Sisi samping prisma beraturan. Luas permukaan lateral prisma

Definisi. Prisma adalah polihedron, yang semua simpulnya terletak pada dua bidang sejajar, dan pada dua bidang yang sama ini terdapat dua sisi prisma, yang merupakan poligon sama besar dengan sisi-sisi yang sejajar, dan semua sisi yang tidak terletak pada bidang tersebut adalah sejajar.

Dua wajah yang sama disebut dasar prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Semua permukaan prisma lainnya disebut wajah samping(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Semua sisi wajah terbentuk permukaan lateral prisma .

Semua sisi sisi prisma adalah jajaran genjang .

Sisi yang tidak terletak pada alasnya disebut sisi lateral prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, HH 1, EE 1).

Diagonal prisma adalah ruas yang ujung-ujungnya merupakan dua titik sudut prisma yang tidak terletak pada bidang yang sama (1 M).

Panjang ruas garis yang menghubungkan alas-alas prisma dan tegak lurus kedua alasnya secara bersamaan disebut tinggi prisma .

Penamaan:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pertama, dalam urutan traversal, simpul-simpul dari satu alas ditunjukkan, dan kemudian, dalam urutan yang sama, simpul-simpul dari alas yang lain; ujung-ujung setiap tepi sisi ditandai dengan huruf yang sama, hanya simpul-simpul yang terletak pada satu alas yang ditandai dengan huruf tanpa indeks, dan yang lain - dengan indeks)

Nama prisma dikaitkan dengan banyaknya sudut pada bangun datar yang terletak pada alasnya, misalnya pada Gambar 1 terdapat segi lima pada alasnya, maka disebut prisma prisma segi lima. Tapi karena prisma tersebut mempunyai 7 muka, maka prisma tersebut heptahedron(2 muka - alas prisma, 5 muka - jajar genjang, - muka sisinya)

Di antara prisma lurus, ada jenis tertentu yang menonjol: prisma beraturan.

Prisma lurus disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan.

Paralelipiped

Paralelepiped persegi panjang- paralelepiped siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang.

Properti dan teorema:

,

dimana d adalah diagonal persegi;
a adalah sisi persegi.

Gagasan tentang prisma diberikan oleh:

• berbagai struktur arsitektur;
• mainan anak-anak;
• kotak kemasan;
• barang desainer, dll.

Luas permukaan total dan lateral prisma

S penuh = S sisi + 2S utama,

Di mana S penuh- luas permukaan total, sisi S-luas permukaan lateral, basis S- daerah dasar

Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan hasil kali keliling alas dan tinggi prisma.

sisi S= P dasar * jam,

Di mana sisi S-luas permukaan lateral prisma lurus,

P main - keliling alas prisma lurus,

h adalah tinggi prisma lurus yang sama dengan rusuk sampingnya.

Volume prisma

Volume prisma sama dengan hasil kali luas alas dan tinggi.

Informasi umum tentang prisma lurus

Permukaan lateral suatu prisma (lebih tepatnya luas permukaan lateral) disebut jumlah area sisi muka. Luas permukaan prisma sama dengan jumlah luas permukaan lateral dan luas alasnya.

Teorema 19.1. Permukaan lateral prisma lurus sama dengan hasil kali keliling alas dan tinggi prisma, yaitu panjang rusuk samping.

Bukti. Sisi-sisi prisma lurus berbentuk persegi panjang. Alas persegi panjang ini adalah sisi-sisi poligon yang terletak pada alas prisma, dan tingginya sama dengan panjang rusuk-rusuk sisinya. Oleh karena itu permukaan lateral prisma adalah sama dengan

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = tolong,

dimana a 1 dan n adalah panjang rusuk alasnya, p adalah keliling alas prisma, dan I adalah panjang rusuk sisinya. Teorema tersebut telah terbukti.

Tugas praktis

Masalah (22) . Dalam prisma miring, hal itu dilakukan bagian, tegak lurus terhadap rusuk samping dan memotong semua rusuk samping. Temukan permukaan lateral prisma jika keliling bagiannya sama dengan p dan rusuk sisinya sama dengan l.

Larutan. Bidang bagian yang digambar membagi prisma menjadi dua bagian (Gbr. 411). Mari kita lakukan terjemahan paralel salah satunya, dengan menggabungkan alas prisma. Dalam hal ini, kita memperoleh prisma lurus, yang alasnya adalah penampang prisma asli, dan sisi-sisinya sama dengan l. Prisma ini mempunyai permukaan lateral yang sama dengan prisma aslinya. Jadi, permukaan lateral prisma asal sama dengan pl.

Ringkasan topik yang dibahas

Sekarang mari kita coba merangkum topik yang kita bahas tentang prisma dan mengingat sifat-sifat apa saja yang dimiliki prisma.

Sifat prisma

Pertama, sebuah prisma memiliki semua alasnya sebagai poligon yang sama;
Kedua, dalam prisma semua sisi sisinya adalah jajaran genjang;
Ketiga, dalam bangun datar yang beraneka segi seperti prisma, semua sisi lateralnya sama;

Perlu diingat juga bahwa polihedra seperti prisma bisa lurus atau miring.

Prisma manakah yang disebut prisma lurus?

Jika sisi sisi prisma tegak lurus terhadap bidang alasnya, maka prisma tersebut disebut lurus.

Tidaklah berlebihan untuk mengingat bahwa sisi-sisi prisma lurus adalah persegi panjang.

Jenis prisma apa yang disebut miring?

Tetapi jika sisi sisi prisma tidak terletak tegak lurus terhadap bidang alasnya, maka kita dapat dengan aman mengatakan bahwa itu adalah prisma miring.

Prisma manakah yang disebut benar?

Jika suatu poligon beraturan terletak pada alas prisma lurus, maka prisma tersebut beraturan.

Sekarang mari kita ingat sifat-sifat yang dimiliki prisma biasa.

Sifat-sifat prisma beraturan

Pertama, poligon beraturan selalu berfungsi sebagai alas prisma beraturan;
Kedua, jika kita perhatikan sisi-sisi prisma beraturan, sisi-sisinya selalu persegi panjang yang sama;
Ketiga, jika kita membandingkan ukuran rusuk-rusuk samping, maka dalam prisma beraturan selalu sama.
Keempat, prisma yang benar selalu lurus;
Kelima, jika pada prisma beraturan sisi-sisinya berbentuk persegi, maka bangun tersebut biasa disebut poligon semi beraturan.

Penampang prisma

Sekarang mari kita lihat penampang prisma:

Pekerjaan rumah

Sekarang mari kita coba mengkonsolidasikan topik yang telah kita pelajari dengan memecahkan masalah.

Mari kita menggambar prisma segitiga miring, jarak antara tepinya adalah: 3 cm, 4 cm dan 5 cm, dan permukaan lateral prisma ini adalah 60 cm2. Dengan mempunyai parameter-parameter ini, carilah tepi samping prisma ini.

Tahukah anda bahwa bangun ruang selalu ada disekitar kita, tidak hanya dalam pelajaran geometri saja, tetapi dalam kehidupan sehari-hari juga terdapat benda-benda yang menyerupai bangun datar tertentu.

Setiap rumah, sekolah atau kantor mempunyai komputer yang unit sistemnya berbentuk prisma lurus.

Jika Anda mengambil pensil sederhana, Anda akan melihat bahwa bagian utama pensil adalah prisma.

Berjalan di sepanjang jalan pusat kota, kami melihat di bawah kaki kami terdapat ubin berbentuk prisma heksagonal.

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk lembaga pendidikan

Prisma yang berbeda berbeda satu sama lain. Di saat yang sama, mereka memiliki banyak kesamaan. Untuk mencari luas alas prisma, Anda perlu memahami jenisnya.

Teori umum

Prisma adalah polihedron apa pun yang sisi-sisinya berbentuk jajar genjang. Selain itu, alasnya dapat berupa polihedron apa saja - dari segitiga hingga n-gon. Selain itu, alas prisma selalu sama besar satu sama lain. Apa yang tidak berlaku pada permukaan samping adalah ukurannya dapat sangat bervariasi.

Saat menyelesaikan soal, tidak hanya luas alas prisma saja yang ditemui. Ini mungkin memerlukan pengetahuan tentang permukaan lateral, yaitu semua permukaan yang bukan alas. Permukaan lengkapnya akan menjadi gabungan semua permukaan yang membentuk prisma.

Terkadang masalah melibatkan ketinggian. Itu tegak lurus dengan alasnya. Diagonal polihedron adalah segmen yang menghubungkan secara berpasangan dua simpul yang tidak memiliki sisi yang sama.

Perlu dicatat bahwa luas alas prisma lurus atau miring tidak bergantung pada sudut antara prisma dan sisi-sisinya. Jika kedua bangun tersebut sama pada sisi atas dan bawahnya, maka luasnya sama.

Prisma segitiga

Pada dasarnya terdapat bangun datar dengan tiga titik sudut, yaitu segitiga. Seperti yang Anda tahu, ini bisa berbeda. Jika demikian, cukup diingat bahwa luasnya ditentukan oleh setengah hasil kali kaki-kakinya.

Notasi matematikanya terlihat seperti ini: S = ½ av.

Untuk mengetahui luas alas secara umum, rumus yang berguna adalah: Bangau dan yang setengah sisinya diambil oleh tinggi yang ditarik ke sana.

Rumus pertama harus ditulis sebagai berikut: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Notasi ini mengandung setengah keliling (p), yaitu jumlah tiga sisi dibagi dua.

Kedua: S = ½ n a * a.

Jika ingin mencari luas alas prisma segitiga beraturan, maka segitiga tersebut ternyata sama sisi. Ada rumusnya: S = ¼ a 2 * √3.

Prisma segi empat

Basisnya adalah salah satu segi empat yang diketahui. Itu bisa berupa persegi panjang atau persegi, paralelepiped atau belah ketupat. Dalam setiap kasus, untuk menghitung luas alas prisma, Anda memerlukan rumus Anda sendiri.

Jika alasnya berbentuk persegi panjang, maka luasnya ditentukan sebagai berikut: S = ab, dimana a, b adalah sisi-sisi persegi panjang tersebut.

Untuk prisma segi empat, luas alas prisma beraturan dihitung menggunakan rumus persegi. Karena dialah yang mendasarinya. S = sebuah 2.

Jika alasnya adalah paralelepiped, diperlukan persamaan berikut: S = a * n a. Kebetulan sisi paralelepiped dan salah satu sudut diberikan. Kemudian, untuk menghitung tinggi, Anda perlu menggunakan rumus tambahan: n a = b * sin A. Selain itu, sudut A berdekatan dengan sisi “b”, dan tinggi n berhadapan dengan sudut tersebut.

Jika terdapat belah ketupat pada alas prisma, maka untuk menentukan luasnya diperlukan rumus yang sama seperti jajar genjang (karena merupakan kasus khusus). Tapi Anda juga bisa menggunakan ini: S = ½ d 1 d 2. Di sini d 1 dan d 2 adalah dua diagonal belah ketupat.

Prisma segi lima beraturan

Kasus ini melibatkan pembagian poligon menjadi segitiga, yang luasnya lebih mudah diketahui. Meskipun demikian, angka-angka tersebut dapat memiliki jumlah simpul yang berbeda.

Karena alas prisma berbentuk segi lima beraturan, maka prisma dapat dibagi menjadi lima segitiga sama sisi. Maka luas alas prisma sama dengan luas salah satu segitiga tersebut (rumusnya dapat dilihat di atas), dikalikan lima.

Prisma heksagonal beraturan

Menurut prinsip yang dijelaskan untuk prisma segi lima, segi enam alasnya dapat dibagi menjadi 6 segitiga sama sisi. Rumus luas alas prisma tersebut mirip dengan rumus sebelumnya. Hanya saja harus dikalikan enam.

Rumusnya akan terlihat seperti ini: S = 3/2 a 2 * √3.

Tugas

No 1. Diketahui sebuah garis lurus beraturan, diagonalnya 22 cm, tinggi polihedron 14 cm. Hitunglah luas alas prisma dan seluruh permukaannya.

Larutan. Alas prisma berbentuk persegi, namun sisinya tidak diketahui. Anda dapat mencari nilainya dari diagonal persegi (x), yang berhubungan dengan diagonal prisma (d) dan tingginya (h). x 2 = d 2 - n 2. Sebaliknya, ruas “x” ini adalah sisi miring pada segitiga yang kaki-kakinya sama dengan sisi persegi. Artinya, x 2 = a 2 + a 2. Jadi ternyata a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Gantikan angka 22 dengan d, dan ganti “n” dengan nilainya - 14, ternyata panjang sisi persegi adalah 12 cm. Sekarang cari saja luas alasnya: 12 * 12 = 144 cm 2.

Untuk mengetahui luas seluruh permukaan, Anda perlu menjumlahkan dua kali luas alas dan empat kali lipat luas sisinya. Yang terakhir ini dapat dengan mudah ditemukan menggunakan rumus persegi panjang: kalikan tinggi polihedron dan sisi alasnya. Artinya, 14 dan 12, angkanya sama dengan 168 cm 2. Luas permukaan prisma tersebut adalah 960 cm2.

Menjawab. Luas alas prisma adalah 144 cm2. Luas seluruh permukaannya adalah 960 cm2.

Nomor 2. Diketahui alasnya terdapat sebuah segitiga yang panjang sisinya 6 cm. Dalam hal ini, diagonal sisi sisinya adalah 10 cm. Hitung luas alas dan permukaan sisinya.

Larutan. Karena prisma beraturan, alasnya berbentuk segitiga sama sisi. Oleh karena itu, luasnya menjadi 6 kuadrat, dikalikan dengan ¼ dan dengan akar kuadrat dari 3. Perhitungan sederhana menghasilkan hasil: 9√3 cm 2. Ini adalah luas salah satu alas prisma.

Semua sisi sisinya sama dan berbentuk persegi panjang dengan panjang sisi 6 dan 10 cm. Untuk menghitung luasnya, kalikan saja angka-angka ini. Kemudian kalikan dengan tiga, karena prisma mempunyai sisi-sisi yang persis sama. Maka luas permukaan lateral luka adalah 180 cm2.

Menjawab. Luas: alas - 9√3 cm 2, permukaan lateral prisma - 180 cm 2.