Definisi 3. Benda revolusi adalah benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar pada suatu sumbu yang tidak memotong bangun tersebut dan terletak pada bidang yang sama dengannya.

Sumbu rotasi dapat memotong suatu bangun jika sumbu tersebut merupakan sumbu simetri bangun tersebut.

Teorema 2.
, sumbu
dan segmen lurus
Dan

berputar pada suatu sumbu
. Kemudian volume benda revolusi yang dihasilkan dapat dihitung dengan menggunakan rumus

(2)

Bukti. Untuk benda seperti itu, penampang dengan absis adalah lingkaran berjari-jari
, Cara
dan rumus (1) memberikan hasil yang diperlukan.

Jika gambar tersebut dibatasi oleh grafik dua fungsi kontinu
Dan
, dan segmen garis
Dan
, Dan
Dan
, kemudian ketika berputar mengelilingi sumbu x kita memperoleh benda yang volumenya

Contoh 3. Hitung volume torus yang diperoleh dengan memutar lingkaran yang dibatasi oleh lingkaran

di sekitar sumbu absis.

R keputusan. Lingkaran yang ditunjukkan di bawah dibatasi oleh grafik fungsi
, dan dari atas –
. Selisih kuadrat fungsi tersebut:

Volume yang dibutuhkan

(grafik integralnya adalah setengah lingkaran atas, jadi integral yang ditulis di atas adalah luas setengah lingkaran).

Contoh 4. Ruas parabola dengan alas
, dan tinggi badan , berputar di sekitar pangkalan. Hitung volume benda yang dihasilkan (“lemon” oleh Cavalieri).

R keputusan. Kami akan menempatkan parabola seperti yang ditunjukkan pada gambar. Lalu persamaannya
, Dan
. Mari kita cari nilai parameternya :
. Jadi, volume yang dibutuhkan:

Teorema 3. Misalkan trapesium lengkung dibatasi oleh grafik fungsi non-negatif kontinu
, sumbu
dan segmen lurus
Dan
, Dan
, berputar di sekitar sumbu
. Kemudian volume benda revolusi yang dihasilkan dapat dicari dengan menggunakan rumus

(3)

Ide pembuktian. Kami membagi segmennya
titik

, menjadi beberapa bagian dan menggambar garis lurus
. Seluruh trapesium akan didekomposisi menjadi potongan-potongan, yang dapat dianggap kira-kira persegi panjang dengan alasnya
dan tinggi badan
.

Kami memotong silinder yang dihasilkan dengan memutar persegi panjang tersebut di sepanjang matriks generatriknya dan membuka lipatannya. Kami mendapatkan paralelepiped "hampir" dengan dimensi:
,
Dan
. Volumenya
. Jadi, untuk volume suatu benda revolusi kita akan mendapatkan persamaan perkiraan

Untuk mendapatkan kesetaraan yang tepat, seseorang harus mencapai batas di
. Jumlah yang tertulis di atas merupakan jumlah integral dari fungsi tersebut
, oleh karena itu, pada limitnya kita memperoleh integral dari rumus (3). Teorema tersebut telah terbukti.

Catatan 1. Dalam Teorema 2 dan 3 kondisinya
dapat dihilangkan: rumus (2) umumnya tidak peka terhadap tanda
, dan pada rumus (3) sudah cukup
ganti dengan
.

Contoh 5. Segmen parabola (dasar
, tinggi ) berputar mengelilingi ketinggian. Temukan volume benda yang dihasilkan.

Larutan. Mari kita letakkan parabola seperti yang ditunjukkan pada gambar. Dan meskipun sumbu rotasi memotong gambar tersebut, sumbunya - adalah sumbu simetri. Oleh karena itu, kita hanya perlu mempertimbangkan separuh segmen kanan saja. persamaan parabola
, Dan
, Cara
. Untuk volume yang kami punya:

Catatan 2. Jika batas lengkung trapesium lengkung diberikan oleh persamaan parametrik
,
,
Dan
,
maka anda bisa menggunakan rumus (2) dan (3) dengan penggantinya pada
Dan
pada
ketika berubah T dari
ke .

Contoh 6. Angka tersebut dibatasi oleh busur pertama sikloid
,
,
, dan sumbu x. Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar gambar ini di sekitar: 1) sumbu
; 2) sumbu
.

Larutan. 1) Rumus umum
Dalam kasus kami:

2) Rumus umum
Untuk sosok kita:

Kami mengajak siswa untuk melakukan sendiri semua perhitungannya.

Catatan 3. Biarkan suatu sektor melengkung dibatasi oleh garis kontinu
dan sinar
,

, berputar di sekitar sumbu kutub. Volume benda yang dihasilkan dapat dihitung dengan menggunakan rumus.

Contoh 7. Bagian dari bangun datar yang dibatasi oleh cardioid
, berbaring di luar lingkaran
, berputar di sekitar sumbu kutub. Temukan volume benda yang dihasilkan.

Larutan. Kedua garis, dan karena itu batasnya, adalah simetris terhadap sumbu kutub. Oleh karena itu, perlu untuk mempertimbangkan hanya bagian yang mana
. Kurva berpotongan di
Dan

pada
. Selanjutnya, angka tersebut dapat dianggap sebagai selisih dua sektor, dan oleh karena itu volume dapat dihitung sebagai selisih dua integral. Kami memiliki:

Tugas untuk keputusan independen.

1. Ruas lingkaran yang alasnya
, tinggi , berputar di sekitar pangkalan. Temukan volume benda revolusi.

2. Tentukan volume paraboloid revolusi yang alasnya , dan tingginya adalah .

3. Gambar yang dibatasi oleh asteroid
,
berputar mengelilingi sumbu absis. Temukan volume benda yang dihasilkan.

4. Gambar dibatasi oleh garis
Dan
berputar mengelilingi sumbu x. Temukan volume benda revolusi.

I. Volume badan-badan revolusi. Pelajari terlebih dahulu Bab XII paragraf 197, 198 dari buku teks karya G. M. Fikhtengolts * Analisislah secara rinci contoh-contoh yang diberikan pada paragraf 198.

508. Hitung volume benda yang dibentuk dengan memutar elips mengelilingi sumbu Sapi.

Dengan demikian,

530. Tentukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu Ox busur sinusoidal y = sin x dari titik X = 0 ke titik X = It.

531. Hitung luas permukaan kerucut dengan tinggi h dan jari-jari r.

532. Hitung luas permukaan yang terbentuk

rotasi astroid x3 -)- y* - a3 mengelilingi sumbu Sapi.

533. Hitung luas permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran kurva 18 ug - x (6 - x) z mengelilingi sumbu Ox.

534. Tentukan permukaan torus yang dihasilkan oleh rotasi lingkaran X2 - j - (y-3)2 = 4 mengelilingi sumbu Ox.

535. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh perputaran lingkaran X = biaya, y = aint terhadap sumbu Ox.

536. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh putaran lingkaran kurva x = 9t2, y = St - 9t3 mengelilingi sumbu Ox.

537. Tentukan luas permukaan yang dibentuk oleh perputaran busur kurva x = e*sint, y = el cost pada sumbu Ox

dari t = 0 sampai t = —.

538. Tunjukkan bahwa permukaan yang dihasilkan oleh rotasi busur sikloid x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) mengelilingi sumbu Oy sama dengan 16 u2 o2.

539. Temukan permukaan yang diperoleh dengan memutar cardioid di sekitar sumbu kutub.

540. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi lemniscate Di sekitar sumbu kutub.

Tugas tambahan untuk Bab IV

Luas bangun datar

541. Temukan seluruh luas daerah yang dibatasi oleh kurva Dan sumbu Sapi.

542. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Dan sumbu Sapi.

543. Tentukan bagian luas daerah yang terletak pada kuadran pertama dan dibatasi oleh kurva

aku mengoordinasikan sumbu.

544. Temukan luas daerah yang terdapat di dalamnya

loop:

545. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh satu putaran kurva:

546. Temukan luas daerah yang terdapat di dalam lingkaran:

547. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Dan sumbu Sapi.

548. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Dan sumbu Sapi.

549. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu Oxr

lurus dan melengkung

Kecuali mencari luas bangun datar menggunakan integral tertentu (lihat 7.2.3.) penerapan topik yang paling penting adalah perhitungan volume suatu benda revolusi. Materinya sederhana, tapi pembaca harus siap: harus bisa menyelesaikannya integral tak tentu kompleksitas sedang dan terapkan rumus Newton-Leibniz di integral tertentu, n Anda juga membutuhkan keterampilan menggambar yang kuat. Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas bangun, volume rotasi benda, panjang busur, luas permukaan benda; dan banyak lagi. Bayangkan suatu bangun datar pada bidang koordinat. Diperkenalkan? ... Sekarang angka ini juga dapat diputar, dan diputar dengan dua cara:

– di sekitar sumbu x ;

– di sekitar sumbu ordinat .

Mari kita lihat kedua kasus tersebut. Metode rotasi kedua sangat menarik; metode ini menyebabkan kesulitan paling besar, namun sebenarnya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

Perhitungan volume suatu benda yang dibentuk dengan memutar suatu bangun datar pada suatu sumbu SAPI

Contoh 1

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti halnya dalam masalah pencarian luas, penyelesaiannya dimulai dengan menggambar bangun datar. Artinya, di pesawat XOY kita perlu membuat bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut menentukan sumbunya. Gambar di sini cukup sederhana:

Bentuk datar yang diinginkan diberi warna biru; Hasil rotasinya menghasilkan piring terbang agak bulat telur dengan dua puncak tajam pada porosnya SAPI, simetris terhadap sumbu SAPI. Sebenarnya benda tersebut memiliki nama matematika, lihat di buku referensi.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda yang berotasi? Jika suatu benda terbentuk sebagai hasil perputaran pada suatu sumbuSAPI, secara mental dibagi menjadi lapisan paralel dengan ketebalan kecil dx, yang tegak lurus terhadap sumbu SAPI. Volume seluruh benda jelas sama dengan jumlah volume lapisan-lapisan dasar tersebut. Setiap lapisan, seperti irisan lemon bulat, tingginya berbentuk silinder rendah dx dan dengan radius dasar F(X). Maka volume satu lapisan adalah hasil kali luas alas π F 2 per tinggi silinder ( dx), atau π∙ F 2 (X)∙dx. Dan luas seluruh benda rotasi adalah jumlah volume dasar, atau integral tertentu yang bersesuaian. Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Cara menentukan batas integrasi “a” dan “be” dapat dengan mudah ditebak dari gambar yang sudah selesai. Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di puncaknya. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus. Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu SAPI. Ini tidak mengubah apa pun - fungsi dalam rumus dikuadratkan: F 2 (X), Dengan demikian, volume suatu badan revolusi selalu non-negatif, yang sangat logis. Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang telah kami catat, integralnya hampir selalu sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, Anda harus menunjukkan dimensi - satuan kubik. Artinya, dalam benda rotasi kita terdapat kurang lebih 3,35 “kubus”. Mengapa kubik unit? Karena ini adalah formulasi yang paling universal. Mungkin ada sentimeter kubik, mungkin ada meter kubik, mungkin ada kilometer kubik, dll., itulah jumlah manusia hijau yang dapat dimasukkan ke dalam piring terbang dalam imajinasi Anda.

Contoh 2

Temukan volume benda yang dibentuk oleh rotasi pada suatu sumbu SAPI bangun datar yang dibatasi oleh garis,,.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar bangun yang dibatasi oleh garis , , dan mengelilingi sumbu absis.

Larutan: Mari kita gambarkan dalam gambar sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa melupakan persamaannya X= 0 menentukan sumbu oh:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Saat berputar pada suatu sumbu SAPI hasilnya adalah donat bersudut datar (mesin cuci dengan dua permukaan berbentuk kerucut).

Mari kita hitung volume benda rotasi sebagai perbedaan volume benda. Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Saat berputar pada suatu sumbu SAPI hasilnya kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan V 1 .

Perhatikan gambar yang dilingkari warna hijau. Jika Anda memutar angka ini di sekitar sumbu SAPI, maka Anda mendapatkan kerucut terpotong yang sama, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan V 2 .

Jelas sekali perbedaan volumenya V = V 1 - V 2 adalah volume "donat" kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda rotasi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume benda rotasi yang diinginkan:

Menjawab:

Menariknya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa dengan menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di bagian atas. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumusnya dikuadratkan: demikian integralnya selalu non-negatif , yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, Anda harus menunjukkan dimensi - satuan kubik. Artinya, dalam benda rotasi kita terdapat kurang lebih 3,35 “kubus”. Mengapa kubik unit? Karena formulasinya paling universal. Mungkin ada sentimeter kubik, mungkin ada meter kubik, mungkin ada kilometer kubik, dll., itulah jumlah manusia hijau yang dapat dimasukkan ke dalam piring terbang dalam imajinasi Anda.

Contoh 2

Tentukan volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh garis,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis gambar yang dibatasi oleh garis ,, dan

Larutan: Mari kita gambarkan pada gambar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis ,,,, tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda revolusi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan.

Perhatikan gambar yang dilingkari warna hijau.

Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan.

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda revolusi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

Menjawab:

3) Volume benda rotasi yang diinginkan:

Anehnya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris. Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, seperti yang diperhatikan oleh Perelman (yang lain) dalam bukunya Geometri yang menghibur

Secara umum, sistem pendidikan di Uni Soviet memang yang terbaik. Buku yang sama karya Perelman, yang diterbitkan pada tahun 1950, berkembang dengan sangat baik, seperti yang dikatakan sang komedian, memikirkan dan mengajarkan Anda untuk mencari solusi orisinal dan non-standar terhadap masalah. Saya baru-baru ini membaca ulang beberapa bab dengan penuh minat, saya merekomendasikannya, ini dapat diakses bahkan oleh para humanis. Tidak, Anda tidak perlu tersenyum karena saya menawarkan waktu luang, pengetahuan dan wawasan luas dalam komunikasi adalah hal yang hebat.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis,, dimana.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua kasus terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi yang sudah jadi sebenarnya diberikan. Gambarlah grafik fungsi trigonometri dengan benar, izinkan saya mengingatkan Anda pada materi pelajaran tentang transformasi geometri grafik : jika argumennya habis dibagi dua: , maka grafiknya diregangkan sepanjang sumbunya sebanyak dua kali. Dianjurkan untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri untuk menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Cara menghitung volume suatu benda revolusi
menggunakan integral tertentu?

Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral; dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas bangun, volume benda rotasi, panjang busur, luas permukaan bangun. rotasi dan banyak lagi. Jadi ini akan menyenangkan, harap tetap optimis!

Bayangkan suatu bangun datar pada bidang koordinat. Diperkenalkan? ... Entah siapa yang menyajikan apa... =))) Kita sudah menemukan luasnya. Namun selain itu, angka ini juga dapat diputar, dan diputar dengan dua cara:

- di sekitar sumbu absis;
- di sekitar sumbu ordinat.

Artikel ini akan membahas kedua kasus tersebut. Metode rotasi kedua sangat menarik; metode ini menyebabkan kesulitan paling besar, namun sebenarnya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Sebagai bonus saya akan kembali lagi masalah mencari luas suatu bangun, dan saya akan memberi tahu Anda cara mencari luas dengan cara kedua - sepanjang sumbu. Ini bukan bonus karena materinya sesuai dengan topik.

Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

sosok datar di sekitar sumbu

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti pada soal mencari luas, penyelesaiannya dimulai dengan menggambar bangun datar. Artinya, pada bidang tersebut perlu dibuat bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut menentukan sumbunya. Cara menyelesaikan gambar dengan lebih efisien dan cepat dapat ditemukan di halaman Grafik dan properti fungsi Dasar Dan . Ini adalah pengingat Tiongkok, dan pada titik ini saya tidak akan membahasnya lebih jauh.

Gambar di sini cukup sederhana:

Bentuk datar yang diinginkan diberi warna biru; yang berputar pada sumbunya, menghasilkan piring terbang agak bulat telur yang simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya benda itu punya nama matematis, tapi saya terlalu malas untuk menjelaskan apa pun di buku referensi, jadi kita lanjutkan.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda yang berotasi?

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di puncaknya. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumusnya dikuadratkan: , jadi integralnya selalu non-negatif, yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Hitunglah volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh garis , ,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis dari bangun yang dibatasi oleh garis , , dan

Larutan: Mari kita gambarkan pada gambar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda rotasi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan .

Perhatikan gambar yang dilingkari warna hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan .

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda rotasi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume benda rotasi yang diinginkan:

Menjawab:

Menariknya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa dengan menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, seperti yang diperhatikan oleh Perelman (yang lain) dalam bukunya Geometri yang menghibur. Lihatlah gambar datar dalam soal yang diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusi hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang meminum cairan yang setara dengan ruangan seluas 18 meter persegi sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , dimana .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua kasus terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi yang sudah jadi sebenarnya diberikan. Gambarlah grafik fungsi trigonometri dengan benar, izinkan saya mengingatkan Anda pada materi pelajaran tentang transformasi geometri grafik: jika argumennya dibagi dua: , maka grafiknya diregangkan dua kali sepanjang sumbunya. Dianjurkan untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri untuk menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Perhitungan volume benda yang dibentuk oleh rotasi
sosok datar di sekitar sumbu

Paragraf kedua akan lebih menarik dari paragraf pertama. Tugas menghitung volume suatu benda yang berputar di sekitar sumbu ordinat juga merupakan tugas yang cukup umum dalam pekerjaan pengujian. Sepanjang jalan itu akan dipertimbangkan masalah mencari luas suatu bangun metode kedua adalah integrasi sepanjang sumbu, ini akan memungkinkan Anda tidak hanya meningkatkan keterampilan Anda, tetapi juga mengajari Anda cara menemukan jalur solusi yang paling menguntungkan. Ada juga makna hidup praktis dalam hal ini! Seperti yang diingat oleh guru saya tentang metode pengajaran matematika sambil tersenyum, banyak lulusan yang mengucapkan terima kasih dengan kata-kata: “Mata pelajaran Anda banyak membantu kami, sekarang kami adalah manajer yang efektif dan mengelola staf secara optimal.” Pada kesempatan ini saya juga mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada beliau, apalagi ilmu yang diperoleh saya gunakan untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Saya merekomendasikannya kepada semua orang, bahkan orang bodoh sekalipun. Selain itu, materi yang dipelajari pada paragraf kedua akan sangat membantu dalam menghitung integral ganda.

Diberikan suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , .

1) Tentukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut.
2) Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Perhatian! Kalaupun Anda hanya ingin membaca poin kedua, pastikan membaca poin pertama terlebih dahulu!

Larutan: Tugas terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita membuat gambar:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi tersebut menentukan cabang atas parabola, dan fungsi tersebut menentukan cabang bawah parabola. Di depan kita ada parabola sepele yang “terletak miring”.

Gambar yang diinginkan, luas yang ingin dicari, diarsir dengan warna biru.

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun? Hal ini dapat ditemukan dengan cara “biasa” yang dibahas di kelas Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun. Selain itu, luas gambar tersebut ditemukan sebagai jumlah dari luas:
- di segmen tersebut ;
- di segmen tersebut.

Itu sebabnya:

Mengapa solusi yang biasa buruk dalam kasus ini? Pertama, kita mendapat dua integral. Kedua, integral adalah akar, dan akar dalam integral bukanlah anugerah, dan selain itu, Anda bisa bingung dalam mensubstitusi limit integrasi. Faktanya, integral, tentu saja, tidak mematikan, tetapi dalam praktiknya semuanya bisa lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi yang "lebih baik" untuk masalah tersebut.

Ada solusi yang lebih rasional: ini terdiri dari peralihan ke fungsi invers dan integrasi sepanjang sumbu.

Bagaimana cara mendapatkan fungsi invers? Secara kasar, Anda perlu menyatakan “x” melalui “y”. Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat sumbunya: miringkan kepala Anda secara berkala ke kanan sebesar 90 derajat seperti yang Anda jelaskan (ini bukan lelucon!). Gambar yang kita perlukan terletak pada ruas yang ditandai dengan garis putus-putus berwarna merah. Dalam hal ini, pada ruas tersebut garis lurus terletak di atas parabola, artinya luas bangun tersebut harus dicari dengan menggunakan rumus yang sudah Anda kenal: . Apa yang berubah dalam formulanya? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Catatan: Batas integrasi sepanjang sumbu harus ditetapkan ketat dari bawah ke atas!

Menemukan luasnya:

Oleh karena itu, pada segmen tersebut:

Harap perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini adalah cara yang paling rasional, dan di paragraf tugas berikutnya akan jelas alasannya.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Fungsi integran asli diperoleh yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Mari kita hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi gambar ini mengelilingi sumbunya.

Saya akan menggambar ulang gambarnya dengan desain yang sedikit berbeda:

Jadi, bangun yang diarsir warna biru berputar mengelilingi sumbunya. Hasilnya adalah “kupu-kupu yang melayang” yang berputar pada porosnya.

Untuk mencari volume suatu benda rotasi, kita akan melakukan integrasi sepanjang sumbunya. Pertama kita perlu pergi ke fungsi invers. Hal ini telah dilakukan dan dijelaskan secara rinci pada paragraf sebelumnya.

Sekarang kita kembali memiringkan kepala ke kanan dan mempelajari sosok kita. Jelasnya, volume suatu benda rotasi harus dicari sebagai perbedaan volumenya.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan .

Kami memutar gambar yang dilingkari hijau di sekitar sumbu dan menyatakannya dengan volume benda revolusi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan selisih volumenya.

Kami menggunakan rumus untuk mencari volume benda revolusi:

Apa bedanya dengan rumus pada paragraf sebelumnya? Hanya di surat itu.

Namun keuntungan dari integrasi yang baru-baru ini saya bicarakan jauh lebih mudah ditemukan , daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Menjawab:

Perhatikan bahwa jika bangun datar yang sama diputar mengelilingi sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda, dengan volume yang berbeda, secara alami.

Diberikan bangun datar yang dibatasi oleh garis dan sumbu.

1) Pergi ke fungsi invers dan temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis ini dengan mengintegrasikan variabelnya.
2) Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tersebut pada sumbunya.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Mereka yang berminat juga dapat mencari luas suatu bangun dengan cara “biasa”, dengan memeriksa poin 1). Tetapi jika, saya ulangi, Anda memutar bangun datar di sekitar sumbunya, Anda akan mendapatkan benda rotasi yang sama sekali berbeda dengan volume yang berbeda, omong-omong, jawaban yang benar (juga bagi mereka yang suka memecahkan masalah).

Solusi lengkap dari dua poin tugas yang diusulkan ada di akhir pelajaran.

Ya, dan jangan lupa miringkan kepala ke kanan untuk memahami benda rotasi dan batas integrasinya!

Saya hendak menyelesaikan artikelnya, tetapi hari ini mereka memberikan contoh menarik hanya untuk mencari volume benda revolusi di sekitar sumbu ordinat. Segar:

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh kurva dan .

Larutan: Mari kita membuat gambar: