Pelajaran aljabar memperkenalkan kita pada berbagai jenis ekspresi. Ketika materi baru tersedia, ekspresi menjadi lebih kompleks. Saat Anda sudah familiar dengan derajat, derajat tersebut secara bertahap ditambahkan ke ekspresi, sehingga memperumitnya. Hal ini juga terjadi pada pecahan dan ekspresi lainnya.

Agar pembelajaran materi senyaman mungkin dilakukan dengan menggunakan nama-nama tertentu agar dapat ditonjolkan. Artikel ini akan memberikan gambaran lengkap tentang semua ekspresi aljabar dasar sekolah.

Monomial dan polinomial

Ekspresi monomial dan polinomial dipelajari dalam kurikulum sekolah mulai kelas 7. Definisi jenis ini diberikan dalam buku teks.

Definisi 1

Monomial– ini adalah angka, variabel, pangkatnya dengan eksponen natural, produk apa pun yang dibuat dengan bantuannya.

Definisi 2

Polinomial disebut jumlah monomial.

Jika kita ambil misalnya bilangan 5, variabel x, derajat z 7, maka hasil kali bentuknya 5x Dan 7 x 2 7 z 7 dianggap monomial. Saat mengambil jumlah monomial dari bentuk 5+x atau z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, maka kita mendapatkan polinomial.

Untuk membedakan monomial dari polinomial, perhatikan derajat dan definisinya. Konsep koefisien itu penting. Saat mereduksi suku-suku serupa, suku-suku tersebut dibagi dengan suku bebas polinomial atau koefisien utama.

Paling sering, beberapa tindakan dilakukan pada monomial dan polinomial, setelah itu ekspresi direduksi menjadi bentuk monomial. Melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, mengandalkan algoritma untuk melakukan operasi pada polinomial.

Jika ada satu variabel, polinomial dapat dibagi menjadi polinomial, yang direpresentasikan sebagai produk. Tindakan ini disebut memfaktorkan polinomial.

Pecahan rasional (aljabar).

Konsep pecahan rasional dipelajari pada kelas 8 SMA. Beberapa penulis menyebutnya pecahan aljabar.

Definisi 3

Pecahan aljabar rasional disebut pecahan yang polinomial atau monomial atau bilangannya muncul sebagai pengganti pembilang dan penyebutnya.

Perhatikan contoh penulisan pecahan rasional bertipe 3 x + 2, 2 · a + 3 · b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 dan 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4. Berdasarkan definisi tersebut, kita dapat mengatakan bahwa setiap pecahan dianggap pecahan rasional.

Pecahan aljabar dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dibagi, dan dipangkatkan. Hal ini dibahas lebih rinci pada bagian operasi pecahan aljabar. Jika perlu untuk mengubah suatu pecahan, mereka sering menggunakan sifat reduksi dan reduksi menjadi penyebut yang sama.

Ekspresi Rasional

Dalam kursus sekolah, konsep pecahan irasional dipelajari, karena bekerja dengan ekspresi rasional diperlukan.

Definisi 4

Ekspresi Rasional dianggap sebagai ekspresi numerik dan huruf yang menggunakan bilangan dan huruf rasional dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pangkat bilangan bulat.

Ekspresi rasional mungkin tidak memiliki tanda-tanda yang termasuk dalam fungsi, sehingga menyebabkan irasionalitas. Ekspresi rasional tidak mengandung akar, pangkat dengan eksponen irasional pecahan, pangkat dengan variabel dalam eksponen, ekspresi logaritma, fungsi trigonometri, dan sebagainya.

Berdasarkan aturan di atas, kami akan memberikan contoh ekspresi rasional. Dari definisi di atas kita mendapatkan ekspresi numerik dalam bentuk 1 2 + 3 4 dan 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0, 3 dianggap rasional. Ekspresi yang mengandung sebutan huruf juga diklasifikasikan sebagai rasional a 2 + b 2 3 · a - 0, 5 · b, dengan variabel berbentuk a · x 2 + b · x + c dan x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Semua ekspresi rasional dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan.

Seluruh ekspresi rasional

Seluruh ekspresi rasional– ini adalah ekspresi yang tidak mengandung pembagian menjadi ekspresi dengan variabel derajat negatif.

Dari definisi tersebut kita mengetahui bahwa ekspresi rasional utuh juga merupakan ekspresi yang mengandung huruf, misalnya a + 1, ekspresi yang mengandung beberapa variabel, misalnya x 2 · y 3 − z + 3 2 dan a + b 3.

Ekspresi seperti x: (kamu − 1) dan 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 tidak dapat berupa bilangan bulat rasional, karena bilangan tersebut mempunyai pembagian ke dalam ekspresi dengan variabel.

Ekspresi rasional pecahan

Ekspresi rasional pecahan adalah ekspresi yang berisi pembagian dengan ekspresi dengan variabel berderajat negatif.

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa ekspresi rasional pecahan dapat berupa 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 dan 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2.

Jika kita mempertimbangkan ekspresi jenis ini (2 x − x 2) : 4 dan a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, maka ekspresi tersebut tidak dianggap sebagai rasional pecahan, karena ekspresi tersebut tidak memiliki ekspresi dengan variabel dalam penyebutnya.

Ekspresi dengan kekuatan

Ekspresi yang mengandung pangkat di bagian mana pun dari notasi disebut ekspresi dengan kekuatan atau ekspresi kekuatan.

Untuk konsepnya, kami memberikan contoh ekspresi seperti itu. Tidak boleh berisi variabel, misalnya 2 3, 32 - 1 5 + 1, 5 3, 5 5 - 2 5 - 1, 5. Ekspresi pangkat dalam bentuk 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 juga tipikal. Untuk mengatasinya, perlu dilakukan beberapa transformasi.

Ekspresi irasional, ekspresi dengan akar

Akar yang muncul dalam ekspresi memberinya nama berbeda. Mereka disebut tidak rasional.

Definisi 8

Ekspresi irasional adalah ekspresi yang memiliki tanda akar dalam tulisannya.

Dari definisi tersebut jelas bahwa ini adalah ekspresi bentuk 64, x - 1 4 3 + 3 3, 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2, a + 1 a 1 2 + 2, x y, 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x dan x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Masing-masing memiliki setidaknya satu ikon root. Akar dan pangkat saling berhubungan, sehingga Anda dapat melihat ekspresi seperti x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

Ekspresi trigonometri

Ekspresi trigonometri- ini adalah ekspresi yang mengandung sin, cos, tg dan ctg dan kebalikannya - arcsin, arccos, arctg dan arcctg.

Contoh fungsi trigonometri sudah jelas: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 dan 2 sin x · t g 2 x + 3, 4 3 · t g π - arcsin - 3 5.

Untuk mengerjakan fungsi seperti itu, perlu menggunakan properti dan rumus dasar fungsi langsung dan invers. Artikel transformasi fungsi trigonometri akan mengungkap masalah ini lebih detail.

Ekspresi Logaritma

Setelah mengenal logaritma, Anda dapat membahas tentang ekspresi logaritma kompleks.

Definisi 10

Ekspresi yang memiliki logaritma disebut logaritma.

Contoh fungsi tersebut adalah log 3 9 + ln e, log 2 (4 a b), log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Anda dapat menemukan ekspresi yang memiliki pangkat dan logaritma. Hal ini dapat dimaklumi, karena dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa itu adalah eksponen. Kemudian kita memperoleh ekspresi berbentuk x l g x - 10, log 3 3 x 2 + 2 x - 3, log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2.

Untuk memperdalam pembelajaran materi sebaiknya anda mengacu pada materi tentang konversi ekspresi logaritma.

Pecahan

Ada ekspresi tipe khusus yang disebut pecahan. Karena mereka memiliki pembilang dan penyebut, mereka tidak hanya berisi nilai numerik, tetapi juga ekspresi jenis apa pun. Mari kita lihat definisi pecahan.

Definisi 11

Pecahan adalah ekspresi yang memiliki pembilang dan penyebut, yang di dalamnya terdapat sebutan atau ekspresi numerik dan alfabet.

Contoh pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sebagai berikut: 1 4, 2, 2 - 6 2 7, π 2, - e π, (− 15) (− 2) . Pembilang dan penyebut dapat berisi ekspresi numerik dan alfabet dalam bentuk (a + 1) 3, (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5, cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α, 2 + ln 5 ln x.

Meskipun ekspresi seperti 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 bukan pecahan, namun notasinya memiliki pecahan.

Ekspresi umum

Kelas senior mempertimbangkan masalah dengan tingkat kesulitan yang meningkat, yang berisi semua tugas gabungan kelompok C untuk Ujian Negara Terpadu. Ekspresi ini sangat kompleks dan mengandung berbagai kombinasi akar, logaritma, pangkat, dan fungsi trigonometri. Ini adalah tugas seperti x 2 - 1 · sin x + π 3 atau sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .

Penampilan mereka menunjukkan bahwa mereka dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu tipe di atas. Seringkali mereka tidak diklasifikasikan sebagai salah satu dari mereka, karena mereka memiliki solusi gabungan yang spesifik. Mereka dianggap sebagai ekspresi umum, dan tidak ada spesifikasi atau ekspresi tambahan yang digunakan untuk deskripsi.

Saat menyelesaikan ekspresi aljabar seperti itu, Anda harus selalu memperhatikan notasinya, keberadaan pecahan, pangkat, atau ekspresi tambahan. Hal ini diperlukan untuk menentukan secara akurat cara mengatasinya. Jika Anda tidak yakin dengan namanya, disarankan untuk menyebutnya ekspresi tipe umum dan menyelesaikannya sesuai dengan algoritma yang ditulis di atas.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Ekspresi numerik dan aljabar. Mengonversi Ekspresi.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi dalam matematika? Mengapa kita memerlukan konversi ekspresi?

Pertanyaannya, seperti kata mereka, menarik... Faktanya adalah bahwa konsep-konsep ini adalah dasar dari semua matematika. Semua matematika terdiri dari ekspresi dan transformasinya. Tidak begitu jelas? Biar saya jelaskan.

Katakanlah Anda memiliki contoh yang jahat di depan Anda. Sangat besar dan sangat kompleks. Katakanlah Anda pandai matematika dan tidak takut pada apa pun! Bisakah Anda memberikan jawaban segera?

Anda harus melakukannya memutuskan contoh ini. Secara konsisten, langkah demi langkah, contoh ini menyederhanakan. Tentu saja dengan aturan tertentu. Itu. Mengerjakan konversi ekspresi. Semakin berhasil Anda melakukan transformasi ini, semakin kuat Anda dalam matematika. Jika Anda tidak tahu cara melakukan transformasi yang benar, Anda tidak akan bisa melakukannya dalam matematika. Tidak ada...

Untuk menghindari masa depan (atau masa kini...) yang tidak nyaman, tidak ada salahnya untuk memahami topik ini.)

Pertama, mari kita cari tahu apa yang dimaksud dengan ekspresi dalam matematika. Apa yang terjadi ekspresi numerik dan apa ekspresi aljabar.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi dalam matematika?

Ekspresi dalam matematika- ini adalah konsep yang sangat luas. Hampir semua yang kita bahas dalam matematika adalah sekumpulan ekspresi matematika. Contoh, rumus, pecahan, persamaan, dan sebagainya semuanya terdiri dari ekspresi matematika.

3+2 adalah ekspresi matematika. s 2 - hari 2- ini juga merupakan ekspresi matematika. Pecahan sehat dan satu bilangan genap semuanya merupakan ekspresi matematika. Misalnya persamaannya adalah:

5x + 2 = 12

terdiri dari dua ekspresi matematika yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Satu ekspresi ada di kiri, yang lain di kanan.

Secara umum, istilah " ekspresi matematika"paling sering digunakan untuk menghindari bersenandung. Mereka akan menanyakan apa itu pecahan biasa, misalnya? Dan bagaimana menjawabnya?!

Jawaban pertama: "Ini... mmmmmm... hal seperti itu... di mana... Bisakah saya menulis pecahan dengan lebih baik? Yang mana yang kamu mau?"

Jawaban kedua: “Pecahan biasa adalah (dengan riang dan gembira!) ekspresi matematika , yang terdiri dari pembilang dan penyebut!"

Opsi kedua akan lebih mengesankan, bukan?)

Inilah maksud dari ungkapan “ ekspresi matematika "sangat bagus. Benar dan solid. Namun untuk penggunaan praktis Anda perlu memiliki pemahaman yang baik jenis ekspresi tertentu dalam matematika .

Jenis spesifiknya adalah masalah lain. Ini Ini masalah yang sangat berbeda! Setiap jenis ekspresi matematika memiliki milikku seperangkat aturan dan teknik yang harus digunakan ketika mengambil keputusan. Untuk bekerja dengan pecahan - satu set. Untuk bekerja dengan ekspresi trigonometri - yang kedua. Untuk bekerja dengan logaritma - yang ketiga. Dan seterusnya. Di suatu tempat aturan-aturan ini bertepatan, di suatu tempat mereka sangat berbeda. Tapi jangan takut dengan kata-kata menakutkan ini. Kita akan menguasai logaritma, trigonometri dan hal misterius lainnya pada bagian yang sesuai.

Di sini kita akan menguasai (atau - ulangi, tergantung siapa...) dua tipe utama ekspresi matematika. Ekspresi numerik dan ekspresi aljabar.

Ekspresi numerik.

Apa yang terjadi ekspresi numerik? Ini adalah konsep yang sangat sederhana. Namanya sendiri mengisyaratkan bahwa ini adalah ekspresi dengan angka. Seperti itulah. Ekspresi matematika yang terdiri dari angka, tanda kurung, dan simbol aritmatika disebut ekspresi numerik.

7-3 adalah ekspresi numerik.

(8+3.2) 5.4 juga merupakan ekspresi numerik.

Dan monster ini:

juga ekspresi numerik, ya...

Bilangan biasa, pecahan, contoh perhitungan apa pun tanpa X dan huruf lainnya - semua ini adalah ekspresi numerik.

Tanda utama numerik ekspresi - di dalamnya tidak ada surat. Tidak ada. Hanya angka dan simbol matematika (bila perlu). Sederhana saja, bukan?

Dan apa yang dapat Anda lakukan dengan ekspresi numerik? Ekspresi numerik biasanya dapat dihitung. Untuk melakukan ini, kebetulan Anda harus membuka tanda kurung, mengubah tanda, menyingkat, menukar istilah - mis. Mengerjakan konversi ekspresi. Namun lebih lanjut tentang itu di bawah.

Di sini kita akan membahas kasus lucu dengan ekspresi numerik kamu tidak perlu melakukan apa pun. Ya, tidak ada apa-apa! Operasi yang menyenangkan ini - Untuk tidak melakukan apa pun)- dijalankan saat ekspresi tidak masuk akal.

Kapan ekspresi numerik menjadi tidak masuk akal?

Jelas sekali jika kita melihat semacam omong kosong di depan kita, seperti

maka kita tidak akan melakukan apa pun. Karena tidak jelas apa yang harus dilakukan. Semacam omong kosong. Mungkin menghitung jumlah plusnya...

Tapi ada ekspresi luar yang cukup baik. Misalnya ini:

(2+3): (16 - 2 8)

Namun, ungkapan ini juga tidak masuk akal! Karena alasan sederhana bahwa di tanda kurung kedua - jika Anda menghitung - Anda mendapatkan nol. Tapi Anda tidak bisa membaginya dengan nol! Ini adalah operasi terlarang dalam matematika. Oleh karena itu, tidak perlu melakukan apa pun dengan ungkapan ini juga. Untuk tugas apa pun dengan ekspresi seperti itu, jawabannya akan selalu sama: "Ekspresi itu tidak ada artinya!"

Untuk memberikan jawaban seperti itu, tentu saja saya harus menghitung apa yang ada di dalam tanda kurung. Dan terkadang ada banyak hal di dalam tanda kurung... Ya, tidak ada yang bisa Anda lakukan untuk mengatasinya.

Tidak banyak operasi terlarang dalam matematika. Hanya ada satu dalam topik ini. Pembagian dengan nol. Pembatasan tambahan yang timbul pada akar dan logaritma dibahas dalam topik terkait.

Jadi, gambaran tentang apa itu ekspresi numerik- telah mendapatkan. Konsep ekspresi numerik tidak masuk akal- diwujudkan. Mari kita lanjutkan.

Ekspresi aljabar.

Jika huruf muncul dalam ekspresi numerik, ekspresi ini menjadi... Ekspresi menjadi... Ya! Menjadi ekspresi aljabar. Misalnya:

5a 2; 3x-2 tahun; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Ekspresi seperti itu disebut juga ekspresi literal. Atau ekspresi dengan variabel. Praktisnya sama saja. Ekspresi 5a +c, misalnya, baik literal maupun aljabar, dan ekspresi dengan variabel.

Konsep ekspresi aljabar - lebih luas dari numerik. Dia termasuk dan semua ekspresi numerik. Itu. ekspresi numerik juga merupakan ekspresi aljabar, hanya saja tanpa huruf. Setiap ikan haring adalah ikan, tetapi tidak setiap ikan adalah ikan haring...)

Mengapa alfabetis- Itu sudah jelas. Nah, karena ada huruf... Frase ekspresi dengan variabel Ini juga tidak terlalu membingungkan. Jika Anda memahami bahwa angka tersembunyi di bawah huruf. Segala macam angka dapat disembunyikan di bawah huruf... Dan 5, dan -18, dan apa pun yang Anda inginkan. Artinya, surat bisa saja mengganti untuk nomor yang berbeda. Itulah sebabnya surat-surat itu disebut variabel.

Dalam ekspresi kamu+5, Misalnya, pada- nilai variabel. Atau mereka hanya mengatakan " variabel", tanpa kata "besarnya". Berbeda dengan lima yang nilainya konstan. Atau sederhananya - konstan.

Ketentuan ekspresi aljabar artinya untuk menggunakan ungkapan ini Anda perlu menggunakan hukum dan aturan aljabar. Jika hitung bekerja dengan nomor tertentu, lalu aljabar- dengan semua nomor sekaligus. Contoh sederhana untuk klarifikasi.

Dalam aritmatika kita bisa menulisnya

Tetapi jika kita menulis persamaan tersebut melalui ekspresi aljabar:

a + b = b + a

kami akan segera memutuskan Semua pertanyaan. Untuk semua nomor stroke. Untuk segala sesuatu yang tidak terbatas. Karena di bawah huruf A Dan B tersirat Semua angka. Dan tidak hanya angka, tapi bahkan ekspresi matematika lainnya. Beginilah cara kerja aljabar.

Kapan ekspresi aljabar tidak masuk akal?

Segala sesuatu tentang ekspresi numerik jelas. Anda tidak dapat membagi dengan nol di sana. Dan dengan huruf, apakah mungkin untuk mengetahui apa yang kita bagi?!

Mari kita ambil contoh ekspresi ini dengan variabel:

2: (A - 5)

Apakah masuk akal? Siapa tahu? A- nomor berapa pun...

Apapun, apapun... Tapi ada satu arti A, untuk itulah ungkapan ini tepat tidak masuk akal! Dan nomor berapa ini? Ya! Ini 5! Jika variabel A ganti (mereka bilang "pengganti") dengan angka 5, dalam tanda kurung Anda mendapatkan nol. Yang tidak dapat dipisahkan. Jadi ternyata ekspresi kita tidak masuk akal, Jika sebuah = 5. Tapi untuk nilai lain A Apakah masuk akal? Bisakah Anda mengganti nomor lain?

Tentu. Dalam kasus seperti itu mereka hanya mengatakan ungkapan itu

2: (A - 5)

masuk akal untuk nilai apa pun A, kecuali a = 5 .

Seluruh rangkaian angka itu Bisa mensubstitusikan ke dalam ekspresi tertentu disebut rentang nilai yang dapat diterima ekspresi ini.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Mari kita lihat ekspresi dengan variabel dan cari tahu: pada nilai variabel berapa operasi terlarang (pembagian dengan nol) diperoleh?

Dan kemudian pastikan untuk melihat pertanyaan tugas. Apa yang mereka tanyakan?

tidak masuk akal, makna terlarang kita akan menjadi jawabannya.

Jika Anda bertanya pada nilai variabel apa ekspresi tersebut memiliki arti(rasakan bedanya!), jawabannya adalah semua nomor lainnya kecuali yang terlarang.

Mengapa kita membutuhkan arti ungkapan? Dia ada, dia tidak... Apa bedanya?! Intinya konsep ini menjadi sangat penting di SMA. Sangat penting! Ini adalah dasar dari konsep padat seperti domain nilai yang dapat diterima atau domain suatu fungsi. Tanpa ini, Anda tidak akan bisa menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan yang serius sama sekali. Seperti ini.

Mengonversi Ekspresi. Transformasi identitas.

Kami diperkenalkan dengan ekspresi numerik dan aljabar. Kami memahami apa arti ungkapan “ekspresi tidak ada artinya”. Sekarang kita perlu mencari tahu apa itu transformasi ekspresi. Jawabannya sederhana, sampai pada titik yang memalukan.) Ini adalah tindakan apa pun yang memiliki ekspresi. Itu saja. Anda telah melakukan transformasi ini sejak kelas satu.

Mari kita ambil ekspresi numerik keren 3+5. Bagaimana cara mengubahnya? Ya, sangat sederhana! Menghitung:

Perhitungan ini akan menjadi transformasi ekspresi. Anda dapat menulis ekspresi yang sama secara berbeda:

Di sini kami tidak menghitung apa pun. Tulis saja ekspresinya dalam bentuk yang berbeda. Ini juga akan menjadi transformasi ekspresi. Anda dapat menulisnya seperti ini:

Dan ini juga merupakan transformasi sebuah ekspresi. Anda dapat melakukan transformasi sebanyak yang Anda inginkan.

Setiap tindakan pada ekspresi setiap menuliskannya dalam bentuk lain disebut mentransformasikan ekspresi. Dan itu saja. Semuanya sangat sederhana. Tapi ada satu hal di sini aturan yang sangat penting. Sangat penting sehingga dapat dipanggil dengan aman aturan utama semua matematika. Melanggar aturan ini mau tidak mau mengarah pada kesalahan. Apakah kita akan membahasnya?)

Katakanlah kita mengubah ekspresi kita secara sembarangan, seperti ini:

Konversi? Tentu. Kami menulis ekspresi dalam bentuk yang berbeda, apa yang salah di sini?

Bukan seperti itu.) Intinya transformasi "sembarangan" sama sekali tidak tertarik pada matematika.) Semua matematika dibangun di atas transformasi yang tampilannya berubah, tapi inti ungkapannya tidak berubah. Tiga tambah lima bisa ditulis dalam bentuk apa saja, tapi harus delapan.

Transformasi, ekspresi yang tidak mengubah esensi disebut identik.

Tepat transformasi identitas dan izinkan kami, selangkah demi selangkah, mengubah contoh kompleks menjadi ekspresi sederhana, sambil tetap mempertahankannya inti dari contoh tersebut. Jika kita melakukan kesalahan dalam rantai transformasi, kita melakukan transformasi yang TIDAK identik, maka kita akan memutuskan lain contoh. Dengan jawaban lain yang tidak berhubungan dengan jawaban yang benar.)

Ini adalah aturan utama untuk menyelesaikan tugas apa pun: menjaga identitas transformasi.

Saya memberi contoh dengan ekspresi numerik 3+5 untuk kejelasan. Dalam ekspresi aljabar, transformasi identitas diberikan oleh rumus dan aturan. Katakanlah dalam aljabar ada rumus:

a(b+c) = ab + ac

Ini berarti bahwa dalam contoh apa pun kita dapat menggunakan ekspresi Sebuah(b+c) jangan ragu untuk menulis ekspresi ab + ac. Dan sebaliknya. Ini transformasi yang identik. Matematika memberi kita pilihan antara dua ekspresi ini. Dan yang mana yang akan ditulis bergantung pada contoh spesifiknya.

Contoh lain. Salah satu transformasi yang paling penting dan perlu adalah sifat dasar pecahan. Anda dapat melihat tautannya untuk lebih jelasnya, tetapi di sini saya hanya akan mengingatkan Anda tentang aturannya: Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, atau suatu persamaan yang tidak sama dengan nol, maka pecahan tersebut tidak akan berubah. Berikut adalah contoh transformasi identitas menggunakan properti ini:

Seperti yang mungkin Anda duga, rantai ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu...) Properti yang sangat penting. Inilah yang memungkinkanmu mengubah segala jenis monster contoh menjadi putih dan halus.)

Ada banyak rumus yang mendefinisikan transformasi identik. Namun yang terpenting adalah angka yang cukup masuk akal. Salah satu transformasi dasar adalah faktorisasi. Ini digunakan dalam semua matematika - dari dasar hingga lanjutan. Mari kita mulai dengan dia. Dalam pelajaran berikutnya.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Artikel tentang sains dan matematika

Apa yang dimaksud dengan ekspresi numerik dan aljabar?

Ekspresi numerik- ini adalah setiap catatan yang terdiri dari angka dan tanda operasi aritmatika dan ditulis menurut aturan yang diketahui, sehingga memiliki arti tertentu. Misalnya, entri berikut adalah ekspresi numerik: 4 + 5; -1,05 × 22,5 - 34. Sebaliknya, notasi × ​​16 - × 0,5 bukanlah notasi numerik, karena meskipun terdiri dari bilangan dan tanda operasi aritmatika, notasi tersebut tidak ditulis sesuai dengan aturan penyusunan ekspresi numerik.

Jika dalam ekspresi numerik ada huruf dan bukan angka (semua atau hanya sebagian), maka ekspresi ini sudah ada aljabar.

Arti penggunaan huruf kira-kira sebagai berikut. Angka yang berbeda dapat diganti dengan huruf, yang berarti ungkapan tersebut dapat memiliki arti yang berbeda. Aljabar sebagai ilmu mempelajari prinsip-prinsip penyederhanaan ekspresi, mencari dan menggunakan berbagai aturan, hukum, dan rumus. Aljabar mempelajari cara paling rasional dalam melakukan perhitungan, dan inilah gunanya generalisasi, yaitu penggunaan variabel (huruf) dan bukan angka tertentu.

Fakta aljabar meliputi hukum penjumlahan dan perkalian, konsep bilangan negatif, pecahan biasa dan desimal serta aturan operasi aritmatika dengannya, dan sifat-sifat pecahan biasa. Aljabar dirancang untuk memahami seluruh keragaman fakta ini, mengajari mereka cara menggunakannya, dan melihat penerapan hukum dalam ekspresi numerik dan aljabar tertentu.

Ketika ekspresi numerik dievaluasi, hasilnya adalah nilainya. Nilai ekspresi aljabar hanya dapat dihitung jika huruf-hurufnya diganti dengan nilai numerik tertentu. Misalnya, ekspresi a − b dengan a = 3 dan b = 5 mempunyai nilai 3 − 5 atau 0,6. Namun, ekspresi aljabar mungkin sedemikian rupa sehingga, untuk beberapa nilai variabel (huruf), mungkin tidak ada artinya sama sekali. Untuk contoh yang sama (a − b), ekspresi tidak masuk akal jika b = 0, karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol.

Oleh karena itu, mereka berbicara tentang nilai variabel yang dapat diterima dan tidak dapat diterima untuk ekspresi aljabar tertentu.

ilmu pengetahuan.info

Ekspresi aljabar

1. Definisi konsep
2. Nilai ekspresi
3. Ekspresi identitas
4. Penyelesaian masalah
5. Apa yang telah kita pelajari?

Definisi konsep

Ekspresi apa yang disebut aljabar? Ini adalah notasi matematika yang terdiri dari angka, huruf, dan simbol aritmatika. Kehadiran huruf adalah perbedaan utama antara ekspresi numerik dan aljabar. Contoh:

Huruf dalam ekspresi aljabar menunjukkan angka. Itu sebabnya disebut variabel - contoh pertama huruf a, contoh kedua b, dan contoh ketiga c. Ekspresi aljabar itu sendiri disebut juga ekspresi dengan variabel.

Nilai ekspresi

Arti ekspresi aljabar adalah bilangan yang diperoleh dari melakukan semua operasi aritmatika yang ditunjukkan dalam ekspresi ini. Namun untuk mendapatkannya, huruf harus diganti dengan angka. Oleh karena itu, dalam contoh mereka selalu menunjukkan nomor mana yang sesuai dengan huruf tersebut. Mari kita lihat cara mencari nilai ekspresi 8a-14*(5-a) jika a=3.

Mari kita gantikan angka 3 dengan huruf a. Kita mendapatkan entri berikut: 8*3-14*(5-3).

Seperti dalam ekspresi numerik, penyelesaian ekspresi aljabar dilakukan sesuai dengan aturan untuk melakukan operasi aritmatika. Mari kita selesaikan semuanya secara berurutan.

Jadi, nilai ekspresi 8a-14*(5-a) pada a=3 sama dengan -4.

Nilai suatu variabel disebut valid jika ekspresinya masuk akal, yaitu solusinya dapat ditemukan.

Contoh variabel yang valid untuk ekspresi 5:2a adalah angka 1. Menggantinya ke dalam ekspresi, kita mendapatkan 5:2*1=2.5. Variabel yang tidak valid untuk ekspresi ini adalah 0. Jika kita mengganti nol ke dalam ekspresi, kita mendapatkan 5:2*0, yaitu 5:0. Anda tidak dapat membagi dengan nol, yang berarti ungkapan tersebut tidak masuk akal.

Ekspresi identitas

Jika dua ekspresi sama untuk setiap nilai variabel penyusunnya, maka keduanya disebut identik.
Contoh ekspresi identik :
4(a+c) dan 4a+4c.
Berapapun nilai huruf a dan c, ekspresi akan selalu sama. Ekspresi apa pun dapat diganti dengan ekspresi lain yang identik dengannya. Proses ini disebut transformasi identitas.

Contoh transformasi identitas .
4*(5a+14c) – ekspresi ini dapat diganti dengan ekspresi serupa dengan menerapkan hukum perkalian matematika. Untuk mengalikan suatu bilangan dengan jumlah dua bilangan, Anda perlu mengalikan bilangan tersebut dengan setiap suku dan menjumlahkan hasilnya.

Jadi, ekspresi 4*(5a+14c) identik dengan 20a+64c.

Angka yang muncul sebelum variabel huruf dalam ekspresi aljabar disebut koefisien. Koefisien dan variabelnya merupakan pengali.

Penyelesaian masalah

Ekspresi aljabar digunakan untuk menyelesaikan masalah dan persamaan.
Mari kita pertimbangkan masalahnya. Petya memberikan nomor. Agar teman sekelasnya Sasha bisa menebaknya, Petya memberitahunya: pertama saya tambahkan 7 ke angka tersebut, lalu kurangi 5 dan kalikan dengan 2. Hasilnya, saya mendapat angka 28. Angka berapa yang saya tebak?

Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu menentukan nomor tersembunyi dengan huruf a, dan kemudian melakukan semua tindakan yang ditunjukkan dengannya.

Sekarang mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Petya menginginkan nomor 12.

Apa yang telah kita pelajari?

Ekspresi aljabar adalah catatan yang terdiri dari huruf, angka, dan simbol aritmatika. Setiap ekspresi memiliki nilai, yang ditemukan dengan melakukan semua operasi aritmatika dalam ekspresi tersebut. Huruf dalam ekspresi aljabar disebut variabel, dan angka di depannya disebut koefisien. Ekspresi aljabar digunakan untuk menyelesaikan masalah.

6.4.1. Ekspresi aljabar

SAYA. Ekspresi yang menggunakan angka, simbol aritmatika, dan tanda kurung bersama dengan huruf disebut ekspresi aljabar.

Contoh ekspresi aljabar:

2m -n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); sebuah 2 – 2ab;

Karena huruf dalam ekspresi aljabar dapat diganti dengan beberapa bilangan berbeda, maka huruf tersebut disebut variabel, dan ekspresi aljabar itu sendiri disebut ekspresi dengan variabel.

II. Jika dalam ekspresi aljabar huruf (variabel) diganti dengan nilainya dan tindakan tertentu dilakukan, maka bilangan yang dihasilkan disebut nilai ekspresi aljabar.

Contoh. Temukan arti dari ungkapan:

1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |kamu| -|z| pada x = -8; kamu = -5; z = 6.

1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3,5. Alih-alih variabel, mari kita substitusikan nilainya. Kita mendapatkan:

2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |kamu| -|z| pada x = -8; kamu = -5; z = 6. Gantikan nilai yang ditunjukkan. Kita ingat bahwa modulus suatu bilangan negatif sama dengan bilangan lawannya, dan modulus suatu bilangan positif sama dengan bilangan itu sendiri. Kita mendapatkan:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

AKU AKU AKU. Nilai huruf (variabel) yang ekspresi aljabarnya masuk akal disebut nilai huruf (variabel) yang diperbolehkan.

Contoh. Untuk nilai variabel apa ekspresi tersebut tidak masuk akal?

Larutan. Kita tahu bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol, oleh karena itu, masing-masing ekspresi ini tidak masuk akal mengingat nilai huruf (variabel) yang mengubah penyebut pecahan menjadi nol!

Pada contoh 1) nilai ini adalah a = 0. Memang, jika Anda mengganti 0 dengan a, maka Anda perlu membagi angka 6 dengan 0, tetapi hal ini tidak dapat dilakukan. Jawaban: ekspresi 1) tidak masuk akal jika a = 0.

Pada contoh 2) penyebut x - 4 = 0 pada x = 4, maka nilai x = 4 ini tidak dapat diambil. Jawaban: ekspresi 2) tidak masuk akal jika x = 4.

Pada contoh 3) penyebutnya adalah x + 2 = 0 jika x = -2. Jawaban: ekspresi 3) tidak masuk akal jika x = -2.

Pada contoh 4) penyebutnya adalah 5 -|x| = 0 untuk |x| = 5. Dan sejak |5| = 5 dan |-5| = 5, maka x = 5 dan x = -5 tidak dapat diambil. Jawaban: ekspresi 4) tidak masuk akal pada x = -5 dan pada x = 5.
IV. Dua ekspresi dikatakan sama identik jika, untuk setiap nilai variabel yang diperbolehkan, nilai yang bersesuaian dari ekspresi tersebut adalah sama.

Contoh: 5 (a – b) dan 5a – 5b juga sama, karena persamaan 5 (a – b) = 5a – 5b berlaku untuk sembarang nilai a dan b. Persamaan 5 (a – b) = 5a – 5b merupakan suatu identitas.

Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai yang diperbolehkan dari variabel-variabel yang termasuk di dalamnya. Contoh identitas yang sudah Anda ketahui misalnya sifat penjumlahan dan perkalian, serta sifat distributif.

Mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik sama disebut transformasi identitas atau sekadar transformasi ekspresi. Transformasi identik ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi bilangan.

A) ubah ekspresi menjadi sama identik menggunakan sifat distributif perkalian:

1) 10·(1,2x + 2,3 tahun); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Larutan. Mari kita mengingat kembali sifat distributif (hukum) perkalian:

(a+b)c=ac+bc(hukum perkalian distributif relatif terhadap penjumlahan: untuk mengalikan jumlah dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan setiap suku dengan bilangan ini dan menjumlahkan hasilnya).
(a-b) c=a c-b c(hukum perkalian distributif relatif terhadap pengurangan: untuk mengalikan selisih dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan minuend dan mengurangi dengan bilangan ini secara terpisah dan mengurangkan bilangan kedua dari hasil pertama).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 06.00 -2an +ak.

B) ubah ekspresi menjadi sama identik, menggunakan sifat komutatif dan asosiatif (hukum) penjumlahan:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a+2.1)+7.8; 6) 5,4 detik -3 -2,5 -2,3 detik.

Larutan. Mari kita terapkan hukum (sifat) penjumlahan:

a+b=b+a(komutatif: penataan ulang suku tidak mengubah jumlah).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatif: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua suku, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5,4 detik -3 -2,5 -2,3 detik = (5,4 detik -2,3 detik) + (-3 -2,5) = 3,1 detik -5,5.

V) Ubahlah persamaan menjadi sama identik menggunakan sifat komutatif dan asosiatif (hukum) perkalian:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2 detik.

Larutan. Mari kita terapkan hukum (sifat) perkalian:

a·b=b·a(komutatif: menata ulang faktor-faktor tidak mengubah hasil kali).
(a b) c=a (b c)(kombinatif: untuk mengalikan hasil kali dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan bilangan pertama dengan hasil kali bilangan kedua dan ketiga).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Jika suatu ekspresi aljabar diberikan dalam bentuk pecahan yang dapat direduksi, maka dengan menggunakan aturan pengurangan pecahan dapat disederhanakan, yaitu. gantikan dengan ekspresi sederhana yang sama.

Contoh. Sederhanakan dengan pengurangan pecahan.

Larutan. Mengurangi pecahan berarti membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan (ekspresi) yang sama, selain nol. Pecahan 10) akan dikurangi sebesar 3b; pecahan 11) akan dikurangi sebesar A dan pecahan 12) akan dikurangi sebesar 7n. Kita mendapatkan:

Ekspresi aljabar digunakan untuk membuat rumus.

Rumus adalah ekspresi aljabar yang ditulis sebagai persamaan dan menyatakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Contoh: rumus jalur lho s=vt(s - jarak tempuh, v - kecepatan, t - waktu). Ingat rumus lain yang Anda ketahui.

www.matematika-repetition.com

Arti aturan ekspresi aljabar

Ekspresi numerik dan aljabar

Di sekolah dasar Anda belajar melakukan perhitungan bilangan bulat dan pecahan, menyelesaikan persamaan, menjadi akrab dengan bentuk geometris dan bidang koordinat. Semua ini merupakan isi dari satu hal mata pelajaran sekolah "Matematika". Faktanya, bidang ilmu penting seperti matematika dibagi menjadi sejumlah besar disiplin ilmu independen: aljabar, geometri, teori probabilitas, analisis matematika, logika matematika, statistik matematika, teori permainan, dll. Setiap disiplin ilmu memiliki objek kajiannya sendiri, metodenya sendiri dalam memahami realitas.

Aljabar yang akan kita pelajari memberikan kesempatan kepada seseorang tidak hanya untuk melakukan berbagai hal perhitungan, tetapi juga mengajarinya untuk melakukannya secepat dan seefisien mungkin. Seseorang yang menguasai metode aljabar memiliki keunggulan dibandingkan mereka yang tidak menguasai metode ini: ia menghitung lebih cepat, menavigasi situasi kehidupan dengan lebih sukses, membuat keputusan lebih jernih, dan berpikir lebih baik. Tugas kami adalah membantu Anda menguasai metode aljabar, tugas Anda bukanlah menolak belajar, bersedia mengikuti kami, mengatasi kesulitan.

Faktanya, di sekolah dasar, jendela ke dunia magis aljabar telah terbuka untuk Anda, karena aljabar terutama mempelajari ekspresi numerik dan aljabar.

Mari kita ingat bahwa ekspresi numerik adalah setiap catatan yang terdiri dari angka dan tanda operasi aritmatika (tentu saja, tentu saja, dengan arti: misalnya, 3 + 57 adalah ekspresi numerik, sedangkan 3 + : bukan ekspresi numerik, tetapi serangkaian simbol yang tidak berarti). Untuk beberapa alasan (kita akan membicarakannya nanti), huruf (terutama dari alfabet Latin) sering digunakan sebagai pengganti angka tertentu; kemudian diperoleh ekspresi aljabar. Ungkapan-ungkapan ini bisa sangat rumit. Aljabar mengajarkan Anda untuk menyederhanakannya menggunakan aturan, hukum, properti, algoritma, rumus, teorema yang berbeda.

Contoh 1. Sederhanakan ekspresi numerik:

Larutan. Sekarang kita akan mengingat sesuatu bersama-sama, dan Anda akan melihat berapa banyak fakta aljabar yang sudah Anda ketahui. Pertama-tama, Anda perlu mengembangkan rencana untuk melakukan perhitungan. Untuk melakukan ini, Anda harus menggunakan konvensi yang diterima dalam matematika tentang urutan operasi. Prosedur dalam contoh ini adalah sebagai berikut:

1) temukan nilai A dari ekspresi dalam tanda kurung pertama:
A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) temukan nilai B dari ekspresi dalam tanda kurung kedua:

3) bagi A dengan B - maka kita akan mengetahui berapa bilangan C yang terdapat pada pembilangnya (yaitu di atas garis mendatar);

4) temukan nilai D dari penyebutnya (yaitu, ekspresi yang terdapat di bawah garis horizontal):
D = 25 - 37 - 0,4;

5) bagi C dengan D - ini akan menjadi hasil yang diinginkan. Jadi, ada rencana kalkulasi (dan punya rencana itu setengahnya
sukses!), mari kita mulai menerapkannya.

1) Carilah A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Tentu saja, Anda dapat menghitung berturut-turut atau, seperti yang mereka katakan, “head to head”: 2,73 + 4,81, lalu tambahkan ke angka ini
3,27, lalu kurangi 2,81. Tetapi orang yang berbudaya tidak akan menghitung seperti ini. Dia akan mengingat hukum penjumlahan komutatif dan asosiatif (namun, dia tidak perlu mengingatnya, hukum tersebut selalu ada di kepalanya) dan akan menghitung seperti ini:

(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

Sekarang mari kita analisis bersama lagi fakta matematika apa yang harus kita ingat dalam proses penyelesaian contoh (dan tidak hanya mengingat, tetapi juga menggunakan).

1. Urutan operasi aritmatika.

2. Hukum komutatif penjumlahan: a + b = b + a.

4. Hukum kombinasi penjumlahan:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

5. Hukum perkalian kombinasi: abc = (ab)c = a(bc).

6. Konsep pecahan biasa, desimal, angka negatif.

7. Operasi aritmatika dengan pecahan desimal.

8. Operasi aritmatika dengan pecahan biasa.

10. Aturan tindakan dengan positif dan negatif angka. Anda tahu semua ini, tapi semua ini adalah fakta aljabar. Jadi, Anda sudah mengenal aljabar di sekolah dasar. Kesulitan utama, seperti terlihat dari contoh 1, adalah fakta-fakta tersebut cukup banyak, dan seseorang tidak hanya harus mengetahuinya, tetapi juga dapat menggunakannya, seperti yang mereka katakan, “pada waktu dan waktu yang tepat. tempat yang tepat.” Inilah yang akan kita pelajari.

Karena huruf-huruf yang membentuk ekspresi aljabar dapat diberi nilai numerik yang berbeda (artinya, arti huruf-huruf tersebut dapat diubah), huruf-huruf tersebut disebut variabel.

b) Demikian pula, dengan mengikuti urutan tindakan, kami secara konsisten menemukan:

Tapi Anda tidak bisa membaginya dengan nol! Apa maksudnya dalam kasus ini (dan kasus serupa lainnya)? Artinya ketika : ekspresi aljabar yang diberikan tidak masuk akal.

Terminologi berikut digunakan: jika, untuk nilai huruf (variabel) tertentu, ekspresi aljabar memiliki nilai numerik, maka nilai variabel yang ditentukan disebut dapat diterima; jika untuk nilai huruf (variabel) tertentu ekspresi aljabarnya tidak masuk akal, maka nilai variabel yang ditunjukkan disebut tidak valid.

Jadi pada contoh 2 nilai a = 1 dan b = 2, a = 3.7 dan b = -1.7 dapat diterima, sedangkan nilainya
tidak valid (lebih tepatnya: dua pasangan nilai pertama valid, dan pasangan nilai ketiga tidak valid).

Secara umum, dalam contoh 2, nilai variabel a, b seperti itu tidak dapat diterima jika a + b = 0, atau a - b = 0. Misalnya, a = 7, b = - 7 atau a = 28.3, b = 28 ,3 - pasangan nilai tidak valid; dalam kasus pertama, a + b = 0, dan dalam kasus kedua, a - b = 0. Dalam kedua kasus tersebut, penyebut ekspresi yang diberikan dalam contoh ini menjadi nol, dan, kami ulangi lagi, tidak dapat dibagi dengan nol . Sekarang, mungkin, Anda sendiri dapat menemukan pasangan nilai valid untuk variabel a, b, dan pasangan nilai tidak valid untuk variabel tersebut pada contoh 2. Cobalah!

Materi matematika online, soal dan jawaban berdasarkan kelas, download RPP matematika

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk lembaga pendidikan

Jika Anda mempunyai koreksi atau saran untuk pelajaran ini, silakan menulis kepada kami.

Jika Anda ingin melihat penyesuaian dan saran pelajaran lainnya, lihat di sini - Forum Pendidikan.

Dalam pelajaran aljabar di sekolah, kita menjumpai berbagai jenis ekspresi. Saat Anda mempelajari materi baru, rekaman ekspresi menjadi lebih beragam dan kompleks. Misalnya, kita berkenalan dengan pangkat - pangkat muncul dalam ekspresi, kita mempelajari pecahan - ekspresi pecahan muncul, dll.

Untuk memudahkan pendeskripsian materi, ungkapan-ungkapan yang terdiri dari unsur-unsur yang sejenis diberi nama tertentu untuk membedakannya dari keseluruhan ragam ungkapan. Pada artikel kali ini kita akan mengenalnya yaitu memberikan gambaran tentang ekspresi dasar yang dipelajari dalam pelajaran aljabar di sekolah.

Navigasi halaman.

Monomial dan polinomial

Mari kita mulai dengan ekspresi yang disebut monomial dan polinomial. Pada saat tulisan ini dibuat, perbincangan tentang monomial dan polinomial dimulai pada pelajaran aljabar kelas 7. Definisi berikut diberikan di sana.

Definisi.

Monomial bilangan, variabel, pangkatnya dengan eksponen natural, serta hasil kali apa pun yang tersusun darinya disebut.

Definisi.

Polinomial adalah jumlah monomial.

Misalnya, bilangan 5, variabel x, pangkat z 7, hasil kali 5 x dan 7 x x 2 7 z 7 semuanya merupakan monomial. Jika kita mengambil jumlah monomial, misalnya 5+x atau z 7 +7+7·x·2·7·z 7, maka kita mendapatkan polinomial.

Bekerja dengan monomial dan polinomial sering kali melibatkan melakukan sesuatu dengannya. Jadi, pada himpunan monomial, perkalian monomial dan pangkat dari monomial ditentukan, dalam arti bahwa sebagai hasil pelaksanaannya diperoleh monomial.

Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan eksponensial ditentukan pada himpunan polinomial. Bagaimana tindakan ini ditentukan dan menurut aturan apa tindakan tersebut dilakukan, kita akan membahasnya di artikel Tindakan dengan Polinomial.

Jika kita berbicara tentang polinomial dengan satu variabel, maka ketika mengerjakannya, membagi polinomial dengan polinomial memiliki signifikansi praktis yang signifikan, dan seringkali polinomial tersebut harus direpresentasikan sebagai produk; tindakan ini disebut memfaktorkan polinomial.

Pecahan rasional (aljabar).

Di kelas 8, pembelajaran ekspresi yang mengandung pembagian dengan ekspresi dengan variabel dimulai. Dan ekspresi pertama adalah pecahan rasional, yang oleh beberapa penulis disebut pecahan aljabar.

Definisi.

Pecahan rasional (aljabar). adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan polinomial, khususnya monomial dan bilangan.

Berikut beberapa contoh pecahan rasional : dan . Omong-omong, pecahan biasa apa pun adalah pecahan rasional (aljabar).

Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensial diperkenalkan pada berbagai pecahan aljabar. Cara melakukannya dijelaskan dalam artikel Tindakan dengan pecahan aljabar.

Seringkali perlu dilakukan transformasi pecahan aljabar, yang paling umum adalah reduksi dan reduksi ke penyebut baru.

Ekspresi Rasional

Definisi.

Ekspresi dengan kekuatan (ekspresi kekuatan) adalah ekspresi yang mengandung derajat dalam notasinya.

Berikut adalah beberapa contoh ekspresi dengan kekuatan. Mereka tidak boleh mengandung variabel, misalnya, 2 3 , . Ekspresi pangkat dengan variabel juga terjadi: dan seterusnya.

Tidak ada salahnya untuk membiasakan diri Anda dengan cara melakukannya. mengubah ekspresi dengan kekuatan.

Ekspresi irasional, ekspresi dengan akar

Definisi.

Ekspresi yang mengandung logaritma disebut ekspresi logaritmik.

Contoh ekspresi logaritma adalah log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

Seringkali, ekspresi mengandung pangkat dan logaritma, yang dapat dimengerti, karena menurut definisi, logaritma adalah eksponen. Hasilnya, ekspresi seperti ini terlihat natural: .

Untuk melanjutkan topik, lihat materinya mengonversi ekspresi logaritmik.

Pecahan

Di bagian ini kita akan melihat ekspresi tipe khusus - pecahan.

Pecahan memperluas konsepnya. Pecahan juga mempunyai pembilang dan penyebut yang masing-masing terletak di atas dan di bawah garis pecahan mendatar (di sebelah kiri dan kanan garis pecahan miring). Hanya saja, tidak seperti pecahan biasa, pembilang dan penyebutnya tidak hanya berisi bilangan asli, tetapi juga bilangan lain, serta ekspresi apa pun.

Jadi, mari kita definisikan pecahan.

Definisi.

Pecahan adalah ekspresi yang terdiri dari pembilang dan penyebut yang dipisahkan oleh garis pecahan, yang mewakili beberapa ekspresi atau angka numerik atau alfabet.

Definisi ini memungkinkan Anda memberikan contoh pecahan.

Mari kita mulai dengan contoh pecahan yang pembilang dan penyebutnya berupa bilangan: 1/4, , (−15)/(−2) . Pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat berisi ekspresi, baik numerik maupun alfabet. Berikut contoh pecahan tersebut: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), .

Namun persamaan 2/5−3/7 bukanlah pecahan, meskipun notasinya mengandung pecahan.

Ekspresi Umum

Di sekolah menengah, khususnya pada soal-soal yang tingkat kesulitannya meningkat dan soal-soal kelompok C pada Ujian Negara Terpadu matematika, Anda akan menjumpai ekspresi-ekspresi berbentuk kompleks, yang dalam notasinya secara bersamaan mengandung akar, pangkat, logaritma, fungsi trigonometri, dll. Misalnya, atau . Tampaknya cocok dengan beberapa jenis ekspresi yang tercantum di atas. Namun mereka biasanya tidak diklasifikasikan sebagai salah satunya. Mereka dipertimbangkan ekspresi umum, dan ketika mendeskripsikan mereka hanya mengucapkan sebuah ekspresi, tanpa menambahkan klarifikasi tambahan.

Sebagai penutup artikel, saya ingin mengatakan bahwa jika ekspresi tertentu rumit, dan jika Anda tidak sepenuhnya yakin jenisnya, maka lebih baik menyebutnya sekadar ekspresi daripada menyebutnya ekspresi yang bukan ekspresi. .

Bibliografi.

• Matematika: buku teks untuk kelas 5. pendidikan umum institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Edisi ke-21, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 hal.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. kelas 6: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [N. Ya.Vilenkin dan lainnya]. - Edisi ke-22, putaran. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 7 pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk kelas 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov. - Edisi ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 hal.: sakit.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Ekspresi aljabar mulai dipelajari di kelas 7 SD. Mereka memiliki sejumlah properti dan digunakan dalam memecahkan masalah. Mari pelajari topik ini lebih detail dan pertimbangkan contoh pemecahan masalah.

Definisi konsep

Ekspresi apa yang disebut aljabar? Ini adalah notasi matematika yang terdiri dari angka, huruf, dan simbol aritmatika. Kehadiran huruf adalah perbedaan utama antara ekspresi numerik dan aljabar. Contoh:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5 detik:6*(8+5).

Huruf dalam ekspresi aljabar menunjukkan angka. Itu sebabnya disebut variabel - contoh pertama huruf a, contoh kedua b, dan contoh ketiga c. Ekspresi aljabar itu sendiri disebut juga ekspresi dengan variabel.

Nilai ekspresi

Arti ekspresi aljabar adalah bilangan yang diperoleh dari melakukan semua operasi aritmatika yang ditunjukkan dalam ekspresi ini. Namun untuk mendapatkannya, huruf harus diganti dengan angka. Oleh karena itu, dalam contoh mereka selalu menunjukkan nomor mana yang sesuai dengan huruf tersebut. Mari kita lihat cara mencari nilai ekspresi 8a-14*(5-a) jika a=3.

Mari kita gantikan angka 3 dengan huruf a. Kita mendapatkan entri berikut: 8*3-14*(5-3).

Seperti dalam ekspresi numerik, penyelesaian ekspresi aljabar dilakukan sesuai dengan aturan untuk melakukan operasi aritmatika. Mari kita selesaikan semuanya secara berurutan.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Jadi, nilai ekspresi 8a-14*(5-a) pada a=3 sama dengan -4.

Nilai suatu variabel disebut valid jika ekspresinya masuk akal, yaitu solusinya dapat ditemukan.

Contoh variabel yang valid untuk ekspresi 5:2a adalah angka 1.

Menggantinya ke dalam ekspresi, kita mendapatkan 5:2*1=2.5. Variabel yang tidak valid untuk ekspresi ini adalah 0. Jika kita mengganti nol ke dalam ekspresi, kita mendapatkan 5:2*0, yaitu 5:0. Anda tidak dapat membagi dengan nol, yang berarti ungkapan tersebut tidak masuk akal.

Ekspresi identitas

Jika dua ekspresi sama untuk setiap nilai variabel penyusunnya, maka keduanya disebut identik.
Contoh ekspresi identik :
4(a+c) dan 4a+4c.
Berapapun nilai huruf a dan c, ekspresi akan selalu sama. Ekspresi apa pun dapat diganti dengan ekspresi lain yang identik dengannya. Proses ini disebut transformasi identitas.

Contoh transformasi identitas .
4*(5a+14c) – ekspresi ini dapat diganti dengan ekspresi serupa dengan menerapkan hukum perkalian matematika. Untuk mengalikan suatu bilangan dengan jumlah dua bilangan, Anda perlu mengalikan bilangan tersebut dengan setiap suku dan menjumlahkan hasilnya.

• 4*5a=20a.
• 4*14dtk = 64dtk.
• 20a+64dtk.

Jadi, ekspresi 4*(5a+14c) identik dengan 20a+64c.

Angka yang muncul sebelum variabel huruf dalam ekspresi aljabar disebut koefisien. Koefisien dan variabelnya merupakan pengali.

Penyelesaian masalah

Ekspresi aljabar digunakan untuk menyelesaikan masalah dan persamaan.
Mari kita pertimbangkan masalahnya. Petya memberikan nomor. Agar teman sekelasnya Sasha bisa menebaknya, Petya memberitahunya: pertama saya tambahkan 7 ke angka tersebut, lalu kurangi 5 dan kalikan dengan 2. Hasilnya, saya mendapat angka 28. Angka berapa yang saya tebak?

Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu menentukan nomor tersembunyi dengan huruf a, dan kemudian melakukan semua tindakan yang ditunjukkan dengannya.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Sekarang mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Petya menginginkan nomor 12.

Apa yang telah kita pelajari?

Ekspresi aljabar adalah catatan yang terdiri dari huruf, angka, dan simbol aritmatika. Setiap ekspresi memiliki nilai, yang ditemukan dengan melakukan semua operasi aritmatika dalam ekspresi tersebut. Huruf dalam ekspresi aljabar disebut variabel, dan angka di depannya disebut koefisien. Ekspresi aljabar digunakan untuk menyelesaikan masalah.

Uji topiknya

Peringkat artikel

Penilaian rata-rata: 4.4. Total peringkat yang diterima: 529.