10 teknik menyelesaikan persamaan kuadrat. Makalah penelitian "10 cara menyelesaikan persamaan kuadrat"

Geser 1

Geser 2

Geser 3

Geser 4

Geser 5

Geser 6

Geser 7

Geser 8

Geser 9

Geser 10

Geser 11

Geser 12

Geser 13

Geser 14

Geser 15

Geser 16

Geser 17

Dalam kursus matematika sekolah, rumus akar persamaan kuadrat dipelajari, yang dengannya Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun. Namun, ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang memungkinkan Anda menyelesaikan banyak persamaan dengan sangat cepat dan efisien. Ada sepuluh cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Dalam pekerjaan saya, saya menganalisis masing-masing secara rinci.

1. METODE : Memfaktorkan ruas kiri persamaan.

Mari kita selesaikan persamaannya

x 2 + 10x - 24 = 0.

Mari kita faktorkan ruas kiri:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut:

(x + 12)(x - 2) = 0

Karena hasil kali sama dengan nol, maka paling sedikit salah satu faktornya juga sama dengan nol. Oleh karena itu, ruas kiri persamaan menjadi nol di x = 2, dan juga kapan x = - 12. Artinya nomor tersebut 2 Dan - 12 adalah akar persamaannya x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODE : Metode untuk memilih persegi lengkap.

Mari kita selesaikan persamaannya x 2 + 6x - 7 = 0.

Pilih kotak lengkap di sisi kiri.

Untuk melakukannya, kita tulis ekspresi x 2 + 6x dalam bentuk berikut:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, suku pertama adalah kuadrat dari bilangan x, dan suku kedua adalah hasil kali ganda dari x dengan 3. Oleh karena itu, untuk mendapatkan kuadrat lengkap, Anda perlu menjumlahkan 3 2, karena

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Sekarang mari kita transformasikan ruas kiri persamaan tersebut

x 2 + 6x - 7 = 0,

menjumlahkannya dan mengurangkan 3 2. Kita punya:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Dengan demikian, persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Karena itu, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, atau x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODE :Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus.

Mari kalikan kedua ruas persamaan tersebut

ah 2+Bx + c = 0, a ≠ 0

pada 4a dan secara berurutan kita memiliki:

4a 2x2 + 4aBx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2axB + B 2 ) - B 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Contoh.

A) Mari selesaikan persamaannya: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

sebuah = 4,B= 7, c = 3,D = B 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dua akar berbeda;

Jadi, dalam kasus diskriminan positif, yaitu. pada

B 2 - 4 ac >0 , persamaannya ah 2+Bx + c = 0 mempunyai dua akar yang berbeda.

B) Mari selesaikan persamaannya: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

sebuah = 4,B= - 4, s = 1,D = B 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, satu akar;

Jadi, jika diskriminannya nol, mis. B 2 - 4 ac = 0 , lalu persamaannya

ah 2+Bx + c = 0 mempunyai satu akar

V) Mari selesaikan persamaannya: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

sebuah = 2,B= 3, c = 4,D = B 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Persamaan ini tidak mempunyai akar.

Jadi, jika diskriminannya negatif, mis. B 2 - 4 ac < 0 ,

persamaannya ah 2+Bx + c = 0 tidak memiliki akar.

Rumus (1) akar-akar persamaan kuadrat ah 2+Bx + c = 0 memungkinkan Anda menemukan akar setiap persamaan kuadrat (jika ada), termasuk tereduksi dan tidak lengkap. Rumusan (1) dinyatakan secara lisan sebagai berikut: akar-akar persamaan kuadrat sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, ditambah dikurangi akar kuadrat dari kuadrat koefisien ini tanpa melipatgandakan hasil kali koefisien pertama dengan suku bebas, dan penyebutnya dua kali lipat koefisien pertama.

4. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.

Seperti diketahui, persamaan kuadrat tereduksi mempunyai bentuk

x 2 +piksel + C = 0. (1)

Akarnya memenuhi teorema Vieta, yang mana, kapan sebuah =1 seperti

X 1 + X 2 = - P

Dari sini kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut (dari koefisien p dan q kita dapat memprediksi tanda-tanda akarnya).

a) Jika setengah anggota Q persamaan yang diberikan (1) adalah positif ( Q > 0 ), maka persamaan tersebut memiliki dua akar yang bertanda sama dengan dan ini bergantung pada koefisien kedua P. Jika R< 0 , maka kedua akarnya negatif jika R< 0 , maka kedua akarnya positif.

Misalnya,

X 2 – 3 X + 2 = 0; X 1 = 2 Dan X 2 = 1, Karena Q = 2 > 0 Dan P = - 3 < 0;

X 2 + 8 X + 7 = 0; X 1 = - 7 Dan X 2 = - 1, Karena Q = 7 > 0 Dan P= 8 > 0.

b) Jika anggota bebas Q persamaan yang diberikan (1) negatif ( Q < 0 ), maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda tanda, dan akar yang lebih besar akan bertanda positif jika P < 0 , atau negatif jika P > 0 .

Misalnya,

X 2 + 4 X – 5 = 0; X 1 = - 5 Dan X 2 = 1, Karena Q= - 5 < 0 Dan P = 4 > 0;

X 2 – 8 X – 9 = 0; X 1 = 9 Dan X 2 = - 1, Karena Q = - 9 < 0 Dan P = - 8 < 0.

5. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan metode “lempar”.

Pertimbangkan persamaan kuadrat

ah 2+Bx + c = 0, Di mana sebuah ≠ 0.

Mengalikan kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan

sebuah 2 x 2 + sebuahBx + ac = 0.

Membiarkan ah = kamu, Di mana x = y/a; lalu kita sampai pada persamaannya

kamu 2 +oleh+ ac = 0,

setara dengan ini. Akarnya di 1 Dan pada 2 dapat ditemukan menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita dapatkan

x 1 = kamu 1 /a Dan x 1 = kamu 2 /a.

Dengan metode ini koefisiennya A dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” padanya, itulah sebabnya disebut metode transfer. Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 2x 2 – 11x + 15 = 0.

Larutan. Mari kita “membuang” koefisien 2 ke suku bebas, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaannya

kamu 2 – 11kamu + 30 = 0.

Menurut teorema Vieta

kamu 2 = 6X 2 = 6/2 X 2 = 3.

Jawaban: 2.5; 3.

6. METODE: Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

A. Biarkan persamaan kuadrat diberikan

ah 2+Bx + c = 0, Di mana sebuah ≠ 0.

1) Jika, a+B+ c = 0 (yaitu jumlah koefisiennya nol), maka x 1 = 1,

x 2 = s/a.

Bukti. Membagi kedua ruas persamaan dengan a ≠ 0, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi

X 2 + B/ A X + C/ A = 0.

X 1 + X 2 = - B/ A,

X 1 X 2 = 1 C/ A.

Dengan syarat A -B+ c = 0, Di mana B= a + c. Dengan demikian,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

itu. x 1 = -1 Dan x 2 =C/ A, yang perlu kami buktikan.

Contoh.

1) Mari kita selesaikan persamaannya 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Larutan. Karena sebuah +B+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Itu

x 1 = 1, x 2 =C/ A = -208/345.

Jawaban 1; -208/345.

2) Selesaikan persamaannya 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Larutan. Karena sebuah +B+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Itu

x 1 = 1, x 2 =C/ A = 115/132.

Jawaban 1; 115/132.

B. Jika koefisien kedua B = 2 k adalah bilangan genap, maka rumus akarnya

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 3x2 - 14x + 16 = 0.

Larutan. Kita punya: sebuah = 3,B= - 14, s = 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, dua akar berbeda;

Sekolah menengah pedesaan Kopyevskaya

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematika

desa Kopevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat

1.3 Persamaan kuadrat di India

1.4 Persamaan kuadrat menurut al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII

1.6 Tentang teorema Vieta

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Kesimpulan

literatur

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, bahkan pada zaman dahulu, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah dan pekerjaan penggalian yang bersifat militer, serta begitu pula dengan perkembangan ilmu astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. e. Babilonia.

Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks pakunya, selain teks-teks yang tidak lengkap, terdapat, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya.

Meskipun tingkat perkembangan aljabar yang tinggi di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat penyajian aljabar yang sistematis, tetapi memuat serangkaian soal yang sistematis, disertai penjelasan dan diselesaikan dengan membangun persamaan-persamaan dengan derajat yang berbeda-beda.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11.“Temukan dua bilangan, ketahuilah jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96”

Alasan Diophantus sebagai berikut: dari kondisi soal maka bilangan-bilangan yang disyaratkan tidak sama, karena jika sama maka hasil kali bilangan-bilangan tersebut bukan sama dengan 96, melainkan 100. Jadi, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu. 10+x, yang lainnya lebih kecil, mis. 10-an. Perbedaan di antara mereka 2x.

Oleh karena itu persamaannya:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-an 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu angka yang dibutuhkan sama dengan 12 , lainnya 8 . Larutan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada penyelesaian persamaan tersebut

kamu(20 - kamu) = 96,

pada2 - 20у + 96 = 0. (2)

Jelas bahwa dengan memilih setengah selisih dari angka-angka yang diperlukan sebagai angka yang tidak diketahui, Diophantus menyederhanakan solusinya; ia berhasil mereduksi masalahnya menjadi menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap (1).

1.3 Persamaan Kuadrat di India

Permasalahan persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi satu bentuk kanonik:

Oh2 + Bx = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali A, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi semacam itu: “Seperti matahari mengalahkan bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka orang terpelajar akan mengungguli kemuliaan orang lain dalam pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet yang lincah, dan dua belas monyet di sepanjang tanaman merambat...

Pihak berwenang, setelah makan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Ada berapa monyet di alun-alun, bagian delapan.

Saya bersenang-senang di tempat terbuka. Katakan padaku, di paket ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua (Gbr. 3).

Persamaan yang sesuai dengan soal 13 adalah:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara menulis dengan kedok:

X2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan kedua ruasnya 32 2 , lalu dapatkan:

X2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X1 = 16, x2 = 48.

1.4 Persamaan kuadrat dalam al – Khorezmi

Dalam risalah aljabar al-Khorezmi diberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. Oh2 + s =BX.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu. Oh2 = s.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. Oh2 + s =BX.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka,” yaitu. Oh2 + bx= s.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu.bx+ c = ah2 .

Bagi al-Khorezmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari setiap persamaan tersebut adalah penjumlahan dan bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis memaparkan metode penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama

al-Khorezmi, seperti semua ahli matematika sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena dalam masalah praktis tertentu hal itu tidak menjadi masalah. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, al-Khorezmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometri.

Masalah 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (dengan asumsi akar persamaan x2 + 21 = 10x).

Solusi penulis kira-kira seperti ini: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan sendirinya, kurangi 21 dari hasil perkaliannya, yang tersisa adalah 4. Ambil akar dari 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5 , Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 ke 5, sehingga menghasilkan 7, ini juga merupakan akar.

Risalah al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

1.5 Persamaan kuadrat di EropaXIII- XVIIbb

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Sempoa yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik dari negara Islam maupun Yunani kuno, dibedakan dari kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII.

HALAMAN_BREAK--

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

X2 + bx= c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien B, Dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Derivasi rumus penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Viète, tetapi Viète hanya mengenali akar-akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

1.6 Tentang teorema Vieta

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B+ D, dikalikan dengan A- A2 , sama BD, Itu A sama DI DALAM dan setara D».

Untuk memahami Vieta, kita harus mengingat hal itu A, seperti huruf vokal lainnya, berarti yang tidak diketahui (kita X), vokal DI DALAM,D- koefisien untuk hal yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas mempunyai arti: jika ada

(sebuah +B)x - x2 = ab,

X2 - (sebuah +B)x + aB= 0,

X1 = sebuah, x2 = B.

Mengekspresikan hubungan antara akar dan koefisien persamaan dengan rumus umum yang ditulis menggunakan simbol, Viète menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun simbolisme Viet masih jauh dari bentuk modernnya. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif.

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi landasan bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) hingga lulus.

Dalam kursus matematika sekolah, rumus akar persamaan kuadrat dipelajari, yang dengannya Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun. Namun, ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang memungkinkan Anda menyelesaikan banyak persamaan dengan sangat cepat dan efisien. Ada sepuluh cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Dalam pekerjaan saya, saya menganalisis masing-masing secara rinci.

1. METODE : Memfaktorkan ruas kiri persamaan.

Mari kita selesaikan persamaannya

X2 + 10x - 24 = 0.

Mari kita faktorkan ruas kiri:

X2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut:

(x + 12)(x - 2) = 0

Karena hasil kali sama dengan nol, maka paling sedikit salah satu faktornya juga sama dengan nol. Oleh karena itu, ruas kiri persamaan menjadi nol di x = 2, dan juga kapan x = - 12. Artinya nomor tersebut 2 Dan - 12 adalah akar persamaannya X2 + 10x - 24 = 0.

2. METODE : Metode untuk memilih persegi lengkap.

Mari kita selesaikan persamaannya X2 + 6x - 7 = 0.

Pilih kotak lengkap di sisi kiri.

Untuk melakukannya, kita tulis ekspresi x2 + 6x dalam bentuk berikut:

X2 + 6x = x2 + 2x3.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, suku pertama adalah kuadrat dari bilangan x, dan suku kedua adalah hasil kali ganda dari x dengan 3. Oleh karena itu, untuk mendapatkan kuadrat lengkap, Anda perlu menjumlahkan 32, karena

x2+ 2x3+32 = (x + 3)2 .

Sekarang mari kita transformasikan ruas kiri persamaan tersebut

X2 + 6x - 7 = 0,

menjumlahkannya dan mengurangkan 32. Kita mendapatkan:

X2 + 6x - 7 = x2+ 2x3+32 - 3 2 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

Dengan demikian, persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut:

(x + 3)2 - 16 =0, (x + 3)2 = 16.

Karena itu, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, atau x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODE :Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus.

Mari kalikan kedua ruas persamaan tersebut

Oh2 + Bx + c = 0, a ≠ 0

pada 4a dan secara berurutan kita memiliki:

4a2 X2 + 4aBx + 4ac = 0,

((2ah)2 + 2ahB+ B2 ) - B2 + 4 ac= 0,

(2kapak + b)2 = b2 - 4ac,

2kapak + b = ± √ b2 - 4ac,

2kapak = - b ± √ b2 - 4ac,

Contoh.

A) Mari selesaikan persamaannya: 4x2 + 7x + 3 = 0.

sebuah = 4,B= 7, c = 3,D= B2 - 4 ac= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, dua akar berbeda;

Jadi, dalam kasus diskriminan positif, yaitu. pada

B2 - 4 ac>0 , persamaannya Oh2 + Bx + c = 0 mempunyai dua akar yang berbeda.

B) Mari selesaikan persamaannya: 4x2 - 4x + 1 = 0,

sebuah = 4,B= - 4, s = 1,D= B2 - 4 ac= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D= 0, satu akar;

Jadi, jika diskriminannya nol, mis. B2 - 4 ac= 0 , lalu persamaannya

Oh2 + Bx + c = 0 mempunyai satu akar

V) Mari selesaikan persamaannya: 2x2 + 3x + 4 = 0,

sebuah = 2,B= 3, c = 4,D= B2 - 4 ac= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Kelanjutan
--PAGE_BREAK--

Persamaan ini tidak mempunyai akar.

Jadi, jika diskriminannya negatif, mis. B2 - 4 ac< 0 ,

persamaannya Oh2 + Bx + c = 0 tidak memiliki akar.

Rumus (1) akar-akar persamaan kuadrat Oh2 + Bx + c = 0 memungkinkan Anda menemukan akar setiap persamaan kuadrat (jika ada), termasuk tereduksi dan tidak lengkap. Rumusan (1) dinyatakan secara lisan sebagai berikut: akar-akar persamaan kuadrat sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, ditambah dikurangi akar kuadrat dari kuadrat koefisien ini tanpa melipatgandakan hasil kali koefisien pertama dengan suku bebas, dan penyebutnya dua kali lipat koefisien pertama.

4. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.

Seperti diketahui, persamaan kuadrat tereduksi mempunyai bentuk

X2 + piksel+ C= 0. (1)

Akarnya memenuhi teorema Vieta, yang mana, kapan sebuah =1 seperti

/>X1 X2 = Q,

X1 + X2 = - P

Dari sini kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut (dari koefisien p dan q kita dapat memprediksi tanda-tanda akarnya).

a) Jika setengah anggota Q persamaan yang diberikan (1) adalah positif ( Q> 0 ), maka persamaan tersebut memiliki dua akar yang bertanda sama dengan dan ini bergantung pada koefisien kedua P. Jika R< 0 , maka kedua akarnya negatif jika R< 0 , maka kedua akarnya positif.

Misalnya,

X2 – 3 X+ 2 = 0; X1 = 2 Dan X2 = 1, Karena Q= 2 > 0 Dan P= - 3 < 0;

X2 + 8 X+ 7 = 0; X1 = - 7 Dan X2 = - 1, Karena Q= 7 > 0 Dan P= 8 > 0.

b) Jika anggota bebas Q persamaan yang diberikan (1) negatif ( Q< 0 ), maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda tanda, dan akar yang lebih besar akan bertanda positif jika P< 0 , atau negatif jika P> 0 .

Misalnya,

X2 + 4 X– 5 = 0; X1 = - 5 Dan X2 = 1, Karena Q= - 5 < 0 Dan P= 4 > 0;

X2 – 8 X– 9 = 0; X1 = 9 Dan X2 = - 1, Karena Q= - 9 < 0 Dan P= - 8 < 0.

5. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan metode “lempar”.

Pertimbangkan persamaan kuadrat

Oh2 + Bx + c = 0, Di mana sebuah ≠ 0.

Mengalikan kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan

A2 X2 + sebuahBx + ac = 0.

Membiarkan ah = kamu, Di mana x = y/a; lalu kita sampai pada persamaannya

pada2 + oleh+ ac = 0,

setara dengan ini. Akarnya pada1 Dan pada 2 dapat ditemukan menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita dapatkan

X1 = kamu1 /A Dan X1 = kamu2 /A.

Dengan metode ini koefisiennya A dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” padanya, itulah sebabnya disebut metode transfer. Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 2x2 – 11x + 15 = 0.

Larutan. Mari kita “membuang” koefisien 2 ke suku bebas, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaannya

pada2 – 11у + 30 = 0.

Menurut teorema Vieta

/>/>/>/>/>pada1 = 5x1 = 5/2 X1 = 2,5

pada2 = 6 X2 = 6/2 X2 = 3.

Jawaban: 2.5; 3.

6. METODE: Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

A. Biarkan persamaan kuadrat diberikan

Oh2 + Bx + c = 0, Di mana sebuah ≠ 0.

1) Jika, a+B+ c = 0 (yaitu jumlah koefisiennya nol), maka x1 = 1,

X2 = s/a.

Bukti. Membagi kedua ruas persamaan dengan a ≠ 0, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi

X2 + B/ A X+ C/ A= 0.

/>Menurut teorema Vieta

X1 + X2 = - B/ A,

X1 X2 = 1 C/ A.

Dengan syarat A -B+ c = 0, Di mana B= a + c. Dengan demikian,

/>X1 +x2 = - A+ b/a= -1 – c/a,

X1 X2 = - 1 (- c/a),

itu. X1 = -1 Dan X2 = C/ A, yang perlu kami buktikan.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 345x2 – 137x – 208 = 0.

Larutan. Karena sebuah +B+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Itu

X1 = 1,x2 = C/ A= -208/345.

Jawaban 1; -208/345.

2) Selesaikan persamaannya 132x2 – 247x + 115 = 0.

Larutan. Karena sebuah +B+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Itu

X1 = 1,x2 = C/ A= 115/132.

Jawaban 1; 115/132.

B. Jika koefisien kedua B= 2 k adalah bilangan genap, maka rumus akarnya

Kelanjutan
--PAGE_BREAK--

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 3x2 - 14x + 16 = 0.

Larutan. Kita punya: sebuah = 3,B= - 14, s = 16,k= - 7 ;

D= k2 – ac= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D> 0, dua akar berbeda;

Jawaban: 2; 8/3

DI DALAM. Persamaan tereduksi

X2 + piksel +Q= 0

bertepatan dengan persamaan umum di mana sebuah = 1, B= hal Dan c =Q. Oleh karena itu, untuk persamaan kuadrat tereduksi, rumus akarnya adalah

mengambil bentuk:

Rumus (3) sangat nyaman digunakan ketika R- bilangan genap.

Contoh. Mari kita selesaikan persamaannya X2 – 14x – 15 = 0.

Larutan. Kita punya: X1,2 =7±

Jawaban: x1 = 15; X2 = -1.

7. METODE: Solusi grafis dari persamaan kuadrat.

Jika dalam Persamaan.

X2 + piksel+ Q= 0

pindahkan suku kedua dan ketiga ke ruas kanan, kita peroleh

X2 = - piksel- Q.

Mari kita buat grafik ketergantungan y = x2 dan y = - px- q.

Grafik ketergantungan pertama adalah parabola yang melalui titik asal. Grafik ketergantungan kedua -

lurus (Gbr. 1). Kasus-kasus berikut mungkin terjadi:

Garis lurus dan parabola dapat berpotongan di dua titik, absis titik potong tersebut adalah akar-akar persamaan kuadrat;

Garis lurus dan parabola dapat bersentuhan (hanya satu titik persekutuan), yaitu. persamaan tersebut memiliki satu solusi;

Garis lurus dan parabola tidak mempunyai titik persekutuan, yaitu. persamaan kuadrat tidak mempunyai akar.

Contoh.

1) Mari kita selesaikan persamaannya secara grafis X2 - 3x - 4 = 0(Gbr. 2).

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk X2 = 3x + 4.

Mari kita membuat parabola kamu = x2 dan langsung kamu = 3x + 4. Langsung

kamu = 3x + 4 dapat dibangun dari dua titik M (0; 4) Dan

N(3; 13) . Garis lurus dan parabola berpotongan di dua titik

A Dan DI DALAM dengan absis X1 = - 1 Dan X2 = 4 . Menjawab : X1 = - 1;

X2 = 4.

2) Mari kita selesaikan persamaannya secara grafis (Gbr. 3) X2 - 2x + 1 = 0.

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk X2 = 2x - 1.

Mari kita membuat parabola kamu = x2 dan langsung kamu = 2x - 1.

Langsung kamu = 2x - 1 membangun dari dua titik M (0; - 1)

Dan N(1/2; 0) . Garis lurus dan parabola berpotongan di suatu titik A Dengan

absis x = 1. Menjawab: x = 1.

3) Mari kita selesaikan persamaannya secara grafis X2 - 2x + 5 = 0(Gbr. 4).

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk X2 = 5x - 5. Mari kita membuat parabola kamu = x2 dan langsung kamu = 2x - 5. Langsung kamu = 2x - 5 Mari kita membangun dari dua titik M(0; - 5) dan N(2.5; 0). Garis lurus dan parabola tidak mempunyai titik potong, mis. Persamaan ini tidak mempunyai akar.

Menjawab. Persamaannya X2 - 2x + 5 = 0 tidak memiliki akar.

8. METODE: Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris.

Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan parabola tidak nyaman. Jika membuat parabola dari titik-titik, dibutuhkan banyak waktu, dan tingkat keakuratan hasil yang diperoleh rendah.

Saya mengusulkan metode berikut untuk mencari akar persamaan kuadrat Oh2 + Bx + c = 0 menggunakan kompas dan penggaris (Gbr. 5).

Mari kita asumsikan bahwa lingkaran yang diinginkan memotong sumbunya

absis dalam poin B(x1 ; 0) Dan D(X2 ; 0), Di mana X1 Dan X2 - akar persamaan Oh2 + Bx + c = 0, dan melewati titik-titik tersebut

SEBUAH(0; 1) Dan C(0;C/ A) pada sumbu ordinat. Kemudian, berdasarkan teorema garis potong, kita punya O.B. OD.= O.A. O.C., Di mana O.C.= O.B. OD./ O.A.= x1 X2 / 1 = C/ A.

Pusat lingkaran berada pada titik potong garis tegak lurus SF Dan S.K., dipulihkan di tengah-tengah akord AC Dan BD, Itu sebabnya

1) membangun titik-titik (pusat lingkaran) dan A(0; 1) ;

2) menggambar lingkaran dengan jari-jari S.A.;

3) absis titik potong lingkaran ini dengan sumbunya Oh adalah akar-akar persamaan kuadrat asli.

Dalam hal ini, ada tiga kasus yang mungkin terjadi.

1) Jari-jari lingkaran lebih besar dari ordinat pusatnya (SEBAGAI> S.K., atauR> A+ C/2 A) , lingkaran memotong sumbu Sapi di dua titik (Gbr. 6, a) B(x1 ; 0) Dan D(X2 ; 0) , Di mana X1 Dan X2 - akar persamaan kuadrat Oh2 + Bx + c = 0.

2) Jari-jari lingkaran sama dengan ordinat pusatnya (SEBAGAI= S.B., atauR= A+ C/2 A) , lingkaran menyentuh sumbu Ox (Gbr. 6, b) di titik tersebut B(x1 ; 0) , di mana x1 adalah akar persamaan kuadrat.

Kelanjutan
--PAGE_BREAK--

3) Jari-jari lingkaran lebih kecil dari ordinat pusatnya; lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan dengan sumbu absis (Gbr. 6, c), dalam hal ini persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya X2 - 2x - 3 = 0(Gbr. 7).

Larutan. Mari kita tentukan koordinat titik pusat lingkaran dengan menggunakan rumus:

Mari kita menggambar lingkaran dengan jari-jari SA, dimana A (0; 1).

Menjawab:X1 = - 1; X2 = 3.

9. METODE: Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.

Ini adalah metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lama dan tidak dapat dilupakan, ditempatkan pada hal. 83 (lihat tabel matematika empat digit Bradis V.M. - M., Prosveshchenie, 1990).

Tabel XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan z2 + hal+ Q= 0 . Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar-akar persamaan menggunakan koefisiennya.

Skala lengkung nomogram dibuat sesuai dengan rumus (Gbr. 11):

Percaya OS = hal,ED= Q, OE = sebuah(semua dalam cm), dari persamaan segitiga SAN Dan CDF kita mendapatkan proporsinya

yang, setelah substitusi dan penyederhanaan, menghasilkan persamaan

z2 + hal+ Q= 0,

dan surat itu z berarti tanda suatu titik pada skala melengkung.

Contoh.

1) Untuk persamaannya z2 - 9 z+ 8 = 0 nomogram memberikan akar

z1 = 8,0 Dan z2 = 1,0 (Gbr. 12).

2) Dengan menggunakan nomogram, kita menyelesaikan persamaan tersebut

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

Membagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaannya

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

Nomogram memberi akar z1 = 4 Dan z2 = 0,5.

3) Untuk persamaannya

z2 - 25 z+ 66 = 0

koefisien p dan q berada di luar skala, mari kita lakukan substitusi z= 5 T, kita mendapatkan persamaannya

T2 - 5 T+ 2,64 = 0,

yang kami selesaikan menggunakan nomogram dan dapatkan T1 = 0,6 Dan T2 = 4,4, Di mana z1 = 5 T1 = 3,0 Dan z2 = 5 T2 = 22,0.

10. METODE: Metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Pada zaman dahulu, ketika geometri lebih berkembang daripada aljabar, persamaan kuadrat diselesaikan bukan secara aljabar, melainkan secara geometris. Saya akan memberikan contoh terkenal dari “Aljabar” al-Khorezmi.

Contoh.

1) Mari kita selesaikan persamaannya X2 + 10x = 39.

Dalam bahasa aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: “Sebuah kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39” (Gbr. 15).

Larutan. Misalkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibuat pada sisi-sisinya sehingga sisi yang lain masing-masing adalah 2,5, jadi luas masing-masing adalah 2,5x. Gambar yang dihasilkan kemudian dijumlahkan dengan persegi ABCD baru, dengan membuat empat persegi sama besar di sudut-sudutnya, masing-masing sisinya 2,5, dan luasnya 6,25.

Persegi S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas: persegi asal X2 , empat persegi panjang (4 2,5x = 10x) dan empat kotak terlampir (6,25 4 = 25) , yaitu S= X2 + 10x + 25. Mengganti

X2 + 10x nomor 39 , kami mengerti S= 39 + 25 = 64 , yang artinya sisi persegi ABCD, yaitu segmen garis AB = 8. Untuk sisi yang diperlukan X kita mendapatkan kotak aslinya

2) Tapi, misalnya, bagaimana orang Yunani kuno memecahkan persamaan tersebut pada2 + 6у - 16 = 0.

Larutan ditunjukkan pada Gambar. 16, dimana

pada2 + 6y = 16, atau y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Larutan. Ekspresi pada2 + 6у + 9 Dan 16 + 9 secara geometris mewakili persegi yang sama, dan persamaan aslinya pada2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- persamaan yang sama. Dari mana kita mendapatkannya kamu + 3 = ± 5, atau pada1 = 2, kamu2 = - 8 (Gbr. 16).

3) Selesaikan persamaan geometri pada2 - 6у - 16 = 0.

Mengubah persamaan, kita dapatkan

pada2 - 6 tahun = 16.

Pada Gambar. 17 temukan “gambar” dari ekspresi tersebut pada2 - 6u, itu. dari luas persegi yang sisinya y, kurangi luas persegi yang sisinya sama dengan 3 . Artinya jika pada ekspresi pada2 - 6у menambahkan 9 , maka kita mendapatkan luas persegi dengan sisinya kamu - 3. Mengganti ekspresi pada2 - 6у itu sama dengan angka 16,

kita mendapatkan: (kamu - 3)2 = 16 + 9, itu. y - 3 = ± √25, atau y - 3 = ± 5, dimana pada1 = 8 Dan pada2 = - 2.

Kesimpulan

Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental.

Namun, pentingnya persamaan kuadrat tidak hanya terletak pada keanggunan dan singkatnya penyelesaian masalah, meskipun hal ini sangat penting. Sama pentingnya bahwa sebagai hasil dari penggunaan persamaan kuadrat dalam memecahkan masalah, detail baru sering ditemukan, generalisasi yang menarik dapat dibuat dan klarifikasi dapat dilakukan, yang disarankan oleh analisis rumus dan hubungan yang dihasilkan.

Saya juga ingin mencatat bahwa topik yang disajikan dalam karya ini belum banyak dipelajari sama sekali, hanya saja tidak dipelajari, sehingga penuh dengan banyak hal yang tersembunyi dan tidak diketahui, yang memberikan peluang besar untuk karya lebih lanjut. di atasnya.

Di sini saya memikirkan masalah penyelesaian persamaan kuadrat, dan apa,

apakah ada cara lain untuk mengatasinya?! Sekali lagi, temukan pola-pola indah, beberapa fakta, klarifikasi, buat generalisasi, temukan lebih banyak hal baru. Tapi ini adalah pertanyaan untuk pekerjaan di masa depan.

Ringkasnya, kita dapat menyimpulkan: persamaan kuadrat memegang peranan yang sangat besar dalam perkembangan matematika. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) hingga lulus. Pengetahuan ini dapat berguna bagi kita sepanjang hidup kita.

Karena metode penyelesaian persamaan kuadrat ini mudah digunakan, metode ini tentunya menarik bagi siswa yang tertarik pada matematika. Pekerjaan saya memungkinkan kita untuk melihat secara berbeda tugas-tugas yang diberikan matematika kepada kita.

Literatur:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. dan lain-lain. Buku pelajaran percobaan untuk kelas 6-8 SMA. - M., Pendidikan, 1981.

2. Bradis V.M. Tabel matematika empat digit untuk sekolah menengah Ed. ke-57. - M., Pencerahan, 1990. S. 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. Buku soal aljabar dan fungsi dasar. Buku teks untuk lembaga pendidikan khusus menengah. - M., sekolah menengah, 1969.

4. Okunev A.K. Fungsi kuadrat, persamaan dan pertidaksamaan. Buku pedoman guru. - M., Pendidikan, 1972.

5. Presman A.A. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris. - M., Kvant, No.4/72. Hal.34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Kumpulan soal dan soal matematika. Ed. - ke-4, tambahan - M., Sekolah Tinggi, 1973.

7. Khudobin A.I. Kumpulan soal aljabar dan fungsi dasar. Buku pedoman guru. Ed. ke-2. - M., Pendidikan, 1970.

anotasi

1. METODE: Memfaktorkan ruas kiri persamaan

2. METODE: Metode ekstraksi persegi penuh.

4. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.

5. METODE: Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode “melempar”.

6. METODE: Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat

7. METODE: Solusi grafis persamaan kuadrat

8. METODE : Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan kompas dan penggaris.

9. METODE: Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.

Kesimpulan

Tochilkina Yulia

Makalah penelitian dengan topik "10 cara menyelesaikan persamaan kuadrat"

Unduh:

Pratinjau:

Lembaga pendidikan anggaran kota

"Sekolah Menengah No. 59"

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

(pekerjaan abstrak)

Diselesaikan oleh: siswa kelas 8A

MBOU "Sekolah Menengah No. 59 Barnaul

Tochilkina Yulia

Pengawas:

Zakharova Lyudmila Vladimirovna,

guru matematika, MBOU "Sekolah Menengah No. 59"

Barnaul

Perkenalan ……………………………………………………………...2

I. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat ……………………………...3

1. Persamaan kuadrat pada Babilonia Kuno……………………………...4

2. Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat…………………5

3. Persamaan kuadrat di India…………………………………………………6

4. Persamaan kuadrat dalam al-Khorezmi…………………………………….7

5. Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII………......9

6. Tentang teorema Vieta…………………………………………………..…….10

……………………….........11

1. Memfaktorkan ruas kiri persamaan…………………..12
2. Cara memilih persegi lengkap.………………….……............13
3. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus…………………..………14
4. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta……….........16

5. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode transfer”……………………………….18

1. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat………………….....19

7. Penyelesaian grafis persamaan kuadrat…………………..……….. 21

8. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan kompas dan penggaris……….. 24

9. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram………………. 26

10. Metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat……………….28

AKU AKU AKU. Kesimpulan …………………………………………………..........................30

Sastra……………………………………………………………………….….32

Seringkali lebih bermanfaat bagi seseorang yang mempelajari aljabar untuk memecahkan masalah yang sama dengan tiga cara berbeda daripada menyelesaikan tiga atau empat masalah berbeda. Dengan menyelesaikan satu masalah menggunakan metode yang berbeda, Anda dapat mengetahui melalui perbandingan mana yang lebih pendek dan efisien. Ini adalah bagaimana pengalaman dikembangkan."

W. Sawyer

1. Perkenalan

Teori persamaan menempati posisi terdepan dalam mata pelajaran aljabar sekolah. Lebih banyak waktu dicurahkan untuk mempelajarinya dibandingkan topik lain dalam kursus matematika sekolah. Hal ini disebabkan oleh kenyataan bahwa sebagian besar masalah dalam kehidupan disebabkan oleh penyelesaian berbagai jenis persamaan.

Pada buku teks aljabar kelas 8, kita diperkenalkan dengan beberapa jenis persamaan kuadrat dan berlatih menyelesaikannya menggunakan rumus. Saya punya pertanyaan: “Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat? Seberapa rumit metode ini dan dapatkah diterapkan dalam praktik? Oleh karena itu, pada tahun ajaran ini saya memilih topik penelitian yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, dan dalam karya saya berjudul “10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat”.Relevansi topik iniadalah dalam pelajaran aljabar, geometri, dan fisika kita sangat sering menjumpai penyelesaian persamaan kuadrat. Oleh karena itu, setiap siswa harus mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan benar dan rasional, hal ini juga berguna bagi saya ketika menyelesaikan masalah yang lebih kompleks, termasuk di kelas 9 saat lulus ujian;

Tujuan pekerjaan: belajar memecahkan persamaan kuadrat, mempelajari berbagai metode penyelesaiannya.

Berdasarkan tujuan ini, saya menetapkan yang berikut ini tugas:

Mempelajari sejarah perkembangan persamaan kuadrat;

Pertimbangkan metode standar dan non-standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat;

Identifikasi cara paling mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat;

Belajar menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai cara.

Objek studi: persamaan kuadrat.

Subyek studi: dari manual menyelesaikan persamaan kuadrat.

Metode penelitian:

Teoritis: studi literatur tentang topik penelitian;

informasi internet.

Analisis: informasi yang diperoleh dari studi literatur;

Hasil yang diperoleh ketika menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai cara.

Perbandingan metode rasionalitas penggunaannya dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.

Sejarah perkembangan persamaan kuadrat.

1. Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno.

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, bahkan pada zaman dahulu, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas tanah, pekerjaan penggalian yang bersifat militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. e. Babilonia.

Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks pakunya, selain teks-teks yang tidak lengkap, terdapat, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya.

Meskipun tingkat perkembangan aljabar yang tinggi di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

2. Persamaan kuadrat di Yunani atau cara Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat penyajian aljabar yang sistematis, tetapi memuat serangkaian soal yang sistematis, disertai penjelasan dan diselesaikan dengan membangun persamaan-persamaan dengan derajat yang berbeda-beda.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11. “Temukan dua bilangan, ketahuilah jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96”

Alasan Diophantus sebagai berikut: dari kondisi soal maka bilangan-bilangan yang disyaratkan tidak sama, karena jika sama maka hasil kali bilangan-bilangan tersebut bukan sama dengan 96, melainkan 100. Jadi, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu. 10+x , yang lainnya lebih kecil, mis. 10-an . Perbedaan di antara mereka 2x.

Oleh karena itu persamaannya:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Oleh karena itu x = 2 . Salah satu angka yang dibutuhkan sama dengan 12, lainnya 8. Solusi x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada penyelesaian persamaan tersebut

kamu(20 - kamu) = 96,

kamu 2 - 20 tahun + 96 = 0. (2)

Jelas bahwa dengan memilih setengah selisih dari angka-angka yang diperlukan sebagai angka yang tidak diketahui, Diophantus menyederhanakan solusinya; ia berhasil mereduksi masalahnya menjadi menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap (1).

3. Persamaan kuadrat di India.

Permasalahan persamaan kuadrat ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi satu bentuk kanonik: kapak 2 + bx = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali A , bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita. Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi semacam itu: “Seperti matahari mengalahkan bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka orang terpelajar akan mengungguli kemuliaan orang lain dalam pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Tugas.

“Sekawanan monyet yang lincah, dan dua belas monyet di sepanjang tanaman merambat...

Pihak berwenang, setelah makan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Ada berapa monyet di alun-alun, bagian delapan.

Saya bersenang-senang di tempat terbuka. Katakan padaku, di paket ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua (Gbr. 1).

Persamaan yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara menulis dengan kedok: x 2 - 64x = -768

dan untuk menyelesaikan sisi kiri ini

persamaan menjadi persegi, dijumlahkan pada kedua ruasnya 32 2, maka didapat: x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024, Gambar 1

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

4. Persamaan kuadrat al-Khorezmi.

Dalam risalah aljabar al-Khorezmi diberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. Oh 2 + c = bx.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu. Oh 2 = s.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. Oh 2 + c = bx.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka,” yaitu. Oh 2 + bx = c.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu. bx + c = ah 2 .

Bagi al-Khorezmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari setiap persamaan tersebut adalah penjumlahan dan bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis memaparkan metode penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Solusinya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan solusi modern. Belum lagi murni retorika, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama, al-Khorezmi, seperti semua ahli matematika hingga abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena dalam praktik tertentu tidak masalah dalam tugas. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, al-Khorezmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometri.

Tugas. “Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya"

(dengan asumsi akar persamaan x 2 + 21 = 10x).

Solusi penulis kira-kira seperti ini: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan sendirinya, kurangi 21 dari hasil perkaliannya, yang tersisa adalah 4. Ambil akar dari 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5 , Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 ke 5, sehingga menghasilkan 7, ini juga merupakan akar.

Risalah al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

5. Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII.

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis al-Khorezmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam “Kitab Sempoa”, yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik dari negara Islam maupun Yunani kuno, dibedakan dari kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal: x 2 + bx = c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien b, c dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Derivasi rumus penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Viète, tetapi Viète hanya mengenali akar-akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

6. Tentang teorema Vieta.

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D dikali A - A 2 sama dengan BD, lalu A sama dengan B dan sama dengan D."

Untuk memahami Vieta, kita harus mengingat hal itu A , seperti huruf vokal lainnya, berarti yang tidak diketahui (kita x), vokal B, D - koefisien untuk hal yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas mempunyai arti: jika ada

(a + b)x - x 2 = ab, yaitu

x 2 - (a + b)x + ab = 0, maka

x 1 = a, x 2 = b.

Mengekspresikan hubungan antara akar dan koefisien persamaan dengan rumus umum yang ditulis menggunakan simbol, Viète menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun simbolisme Viet masih jauh dari bentuk modernnya. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif.

II. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi landasan bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental.Banyak masalah praktis diselesaikan dengan bantuan mereka. Misalnya, persamaan kuadrat memungkinkan Anda menghitung jarak pengereman mobil, kekuatan roket untuk meluncurkan pesawat ruang angkasa ke orbit, dan lintasan berbagai benda fisik - dari partikel elementer hingga bintang.

Di sekolah, rumus akar persamaan kuadrat dipelajari, yang dengannya Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun. Namun, ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat dengan sangat cepat dan efisien. Dalam literatur matematika saya menemukan sepuluh cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan dalam pekerjaan saya, saya menganalisis masing-masing cara tersebut

Definisi 1. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk kapak 2 + bx + c = 0, dimana koefisien a, b, c adalah bilangan real, a ≠ 0.

Definisi 2. Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan kuadrat yang ketiga sukunya ada, yaitu. koefisien dalam dan с berbeda dari nol.

Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan yang paling sedikit salah satu koefisiennya di atau, c sama dengan nol.

Definisi 3. Akar persamaan kuadrat adalah ah 2 + in + c = 0 adalah nilai apa pun dari variabel x yang memiliki sumbu trinomial kuadrat 2 + in + c menjadi nol.

Definisi 4. Memecahkan persamaan kuadrat berarti menemukan semuanya

akar atau membuktikan bahwa tidak ada akar.

1. Memfaktorkan ruas kiri persamaan.

Mari kita selesaikan persamaan x 2 + 10x - 24 = 0.

Mari kita faktorkan ruas kiri:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut:

(x + 12)(x - 2) = 0

Hasil kali faktor-faktor adalah nol jika paling sedikit salah satu faktornya adalah nol.

x + 12= 0 atau x – 2=0

x=-12 x=2

Jawaban: -12; 2.

1. Metode untuk memilih persegi lengkap.

Mari kita selesaikan persamaan x 2 + 6x - 7 = 0.

Pilih kotak lengkap di sisi kiri:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Maka persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

(x + 3) 2 - 16 =0,

(x + 3) 2 = 16.

x + 3=4 atau x + 3 = -4

X 1 = 1 x 2 = -7

Jawaban 1; -7.

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus.

Mari kalikan kedua ruas persamaan tersebut kapak 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 kali 4a, maka

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

1. Jadi, dalam kasus diskriminan positif, yaitu. pada b 2 - 4ac >0, persamaan ax 2 + bx + c = 0 mempunyai dua akar yang berbeda.

2. Jika diskriminannya nol, mis. b 2 - 4ac = 0 , maka persamaan tersebut mempunyai satu akar.

3. Jika diskriminannya negatif, mis. b 2 - 4ac, persamaan ax 2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar.

Rumus (1) akar-akar persamaan kuadrat kapak 2 + bx + c = 0 memungkinkan Anda menemukan akar setiap persamaan kuadrat (jika ada), termasuk tereduksi dan tidak lengkap. Rumusan (1) dinyatakan secara lisan sebagai berikut:akar-akar persamaan kuadrat sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, ditambah dikurangi akar kuadrat dari kuadrat koefisien ini tanpa melipatgandakan hasil kali koefisien pertama dengan suku bebas, dan penyebutnya dua kali lipat koefisien pertama.

Contoh.

A) Mari selesaikan persamaannya:

4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3.

D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,D > 0,

Jawaban 1; .

B) Mari selesaikan persamaannya:

4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1,

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0, D = 0, persamaan tersebut memiliki satu akar;

Menjawab:

V) Mari selesaikan persamaannya: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D

Persamaan ini tidak mempunyai akar.

Jawaban: tidak ada akar.

1. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.

Memang layak untuk dinyanyikan dalam puisi

Teorema Vieta tentang sifat-sifat akar.

Diberikan persamaan kuadratdisebut persamaan bentuk(1) dimana koefisien terdepan sama dengan satu.

Akar-akar persamaan kuadrat di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Anda dapat mengingat rumus ini dengan menghafal puisi berikut.

P dengan tanda diambil terbalik

Kami akan membaginya dengan 2,

Dan dari akarnya saya menandatangani dengan hati-hati mari kita berpisah

Dan di root itu sangat berguna

Setengah persegi

dikurangi - dan inilah solusi persamaan kecilnya.

Untuk membuat persamaan kuadratmengarah ke bentuk tereduksi, Anda perlu membagi semua sukunya menjadi A, , Kemudian

Sangat layak untuk dinyanyikan dalam puisi
Teorema Vieta tentang sifat-sifat akar.
Mana yang lebih baik, beri tahu saya, konsistensinya seperti ini:
Anda mengalikan akar-akarnya dan pecahannya siap:
Pembilangnya c, penyebutnya a,
Dan jumlah akar-akarnya juga sama dengan pecahan.
Bahkan jika pecahan ini minus, sungguh menjadi masalah -
Pembilangnya b, penyebutnya a.

Jika kita menunjuk , maka kita mendapatkan persamaan bentuknya. Dan rumus () akan berbentuk

Dengan demikian: jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas.

Dari koefisien p dan q seseorang dapat meramalkan tanda-tanda akarnya.

A) Jika suku rangkuman q persamaan (1) di atas adalah positif (q > 0), maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang bertanda sama, dan hal ini bergantung pada koefisien kedua:

Jika R , maka kedua akarnya positif;

Jika p > 0 , maka kedua akarnya negatif.

Misalnya,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 dan x 2 = 1, karena q = 2 > 0 dan p = - 3

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 dan x 2 = - 1, karena q = 7 > 0 dan p = 8 > 0.

B) Jika suku bebas q dari persamaan yang diberikan (1) adalah negatif (q 0 .

Misalnya,

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 dan x 2 = - 1, karena q = - 9 dan p = - 8

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 dan x 2 = 1, karena q= - 5 dan p = 4 > 0.

1. Menyelesaikan persamaan menggunakan metode “lempar”.

Pertimbangkan persamaan kuadrat

Mengalikan kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Misal ax = y, maka x = y/a ; lalu kita sampai pada persamaannya kamu 2 + oleh + ac = 0,

setara dengan ini.

Akarnya adalah 1 dan 2 kami menemukan menggunakan teorema Vieta dan akhirnya:

x 1 = kamu 1 /a dan x 1 = kamu 2 /a.

Dengan metode ini koefisiennya A dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” padanya, itulah sebabnya disebutmetode transfer. Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaan 2x 2 – 11x + 15 = 0.

Larutan. Mari kita “membuang” koefisien 2 ke suku bebas, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaannya

kamu 2 – 11kamu + 30 = 0.

Menurut teorema Vieta

Y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5

kamu 2 = 6; x 2 = 6/2; x 2 = 3.

Jawaban: 2.5; 3.

1. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

1. Misalkan persamaan kuadrat diberikan kapak 2 + bx + c = 0, dimana a ≠ 0.

1. Jika a + b + c = 0 (yaitu jumlah koefisiennya nol),

maka x 1 = 1, x 2 = s/a.

1. Jika a – b + c=0, maka x 2 = -1, x 2 = -s/a

Contoh.

1. A. Mari kita selesaikan persamaannya 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Larutan. Karena a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Itu

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Jawaban 1; -208/345.

B. Selesaikan persamaannya 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Larutan. Karena a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Itu

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Jawaban 1; 115/132.

2) Mari kita selesaikan persamaan 2x 2 + 3x +1= 0. Karena 2 - 3+1=0, maka x 1 = - 1, x 2 = -c/a= -1/2

Jawaban: x 1 = -1, x 2 = -1/2.

Metode ini mudah diterapkan pada persamaan kuadrat dengan koefisien besar.

2. Jika koefisien persamaan kedua b = 2k adalah bilangan genap, maka rumus akarnyadapat ditulis dalam bentuk

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaan 3x 2 - 14x + 16 = 0.

Solusi. Kita punya: a = 3, b = - 14 (k = -7), c = 16,

D 1 = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 1 > 0, persamaan tersebut memiliki dua akar yang berbeda;

Jawaban: 2; 8/3

Persamaan tereduksi x 2 + piksel + q= 0 bertepatan dengan persamaan umum di mana a = 1, b = p dan c = q . Oleh karena itu, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, rumus akarnya berbentuk

Rumus () nyaman digunakan ketika p adalah bilangan genap.

Contoh. Mari kita selesaikan persamaannya x 2 – 14x – 15 = 0.

Larutan. Kita mempunyai a = 1, b = -14, (k = -7), c = -15.

x 1,2 =7± =7 ± ,

x 1,2 = 15; x 2 = -1.

Jawaban: x 1 = 15; x 2 = -1.

7. Solusi grafis persamaan kuadrat.

DAN Dengan menggunakan pengetahuan tentang fungsi kuadrat dan linier serta grafiknya, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan apa yang disebutmetode grafis fungsional.Selain itu, beberapa persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan berbagai cara; mari kita pertimbangkan metode ini menggunakan contoh satu persamaan kuadrat.

Contoh. Selesaikan persamaannya=0

1 cara . Mari kita plot fungsinyamenggunakan algoritma.

1) Kami memiliki:

Artinya titik puncak parabola adalah titik (1;-4), dan sumbu parabola adalah garis lurus x=1

2) Ambil dua titik pada sumbu x yang simetris terhadap sumbu parabola, misalnya titik pada Gambar 2

X= -1 dan x=3, maka f(-1)=f(3)=0.

3) Melalui titik (-1;0), (1;-4), (3;0) kita menggambar parabola (Gbr. 2).

Akar persamaanadalah absis titik potong parabola dengan sumbu x; Artinya akar-akar persamaannya

Metode 2

Mari kita ubah persamaannya ke bentuk.

Dan (Gambar 3).

Mereka berpotongan di dua titik A(-1;1) dan B(3;9). Akar persamaannya adalah absis titik A dan B yang artinya.

Gambar.3

3 cara

Mari kita ubah persamaannya ke bentuk.

Mari kita buat grafik fungsi dalam satu sistem koordinatDan (Gbr.4) Mereka berpotongan di dua titik A(-1;-2) dan B (3;6). Oleh karena itu, akar persamaannya adalah absis titik A dan B.

Gambar.4

4 cara

Kalau begitu, mari kita ubah persamaannya ke dalam bentukitu.

Mari kita buat parabola dalam satu sistem koordinatdan langsung . Mereka berpotongan di titik A(-1;4) dan B(3;4). Oleh karena itu, akar persamaannya adalah absis titik A dan B(Gbr. 5).

Gambar.5

5 cara

Membagi kedua ruas persamaan dengan x suku demi suku, kita peroleh:

;

.

Gambar.6

Mari kita membuat hiperbola dalam satu sistem koordinatdan langsung (Gbr. 6). Mereka berpotongan di dua titik A(-1;-3) dan B(3;1). Akar persamaannya adalah absis titik A dan B, oleh karena itu,.

Empat metode pertama berlaku untuk persamaan bentuk apa pun

ah 2 + bх + c = 0, dan yang kelima - hanya untuk yang c tidak sama dengan nol.

Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat memang bagus, tetapi tidak memberikan jaminan 100% untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

8. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan

Penguasa.

Saya mengusulkan metode berikut untuk mencari akar persamaan kuadrat kapak 2 + bx + c = 0 menggunakan kompas dan penggaris (Gbr. 7).

Mari kita asumsikan bahwa lingkaran yang diinginkan memotong sumbunya

absis dalam poin B(x 1; 0) dan D (x 2; 0), dimana x 1 dan x 2 - akar persamaan kapak 2 + bx + c = 0 , dan melewati titik-titik tersebut

SEBUAH(0; 1) dan C(0; c/a) pada sumbu ordinat. Kemudian, berdasarkan teorema garis potong, kita punya OB OD = OA OC, dari mana OC = OB OD / OA = x 1 x 2 / 1 = c/a.

Pusat lingkaran berada pada titik potong garis tegak lurus SF dan SK , dipulihkan di tengah-tengah akord AC dan BD, jadi

Jadi:

1) membangun titik-titik (pusat lingkaran) dan SEBUAH(0; 1) ;

2) menggambar lingkaran dengan jari-jari SA;

3) absis titik potong lingkaran ini dengan sumbunya Oh adalah akar-akar persamaan kuadrat asli.

Dalam hal ini, ada tiga kasus yang mungkin terjadi.

1) Jari-jari lingkaran lebih besar dari ordinat pusatnya(AS > SK, atau R > a + c/2a), lingkaran memotong sumbu Sapi di dua titik (Gbr. 8a) B(x 1; 0) dan D(x 2; 0), dimana x 1 dan x 2 - akar persamaan kuadrat kapak 2 + bx + c = 0.

2) Jari-jari lingkaran sama dengan ordinat pusatnya(AS = SB, atau R = a + c/2a), lingkaran menyentuh sumbu Ox (Gbr. 8b) di titik tersebut B(x 1; 0), dimana x 1 - akar persamaan kuadrat.

3) Jari-jari lingkaran lebih kecil dari ordinat pusatnya

lingkaran tidak memiliki titik persekutuan dengan sumbu absis (Gbr. 8c), dalam hal ini persamaan tidak memiliki solusi.

Gambar.8

a B C)

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaan x 2 - 2x - 3 = 0 (Gbr. 9).

Larutan. Mari kita tentukan koordinat titik pusat lingkaran dengan menggunakan rumus:

Mari kita menggambar lingkaran dengan jari-jari SA, dimana A (0; 1).

Jawaban: x 1 = - 1; x 2 = 3.

9. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan

Nomogram.

Ini adalah metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lama dan terlupakan, ditempatkan di halaman 83 dari koleksi: Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.

Tabel XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan z 2 + pz + q = 0. Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, dengan koefisiennya

di sana untuk menentukan akar persamaan.

Skala lengkung nomogram dibangun

menurut rumus (Gbr. 10):

PercayaOS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), dari

kesamaan segitigaSANDanCDFkita mendapatkan

proporsi

yang, setelah substitusi dan penyederhanaan, menghasilkan persamaan

z2 + pz + q = 0,

dan surat ituzberarti tanda suatu titik pada skala melengkung.

Contoh.

1) Untuk persamaannyaz2 - 9z + 8 = 0nomogram memberikan akarz1 = 8,0 Danz2 = 1,0 (Gbr. 11).

Menjawab:8,0 ; 1,0.

2) Mari kita selesaikan dengan bantuannomogrampersamaannya

2z2 - 9z + 2 = 0.

Mari kita bagi koefisien persamaan ini dengan 2,

kita mendapatkan persamaannyaz2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram memberi akarz1 = 4 Danz2 = 0,5.

Jawaban: 4; 0,5.

3) Untuk persamaannyaz2 - 25z + 66 = 0koefisien p dan q berada di luar skala, mari kita lakukan substitusiz = 5t, kita mendapatkan persamaannyaT2 - 5t + 2,64 = 0,

yang kami selesaikan menggunakan nomogram dan dapatkanT1 = 0,6 DanT2 = 4,4, Di manaz1 = 5t1 = 3,0 Danz2 = 5t2 = 22,0.

Jawaban: 3; 22.

10. Metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Pada zaman dahulu, ketika geometri lebih berkembang daripada aljabar, persamaan kuadrat diselesaikan bukan secara aljabar, melainkan secara geometris. Saya akan memberikan contoh terkenal dari “Aljabar” al-Khorezmi.

Contoh.

1) Mari kita selesaikan persamaannyaX2 + 10x = 39.

Dalam bahasa aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: “Sebuah kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39” (Gbr. 12).

Larutan.Misalkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibuat pada sisi-sisinya sehingga sisi yang lain masing-masing adalah 2,5, jadi luas masing-masing adalah 2,5x. Gambar yang dihasilkan kemudian dijumlahkan dengan persegi ABCD baru, dengan membuat empat persegi sama besar di sudut-sudutnya, masing-masing sisinya 2,5, dan luasnya 6,25.

PersegiSpersegiABCDdapat direpresentasikan sebagai jumlah luas: persegi asalX2 , empat persegi panjang(4 2,5x = 10x)dan empat kotak terlampir(6,25 4 = 25) , yaituS=X2 + 10x + 25.Mengganti

X2 + 10xnomor39 , kami mengertiS = 39 + 25 = 64, yang artinya sisi persegiABCD, yaitu segmen garisAB = 8. Untuk sisi yang diperlukanXkita mendapatkan kotak aslinya

2) Tapi, misalnya, bagaimana orang Yunani kuno memecahkan persamaan tersebutpada2 + 6у - 16 = 0.

Larutandisajikan pada Gambar 13. dimana

pada2 + 6y = 16, atau y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Larutan.Ekspresipada2 + 6у + 9Dan16 + 9 mewakili secara geometris

kuadrat yang sama, dan persamaan aslinyapada2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- persamaan yang sama. Dari mana kita mendapatkannyakamu + 3 = ± 5,ataupada1 = 2, kamu2 = - 8 (beras. .

Gambar 13

3) Selesaikan persamaan geometripada2 - 6у - 16 = 0.

Mengubah persamaan, kita dapatkan

pada2 - 6 tahun = 16.

Pada Gambar 14 kita menemukan “gambar” dari ekspresi tersebutpada2 - 6u,itu. dari luas persegi yang sisinya y, kurangi luas persegi yang sisinya sama dengan3 . Artinya jika pada ekspresipada2 - 6уmenambahkan9 , maka kita mendapatkan luas persegi dengan sisinyakamu - 3. Mengganti ekspresipada2 - 6уitu sama dengan angka 16,

kita mendapatkan:(kamu - 3)2 = 16 + 9, itu.y - 3 = ± √25, atau y - 3 = ± 5, dimanapada1 = 8 Danpada2 = - 2.

Gambar 14

Kesimpulan

Dalam melaksanakan pekerjaan penelitian saya, saya yakin bahwa saya telah mencapai maksud dan tujuan saya, saya mampu menggeneralisasi dan mensistematisasikan materi yang dipelajari pada topik di atas.

Ada banyak cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Saya menemukan 10 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Perlu dicatat bahwa tidak semuanya mudah untuk dipecahkan, tetapi masing-masingnya unik dengan caranya sendiri. Beberapa solusi membantu menghemat waktu, yang penting saat menyelesaikan tugas ujian dan ujian. Saat mengerjakan topik tersebut, saya menetapkan tugas untuk mencari tahu metode mana yang standar dan mana yang tidak standar.

Jadi,metode standar(lebih sering digunakan saat menyelesaikan persamaan kuadrat):

• Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus
• teorema Vieta
• Solusi grafis persamaan
• Memfaktorkan ruas kiri
• Memilih persegi lengkap

Metode non-standar:

• Solusi dengan mentransfer koefisien
• Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat
• Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris.
• Solusi menggunakan nomogram
• Metode geometris

Saat menyelesaikan sendiri persamaan kuadrat, saya membuat kesimpulan berikut: Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan baik, Anda perlu mengetahui:

rumus mencari diskriminan;

rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat;

algoritma untuk menyelesaikan persamaan jenis ini.

mampu untuk:

menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap;

menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap;

selesaikan persamaan kuadrat yang diberikan;

menemukan kesalahan dalam persamaan yang diselesaikan dan memperbaikinya;

melakukan pemeriksaan.

Saya pikir pekerjaan saya akan menarik bagi siswa kelas 8, serta mereka yang ingin belajar menyelesaikan persamaan kuadrat rasional dan mempersiapkan diri dengan baik untuk ujian akhir. Selama pelajaran matematika, saya memberi tahu teman-teman sekelas saya metode menyelesaikan persamaan kuadrat No. 5 dan 6, teman-teman menyukainya. Ini juga akan menarik bagi guru matematika, karena dalam pekerjaan saya, saya tidak hanya mengkaji metode penyelesaian persamaan kuadrat, tetapi juga sejarah perkembangannya.

Lliteratur

1. Mordkovich, A.G. Aljabar.kelas 8. Buku teks untuk lembaga pendidikan / A.G. Mordkovich.-M. : Mnemosyne 2011.-260 hal.
2. Mordkovich, A.G. Aljabar.kelas 8. Buku Soal untuk Institusi Pendidikan / A.G. Mordkovich.-M. : Mnemosyne 2011.-270 hal.
3. Glaser, GI. Sejarah matematika di sekolah / G.I. Glazer.-M.: Pencerahan, 1982- 340 hal.
4. Gusev, V.A. Matematika. Bahan referensi/ V.A. Gusev, A.G. Mordkovich - M.: Pendidikan, 1988, 372 hal.
5. Bradis, V.M. Tabel matematika empat digit untuk sekolah menengah / V.M., Bradis-M.: Education, 1990-
6. Teorema Vieta – Mode akses :.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta / Teorema Vieta(sumber daya akses jarak jauh (Internet)). 12/10/2013.
7. Persamaan kuadrat – Mode akses:http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (sumber daya akses jarak jauh (Internet)). 10.01.2014.