Solusi khusus dari persamaan diferensial. Tugas untuk pekerjaan mandiri

Institusi pendidikan "Negara Bagian Belarusia

Akademi Pertanian"

Departemen Matematika Tinggi

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER PERTAMA

Catatan kuliah untuk mahasiswa akuntansi

bentuk pendidikan korespondensi (NISPO)

Gorki, 2013

Persamaan diferensial orde pertama

Konsep persamaan diferensial. Solusi umum dan khusus

Ketika mempelajari berbagai fenomena, seringkali tidak mungkin menemukan hukum yang secara langsung menghubungkan variabel bebas dan fungsi yang diinginkan, tetapi hubungan antara fungsi yang diinginkan dan turunannya dapat dibangun.

Hubungan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang diinginkan dan turunannya disebut persamaan diferensial :

Di Sini X– variabel bebas, kamu– fungsi yang diperlukan,
- turunan dari fungsi yang diinginkan. Dalam hal ini, relasi (1) harus mempunyai paling sedikit satu turunan.

Urutan persamaan diferensial disebut orde turunan tertinggi yang termasuk dalam persamaan.

Pertimbangkan persamaan diferensial

. (2)

Karena persamaan ini hanya mencakup turunan orde pertama, maka persamaan ini disebut adalah persamaan diferensial orde pertama.

Jika persamaan (2) dapat diselesaikan terhadap turunannya dan dituliskan dalam bentuk

, (3)

maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial orde pertama dalam bentuk normal.

Dalam banyak kasus, disarankan untuk mempertimbangkan persamaan bentuk

yang disebut persamaan diferensial orde pertama yang ditulis dalam bentuk diferensial.

Karena
, maka persamaan (3) dapat dituliskan dalam bentuk
atau
, di mana kita bisa menghitung
Dan
. Artinya persamaan (3) diubah menjadi persamaan (4).

Mari kita tulis persamaan (4) dalam bentuk
. Kemudian
,
,
, di mana kita bisa menghitung
, yaitu persamaan bentuk (3) diperoleh. Jadi, persamaan (3) dan (4) ekuivalen.

Memecahkan persamaan diferensial (2) atau (3) disebut fungsi apa pun
, yang jika disubstitusikan ke persamaan (2) atau (3), mengubahnya menjadi identitas:

atau
.

Proses menemukan semua solusi persamaan diferensial disebut nya integrasi , dan grafik solusinya
persamaan diferensial disebut kurva integral persamaan ini.

Jika penyelesaian persamaan diferensial diperoleh dalam bentuk implisit
, lalu disebut integral persamaan diferensial ini.

Solusi umum persamaan diferensial orde pertama adalah keluarga fungsi dalam bentuk
, bergantung pada konstanta sembarang DENGAN, yang masing-masing merupakan solusi terhadap persamaan diferensial tertentu untuk setiap nilai konstanta sembarang yang dapat diterima DENGAN. Jadi, persamaan diferensial mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.

Keputusan pribadi persamaan diferensial adalah solusi yang diperoleh dari rumus solusi umum untuk nilai tertentu dari konstanta sembarang DENGAN, termasuk
.

Masalah Cauchy dan interpretasi geometrisnya

Persamaan (2) memiliki jumlah solusi yang tak terhingga. Untuk memilih satu solusi dari himpunan ini, yang disebut solusi privat, Anda perlu menetapkan beberapa kondisi tambahan.

Masalah menemukan solusi tertentu persamaan (2) pada kondisi tertentu disebut Masalah Cauchy . Masalah ini adalah salah satu masalah terpenting dalam teori persamaan diferensial.

Masalah Cauchy dirumuskan sebagai berikut: di antara semua solusi persamaan (2) temukan solusi seperti itu
, di mana fungsinya
mengambil nilai numerik yang diberikan , jika variabel independen X mengambil nilai numerik yang diberikan , yaitu

,
, (5)

Di mana D– domain definisi fungsi
.

Arti ditelepon nilai awal fungsi tersebut , A – nilai awal variabel independen . Kondisi (5) disebut kondisi awal atau Kondisi Cauchy .

Dari segi geometri, permasalahan Cauchy untuk persamaan diferensial (2) dapat dirumuskan sebagai berikut: dari himpunan kurva integral persamaan (2), pilih salah satu yang melalui suatu titik tertentu
.

Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Salah satu jenis persamaan diferensial yang paling sederhana adalah persamaan diferensial orde pertama yang tidak mengandung fungsi yang diinginkan:

. (6)

Mengingat bahwa
, kita tulis persamaannya dalam bentuk
atau
. Mengintegrasikan kedua ruas persamaan terakhir, kita memperoleh:
atau

. (7)

Jadi, (7) merupakan solusi umum persamaan (6).

Contoh 1 . Temukan solusi umum persamaan diferensial
.

Larutan . Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk
atau
. Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan yang dihasilkan:
,
. Kami akhirnya akan menuliskannya
.

Contoh 2 . Temukan solusi persamaan tersebut
mengingat bahwa
.

Larutan . Mari kita cari solusi umum persamaan tersebut:
,
,
,
. Dengan syarat
,
. Mari kita substitusikan ke dalam solusi umum:
atau
. Kami mengganti nilai yang ditemukan dari konstanta sembarang ke dalam rumus solusi umum:
. Ini adalah solusi khusus dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi tertentu.

Persamaan

(8)

Ditelepon persamaan diferensial orde pertama yang tidak mengandung variabel bebas . Mari kita tuliskan dalam formulir
atau
. Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan terakhir:
atau
- solusi umum persamaan (8).

Contoh . Temukan solusi umum persamaan tersebut
.

Larutan . Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk:
atau
. Kemudian
,
,
,
. Dengan demikian,
adalah solusi umum persamaan ini.

Persamaan bentuk

(9)

terintegrasi menggunakan pemisahan variabel. Untuk melakukan ini, kita menulis persamaan dalam bentuk
, lalu dengan menggunakan operasi perkalian dan pembagian kita bawa ke bentuk sedemikian rupa sehingga satu bagian hanya memuat fungsi saja X dan diferensial dx, dan di bagian kedua – fungsi dari pada dan diferensial mati. Untuk melakukan ini, kedua ruas persamaan perlu dikalikan dengan dx dan membaginya
. Hasilnya, kita mendapatkan persamaannya

, (10)

di mana variabelnya X Dan pada terpisah. Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan (10):
. Relasi yang dihasilkan merupakan integral umum persamaan (9).

Contoh 3 . Integrasikan Persamaan
.

Larutan . Mari kita ubah persamaan dan pisahkan variabelnya:
,
. Mari berintegrasi:
,
atau merupakan integral umum persamaan ini.
.

Biarkan persamaan diberikan dalam bentuk

Persamaan ini disebut persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan dalam bentuk yang simetris.

Untuk memisahkan variabel, Anda perlu membagi kedua ruas persamaan dengan
:

. (12)

Persamaan yang dihasilkan disebut persamaan diferensial terpisah . Mari kita integrasikan persamaan (12):

.(13)

Relasi (13) merupakan integral umum persamaan diferensial (11).

Contoh 4 . Integrasikan persamaan diferensial.

Larutan . Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk

dan bagi kedua bagiannya
,
. Persamaan yang dihasilkan:
adalah persamaan variabel terpisah. Mari kita integrasikan:

,
,

,
. Persamaan terakhir merupakan integral umum persamaan diferensial ini.

Contoh 5 . Temukan solusi khusus untuk persamaan diferensial
, memenuhi kondisi
.

Larutan . Mengingat bahwa
, kita tulis persamaannya dalam bentuk
atau
. Mari kita pisahkan variabelnya:
. Mari kita integrasikan persamaan ini:
,
,
. Relasi yang dihasilkan merupakan integral umum persamaan ini. Dengan syarat
. Mari kita substitusikan ke integral umum dan temukan DENGAN:
,DENGAN=1. Lalu ekspresinya
adalah solusi parsial persamaan diferensial tertentu, ditulis sebagai integral parsial.

Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaan

(14)

ditelepon persamaan diferensial linier orde pertama . Fungsi tidak diketahui
dan turunannya masuk ke dalam persamaan ini secara linier, dan fungsinya
Dan
kontinu.

Jika
, lalu persamaannya

(15)

ditelepon homogen linier . Jika
, maka persamaan (14) disebut linier tidak homogen .

Untuk mencari solusi persamaan (14) biasanya digunakan metode substitusi (Bernoulli) , yang intinya adalah sebagai berikut.

Kita akan mencari solusi persamaan (14) berupa hasil kali dua fungsi

, (16)

Di mana
Dan
- beberapa fungsi berkelanjutan. Mari kita gantikan
dan turunan
menjadi persamaan (14):

Fungsi ay kami akan memilih sedemikian rupa sehingga kondisinya terpenuhi
.
Kemudian

. Oleh karena itu, untuk mencari penyelesaian persamaan (14), perlu diselesaikan sistem persamaan diferensial
,
,
,
,
Persamaan pertama sistem merupakan persamaan linier homogen dan dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel:
. Sebagai sebuah fungsi DENGAN=1:
Anda dapat mengambil salah satu solusi parsial dari persamaan homogen, yaitu. pada
atau
. Mari kita substitusikan ke persamaan kedua sistem:
.Kemudian
.

. Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial linier orde pertama memiliki bentuk Contoh 6
.

Larutan . Selesaikan persamaannya
. Kemudian
. Kami akan mencari solusi persamaan dalam bentuk

atau
. Mari kita substitusikan ke dalam persamaan: ay. Fungsi
. Kemudian
memilih sedemikian rupa sehingga kesetaraan tetap terjaga
,
,
,
,. Mari kita substitusikan ke dalam persamaan: ay. Mari kita selesaikan persamaan pertama menggunakan metode pemisahan variabel:
,
,
,
Mari kita substitusikan ke persamaan kedua:
.

. Solusi umum persamaan ini adalah

Pertanyaan untuk pengendalian diri atas pengetahuan

Apa itu persamaan diferensial?

Berapakah orde persamaan diferensial?

Persamaan diferensial manakah yang disebut persamaan diferensial orde pertama?

Bagaimana persamaan diferensial orde satu ditulis dalam bentuk diferensial?

Apa solusi persamaan diferensial?

Apa itu kurva integral?

Apa solusi umum persamaan diferensial orde pertama?

Apa yang disebut solusi parsial persamaan diferensial?

Bagaimana rumusan masalah Cauchy untuk persamaan diferensial orde pertama?

Apa interpretasi geometris dari masalah Cauchy?

Bagaimana cara menulis persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan dalam bentuk simetris?

Persamaan manakah yang disebut persamaan diferensial linier orde satu?

Metode apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama dan apa inti dari metode tersebut?

Tugas untuk pekerjaan mandiri

Selesaikan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan:
A)
;

;
B)
.

Selesaikan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan:
A)
;
;

G)
2. Selesaikan persamaan diferensial linier orde satu:
.

; V) G)

;

Konsep dasar teori persamaan diferensial

Dari sekolah kita mengetahui persamaan paling sederhana di mana kita perlu mencari x yang tidak diketahui. Intinya persamaan diferensial hanya sedikit berbeda dari mereka - bukan variabel X Anda perlu menemukan fungsi di dalamnya kamu(x) , yang akan mengubah persamaan menjadi identitas.

D persamaan diferensial sangat penting secara praktis. Ini bukanlah matematika abstrak yang tidak ada hubungannya dengan dunia sekitar kita. Banyak proses alam nyata dijelaskan menggunakan persamaan diferensial. Misalnya getaran tali, gerak osilator harmonik, menggunakan persamaan diferensial dalam soal mekanika, mencari kecepatan dan percepatan suatu benda. Juga DU banyak digunakan dalam biologi, kimia, ekonomi dan banyak ilmu lainnya.

Persamaan diferensial (DU) adalah persamaan yang memuat turunan dari fungsi y(x), fungsi itu sendiri, variabel bebas, dan parameter lain dalam berbagai kombinasi.

Persamaan diferensial ada banyak jenisnya: persamaan diferensial biasa, linier dan nonlinier, persamaan diferensial homogen dan tak homogen, persamaan diferensial orde satu dan tinggi, persamaan diferensial parsial, dan sebagainya.

Penyelesaian persamaan diferensial adalah fungsi yang mengubahnya menjadi identitas. Ada solusi umum dan khusus untuk kendali jarak jauh.

Solusi umum persamaan diferensial adalah himpunan solusi umum yang mengubah persamaan tersebut menjadi suatu identitas. Solusi parsial persamaan diferensial adalah solusi yang memenuhi kondisi tambahan yang ditentukan sebelumnya.

Orde persamaan diferensial ditentukan oleh orde tertinggi turunannya.

Persamaan diferensial biasa

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang mengandung satu variabel bebas.

Mari kita perhatikan persamaan diferensial biasa orde pertama yang paling sederhana. Sepertinya:

Persamaan tersebut dapat diselesaikan hanya dengan mengintegrasikan ruas kanannya.

Contoh persamaan tersebut:

Persamaan yang dapat dipisahkan

Secara umum, persamaan jenis ini terlihat seperti ini:

Berikut ini contohnya:

Saat menyelesaikan persamaan seperti itu, Anda perlu memisahkan variabel-variabelnya, menjadikannya bentuk:

Setelah ini, tinggal mengintegrasikan kedua bagian dan mendapatkan solusi.

Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaan tersebut terlihat seperti:

Di sini p(x) dan q(x) adalah beberapa fungsi dari variabel bebas, dan y=y(x) adalah fungsi yang diinginkan. Berikut adalah contoh persamaan tersebut:

Saat menyelesaikan persamaan seperti itu, paling sering mereka menggunakan metode memvariasikan konstanta sembarang atau merepresentasikan fungsi yang diinginkan sebagai produk dari dua fungsi lainnya y(x)=u(x)v(x).

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, diperlukan persiapan tertentu dan akan cukup sulit untuk memahaminya “sekilas”.

Contoh penyelesaian persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Jadi kami melihat jenis remote control yang paling sederhana. Sekarang mari kita lihat solusi salah satunya. Biarkan ini menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Pertama, mari kita tulis ulang turunannya dalam bentuk yang lebih familiar:

Kemudian kita membagi variabelnya, yaitu, di satu bagian persamaan kita mengumpulkan semua "I", dan di bagian lain - "X":

Sekarang tinggal mengintegrasikan kedua bagian:

Kami mengintegrasikan dan memperoleh solusi umum untuk persamaan ini:

Tentu saja, menyelesaikan persamaan diferensial adalah suatu seni. Anda harus mampu memahami jenis persamaan apa yang dimilikinya, dan juga belajar melihat transformasi apa yang perlu dilakukan agar persamaan tersebut dapat menghasilkan satu bentuk atau lainnya, belum lagi sekadar kemampuan untuk membedakan dan mengintegrasikan. Dan untuk berhasil menyelesaikan DE, Anda memerlukan latihan (seperti dalam segala hal). Dan jika saat ini Anda tidak punya waktu untuk memahami bagaimana persamaan diferensial diselesaikan atau masalah Cauchy terasa seperti duri di tenggorokan Anda, atau Anda tidak mengetahuinya, hubungi penulis kami. Dalam waktu singkat, kami akan memberi Anda solusi yang siap pakai dan terperinci, yang detailnya dapat Anda pahami kapan saja sesuai keinginan Anda. Sementara itu, kami sarankan menonton video dengan topik “Cara menyelesaikan persamaan diferensial”:

I. Persamaan diferensial biasa

1.1. Konsep dasar dan definisi

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan variabel bebas X, fungsi yang diperlukan kamu dan turunan atau diferensialnya.

Secara simbolis persamaan diferensialnya dituliskan sebagai berikut:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Persamaan diferensial disebut biasa jika fungsi yang diperlukan bergantung pada satu variabel bebas.

Memecahkan persamaan diferensial disebut fungsi yang mengubah persamaan ini menjadi identitas.

Urutan persamaan diferensial adalah orde turunan tertinggi yang termasuk dalam persamaan ini

Contoh.

1. Perhatikan persamaan diferensial orde pertama

Solusi persamaan ini adalah fungsi y = 5 ln x. Memang, menggantikan kamu" ke dalam persamaan, kita mendapatkan identitasnya.

Artinya fungsi y = 5 ln x– merupakan solusi persamaan diferensial tersebut.

2. Perhatikan persamaan diferensial orde kedua kamu" - 5 tahun" +6 tahun = 0. Fungsinya adalah solusi persamaan ini.

Benar-benar, .

Mengganti ekspresi ini ke dalam persamaan, kita memperoleh: , – identitas.

Artinya fungsi tersebut merupakan solusi persamaan diferensial tersebut.

Mengintegrasikan persamaan diferensial adalah proses mencari solusi persamaan diferensial.

Solusi umum persamaan diferensial disebut fungsi formulir , yang mencakup konstanta sembarang independen sebanyak orde persamaannya.

Solusi parsial persamaan diferensial adalah solusi yang diperoleh dari solusi umum untuk berbagai nilai numerik dari konstanta sembarang. Nilai konstanta sembarang ditemukan pada nilai awal tertentu dari argumen dan fungsi.

Grafik penyelesaian tertentu suatu persamaan diferensial disebut kurva integral.

Contoh

1. Temukan solusi khusus persamaan diferensial orde pertama

xdx + ydy = 0, Jika kamu= 4 jam X = 3.

Larutan. Mengintegrasikan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan

Komentar. Konstanta sembarang C yang diperoleh sebagai hasil integrasi dapat direpresentasikan dalam bentuk apa pun yang sesuai untuk transformasi lebih lanjut. Dalam hal ini, dengan mempertimbangkan persamaan kanonik sebuah lingkaran, akan lebih mudah untuk menyatakan konstanta sembarang C dalam bentuk .

- solusi umum persamaan diferensial.

Solusi khusus dari persamaan yang memenuhi kondisi awal kamu = 4 jam X = 3 dicari dari persamaan umum dengan mensubstitusikan kondisi awal ke dalam solusi umum: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Mengganti C=5 ke dalam solusi umum, kita mendapatkan x 2 +kamu 2 = 5 2 .

Ini adalah solusi khusus persamaan diferensial yang diperoleh dari solusi umum pada kondisi awal tertentu.

2. Temukan solusi umum persamaan diferensial

Solusi persamaan ini adalah fungsi apa pun yang berbentuk , dengan C adalah konstanta sembarang. Memang, dengan mensubstitusikan persamaan tersebut, kita memperoleh: , .

Akibatnya, persamaan diferensial ini memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, karena untuk nilai konstanta C yang berbeda, persamaan menentukan solusi persamaan yang berbeda.

Misalnya, dengan substitusi langsung Anda dapat memverifikasi fungsinya adalah solusi persamaan tersebut.

Masalah di mana Anda perlu menemukan solusi tertentu untuk persamaan tersebut kamu" = f(x,y) memenuhi kondisi awal kamu(x 0) = kamu 0, disebut masalah Cauchy.

Memecahkan persamaan kamu" = f(x,y), memenuhi kondisi awal, kamu(x 0) = kamu 0, disebut solusi untuk masalah Cauchy.

Penyelesaian masalah Cauchy mempunyai arti geometri yang sederhana. Memang menurut definisi tersebut, untuk memecahkan masalah Cauchy kamu" = f(x,y) mengingat bahwa kamu(x 0) = kamu 0, artinya mencari kurva integral dari persamaan tersebut kamu" = f(x,y) yang melalui suatu titik tertentu M 0 (x 0,kamu 0).

II. Persamaan diferensial orde pertama

2.1. Konsep Dasar

Persamaan diferensial orde pertama adalah persamaan bentuk F(x,y,y") = 0.

Persamaan diferensial orde pertama mencakup turunan pertama dan tidak mencakup turunan orde tinggi.

Persamaan kamu" = f(x,y) disebut persamaan orde pertama yang diselesaikan terhadap turunannya.

Solusi umum persamaan diferensial orde pertama adalah fungsi berbentuk , yang berisi satu konstanta sembarang.

Contoh. Pertimbangkan persamaan diferensial orde pertama.

Solusi persamaan ini adalah fungsinya.

Memang, dengan mengganti persamaan ini dengan nilainya, kita mendapatkan

yaitu 3x=3x

Oleh karena itu, fungsi tersebut merupakan solusi umum persamaan untuk sembarang konstanta C.

Temukan solusi khusus untuk persamaan ini yang memenuhi kondisi awal kamu(1)=1 Mengganti kondisi awal x = 1, kamu =1 ke dalam solusi umum persamaan tersebut, kita mendapatkan dari mana C=0.

Jadi, kita memperoleh solusi khusus dari solusi umum dengan mensubstitusi nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ini C=0– solusi pribadi.

2.2. Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan adalah persamaan yang berbentuk: kamu"=f(x)g(y) atau melalui perbedaan, di mana f(x) Dan g(kamu)– fungsi tertentu.

Untuk itu kamu, yang mana , persamaannya kamu"=f(x)g(y) setara dengan persamaan, di mana variabelnya kamu hanya ada di sisi kiri, dan variabel x hanya ada di sisi kanan. Mereka mengatakan, "dalam Persamaan. kamu"=f(x)g(y Mari kita pisahkan variabelnya."

Persamaan bentuk disebut persamaan variabel terpisah.

Mengintegrasikan kedua sisi persamaan Oleh X, kita dapatkan G(y) = F(x) + C adalah solusi umum persamaan, di mana G(kamu) Dan F(x)– beberapa antiturunan, masing-masing, dari fungsi dan f(x), C konstanta sewenang-wenang.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan

Contoh 1

Selesaikan persamaannya kamu" = xy

Larutan. Turunan dari suatu fungsi kamu" ganti dengan

mari kita pisahkan variabelnya

Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan:

Contoh 2

2yy" = 1- 3x 2, Jika kamu 0 = 3 pada x 0 = 1

Ini adalah persamaan variabel terpisah. Bayangkan saja dalam perbedaan. Untuk melakukan ini, kita menulis ulang persamaan ini dalam bentuk Dari sini

Mengintegrasikan kedua sisi persamaan terakhir, kita temukan

Mengganti nilai awal x 0 = 1, kamu 0 = 3 kita akan menemukannya DENGAN 9=1-1+C, yaitu C = 9.

Oleh karena itu, integral parsial yang diperlukan adalah atau

Contoh 3

Tuliskan persamaan kurva yang melalui suatu titik M(2;-3) dan mempunyai garis singgung dengan koefisien sudut

Larutan. Sesuai dengan kondisinya

Ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Membagi variabelnya, kita mendapatkan:

Mengintegrasikan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan:

Dengan menggunakan kondisi awal, x = 2 Dan kamu = - 3 kita akan menemukannya C:

Oleh karena itu, persamaan yang diperlukan memiliki bentuk

2.3. Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaan diferensial linier orde pertama merupakan persamaan bentuk kamu" = f(x)kamu + g(x)

Di mana f(x) Dan g(x)- beberapa fungsi tertentu.

Jika g(x)=0 maka persamaan diferensial linier tersebut disebut homogen dan berbentuk: kamu" = f(x)kamu

Jika maka persamaannya kamu" = f(x)kamu + g(x) disebut heterogen.

Solusi umum persamaan diferensial homogen linier kamu" = f(x)kamu diberikan oleh rumus: dimana DENGAN– konstanta sewenang-wenang.

Khususnya, jika C =0, maka solusinya adalah kamu = 0 Jika persamaan linier homogen mempunyai bentuk kamu" = baik Di mana k adalah suatu konstanta, maka solusi umumnya berbentuk: .

Solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen kamu" = f(x)kamu + g(x) diberikan oleh rumus ,

itu. sama dengan jumlah solusi umum persamaan linear homogen dan solusi khusus persamaan ini.

Untuk persamaan bentuk linier tidak homogen kamu" = kx + b,

Di mana k Dan B- beberapa bilangan dan solusi tertentu akan menjadi fungsi konstan. Oleh karena itu, solusi umumnya berbentuk .

Contoh. Selesaikan persamaannya kamu" + 2kamu +3 = 0

Larutan. Mari kita nyatakan persamaannya dalam bentuk kamu" = -2kamu - 3 Di mana k = -2, b= -3 Solusi umum diberikan oleh rumus.

Oleh karena itu, di mana C adalah konstanta sembarang.

2.4. Penyelesaian persamaan diferensial linier orde pertama dengan metode Bernoulli

Mencari Solusi Umum Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama kamu" = f(x)kamu + g(x) direduksi menjadi menyelesaikan dua persamaan diferensial dengan variabel terpisah menggunakan substitusi kamu=uv, Di mana kamu Dan ay- fungsi yang tidak diketahui dari X. Metode penyelesaian ini disebut metode Bernoulli.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama

kamu" = f(x)kamu + g(x)

1. Masukkan substitusi kamu=uv.

2. Bedakan persamaan ini kamu" = kamu"v + uv"

3. Pengganti kamu Dan kamu" ke dalam persamaan ini: kamu"v + uv" =f(x)uv + g(x) atau kamu"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Kelompokkan suku-suku persamaan tersebut sehingga kamu keluarkan dari tanda kurung:

5. Dari tanda kurung, samakan dengan nol, carilah fungsinya

Ini adalah persamaan yang dapat dipisahkan:

Mari kita bagi variabelnya dan dapatkan:

Di mana . .

6. Gantikan nilai yang dihasilkan ay ke dalam persamaan (dari langkah 4):

dan temukan fungsinya. Ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan:

7. Tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk: , yaitu .

Contoh 1

Temukan solusi tertentu untuk persamaan tersebut kamu" = -2kamu +3 = 0 Jika kamu=1 pada x = 0

Larutan. Mari kita selesaikan dengan menggunakan substitusi kamu=uv,.kamu" = kamu"v + uv"

Mengganti kamu Dan kamu" ke dalam persamaan ini, kita dapatkan

Dengan mengelompokkan suku kedua dan ketiga di ruas kiri persamaan, kita keluarkan faktor persekutuannya kamu di luar tanda kurung

Kami menyamakan ekspresi dalam tanda kurung dengan nol dan, setelah menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kami menemukan fungsinya v = v(x)

Kami mendapatkan persamaan dengan variabel terpisah. Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan ini: Temukan fungsinya ay:

Mari kita gantikan nilai yang dihasilkan ay ke dalam persamaan kita peroleh:

Ini adalah persamaan variabel terpisah. Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan: Mari kita cari fungsinya kamu = kamu(x,c) Mari kita cari solusi umum: Mari kita cari solusi khusus dari persamaan yang memenuhi kondisi awal kamu = 1 pada x = 0:

AKU AKU AKU. Persamaan diferensial orde tinggi

3.1. Konsep dasar dan definisi

Persamaan diferensial orde kedua adalah persamaan yang mengandung turunan yang tidak lebih tinggi dari orde kedua. Secara umum, persamaan diferensial orde kedua ditulis sebagai: F(x,y,y",y") = 0

Solusi umum persamaan diferensial orde kedua adalah fungsi berbentuk , yang mencakup dua konstanta sembarang C 1 Dan dari 2.

Solusi khusus persamaan diferensial orde kedua adalah solusi yang diperoleh dari solusi umum untuk nilai konstanta sembarang tertentu C 1 Dan dari 2.

3.2. Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan.

Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan disebut persamaan bentuk y" + py" +qy = 0, Di mana P Dan Q- nilai konstan.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen orde dua dengan koefisien konstan

1. Tuliskan persamaan diferensialnya dalam bentuk: y" + py" +qy = 0.

2. Buatlah persamaan karakteristiknya, yang menunjukkan kamu" melalui r 2, kamu" melalui R, kamu dalam 1: r 2 + pr +q = 0

Mari kita perhatikan persamaan linier homogen orde kedua, yaitu. persamaan

dan menetapkan beberapa sifat solusinya.

Properti 1
Jika merupakan solusi persamaan linear homogen, maka C, Di mana C- konstanta sembarang, adalah solusi persamaan yang sama.
Bukti.
Substitusikan ke ruas kiri persamaan yang sedang dipertimbangkan C, kita mendapatkan: ,
tapi, karena
adalah solusi dari persamaan awal.

Karena itu,

dan keabsahan properti ini telah terbukti.
Properti 2
Jumlah dua penyelesaian persamaan linier homogen merupakan penyelesaian persamaan yang sama.
Bukti.
Misalkan dan jadilah solusi dari persamaan yang sedang dipertimbangkan
Dan .
Sekarang dengan mensubstitusi + ke dalam persamaan yang sedang dipertimbangkan, kita akan mendapatkan:
Dari sifat-sifat yang telah dibuktikan tersebut dapat disimpulkan bahwa, dengan mengetahui dua solusi partikular dari persamaan linear homogen orde kedua, kita dapat memperoleh solusinya , bergantung pada dua konstanta sembarang, mis. dari banyaknya konstanta yang persamaan orde kedua harus memuat solusi umum. Namun apakah keputusan ini akan bersifat umum, yaitu. Apakah mungkin untuk memenuhi kondisi awal yang diberikan secara sewenang-wenang dengan memilih konstanta yang berubah-ubah?
Saat menjawab pertanyaan ini, kita akan menggunakan konsep independensi linier suatu fungsi, yang dapat didefinisikan sebagai berikut.

Kedua fungsi tersebut disebut independen linier pada interval tertentu, jika rasionya pada interval ini tidak konstan, yaitu. Jika
.
Jika tidak, fungsinya akan dipanggil bergantung secara linear.
Dengan kata lain, dua fungsi dikatakan bergantung linier pada suatu interval tertentu jika pada seluruh interval.

Contoh

1. Fungsi y 1 = e X dan kamu 2 = e -X bebas linier untuk semua nilai x, karena
.
2. Fungsi y 1 = e X dan kamu 2 = 5 e X bergantung linier, karena
.

Teorema 1.

Jika fungsi-fungsi tersebut bergantung linier pada interval tertentu, maka determinannya disebut penentu Vronskii fungsi yang diberikan identik dengan nol pada interval ini.

Bukti.

Jika
,
dimana , lalu dan .
Karena itu,
.
Teorema tersebut terbukti.

Komentar.
Penentu Wronski yang muncul dalam teorema yang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan huruf W atau simbol .
Jika fungsi-fungsi tersebut merupakan solusi persamaan linier homogen orde kedua, maka teorema kebalikannya dan teorema yang lebih kuat berikut ini valid untuk fungsi-fungsi tersebut.

Teorema 2.

Jika determinan Wronski, yang disusun untuk solusi dan persamaan linier homogen orde kedua, hilang setidaknya pada satu titik, maka solusi tersebut bergantung linier.

Bukti.

Biarkan determinan Wronski hilang pada titik tersebut, mis.
=0,
dan biarkan dan .

Pertimbangkan sistem homogen linier
relatif tidak diketahui dan.
Penentu sistem ini bertepatan dengan nilai determinan Wronski di x=
, yaitu bertepatan dengan , dan karena itu sama dengan nol. Oleh karena itu, sistem mempunyai solusi bukan nol dan ( dan tidak sama dengan nol). Dengan menggunakan nilai-nilai ini dan , pertimbangkan fungsinya . kamu=0.
Fungsi ini merupakan solusi persamaan yang sama dengan fungsi dan. Selain itu, fungsi ini memenuhi kondisi awal nol: , karena
,
itu. fungsi dan bergantung linier. Teorema tersebut terbukti.

Konsekuensi.

1. Jika determinan Wronski yang muncul dalam teorema sama dengan nol untuk suatu nilai Penentu sistem ini bertepatan dengan nilai determinan Wronski di, maka sama dengan nol untuk nilai apa pun Xdari interval yang dipertimbangkan.

2. Jika penyelesaiannya bebas linier, maka determinan Wronski tidak hilang pada titik mana pun dalam interval yang ditinjau.

3. Jika determinan Wronski setidaknya pada satu titik bukan nol, maka penyelesaiannya bebas linier.

Teorema 3.

Jika dan adalah dua solusi bebas linier dari persamaan orde kedua yang homogen, maka fungsinya , di mana dan adalah konstanta sembarang, merupakan solusi umum persamaan ini.

Bukti.

Seperti diketahui, fungsi tersebut merupakan solusi persamaan yang dipertimbangkan untuk sembarang nilai dan .
Sekarang mari kita buktikan apapun kondisi awalnya
Dan ,
dimungkinkan untuk memilih nilai konstanta sembarang sehingga solusi khusus yang sesuai memenuhi kondisi awal yang diberikan.
.
Mengganti kondisi awal ke dalam persamaan, kita memperoleh sistem persamaan

Dari sistem ini dimungkinkan untuk menentukan dan , sejak itu penentu sistem ini Penentu sistem ini bertepatan dengan nilai determinan Wronski di ada determinan Wronski untuk

; .

dan, oleh karena itu, tidak sama dengan nol (karena independensi linier dari solusi dan ).

Contoh

Solusi tertentu dengan nilai yang diperoleh dan memenuhi kondisi awal yang diberikan. Dengan demikian, teorema tersebut terbukti.

Contoh 1.
Solusi umum persamaan tersebut adalah solusinya.
.

Benar-benar,

Oleh karena itu, fungsi sinx dan cosx bebas linier.

Hal ini dapat diverifikasi dengan mempertimbangkan hubungan fungsi-fungsi berikut: 1 Contoh 2. X Solusi y = C 2 Contoh 2. e +C .

-X

persamaannya bersifat umum, karena Contoh 3.
Persamaan

, yang koefisiennya dan
.

kontinu pada interval apa pun yang tidak memuat titik x = 0, mengakui penyelesaian parsial

(mudah diperiksa dengan substitusi). Oleh karena itu, solusi umumnya berbentuk:

Komentar

Kami telah menetapkan bahwa solusi umum persamaan linier homogen orde kedua dapat diperoleh dengan mengetahui dua solusi parsial bebas linier dari persamaan ini. Namun, tidak ada metode umum untuk menemukan solusi parsial dalam bentuk akhir untuk persamaan dengan koefisien variabel. Untuk persamaan dengan koefisien konstan, metode seperti itu ada dan akan dibahas nanti.

Mari kita mengingat kembali tugas yang kita hadapi ketika mencari integral tertentu: kamu, jika diketahui memenuhi suatu relasi bentuk

Hubungan ini menghubungkan variabel independen X, fungsi tidak diketahui kamu dan turunannya sampai ordo N inklusif, disebut .

Persamaan diferensial mencakup fungsi di bawah tanda turunan (atau diferensial) dengan orde tertentu. Urutan tertinggi disebut urutan (9.1) .

Persamaan diferensial:

- pesanan pertama,

Urutan kedua

- urutan kelima, dst.

Fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tertentu disebut solusinya , atau integral . Memecahkannya berarti menemukan semua solusinya. Jika untuk fungsi yang diperlukan kamu berhasil memperoleh rumus yang memberikan semua solusi, maka kita katakan telah menemukan solusi umumnya , atau integral umum .

Solusi umum berisi N konstanta sewenang-wenang dan sepertinya

Jika diperoleh suatu relasi yang berhubungan x, kamu Dan N konstanta arbitrer, dalam bentuk yang tidak diizinkan kamu -

maka hubungan tersebut disebut integral umum persamaan (9.1).

Masalah Cauchy

Setiap solusi spesifik, yaitu setiap fungsi spesifik yang memenuhi persamaan diferensial tertentu dan tidak bergantung pada konstanta sembarang, disebut solusi partikular. , atau integral parsial. Untuk memperoleh solusi khusus (integral) dari solusi umum, konstanta harus diberi nilai numerik tertentu.

Grafik penyelesaian tertentu disebut kurva integral. Solusi umum, yang berisi semua solusi parsial, merupakan kelompok kurva integral. Untuk persamaan orde pertama, keluarga ini bergantung pada satu konstanta sembarang, untuk persamaan tersebut N-urutan - dari N konstanta sewenang-wenang.

Masalah Cauchy adalah menemukan solusi khusus untuk persamaan tersebut N-Pesanan ke-th, memuaskan N kondisi awal:

dimana n konstanta c 1, c 2,..., c n ditentukan.

Persamaan diferensial orde 1

Untuk persamaan diferensial orde 1 yang belum terselesaikan terhadap turunannya, maka persamaan tersebut mempunyai bentuk

atau untuk diizinkan secara relatif

Contoh 3.46. Temukan solusi umum persamaan tersebut

Larutan. Mengintegrasikan, kita dapatkan

di mana C adalah konstanta sembarang. Jika kita menetapkan nilai numerik tertentu ke C, kita memperoleh solusi tertentu, misalnya,

Contoh 3.47. Pertimbangkan peningkatan jumlah uang yang disimpan di bank dengan akrual 100 r bunga majemuk per tahun. Misalkan Yo adalah jumlah uang awal dan Yx pada akhirnya X bertahun-tahun. Jika bunga dihitung setahun sekali, kita peroleh

dimana x = 0, 1, 2, 3,.... Jika bunga dihitung dua kali setahun, kita peroleh

dimana x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Saat menghitung bunga N setahun sekali dan jika x mengambil nilai berurutan 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., lalu

Tentukan 1/n = h, maka persamaan sebelumnya akan terlihat seperti:

Dengan pembesaran tak terbatas N(pada ) dalam batasnya kita sampai pada proses peningkatan jumlah uang dengan perolehan bunga terus menerus:

Dengan demikian jelas bahwa dengan perubahan yang terus menerus X hukum perubahan jumlah uang beredar dinyatakan dengan persamaan diferensial orde pertama. Dimana Y x adalah fungsi yang tidak diketahui, X- variabel bebas, R- konstan. Mari kita selesaikan persamaan ini, untuk melakukannya kita menulis ulang sebagai berikut:

Di mana , atau , di mana P menunjukkan e C .

Dari kondisi awal Y(0) = Yo didapat P: Yo = Pe o, dari mana Yo = P. Oleh karena itu, penyelesaiannya berbentuk:

Mari kita perhatikan masalah ekonomi yang kedua. Model makroekonomi juga digambarkan dengan persamaan diferensial linier orde 1, yang menggambarkan perubahan pendapatan atau output Y sebagai fungsi waktu.

Contoh 3.48. Biarkan pendapatan nasional Y meningkat pada tingkat yang sebanding dengan nilainya:

dan biarkan defisit belanja pemerintah berbanding lurus dengan pendapatan Y dengan koefisien proporsionalitas Q. Defisit belanja menyebabkan peningkatan utang negara D:

Kondisi awal Y = Yo dan D = Do pada t = 0. Dari persamaan pertama Y= Yoe kt. Mengganti Y kita mendapatkan dD/dt = qYoe kt . Solusi umum mempunyai bentuk
D = (q/ k) Yoe kt +С, dimana С = const, yang ditentukan dari kondisi awal. Mengganti kondisi awal, kita mendapatkan Do = (q/ k)Yo + C. Jadi, akhirnya,

D = Lakukan +(q/ k)Yo (e kt -1),

Hal ini menunjukkan bahwa utang negara meningkat pada tingkat yang relatif sama k, sama dengan pendapatan nasional.

Mari kita perhatikan persamaan diferensial paling sederhana N orde ke-th, ini adalah persamaan bentuk

Solusi umumnya dapat diperoleh dengan menggunakan N integrasi kali.

Contoh 3.49. Perhatikan contoh y """ = cos x.

Larutan. Mengintegrasikan, kami menemukan

Solusi umum mempunyai bentuk

Persamaan diferensial linier

Mereka banyak digunakan dalam bidang ekonomi; mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan tersebut. Jika (9.1) berbentuk:

maka disebut linier, dimana рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) diberikan fungsi. Jika f(x) = 0, maka (9.2) disebut homogen, sebaliknya disebut tidak homogen. Solusi umum persamaan (9.2) sama dengan jumlah solusi partikularnya kamu(x) dan solusi umum persamaan homogen yang bersesuaian dengannya:

Jika koefisien р o (x), р 1 (x),..., р n (x) adalah konstan, maka (9.2)

(9.4) disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien orde konstan N .

Untuk (9.4) berbentuk:

Tanpa kehilangan keumumannya, kita dapat menetapkan p o = 1 dan menulis (9.5) dalam bentuk

Kita akan mencari solusi untuk (9.6) dalam bentuk y = e kx, dimana k adalah sebuah konstanta. Kami memiliki: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Mengganti ekspresi yang dihasilkan ke (9.6), kita akan mendapatkan:

(9.7) adalah persamaan aljabar, yang tidak diketahui adalah k, itu disebut karakteristik. Persamaan karakteristik mempunyai derajat N Dan N akar, di antaranya bisa banyak dan kompleks. Misalkan k 1 , k 2 ,..., k n nyata dan berbeda - solusi khusus (9.7), dan umum

Pertimbangkan persamaan diferensial orde kedua homogen linier dengan koefisien konstan:

Persamaan karakteristiknya berbentuk

(9.9)

diskriminannya D = p 2 - 4q, bergantung pada tanda D, ada tiga kasus yang mungkin terjadi.

1. Jika D>0, maka akar-akar k 1 dan k 2 (9.9) nyata dan berbeda, dan solusi umumnya berbentuk:

Larutan. Persamaan ciri: k 2 + 9 = 0, maka k = ± 3i, a = 0, b = 3, solusi umumnya berbentuk:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Persamaan diferensial linier orde 2 digunakan ketika mempelajari model ekonomi tipe web dengan persediaan barang, dimana laju perubahan harga P bergantung pada besar kecilnya persediaan (lihat paragraf 10). Jika penawaran dan permintaan merupakan fungsi linier dari harga, maka demikianlah

a adalah konstanta yang menentukan laju reaksi, maka proses perubahan harga dijelaskan dengan persamaan diferensial: