyens,

M(X+Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + oui 1 g 1 + oui 2 g 2 = M (X) + M (Oui).

Commentaire. De la propriété 4, il s'ensuit que la somme d'un nombre quelconque de variables aléatoires est égale à la somme des attentes mathématiques des termes.

Exemple. Trouvez l'espérance mathématique de la somme du nombre de points obtenus en lançant cinq dés.

Trouvons l'espérance mathématique du nombre de points obtenus en lançant un dé :

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Le même nombre est égal à l'espérance mathématique du nombre de points obtenu sur n'importe quel dé. Donc, par la propriété 4 M(X)=

Dispersion.

Pour avoir une idée du comportement d’une variable aléatoire, il ne suffit pas de connaître uniquement son espérance mathématique. Considérons deux variables aléatoires : X Et Oui, spécifié par série de distribution de la forme

Nous trouverons M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Oui) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Comme vous pouvez le voir, les attentes mathématiques des deux quantités sont égales, mais si pour HM(X) décrit bien le comportement d'une variable aléatoire, étant sa valeur la plus probable possible (et les valeurs restantes ne diffèrent pas beaucoup de 50), alors les valeurs Oui considérablement éloigné de M(Oui). Par conséquent, parallèlement à l'espérance mathématique, il est souhaitable de savoir dans quelle mesure les valeurs de la variable aléatoire s'en écartent. La variance est utilisée pour caractériser cet indicateur.

Définition 7.5.Dispersion (diffusion) d'une variable aléatoire est l'espérance mathématique du carré de son écart par rapport à son espérance mathématique :

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Trouvons la variance de la variable aléatoire X(nombre de pièces standards parmi celles sélectionnées) dans l'exemple 1 de ce cours. Calculons l'écart carré de chaque valeur possible par rapport à l'espérance mathématique :

(1 - 2,4) 2 = 1,96 ; (2 - 2,4) 2 = 0,16 ; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Ainsi,

Remarque 1. Pour déterminer la dispersion, ce n’est pas l’écart par rapport à la moyenne elle-même qui est évalué, mais son carré. Ceci est fait pour que les écarts de différents signes ne s'annulent pas.

Remarque 2. De la définition de la dispersion, il résulte que cette quantité ne prend que des valeurs non négatives.

Remarque 3. Il existe une formule de calcul de variance plus pratique pour les calculs, dont la validité est prouvée dans le théorème suivant :

Théorème 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Preuve.

Utiliser quoi M(X) est une valeur constante, et les propriétés de l'espérance mathématique, nous transformons la formule (7.6) sous la forme :

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), ce qui restait à prouver.

Exemple. Calculons les variances de variables aléatoires X Et Oui discuté au début de cette section. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Oui) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Ainsi, la variance de la deuxième variable aléatoire est plusieurs milliers de fois supérieure à la variance de la première. Ainsi, même sans connaître les lois de distribution de ces grandeurs, sur la base des valeurs de dispersion connues on peut affirmer que X s'écarte peu de son espérance mathématique, alors que pour Oui cet écart est assez important.

Propriétés de dispersion.

1) Variation d'une valeur constante AVECégal à zéro :

D (C) = 0. (7.8)

Preuve. D(C) = M((C-M(C))²) = M((CC)²) = M(0) = 0.

2) Le facteur constant peut être retiré du signe de dispersion en le mettant au carré :

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Preuve. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) La variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances :

D(X+Y) = D(X) + D(Oui). (7.10)

Preuve. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Oui²) - ( M(X) + M(Oui))² = M(X²) + 2 M(X)M(Oui) +

+ M(Oui²) - M²( X) - 2M(X)M(Oui) - M²( Oui) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Oui²) - M²( Oui)) = D(X) + D(Oui).

Corollaire 1. La variance de la somme de plusieurs variables aléatoires indépendantes entre elles est égale à la somme de leurs variances.

Corollaire 2. La variance de la somme d'une constante et d'une variable aléatoire est égale à la variance de la variable aléatoire.

4) La variance de la différence entre deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances :

D(X-Y) = D(X) + D(Oui). (7.11)

Preuve. D(X-Y) = D(X) + D(-Oui) = D(X) + (-1)² D(Oui) = D(X) + D(X).

La variance donne la valeur moyenne de l'écart carré d'une variable aléatoire par rapport à la moyenne ; Pour évaluer l’écart lui-même, une valeur appelée écart type est utilisée.

Définition 7.6.Écart typeσ variable aléatoire X s'appelle la racine carrée de la variance :

Exemple. Dans l'exemple précédent, les écarts types X Et Oui sont respectivement égaux

L'espérance et la variance sont les caractéristiques numériques les plus couramment utilisées d'une variable aléatoire. Ils caractérisent les caractéristiques les plus importantes de la distribution : sa position et son degré de diffusion. Dans de nombreux problèmes pratiques, une caractéristique complète et exhaustive d'une variable aléatoire - la loi de distribution - soit ne peut pas être obtenue, soit n'est pas du tout nécessaire. Dans ces cas, on se limite à une description approximative d'une variable aléatoire à l'aide de caractéristiques numériques.

La valeur attendue est souvent appelée simplement la valeur moyenne d’une variable aléatoire. La dispersion d'une variable aléatoire est une caractéristique de la dispersion, la propagation d'une variable aléatoire autour de son espérance mathématique.

Attente d'une variable aléatoire discrète

Abordons le concept d'espérance mathématique, basé d'abord sur l'interprétation mécanique de la distribution d'une variable aléatoire discrète. Soit la masse unitaire soit répartie entre les points de l'axe des x x1 , x 2 , ..., x n, et chaque point matériel a une masse correspondante de p1 , p 2 , ..., p n. Il est nécessaire de sélectionner un point sur l'axe des abscisses, caractérisant la position de l'ensemble du système de points matériels, en tenant compte de leurs masses. Il est naturel de prendre le centre de masse du système de points matériels comme tel. C'est la moyenne pondérée de la variable aléatoire X, à laquelle l'abscisse de chaque point xje entre avec un « poids » égal à la probabilité correspondante. La valeur moyenne de la variable aléatoire ainsi obtenue X s'appelle son espérance mathématique.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles et des probabilités de ces valeurs :

Exemple 1. Une loterie gagnant-gagnant a été organisée. Il y a 1 000 gains, dont 400 valent 10 roubles. 300 à 20 roubles chacun. 200 à 100 roubles chacun. et 100 à 200 roubles chacun. Quel est le gain moyen pour quelqu’un qui achète un billet ?

Solution. Nous trouverons les gains moyens si nous divisons le montant total des gains, qui est 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 roubles, par 1 000 (montant total des gains). Ensuite, nous obtenons 50 000/1 000 = 50 roubles. Mais l'expression de calcul des gains moyens peut se présenter sous la forme suivante :

En revanche, dans ces conditions, le montant du gain est une variable aléatoire, qui peut prendre des valeurs de 10, 20, 100 et 200 roubles. avec des probabilités égales à 0,4, respectivement ; 0,3 ; 0,2 ; 0,1. Par conséquent, le gain moyen attendu est égal à la somme des produits de la taille des gains et de la probabilité de les recevoir.

Exemple 2. L'éditeur a décidé de publier un nouveau livre. Il envisage de vendre le livre pour 280 roubles, dont il recevra lui-même 200, 50 à la librairie et 30 à l'auteur. Le tableau fournit des informations sur les coûts de publication d'un livre et la probabilité de vendre un certain nombre d'exemplaires du livre.

Trouvez le bénéfice attendu de l'éditeur.

Solution. La variable aléatoire « profit » est égale à la différence entre le revenu des ventes et le coût des coûts. Par exemple, si 500 exemplaires d'un livre sont vendus, le revenu de la vente est de 200 * 500 = 100 000 et le coût de publication est de 225 000 roubles. Ainsi, l'éditeur fait face à une perte de 125 000 roubles. Le tableau suivant résume les valeurs attendues de la variable aléatoire - profit :

Ainsi, nous obtenons l’espérance mathématique du profit de l’éditeur :

.

Exemple 3. Probabilité de toucher d'un seul coup p= 0,2. Déterminez la consommation de projectiles qui fournissent une espérance mathématique du nombre de coups égal à 5.

Solution. À partir de la même formule d’espérance mathématique que nous avons utilisée jusqu’à présent, nous exprimons x- consommation de coque :

.

Exemple 4. Déterminer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire x nombre de coups sûrs avec trois tirs, si la probabilité d'un coup sûr à chaque coup p = 0,4 .

Astuce : trouvez la probabilité de valeurs de variables aléatoires en La formule de Bernoulli .

Propriétés de l'espérance mathématique

Considérons les propriétés de l'espérance mathématique.

Propriété 1. L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à cette constante :

Propriété 2. Le facteur constant peut être retiré du signe d’espérance mathématique :

Propriété 3. L'espérance mathématique de la somme (différence) des variables aléatoires est égale à la somme (différence) de leurs espérances mathématiques :

Propriété 4. L'espérance mathématique d'un produit de variables aléatoires est égale au produit de leurs espérances mathématiques :

Propriété 5. Si toutes les valeurs d'une variable aléatoire X diminuer (augmenter) du même nombre AVEC, alors son espérance mathématique diminuera (augmentera) du même nombre :

Quand on ne peut pas se limiter aux attentes mathématiques

Dans la plupart des cas, seule l’espérance mathématique ne peut suffire à caractériser une variable aléatoire.

Laissez les variables aléatoires X Et Oui sont données par les lois de distribution suivantes :

Les attentes mathématiques de ces quantités sont les mêmes - égales à zéro :

Cependant, leurs modes de distribution sont différents. Variable aléatoire X ne peut prendre que des valeurs qui diffèrent peu de l'espérance mathématique, et la variable aléatoire Oui peut prendre des valeurs qui s'écartent considérablement de l'attente mathématique. Un exemple similaire : le salaire moyen ne permet pas de juger de la part des travailleurs bien et mal payés. En d’autres termes, on ne peut pas juger à partir de l’espérance mathématique quels écarts par rapport à celle-ci, du moins en moyenne, sont possibles. Pour ce faire, vous devez trouver la variance de la variable aléatoire.

Variance d'une variable aléatoire discrète

Variance variable aléatoire discrète X s'appelle l'espérance mathématique du carré de son écart par rapport à l'espérance mathématique :

L'écart type d'une variable aléatoire X la valeur arithmétique de la racine carrée de sa variance s'appelle :

.

Exemple 5. Calculer les variances et les écarts types de variables aléatoires X Et Oui, dont les lois de distribution sont données dans les tableaux ci-dessus.

Solution. Attentes mathématiques des variables aléatoires X Et Oui, comme indiqué ci-dessus, sont égaux à zéro. D'après la formule de dispersion à E(X)=E(oui)=0 on obtient :

Puis les écarts types des variables aléatoires X Et Oui se maquiller

.

Ainsi, avec les mêmes attentes mathématiques, la variance de la variable aléatoire X très petit, mais une variable aléatoire Oui- significatif. Ceci est une conséquence des différences dans leur répartition.

Exemple 6. L'investisseur dispose de 4 projets d'investissement alternatifs. Le tableau résume le profit attendu dans ces projets avec la probabilité correspondante.

Trouvez l’espérance mathématique, la variance et l’écart type pour chaque alternative.

Solution. Montrons comment ces valeurs sont calculées pour la 3ème alternative :

Le tableau résume les valeurs trouvées pour toutes les alternatives.

Toutes les alternatives ont les mêmes attentes mathématiques. Cela signifie qu’à long terme, tout le monde dispose du même revenu. L'écart type peut être interprété comme une mesure du risque : plus il est élevé, plus le risque de l'investissement est grand. Un investisseur qui ne veut pas beaucoup de risque choisira le projet 1 car il présente le plus petit écart type (0). Si l'investisseur préfère le risque et des rendements élevés sur une courte période, il choisira alors le projet avec le plus grand écart type - le projet 4.

Propriétés de dispersion

Présentons les propriétés de dispersion.

Propriété 1. La variance d'une valeur constante est nulle :

Propriété 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe de dispersion en le mettant au carré :

.

Propriété 3. La variance d'une variable aléatoire est égale à l'espérance mathématique du carré de cette valeur, à laquelle est soustrait le carré de l'espérance mathématique de la valeur elle-même :

,

Où .

Propriété 4. La variance de la somme (différence) des variables aléatoires est égale à la somme (différence) de leurs variances :

Exemple 7. On sait qu'une variable aléatoire discrète X ne prend que deux valeurs : −3 et 7. De plus, l'espérance mathématique est connue : E(X) = 4 . Trouvez la variance d'une variable aléatoire discrète.

Solution. Notons par p la probabilité avec laquelle une variable aléatoire prend une valeur x1 = −3 . Alors la probabilité de la valeur x2 = 7 sera 1 - p. Dérivons l'équation de l'espérance mathématique :

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

où l'on obtient les probabilités : p= 0,3 et 1 − p = 0,7 .

Loi de distribution d'une variable aléatoire :

On calcule la variance de cette variable aléatoire en utilisant la formule de la propriété 3 de dispersion :

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Trouvez vous-même l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, puis regardez la solution

Exemple 8. Variable aléatoire discrète X ne prend que deux valeurs. Il accepte la plus grande des valeurs 3 avec une probabilité de 0,4. De plus, la variance de la variable aléatoire est connue D(X) = 6 . Trouvez l'espérance mathématique d'une variable aléatoire.

Exemple 9. Il y a 6 boules blanches et 4 boules noires dans l'urne. 3 boules sont tirées de l'urne. Le nombre de boules blanches parmi les boules tirées est une variable aléatoire discrète X. Trouvez l'espérance mathématique et la variance de cette variable aléatoire.

Solution. Variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3. Les probabilités correspondantes peuvent être calculées à partir de règle de multiplication de probabilité. Loi de distribution d'une variable aléatoire :

D'où l'espérance mathématique de cette variable aléatoire :

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

La variance d'une variable aléatoire donnée est :

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Attente et variance d'une variable aléatoire continue

Pour une variable aléatoire continue, l'interprétation mécanique de l'espérance mathématique gardera le même sens : le centre de masse pour une unité de masse répartie continûment sur l'axe des x avec densité f(x). Contrairement à une variable aléatoire discrète, dont l'argument de fonction xje change brusquement ; pour une variable aléatoire continue, l’argument change continuellement. Mais l’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue est également liée à sa valeur moyenne.

Pour trouver l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire continue, vous devez trouver des intégrales définies . Si la fonction de densité d'une variable aléatoire continue est donnée, alors elle entre directement dans l'intégrande. Si une fonction de distribution de probabilité est donnée, alors en la différenciant, vous devez trouver la fonction de densité.

La moyenne arithmétique de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire continue est appelée son espérance mathématique, noté ou .

2. Bases de la théorie des probabilités

Attente

Considérons une variable aléatoire avec des valeurs numériques. Il est souvent utile d'associer un nombre à cette fonction - sa « valeur moyenne » ou, comme on dit, sa « valeur moyenne », son « indice de tendance centrale ». Pour un certain nombre de raisons, dont certaines apparaîtront clairement plus tard, l'espérance mathématique est généralement utilisée comme « valeur moyenne ».

Définition 3. Espérance mathématique d'une variable aléatoire X numéro appelé

ceux. l'espérance mathématique d'une variable aléatoire est une somme pondérée des valeurs d'une variable aléatoire avec des poids égaux aux probabilités des événements élémentaires correspondants.

Exemple 6. Calculons l'espérance mathématique du nombre qui apparaît sur la face supérieure du dé. Il découle directement de la définition 3 que

Déclaration 2. Laissez la variable aléatoire X prend des valeurs x1, x2,…,xm. Alors l'égalité est vraie

(5)

ceux. l'espérance mathématique d'une variable aléatoire est une somme pondérée des valeurs de la variable aléatoire avec des poids égaux aux probabilités que la variable aléatoire prenne certaines valeurs.

Contrairement à (4), où la sommation s'effectue directement sur des événements élémentaires, un événement aléatoire peut être constitué de plusieurs événements élémentaires.

Parfois, la relation (5) est considérée comme la définition de l'espérance mathématique. Cependant, en utilisant la définition 3, comme indiqué ci-dessous, il est plus facile d'établir les propriétés de l'espérance mathématique nécessaires à la construction de modèles probabilistes de phénomènes réels qu'en utilisant la relation (5).

Pour prouver la relation (5), on regroupe en (4) les termes avec des valeurs identiques de la variable aléatoire :

Puisque le facteur constant peut être soustrait du signe de la somme, alors

En déterminant la probabilité d'un événement

En utilisant les deux dernières relations, nous obtenons le requis :

Le concept d'espérance mathématique dans la théorie probabiliste-statistique correspond au concept de centre de gravité en mécanique. Mettons-le en points x1, x2,…,xm sur l'axe des nombres de masse P.(X= x 1 ), P.(X= x 2 ),…, P.(X= xm) respectivement. Alors l'égalité (5) montre que le centre de gravité de ce système de points matériels coïncide avec l'espérance mathématique, ce qui montre le naturel de la définition 3.

Déclaration 3. Laisser X– variable aléatoire, M(X)– son espérance mathématique, UN– un certain nombre. Alors

1) M(une)=une; 2) M(X-M(X))=0; 3)M[(X- un) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(un- M(X)) 2 .

Pour le prouver, considérons d’abord une variable aléatoire constante, c’est-à-dire la fonction mappe l'espace des événements élémentaires en un seul point UN. Puisque le facteur constant peut être retiré au-delà du signe de la somme, alors

Si chaque membre d'une somme est divisé en deux termes, alors la somme entière est divisée en deux sommes, dont la première est composée des premiers termes, et la seconde est composée du second. Par conséquent, l’espérance mathématique de la somme de deux variables aléatoires X+Y, défini sur le même espace d'événements élémentaires, est égal à la somme des espérances mathématiques M(X) Et M(U) ces variables aléatoires :

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

Et donc M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Comme indiqué ci-dessus, M(M(X)) = M(X). Ainsi, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Parce que (X - une) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - un)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - un) + (M(X) – un) 2 , Que M[(X - une) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - un)} + M[(M(X) – un) 2 ]. Simplifions la dernière égalité. Comme le montre le début de la preuve de l’énoncé 3, l’espérance mathématique d’une constante est la constante elle-même, et donc M[(M(X) – un) 2 ] = (M(X) – un) 2 . Puisque le facteur constant peut être retiré au-delà du signe de la somme, alors M{2(X - M(X))(M(X) - un)} = 2(M(X) - un)M(X - M(X)). Le côté droit de la dernière égalité est 0 car, comme indiqué ci-dessus, M(X-M(X))=0. Ainsi, M[(X- un) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(un- M(X)) 2 , c'était ce qui devait être prouvé.

De ce qui précède, il résulte que M[(X- un) 2 ] atteint un minimum UN, égal M[(X- M(X)) 2 ], à une = M(X), puisque le deuxième terme de l'égalité 3) est toujours non négatif et vaut 0 uniquement pour la valeur spécifiée UN.

Déclaration 4. Laissez la variable aléatoire X prend des valeurs x 1, x 2,…, xm, et f est une fonction de l'argument numérique. Alors

Pour le prouver, regroupons à droite de l’égalité (4), qui définit l’espérance mathématique, les termes de mêmes valeurs :

En utilisant le fait que le facteur constant peut être soustrait du signe de la somme, et la définition de la probabilité d'un événement aléatoire (2), on obtient

Q.E.D.

Déclaration 5. Laisser X Et U– des variables aléatoires définies sur le même espace d'événements élémentaires, UN Et b- quelques chiffres. Alors M(hache+ par)= suis(X)+ BM(Oui).

En utilisant la définition de l'espérance mathématique et les propriétés du symbole de sommation, on obtient une chaîne d'égalités :

Le nécessaire a été prouvé.

Ce qui précède montre comment l'espérance mathématique dépend de la transition vers un autre point de référence et vers une autre unité de mesure (transition Oui=hache+b), ainsi qu'aux fonctions de variables aléatoires. Les résultats obtenus sont constamment utilisés dans l'analyse technique et économique, dans l'évaluation des activités financières et économiques d'une entreprise, lors du passage d'une monnaie à une autre dans les calculs économiques étrangers, dans la documentation réglementaire et technique, etc. utilisation des mêmes formules de calcul pour divers paramètres d'échelle et de décalage.