Dua matriks diberikan. Tugas untuk ujian pada disiplin ilmu “Aljabar Linier”

DEFINISI MATRIKS. JENIS MATRIK

Matriks berukuran m× N disebut satu set M N angka-angka yang disusun dalam tabel persegi panjang M garis dan N kolom. Tabel ini biasanya diapit tanda kurung. Misalnya, matriksnya mungkin terlihat seperti:

Agar singkatnya, suatu matriks dapat dilambangkan dengan satu huruf kapital, misalnya, A atau DI DALAM.

Secara umum, matriks ukuran M× N tulislah seperti ini

.

Bilangan-bilangan yang menyusun matriks tersebut disebut elemen matriks. Lebih mudah untuk menyediakan elemen matriks dengan dua indeks sebuah ij: Yang pertama menunjukkan nomor baris dan yang kedua menunjukkan nomor kolom. Misalnya, sebuah 23– elemen berada pada baris ke-2, kolom ke-3.

Jika suatu matriks mempunyai jumlah baris yang sama dengan jumlah kolom, maka matriks tersebut disebut persegi, dan jumlah baris atau kolomnya disebut secara berurutan matriks. Pada contoh di atas, matriks kedua berbentuk persegi dengan orde 3, dan matriks keempat berorde 1.

Matriks yang jumlah barisnya tidak sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks persegi panjang. Dalam contoh ini adalah matriks pertama dan matriks ketiga.

Ada pula matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom.

Matriks yang hanya memiliki satu baris disebut matriks - baris(atau string), dan matriks dengan hanya satu kolom matriks - kolom.

Matriks yang semua elemennya nol disebut batal dan dilambangkan dengan (0), atau cukup 0. Misalnya,

.

Diagonal utama matriks persegi kita sebut diagonal dari kiri atas ke pojok kanan bawah.

Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya sama dengan nol disebut segitiga matriks.

.

Matriks persegi yang semua elemennya, kecuali elemen pada diagonal utamanya sama dengan nol, disebut matriks persegi diagonal matriks. Misalnya, atau.

Matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama dengan satu disebut lajang matriks dan dilambangkan dengan huruf E. Misalnya matriks identitas orde 3 berbentuk .

TINDAKAN PADA MATRIK

Kesetaraan matriks. Dua matriks A Dan B Dikatakan sama jika keduanya mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama serta elemen-elemen yang bersesuaian sama sebuah ij = b ij. Jadi jika Dan , Itu SEBUAH=B, Jika a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Dan a 22 = b 22.

Mengubah urutan. Pertimbangkan matriks arbitrer A dari M garis dan N kolom. Hal ini dapat dikaitkan dengan matriks berikut B dari N garis dan M kolom yang setiap barisnya merupakan kolom matriks A dengan bilangan yang sama (maka setiap kolom merupakan baris matriks A dengan nomor yang sama). Jadi jika , Itu .

matriks ini B ditelepon dialihkan matriks A, dan transisi dari A Ke transposisi B.

Jadi, transposisi adalah pembalikan peran baris dan kolom suatu matriks. Matriks dialihkan ke matriks A, biasanya dilambangkan PADA.

Komunikasi antar matriks A dan transposnya dapat ditulis dalam bentuk .

Misalnya. Temukan matriks yang ditransposisikan dari matriks yang diberikan.

Penambahan matriks. Biarkan matriksnya A Dan B terdiri dari jumlah baris yang sama dan jumlah kolom yang sama, yaitu memiliki ukuran yang sama. Kemudian untuk menjumlahkan matriks A Dan B diperlukan untuk elemen matriks A menambahkan elemen matriks B berdiri di tempat yang sama. Jadi, jumlah dua matriks A Dan B disebut matriks C, yang ditentukan oleh aturan, misalnya,

Contoh. Temukan jumlah matriks:

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa penjumlahan matriks mematuhi hukum berikut: komutatif A+B=B+A dan asosiatif ( A+B)+C=A+(B+C).

Mengalikan matriks dengan angka. Untuk mengalikan matriks A per nomor k setiap elemen matriks diperlukan A kalikan dengan angka ini. Jadi, produk matriks A per nomor k ada matriks baru, yang ditentukan oleh aturan atau .

Untuk nomor apa pun A Dan B dan matriks A Dan B persamaan berikut berlaku:

Contoh.

Perkalian matriks. Operasi ini dilakukan menurut hukum khusus. Pertama-tama, kita perhatikan bahwa ukuran matriks faktor harus konsisten. Anda hanya dapat mengalikan matriks-matriks yang jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua (yaitu, panjang baris pertama sama dengan tinggi kolom kedua). Pekerjaan matriks A bukan matriks B disebut matriks baru C=AB, yang unsur-unsurnya tersusun sebagai berikut:

Jadi, misalnya, untuk memperoleh produk (yaitu dalam matriks C) elemen yang terletak pada baris ke-1 dan kolom ke-3 dari 13, Anda perlu mengambil baris ke-1 pada matriks ke-1, kolom ke-3 pada matriks ke-2, lalu mengalikan elemen baris dengan elemen kolom yang sesuai dan menjumlahkan hasil perkaliannya. Dan elemen lain dari matriks produk diperoleh dengan menggunakan produk serupa dari baris matriks pertama dan kolom matriks kedua.

Secara umum, jika kita mengalikan suatu matriks SEBUAH = (a ij) ukuran M× N ke matriks B = (b ij) ukuran N× P, lalu kita mendapatkan matriksnya C ukuran M× P, yang elemennya dihitung sebagai berikut: elemen c ij diperoleh sebagai hasil perkalian unsur-unsur Saya baris ke-matriks A ke elemen yang sesuai J kolom matriks ke-th B dan tambahannya.

Dari aturan ini dapat disimpulkan bahwa Anda selalu dapat mengalikan dua matriks persegi berorde sama, dan sebagai hasilnya kita memperoleh matriks persegi berorde sama. Secara khusus, matriks persegi selalu dapat dikalikan dengan dirinya sendiri, mis. persegi itu.

Kasus penting lainnya adalah perkalian matriks baris dengan matriks kolom, dan lebar matriks pertama harus sama dengan tinggi matriks kedua, sehingga menghasilkan matriks orde pertama (yaitu satu elemen). Benar-benar,

.

Contoh.

Jadi, contoh sederhana ini menunjukkan bahwa matriks, secara umum, tidak saling berpindah-pindah, yaitu. A∙B ≠ B∙A . Oleh karena itu, ketika mengalikan matriks, Anda perlu memantau dengan cermat urutan faktornya.

Dapat dibuktikan bahwa perkalian matriks mengikuti hukum asosiatif dan distributif, yaitu. (AB)C=A(BC) Dan (A+B)C=AC+BC.

Juga mudah untuk memeriksanya saat mengalikan matriks persegi A ke matriks identitas E dengan orde yang sama kita kembali memperoleh matriks A, Dan AE=EA=A.

Fakta menarik berikut dapat diperhatikan. Seperti yang Anda ketahui, hasil kali 2 bilangan bukan nol tidak sama dengan 0. Untuk matriks, hal ini mungkin tidak berlaku, yaitu. hasil kali 2 matriks bukan nol bisa saja sama dengan matriks nol.

Misalnya, Jika , Itu

.

KONSEP DETERMINAN

Misalkan diberikan matriks orde kedua - matriks persegi yang terdiri dari dua baris dan dua kolom .

Penentu orde kedua, yang bersesuaian dengan matriks ini, adalah bilangan yang diperoleh sebagai berikut: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Penentunya ditunjukkan dengan simbol .

Jadi, untuk mencari determinan orde kedua, Anda perlu mengurangkan hasil kali elemen-elemen sepanjang diagonal kedua dari hasil kali elemen-elemen diagonal utama.

Contoh. Hitung determinan orde kedua.

Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan matriks orde ketiga dan determinannya yang bersesuaian.

Penentu orde ketiga, yang sesuai dengan matriks persegi orde ketiga tertentu, adalah bilangan yang dilambangkan dan diperoleh sebagai berikut:

.

Jadi, rumus ini memberikan perluasan determinan orde ketiga dalam elemen-elemen baris pertama angka 11, angka 12, angka 13 dan mereduksi penghitungan determinan orde ketiga menjadi penghitungan determinan orde kedua.

Contoh. Hitung determinan orde ketiga.

Demikian pula, seseorang dapat memperkenalkan konsep determinan keempat, kelima, dst. pesanan, menurunkan urutannya dengan memperluas ke elemen baris pertama, dengan tanda “+” dan “–” dari suku-suku tersebut bergantian.

Jadi, berbeda dengan matriks yang merupakan tabel bilangan, determinan adalah bilangan yang diberikan pada matriks dengan cara tertentu.

terdiri dari T garis dan N kolom disebut matriks ukuran N× M. Angka A 11 , A 12 , ..., A M N dipanggil dia elemen. Tabel yang menyatakan matriks ditulis dalam tanda kurung dan dilambangkan SEBUAH = (sebuah aku j ).

Jika jumlah baris suatu matriks sama dengan jumlah kolomnya, maka matriks tersebut disebut persegi, dan jumlah barisnya sama dengan jumlah kolom - secara berurutan matriks persegi.

Himpunan semua elemen matriks persegi yang terletak pada ruas yang menghubungkan sudut kiri atas dengan sudut kanan bawah disebut diagonal utama, dan pada segmen yang menghubungkan sudut kanan atas dengan kiri bawah - sisi diagonal.

Matriks persegi disebut diagonal, jika semua elemennya yang tidak terletak pada diagonal utama sama dengan nol. Matriks persegi yang elemen-elemen sepanjang diagonal utamanya sama dengan satu dan sisanya nol disebut lajang dan ditunjuk E.

Kedua matriks tersebut disebut setara jika jumlah baris dan kolomnya sama dan jika elemen-elemen yang bersesuaian pada matriks-matriks tersebut juga sama.

Matriks yang semua elemennya nol disebut batal dan dilambangkan dengan N.

Menurut definisi, untuk mengalikan matriks A untuk bilangan r, Anda memerlukan setiap elemen matriks A kalikan dengan r.

Contoh. Diberikan sebuah matriks SEBUAH =
, cari matriks 3 A.

3 SEBUAH = 3
=

Jumlah matriks A Dan DI DALAM disebut matriks C yang unsur-unsurnya sama dengan jumlah unsur-unsur matriks yang bersesuaian A Dan DI DALAM. Hanya matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama yang dapat dijumlahkan.

Contoh. Diberikan matriks SEBUAH =
Dan DI DALAM =
. Temukan matriks C = SEBUAH + B.

C =

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

A+B=B+A

(A + B)+ C = SEBUAH+ (B + C)

A + N = A

Produk matriks A ke matriks DI DALAM didefinisikan hanya jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks DI DALAM. Hasil perkaliannya adalah matriks AB, yang mempunyai jumlah baris yang sama dengan matriksnya A, dan jumlah kolom yang sama dengan yang ada pada matriks DI DALAM.

Produk dari dua matriks A (M× P) Dan DI DALAM(P× N) disebut matriks DENGAN (M× N), yang unsur-unsurnya ditentukan oleh aturan

DENGAN aku j =

Komentar. Untuk mengalikan dua matriks diperlukan unsur-unsurnya Saya kalikan baris ke-matriks pertama dengan elemen-elemennya J kolom matriks kedua dan tambahkan produk yang dihasilkan. Mari kita ambil elemen matriks baru dengan indeks aku j.

Contoh. Diberikan matriks a dan b. ;. Temukan produk matriks ab.

AB=

=
=

Contoh. Diberikan matriks A Dan DI DALAM. A=
Dan B = .

Larutan: SEBUAH =(2X3), DI DALAM= (3X2) => AB =(2X2)

AB=
 =
=

Sifat-sifat perkalian matriks:

AB VA;

(AB)C=A(BC);

AE= EA= A

(AB)k = (AB)k= A(Bk)

(A+B)C = AB +BC

A(B+C) = AB + AC/

Matriks yang ditransposisikan A T adalah matriks yang barisnya ditulis sebagai pengganti kolom, dan kolomnya ditulis sebagai pengganti baris.

Contoh. Biarkan matriks diberikan SEBUAH=
, Kemudian

A T =

Penentu.

Penentu orde kedua sesuai dengan matriks A =
, memanggil nomor tersebut
=A 11 A 22 - A 12 A 21 .

Contoh. Hitung menggunakan determinan orde kedua.

= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.

Penentu orde ketiga sesuai dengan matriks

A =
, memanggil nomor tersebut
=A 11 A 22 A 33 +a 12 A 23 A 31 + sebuah 13 A 21 A 32 - A 13 A 22 A 31 - A 12 A 21 A 33 -A 11 A 23 A 32.

Untuk mengingat hasil perkalian ruas kanan persamaan mana yang harus diambil dengan tanda “+” dan mana yang bertanda “-”, aturan yang berguna disebut aturan segitiga, ditunjukkan pada Gambar. 1.

« + » « - »

Gambar 1.

Contoh. Hitung determinan

Cara kedua untuk menghitung determinan orde ketiga adalah dengan menjumlahkan dua kolom pertama, mencari hasil kali sepanjang diagonal utama dan sejajar dengannya, serta sepanjang diagonal sekunder dan sejajar dengannya.

= A 11 A 22 A 33 +a 12 A 23 A 31 + sebuah 13 A 21 A 32 - A 13 A 22 A 31 - A 12 A 21 A 33 -A 11 A 23 A 32.

Sifat-sifat determinan:

Jika dua baris (kolom) ditukar pada determinan, maka tandanya akan berubah menjadi sebaliknya.

Jika baris dan kolom determinan ditukar, maka tanda dan besarnya tidak berubah.

Jika dua garis pada determinan sebanding (sama besar), maka sama dengan nol.

Jika suatu baris (kolom) pada determinan dikalikan dengan suatu bilangan tertentu dan dijumlahkan dengan baris (kolom) yang lain, maka nilainya tidak akan berubah.

Jika pada suatu determinan unsur-unsur suatu baris (kolom) mempunyai faktor persekutuan, maka unsur-unsur tersebut dapat dikeluarkan dari tanda determinannya.

Jika determinan berisi baris atau kolom nol, maka determinannya sama dengan nol.

kecil m aku j elemen penentu A aku j adalah determinan yang diperoleh dari aslinya dengan menghapus Saya- oh garis dan J kolom tempat elemen ini berada.

Komplemen aljabar A aku j elemen penentu A aku j disebut minor dikalikan (-1) Saya + J .

Cara ketiga untuk menghitung determinan adalah dengan menggunakan teorema dekomposisi.

Teorema dekomposisi: Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris (kolom) dan komplemen aljabarnya.

Contoh. Hitung determinan orde ketiga , memperluas determinan ke dalam elemen baris pertama.

= 5· (-1) 1+1 · + 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.

Penentu yang sama dapat dihitung menggunakan properti 4), dan kemudian teorema dekomposisi dapat diterapkan. Dalam contoh kita, kita membuat angka nol di kolom pertama. Untuk melakukan ini, kita menambahkan elemen baris pertama ke elemen baris kedua, dikalikan 5, dan ke elemen baris ketiga kita menambahkan elemen baris kedua, dikalikan 7. Dan kita menguraikan hasilnya matriks ke dalam elemen kolom pertama.

=
= 0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.

instruksi. Untuk solusi online, Anda perlu menentukan ekspresi matriks. Pada tahap kedua, dimensi matriks perlu diperjelas.

Operasi yang valid: perkalian (*), penjumlahan (+), pengurangan (-), invers matriks A^(-1), eksponen (A^2, B^3), transposisi matriks (A^T).
Untuk melakukan daftar operasi, gunakan pemisah titik koma (;). Misalnya, untuk melakukan tiga operasi:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
Anda perlu menulisnya seperti ini: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matriks adalah tabel numerik berbentuk persegi panjang dengan m baris dan n kolom, sehingga matriks tersebut secara skematis dapat direpresentasikan sebagai persegi panjang.
Matriks nol (matriks nol) adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol dan dilambangkan dengan 0.
Matriks identitas disebut matriks persegi yang bentuknya

Mari kita definisikan operasi dasar pada matriks.

Penambahan matriks

Contoh 6. .
Operasi penjumlahan matriks berlaku untuk sejumlah suku berapa pun. Jelas sekali A+0=A .
Mari kita tekankan sekali lagi bahwa hanya matriks dengan ukuran yang sama yang dapat dijumlahkan; Untuk matriks dengan ukuran berbeda, operasi penjumlahan tidak ditentukan.

Pengurangan matriks

Perkalian matriks

Contoh 7. Diberikan matriks Dan . Tentukan matriks C = A·B dan D = B·A.
Larutan. Pertama-tama, perhatikan bahwa hasil kali A·B ada karena jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B.

Contoh 8. Diberikan sebuah matriks . Temukan 3A 2 – 2A.
Larutan.

.
; .
.
Mari kita simak fakta menarik berikut ini.
Seperti yang Anda ketahui, hasil kali dua bilangan bukan nol tidak sama dengan nol. Untuk matriks, keadaan serupa mungkin tidak terjadi, yaitu hasil kali matriks bukan nol bisa saja sama dengan matriks nol.