Dalam kurikulum sekolah, pelajaran geometri harus berurusan dengan berbagai jenis segiempat: belah ketupat, jajaran genjang, persegi panjang, trapesium, bujur sangkar. Bentuk pertama yang dipelajari adalah persegi panjang dan persegi.

Jadi apa itu persegi panjang? Definisi untuk kelas 2 sekolah komprehensif akan terlihat seperti ini: ini adalah segiempat, yang keempat sudutnya benar. Sangat mudah untuk membayangkan seperti apa bentuk persegi panjang: itu adalah sosok dengan 4 sudut siku-siku dan sisi-sisinya sejajar satu sama lain secara berpasangan.

Berhubungan dengan

Bagaimana memahami, memecahkan masalah geometris berikutnya, segiempat seperti apa yang kita hadapi? Ada tiga fitur utama, yang dengannya Anda dapat secara akurat menentukan bahwa kita berbicara tentang persegi panjang. Sebut saja mereka:

• gambar tersebut adalah segiempat dengan tiga sudut sama dengan 90°;
• segi empat yang disajikan adalah jajaran genjang dengan diagonal yang sama;
• jajaran genjang yang memiliki setidaknya satu sudut siku-siku.

Menarik untuk diketahui: apa itu cembung, fitur dan tandanya.

Karena persegi panjang adalah jajaran genjang (yaitu, segiempat dengan sisi berlawanan paralel berpasangan), maka semua properti dan fiturnya akan dipenuhi untuk itu.

Rumus untuk menghitung panjang sisi

dalam persegi panjang sisi yang berhadapan sama dan saling sejajar. Sisi yang lebih panjang biasanya disebut panjang (dilambangkan dengan a), sisi yang lebih pendek disebut dengan lebar (dilambangkan dengan b). Pada persegi panjang pada gambar, panjangnya adalah sisi AB dan CD, dan lebarnya adalah AC dan BD. Panjangnya juga tegak lurus dengan alasnya (yaitu tingginya).

Untuk mencari sisinya, kamu bisa menggunakan rumus di bawah ini. Konvensi diadopsi di dalamnya: a - panjang persegi panjang, b - lebarnya, d - diagonal (segmen yang menghubungkan simpul dari dua sudut yang saling berhadapan), S - luas gambar, P - keliling, α - sudut antara diagonal dan panjang, β adalah sudut lancip yang dibentuk oleh kedua diagonal. Cara mencari panjang sisi :

• Menggunakan diagonal dan sisi yang diketahui: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• Menurut luas gambar dan salah satu sisinya: a = S / b, b = S / a.
• Menggunakan keliling dan sisi yang diketahui: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Melalui diagonal dan sudut antara itu dan panjang: a = d sinα, b = d cosα.
• Melalui diagonal dan sudut β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Perimeter dan luas

Keliling segi empat disebut jumlah panjang semua sisinya. Untuk menghitung keliling, rumus berikut dapat digunakan:

• Melalui kedua sisi: P = 2 (a + b).
• Melalui luas dan salah satu sisinya: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

Luas adalah ruang yang dibatasi oleh garis keliling. Tiga cara utama untuk menghitung luas:

• Melalui panjang kedua sisi: S = a*b.
• Menggunakan keliling dan salah satu sisi yang diketahui: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• Secara diagonal dan sudut β: S = 0,5 d² sinβ.

Dalam tugas mata pelajaran matematika sekolah, seringkali dituntut untuk memiliki penguasaan yang baik sifat-sifat diagonal persegi panjang. Kami daftar yang utama:

1. Diagonal sama satu sama lain dan dibagi menjadi dua segmen yang sama pada titik persimpangannya.
2. Diagonal didefinisikan sebagai akar dari jumlah kedua sisi kuadrat (mengikuti teorema Pythagoras).
3. Diagonal membagi persegi panjang menjadi dua segitiga dengan sudut siku-siku.
4. Titik perpotongannya bertepatan dengan pusat lingkaran yang dibatasi, dan diagonalnya sendiri bertepatan dengan diameternya.

Rumus berikut digunakan untuk menghitung panjang diagonal:

• Menggunakan panjang dan lebar gambar: d = √ (a ² + b ²).
• Menggunakan jari-jari lingkaran yang mengelilingi segiempat: d = 2 R.

Pengertian dan sifat-sifat persegi

Persegi adalah kasus khusus dari belah ketupat, jajaran genjang, atau persegi panjang. Perbedaannya dari angka-angka ini adalah bahwa semua sudutnya benar, dan keempat sisinya sama. Persegi adalah segi empat beraturan.

Segiempat disebut persegi dalam kasus berikut:

1. Diketahui sebuah persegi panjang dengan panjang a dan lebar b sama.
2. Jika itu adalah belah ketupat dengan panjang diagonal yang sama dan empat sudut siku-siku.

Sifat-sifat persegi mencakup semua sifat-sifat yang telah dibahas sebelumnya yang terkait dengan persegi panjang, serta yang berikut ini:

1. Diagonal saling tegak lurus (properti belah ketupat).
2. Titik potongnya bertepatan dengan pusat lingkaran bertulis.
3. Kedua diagonal membagi segi empat menjadi empat segitiga siku-siku dan sama kaki yang identik.

Berikut adalah beberapa rumus yang sering digunakan untuk menghitung keliling, luas, dan elemen persegi:

• Diagonal d = a√2.
• Keliling P = 4a.
• Luas S = a².
• Jari-jari lingkaran yang dibatasi adalah setengah diagonal: R = 0,5 a √2.
• Jari-jari lingkaran bertulis didefinisikan sebagai setengah panjang sisi: r = a / 2.

Contoh soal dan tugas

Mari kita analisis beberapa pertanyaan yang mungkin Anda temui saat belajar matematika di sekolah, dan selesaikan beberapa soal sederhana.

Tugas 1. Bagaimana luas persegi panjang akan berubah jika panjang sisinya menjadi tiga kali lipat?

Larutan : Mari kita nyatakan luas gambar aslinya sebagai S0, dan luas segiempat dengan panjang sisi tiga kali lipat - S1. Menurut rumus yang dipertimbangkan sebelumnya, kami memperoleh: S0 = ab. Sekarang mari kita tambah panjang dan lebarnya sebanyak 3 kali dan tulis: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Membandingkan S0 dan S1, terlihat jelas bahwa luas kedua 9 kali lebih besar dari yang pertama.

Pertanyaan 1. Apakah segiempat dengan sudut siku-siku persegi?

Larutan : Ini mengikuti dari definisi bahwa bangun dengan sudut siku-siku adalah bujur sangkar hanya jika panjang semua sisinya sama. Kalau tidak, gambarnya adalah persegi panjang.

Tugas 2. Diagonal-diagonal suatu persegi panjang membentuk sudut 60 derajat. Lebar persegi panjang adalah 8. Hitung diagonalnya.

Larutan: Ingatlah bahwa diagonal dibelah oleh titik persimpangan. Jadi, kita berurusan dengan segitiga sama kaki dengan sudut di titik sudutnya sama dengan 60°. Karena segitiga sama kaki, sudut alasnya juga akan sama. Dengan perhitungan sederhana, kami mendapatkan bahwa masing-masing sama dengan 60 °. Oleh karena itu, segitiga itu sama sisi. Lebar yang kita ketahui adalah alas segitiga, jadi setengah dari diagonalnya juga 8, dan panjang seluruh diagonalnya dua kali lipat dan sama dengan 16.

Pertanyaan 2. Apakah persegi panjang memiliki semua sisi sama atau tidak?

Larutan : Cukuplah untuk mengingat bahwa semua sisi harus sama untuk sebuah bujur sangkar, yang merupakan kasus khusus dari sebuah persegi panjang. Dalam semua kasus lain, kondisi yang cukup adalah adanya setidaknya 3 sudut siku-siku. Kesetaraan para pihak bukanlah fitur wajib.

Tugas 3. Luas bujur sangkar diketahui dan sama dengan 289. Temukan jari-jari lingkaran bertulis dan dibatasi.

Larutan : Menurut rumus kuadrat, kami akan melakukan perhitungan berikut:

• Mari kita tentukan sama dengan elemen utama persegi: a = √ S = √289 = 17; d = a√2 =1 7√2.
• Mari kita hitung berapa jari-jari lingkaran yang dijelaskan di sekitar segiempat sama dengan: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Mari kita cari jari-jari lingkaran bertulis: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Definisi. Jajaran genjang adalah segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar berpasangan.

Properti. Dalam jajar genjang, sisi yang berlawanan sama dan sudut yang berlawanan sama.

Properti. Diagonal-diagonal jajaran genjang dibagi dua oleh titik potong.

1 tanda jajaran genjang. Jika dua sisi suatu segiempat sama dan sejajar, maka segiempat tersebut adalah jajaran genjang.

2 tanda jajaran genjang. Jika sisi-sisi yang berlawanan dari suatu segiempat sama berpasangan, maka segiempat itu adalah jajaran genjang.

3 tanda jajaran genjang. Jika dalam segiempat diagonal berpotongan dan titik potongnya dibagi dua, maka segiempat ini adalah jajaran genjang.

Definisi. Trapesium adalah segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar. Sisi paralel disebut tanah.

Trapesium disebut sama kaki (sama kaki) jika sisinya sama. Dalam trapesium sama kaki, sudut alasnya sama.

persegi panjang.

garis tengah trapesium. Garis tengah sejajar dengan basis dan sama dengan jumlah setengahnya.

Persegi panjang

Definisi.

Properti. Diagonal-diagonal suatu persegi panjang sama.

Tanda persegi panjang. Jika diagonal jajaran genjang sama, maka jajaran genjang tersebut adalah persegi panjang.

Definisi.

Properti. Diagonal belah ketupat saling tegak lurus dan membagi dua sudutnya.

Definisi.

Bujur sangkar adalah jenis persegi panjang tertentu, dan juga jenis belah ketupat tertentu. Oleh karena itu, ia memiliki semua propertinya.

Properti:
1. Semua sudut persegi itu benar

Quadrangles semua aturan

Kata kunci:
segiempat, cembung, jumlah sudut, luas segiempat

berbentuk persegi sebuah gambar disebut, yang terdiri dari empat titik dan empat segmen yang menghubungkannya secara seri. Dalam hal ini, tidak ada tiga titik ini yang terletak pada satu garis lurus, dan segmen yang menghubungkannya tidak boleh berpotongan.

• Titik sudut segi empat disebut berdekatan jika mereka adalah ujung salah satu sisinya.
• Verteks yang tidak bertetangga , ditelepon di depan .
• Segmen garis yang menghubungkan simpul berlawanan dari segiempat disebut diagonal .
• Sisi-sisi segi empat yang berasal dari titik yang sama disebut berdekatan Para Pihak.
• Sisi yang tidak memiliki ujung yang sama disebut di depan Para Pihak.
• Segi empat disebut cembung , jika terletak di satu setengah bidang relatif terhadap garis lurus yang memuat salah satu sisinya.

Jenis-jenis segi empat

1. Genjang Segi empat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar
   • Persegi panjang jajaran genjang dengan semua sudut kanan
   • Belah ketupat - jajaran genjang dengan semua sisinya sama
   • Persegi - persegi panjang dengan semua sisinya sama
2. Rekstok gantung - segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar
3. Berbentuk delta Segi empat yang dua pasang sisi yang berdekatan sama

Segi empat

berbentuk persegi sebuah gambar disebut, yang terdiri dari empat titik dan empat segmen yang menghubungkannya secara seri. Dalam hal ini, tidak ada tiga titik ini yang terletak pada garis lurus yang sama, dan segmen yang menghubungkannya tidak berpotongan.

di depan. di depan.

Jenis-jenis segi empat

Genjang

Genjang disebut segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar berpasangan.

Sifat jajaran genjang

• sisi yang berlawanan sama;
• sudut yang berlawanan sama;
• jumlah kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat semua sisi:

Fitur jajaran genjang

Rekstok gantung Segi empat disebut, di mana dua sisi yang berlawanan sejajar, dan dua lainnya tidak sejajar.

Sisi sejajar trapesium disebut trapesiumnya tanah dan sisi tak sejajar sisi. Segmen yang menghubungkan titik tengah sisi disebut garis tengah.

Trapesium disebut sama kaki(atau sama kaki) jika sisinya sama.

Trapesium dengan satu sudut siku-siku disebut persegi panjang.

Properti Trapesium

Tanda-tanda trapesium

Persegi panjang

Persegi panjang Jajaran genjang disebut jika semua sudut adalah sudut siku-siku.

Properti persegi panjang

Fitur Persegi Panjang

Jajaran genjang adalah persegi panjang jika:

1. Salah satu sudutnya benar.
2. Diagonalnya sama.

Belah ketupat Jajaran genjang disebut jika semua sisinya sama.

Properti Belah Ketupat

• semua properti jajaran genjang;
• diagonalnya tegak lurus;

Tanda-tanda belah ketupat

Persegi Sebuah persegi panjang disebut di mana semua sisinya sama.

Properti persegi

• semua sudut alun-alun benar;
• diagonal bujur sangkar sama, saling tegak lurus, titik potong dibagi dua dan sudut bujur sangkar dibagi dua.

Tanda persegi

Formula Dasar

S=d 1 D 2 dosa

Genjang
A Dan B- pihak yang berdekatan; - sudut di antara mereka; ha - tinggi ke samping A.

S = ab sin

S=d 1 D 2 dosa

Rekstok gantung
A Dan B- alasan; H- jarak antara mereka; aku- garis tengah .

Persegi panjang

S=d 1 D 2 dosa

S = 2 sin

S=d 1 D 2

Persegi
D- diagonal.

www.univer.omsk.su

Sifat-sifat segi empat. Jenis-jenis segi empat. Properti segi empat sembarang. Sifat jajar genjang. Properti belah ketupat. Properti persegi panjang. Properti persegi. sifat trapesium. Sekitar kelas 7-9 (13-15 tahun)

Sifat-sifat segi empat. Jenis-jenis segi empat. Properti segi empat sembarang.
Sifat jajar genjang. Properti belah ketupat. Properti persegi panjang. Properti persegi. sifat trapesium.

Macam-macam segi empat:

• Genjang adalah segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar

• Belah ketupat adalah jajaran genjang dengan semua sisi sama.

• Persegi panjang adalah jajaran genjang dengan semua sudut siku-siku.

• Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama.

Properti segi empat sembarang:

Properti jajaran genjang:

Properti belah ketupat:

Properti persegi panjang:

Properti persegi:

Properti trapesium:

Konsultasi dan teknis
dukungan situs: Tim Zavarka

Quadrangles semua aturan

Geometri Non-Euclidean, geometri mirip dengan geometri Euclid dalam hal itu mendefinisikan pergerakan figur, tetapi berbeda dari geometri Euclidean dalam hal salah satu dari lima postulatnya (kedua atau kelima) digantikan oleh negasinya. Penolakan salah satu postulat Euclidean (1825) merupakan peristiwa penting dalam sejarah pemikiran, karena ini merupakan langkah pertama menuju teori relativitas.

Postulat kedua Euclid menyatakan bahwa setiap segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas. Euclid rupanya percaya bahwa postulat ini juga mengandung pernyataan bahwa garis lurus memiliki panjang tak terhingga. Namun dalam geometri "elips", setiap garis lurus berhingga dan, seperti lingkaran, tertutup.

Postulat kelima menyatakan bahwa jika sebuah garis memotong dua garis tertentu sehingga dua sudut interior di satu sisinya kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis ini, jika diperpanjang tanpa batas, akan berpotongan di sisi di mana jumlah dari sudut ini kurang dari jumlah dua garis lurus. Tetapi dalam geometri "hiperbolik", mungkin ada garis CB (lihat Gambar.), Tegak lurus di titik C ke garis tertentu r dan memotong garis lain s pada sudut lancip di titik B, tetapi, bagaimanapun, garis tak terbatas r dan s tidak akan pernah berpotongan.

Dari postulat yang telah direvisi ini diikuti bahwa jumlah sudut sebuah segitiga, sama dengan 180° dalam geometri Euclidean, lebih besar dari 180° dalam geometri eliptik dan kurang dari 180° dalam geometri hiperbolik.

Berbentuk persegi

Berbentuk persegi adalah poligon yang berisi empat simpul dan empat sisi.

Berbentuk persegi, sosok geometris - poligon dengan empat sudut, serta objek apa pun, perangkat bentuk ini.

Dua sisi segiempat yang tidak bersinggungan disebut di depan. Dua simpul yang tidak bertetangga disebut juga di depan.

Segi empat cembung (seperti ABCD) dan
tidak cembung (A 1 B 1 C 1 D 1).

Jenis-jenis segi empat

• Genjang- segiempat di mana semua sisi yang berlawanan sejajar;
• Persegi panjang- segi empat dengan semua sudut siku-siku;
• Belah ketupat- segiempat di mana semua sisinya sama;
• Persegi- segi empat di mana semua sudutnya benar dan semua sisinya sama;
• Rekstok gantung- segi empat dengan dua sisi berlawanan paralel;
• Berbentuk delta Segi empat yang dua pasang sisi yang berdekatan sama.

Genjang

Jajaran genjang adalah segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar berpasangan.

Jajar genjang (dari bahasa Yunani parallelos - paralel dan gramme - garis) yaitu terletak pada garis sejajar. Kasus khusus jajaran genjang adalah persegi panjang, persegi, dan belah ketupat.

• sisi yang berlawanan sama;
• sudut yang berlawanan sama;
• diagonal titik persimpangan dibagi dua;
• jumlah sudut yang berdekatan dengan satu sisi adalah 180°;
• jumlah kuadrat semua diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya.

Segi empat adalah jajar genjang jika:

1. Kedua sisinya yang berhadapan sama dan sejajar.
2. Sisi yang berlawanan sama berpasangan.
3. Sudut yang berlawanan sama berpasangan.
4. Diagonal titik persimpangan dibagi menjadi dua.

Persegi panjang

Persegi panjang adalah jajaran genjang dengan semua sudut siku-siku.

• sisi yang berlawanan sama;
• sudut yang berlawanan sama;
• diagonal titik persimpangan dibagi dua;
• jumlah sudut yang berdekatan dengan satu sisi adalah 180°;
• diagonalnya sama.

Jajaran genjang adalah persegi panjang jika:

1. Salah satu sudutnya benar.
2. Diagonalnya sama.

Belah ketupat adalah jajaran genjang yang semua sisinya sama.

• sisi yang berlawanan sama;
• sudut yang berlawanan sama;
• diagonal titik persimpangan dibagi dua;
• jumlah sudut yang berdekatan dengan satu sisi adalah 180°;
• jumlah kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat semua sisi;
• diagonalnya tegak lurus;
• diagonal adalah garis bagi sudut-sudutnya.

Jajaran genjang adalah belah ketupat jika:

1. Dua sisi yang berdekatan adalah sama.
2. Diagonal-diagonalnya tegak lurus.
3. Salah satu diagonal adalah garis bagi sudutnya.

Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama.

• semua sudut alun-alun benar;
• diagonal bujur sangkar sama, saling tegak lurus, titik potong dibagi dua dan sudut bujur sangkar dibagi dua.

1. Persegi panjang adalah persegi jika memiliki beberapa karakteristik belah ketupat.

Trapesium adalah segiempat yang dua sisinya berhadapan sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.

Sisi sejajar trapesium disebut alasnya, dan sisi yang tidak sejajar disebut sisinya. Segmen yang menghubungkan titik tengah sisi disebut garis tengah.

Trapesium disebut sama kaki (atau sama kaki) jika sisinya sama.

Trapesium dengan satu sudut siku-siku disebut trapesium siku-siku.

• garis tengahnya sejajar dengan alas dan sama dengan jumlah setengahnya;
• jika trapesium sama kaki, maka diagonalnya sama dan sudut alasnya sama;
• jika trapesium itu sama kaki, maka sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekelilingnya;
• jika jumlah alasnya sama dengan jumlah sisinya, maka sebuah lingkaran dapat dituliskan di dalamnya.

1. Segi empat adalah trapesium jika sisi sejajarnya tidak sama

Berbentuk delta Segi empat dengan dua pasang sisi yang sama panjang. Tidak seperti jajaran genjang, dua pasang sisi yang berdekatan tidak sama, tetapi dua pasang sisi yang berdekatan. Deltoid berbentuk seperti layang-layang.

• Sudut antara sisi-sisi yang tidak sama panjang adalah sama.
• Diagonal deltoid (atau ekstensinya) berpotongan di sudut kanan.
• Sebuah lingkaran dapat ditulisi di deltoid cembung mana pun, selain itu, jika deltoid tersebut bukan belah ketupat, maka ada lingkaran lain yang bersinggungan dengan perpanjangan keempat sisinya. Untuk deltoid non-cembung, seseorang dapat membuat garis singgung lingkaran ke dua sisi yang lebih besar dan perpanjangan dari dua sisi yang lebih kecil, dan garis singgung lingkaran ke dua sisi yang lebih kecil dan perpanjangan dari dua sisi yang lebih besar.

• Jika sudut antara sisi deltoid yang tidak sama adalah garis lurus, maka sebuah lingkaran dapat dituliskan di dalamnya (deltoid yang dijelaskan).
• Jika sepasang sisi deltoid yang berlawanan sama, maka deltoid tersebut adalah belah ketupat.
• Jika sepasang sisi yang berlawanan dan kedua diagonal deltoid sama, maka deltoid adalah bujur sangkar. Deltoid bertuliskan dengan diagonal yang sama juga merupakan persegi.

Munculnya geometri sudah ada sejak zaman kuno dan disebabkan oleh kebutuhan praktis aktivitas manusia (kebutuhan untuk mengukur tanah, mengukur volume berbagai benda, dll.).

Informasi dan konsep geometris paling sederhana dikenal di Mesir kuno. Selama periode ini, pernyataan geometris dirumuskan dalam bentuk aturan yang diberikan tanpa pembuktian.

Dari abad ke-7 SM e. hingga abad ke-1 Masehi e. geometri sebagai ilmu berkembang pesat di Yunani kuno. Selama periode ini, tidak hanya terjadi akumulasi berbagai informasi geometris, tetapi juga metodologi untuk membuktikan pernyataan geometris telah dikerjakan, dan upaya pertama dilakukan untuk merumuskan ketentuan primer dasar (aksioma) geometri, dari mana banyak geometris yang berbeda pernyataan yang diturunkan oleh penalaran murni logis. Tingkat perkembangan geometri di Yunani kuno tercermin dalam karya Euclid "Awal".

Dalam buku ini, untuk pertama kalinya, upaya dilakukan untuk memberikan konstruksi planimetri yang sistematis berdasarkan konsep dan aksioma geometris dasar yang tidak terdefinisi (postulat).

Tempat khusus dalam sejarah matematika ditempati oleh postulat kelima Euclid (aksioma garis sejajar). Untuk waktu yang lama, ahli matematika gagal mencoba menurunkan postulat kelima dari postulat Euclid lainnya, dan hanya pada pertengahan abad ke-19, berkat studi N. I. Lobachevsky, B. Riemann dan J. Boyai, menjadi jelas bahwa postulat kelima tidak dapat diturunkan dari yang lain, dan sistem aksioma yang diajukan oleh Euclid bukanlah satu-satunya yang mungkin.

"Elemen" Euclid memiliki dampak besar pada perkembangan matematika. Selama lebih dari dua ribu tahun, buku ini tidak hanya menjadi buku teks tentang geometri, tetapi juga menjadi titik awal bagi banyak studi matematika, sebagai akibatnya muncul cabang matematika baru yang independen.

Konstruksi geometris yang sistematis biasanya dilakukan sesuai dengan rencana berikut:

SAYA. Konsep geometris utama terdaftar, yang diperkenalkan tanpa definisi.

II. Formulasi aksioma geometri diberikan.

AKU AKU AKU. Atas dasar aksioma dan konsep geometri dasar, konsep dan teorema geometri lainnya dirumuskan.

1. Asal nama geometri Non-Euclidean?
2. Bentuk apa yang disebut segi empat?
3. Properti jajaran genjang?
4. Jenis-jenis segi empat?

Daftar sumber yang digunakan

1. A.G. Tsypkin. Buku Pegangan Matematika
2. “Ujian negara bersatu 2006. Matematika. Materi pendidikan dan pelatihan untuk persiapan siswa / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K.I. "Memecahkan masalah kompetitif utama dalam matematika dari koleksi yang diedit oleh M.I. Scanavi"

Bekerja pada pelajaran

Anda dapat mengajukan pertanyaan tentang pendidikan modern, mengungkapkan ide, atau menyelesaikan masalah mendesak di Forum Pendidikan di mana dewan pendidikan pemikiran dan tindakan segar bertemu secara internasional. Setelah menciptakan blog, Anda tidak hanya akan meningkatkan status Anda sebagai guru yang kompeten, tetapi juga memberikan kontribusi yang signifikan bagi perkembangan sekolah di masa depan. Serikat Pemimpin Pendidikan membuka pintu bagi spesialis peringkat atas dan mengundang Anda untuk bekerja sama dalam menciptakan sekolah terbaik di dunia.

Populer:

• Pasal 282 Penghasutan kebencian atau permusuhan, serta penghinaan martabat manusia
• Kalkulator pajak properti perusahaan Cara menghitung pajak properti perusahaan Formulir perhitungan untuk pembayaran di muka telah berubah. Dimulai dengan pelaporan semester pertama tahun 2017, perhitungan pajak properti perusahaan […]
• Hukum ekologi Selama lebih dari 100 tahun studi komprehensif tentang populasi dan komunitas, sejumlah besar fakta telah terkumpul. Diantaranya - sejumlah besar, mencerminkan fenomena dan proses acak atau tidak teratur. Tapi tidak […]
• Pilihan pemberian pensiun dalam sistem jaminan pensiun wajib Hingga akhir tahun 2015, warga negara yang lahir pada tahun 1967 ke bawah dapat memilih: tetap membentuk tabungan pensiun atau […]
• Perintah Kementerian Pertanian 549 Terdaftar di Kementerian Kehakiman Federasi Rusia tanggal 5 Maret 2009 N 13476 KEMENTERIAN PERTANIAN FEDERASI RUSIA tanggal 16 Desember 2008 N 532 TENTANG PERSETUJUAN KLASIFIKASI BAHAYA KEBAKARAN ALAM HUTAN DAN […]
• Menaikkan pensiun untuk anak penyandang disabilitas mulai 1 Januari 2018 Pemberian pensiun warga negara merupakan kewajiban yang menjadi kewajiban negara. Ini dinyatakan dalam kode hukum negara - dalam Konstitusi. Di antara penyandang disabilitas yang membutuhkan […]
• Aturan tatanan internal JSC RZD JSC "RUSSIAN RAILWAYS" ORDER 26 Juli 2012 N 87 TENTANG PERSETUJUAN ATURAN PERATURAN TENAGA KERJA INTERNAL LAYANAN REGIONAL (DEPARTEMEN) PENGEMBANGAN KOMUNIKASI PENUMPANG DAN […]
• Hukum 3 tahap comte Positivisme sebagai gerakan filosofis berangkat dari gagasan bahwa sebagian besar pengetahuan tentang dunia, manusia dan masyarakat diperoleh dalam ilmu-ilmu khusus, bahwa ilmu "positif" harus meninggalkan upaya […]

Hari ini kita akan mempertimbangkan sosok geometris - segi empat. Dari namanya sudah terlihat jelas bahwa sosok ini memiliki empat sudut. Tetapi karakteristik dan sifat lain dari sosok ini, kami akan pertimbangkan di bawah ini.

Apa itu segi empat

Segi empat adalah poligon yang terdiri dari empat titik (simpul) dan empat segmen (sisi) yang menghubungkan titik-titik ini secara berpasangan. Luas segiempat adalah setengah produk diagonal dan sudut di antara mereka.

Segi empat adalah poligon dengan empat simpul, tiga di antaranya tidak terletak pada garis yang sama.

Jenis-jenis segi empat

• Segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar berpasangan disebut jajaran genjang.
• Suatu segi empat yang dua sisinya berhadapan sejajar dan dua sisi lainnya tidak disebut trapesium.
• Segiempat dengan semua sudut siku-siku adalah persegi panjang.
• Segi empat yang semua sisinya sama adalah belah ketupat.
• Segi empat yang semua sisinya sama dan semua sudutnya siku-siku disebut persegi.

Segi empat dapat berupa:

berpotongan sendiri

tidak cembung

cembung

Segi empat berpotongan sendiri adalah segiempat yang salah satu sisinya memiliki titik potong (berwarna biru pada gambar).

Segi empat tidak cembung adalah segiempat yang salah satu sudut dalamnya lebih dari 180 derajat (ditunjukkan dengan warna jingga pada gambar).

Jumlah sudut setiap segi empat yang tidak berpotongan sendiri selalu sama dengan 360 derajat.

Jenis segiempat khusus

Segi empat dapat memiliki sifat tambahan, membentuk jenis bentuk geometris khusus:

• Genjang
• Persegi panjang
• Persegi
• Rekstok gantung
• Berbentuk delta
• Counterparalelogram

Segi empat dan lingkaran

Segiempat tertulis di sekitar lingkaran (lingkaran tertulis dalam segiempat).

Properti utama dari segi empat yang dibatasi:

Suatu segi empat dapat dibatasi keliling lingkaran jika dan hanya jika jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan sama.

Segi empat tertulis dalam lingkaran (lingkaran tertulis di sekitar segi empat)

Sifat utama segi empat bertulis:

Segi empat dapat ditulisi dalam lingkaran jika dan hanya jika jumlah sudut yang berlawanan adalah 180 derajat.

Sifat panjang sisi segi empat

Modulus selisih dua sisi segiempat tidak melebihi jumlah kedua sisinya yang lain.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Penting. Pertidaksamaan berlaku untuk setiap kombinasi sisi segiempat. Angka tersebut disediakan semata-mata untuk kemudahan pemahaman.

Di segiempat manapun jumlah panjang ketiga sisinya tidak kurang dari panjang sisi keempatnya.

Penting. Saat memecahkan masalah dalam kurikulum sekolah, Anda dapat menggunakan ketidaksetaraan yang ketat (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Definisi. Jajaran genjang adalah segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar berpasangan.

Properti. Dalam jajar genjang, sisi yang berlawanan sama dan sudut yang berlawanan sama.

Properti. Diagonal-diagonal jajaran genjang dibagi dua oleh titik potong.

1 tanda jajaran genjang. Jika dua sisi suatu segiempat sama dan sejajar, maka segiempat tersebut adalah jajaran genjang.

2 tanda jajaran genjang. Jika sisi-sisi yang berlawanan dari suatu segiempat sama berpasangan, maka segiempat itu adalah jajaran genjang.

3 tanda jajaran genjang. Jika dalam segiempat diagonal berpotongan dan titik potongnya dibagi dua, maka segiempat ini adalah jajaran genjang.

Definisi. Trapesium adalah segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar. Sisi paralel disebut tanah.

Trapesium disebut sama kaki (sama kaki) jika sisinya sama. Dalam trapesium sama kaki, sudut alasnya sama.

Trapesium dengan satu sudut siku-siku disebut persegi panjang.

Segmen yang menghubungkan titik tengah sisi disebut garis tengah trapesium. Garis tengah sejajar dengan basis dan sama dengan jumlah setengahnya.

Definisi. Persegi panjang adalah jajaran genjang dengan semua sudut siku-siku.

Properti. Diagonal-diagonal suatu persegi panjang sama.

Tanda persegi panjang. Jika diagonal dalam jajaran genjang sama, maka jajaran genjang ini adalah persegi panjang.

Definisi. Belah ketupat adalah jajaran genjang yang semua sisinya sama.

Properti. Diagonal belah ketupat saling tegak lurus dan membagi dua sudutnya.

Definisi. Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama.

Bujur sangkar adalah jenis persegi panjang tertentu, dan juga jenis belah ketupat tertentu. Oleh karena itu, ia memiliki semua propertinya.

Properti:
1. Semua sudut persegi itu benar

2. Diagonal bujur sangkar sama, saling tegak lurus, titik potong dibagi dua dan sudut bujur sangkar dibagi dua.

Dengan empat sudut dan empat sisi. Segi empat dibentuk oleh polyline tertutup, terdiri dari empat tautan, dan bagian bidang yang ada di dalam polyline.

Penunjukan segi empat terdiri dari huruf-huruf di simpulnya, menamainya secara berurutan. Misalnya, mereka mengatakan atau menulis: segi empat ABCD :

Dalam segi empat ABCD poin A, B, C Dan D- Ini simpul segi empat, segmen AB, SM, CD Dan DA - sisi.

Simpul yang termasuk dalam sisi yang sama disebut berdekatan, simpul yang tidak bertetangga disebut di depan:

Dalam segi empat ABCD puncak A Dan B, B Dan C, C Dan D, D Dan A bertetangga, dan simpul A Dan C, B Dan D- di depan. Sudut yang terletak di simpul yang berdekatan juga disebut tetangga, dan di simpul yang berlawanan - berlawanan.

Sisi segiempat juga dapat dibagi berpasangan menjadi sisi yang berdekatan dan berlawanan: sisi yang memiliki titik sudut yang sama disebut berdekatan(atau terkait), sisi yang tidak memiliki simpul umum - di depan:

Para Pihak AB Dan SM, SM Dan CD, CD Dan DA, DA Dan AB yang berdekatan, dan sisi AB Dan DC, IKLAN Dan SM- di depan.

Jika simpul yang berlawanan dihubungkan oleh suatu segmen, maka segmen tersebut akan disebut diagonal segi empat. Mengingat hanya ada dua pasang simpul yang berlawanan dalam segiempat, maka hanya ada dua diagonal:

Segmen AC Dan BD- diagonal.

Pertimbangkan jenis utama segiempat cembung:

• Rekstok gantung- segiempat di mana sepasang sisi yang berlawanan sejajar satu sama lain, dan pasangan lainnya tidak sejajar.
  • Trapesium sama kaki- trapesium yang sisinya sama.
  • Trapesium persegi panjang Trapesium dengan salah satu sudut siku-siku.
• Genjang Segi empat yang kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar satu sama lain.
  • Persegi panjang Jajaran genjang di mana semua sudutnya sama.
  • Belah ketupat Jajaran genjang dengan semua sisinya sama.
  • Persegi Jajaran genjang dengan sisi dan sudut yang sama. Persegi panjang dan belah ketupat bisa menjadi persegi.

Properti sudut segiempat cembung

Semua segiempat cembung memiliki dua sifat berikut:

1. Setiap sudut internal kurang dari 180°.
2. Jumlah sudut dalam adalah 360°.