Существуют
следующие формы комплексных чисел:
алгебраическая
(x+iy),
тригонометрическая
(r(cos+isin
)),
показательная
(re i
).
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости ХОУ в виде точки А(х,у).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставим символ z).
Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежат действительные числа. ОУ – мнимая ось с мнимыми числами.
x+iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.
Выведем тригонометрическую форму записи комплексного числа.
Подставляем полученные значения в начальную форму: , т.е.
r(cos
+isin
)
-
тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
Показательная
форма записи комплексного числа следует
из формулы Эйлера:
,тогда
z=re
i
-
показательная форма записи комплексного
числа.
Действия над комплексными числами.
1. сложение. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . вычитание. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. умножение. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
.
деление. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[
(x2+iy2)*(x2-iy2)]=
Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.
Произведение.
z1=r(cos
+isin
);
z2=r(cos
+isin
).
То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: , т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
;
;
Частное.
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.
Если комплексные числа заданы в показательной форме.
Возведение в степень.
1. Комплексное число задано в алгебраической форме.
z=x+iy, то z n находим по формуле бинома Ньютона :
-
число сочетаний из n
элементов по m
(число способов, сколькими можно взять
n
элементов
из
m).
;
n!=1*2*…*n; 0!=1;
.
Применяем для комплексного числа.
В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями:
i 0 =1 Отсюда, в общем случае получаем: i 4k =1
i 1 =i i 4k+1 =i
i 2 =-1 i 4k+2 =-1
i 3 =-i i 4k+3 =-i
Пример .
i 31 = i 28 i 3 =-i
i 1063 = i 1062 i=i
2. тригонометрической форме.
z=r(cos
+isin
),
то
- формула Муавра .
Здесь n может быть как “+” так и “-” (целым).
3. Если комплексное число задано в показательной форме:
Извлечение корня.
Рассмотрим
уравнение:
.
Его
решением будет корень n–ой степени из
комплексного числа z:
.
Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений.
Если комплексное число задано в тригонометрической форме:
z=r(cos
+isin
),
то корень n-ой степени от z находится по
формуле:
,
где к=0,1…n-1.
Ряды. Числовые ряды.
Пусть переменная а принимает последовательно значения а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n . Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.
Числовым
рядом называется выражение а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=
. Числа а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n
– члены ряда.
Например.
а 1 – первый член ряда.
а n – n-ый или общий член ряда.
Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).
Числовой ряд имеет бесконечное число членов.
Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).
n-ый член находится по формуле а n =а 1 +d(n-1); d=а n -а n-1 .
Знаменатель
– геометрическая
прогрессия
.
b n =b 1 q n-1 ;
.
Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.
Sn=а1+а2+…+а n .
Sn – n-ая частичная сумма ряда.
Рассмотрим
предел:
S - сумма ряда.
Ряда сходящийся , если этот предел конечен (конечный предел S существует).
Ряд расходящийся , если этот предел бесконечен.
В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.
Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.
,
C=const.
Геометрическая
прогрессия является
сходящимся
рядом
,
если
,
и расходящимся, если
.
Также
встречается гармонический
ряд
(ряд
).
Этот рядрасходящийся
.
БИЛЕТ 1
Рациональные числа – числа, записываемые в виде p/q, где q – натурал. число, а p- целое.
Два числа a=p1/q1 и b=p2/q2 назыв равными если p1q2=p2q1, аp2q1 и а>b если p1q2
БИЛЕТ 2
Комплексные числа. Комплексные числа
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида: P n (x ) = 0, где P n (x ) - многочлен n - ой степени. Пару вещественных чисел x и у назовём упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, а какое - вторым. Обозначение упорядоченной пары: (x , y ). Комплексным числом назовём произвольную упорядоченную пару вещественных чисел. z = (x , y )-комплексное число.
x -вещественная часть z , y -мнимая часть z . Если x = 0 и y = 0, то z = 0. Рассмотрим z 1 = (x 1 , y 1) и z 2 = (x 2 , y 2).
Определение 1. z 1 = z 2 , если x 1 =x 2 и y 1 = y 2 .
Понятия > и < для комплексных чисел не вводятся.
Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.
M(x , y ) « z = x + iy .
½ OM½ = r =½ z ½ = .(рисунок)
r называется модулем комплексного числа z .
j называется аргументом комплексного числа z . Он определён с точностью до ± 2pn .
х = rcosj , y = rsinj.
z = x + iy = r(cosj + i sinj) - тригонометрическая форма комплексных чисел.
Утверждение 3.
= (cos + i sin ),
= (cos + i sin ), то
= (cos( + ) + i sin( + )),
= (cos( - )+ i sin( - )) при ¹0.
Утверждение 4.
Если z =r (cosj + i sinj), то " натурального n :
= (cos nj + i sin nj ),
БИЛЕТ 3
Пусть X -числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).
x Î X - x содержится в Х . ; x Ï X - x не принадлежит Х .
Определение : Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М (m ) такое, что для любого x Î X выполняется неравенство x £ M (x ³ m ), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х . Множество Х называется ограниченным сверху, если $ M , " x Î Х : x £ M . Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если " M $ x Î Х : x > M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть $ М , m такие, что " x Î Х : m £ x £ M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если $ A > 0, " x Î X : ½x ½£ A . Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается SupХ
(супремум). =SupХ . Аналогично можно определить точную
нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани:
Число называется точной верхней гранью множества Х , если: 1) " x Î X : х £ (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2) " < $ x Î X : х > (это условие показывает, что -
наименьшая из верхних граней).
Sup X = :
1. " x Î X : x £ .
2. " < $ x ÎX : x > .
inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?
Пример: Х = {x : x >0} не имеет наименьшего числа.
Теорема о сущ-нии точной верх (ниж) грани . Всякое непустое огранич сверху (снизу) мн-во xÎR имеет точ верх(ниж) грань.
Теорема об отделимости числовых мн-в: ▀▀▄
БИЛЕТ 4
Если каждому натуре числу n (n=1,2,3..) поставлено в соотв-е нек число Xn, то говорят что опред-на и задана последовательность
x1, x2 …, пишут {Xn}, (Xn).Пример: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,…После-ть назыв огранич. сверху (снизу) если мн-во точек x=x1,x2,…xn лежащ на числовой оси огранич сверху (снизу), т.е. $С:Xn£C" Предел посл-ти:
число а назыв пределом посл-ти, если для люб-го ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N выполн-ся неравенство |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
при n > N .
Единственность предела ограниченной и сходящейся последовательности
Свойство1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: от противного пусть а и b пределы сходящейся последовательности {x n }, причем a не равно b. рассмотрим бесконечно малые последовательности {α n }={x n -a}и {β n }={x n -b}. Т.к. все элементы б.м. последовательности {α n -β n } имеют одно и тоже значение b-a, то по свойству б.м. последовательности b-a=0 т.е. b=a и мы пришли к противоречию.
Свойство2: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть а – предел сходящейся последовательности {x n }, тогда α n =x n -a есть элемент б.м. последовательности. Возьмем какое-либо ε>0 и по нему найдем N ε: / x n -a/< ε при n> N ε . Обозначим через b наибольшее из чисел ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε . Очевидно, что / х n /
Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящаяся.
БИЛЕТ 6
Последовательность а n называется бесконечно малой, это означает, что предел этой последовательности после равен 0.
a n – бесконечно малая Û lim(n ® + ¥)a n =0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется |a n |<ε
Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.
a n b n ®бесконечно малое Þ a n +b n – бесконечно малое.
Доказательство.
a n - бесконечно малое Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - бесконечно малое Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Положим N=max{N 1 ,N 2 }, тогда для любого n>N Þ одновременно выполняется оба неравенства:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Зададим "ε 1 >0, положим ε=ε 1 /2. Тогда для любого ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
есть a n +b n – бесконечно малое.
Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.
a n ,b n – бесконечно малое Þ a n b n – бесконечно малое.
Докозательство:
Зададим "ε 1 >0, положим ε=Öε 1 , так как a n и b n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Возьмем N=max {N 1 ;N 2 }, тогда "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.
Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность
а n – ограниченная последовательность
a n –бесконечно малая последовательность Þ a n a n – бесконечно малая последовательность.
Доказательство: Так как а n – ограниченная Û $С>0: "nÎN Þ |a n |£C
Зададим "ε 1 >0; положим ε=ε 1 /C; так как a n – бесконечно малая, то ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – бесконечно малое Последовательность называется ББП
(последовательностью) если Пишут . Очевидно, ББП не ограничена. Обратное же утверждение вообще говоря неверно (пример ). Если для больших n
члены , то пишут это значит, что как только . Аналогично определяется смысл записи Бесконечно большие последовательност
a n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Определение
(бесконечно большие последовательности) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, если "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε где ε- сколь угодно малое. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, если "ε>0 $N:"n>N Þ a n <-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε БИЛЕТ 7
Теорема “О сходимости монотон. посл-ти” Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.Док-во
Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn®supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xn£x* " n. " e >0 вып-ся нер-во $ xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*-e при " n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-e£xn£x*+e при n>m эквивалентно ½xn-x*½ БИЛЕТ 8
Экспонента или число е Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2,7128… Число е
БИЛЕТ 9
Принцип вложенных отрезков Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков ,,…,,… Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.: 1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. Ì, "n=1,2,…; 2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными. Теорема
Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются. Док-во
{an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1. {bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n®¥)an и с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) в силу условия 2) o= lim(n®¥)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку "n an£c£bn. Теперь докажем что она одна. Допустим что $ другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му. БИЛЕТ 10
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть. 1. Поскольку посл-ть ограничена, то $ m и M, такое что " m£xn£M, " n. D1= – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. D2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. D2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - D3. Делим отрезок D3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, $ единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам D1, какую-либо т-ку Dn1. В отрезке D2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке D3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkÎDk. БИЛЕТ 11
БИЛЕТ 12
фундаментальной
В заключении рассмотрим вопрос критерия сходимости числовой последовательности. Пусть т.е.: Мы получили следующее утверждение: Если последовательность сходится, выполняется условие Коши
: Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной
. Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности. Критерий Коши.
Для того, чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, что бы она была фундаментальной. Второй смысл критерия Коши.
Члены последовательности и где n
и m
– любые неограниченно сближающиеся при . БИЛЕТ 13
Односторонние пределы.
Определение 13.11.
Число А
называется пределом функции у = f(x
) при х
, стремящемся к х 0
слева (справа), если такое, что |f(x)-A
|<ε при x 0 – х < δ
(х - х 0 < δ
). Обозначения: Теорема 13.1(второе определение предела).
Функция y=f(x)
имеет при х,
стремящемся к х
0 , предел, равный А
, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А
. Доказательство. 1) Если , то и для x 0 – х
< δ, и для х - х 0 < δ
|f(x) - A
|<ε, то есть 1) Если , то существует δ 1: |f(x) - A
| < ε при x 0 – x
< δ 1 и δ 2: |f(x) - A
| < ε при х - х 0 <
δ 2 . Выбрав из чисел δ 1 и δ 2 меньшее и приняв его за δ, получим, что при |x - x 0
| < δ |f(x) - A
| < ε, то есть . Теорема доказана. Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела 13.7 и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела. Определение 4 (по Гейне) Число А
называется пределом функции при если любой ББП значений аргумента последовательность соответствующих значений функции сходится к А.
Определение 4 (по Коши).
Число А
называется если . Доказывается, что эти определения равносильны. БИЛЕТ 14 и 15
Свойства предела ф-ции в точке 1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный 2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций. а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B в) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B г) lim(x®x0)C=C д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Теорема 3.
Если (resp A) то $ окрестность в которой выполняется неравенство >B (resp Полагая в теореме 3 B=0
, получаем: если (resp
), то $ , во всех точках, которой будет >0 (resp <0),
т.е. функция сохраняет знак своего предела. Теорема 4
(о предельном переходе в неравенстве).
Если в некоторой окрестности точки (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие и данные функции имеют в точке пределы, то . На языке и . Введем функцию . Ясно, что в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но Теорема 5.
(о пределе промежуточной функции).
(1) Если БИЛЕТ 16
Определение 14.1.
Функция у=α(х
) называется бесконечно малой при х→х 0 ,
если Свойства бесконечно малых. 1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Доказательство. Если α(х
) и β(х
) – бесконечно малые при х→х 0
, то существуют δ 1 и δ 2 такие, что |α(x
)|<ε/2 и |β(x
)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x
)|<ε, то есть |(α(x)+β(x
))-0|<ε. Следовательно, Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая. 2. Если α(х
) – бесконечно малая при х→х 0
, а f(x
) – функция, ограниченная в некоторой окрестности х 0
, то α(х)f(x
) – бесконечно малая при х→х 0
. Доказательство. Выберем число М
такое, что |f(x)| Следствие 1. Произведение бесконечно малой на конечное число есть бесконечно малая. Следствие 2. Произведение двух или нескольких бесконечно малых есть бесконечно малая. Следствие 3. Линейная комбинация бесконечно малых есть бесконечно малая. 3. (Третье определение предела
). Если , то необходимым и достаточным условием этого является то, что функцию f(x
) можно представить в виде f(x)=A+α(x
), где α(х
) – бесконечно малая при х→х 0
. Доказательство. 1)
Пусть Тогда |f(x)-A
|<ε при х→х 0
, то есть α(х)=f(x)-A
– бесконечно малая при х→х 0 .
Следовательно, f(x)=A+α(x).
2) Пусть f(x)=A+α(x
). Тогда Замечание. Тем самым получено еще одно определение предела, эквивалентное двум предыдущим. Бесконечно большие функции. Определение 15.1. Функция f(x) называется бесконечно большой при х х 0 , если Для бесконечно больших можно ввести такую же систему классификации, как и для бесконечно малых, а именно: 1. Бесконечно большие f(x) и g(x) считаются величинами одного порядка, если 2. Если , то f(x) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(x). 3. Бесконечно большая f(x) называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(x), если . Замечание. Отметим, что а х – бесконечно большая (при а>1 и х ) более высокого порядка, чем x k для любого k, а log a x – бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х k . Теорема 15.1. Если α(х) – бесконечно малая при х→х 0 , то 1/α(х) – бесконечно большая при х→х 0 . Доказательство. Докажем, что при |x - x 0 | < δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. Значит, , то есть 1/α(х) – бесконечно большая при х→х 0 . БИЛЕТ 17
Теорема 14.7 (первый замечательный предел). . Доказательство. Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат и будем считать, что угол АОВ равен х (радиан). Сравним площади треугольника АОВ, сектора АОВ и треугольника АОС, где прямая ОС – касательная к окружности, проходящая через точку (1;0). Очевидно, что . Используя соответствующие геометрические формулы для площадей фигур, получим отсюдa, что Из огромного многообразия всевозможных множеств
особый интерес представляют так называемые числовые множества
, то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой. Навигация по странице.
Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A
, H
, W
и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения: Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5
и −7
как Q
, это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q
обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A
. Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅. Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N
означает, что число 5
принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z
– десятичная дробь 5,7
не принадлежит множеству целых чисел. И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N
входят в множество Z
, таким образом, числовое множество N
включено в Z
, это обозначается как N⊂Z
. Также можно использовать запись Z⊃N
, которая означает, что множество всех целых чисел Z
включает множество N
. Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает. Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике. Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств
. Например, множество, состоящее из трех чисел 0
, −0,25
и 4/7
можно описать как {0, −0,25, 4/7}
. Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3
до 99
включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99}
. Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …}
. Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства}
. Например, запись {n| 8·n+3, n∈N}
задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8
дают остаток 3
. Это же множество можно описать как {11,19, 27, …}
. В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N
, Z
, R
, и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение
составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше). Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10
, −9
, −8,56
, 0
, все числа отрезка [−5, −1,3]
и числа открытого числового луча (7, +∞)
. В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞)
. Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0}
, [−5, −1,3]
и (7, +∞)
. Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение. Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0]
и (−5, 3)
есть полуинтервал [−10, 3)
. Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7]
представляет собой множество (3, 7]
, на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств . На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств
, в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой. Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R
. Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении: А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок: Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2}
. Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2
, −0,5
и 1,2
будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами: Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так: Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться. И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
{log 2 5, 5}∪(17, +∞)
: И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5
или x≠−1
, x≠2
, x≠3,7
и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Список литературы.
Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом. Рис. 8. Числовая ось На некоторой прямой линии, «числовой оси», отметим отрезок от 0 до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно, положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные - влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем Если сделаем так для значений соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть «рациональными»; вообще термины «рациональное число» и «рациональная точка» будем употреблять как синонимы. В главе I, § 1 было определено соотношение неравенства для натуральных чисел. На числовой оси это соотношение отражено следующим образом: если натуральное число А меньше, чем натуральное число В, то точка А лежит левее точки В. Так как указанное геометрическое соотношение устанавливается для любой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число А меньше, чем Рациональное число или что число В больше, чем число если разность положительна. Отсюда следует (при ), что точки (числа) между это те, которые одновременно Каждая такая пара точек вместе со всеми точками между ними, называется сегментом (или отрезком) и обозначается (а множество одних только промежуточных точек - интервалом (или промежутком), обозначаемым Расстояние произвольной точки А от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютным значением А и обозначается символом Понятие «абсолютное значение» определяется следующим образом: если , то если то Ясно, что если числа имеют один и тот же знак, то справедливо равенство если же имеют разные знаки, то . Соединяя эти два результата вместе, мы приходим к общему неравенству которое справедливо независимо от знаков Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять число настолько большое, что интервал ( будет меньше, чем данный интервал ; тогда по меньшей мере одна из точек вида окажется внутри данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано. §1.1. Действительные числа
Действительные (вещественные) числа делятся на два класса: класс рациональных и класс иррациональных чисел. Рациональными
называются числа, которые имеют вид , где m
и n
– целые взаимно простые числа, но Например, число Действительные числа можно также разделить на алгебраические - корни многочлена с рациональными коэффициентами (к ним относятся, в частности, все рациональные числа – корни уравнения Множества всех натуральных, целых, действительных чисел обозначаются соответственно так: N
Z
, R
§1.2. Изображение действительных чисел на числовой оси. Интервалы
Геометрически (для наглядности) действительные числа изображают точками на бесконечной (в обе стороны) прямой линии, именуемой числовой
осью
. С этой целью на рассматриваемой прямой берётся точка (начало отсчёта – точка 0), указывается положительное направление, изображаемое стрелкой (обычно направо) и избирается единица масштаба, которую откладывают неограниченно в обе стороны от точки 0. Так изображаются целые числа. Чтобы изобразить число с одним десятичным знаком, надо каждый отрезок разделить на десять частей и т.д. Таким образом, каждое действительное число изобразится точкой на числовой оси. Обратно, каждой точке Символом Рис. 1.1. Числовая ось. Рис. 1.2. Интервал Рис. 1.3. Замкнутый интервал Опуская слова «множество всех чисел (точек) x
таких, что» и т. п., отметим далее: §1.3. Абсолютная величина (или модуль) действительного числа
Например, Геометрически означает расстояние точки a
до начала координат. Если имеем две точки и , то расстояние между ними можно представить как Свойства абсолютных величин.
1. Из определения следует, что 2. Абсолютная величина суммы и разности не превосходит суммы абсолютных величин: 3. 4. 5. 6. Неравенство 7. Неравенство 8. §1.4. Некоторые понятия, обозначения
1
. Понятие множества
является одним из основных в математике, исходным, всеобщим – а потому не поддаётся определению. Его можно лишь описать (заменить синонимами): это есть собрание, совокупность каких-то объектов, вещей, объединённых какими-либо признаками. Объекты эти называются элементами
множества. Примеры: множество песчинок на берегу, звёзд во Вселенной, студентов в аудитории, корней уравнения, точек отрезка. Множества, элементы которых суть числа, называются числовыми множествами
. Для некоторых стандартных множеств вводятся специальные обозначения, например, N
, Z
, R -
см. § 1.1. Пусть A
– множество и x
является его элементом, тогда пишут: Если x
является общим обозначением элементов множества A
, то пишут Множество называется конечным
, если оно состоит из конечного числа элементов. Если же какое бы натуральное число N ни взяли, во множестве A
найдётся элементов больше, чем N, то A
называется бесконечным
множеством: в нём элементов бесконечно много. Если всякий элемент множества ^
A
принадлежит и множеству B
, то Совокупность элементов обоих множеств A
и B
называется объединением
множеств и обозначается Если между элементами множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны и пишут 2
. Пусть есть два утверждения, два факта: и Запись: 
на ряду с натуральным числом можно подставить в последнее неравенство другое натуральное число 
,тогда
и в некоторой окрестности т. (кроме быть может самой т. ) выполняется условие (2) , то функция имеет в т. предел и этот предел равен А.
по условию (1) $ для (здесь - наименьшая окрестность точки ). Но тогда в силу условия (2) для значения так же будет находится в - окрестности точки А,
т.е. .
, то есть α(х)+β(х
) – бесконечно малая.
значит, |f(x)-A
|<ε при |x - x 0
| < δ(ε). Cледовательно, .
, или sinxЗапись числовых множеств
Изображение числовых множеств на координатной прямой
(это множество по сути есть ):
Первое знакомство с действительными числами происходит в школьном курсе математики. Всякое действительное число представляется конечной или бесконечной десятичной дробью.
. (Множество рациональных чисел обознается буквой Q
). Остальные действительные числа называются иррациональными
. Рациональные числа представляются конечной или бесконечной периодической дробью (то же, что обыкновенные дроби), тогда иррациональными будут те и только те действительные числа, которые можно представить бесконечными непериодическими дробями.
– рациональное, а 
, 
, 
и т.п. – иррациональные числа.
) – и на трансцендентные – все остальные (например, числа 
и другие).
(начальные буквы слов Naturel, Zahl, Reel).
соответствует действительное число, равное длине отрезка 
и взятое со знаком «+» или «–», в зависимости от того, лежит ли точка правее или левее от начала отсчёта. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой оси. Термины «действительное число» и «точка числовой оси» употребляются как синонимы.
будем обозначать и действительное число, и точку, ему соответствующую. Положительные числа располагаются правее точки 0, отрицательные – левее. Если 
, то на числовой оси точка 
лежит левее точки 
. Пусть точке 
соответствует число , тогда число называется координатой точки , пишут 
; чаще саму точку обозначают той же буквой , что и число. Точка 0 – начало координат. Ось обозначают тоже буквой 
(рис.1.1).
Совокупность всех чисел, лежащих между
данными числами и называется интервалом или промежутком; концы и ему могут принадлежать, а могут и не принадлежать. Уточним это. Пусть 
. Совокупность чисел , удовлетворяющих условию 
, называется интервалом (в узком смысле) или открытым интервалом, обозначается символом 
(рис.1.2).
Совокупность чисел таких, что 
называется замкнутым интервалом (отрезок, сегмент) и обозначается через 
; на числовой оси отмечается так:
От открытого промежутка он отличается лишь двумя точками (концами) и . Но это отличие принципиальное, существенное, как увидим в дальнейшем, например, при изучении свойств функций. 
и 
, обозначается 
и 
полуоткрытые, или полузамкнутые, интервалы (иногда: полуинтервалы);
или 
означает: 
или 
и обозначается 
или 
;
или 
означает 
или 
и обозначается 
или 
;
, обозначается 
множество всех действительных чисел. Значки 
символы «бесконечности»; их называют несобственными или идеальными числами. 
Определение.
Абсолютной величиной (или модулем)
числа называется само это число, если 
или 
если 
. Обозначается абсолютная величина символом 
. Итак, 
, 
, 
.
(или 
). Например, 
то расстояние 
.
, 
, то есть 
.
. 
1) Если 
, то 
. 2) Если 
, то . ▲
.
, тогда по свойству 2: 
, т.е. 
. Аналогично, если представить 
,то придём к неравенству 
▲ 
– следует из определения: рассмотреть случаи 
и 
. 
, при условии, что 
Так же следует из определения. 
,
, означает 
. Этому неравенству удовлетворяют точки, которые лежат между 
и 
.
равносильно неравенству 
, т.е. . Это есть интервал с центром в точке длины 
. Он называется 
окрестностью точки (числа) . Если 
, то окрестность называется проколотой: это или 
. (Рис.1.4).
откуда следует, что неравенство 
(
) равносильно неравенству 
или 
; а неравенство 
определяет множество точек, для которых 
, т.е. это точки, лежащие вне отрезка 
, именно: 
и 
.
Приведём некоторые широко применяемые понятия, обозначения из теории множеств, математической логики и других разделов современной математики.
; читается «x
принадлежит A
» (
знак включения для элементов). Если же объект x
не входит в A
, то пишут 
; читается: «x
не принадлежит A
». Например, 
N
; 8,51
N
; но 8,51
R
.
. Если возможно выписать обозначение всех элементов, то пишут 
, 
и т. п. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ; например, множество корней (действительных) уравнения 
есть пустое.
называется частью или подмножеством множества B
и пишут 
; читается «A
содержится в B
» (
есть знак включения для множеств). Например, N
Z
R.
Если и 
, то говорят, что множества A
и B
равны и пишут 
. В противном случае пишут 
. Например, если 
, а 
множество корней уравнения 
, то .
(иногда 
). Совокупность элементов, принадлежащих и A
и B
, называется пересечением
множеств и обозначается 
. Совокупность всех элементов множества ^
A
, которые не содержатся в B
, называется разностью
множеств и обозначается 
. Схематично эти операции можно изобразить так:
. Всякое множество A
, эквивалентное множеству натуральных чисел N
= называется счётным
или исчислимым.
Иначе говоря, множество называется счётным, если его элементы можно пронумеровать, расположить в бесконечную последовательность
, все члены которой различны: 
при 
, и его можно записать в виде . Прочие бесконечные множества называются несчётными
. Счётными, кроме самого множества N,
будут, например, множества 
, Z.
Оказывается, что множества всех рациональных и алгебраических чисел – счётные, а эквивалентные между собой множества всех иррациональных, трансцендентных, действительных чисел и точек любого интервала – несчётные. Говорят, что последние имеют мощность континуума (мощность – обобщение понятия количества (числа) элементов для бесконечного множества). 
. Символ 
означает: «если верно , то верно и » или «из следует », « имплицирует есть корень уравнения обладает свойством от английского Exist
– существовать.
, или 
, означает: существует (по крайней мере один) предмет , обладающий свойством 
. А запись 
, или 
, означает: все обладают свойством . В частности, можем записать: 
и .
