Apa yang terjadi jika Anda membaginya dengan 0. Mengapa Anda tidak bisa membaginya dengan nol? Bisakah angka nol dibagi dengan angka? Perhitungan dengan pecahan, pangkat, dan fungsi kompleks

“Kamu tidak bisa membaginya dengan nol!” - Kebanyakan anak sekolah menghafal aturan ini tanpa bertanya.

Semua anak tahu apa itu “kamu tidak bisa” dan apa yang akan terjadi jika Anda bertanya sebagai tanggapannya: “Mengapa?” Namun nyatanya, sangat menarik dan penting untuk mengetahui mengapa hal tersebut tidak mungkin dilakukan.

Masalahnya adalah empat operasi aritmatika - penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian - sebenarnya tidak sama. Matematikawan hanya mengakui dua di antaranya yang valid - penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi ini dan sifat-sifatnya termasuk dalam definisi konsep bilangan. Semua tindakan lain dibangun dengan satu atau lain cara dari keduanya. 5 – 3 Misalnya saja pengurangan. Apa maksudnya? 5 – 3 ? Siswa akan menjawabnya dengan sederhana: Anda perlu mengambil lima benda, mengurangi (menghilangkan) tiga benda tersebut dan melihat berapa banyak yang tersisa. Namun ahli matematika melihat masalah ini dengan cara yang berbeda. Tidak ada pengurangan, yang ada hanyalah penambahan. Oleh karena itu entri 3 berarti angka itu, bila ditambahkan ke suatu angka 5 akan memberikan nomor 5 – 3 . Yaitu hanyalah versi singkat dari persamaan: x + 3 = 5

. Tidak ada pengurangan dalam persamaan ini. Hanya ada tugas - untuk menemukan nomor yang cocok. 8: 4 Hal yang sama juga berlaku pada perkalian dan pembagian. Catatan dapat dipahami sebagai hasil pembagian delapan benda menjadi empat tumpukan yang sama besar. Namun pada kenyataannya, ini hanyalah bentuk persamaan yang disingkat.

4x = 8 5: 0 Di sinilah menjadi jelas mengapa tidak mungkin (atau lebih tepatnya tidak mungkin) membagi dengan nol. Catatan adalah singkatan dari 0x = 5 0 . Artinya, tugasnya adalah mencari bilangan yang jika dikalikan 5 akan memberi 0 . Tapi kita tahu itu jika dikalikan dengan 0 itu selalu berhasil

. Ini adalah properti yang melekat pada nol, sebenarnya, bagian dari definisinya. 0 Suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 5: 0 akan memberikan sesuatu selain nol, itu tidak ada. Artinya, masalah kita tidak ada solusinya. (Ya, ini terjadi; tidak semua masalah punya solusinya.) Artinya catatan

Pembaca yang paling perhatian di tempat ini pasti akan bertanya: apakah mungkin membagi nol dengan nol? Memang persamaannya 0 x = 0 berhasil diselesaikan. Misalnya, Anda dapat mengambil x = 0, dan kemudian kita dapatkan 0 0 = 0. Ternyata 0: 0=0 ? Tapi jangan terburu-buru. Mari kita coba ambil x = 1. Kami mengerti 0 1 = 0. Benar? Cara, 0: 0 = 1 ? Tapi Anda dapat mengambil nomor apa saja dan mendapatkannya 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 dll.

Namun jika ada nomor yang cocok, maka kita tidak punya alasan untuk memilih salah satu di antaranya. Artinya, kita tidak bisa mengatakan nomor mana yang sesuai dengan entri tersebut 0: 0 . Dan jika demikian, maka kita terpaksa mengakui bahwa entri ini juga tidak masuk akal. Ternyata nol pun tidak bisa dibagi nol. (Dalam analisis matematis, ada kasus ketika, karena kondisi tambahan dari masalah, seseorang dapat memberikan preferensi pada salah satu solusi yang mungkin untuk persamaan tersebut. 0 x = 0; Dalam kasus seperti ini, ahli matematika berbicara tentang “ketidakpastian yang sedang berlangsung”, namun kasus seperti itu tidak terjadi dalam aritmatika.)

Inilah kekhasan operasi pembagian. Lebih tepatnya, operasi perkalian dan bilangan yang terkait dengannya memiliki nol.

Nah, orang yang paling teliti, setelah membaca sejauh ini, mungkin bertanya: mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol, tetapi Anda bisa mengurangi nol? Dalam arti tertentu, di sinilah matematika sesungguhnya dimulai. Anda dapat menjawabnya hanya dengan memahami definisi matematika formal dari himpunan numerik dan operasinya. Tidak terlalu sulit, tapi entah kenapa tidak diajarkan di sekolah. Namun dalam perkuliahan matematika di universitas, hal inilah yang akan diajarkan pertama-tama kepada Anda.

Bahkan di sekolah, para guru mencoba menerapkan aturan paling sederhana di kepala kita: “Setiap bilangan yang dikalikan nol sama dengan nol!”, – namun masih banyak kontroversi yang terus bermunculan seputar dirinya. Beberapa orang hanya mengingat aturannya dan tidak memikirkan pertanyaan “mengapa?” “Tidak bisa dan itu saja, karena di sekolah mereka bilang begitu, aturannya adalah aturannya!” Seseorang dapat mengisi setengah buku catatan dengan rumus, membuktikan aturan ini atau, sebaliknya, ketidaklogisannya.

Siapa yang benar pada akhirnya?

Selama perselisihan ini, kedua orang dengan sudut pandang yang berlawanan memandang satu sama lain seperti seekor domba jantan dan membuktikan dengan sekuat tenaga bahwa mereka benar. Meskipun jika Anda melihatnya dari samping, Anda tidak dapat melihat hanya satu, tetapi dua ekor domba jantan, yang saling bertumpu pada tanduknya. Satu-satunya perbedaan di antara mereka adalah bahwa yang satu berpendidikan sedikit lebih rendah dibandingkan yang lain.

Paling sering, mereka yang menganggap aturan ini salah mencoba menggunakan logika seperti ini:

Saya memiliki dua buah apel di meja saya, jika saya menaruh nol buah apel di atasnya, yaitu saya tidak menaruh satu buah apel pun, maka kedua buah apel saya tidak akan hilang! Aturannya tidak masuk akal!

Memang apel tidak akan hilang kemana-mana, tapi bukan karena aturannya tidak logis, tapi karena persamaan yang digunakan di sini sedikit berbeda: 2 + 0 = 2. Jadi mari kita segera membuang kesimpulan ini - ini tidak logis, meskipun memiliki tujuan sebaliknya. - untuk memanggil logika.

Apa itu perkalian

Awalnya aturan perkalian didefinisikan hanya untuk bilangan asli: perkalian adalah suatu bilangan yang dijumlahkan beberapa kali, yang berarti bahwa bilangan tersebut adalah bilangan asli. Jadi, bilangan apa pun yang dikalikan dapat direduksi menjadi persamaan ini:

25×3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25×3 = 25 + 25 + 25

Dari persamaan ini berikut ini perkalian itu adalah penjumlahan yang disederhanakan.

Apa itu nol

Setiap orang tahu sejak masa kanak-kanak: nol adalah kekosongan. Meskipun kekosongan ini memiliki sebutan, ia tidak membawa apa-apa. Ilmuwan Timur kuno berpikir secara berbeda - mereka mendekati masalah ini secara filosofis dan menarik beberapa persamaan antara kekosongan dan ketidakterbatasan dan melihat makna yang dalam dalam angka ini. Lagi pula, nol, yang berarti kekosongan, berdiri di samping bilangan asli apa pun, mengalikannya sepuluh kali lipat. Oleh karena itu semua perselisihan tentang perkalian - angka ini mengandung begitu banyak ketidakkonsistenan sehingga sulit untuk tidak menjadi bingung. Selain itu, nol selalu digunakan untuk menentukan angka kosong dalam pecahan desimal, hal ini dilakukan sebelum dan sesudah koma desimal.

Mungkinkah mengalikan dengan kekosongan?

Anda dapat mengalikannya dengan nol, tetapi tidak ada gunanya, karena, apa pun kata orang, meskipun mengalikan bilangan negatif, Anda tetap akan mendapatkan nol. Cukup mengingat aturan sederhana ini dan jangan pernah menanyakan pertanyaan ini lagi. Faktanya, semuanya lebih sederhana daripada yang terlihat pada pandangan pertama. Tidak ada makna dan rahasia tersembunyi, seperti yang diyakini para ilmuwan kuno. Di bawah ini kami akan memberikan penjelasan paling logis bahwa perkalian ini tidak ada gunanya, karena ketika suatu bilangan dikalikan dengan bilangan tersebut, Anda akan tetap mendapatkan hasil yang sama yaitu nol.

Kembali ke awal, argumen tentang dua apel, 2 kali 0 terlihat seperti ini:

Jika kamu makan dua apel sebanyak lima kali, maka kamu makan 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 apel
Jika kamu makan dua buah apel sebanyak tiga kali, maka kamu makan 2×3 = 2+2+2 = 6 buah apel
Jika Anda makan dua apel nol kali, maka tidak ada yang dimakan - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Lagi pula, makan apel 0 kali berarti tidak makan satu pun. Ini akan terlihat jelas bahkan oleh anak terkecil sekalipun. Suka atau tidak, hasilnya akan 0, dua atau tiga bisa diganti dengan angka berapa pun dan hasilnya akan sama persis. Dan sederhananya nol bukanlah apa-apa, dan kapan kamu punya tidak ada apa-apa, maka berapa kali pun kamu mengalikannya, hasilnya tetap sama akan menjadi nol. Tidak ada keajaiban, dan tidak ada yang bisa menghasilkan sebuah apel, bahkan jika dikalikan 0 dengan satu juta. Ini adalah penjelasan paling sederhana, paling mudah dipahami dan logis tentang aturan perkalian dengan nol. Bagi seseorang yang jauh dari semua rumus dan matematika, penjelasan seperti itu akan cukup untuk mengatasi disonansi di kepala dan segalanya berjalan pada tempatnya.

Divisi

Dari semua hal di atas, aturan penting lainnya berikut ini:

Anda tidak dapat membaginya dengan nol!

Aturan ini juga terus-menerus ditanamkan di kepala kita sejak masa kanak-kanak. Kami hanya tahu bahwa tidak mungkin melakukan segala sesuatu tanpa memenuhi kepala kami dengan informasi yang tidak perlu. Jika tiba-tiba Anda ditanya mengapa dilarang membagi dengan nol, maka sebagian besar akan bingung dan tidak bisa menjawab dengan jelas pertanyaan paling sederhana dari kurikulum sekolah, karena tidak banyak perselisihan dan kontradiksi seputar aturan ini.

Semua orang hanya menghafalkan aturan tersebut dan tidak membaginya dengan nol, tidak curiga bahwa jawabannya tersembunyi di permukaan. Penjumlahan, perkalian, pembagian dan pengurangan tidak sama; dari semua hal di atas, hanya perkalian dan penjumlahan yang sah, dan semua manipulasi angka lainnya dibuat darinya. Artinya, entri 10:2 merupakan singkatan dari persamaan 2*x=10. Artinya entri 10:0 sama dengan singkatan 0*x=10. Ternyata pembagian dengan nol adalah tugas yang harus diselesaikan. temukan angka, kalikan dengan 0, Anda mendapatkan 10 Dan kita telah mengetahui bahwa angka tersebut tidak ada, yang berarti persamaan ini tidak memiliki solusi, dan secara apriori salah.

Izinkan saya memberi tahu Anda,

Agar tidak membagi dengan 0!

Potong 1 sesuai keinginan, memanjang,

Hanya saja, jangan membaginya dengan 0!

“Kamu tidak bisa membaginya dengan nol!” - Kebanyakan anak sekolah menghafal aturan ini tanpa bertanya. Semua anak tahu apa itu “kamu tidak bisa” dan apa yang akan terjadi jika Anda bertanya sebagai tanggapannya: “Mengapa?” Namun nyatanya, sangat menarik dan penting untuk mengetahui mengapa hal tersebut tidak mungkin dilakukan.

Misalnya saja pengurangan. Apa maksudnya 5 – 3? Siswa akan menjawabnya dengan sederhana: Anda perlu mengambil lima benda, mengambil (menghilangkan) tiga benda dan melihat berapa banyak yang tersisa. Namun ahli matematika melihat masalah ini dengan cara yang berbeda. Tidak ada pengurangan, yang ada hanyalah penambahan. Oleh karena itu, notasi 5 – 3 berarti suatu bilangan yang bila dijumlahkan dengan bilangan 3 akan menghasilkan bilangan 5. Artinya, 5 – 3 hanyalah notasi persamaan yang disingkat: x + 3 = 5. Tidak ada pengurangan dalam persamaan ini. Hanya ada tugas - untuk menemukan nomor yang cocok.

Hal yang sama juga berlaku pada perkalian dan pembagian. Entri 8:4 dapat dipahami sebagai hasil pembagian delapan benda menjadi empat tumpukan yang sama besar. Namun kenyataannya, itu hanyalah singkatan dari persamaan 4 x = 8.

Di sinilah menjadi jelas mengapa tidak mungkin (atau lebih tepatnya tidak mungkin) membagi dengan nol. Pencatatan 5 : 0 adalah singkatan dari 0 x = 5. Artinya, tugas ini adalah mencari suatu bilangan yang jika dikalikan 0 akan menghasilkan 5. Namun kita tahu bahwa jika dikalikan 0 hasilnya selalu 0. Ini adalah properti inheren dari nol, sebenarnya, bagian dari definisinya.

Tidak ada bilangan yang jika dikalikan dengan 0 akan menghasilkan selain nol. Artinya, masalah kita tidak ada solusinya. (Ya, hal ini terjadi; tidak semua masalah mempunyai solusinya.) Ini berarti bahwa entri 5:0 tidak sesuai dengan angka tertentu, dan tidak berarti apa-apa, dan karena itu tidak ada artinya. Ketidakbermaknaan entri ini diungkapkan secara singkat dengan mengatakan bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Pembaca yang paling perhatian di tempat ini pasti akan bertanya: apakah mungkin membagi nol dengan nol? Faktanya, persamaan 0 x = 0 dapat diselesaikan dengan aman. Misalnya, kita ambil x = 0, lalu kita peroleh 0 0 = 0. Jadi, 0: 0=0? Tapi jangan terburu-buru. Mari kita coba ambil x = 1. Kita mendapat 0 1 = 0. Benar? Jadi 0:0 = 1? Tapi dengan cara ini Anda bisa mengambil angka berapa saja dan mendapatkan 0:0 = 5, 0:0 = 317, dst.

Namun jika ada nomor yang cocok, maka kita tidak punya alasan untuk memilih salah satu di antaranya. Artinya, kita tidak dapat mengatakan pada nomor mana entri 0:0 berhubungan. Dan jika demikian, maka kita terpaksa mengakui bahwa entri ini juga tidak masuk akal. Ternyata nol pun tidak bisa dibagi nol. (Dalam analisis matematis, ada kasus ketika, karena kondisi tambahan dari masalah, seseorang dapat memberikan preferensi pada salah satu solusi yang mungkin untuk persamaan 0 x = 0; dalam kasus seperti itu, ahli matematika berbicara tentang “mengungkap ketidakpastian”, tetapi dalam aritmatika kasus seperti itu tidak terjadi.)

Inilah kekhasan operasi pembagian. Lebih tepatnya, operasi perkalian dan bilangan yang terkait dengannya memiliki nol.

Nah, orang yang paling teliti, setelah membaca sejauh ini, mungkin bertanya: mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol, tetapi Anda bisa mengurangi nol? Dalam arti tertentu, di sinilah matematika sesungguhnya dimulai. Anda dapat menjawabnya hanya dengan memahami definisi matematika formal dari himpunan numerik dan operasinya. Tidak terlalu sulit, tapi entah kenapa tidak diajarkan di sekolah. Tetapi pada kuliah matematika di universitas, pertama-tama, mereka akan mengajari Anda hal ini.

Kontribusi pembaca sukarela untuk mendukung proyek ini

Evgeniy SHIRYAEV, guru dan kepala Laboratorium Matematika Museum Politeknik, memberi tahu AiF tentang pembagian dengan nol:

1. Yurisdiksi masalah ini

Setuju, yang membuat aturan ini sangat provokatif adalah larangannya. Bagaimana ini tidak dilakukan? Siapa yang melarang? Bagaimana dengan hak-hak sipil kita?

Baik Konstitusi, KUHP, maupun piagam sekolah Anda tidak menolak tindakan intelektual yang kami minati. Artinya larangan tersebut tidak memiliki kekuatan hukum, dan tidak ada yang menghalangi Anda untuk mencoba membagi sesuatu dengan nol di sini, di halaman AiF. Misalnya seribu.

2. Mari kita membagi seperti yang diajarkan

Ingat, saat Anda pertama kali mempelajari cara membagi, contoh pertama diselesaikan dengan pemeriksaan perkalian: hasil yang dikalikan dengan pembagi harus sama dengan pembagiannya. Itu tidak cocok - mereka tidak memutuskan.

Contoh 1. 1000: 0 =...

Mari kita lupakan sejenak aturan terlarang dan lakukan beberapa upaya untuk menebak jawabannya.

Yang salah akan terpotong oleh cek. Coba opsi berikut: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000, ceknya akan memberikan hasil yang sama:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Dengan mengalikan nol, segala sesuatu berubah menjadi dirinya sendiri dan tidak pernah menjadi seribu. Kesimpulannya mudah untuk dirumuskan: tidak ada nomor yang lulus ujian. Artinya, tidak ada bilangan yang merupakan hasil pembagian bilangan bukan nol dengan nol. Pembagian seperti itu tidak dilarang, tetapi tidak membuahkan hasil.

3. Nuansa

Kami hampir melewatkan satu kesempatan untuk membantah larangan tersebut. Ya, kita akui bahwa bilangan bukan nol tidak bisa dibagi 0. Tapi mungkinkah 0 sendiri bisa?

Contoh 2. 0: 0 = ...

Apa saran Anda untuk pribadi? 100? Tolong: hasil bagi 100 dikalikan pembagi 0 sama dengan pembagian 0.

Opsi lainnya! 1? Cocok juga. Dan −23, dan 17, dan itu saja. Dalam contoh ini, hasil tesnya akan positif untuk angka berapa pun. Dan sejujurnya, solusi dalam contoh ini seharusnya disebut bukan bilangan, melainkan himpunan bilangan. Setiap orang. Dan tidak butuh waktu lama untuk menyetujui bahwa Alice bukanlah Alice, melainkan Mary Ann, dan keduanya adalah impian kelinci.

4. Bagaimana dengan matematika tingkat tinggi?

Masalahnya telah terpecahkan, nuansa telah diperhitungkan, titik-titik telah ditempatkan, semuanya menjadi jelas - jawaban dari contoh pembagian dengan nol tidak dapat berupa satu angka. Pemecahan masalah seperti ini tidak ada harapan dan mustahil. Artinya... menarik! Ambil dua.

Contoh 3. Cari tahu cara membagi 1000 dengan 0.

Tapi tidak mungkin. Tapi 1000 bisa dengan mudah dibagi dengan angka lain. Baiklah, setidaknya lakukan apa yang berhasil, meskipun kita mengubah tugasnya. Dan kemudian, Anda tahu, kita terbawa suasana, dan jawabannya akan muncul dengan sendirinya. Mari kita lupakan sejenak angka nol dan membaginya dengan seratus:

Seratus jauh dari nol. Mari kita mengambil langkah ke arah itu dengan mengurangi pembaginya:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamikanya jelas: semakin dekat pembaginya ke nol, semakin besar hasil bagi. Trennya dapat diamati lebih lanjut dengan beralih ke pecahan dan terus mengurangi pembilangnya:

Perlu dicatat bahwa kita bisa mendekati nol sesuka kita, membuat hasil bagi menjadi sebesar yang kita suka.

Dalam proses ini tidak ada angka nol dan tidak ada hasil bagi terakhir. Kami menunjukkan pergerakan ke arah mereka dengan mengganti nomor tersebut dengan barisan yang konvergen ke nomor yang kami minati:

Ini menyiratkan penggantian dividen yang serupa:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Bukan tanpa alasan bahwa panahnya memiliki dua sisi: beberapa barisan dapat menyatu menjadi angka. Kemudian kita dapat mengasosiasikan barisan tersebut dengan limit numeriknya.

Mari kita lihat urutan hasil bagi:

Ia tumbuh tanpa batas, tidak berjuang untuk jumlah berapa pun dan melampaui jumlah apa pun. Matematikawan menambahkan simbol pada angka ∞ untuk dapat menempatkan panah dua sisi di sebelah urutan seperti ini:

Perbandingan dengan banyaknya barisan yang mempunyai limit memungkinkan kita mengusulkan solusi pada contoh ketiga:

Saat membagi barisan yang konvergen hingga 1000 secara elemen dengan barisan bilangan positif yang konvergen ke 0, kita memperoleh barisan yang konvergen ke ∞.

5. Dan inilah nuansa dengan dua angka nol

Berapakah hasil pembagian dua barisan bilangan positif yang konvergen dengan nol? Jika sama, maka satuannya identik. Jika suatu deret dividen konvergen ke nol lebih cepat, maka deret tersebut khususnya adalah deret yang berbatas nol. Dan ketika elemen-elemen pembagi berkurang jauh lebih cepat daripada elemen-elemen pembagi, barisan hasil bagi akan bertambah banyak:

Situasi yang tidak pasti. Dan itulah yang disebut: ketidakpastian jenis 0/0 . Ketika ahli matematika melihat barisan yang sesuai dengan ketidakpastian tersebut, mereka tidak terburu-buru membagi dua bilangan identik satu sama lain, namun mencari tahu barisan mana yang berjalan lebih cepat ke nol dan bagaimana tepatnya. Dan setiap contoh akan memiliki jawaban spesifiknya masing-masing!

6. Dalam hidup

Hukum Ohm menghubungkan arus, tegangan dan hambatan dalam suatu rangkaian. Seringkali ditulis dalam bentuk ini:

Mari kita biarkan diri kita mengabaikan pemahaman fisik yang rapi dan secara formal melihat sisi kanan sebagai hasil bagi dua angka. Bayangkan kita sedang memecahkan masalah sekolah tentang listrik. Kondisi tersebut memberikan tegangan dalam volt dan hambatan dalam ohm. Pertanyaannya jelas, solusinya ada dalam satu tindakan.

Sekarang mari kita lihat definisi superkonduktivitas: ini adalah sifat beberapa logam yang memiliki hambatan listrik nol.

Baiklah, mari kita selesaikan masalah rangkaian superkonduktor? Atur saja R= 0 Jika tidak berhasil, fisika akan memunculkan masalah menarik, yang di baliknya tentu saja ada penemuan ilmiah. Dan orang-orang yang berhasil membagi dengan nol dalam situasi ini menerima Hadiah Nobel. Sangat berguna untuk bisa melewati larangan apa pun!

Angka 0 dapat dibayangkan sebagai semacam batas yang memisahkan dunia bilangan real dari bilangan imajiner atau negatif. Karena posisinya yang ambigu, banyak operasi dengan nilai numerik ini tidak mematuhi logika matematika. Ketidakmungkinan membagi dengan nol adalah contoh utama dari hal ini. Dan operasi aritmatika yang diperbolehkan dengan nol dapat dilakukan dengan menggunakan definisi yang diterima secara umum.

Sejarah nol

Nol adalah titik acuan dalam semua sistem bilangan standar. Orang Eropa mulai menggunakan bilangan ini relatif baru, namun orang bijak di India kuno menggunakan angka nol seribu tahun sebelum bilangan kosong digunakan secara rutin oleh ahli matematika Eropa. Bahkan sebelum bangsa India, nol adalah nilai wajib dalam sistem numerik Maya. Orang-orang Amerika ini menggunakan sistem bilangan duodesimal, dan hari pertama setiap bulan dimulai dengan angka nol. Sangat menarik bahwa di antara bangsa Maya, tanda yang menunjukkan “nol” sepenuhnya bertepatan dengan tanda yang menunjukkan “tak terhingga”. Dengan demikian, bangsa Maya kuno menyimpulkan bahwa besaran-besaran ini identik dan tidak dapat diketahui.

Operasi matematika dengan nol

Operasi matematika standar dengan nol dapat direduksi menjadi beberapa aturan.

Tambahan: jika Anda menambahkan nol ke bilangan sembarang, nilainya tidak akan berubah (0+x=x).

Pengurangan: Saat mengurangkan nol dari bilangan apa pun, nilai pengurangnya tetap tidak berubah (x-0=x).

Perkalian: Bilangan apa pun dikalikan dengan 0 menghasilkan 0 (a*0=0).

Pembagian: Nol dapat dibagi dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol. Dalam hal ini, nilai pecahan tersebut adalah 0. Dan pembagian dengan nol dilarang.

Eksponensial. Tindakan ini dapat dilakukan dengan nomor berapa pun. Bilangan sembarang yang dipangkatkan nol akan menghasilkan 1 (x 0 =1).

Nol pangkat apa pun sama dengan 0 (0 a = 0).

Dalam hal ini, kontradiksi segera muncul: ungkapan 0 0 tidak masuk akal.

Paradoks matematika

Banyak orang tahu dari sekolah bahwa pembagian dengan nol adalah hal yang mustahil. Namun karena alasan tertentu, tidak mungkin menjelaskan alasan larangan tersebut. Sebenarnya kenapa rumus membagi dengan nol tidak ada, padahal tindakan lain dengan angka ini cukup masuk akal dan mungkin dilakukan? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh ahli matematika.

Masalahnya, operasi aritmatika yang biasa dipelajari anak sekolah di sekolah dasar ternyata tidak sama seperti yang kita kira. Semua operasi bilangan sederhana dapat direduksi menjadi dua: penjumlahan dan perkalian. Tindakan-tindakan ini merupakan inti dari konsep bilangan, dan operasi lain dibangun berdasarkan penggunaan keduanya.

Penjumlahan dan Perkalian

Mari kita ambil contoh pengurangan standar: 10-2=8. Di sekolah mereka menganggapnya sederhana: jika Anda mengurangi dua dari sepuluh mata pelajaran, tersisa delapan. Namun ahli matematika memandang operasi ini dengan cara yang sangat berbeda. Bagaimanapun, operasi seperti pengurangan tidak ada untuk mereka. Contoh ini dapat ditulis dengan cara lain: x+2=10. Bagi ahli matematika, perbedaan yang tidak diketahui hanyalah angka yang perlu dijumlahkan menjadi dua untuk menghasilkan delapan. Dan tidak diperlukan pengurangan di sini, Anda hanya perlu mencari nilai numerik yang sesuai.

Perkalian dan pembagian diperlakukan sama. Dalam contoh 12:4=3 Anda dapat memahami bahwa kita sedang membicarakan tentang membagi delapan benda menjadi dua tumpukan yang sama besar. Namun kenyataannya, ini hanyalah rumus terbalik untuk menulis 3x4 = 12. Contoh pembagian seperti itu dapat diberikan tanpa henti.

Contoh pembagian dengan 0

Di sinilah menjadi sedikit jelas mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol. Perkalian dan pembagian dengan nol mengikuti aturannya masing-masing. Semua contoh pembagian besaran ini dapat dirumuskan sebagai 6:0 = x. Tapi ini adalah notasi terbalik dari ekspresi 6 * x=0. Namun, seperti yang Anda ketahui, bilangan apa pun yang dikalikan 0 hanya menghasilkan 0 pada hasil perkaliannya. Sifat ini melekat pada konsep nilai nol.

Ternyata tidak ada bilangan yang jika dikalikan dengan 0 memberikan nilai nyata, yaitu soal ini tidak ada penyelesaiannya. Anda tidak perlu takut dengan jawaban ini; ini adalah jawaban alami untuk masalah seperti ini. Hanya saja rekor 6:0 itu tidak masuk akal dan tidak bisa menjelaskan apa pun. Singkatnya, ungkapan ini dapat dijelaskan dengan ungkapan abadi “pembagian dengan nol adalah hal yang mustahil”.

Apakah ada operasi 0:0? Memangnya kalau operasi perkalian dengan 0 itu sah, apakah nol bisa dibagi nol? Bagaimanapun juga, persamaan dalam bentuk 0x 5=0 cukup sah. Alih-alih angka 5 Anda bisa memasukkan 0, produknya tidak akan berubah.

Memang, 0x0=0. Tapi Anda tetap tidak bisa membaginya dengan 0. Seperti yang dinyatakan, pembagian hanyalah kebalikan dari perkalian. Jadi, jika dalam contoh 0x5=0, Anda perlu menentukan faktor kedua, kita mendapatkan 0x0=5. Atau 10. Atau tak terhingga. Membagi tak terhingga dengan nol - bagaimana Anda menyukainya?

Namun jika ada bilangan yang cocok dengan ekspresi tersebut, maka itu tidak masuk akal; kita tidak dapat memilih satu saja dari bilangan yang jumlahnya tak terhingga. Dan jika demikian, ini berarti ungkapan 0:0 tidak masuk akal. Ternyata nol itu sendiri pun tidak bisa dibagi nol.

Matematika yang lebih tinggi

Pembagian dengan nol membuat pusing matematika sekolah menengah. Analisis matematika yang dipelajari di universitas teknik sedikit memperluas konsep masalah yang tidak ada solusinya. Misalnya, pada ekspresi 0:0 yang sudah diketahui, ditambahkan ekspresi baru yang tidak memiliki solusi dalam kursus matematika sekolah:

tak terhingga dibagi tak terhingga: ∞:∞;
tak terhingga dikurangi tak terhingga: ∞−∞;
satuan yang dipangkatkan hingga tak terhingga: 1 ∞ ;
tak terhingga dikalikan 0: ∞*0;
beberapa lainnya.

Tidak mungkin menyelesaikan ekspresi seperti itu menggunakan metode dasar. Namun matematika tingkat tinggi, berkat kemungkinan tambahan untuk sejumlah contoh serupa, memberikan solusi akhir. Hal ini terutama terlihat ketika mempertimbangkan masalah-masalah dari teori limit.

Membuka Ketidakpastian

Dalam teori limit, nilai 0 diganti dengan variabel bersyarat yang sangat kecil. Dan ekspresi di mana, ketika nilai yang diinginkan disubstitusikan, pembagian dengan nol diperoleh, diubah. Di bawah ini adalah contoh standar perluasan batas menggunakan transformasi aljabar biasa:

Seperti yang dapat Anda lihat dalam contoh, pengurangan pecahan saja akan membawa nilainya ke jawaban yang sepenuhnya rasional.

Saat mempertimbangkan limit fungsi trigonometri, ekspresinya cenderung direduksi hingga limit pertama yang luar biasa. Ketika mempertimbangkan limit yang penyebutnya menjadi 0 ketika limitnya diganti, digunakan limit luar biasa kedua.

Metode L'Hopital

Dalam beberapa kasus, limit ekspresi dapat diganti dengan limit turunannya. Guillaume L'Hopital - Ahli matematika Perancis, pendiri sekolah analisis matematika Perancis. Ia membuktikan bahwa limit suatu ekspresi sama dengan limit turunan dari ekspresi tersebut. Dalam notasi matematika, aturannya terlihat seperti ini.